제 6 장 비교정태분석과 도함수의 개념

제제 66 장장

비교정태분석비교정태분석과 도함수의 과 도함수의

개념개념

제제 66 장장

비교정태분석비교정태분석과 도함수의 과 도함수의

개념개념

비교정태분석과 도함수의 개념비교정태분석과 도함수의 개념 비교정태분석과 도함수의 개념비교정태분석과 도함수의 개념

정태모형 , 비교정태모형 , 동태모형 정태모형 , 비교정태모형 , 동태모형

정태모형 (static model) :

시간의 개념이 명시적으로 포함되지 않는 모형 - 모든 변수는 시간의 함수가 아님 .

- 지금까지 살펴 본 균형모형 등은 정태모형임 .

비교정태모형 (comparative-static model)

시간이 명시적으로 포함되지 않는 체 , 단지 모형의 두 균형상태를 비교 분석하는 모형 동태모형 (dynamic model) :

시간이 명시적으로 포함되는 모형

정태모형 (static model) :

시간의 개념이 명시적으로 포함되지 않는 모형 - 모든 변수는 시간의 함수가 아님 .

- 지금까지 살펴 본 균형모형 등은 정태모형임 .

비교정태모형 (comparative-static model)

시간이 명시적으로 포함되지 않는 체 , 단지 모형의 두 균형상태를 비교 분석하는 모형 동태모형 (dynamic model) :

시간이 명시적으로 포함되는 모형


비교정태분석의 본질 비교정태분석의 본질

비교정태분석 (comparative-static analysis) 은 변수들의 조정과정을 거치지 않고 , 단지 변화 전 초기균형상태와 변화 후 최종균형상태인 서로 다른 균형상태만을 비교 - 이러한 균형상태를 비교하기 위해서는 초기균형상태는 주어진 것으로 가정 ( 불안정균형의 가능성은 배제 )

Main question of comparative-static :

“How would the new equilibrium compare with the old.”

비교정태분석 (comparative-static analysis) 은 변수들의 조정과정을 거치지 않고 , 단지 변화 전 초기균형상태와 변화 후 최종균형상태인 서로 다른 균형상태만을 비교 - 이러한 균형상태를 비교하기 위해서는 초기균형상태는 주어진 것으로 가정 ( 불안정균형의 가능성은 배제 )

Main question of comparative-static :

“How would the new equilibrium compare with the old.”



비교정태분석 (comparative-static analysis) 은 정성적 분석 (qualitative analysis) 일 수도 있고 , 정량적 분석 (quantitative analysis) 일 수도 있음 .

- 정성적 분석 : 변화의 방향 (direction of change)

- 정량적 분석 : 변화의 크기 (magnitude of change)

비교정태분석 (comparative-static analysis) 은 정성적 분석 (qualitative analysis) 일 수도 있고 , 정량적 분석 (quantitative analysis) 일 수도 있음 .

- 정성적 분석 : 변화의 방향 (direction of change)

- 정량적 분석 : 변화의 크기 (magnitude of change)



비교정태분석은 본질적으로 변화율 (rate of change) 을 찾는 문제임 .

- 즉 , 어떤 특정 파라미터나 외생변수의 변화에 대한 내생변수의 균형값의 변화율을 찾는 문제 - 이러한 이유로 변화율의 개념과 관련이 있는 도함수 (derivative), 미분 (differentiable or derivation) 의 개념 활용 - 이 개념은 최적화 (optimization) 의 문제에서도 중요한 개념으로 활용됨 .

비교정태분석은 본질적으로 변화율 (rate of change) 을 찾는 문제임 .

- 즉 , 어떤 특정 파라미터나 외생변수의 변화에 대한 내생변수의 균형값의 변화율을 찾는 문제 - 이러한 이유로 변화율의 개념과 관련이 있는 도함수 (derivative), 미분 (differentiable or derivation) 의 개념 활용 - 이 개념은 최적화 (optimization) 의 문제에서도 중요한 개념으로 활용됨 .


변화율과 도함수 (rate of change and derivative) 변화율과 도함수 (rate of change and derivative)

임의의 변수 x 의 변화에 대응한 변수 y 의 변화율을 고려 y=f(x) : 원시함수 (primitive function)

- 이 함수를 비교정태상황에 적용하면 , 여기서 변수 y 는 내생변수의 균형값 , 그리고 x 는 파라미터를 의미 차분몫 (= 微分商 : difference quotient) :

변수 x 가 x0 에서 x1 으로 바뀔 때 , 이 변화는 차분 (difference)

x1-x0(y 값의 차이 ) 로 측정되고 다음과 같이 표기됨 .

