6-1

Κεφάλαιο 6 – Μοντέλα Φωτισμού

Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό πραγματεύεται ένα πολύ σημαντικό θέμα για τα συστήματα γραφικών. Ο φωτισμός είναι η σημαντικότερη ίσως παράμετρος, η οποία αποδίδει αίσθηση ρεαλισμού και αληθοφάνειας στην εμφάνιση των εικονικών αντικειμένων. Το ίδιο ακριβώς αντικείμενο με την ίδια ακριβώς πολυπλοκότητα αναπαράστασης (π.χ. αριθμός πολυγώνων) έχει τελείως διαφορετική εμφάνιση ανάλογα με τη μέθοδο και τον αλγόριθμο που θα χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί η αλληλεπίδρασή του με το φως. Το κεφάλαιο αυτό παρουσιάζει αρχικά τα μοντέλα των κύριων πηγών φωτός που χρησιμοποιούνται στα γραφικά και συνεχίζει με την ανάλυση του μοντέλου Phong που χρησιμοποιείται, ευρέως, στα γραφικά πραγματικού χρόνου. Τέλος περιγράφονται και οι αλγόριθμοι σταθερής φωτοσκίασης, φωτοσκίασης Gouraud και φωτοσκίασης Phong μαζί με αντίστοιχα παραδείγματα.

Προαπαιτούμενη γνώση Γνώσεις Γραμμικής Άλγεβρας, Διανυσματικής Ανάλυσης και Γεωμετρίας-Τριγωνομετρίας ως γνώσεις υποβάθρου. Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και προβολές από το Κεφ. 3. Αναπαράσταση 3Δ αντικειμένων από το Κεφ. 4. Χρώματος και υφής από το Κεφ. 5.

6.1. Εισαγωγή Ο ρεαλισμός μιας φωτιζόμενης σκηνής σε συστήματα γραφικών εξαρτάται εν γένει από δύο βασικές παραμέτρους: α) Την ακρίβεια των ιδιοτήτων υλικού των αντικειμένων της σκηνής, β) Την ακρίβεια του συστήματος φωτισμού που χρησιμοποιείται για την απόδοση της σκηνής.

Ο φωτισμός αναφορικά με τα συστήματα γραφικών είναι μία θεμελιώδης διεργασία και έχει ως στόχο τον υπολογισμό με ακρίβεια της παρατηρούμενης φωτεινότητας ενός σημείου της σκηνής, το οποίο φωτίζεται από ένα σύνολο φωτεινών πηγών. Ένα μοντέλο φωτισμού αποτελείται από ένα σύνολο κανόνων που έχουν ως στόχο την πρακτική υλοποίηση των τμημάτων της θεωρίας της οπτικής. Τα τμήματα αυτά έχουν τη μεγαλύτερη σημασία και δεν εμπλέκουν υπολογιστικά χρονοβόρες διεργασίες.

Είναι σημαντικό να γίνει σαφής διαχωρισμός ανάμεσα σε ένα μοντέλο φωτισμού (illumination model) και έναν αλγόριθμο φωτοσκίασης (shading). Ενώ ένα μοντέλο φωτισμού αποτελείται πρακτικά από απλουστεύσεις των νόμων της οπτικής, ένας αλγόριθμος φωτοσκίασης περιγράφει μία αποδοτική διαδικασία-αλγόριθμο υλοποίησης ενός συγκεκριμένου μοντέλου φωτισμού.

Πρακτικά, η διαδικασία της φωτοσκίασης έχει ως στόχο να μεταβάλλει τη φωτεινότητα ενός παρατηρούμενου σημείου υπό την επίδραση συγκεκριμένων πηγών φωτός. Οπότε, όσον αφορά την αλληλουχία των διεργασιών σε ένα σύστημα γραφικών (σωλήνωση γραφικών), η διαδικασία της φωτοσκίασης έπεται των διεργασιών απόδοσης υφής και χρώματος γενικότερα. 6.2. Ιδιότητες Μοντέλων Φωτισμού Οι βασικότερες και πιο απαραίτητες φυσικές ιδιότητες της αλληλεπίδρασης φωτός-αντικειμένων για ένα σύστημα γραφικών είναι η διάχυση, η κατοπτρική ανάκλαση, η διάθλαση και η απορρόφηση φωτεινής ενέργειας.

