Основы компьютерного проектирования и моделирования радиотехнических устройств и систем: Программа,

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã2004

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈÃîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå

âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ

ÀÝÐÎÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÈÁÎÐÎÑÒÐÎÅÍÈß

Программа, методические указания и

контрольные задания

ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОГО

ПРОЕКТИРОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ

РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ

2

Составитель О. С. Астратов

Рецензенты: кафедра радиотехнических систем ГУАП; канди-

дат технических наук доцент В. В. Саломасов

Приведена программа курса "Основы компьютерного проектиро-

вания и моделирования радиоэлектронных систем" с подробным спис-

ком литературы по каждому из разделов с указанием соответствующих

страниц. Кроме того, даны контрольные задания для самостоятельного

решения по тематике основных разделов курса, включающие принци-

пиальные схемы с конкретными данными по радиотехническим элемен-

там. По выполнению заданий даны краткие методические указания. Про-

грамма и контрольные задания предназначены для студентов заочного

факультета по направлению "Радиотехника", специальность 2007.

Подготовлены к публикации кафедрой радиопередающих и телеви-

зионных систем и рекомендованы к изданию редакционно-издательс-

ким советом Санкт-Петербургского государственного университета аэро-

космического приборостроения.

Подписано к печати 28.06.04. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1,12. Уч. -изд. л. 1,92. Тираж 300 экз. Заказ №

Редакционно-издательский отдел

Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки

Отдел оперативной полиграфии

СПбГУАП

190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67

Редактор В. П. Зуева

Компьютерный набор и верстка Н. С. Степановой

© ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский

государственный университет

аэрокосмического приборостроения», 2004

1

ВВЕДЕНИЕ

Курс "Основы компьютерного проектирования и моделирования ра-

диоэлектронных систем" изучается студентами радиотехнической спе-

циальности. Цель дисциплины – ознакомление студентов с основами

компьютерного проектирования и моделирования с применением со-

временных пакетов прикладных программ для автоматизированного

проектирования радиоэлектронных средств.

В процессе изучения дисциплины решаются следующие задачи:

– определение целей, способов, задач и процессов автоматизирован-

ного компьютерного проектирования и моделирования;

– изучение математических основ компьютерного моделирования

компонентов радиоэлектронных систем (РЭС) различного уровня слож-

ности и электромагнитных полей;

– ознакомление с алгоритмами компьютерного анализа и оптимиза-

ции аналоговых и цифровых устройств;

– ознакомление с современными пакетами прикладных программ для

автоматизированного компьютерного проектирования РЭС и методами

их использования.

Автоматизированное проектирование электронных схем освобожда-

ет инженера от разработки и настройки натурных моделей, заменяя их

математическими моделями электронных схем; оно призвано преодо-

леть принципиальное противоречие между стремительно растущей слож-

ностью современной электронной аппаратуры и необходимостью ее

проектирования в сжатые сроки, ограниченные временем морального

старения аппаратуры.

Основное внимание в курсе уделяется методам автоматизированно-

го получения метематических моделей схем, методам детерминирован-

ного и статистического анализа электронных устройств и систем, их

оптимизации, изучению и использованию методов вычислительной

математики при машинном анализе электронных схем.

Для изучения курса необходимы знания программирования, явных и

неявных методов численного интегрирования систем обыкновенных

2

дифференциальных уравнений, различных методов анализа электрон-

ных схем в статическом и динамическом режимах, методов параметри-

ческой оптимизации, теории линейной алгебры, методов математичес-

кой статистики.

Общей задачей дисциплины является подготовка радиоинженеров

широкого профиля, способных использовать современную вычислитель-

ную технику и методы вычислительной математики при проектирова-

нии радиоэлектронной аппаратуры и оптимизации ее параметров.

Дисциплина базируется на следующих дисциплинах, изучаемых в

академии:

– высшая математика;

– информатика;

– электронные и квантовые приборы;

– радиотехнические цепи и сигналы;

– усилительные устройства;

– радиотехнические системы.

Основная форма изучения курса для студентов заочного факульте-

та – самостоятельная работа над учебным материалом. Для успешно-

го изучения курса в методической разработке приведена программа,

в каждом разделе которой указана литература и вопросы для само-

проверки.

В процессе изучения курса студенты должны выполнить две

контрольные и две лабораторные работы в дисплейном классе. Выпол-

нение контрольных и лабораторных работ способствует закреплению

теоретических знаний и подкреплению навыков работы с ЭВМ. По каж-

дой из лабораторных работ студенты сдают отчет.

3

ПРОГРАММА

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ, ЕЕ МЕСТОВ УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ

1.1. Цель преподавания дисциплины

Основной целью преподавания дисциплины является ознакомление

студентов с современными методами проектирования радиоэлектрон-

ных устройств и систем: – автоматизированным проектированием, ма-

шинным анализом электронных схем и радиотехнических систем, озна-

комление с алгоритмами компьютерного анализа и оптимизации анало-

говых и цифровых устройств; ознакомление с современными пакетами

прикладных программ для автоматизированного компьютерного проек-

тирования РЭС и методами их использования.