⊿x=x1-x0 ( : ⊿ 차분 , difference, 그리스 대문자 Delta)

임의의 변수 x 의 변화에 대응한 변수 y 의 변화율을 고려 y=f(x) : 원시함수 (primitive function)

- 이 함수를 비교정태상황에 적용하면 , 여기서 변수 y 는 내생변수의 균형값 , 그리고 x 는 파라미터를 의미 차분몫 (= 微分商 : difference quotient) :

변수 x 가 x0 에서 x1 으로 바뀔 때 , 이 변화는 차분 (difference)

x1-x0(y 값의 차이 ) 로 측정되고 다음과 같이 표기됨 .

⊿x=x1-x0 ( : ⊿ 차분 , difference, 그리스 대문자 Delta)



- 변수 x 가 초기값 x0 에서 새로운 값 (x0+⊿x) 로 변할 때 ,

함수 y=f(x) 의 값은 f(x0) 에서 f(x0+⊿x) 로 변함 .

f(x0) f(x0+⊿x)

- 이때 x 의 단위변화에 대한 y 의 변화를 차분몫 (difference quotient) 이라 함 .

- 위의 차분몫은 y 의 평균변화율을 나타냄 .

- y/⊿ ⊿x 는 x0 와 ⊿ x 의 함수임 .

- 변수 x 가 초기값 x0 에서 새로운 값 (x0+⊿x) 로 변할 때 ,

함수 y=f(x) 의 값은 f(x0) 에서 f(x0+⊿x) 로 변함 .

f(x0) f(x0+⊿x)

- 이때 x 의 단위변화에 대한 y 의 변화를 차분몫 (difference quotient) 이라 함 .

- 위의 차분몫은 y 의 평균변화율을 나타냄 .

- y/⊿ ⊿x 는 x0 와 ⊿ x 의 함수임 .

⊿y

⊿x=

f(x0+ x)-f(x⊿ 0)

⊿x



예제 : 함수 y=f(x)=3x2-4 가 주어졌을 때 , 다음과 같이 다시 쓸 수 있음 .

f(x0)=3(x0)2-4

f(x0+⊿x)=3(x0+⊿x)2-4=3x02+6x0⊿x+3(⊿x)2-4

- 따라서 이때 차분몫은 다음과 같음 .

여기서 x0=3, ⊿x=4 라면 y 의 평균변화율은 6(3)+3(4)=30

즉 , x 가 3 에서 7 로 변할 때 , y 의 평균변화율은 30 임을 의미

예제 : 함수 y=f(x)=3x2-4 가 주어졌을 때 , 다음과 같이 다시 쓸 수 있음 .

f(x0)=3(x0)2-4

f(x0+⊿x)=3(x0+⊿x)2-4=3x02+6x0⊿x+3(⊿x)2-4

- 따라서 이때 차분몫은 다음과 같음 .

여기서 x0=3, ⊿x=4 라면 y 의 평균변화율은 6(3)+3(4)=30

즉 , x 가 3 에서 7 로 변할 때 , y 의 평균변화율은 30 임을 의미

⊿y

⊿x=

{3(x0+ x)⊿ 2-4}-(3x02-4)

⊿x=

6x0 x+⊿ 3(⊿x)2

⊿x



도함수 (derivative) :

앞의 식에서 ⊿ x0 에 접근 ( 매우 작은 값 = 無限小 ) 하면 ,

- 이 경우에는 ⊿ x 를 포함하는 모든 항을 차분몫에서 제거함으로써 ⊿ y/⊿x 의 근사값을 구할 수 있음 .

- 이를 기호로 나타내면 , ⊿x0 일 때 ⊿ y/⊿x6x0 또는

- 여기서 기호 를 “⊿ x 가 0 에 접근할 때 , 의 극한”

이라 함 .


앞의 식에서 ⊿ x0 에 접근 ( 매우 작은 값 = 無限小 ) 하면 ,

- 이 경우에는 ⊿ x 를 포함하는 모든 항을 차분몫에서 제거함으로써 ⊿ y/⊿x 의 근사값을 구할 수 있음 .