Παρατηρώντας την Εικόνα 6-1, έστω πηγή φωτός L που φωτίζει ένα παρατηρούμενο σημείο S υπό γωνία θL. Έστω τώρα το σημείο V από το οποίο παρατηρούμε το S υπό γωνία θV.

Η κατοπτρική ανάκλαση, λαμβάνει χώρα και είναι παρατηρήσιμη μόνο για την κατεύθυνση παρατήρησης για την οποία η γωνία πρόσπτωσης του φωτός στην επιφάνεια στο σημείο S, είναι ίση με τη γωνία παρατήρησης θL=θV. Με άλλα λόγια, όταν η γωνία παρατήρησης συμπίπτει με τη γωνία ανάκλασης, η κατοπτρική ανάκλαση προσομοιώνει απόλυτα λείες επιφάνειες με τέλεια ανακλαστικότητα.

Κατά τη διάχυτη ανάκλαση, το φως μεταδίδεται ομοιόμορφα προς όλες της κατευθύνσεις ανάκλασης. Η διάχυτη ανάκλαση προσομοιώνει τραχείες επιφάνειες με μηδαμινή κατοπτρική ανακλαστικότητα.

6-2

Κατά την αλληλεπίδραση του φωτός με ένα αντικείμενο, ένα τμήμα της φωτεινής ενέργειας μπορεί να απορροφηθεί από το αντικείμενο. Το φως αυτό είτε μετατρέπεται σε θερμότητα αυξάνοντας τη θερμοκρασία του αντικειμένου είτε διαθλάται μέσω του αντικειμένου.

Ο εκπεμπόμενος φωτισμός αφορά τα αυτόφωτα αντικείμενα, τα οποία θα ονομάζουμε εφεξής και πηγές φωτός. Τα αυτόφωτα αντικείμενα έχουν την ιδιότητα να εκπέμπουν τα ίδια φωτεινή ενέργεια χωρίς αυτή να προέρχεται από κάποιας μορφής ανάκλαση.

Εικόνα 6.1. Αντικείμενο φωτίζεται από φωτεινή πηγή L. Ο παρατηρητής V δέχεται φωτισμό από κατοπτρική ανάκλαση ΙS (κόκκινη ακτίνα) και από διάχυτη ανάκλαση ΙD (πράσινη ακτίνα). Τμήμα του προσπίπτοντος φωτισμού ΙR διαθλάται (μπλε ακτίνα) μέσω του αντικειμένου.

Στα συστήματα γραφικών, άμεσος φωτισμός καλείται ο φωτισμός που οφείλεται στην άμεση έκθεση ενός σημείου στην πηγή φωτός. Για να προκύψει άμεσος φωτισμός ενός σημείου από μία πηγή φωτός θα πρέπει να βρίσκονται σε οπτική επαφή.

Έμμεσος φωτισμός ονομάζεται ο φωτισμός που δέχεται ένα σημείο μίας επιφάνειας, χωρίς να βρίσκεται σε άμεση έκθεση στην πηγή φωτός, αλλά σε έμμεση μέσω ενός ανακλαστικού αντικειμένου. Με άλλα λόγια κάθε αντικείμενο που αντανακλά είτε διάχυτα είτε κατοπτρικά το φως, μπορεί να γίνει δυνητικά πηγή έμμεσου φωτισμού για τα υπόλοιπα αντικείμενα της σκηνής.

Τα μοντέλα φωτισμού μπορούν χωριστούν σε δύο κύριες και πολύ σημαντικές κατηγορίες ανάλογα με το εάν υποστηρίζουν ή όχι τον έμμεσο φωτισμό. Τα μοντέλα που μοντελοποιούν μόνο τον άμεσο φωτισμό ονομάζονται μοντέλα τοπικού φωτισμού (local illumination), ενώ αυτά που μοντελοποιούν και τον έμμεσο φωτισμό ονομάζονται μοντέλα ολικού φωτισμού (global illumination).