В курсе рассматриваются вопросы анализа электронных схем,

оптимизации их параметров, методика разработки алгоритмов расче-

та электронных схем, анализ чувствительности, современные пакеты

САПР РЭС.

1. 2. Задачи изучения дисциплины

В результате изучения дисциплины студент должен знать:

– математические основы составления моделей и макромоделей ком-

понентов РЭС;

– методы машинного анализа электронных схем в статическом и

динамическом режимах;

– математические модели радиосигналов и помех;

– принципы статистического моделирования сложных РЭС;

– методы анализа чувствительности и оптимизации параметров и

характеристик РЭС.

Студент должен уметь:

– описывать РЭС на входных языках пакетов прикладных программ

(ППП) для автоматизированного компьютерного проектирования;

– составлять и рассчитывать математические модели РЭС с приме-

нением ППП;

– проводить вычислительные эксперименты на базе современных

ЭВМ и ПЭВМ.

4

Общей задачей дисциплины является подготовка радиоинжене-

ров широкого профиля, способных использовать современную вы-

числительную технику, программное обеспечение и методы вычис-

лительной математики при проектировании радиоэлектронной ап-

паратуры.

2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Автоматизация проектирования радиоэлектронной аппаратуры яв-

ляется следствием научно-технического прогресса. Дисциплина ориен-

тирована на изучение методов и средств автоматизированного проек-

тирования радиоэлектронных устройств и систем. Распределение вре-

мени по видам занятий приведено в табл. 1.

2.1. Наименование тем, их содержание,объем в часах лекционных занятий

Тема 1. Предмет и задачи курса

Значение автоматизированного проектирования при разработке ра-

диоэлектронной аппаратуры. Основные задачи и методы проектирова-

ния радиосхем и систем. Этапы проектирования РЭА и место в них

машинных методов проектирования. Связь с другими дисциплинами.

Понятие технологического процесса проектирования. Функциональный,

конструкторский и технологический уровни проектирования. Место

схемотехнического проектирования и статистического моделирования

в сквозном цикле проектирования РЭА.

Объем в часах:

Лекционные занятия – 1

Самостоятельная работа – 2

Литература: 1, с. 7–23; 2, с. 12–36; 3, с. 3–8.

Таблица 1

ремоН

артсемес

огесВ

восач

иицкеЛ -ротаробаЛ

ытобареын

яотсомаС -ьлет

атобаряан

немазкЭ течаЗ -ьлортноК

еын

ытобар

9 )63(77 21 21 14 течаЗ 1

5

Вопросы для самопроверки

1. Достоинства и возможности САПР РЭС.

2. Основные этапы проектирования РЭС и место в них методов ма-

шинного проектирования.

3. Задачи синтеза и задачи анализа при проектировании РЭС.

Тема 2. Автоматизация составления топологических матриц элек-

тронных схем.

Определение математической модели. Модели компонентов элект-

ронных схем, макромодели. Иерархия и примеры моделей для разных

функциональных уровней проектирования. Получение топологичес-

ких матриц. Топологические уравнения электронных схем.



Самостоятельные занятия – 2

Литература: 1, с. 62–101; 2, с. 85–96; 3, с. 8–17, 31 – 39;

6, с. 71–113, 178–228.


1. Основные требования, предъявляемые к математическим моделям

компонентов электронных схем.

2. Граф схемы, дерево графа, главное сечение и главный контур, струк-

турная матрица.

3. Матрица главных сечений, главных контуров и полная топологи-

ческая система уравнений.

Тема 3. Машинные методы анализа электронных схем.

Общий вид математической модели электронных схем (ММЭС).

Возможность представления ММЭС в форме Коши. Метод перемен-

ных состояний в общем виде для схем без особенностей. Методы чис-

ленного интегрирования, их сравнительная оценка, выбор шага интег-

рирования. Метод узловых потенциалов и особенности его машинной

реализации. Примеры расчета переходных процессов.




Литература: 1, с. 102–137; 2, с. 97–114; 3, с. 17–30,

51–72; 6, с. 129–140; 7, с. 136–143, 174–186.

6


1. Особенности метода переменных состояния.

2. Методы численного интегрирования, применяемые при анализе

электронных схем, их особенности.

3. Матрица узловых проводимостей и ее место при анализе схем ме-

тодом узловых потенциалов.

4. LU-метод.

Тема 4. Моделирование радиосигналов и радиопомех.

Особенности моделирования радиосигналов и помех. Принципы и

алгоритмы моделирования базовых случайных последовательностей.

Моделирование последовательностей с заданным законом распределе-

ния. Алгоритмы моделирования нормальных случайных последователь-

ностей. Методы проверки статистических гипотез. Критерий согласия

Пирсона.




Литература: 1, с. 285–289; 4, с. 3–33.


1. Базовая случайная последовательность, параметры, методы фор-

мирования.

2. Методы формирования последовательностей с заданным законом

распределения.

3. Алгоритм применения критерия согласия Пирсона.

4. Критическая область, уровни значимости, доверительные границы.

Тема 5. Моделирование типовых случайных процессов.