- 이를 기호로 나타내면 , ⊿x0 일 때 ⊿ y/⊿x6x0 또는

- 여기서 기호 를 “⊿ x 가 0 에 접근할 때 , 의 극한”

이라 함 .

⊿y

⊿x= (6x0+3 x) = 6x⊿ 0lim

⊿x0

lim

⊿x0

lim

⊿x0




만약 ⊿ x0 일 때 , 차분몫 ⊿ y/⊿x 의 극한 (limit) 이 존재 한다면 , 그 극한을 함수 y=f(x) 의 도함수라고 함 .

- 여기서 도함수란 순간적 변화율 (instantaneous rate

of change) 을 의미함 .

- 이를 도함수로 표시하면 ,

f(x)=3x2-4,


만약 ⊿ x0 일 때 , 차분몫 ⊿ y/⊿x 의 극한 (limit) 이 존재 한다면 , 그 극한을 함수 y=f(x) 의 도함수라고 함 .

- 여기서 도함수란 순간적 변화율 (instantaneous rate

of change) 을 의미함 .

- 이를 도함수로 표시하면 ,

f(x)=3x2-4,

⊿y

⊿x f(x)

lim

⊿x0

dy

dxdy

dx=f(x)=6x



도함수에 대해서 유의할 점 :

⑴ 도함수는 하나의 함수로 , 유도된 함수를 의미함 .

(derivative means a derived function)

⑵ 도함수는 차분몫의 극한으로 y 의 변화율을 측정함 .

따라서 도함수로 측정된 변화율은 순간적 변화율 (instantaneous rate of change) 이라는 성질을 가짐 .

⑶ 도함수의 표기법은 통상 두 가지 방법으로 표기함 .

- Lagrange : f(x) 또는 f ( 원시함수에 대한 의미 강조 )

- Leibniz : dy/dx ( 변화율에 대한 강조 )

도함수에 대해서 유의할 점 :

⑴ 도함수는 하나의 함수로 , 유도된 함수를 의미함 .

(derivative means a derived function)

⑵ 도함수는 차분몫의 극한으로 y 의 변화율을 측정함 .

따라서 도함수로 측정된 변화율은 순간적 변화율 (instantaneous rate of change) 이라는 성질을 가짐 .

⑶ 도함수의 표기법은 통상 두 가지 방법으로 표기함 .

- Lagrange : f(x) 또는 f ( 원시함수에 대한 의미 강조 )

- Leibniz : dy/dx ( 변화율에 대한 강조 )


도함수와 곡선의 기울기 (derivative and the slope of a curve) 도함수와 곡선의 기울기 (derivative and the slope of a curve)

총비용함수 (total cost function)

C=f(Q) ( 여기서 C 는 총비용 , Q 는 산출량 )

- 한계비용 (marginal cost : MC) :

산출량을 1 단위 증가함으로써 발생하는 총비용의 변화 MC=⊿C/⊿Q ( 여기서 ⊿ Q 는 매우 작은 변화 )

- 여기서 한계비용 (MC) 은 총비용곡선상의 ( 한 점에서 )

접선기울기를 나타냄 .

총비용함수 (total cost function)

C=f(Q) ( 여기서 C 는 총비용 , Q 는 산출량 )

- 한계비용 (marginal cost : MC) :

산출량을 1 단위 증가함으로써 발생하는 총비용의 변화 MC=⊿C/⊿Q ( 여기서 ⊿ Q 는 매우 작은 변화 )

- 여기서 한계비용 (MC) 은 총비용곡선상의 ( 한 점에서 )

접선기울기를 나타냄 .


도함수와 곡선의 기울기 (derivative and the slope of a curve) 도함수와 곡선의 기울기 (derivative and the slope of a curve)

총비용곡선과 기울기 총비용곡선과 기울기


극한의 개념 (the concept of limit) 극한의 개념 (the concept of limit)

도함수 dy/dx 는 ⊿ x0 일 때 차분몫 ⊿ y/⊿x 의 극한으로 정의됨 .

왼쪽극한과 오른쪽극한 (left-side limit and right-side limit)

- 극한 (limit) 의 개념 :

“ 한 변수 (v) 가 어떤 특정한 값 ( 예 : 0) 에 접근함에 따라 다른 변수 (q) 가 어떤 값을 갖는가 ?” 하는 문제와 관련

도함수 dy/dx 는 ⊿ x0 일 때 차분몫 ⊿ y/⊿x 의 극한으로 정의됨 .