Τα μοντέλα τοπικού φωτισμού είναι δημοφιλή σε συστήματα γραφικών πραγματικού χρόνου λόγω της περιορισμένης υπολογιστικής πολυπλοκότητάς τους, διότι μπορούν να οδηγήσουν σε σύνθεση σχετικά ρεαλιστικών σκηνών σε πραγματικό χρόνο. Τα μοντέλα ολικού φωτισμού, τα οποία μπορούν να οδηγήσουν σε φωτορεαλιστικές σκηνές, χρησιμοποιούνται ευρέως στον κινηματογράφο και γενικότερα σε εφαρμογές όπου δεν υπάρχει απαίτηση εκτέλεσης σε πραγματικό χρόνο. 6.3. Πηγές Φωτός

Κάθε αντικείμενο που εκπέμπει φως ονομάζεται πηγή φωτός και επηρεάζει τα εφέ φωτισμού των αντικειμένων της σκηνής. Μία πηγή φωτός μπορεί να έχει οποιοδήποτε σχήμα και να εκπέμπει φως οποιουδήποτε χρώματος. Ως πηγή φωτός μπορεί να οριστεί ένα αντικείμενο, το οποίο πέρα από το φως που εκπέμπει μπορεί και να δεχτεί/ανακλάσει φως, όπως και συμβαίνει στα φυσικά περιβάλλοντα. Για λόγους απλοποίησης των υπολογισμών, στα συστήματα γραφικών πραγματικού χρόνου όσον αφορά τις πηγές φωτός γίνονται οι παρακάτω υποθέσεις:

Απλοποιημένη γεωμετρία: Για τη γεωμετρική αναπαράσταση των πηγών φωτός χρησιμοποιούνται πολύ απλά γεωμετρικά αντικείμενα έτσι ώστε να μειώνεται η υπολογιστική πολυπλοκότητα της διαδικασίας υπολογισμού του εκπεμπόμενου φωτός. Μάλιστα, είναι πολύ

6-3

σύνηθες να μη χρησιμοποιούνται καθόλου γεωμετρικά αντικείμενα για την αναπαράσταση των πηγών φωτός.

Μη αντανάκλαση φωτός: Ακόμα και όταν χρησιμοποιείται κάποια γεωμετρία για την

αναπαράσταση της πηγής αυτή, συνήθως, θεωρείται ότι δεν αντανακλά το φως που προσπίπτει πάνω της.

Τριχρωματική εκπομπή φωτός: Οι πηγές εκπέμπουν φως σε τριχρωματική μορφή ακολουθώντας

το χρωματικό μοντέλο RGB. Πρακτικά θεωρείται ότι η πηγή αποτελείται από τρεις ανεξάρτητες πηγές φωτός, μία για κάθε συνιστώσα του μοντέλου RGB, και καθεμία από τις οποίες έχει τα δικά της χαρακτηριστικά.

6.3.1. Σημειακή Πηγή Φωτός Η απλούστερη μορφή πηγής φωτός είναι η σημειακή πηγή φωτός (point light), η οποία βρίσκεται σε συγκεκριμένο σημείο του χώρου και εκπέμπει φως ενός χρώματος RGB προς όλες τις κατευθύνσεις. Η Εικόνα 6-2 απεικονίζει μία σημειακή πηγή φωτός, η οποία μπορεί να οριστεί με τη θέση της στο χώρο και με το χρώμα φωτός που εκπέμπει.

Εικόνα 6.2. Σημειακή πηγή, φωτίζει αντικείμενο σε απόσταση d

Εάν το σχετικό μέγεθος της πηγής φωτός είναι αμελητέο σε σχέση με το μέγεθος των αντικειμένων της σκηνής μπορούμε να υποθέσουμε ότι η πηγή είναι αδιάστατη. Οι νοητές ακτίνες φωτός μίας σημειακής πηγής φωτός είναι αποκλίνουσες ευθείες, όπως απεικονίζεται στην Εικόνα 6.2.