Особенности алгоритма скользящего суммирования и рекурентно-

го алгоритма. Методы моделирования нормальных случайных про-

цессов. Задача анализа. Задача синтеза. Примеры моделирования нор-

мального стационарного случайного процесса с заданной корреляци-

онной функцией.




Литература: 4, с. 33–96.

7


1. Алгоритмы работы линейных цифровых фильтров.

2. Основные параметры случайных процессов.

3. Моделирование стационарного нормального случайного процесса.

Тема 6. Метод статистического моделирования РЭС.

Структурная схема метода статистического моделирования, его

особенности и достоинства. Точечные и интервальные оценки.

Оценка точности при проведении статистического моделирования.

Понятие чувствительности. Метод приращений и метод наихудше-

го случая.




Литература 1, с. 233–268; 4, с. 24–33; 5, с. 3–16; 7, с. 157 –162,

170–173 .


1. Сравнение натурного эксперимента и статистического моделиро-

вания РЭС.

2. Требования к оценкам.

3. Надежность и точность оценки, представительность выборки.

Тема 7. Цифровые модели непрерывных динамических систем.

Модели, основанные на дискретной свертке. Моделирование с

помощью рекурсивных алгоритмов с использованием Z-преобразо-

вания. Пример цифрового моделирования радиолокационного даль-

номера.




Литература 7, с. 435–451.


1. Импульсная характеристика, коэффициент передачи линейной

системы.

2. Свойства Z-преобразования.

3. Достоинства рекуррентных методов моделирования.

8

Тема 8. Методы использования пакетов прикладных программ при

компьютерном проектировании РЭС.

Определение ППП для автоматизированного проектирования РЭС.

Классификация ППП. Особенности ППП для автоматизированного схе-

мотехнического проектирования и конструкторско-технологического

проектирования. Виды обеспечения ППП.




Литература: 1, с. 460–471; 2, с. 223–234.

Вопросы для самопроверки:

1. Перечислите известные ППП и их возможности.

2. Основные составляющие обеспечения автоматизированного про-

ектирования РЭС.

3. Состав и классификация информационного обеспечения.

2.2. Лабораторные занятия, их наименование и объем в часах

Целью выполнения лабораторных работ является закрепление у

студентов знаний, полученных в результате прослушивания теорети-

ческого курса, практическое использование полученных знаний при

анализе конкретных схем и систем, выработка и закрепление навыков

практической работы на ЦВМ и навыков программирования.

Лабораторная работа 1

Метод переменных состояния. Анализ радиоэлектронных схем с

помощью пакета прикладных программ МС6 или МС7.


Аудиторные занятия – 4


Литература: МУ1, МУ2, МУ3


Моделирование шумовых входных воздействий с заданными стати-

стическими характеристиками. Изучение случайных последовательно-

стей с различными распределениями с помощью пакета MatLab 6.5

9




Литература: МУ1, МУ2,МУ3


Автоматизированное исследование разрешающей способности оп-

тико-электронного звена системы передачи информации с использова-

нием либо алгоритмических языков, либо пакета MathCad.




Литература: МУ1, МУ2

3. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Студенты должны выполнить контрольную работу, состоящую из двух

заданий:

1. Операции над матрицами.

2. Расчет переходного процесса электронных схем.

Обе работы выполняются по заданиям, приведенным ниже, в соот-

ветствии с положенным вариантом.

3.1. Контрольное задание № 1

1. Что называется следом квадратной матрицы?

2. Рассмотреть пример нахождения следа квадратной матрицы в со-

ответствии с заданием.

3. Что такое определить матрицы?

4. Рассмотреть пример нахождения определителя матрицы произве-

дения двух матриц. В качестве второй матрицы берется матрица сле-

дующего по номеру варианта. Для варианта № 10 вторая матрица бе-

рется из варианта № 1.

5. Что такое обратная матрица?

6. Рассмотреть пример нахождения обратной матрицы.

7. Найти неизвестный вектор Х из матричного уравнения АХ = В,

где А – квадратная матрица (по варианту задания); В – вектор (первый

столбец матрицы следующего по номеру задания; для варианта № 10 –

первый столбец матрицы из варианта № 1).

10

8. Вычислить билинейную форму Z = X·A·Y, где А – квадратная мат-

рица; X и Y – векторы, соответственно первый и третий столбцы за-

данной матрицы.

Варианты матриц порядка 3�3 для контрольной работы 1:

3.2. Контрольное задание № 2

Рассчитать переходной процесс схемы по методу переменных со-

стояния. В отчете представить:

– принципиальную схему;

– граф схемы;

– собственное дерево графа и главные сечения;

– матрицу главных сечений;

– главные контуры;

– матрицу главных контуров;

– систему топологических уравнений;

– полную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(ОДУ) для динамических компонентов схемы (C, L);

– программу численного интегрирования системы ОДУ на 30 шагов

интегрирования явным методом Эйлера;

– распечатку расчета переходного процесса на динамических ком-

понентах схемы.

Шаг интегрирования min(0,2...0,5)τh = .

Последний пункт отчета может быть выполнен в дисплейном

классе кафедры и приложен к отчету. Для выполнения работы следует

ознакомиться с /2, 4/.