- 극한 (limit) 의 개념 :

“ 한 변수 (v) 가 어떤 특정한 값 ( 예 : 0) 에 접근함에 따라 다른 변수 (q) 가 어떤 값을 갖는가 ?” 하는 문제와 관련

dy

dx= lim

⊿x0

⊿y

⊿x= lim

v0

q ( 여기서 q y/⊿ ⊿x, v⊿x)




- 앞의 식은 v0 일 때 q 의 극한을 구하는 것이지만 일반적인 극한으로 확장하면 vN 으로 표현됨 .

( 여기서 N 은 유한실수 )

- 는 에서 N=0 인 특수한 경우에 불과함 .

여기서 q 의 존재 여부는 v+∞(plus infinity) 또는 v-∞(minus infinity) 일 때 , q 가 유한값에 접근할 것인가의 여부에 전적으로 의존함 ( 유한값을 가질 때만 극한이 존재 ).


- 앞의 식은 v0 일 때 q 의 극한을 구하는 것이지만 일반적인 극한으로 확장하면 vN 으로 표현됨 .




qlim

v0

lim

vN

q




- q 의 왼쪽극한은 ( 음의 부호는 N 보다 작은 값에서 접근함을 의미 ) 로 표시함 .

- q 의 오른쪽극한은 ( 양의 부호는 N 보다 큰 값에서 접근함을 의미 ) 로 표시함 .


- q 의 왼쪽극한은 ( 음의 부호는 N 보다 작은 값에서 접근함을 의미 ) 로 표시함 .

- q 의 오른쪽극한은 ( 양의 부호는 N 보다 큰 값에서 접근함을 의미 ) 로 표시함 .

lim

vN-

lim

vN+


그래프에 의한 극한의 설명 그래프에 의한 극한의 설명

N 지점에서 연속인 경우 : 극한이 존재함 .

- (a) 매끄러운 곡선을 보여줌 (smooth and continuous).

왼쪽극한 = 오른쪽극한 ; 따라서 임 .


- (a) 매끄러운 곡선을 보여줌 (smooth and continuous).

왼쪽극한 = 오른쪽극한 ; 따라서 임 .lim

vN

q=L




- (b) 매끄럽지 못한 곡선을 보여줌 (non-smooth and

continuous). 왼쪽극한 = 오른쪽극한 ; 임 .


- (b) 매끄럽지 못한 곡선을 보여줌 (non-smooth and

continuous). 왼쪽극한 = 오른쪽극한 ; 임 .lim

vN

q=L



N 지점에서 불연속인 경우 : 극한이 존재하지 않음 .

- (c) 계단함수 (step function and discrete). 왼쪽극한 (L1)

오른쪽극한 (L2); vN 에 따른 q 의 극한이 존재하지 않음 .

N 지점에서 불연속인 경우 : 극한이 존재하지 않음 .

- (c) 계단함수 (step function and discrete). 왼쪽극한 (L1)

오른쪽극한 (L2); vN 에 따른 q 의 극한이 존재하지 않음 .



점근선 (asymptote) : 극한이 존재하지 않음 ( ).

- (d) 쌍곡선 , 점근선에 접근 . 그러나 과 은 존재함 .

점근선 (asymptote) : 극한이 존재하지 않음 ( ).

- (d) 쌍곡선 , 점근선에 접근 . 그러나 과 은 존재함 .

lim

vN

q

lim

v+∞

q=M

lim

v-∞

q=M



극한의 계산 - 앞의 식은 v0 일 때 q 의 극한을 구하는 것이지만 일반적인 극한으로 확장하면 vN 으로 표현됨 .




극한의 계산 - 앞의 식은 v0 일 때 q 의 극한을 구하는 것이지만 일반적인 극한으로 확장하면 vN 으로 표현됨 .




qlim

v0

lim

vN

q



극한의 계산 : 예제 - 함수 q=2+v2 일 때 , q 를 구하라 .

왼쪽극한을 구하기 위해 일련의 음의 값들을 v 에 대입하고 , 오른쪽극한을 구하기 위해 일련의 양의 값들을 v 에 대입하면 , 모두 (2+v2) 이 계속 감소하여 (v2 이 점차 0 에 접근할 것이므로 ) 2 에 접근됨 .

따라서 두 극한이 같으므로 , q 의 극한이 존재함 .

이를 q=2 로 씀 .

극한의 계산 : 예제 - 함수 q=2+v2 일 때 , q 를 구하라 .