Έστω τώρα ότι η σημειακή πηγή φωτός τοποθετείται στο σημείο L. Η ένταση με την οποία το φως φτάνει στο σημείο P δίνεται από την παρακάτω σχέση:

{Εξ. 6.1}

όπου I0 είναι η ένταση φωτισμού της πηγής, d η απόσταση μεταξύ της πηγής L και του σημείου P και

οι k0, k1, k2 σταθερές τιμές. Είναι προφανές ότι ανάλογα με την επιλογή των σταθερών k μπορούν να μοντελοποιηθούν πηγές φωτός των οποίων η ένταση να αποσβένει με σταθερό, γραμμικό ή τετραγωνικό τρόπο. 6.3.2. Κατευθυντική Πηγή Φωτός

Σε μια κατευθυντική πηγή φωτός (directional light) οι νοητές ακτίνες φωτός κινούνται πάνω σε παράλληλες ευθείες (Εικόνα 6-3). Αν και είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς μια πραγματική πηγή φωτός με τις ιδιότητες της κατευθυντικής πηγής, ωστόσο αυτές χρησιμοποιούνται ευρύτατα στα γραφικά λόγω της απλότητας των υπολογισμών που απαιτούνται, στα πλαίσια χρήσης αλγορίθμων φωτοσκίασης.

Εάν υποτεθεί ότι οι διαστάσεις μίας σκηνής είναι αμελητέες σε σχέση με την απόσταση μίας σημειακής πηγής φωτός από τη σκηνή, τότε η τελευταία εκφυλίζεται σε κατευθυντική πηγή φωτός, διότι τοπικά οι ακτίνες φωτός μπορούν να θεωρηθούν παράλληλες. Μια τέτοια πρακτική περίπτωση πηγής φωτός είναι ο ήλιος, του οποίου οι ακτίνες μπορούν να θεωρηθούν παράλληλες σε μία πεπερασμένη περιοχή πάνω

020 1 2

1I Ik k d k d

=+ +

6-4

στη γη. Η κατευθυντική πηγή φωτός συνήθως είναι μία και μοναδική μέσα σε μια σκηνή και χρησιμοποιείται ως βάση για προσθήκη επιπλέον πηγών φωτισμού.

Εικόνα 6.3. Κατευθυντική Πηγή Φωτός 6.3.3. Πηγή Προβολέα

Μία πολύ ενδιαφέρουσα πηγή φωτισμού, η οποία μπορεί να προσομοιώσει ιδιαίτερα ρεαλιστικά εφέ φωτισμού είναι η πηγή προβολέα (spotlight). Ένας προβολέας φωτίζει μόνο τα αντικείμενα που βρίσκονται εντός του κώνου φωτισμού του (Εικόνα 6-4), ο οποίος ορίζεται από τη θέση τoυ προβολέα (κορυφή), την κατεύθυνση φωτισμού vL και τη γωνία φωτισμού ωL.

Εικόνα 6-4. Παράδειγμα Πηγής Προβολέα

Έστω ένα αντικείμενο που βρίσκεται στη θέση P και έστω το μοναδιαίο διάνυσμα vP με αρχή τον προβολέα L και κατεύθυνση προς το P που σχηματίζει γωνία ωP με την κατεύθυνση φωτισμού vL. Τότε ο έλεγχος, εάν το σημείο αυτό φωτίζεται από τον προβολέα, εκφυλίζεται στον έλεγχο ενός εσωτερικού γινομένου. Έτσι ο φωτισμός του σημείου από την πηγή προκύπτει από την παρακάτω σχέση:

{Εξ. 6.2}

Σε περίπτωση που είναι επιθυμητό η ένταση του φωτισμού να αποσβένει με την απόσταση, τότε κατά

αντιστοιχία με τη σημειακή πηγή φωτός προκύπτει:

{Εξ. 6.3}

όπου d είναι η απόσταση πηγής-σημείου.