1тнаираВ 2тнаираВ 3тнаираВ 4тнаираВ 5тнаираВ

3 2 5 1 7 3 4 3 2 2 1 6 2 4 8

1 4 7 2 5 6 1 5 3 3 2 1 3 1 5

6 1 2 1 3 2 3 7 1 5 4 3 4 2 3

6тнаираВ 7тнаираВ 8тнаираВ 9тнаираВ 01тнаираВ

3 1 6 1 2 1 4 1 3 2 3 5 2 3 4

2 4 1 7 5 3 3 5 7 1 2 4 4 1 2

5 7 2 3 6 2 2 3 1 6 1 3 8 5 3

11

Вариант 3

V1 – 10 B, I 8 = 100 mA

V1 C2

1u

R4

100

C3

0.5u

R5

200

L60.02

L70.01

I 8

V1=10 B, V2=20 B, I 9=50 mA

R5

500

R6

300R7

1000

V1 V2

C3

0.5u

C40.2u

L8

+I 9

Вариант 1

0.5

V1 = 12 B, V2 = 15 B, I9 = 20 mA

R6

500

R7 2000

V

1

V

2

C3

0.1u

C40.05u

R5 1000 L8 0.2

Вариант 2

V1 = 30 B, I 8 = 100 mA

Вариант 4

V1 C20.1u

C3

0.2u

R61000

R4

270

R5510

L7 0.2

I 8

V1 C20.5u

C31u

R4100

R5

200

R6

300

R7

200

L80.01

L9 0.02

I 10

V1 = 10 B, I 10 = 25 mA

Вариант 5

V1 C2

0.01u

R3

1000

R4500 R5

200

R6300

L70.05

I 8

V1 = 15 B, I 8 = 10 mA

Вариант 6

12

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮКОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ЗАДАНИЮ № 2

АНАЛИЗ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ МЕТОДОМПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ

4.1. Топологическое уравнение цепи

Анализ электронных схем на ЦВМ производят с помощью матема-

тической модели, которая представляет собой систему уравнений, опи-

сывающих работу исследуемой схемы. Алгоритмы автоматического со-

ставления уравнений с помощью ЦВМ основаны на использовании

топологического описания цепей. В основе топологического описания

схем лежит понятие графа.

V1 = 12 B, V2 = 15 B, I 10 = 0,03 A

V1

V2

C3

0.1u

C4

0.05u

R5150

R6470

R7100

R8200

L90.03

I 10

Вариант 8

V1C2

1uC3

0.5

R4

1000

R5

300

R6

200

L7

0.03 L80.01

I 9

V1 = 30 B, I 9 = 15 mA

Вариант 10

V1 = 20 B, I 9 = 0,02 A

V1 C20.5u

C30.2u

R41000

R5

300

R6

500

L7

0.1

L80.05

I 9

Вариант 7

V1 C20.5

R31000

R4500

R5300

L60.2

L70.05

I 8

V1 = 30 B, I 8 = 10 mA

Вариант 9

13

Графом электронной схемы называется скелетная схема, изображаю-

щая топологию элементов схемы, т. е. соединения элементов между со-

бой. Вершины графа соответствуют узлам схемы, ребра – отдельным

элементам. Построение графа производят по эквивалентной схеме. В

общем виде эквивалентную схему получают из принципиальной элект-

рической путем замены нелинейных элементов (транзисторов, диодов)

их упрощенными эквивалентными схемами, но в данной работе мы ог-

раничимся рассмотрением линейных цепей, предполагая, что замена

нелинейных элементов уже произведена.

Пусть задана эквивалентная схема (рис. 1). Построим граф и выбе-

рем его собственное дерево.

1. Обозначим узлы на схеме, учитывая, что каждый элемент схемы:

источник напряжения, емкость, резистор, индуктивность, источник тока

находятся между узлами. Нумерацию узлов обозначим арабскими циф-

рами, шину "земля" принципиальной схемы обозначим узлом "0".

2. Пронумеруем элементы схемы, давая им сквозную нумерацию.

При этом будем соблюдать иерархию: источники напряжения, емкос-

ти, резисторы, индуктивности, источники тока (E, C, R, L, I).

3. Нанесем узлы на чертеж графа (рис. 2), сохраняя нумерацию узлов

эквивалентной схемы. Их следует располагать так, чтобы по возмож-

ности избежать взаимных пересечений ребер.

4. Узлы на графе соединяют линиями произвольной длины и формы,

которые называются ребрами. Ребра графа сохраняют номера элемен-

тов, которые они заменяют.

5. На ребрах графа стрелками обозначают положительные направ-

ления токов и напряжений, принятые на эквивалентной схеме.

После построения графа выбирают собственное дерево графа.

Деревом графа называется совокупность ребер, содержащая все узлы

графа, но не образующая ни одного замкнутого контура (рис. 3). Ребра,

вошедшие в дерево, называются ветвями, ребра, дополняющие дерево

графа – хордами.