왼쪽극한을 구하기 위해 일련의 음의 값들을 v 에 대입하고 , 오른쪽극한을 구하기 위해 일련의 양의 값들을 v 에 대입하면 , 모두 (2+v2) 이 계속 감소하여 (v2 이 점차 0 에 접근할 것이므로 ) 2 에 접근됨 .

따라서 두 극한이 같으므로 , q 의 극한이 존재함 .

이를 q=2 로 씀 .

lim

v0

lim

v0



극한의 계산 - 앞에서 구한 극한은 방정식 q=2+v2 에 v=0 을 대입 시킨 결과가 아님 .

- 즉 , 극한 q 를 계산할 때 , v 를 N 에 접근시키는 것이지 v=N 이 아님 .

극한의 계산 - 앞에서 구한 극한은 방정식 q=2+v2 에 v=0 을 대입 시킨 결과가 아님 .

- 즉 , 극한 q 를 계산할 때 , v 를 N 에 접근시키는 것이지 v=N 이 아님 .

lim

vN



극한의 계산 : 예제 - 함수 q=(1-v2)/(1-v) 일 때 , q 를 구하라 .

이 경우 v1 일 때 분모 (1-v) 가 0 에 접근함 .

따라서 v 가 분모에 나타나지 않는 형태로 변형함 .

이제 위 식은 분모에 v 를 포함하고 있지 않음 .

어느 쪽에서든 v1 로 접근하면 (1+v)2 가 되므로 q=2 가 됨 .

극한의 계산 : 예제 - 함수 q=(1-v2)/(1-v) 일 때 , q 를 구하라 .

이 경우 v1 일 때 분모 (1-v) 가 0 에 접근함 .

따라서 v 가 분모에 나타나지 않는 형태로 변형함 .

이제 위 식은 분모에 v 를 포함하고 있지 않음 .

어느 쪽에서든 v1 로 접근하면 (1+v)2 가 되므로 q=2 가 됨 .

lim

v1

lim

v1

1-v2

1-vq= = =1+v (v1)

(1+v)(1-v)

1-v



극한의 계산 : 예제 - 함수 q=(2v+5)/(v+1) 일 때 , q 를 구하라 .

이 경우 v 는 분모와 분자에 모두 나타나고 있음 .

만약 , 분모와 분자에서 v∞ 로 놓으면 , 무한히 큰 두 수간의 비율이 되기 때문에 의미가 없음 .

따라서 v 가 분자에 나타나지 않는 형태로 변형함 .

v+∞ 일 때 3/(v+1)0 이 되므로 q=2 가 됨 .

극한의 계산 : 예제 - 함수 q=(2v+5)/(v+1) 일 때 , q 를 구하라 .

이 경우 v 는 분모와 분자에 모두 나타나고 있음 .

만약 , 분모와 분자에서 v∞ 로 놓으면 , 무한히 큰 두 수간의 비율이 되기 때문에 의미가 없음 .

따라서 v 가 분자에 나타나지 않는 형태로 변형함 .

v+∞ 일 때 3/(v+1)0 이 되므로 q=2 가 됨 .

lim

v+∞

lim

v+∞

2v+5

v+1q= =2+

3

v+1



극한개념의 정식화 - 극한개념에 관한 정의는 선분상의 한 점의 근방 (neighborhood) 이라는 개념으로 설명

- 어떤 주어진 수 L 에 대하여 L 보다 작은 어떤 수 (L-a1),

L 보다 큰 어떤 수 (L+a2) 는 항상 존재함 ( 단 , a1 과 a2 는

어떤 임의의 양수 )

(L-a1) L (L+a2)

- (L-a1) 과 (L+a2) 사이에 있는 모든 수들의 집합을 이

두 수 사이의 구간 (interval) 이라 함 .

극한개념의 정식화 - 극한개념에 관한 정의는 선분상의 한 점의 근방 (neighborhood) 이라는 개념으로 설명

- 어떤 주어진 수 L 에 대하여 L 보다 작은 어떤 수 (L-a1),

L 보다 큰 어떤 수 (L+a2) 는 항상 존재함 ( 단 , a1 과 a2 는

어떤 임의의 양수 )

(L-a1) L (L+a2)

- (L-a1) 과 (L+a2) 사이에 있는 모든 수들의 집합을 이

두 수 사이의 구간 (interval) 이라 함 .