( ), arccos0,L P P L L

PI ά v v

Iώ

ε ν ω ωαλλι ς

= ⋅ <=

020 1 2

1I Ik k d k d

=+ +

6-5

Ειδικά για την περίπτωση της πηγής προβολέα, είναι συνήθως επιθυμητό το φως να αποσβένει όσο η γωνία ωP μεγαλώνει. Με αυτόν τον τρόπο η δέσμη φωτός είναι πιο έντονη στο κέντρο της και πιο αχνή στην περιφέρεια του κώνου φωτισμού. Η γωνιακή απόσβεση δίνεται από την παρακάτω σχέση:

{Εξ.6.4}

όπου ο εκθέτης m επηρεάζει το πόσο συγκεντρωμένος είναι ο προβολέας. Όπως φαίνεται και στην

παρακάτω εικόνα (Εικόνα 6.5) μικρές τιμές του εκθέτη δίνουν δέσμη φωτισμού χωρίς σαφή όρια, ενώ για μεγάλες τιμές προκύπτουν δέσμες με απότομη μετάβαση από τις φωτεινές προς στις σκοτεινές περιοχές.

Εικόνα 6.5. Παράδειγμα πηγής προβολέα με διαδοχικά μεγαλύτερο εκθέτη m

6.4. Το μοντέλο τοπικού φωτισμού Phong Τα ρεαλιστικά φυσικά μοντέλα που περιγράφουν τον τρόπο που μία επιφάνεια αντανακλά το φως είναι ιδιαίτερα πολύπλοκα για να χρησιμοποιηθούν σε συστήματα γραφικών πραγματικού χρόνου. Αυτό έχει οδηγήσει στην ευρύτατη χρήση του προσεγγιστικού μοντέλου τοπικού φωτισμού Phong, το οποίο μπορεί να αποδώσει ικανοποιητικές αντανακλάσεις έχοντας πολύ μικρό υπολογιστικό κόστος.

Στο μοντέλο Phong ένα υλικό περιγράφεται καθορίζοντας τρεις διακριτές παραμέτρους ανάκλασης:

Περιβάλλουσα ανάκλαση: Ανακλά μία σταθερή ποσότητα φωτός και χρησιμοποιείται για να εξισορροπήσει την έλλειψη φωτισμού λόγω του γεγονότος ότι ο τοπικός φωτισμός δεν υλοποιεί έμμεσο φωτισμό.

Διάχυτη ανάκλαση: Αντιστοιχεί σε ανάκλαση φωτός ανεξάρτητη της γωνίας θέασης. Το φως ανακλάται με την ίδια ένταση σε όλες τις κατευθύνσεις.

Κατοπτρική ανάκλαση: Αντιστοιχεί σε ανάκλαση φωτός λείων επιφανειών, η οποία μεγιστοποιείται όταν η γωνία ανάκλασης είναι ίδια με τη γωνία θέασης, όπως θα δούμε και στη συνέχεια.

Οι τιμές φωτισμού που υπολογίζονται από τις παραπάνω συνιστώσες αθροίζονται ώστε να πάρουμε

το τελικό αποτέλεσμα.

6.4.1. Περιβάλλων Φωτισμός Ο περιβάλλων φωτισμός έχει σταθερή ένταση La σε όλη τη σκηνή και κατά συνέπεια και σε κάθε σημείο της υπό φωτισμό επιφάνειας. Ένα τμήμα του φωτισμού αυτού απορροφάται και το υπόλοιπο αντανακλάται. Το ποσοστό του φωτισμού που αντανακλάται, δίνεται από το συντελεστή περιβάλλουσας ανάκλασης ka. Οπότε ο φωτισμός δίνεται από τη σχέση:

, {Εξ. 6.5}

{ }2

0 1 2

max ,0m

p LP

v vI I

k k d k d⋅

=+ +

6-6

Στην περίπτωση τριχρωματικού φωτισμού κάθε χρωματική συνιστώσα έχει τη δική της ένταση φωτισμού . Ομοίως το υλικό του αντικειμένου περιγράφεται με τους αντίστοιχους συντελεστές

περιβάλλουσας ανάκλασης .