Граф может иметь ряд деревьев (рис. 3). Если граф содержит n

узлов, то каждое дерево графа состоит из m ветвей, где m = n – 1. Для

графа, изображенного на рис. 2, m = n – 1 = 5 – 1 = 4.

С учетом упомянутой иерархии E1, С2, R3, R4, R5, R6, L7, I 8 обра-

зуется последовательность ребер 1–2–3–4–5–6–7–8. Из этой последо-

вательности выбираем по порядку номеров ребра, не образующие ни

14

одного замкнутого контура. В результате этого получаем собственное

нормальное дерево 1–2–4–6 (рис. 3).

На рис. 4 сплошными линиями изображено собственное дерево гра-

фа с ветвями 1–2–4–6, а пунктирными линиями – хорды 3–5–7–8. Соб-

ственное нормальное дерево содержит все источники напряжения, все

емкости и часть резисторов и не содержит индуктивностей и источни-

ков тока.

Оставшаяся часть резисторов, все индуктивности и источники тока

входят в хорды. Такое распределение элементов эквивалентной схемы

связано с принятой иерархией нумерации (E, C, R, L, I) эквивалентной

схемы.

E1

R3

L7

R4 R6

R5C2

I 8

1 2 3 4

Рис. 1

1

2

3

47

6

43

58

2

1

Рис. 2

15

Информация, содержащаяся в графе, переводится на алгоритмичес-

кий язык с помощью топологических матриц – матрицы главных сече-

ний графа, матрицы главных контуров и структурной матрицы графа.

1

2 46

34

2

1

1

2

3

4

5

81

2

1

2

3

3

8

4

6

4

Рис. 3

3

46

7

52

18

C

B

D

A

Рис. 4

16

4.2. Матрица главных сечений графа

Сечением графа называется линия, делящая граф на две несвязан-

ные части. На рис. 5, а изображены произвольные сечения графа (A, B,

C, D). Линии сечения на этом рисунке пересекают произвольное число

ребер и хорд.

Для получения главного сечения графа нужно линию сечения графа

провести таким образом, чтобы она пересекала только одну ветвь при

произвольном пересечении хорд. Поскольку главное сечение графа пе-

ресекает только одну ветвь, то число главных сечений равно числу вет-

вей дерева. На рис. 5, б сечения A, B, C, D – главные.

Построим матрицу главных сечений АС, строки которой соответ-

ствуют главным сечениям, а столбцы – ребрам графа. Начальные стол-

бцы матрицы соответствуют ветвям в порядке возрастания номеров

ветвей графа, остальные – хордам в порядке возрастания хорд графа.

РЕБРА

Ветви Хорды

1 0 0 0 –1 0 0 00 1 0 0 –1 1 0 –1

0 0 1 0 0 –1 1 10 0 0 1 0 0 1 1

C =A(1)

Каждый элемент аij матрицы А

С равен: а

ij = +1, если j-е ребро

пересекает i-е сечение в том же направлении, что и ветвь, определяю-

щая это сечение; аij = –1, если j-е ребро пересекает i-е сечение в

1

2

4

5

6

7

8

A B

C D

34

52

1

6

8

7

а) б)

Рис. 5

17

направлении, противоположном направлению ветви, определяющей это

сечение; aij = 0, если j-е ребро не пересекает i-е сечение.

Сформированная матрица главных сечений АС состоит из двух под-

матриц: матрицы главных сечений для ветвей и матрицы главных

сечений для хорд. Из способа формирования матрицы АС очевидно,

что каждый из диагональных элементов аij первой подматрицы равен

единице, поэтому первая подматрица – матрица главных сечений для

ветвей – представляет собой единичную матрицу E. Вторую подматри-

цу – матрицу главных сечений для хорд – обозначим F.

Таким образом, матрица главных сечений может быть представлена

как

.C =Α ΕF (2)

Матрицу главных сечений АС можно использовать для записи урав-

нений по первому закону Кирхгофа, если придать ее элементам опреде-

ленный физический смысл: каждый идентичный элемент в j-м столбце

означает ток Ij в j-м ребре, сумма токов каждой i-й строки равна алгеб-

раической сумме токов, протекающих через i-е сечение. По принципу

нейтральности зарядов алгебраическая сумма токов, протекающих

через каждое сечение, должна быть равна нулю. Для рассматриваемого

графа (рис.5, б)1 3

2 3 5 8

4 5 7 8

6 7 8

0,0,0,

0.

i ii i i ii i i i

i i i

− = − + − = − + − = + + =

( 3)

Система уравнений (3) является первым законом Кирхгофа, обоб-

щенным на сечения схемы.

Систему (3) можно представить как

1

2

4

6

3

5

7

8

1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 1 0 1

0 ,0 0 1 0 0 1 1 10 0 0 1 0 0 1 1

iiiiiiii

−− − ⋅ =−

(4)

18

либо CA I 0⋅ = , (5)

где I – вектор-столбец токов ребер.

В векторе I последовательность элементов должна соответствовать

последовательности столбцов в АС.

Уравнение (5) обозначает, что АС можно использовать как оператор

алгебраического суммирования токов ребер при составлении уравне-

ний по первому закону Кирхгофа. Матричное уравнение (5) является

экономной формой записи уравнений (3).