극한개념의 정식화

- 여기서 두 수 (L-a1) 과 (L+a2) 가 이 집합에 포함되면

그 집합은 폐구간 (closed interval) 이라 함 ( 약부등호 ).

[L-a1, L+a2]{q L-a1 q L+a2}

- 그리고 그 수를 포함하지 않으면 ( 제외하면 ) 그 집합은 개구간 (open interval) 이라 함 ( 강부등호 ).

(L-a1, L+a2){q L-a1 q L+a2}

- 반개구간 (half-open interval) : (3, 5]{x 3 x 5}

- 반폐구간 (half-closed interval) : [6, ∞){x 6 x ∞}

극한개념의 정식화

- 여기서 두 수 (L-a1) 과 (L+a2) 가 이 집합에 포함되면

그 집합은 폐구간 (closed interval) 이라 함 ( 약부등호 ).

[L-a1, L+a2]{q L-a1 q L+a2}

- 그리고 그 수를 포함하지 않으면 ( 제외하면 ) 그 집합은 개구간 (open interval) 이라 함 ( 강부등호 ).

(L-a1, L+a2){q L-a1 q L+a2}

- 반개구간 (half-open interval) : (3, 5]{x 3 x 5}

- 반폐구간 (half-closed interval) : [6, ∞){x 6 x ∞}



극한개념의 정식화 - 극한개념을 근방 (neighborhood) 의 개념을 이용하면 ,

함수의 극한은 다음과 같이 정의됨 .

v 가 수 N 에 접근함에 따라 (vN), 함수 q=g(v) 의 극한이 수 L 이라는 것은 모든 가능한 L 근방에서 그 근방이 아무리 작더라도 함수의 정의역 내에 이에 대응하는 하나의 N 의 근방 (v=N 점은 제외 ) 이 존재 함으로써 이 N 근방 내의 모든 v 값의 상 (image) 이 그 L 근방 내에 위치하도록 할 수 있는 조건임 .

극한개념의 정식화 - 극한개념을 근방 (neighborhood) 의 개념을 이용하면 ,

함수의 극한은 다음과 같이 정의됨 .

v 가 수 N 에 접근함에 따라 (vN), 함수 q=g(v) 의 극한이 수 L 이라는 것은 모든 가능한 L 근방에서 그 근방이 아무리 작더라도 함수의 정의역 내에 이에 대응하는 하나의 N 의 근방 (v=N 점은 제외 ) 이 존재 함으로써 이 N 근방 내의 모든 v 값의 상 (image) 이 그 L 근방 내에 위치하도록 할 수 있는 조건임 .



극한개념의 정식화 극한개념의 정식화



극한의 정의 : 정리 - 극한이란 한 변수 ( 여기서는 v) 가 어떤 특정값에 가까워질수록 관심 있는 변수 ( 여기서는 q) 가 어떠한 값으로 수렴 (converge) 하는가를 의미함 .

- 극한값이 존재하기 위해서는 왼쪽극한값과 오른쪽극한값이 모두 존재하며 , 서로 같아야 함 .

q=L-= q=L+=L

극한의 정의 : 정리 - 극한이란 한 변수 ( 여기서는 v) 가 어떤 특정값에 가까워질수록 관심 있는 변수 ( 여기서는 q) 가 어떠한 값으로 수렴 (converge) 하는가를 의미함 .

- 극한값이 존재하기 위해서는 왼쪽극한값과 오른쪽극한값이 모두 존재하며 , 서로 같아야 함 .

q=L-= q=L+=Llim

v0-

lim

v0+


극한정리 (limit theorems) 극한정리 (limit theorems)

단일함수에 관한 극한정리 : q=g(v)

- q=av+b 이면 , q=aN+b 임 . ( 여기서 a 와 b 는 상수 )

q=5v+7 일 때 , q=5(2)+7=17, q=5(0)+7=7

- q=g(v)=b 이면 , q=b 임 . ( 여기서 b 는 상수 )

즉 , 상수함수 ( 상수값 ) 의 극한은 그 상수값과 같음 .

- q=v 이면 , q=N, q=vk 이면 q=Nk 임 .

q=v3 일 때 , q=(2)3=8

- vN 일 때 q 의 극한을 구하기 위해 v=N 이라 했지만 ,

이는 특별한 경우이고 , vN 이 v=N 을 의미하지 않음 .