6.4.2. Διάχυτη Ανάκλαση

Στην περίπτωση της διάχυτης ανάκλασης, το φως που προσπίπτει σε μία επιφάνεια διαχέεται ομοίως σε όλες τις κατευθύνσεις, οπότε έχει και όμοια εμφάνιση ανεξαρτήτως της γωνίας θέασης. Ο διάχυτος φωτισμός χαρακτηρίζει τις τραχείες επιφάνειες. Το ποσό του φωτισμού που ανακλάται εξαρτάται τόσο από τις ιδιότητες του υλικού (ένα τμήμα του απορροφάται), αλλά και από τη σχετική θέση της πηγής φωτισμού ως προς τη φωτιζόμενη επιφάνεια.

Στην πράξη είναι εξαιρετικά απίθανο μία επιφάνεια να αντανακλά το φως εξίσου σε όλες τις κατευθύνσεις. Μία τέτοια θεωρητική επιφάνεια ονομάζεται επιφάνεια Lambert. Το μοντέλο τοπικού φωτισμού Phong υποθέτει επιφάνεια Lambert κατά τον υπολογισμό της διάχυτης ανάκλασης, λόγω του χαμηλού υπολογιστικού κόστους που αυτό συνεπάγεται.

Εικόνα 6.6. Φωτισμός επιφάνειας που διαχέει το φως όταν η κατεύθυνση φωτισμού είναι κάθετη στην επιφάνεια (αριστερά) και υπό γωνία (δεξιά).

Έστω τώρα μία επιφάνεια που διαχέει το φωτισμό που δέχεται, όπως απεικονίζεται στην Εικόνα 6.6.

Η επιφάνεια είναι πιο φωτεινή το μεσημέρι σε σχέση με το βράδυ, διότι σύμφωνα με το νόμο του Lambert, μόνο η κάθετη συνιστώσα του φωτός συνεισφέρει στο φωτισμό της επιφάνειας. Έστω θ η γωνία μεταξύ του κανονικοποιημένου διανύσματος φωτισμού l και του κανονικού διανύσματος n της επιφάνειας. Ο διάχυτος φωτισμός της επιφάνειας υπολογίζεται από την παρακάτω σχέση:

{Εξ. 6.6}

όπου kd ο συντελεστής διάχυτης ανάκλασης και Ld ο προσπίπτων φωτισμός που συμμετέχει στη διάχυτη ανάκλαση. Προσθέτοντας απόσβεση φωτισμού σε σχέση με την απόσταση από την πηγή φωτός προκύπτει η παρακάτω σχέση διάχυτης ανάκλασης:

{Εξ. 6.7}

6.4.3. Κατοπτρική Ανάκλαση

Εάν χρησιμοποιήσουμε μόνο περιβάλλουσα και διάχυτη ανάκλαση για το φωτισμό ενός αντικειμένου τότε τα αντικείμενα θα φαίνονται θαμπά («ματ» επιφάνειες). Αυτό που λείπει από το μοντέλο είναι τα γυαλιστερά τμήματα της επιφάνειας που αντανακλούν κατοπτρικά το φωτισμό, όπως φαίνεται στην Εικόνα 6.7.

( ) ( )cosd d d d dI k L k Lθ= = ⋅l n

( )2

0 1 2

dd d

kI L

k k d k d⋅

=+ +

l n

6-7

Η τέλεια κατοπτρική ανάκλαση αντιστοιχεί σε λείες και στιλπνές επιφάνειες για τις οποίες ισχύει ότι η γωνία πρόσπτωσης του φωτός ισούται με τη γωνία ανάκλασης. Στην πράξη, όμως, δεν είναι όλες οι ανακλαστικές επιφάνειες τέλειοι καθρέπτες και δεν ισχύει αυτός ο κανόνας στην αυστηρή αυτή μορφή του. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι η ένταση του ανακλώμενου φωτισμού είναι μεγαλύτερη για τη γωνία αυτή σε σχέση με τις υπόλοιπες.

Εικόνα 6.7. Απεικόνιση του ίδιου αντικειμένου με διαφορετικές παραμέτρους υλικού. Προς τα δεξιά αυξάνει ο εκθέτης κατοπτρικής ανάκλασης. Προς τα κάτω μειώνεται ο συντελεστής κατοπτρικής ανακλαστικότητας ks.