Вектор токов I состоит из двух подвекторов: вектора токов ветвей

IВ и вектора токов хорд I

Х.

TT B1 2 4 6 3 5 7 8

X,i i i i i i i i= = I

II (6)

С учетом (6) и (2) уравнение (5) преобразуется к виду

BC B х х B

х

, ,⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ +IА I E F E I F I F I I

I , (7)

или

Х

.I = − ⋅F i

Уравнение (7) выражает зависимость токов ветвей через токи

хорд. Для рассматриваемой схемы

1 3

2 5

4 7

6 8

1 0 0 0 1 1 0 1

. 0 1 1 1 0 0 1 1

i ii ii ii i

−= ⋅− −− −

4.3. Матрицы главных контуров

Для получения матрицы главных контуров нанесем на граф линии

главных контуров (см. рис. 4). Главный контур получается путем под-

ключения к дереву хорды, подключение к дереву хорды 3 приводит к

формированию контура А, подключение хорды 5 – к получению глав-

ного контура В, хорды 7 – к получению главного контура С, 8 – к D.

Число главных контуров равно числу хорд графа. Положительным на-

правлением каждого контура выбирается совпадающим с положитель-

ным направлением хорды, с помощью которой он образовался.

19

Построим матрицу главных контуров АК, строки которой соответ-

ствуют главным контурам, а столбцы – ребрам графа. Как и в матрице

главных сечений, начальные столбцы матрицы соответствуют ветвям,

остальные хордам:

РЕБРА

Ветви Хорды

К

1 1 0 0 1 0 0 00 – 1 1 0 0 1 0 0

.0 0 – 1 –1 0 0 1 00 0 – 1 –1 0 0 0 1

=A (8)

Каждый элемент аij матрицы А

К равен: а

ij = +1, если направление

j-го ребра совпадает с направлением главного контура, аij = –1, если

направление j-го ребра противоположно направлению главного кон-

тура, аij = 0, если j-е ребро не образует главного контура.

Матрица АК состоит из двух подматриц, из которых вторая пред-

ставляет собой единичную матрицу, а первая, как видно из сравнения

АС и А

К, представляет собой транспонированную матрицу F, взятую со

знаком минус (–FT).

Матрицу главных контуров можно использовать для записи уравне-

ний по второму закону Кирхгофа, придав ее элементам определенный

физический смысл.

Каждый единичный элемент в j-м столбце обозначает напряжение u

в j-м ребре, алгебраическая сумма напряжений вдоль замкнутых конту-

ров цепи равна нулю. Обозначив напряжения на ребрах 1, 2 ... 8, в

графе через u1, u2 ... u

8 запишем для главных контуров уравнения по

второму закону Кирхгофа

1 2 3

2 4 5

4 6 7

2 4 6 8

00

.0

0

u u uu u uu u u

u u u u

+ + = − + + = − − + = − − + =

(9)

Систему (9) можно представить в виде произведения АК на век-

тор – столбец напряжений U:

20

1

2

4

6

3

5

7

8

1 1 0 0 1 0 0 00 1 1 0 0 1 0 0

0 ,0 0 1 1 0 0 1 00 1 1 1 0 0 0 1

uuuuuuuu

− ⋅ =− −− −

(10)

либо AК . U = 0. (11)

В векторе U последовательность элементов должна соответствовать

последовательности столбцов в матрице АК.

Уравнение (11) означает, что АК можно использовать как оператор

алгебраического суммирования напряжений при составлении уравне-

ний по второму закону Кирхгофа. Матричное уравнение (11) является

экономной формой записи уравнения (9).

Вектор напряжений U состоит из двух подвекторов: вектора напря-

жений ветвей UВ и вектора напряжений хорд U

х.

Х

T В1 2 4 6 3 5 7 8 .u u u u u u u u= = U

UU

(12)

С учетом (12) и (8) уравнение (11) преобразуется к виду

B

К B X В ХX

, ,T T TU

A U F E F U E U F U UU

⋅ = − ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − ⋅ +

или

X B.TU F U= ⋅ ( 13 )

Уравнение (13) выражает зависимость напряжений хорд от напря-

жений ветвей. Для рассматриваемой схемы уравнение (13) записывает-

ся в виде

3 1

5 2

7 4

8 6

1 1 0 0 0 1 1 0

. 0 0 1 1 0 1 1 1

u uu uu uu u

− −−= ⋅

−

21

4.4. Топологическое уравнение цепи

Уравнения (7) и (13), полученные путем использования перво-

го и второго законов Кирхгофа, объединяют в одно матричное урав-

нение

В Х

Х В

T0

0

−= ⋅

FI IU UF (14)

и называют топологическим уравнением цепи. Форма (14) удобна

для составления машинных программ анализа электронных схем, од-

нако формирование матрицы F (разд. 1.2), удобно лишь при ручном

составлении уравнений. При составлении уравнений с помощью ЭВМ

матрицу F формируют с помощью алгоритма Гаусса из структурной

матрицы.