단일함수에 관한 극한정리 : q=g(v)

- q=av+b 이면 , q=aN+b 임 . ( 여기서 a 와 b 는 상수 )

q=5v+7 일 때 , q=5(2)+7=17, q=5(0)+7=7

- q=g(v)=b 이면 , q=b 임 . ( 여기서 b 는 상수 )

즉 , 상수함수 ( 상수값 ) 의 극한은 그 상수값과 같음 .

- q=v 이면 , q=N, q=vk 이면 q=Nk 임 .

q=v3 일 때 , q=(2)3=8

- vN 일 때 q 의 극한을 구하기 위해 v=N 이라 했지만 ,

이는 특별한 경우이고 , vN 이 v=N 을 의미하지 않음 .

lim

vNlim

v2

lim

v0lim

vN

lim

vN

lim

vNlim

v2



두 함수가 관련된 극한정리 : q1=g(v) 및 q2=k(v)

두 함수 모두 동일한 독립변수 v 를 갖고 , 모두 극한이

q1=L1 q2=L2 ( 단 , L1 과 L2 는 유한한 수 )

- 합과 차의 극한정리

(q1q2)=L1L2

2q1= (q1+q1)=L1+L1=2L1

kq1=kL1

- 곱의 극한정리

(q1q2)=L1L2


두 함수 모두 동일한 독립변수 v 를 갖고 , 모두 극한이

q1=L1 q2=L2 ( 단 , L1 과 L2 는 유한한 수 )

- 합과 차의 극한정리

(q1q2)=L1L2

2q1= (q1+q1)=L1+L1=2L1

kq1=kL1

- 곱의 극한정리

(q1q2)=L1L2

lim

vN

lim

vN

lim

vNlim

vN

lim

vN

lim

vN

lim

vN




두 함수 모두 동일한 독립변수 v 를 갖고 , 모두 극한

q1=L1 q2=L2 ( 단 , L1 과 L2 는 유한한 수 )

- 몫의 극한정리

(q1/q2)=L1/L2 ( 단 , L20)

예 : (1+v)/(2+v)

여기서 (1+v)=1 이고 , (2+v)=2 임 .

따라서 극한은 1/2 임 .


두 함수 모두 동일한 독립변수 v 를 갖고 , 모두 극한

q1=L1 q2=L2 ( 단 , L1 과 L2 는 유한한 수 )

- 몫의 극한정리

(q1/q2)=L1/L2 ( 단 , L20)

예 : (1+v)/(2+v)

여기서 (1+v)=1 이고 , (2+v)=2 임 .

따라서 극한은 1/2 임 .

lim

vN

lim

vN

lim

vNlim

v0 lim

v0

lim

vN



다항함수의 극한정리 임의의 다항함수가 다음과 같음 .

q=g(v)=a0+a1v+a2v2+ +anvn

- 이때 각 항의 극한들은 각각

a0=a0 a1v=a1N a2v2=a2N2 ( 등등 )

- 따라서 다항함수의 극한은 다음과 같음 .

q=a0+a1N+a2N2+ +anNn

다항함수의 극한정리 임의의 다항함수가 다음과 같음 .

q=g(v)=a0+a1v+a2v2+ +anvn

- 이때 각 항의 극한들은 각각

a0=a0 a1v=a1N a2v2=a2N2 ( 등등 )

- 따라서 다항함수의 극한은 다음과 같음 .

q=a0+a1N+a2N2+ +anNnlim

vN

lim

vN

lim

vN

lim

vN


함수의 연속성과 미분가능성 함수의 연속성과 미분가능성

함수의 연속성 (continuity)

- 함수 q=g(v) 는 정의역에서 v 가 N 에 접근함에 따라 극한을 가지고 , 동시에 이 극한이 g(N) 과 같을 때 ( 즉 , v=N 에서의 함수의 값과 같을 때 ), 그 함수는 연속 (continuous) 이라 함 .

- 달리 표현하면 , q(=g(v))=g(N) 이라면 ,

함수 g(v) 는 v=N 에서 연속임 .

함수의 연속성 (continuity)

- 함수 q=g(v) 는 정의역에서 v 가 N 에 접근함에 따라 극한을 가지고 , 동시에 이 극한이 g(N) 과 같을 때 ( 즉 , v=N 에서의 함수의 값과 같을 때 ), 그 함수는 연속 (continuous) 이라 함 .