Ο Phong πρότεινε ένα απλοποιημένο προσεγγιστικό μοντέλο κατοπτρικής ανάκλασης, το

οποίο περιγράφεται από την παρακάτω σχέση:

{Εξ. 6.8}

όπου φ είναι η γωνία μεταξύ του διανύσματος θέασης v και τέλειας ανάκλασης r, ks είναι ο

συντελεστής κατοπτρικής ανάκλασης που εκφράζει το ποσοστό του φωτός που αντανακλάται κατοπτρικά, ενώ το υπόλοιπο απορροφάται. Όπου Ls είναι ο προσπίπτων φωτισμός που συμμετέχει στην κατοπτρική ανάκλαση. Ο εκθέτης α είναι ο συντελεστής γυαλάδας (shininess) και εκφράζει το βαθμό που ο ανακλώμενος φωτισμός είναι συγκεντρωμένος στην κατεύθυνση τέλειας ανάκλασης.

Εικόνα 6.8. Διανύσματα Κατοπτρικής Ανάκλασης

6-8

Ένα πλεονέκτημα του μοντέλου κατοπτρικής ανάκλασης Phong είναι ότι το συνημίτονο της γωνίας φ μπορεί να υπολογιστεί απλά ως το εσωτερικό γινόμενο των κανονικοποιημένων διανυσμάτων θέασης v και τέλειας ανάκλασης r, όπως αυτά απεικονίζονται στην Εικόνα 6.8.

{Εξ. 6.9}

Προσθέτοντας απόσβεση φωτισμού σε σχέση με την απόσταση από την πηγή φωτός προκύπτει η

παρακάτω σχέση διάχυτης ανάκλασης:

{Εξ. 6.10}

6.4.4. Εκπεμπόμενος φωτισμός

Πολλά συστήματα γραφικών επιτρέπουν στις επιφάνειες να ανακλούν φως που δεν προσπίπτει από κάποια εξωτερική πηγή. Τέτοιες επιφάνειες, μπορούν να θεωρηθούν ως αυτόφωτες. Ο εκπεμπόμενος φωτισμός είναι ανεξάρτητος της γεωμετρίας και δεν υπόκειται σε εξασθένηση. Ορίζεται ως μία τιμή έντασης φωτισμού Ie, που προστίθεται στις υπόλοιπες ώστε να υπολογιστεί η τελική τιμή φωτισμού της επιφάνειας. 6.4.5. Μοντέλο Phong

Το μοντέλο φωτισμού Phong προσθέτει όλες τις επιμέρους συνιστώσες του ώστε να υπολογιστεί η τελική τιμή ανάκλασης:

{Εξ. 6.11}

Στην περίπτωση που στο φωτισμό μίας επιφάνειας συμμετέχουν πολλές πηγές φωτισμού, τότε η

συνεισφορά τους αθροίζεται σύμφωνα με την παρακάτω σχέση:

{Εξ. 6.12}

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι πηγές συνεισφέρουν μόνο στο διάχυτο και στον κατοπτρικό φωτισμό. Στη

συνήθη περίπτωση τριχρωματικού φωτός οι παραπάνω εξισώσεις εφαρμόζονται ξεχωριστά και ανεξάρτητα σε κάθε χρωματική συνιστώσα:

{Εξ. 6.13}

{Εξ. 6.14}

{Εξ. 6.15}

Αυτό που πρέπει να παρατηρήσουμε στις παραπάνω εξισώσεις είναι ότι ο συντελεστής κατοπτρικής

ανάκλασης ks είναι ο ίδιος για κάθε χρωματική συνιστώσα. Αυτό συμβαίνει διότι κατά την κατοπτρική