4.5. Реализация метода переменных состояния

Для уменьшения числа уравнений в системе, полностью описы-

вающей поведение электронной схемы с динамическими реактив-

ными элементами С и L, перейдем с помощью топологической си-

стемы уравнений (14) и компонентных уравнений к системе урав-

нений переменных состояния. Переменными состояния называются

токи в индуктивностях L и напряжение на емкостях U. Обозначим

вектор переменных состояния Х. Тогда, если схема имеет m индук-

тивностей и n емкостей, число составляющих вектора Х, т. е. поря-

док системы уравнений переменных состояния, будет m + n. Для

динамических элементов компонентные уравнения в общем виде

можно записать так

( ) ( ); ,l l c cd du L i i C udt dt

= ⋅ = ⋅

или

( )c0 0 ( ),

0 0с

l l

d td tdt dt

′= ⋅ = ⋅ = ⋅C C xi u S xL Lu i

22

где

1

2

1

2

0 ... 00 ... 0

0. . . .0 0 ...0

0 0 ... 00 ... 0

0. . . .0 0 ...

n

n

С

C

CL

L

L

= =CS

L.

Выразим токи Ic через матрицу F, поскольку емкости входят в ветви

Iв = –F ⋅ I

х , откуда I

с = –F ⋅ I

х. Аналогично U

х = FT ⋅ U

в , откуда

TL L в

= ⋅U F U , где FC и T

LF – те строки матриц F и FT, которые относят-

ся к емкостям и индуктивностям.

При этом метод переменных состояния предусматривает такое пре-

образование уравнений (14), при котором напряжения и токи нереак-

тивных элементов резисторов выражаются через переменные состоя-

ния iL и u

C и независимые источники тока и напряжения. Вектор нере-

активных токов и напряжений обозначим y(t). Тогда полную систему

уравнений можно записать

1( ) ( ( ), ( )),x t f X t A t=� (15)

2( ) ( ( ), ( )).y t f X t A t= (16)

где А(t) – вектор независимых источников тока и напряжения, входя-

щих в рассматриваемую схему.

Решение полученной системы обыкновенных дифференциальных

уравнений (ОДУ) (15) и алгебраической системы уравнений (16) вы-

полняется в следующем порядке.

Из физических соображений или из начальных заданных условий

определяются начальные значения переменных состояния uC и i

L, кото-

рые, например, представляют собой значения напряжений и токов в

момент включения схемы и , следовательно, равны нулю. По значени-

ям uC и i

L находятся значения y, т. е. значения токов и напряжений на

резисторах схемы в начальный момент времени. Далее, решая систему

ОДУ методами численного интегрирования, вычисляют значения пере-

менных состояния в конце интервала дискретизации, называемого ша-

23

гом интегрирования: x(uC1

, iL1

). Подставляя uC1

и iL1

, вычисленные на

первом шаге, в y(t), получаем значения токов и напряжений на нереак-

тивных элементах в конце первого шага и приступаем к решению сис-

темы (15) на втором шаге, вычисляя uC2

, iL2

и т. д. В результате этих

вычислений будет получен весь переходный процесс в виде последова-

тельности значений в дискретные моменты времени t1, t2 ... t

k. Выбор

шага интегрирования ∆t = ti – t

i–1 зависит, в первую очередь, от постоян-

ных времени схемы и практически определяется наименьшей из них,

а также от конкретного метода интегрирования и его сходимости. Об-

щее же число шагов определяется максимальной постоянной времени.

Для нашего примера полная топологическая система уравнений в

раскрытом виде с обозначениями типов элементов запишется следую-

щим образом:

1 3 3

2 5 3 5 8

4 7 5 7 8

6 8 7 8

1 0 0 0 1 1 0 1

, 0 1 1 1 0 0 1 1

E R R

C R R R

R L R L

R L

i i ii i i i ii i i i ii i i i

− −−= ⋅ = − −− −− −− −

(17)

3 1 1 2

5 2 2 4

7 4 4 6

8 6 2 4 6

1 1 0 0 0 1 1 0

. 0 0 1 1 0 1 1 1

R E C

R C C R

L R R R

R C R R

u u E uu u u uu u u uu u u u u

− −− −−−= ⋅ = +

− + +−

(18)

Переменными состояния в нашей схеме являются iL7

, uC2

. Именно

через них необходимо выразить токи и напряжения резисторов iR3

, iR5

,

uR4

, uR6

, входящие в систему уравнений (17), используя уравнения (18)

и компонентные уравнения. Проведя указанные операции, получаем

iR3

= uR3

/ R3 = (–E1 – uC2

) ⋅ (R3)–1,

iR5

= uR5

/ R5 = (uC2

– uR4

) ⋅ (R5)–1,

uR4

= iR4

⋅ R4 = (iR5

– iL7

– i8) ⋅ R4.

Подставляя uR4

в выражение для iR5

, получим

iR5

= [uC2

– (iR5

– iL7

–i8) ⋅ R4] ⋅ (R5)–1 .

24

Находим из полученного уравнения iR5

iR5

= (uC2

+ iL7

⋅ R4 + i8 ⋅ R4) ⋅ R5–1 ⋅ (1 + R4 ⋅ R5–1)–1.