- 달리 표현하면 , q(=g(v))=g(N) 이라면 ,

함수 g(v) 는 v=N 에서 연속임 .

lim

vN



함수의 연속성 (continuity) 의 조건 ⑴ 점 N 은 함수의 정의역 (domain) 내에 있어야 함 .

즉 , g(N) 이 정의되어야 함 .

⑵ 함수는 vN 일 때 , 극한을 가져야 함 .

즉 , g(v) 가 존재함 .

⑶ 이때 그 극한은 g(N) 과 같아야 함 .

즉 , g(v)=g(N) 이어야 함 .

- 함수의 불연속 (discontinuous) :

g(v) 가 v=N 에서 연속이 아닌 경우

함수의 연속성 (continuity) 의 조건 ⑴ 점 N 은 함수의 정의역 (domain) 내에 있어야 함 .

즉 , g(N) 이 정의되어야 함 .

⑵ 함수는 vN 일 때 , 극한을 가져야 함 .

즉 , g(v) 가 존재함 .

⑶ 이때 그 극한은 g(N) 과 같아야 함 .

즉 , g(v)=g(N) 이어야 함 .

- 함수의 불연속 (discontinuous) :

g(v) 가 v=N 에서 연속이 아닌 경우

lim

vN

lim

vN



함수의 연속성과 미분가능성의 조건 - 함수 y=f(x) 의 연속성조건은

⑴ x=x0 가 함수의 정의역 내에 있어야 하고 ,

⑵ xx0 일 때 y 는 반드시 극한을 가져야 하고 ,

⑶ 이때 그 극한이 반드시 f(x0) 와 같아야 함 .

f(x)=f(x0) [ 연속성조건 ]

- 위의 개념을 차분몫의 개념으로 바꾸면 ,

f(x0)= ⊿y/ x⊿

[ 미분가능성조건 ]

함수의 연속성과 미분가능성의 조건 - 함수 y=f(x) 의 연속성조건은

⑴ x=x0 가 함수의 정의역 내에 있어야 하고 ,

⑵ xx0 일 때 y 는 반드시 극한을 가져야 하고 ,

⑶ 이때 그 극한이 반드시 f(x0) 와 같아야 함 .

f(x)=f(x0) [ 연속성조건 ]

- 위의 개념을 차분몫의 개념으로 바꾸면 ,

f(x0)= ⊿y/ x⊿

[ 미분가능성조건 ]

lim

xx0

lim

⊿x0lim

⊿x0

f(x0+ x)-f(x⊿ 0)⊿x



함수의 연속성과 미분가능성 연속성과 미분가능성은 서로 밀접하게 관련됨 .

- 함수의 연속성은 함수가 미분가능하기 위한 필요조건임 ( 충분조건은 아님 ).

- 미분가능성은 연속성을 의미하지만 , 그 역은 성립 하지 않음 .

함수의 연속성과 미분가능성 연속성과 미분가능성은 서로 밀접하게 관련됨 .

- 함수의 연속성은 함수가 미분가능하기 위한 필요조건임 ( 충분조건은 아님 ).

- 미분가능성은 연속성을 의미하지만 , 그 역은 성립 하지 않음 .






함수의 연속성과 미분가능성 미분가능성은 연속성보다 더 제한적인 조건임 .

- 어떤 점에서의 연속성은 단지 틈 (= 불연속성 ; gap) 이 존재하는 것을 배제하는 반면 ( 뾰족점 ( 첨점 ) 도 가능 ),

- 미분가능성은 뾰족점을 배제함 .

그러므로 미분가능성은 함수 ( 곡선 ) 의 연속성뿐만 아니라 매끄러운 (smooth) 곡선을 필요로 함 .

- 그러나 경제학에서 사용되는 대부분의 구체적인 함수는 모든 점에서 미분가능하다는 성질을 가짐 .

함수의 연속성과 미분가능성 미분가능성은 연속성보다 더 제한적인 조건임 .

- 어떤 점에서의 연속성은 단지 틈 (= 불연속성 ; gap) 이 존재하는 것을 배제하는 반면 ( 뾰족점 ( 첨점 ) 도 가능 ),

- 미분가능성은 뾰족점을 배제함 .

그러므로 미분가능성은 함수 ( 곡선 ) 의 연속성뿐만 아니라 매끄러운 (smooth) 곡선을 필요로 함 .

- 그러나 경제학에서 사용되는 대부분의 구체적인 함수는 모든 점에서 미분가능하다는 성질을 가짐 .

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제 6 장 비교정태분석과 도함수의 개념