Подобным же образом находим

uR4

= R4 ⋅ iR4

= R4 ⋅ [(uC2

+ iL7

⋅ R4 + i8 ⋅ R4) ⋅ R5–1 ⋅

(1 + R4 ⋅ R 5–1)–1 – iL7

– i8],

uR6

= R6 ⋅ iR6

= R6 ⋅ (–iL7

– i8).

Из компонентных уравнений для реактивных элементов C2 и L7:

2 7

2 7, ,C LC L

du dii C u L

dt dt= =

получаем систему из двух обыкновенных дифференциальных уравне-

ний в форме Коши:

( )( ) ( )

( ) ( )( )

122

121

112 7 8 8

177

112 7 8 7 81

7 8

2

1 32 ,

4 4 5 1 4 5.

7

4 4 4 5 1 4 57

6

СС

С

C L

LL

C L L

L

duC i

dt

E u RC

u i R i R R R R i

diL u

dt

R u i R i R R R R i iL

R i i

−

−−

−−

−

−−−

= ⋅ =

− − − = − + + + +

= ⋅ = + + + − − + =

+ − −

(19)

Применим явный метод численного интегрирования Эйлера для ре-

шения системы ОДУ. В соответствии с этим методом

( ) ( )

( ) ( )

2 22

7 77

1,

1.

u n u nu

t hi n i ni

t h

− −∆ =∆

− −∆ =∆

где ∆t = h – интервал дискретизации по осям времени или шаг числен-

ного интегрирования; u2(n), i

7(n) – значения переменных состояния на

25

n-м шаге интегрирования; u2(n – 1), i

7(n – 1) – значения переменных

состояния на (n – 1)-м шаге численного интегрирования.

Используя выражение (19), получим систему из двух рекуррентных

алгебраических выражений

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

2 2

12

12 11

87 8

1

1 1 3

2 ,15 1 4 5

1 4 4L

u n u n

E u n R

h C u nR R R i

i n R i R

−

−−−

= − +

− − − −

+ ⋅ − + − + + + − +

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

17 7

112 7 8

7 8

7 8

1 7

1 1 4 4 5 1 4 54

,1

6 1

C L

L

L

i n i n h L

u n i n R i R R R RR

i n i

R i n i

−

−−

= − + ⋅ ⋅

− + − + + − + ⋅ − − −

+ − − −

где в качестве начальных условий можно принять нулевые начальные

условия uC2

(0) = 0, iL7

(0) = 0.

4.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Определение графа схемы.

2. Что такое "собственное дерево графа"?

3. Что называется главным сечением графа?

4. Как получается матрица главных сечений?

5. Как получается матрица главных контуров?

6. Что такое топологическое уравнение цепи?

7. Метод переменных состояния, его достоинства.

8. Методы решения системы ОДУ?

26

Библиографический список

Основной

1. Алексеев О. В., Головков А. А. и др. Автоматизация проектирова-

нияч р/э средств. М.: Высшая школа. 2000. 479 с.

2. Норенков И. П. Основы автоматизированного проектирования/

МГТУ им. Н. Э. Баумана. М.: 2000. 360 с.

3. Астратов О. С., В. Я. Сорин. Автоматизация схемотехнического

проектирования: Учеб. пособие/ЛИАП. Л., 1987. 75 с.

4. Астратов О. С. Цифровое моделирование радиосигналов/

ЛИАП. Л., 1983.72 с.

5. Астратов О. С., Сорин В. Я. Автоматизация проектирования ра-

диосхем и систем. Анализ чувствительноссти, оптимизация/ЛИАП. Л.,

1992. 28 с.

6. Разевиг В. Д. Система схемотехнического моделирования MICRO-

CAP6/М.: Горячая линия, 2001. 344 с.

7. Разевиг В. Д. Система сквозного проектирования электронных ус-

тройств Design Lab 8.0. М.: Солон, 1999. 735 с.

Дополнительный

8. Норенков И. П. Введение в автоматизированное проектирование

технических устройств и систем. М.: Высшая школа, 1986.

9. Семанина Г. Л., Салтыков А. И. Программирование на языке Пас-

каль. М.: Наука, 1988, 125 с.

10. Черноруцкий И. Г. Оптимальный параметрический синтез. Л.:

Энергоатомиздат, 1987. 127 с.

Методические указания

1. О. С. Астратов, Н. А. Обухова, В. Н. Федоренко. Основы компью-

терного проектирования и моделирования радиотехнических устройств

и систем: Метод. указ. к выполнению лабораторных работ/ГУАП. СПб.,

2000. 64 с.

2. О. С. Астратов, Н. А. Обухова. Основы компьютерного проекти-

рования и моделирования радиотехнических устройств и систем: Ме-

тод. указ. к выполнению лабораторных работ/ГУАП. СПб., 2000. 64 с.

3. О. С. Астратов, В. Я. Сорин. САПР радиоэлектронных устройств:

Программа, метод. указ. и контрольные задания/ГААП. СПб., 1997, 16 с.

Documents

Основы компьютерного проектирования и моделирования радиотехнических устройств и систем: Программа,