( )as s sI k L= ⋅r v

( )2

0 1 2

as

s s

kI L

k k d k d⋅

=+ +

r v

( ) ( )( )20 1 2

1 ae a a d d s sI L k L k L k L

k k d k d= + ⋅ + ⋅

+ +l n r v

( ) ( )( )20 1 2

1 ae a a d d s sj

I L k L k L k Lk k d k d

= + ⋅ + ⋅+ + ∑ l n r v

( ) ( )( )20 1 2

1 aeR aR aR dR dR s sRI L k L k L k L

k k d k d= + ⋅ + ⋅

+ +l n r v

( ) ( )( )20 1 2

1 aeG aG aG dG dG s sGI L k L k L k L

k k d k d= + ⋅ + ⋅

+ +l n r v

( ) ( )( )20 1 2

1 aeB aB aB dB dB s sBI L k L k L k L

k k d k d= + ⋅ + ⋅

+ +l n r v

6-9

ανάκλαση το χρώμα του φωτισμού που ανακλάται είναι αυτό της πηγής και δεν εξαρτάται από την επιφάνεια πάνω στην οποία λαμβάνει χώρα η ανάκλαση. 6.5. Υπολογισμός Διανυσμάτων Τα μοντέλα φωτισμού και φωτοσκίασης που παρουσιάστηκαν στις παραπάνω ενότητες είναι αρκετά γενικά, ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε επιφάνειες οποιουδήποτε τύπου (καμπύλες, επίπεδες), σε μοντέλα προοπτικής ή ορθογραφικής προβολής καθώς και σε κοντινές ή απομακρυσμένες επιφάνειες. Όπως αποτυπώνεται και στις παραπάνω εξισώσεις, απαραίτητη για τους υπολογισμούς είναι η εκτίμηση κάποιων συγκεκριμένων διανυσμάτων και εσωτερικών γινομένων, όπως το κανονικό διάνυσμα επιφάνειας και η κατεύθυνση φωτισμού. Μπορούν, βέβαια, να γίνουν και συγκεκριμένες απλοποιήσεις ανάλογα με την υλοποίηση, όπως η χρήση σταθερού- κανονικού διανύσματος για επίπεδες επιφάνειες ή σταθερού διανύσματος φωτισμού για απομακρυσμένες πηγές. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε πώς μπορούν να υπολογιστούν όλα τα απαραίτητα διανύσματα. 6.5.1. Κανονικό Διάνυσμα Στην περίπτωση λείων επιφανειών, το κανονικό διάνυσμα ορίζεται σε κάθε σημείο και εκφράζει τον προσανατολισμό της τοπικής επιφάνειας. Ο τρόπος υπολογισμού του εξαρτάται από τον τρόπο με τον οποίο ορίζεται μαθηματικά η επιφάνεια. Έστω η απλή περίπτωση ενός επιπέδου, το οποίο περιγράφεται από την παρακάτω εξίσωση:

{Εξ. 6.16}

Μία άλλη περιγραφή της εξίσωσης του επιπέδου, η οποία εμπλέκει και το κανονικό διάνυσμα είναι η παρακάτω:

{Εξ. 6.17}

όπου n είναι το κανονικό διάνυσμα και p0 είναι σημείο της επιφάνειας. Συνδυάζοντας τις παραπάνω

εξισώσεις παρατηρούμε ότι το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια είναι το παρακάτω:

{Εξ. 6.18}

Στην πράξη είναι σύνηθες τα στοιχειώδη επίπεδα να μη δίνονται σε πεπλεγμένη μορφή, αλλά απλά μέσω τριών συνεπίπεδων σημείων τους, όπως στην περίπτωση τριγωνοποιημένων πλεγμάτων. Εδώ το κανονικό διάνυσμα προκύπτει από το εξωτερικό γινόμενο δύο συνεπίπεδων διανυσμάτων. Έστω, λοιπόν, τα τρία μη συνευθειακά σημεία p0, p1, p2, τα οποία ορίζουν μονοσήμαντα ένα επίπεδο. Τα τρία αυτά σημεία θα μπορούσαν στην πράξη να είναι οι κορυφές ενός τριγώνου. Το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου μπορεί να προκύψει από το παρακάτω εσωτερικό γινόμενο:

{Εξ. 6.19} Λόγω του ότι στο εξωτερικό γινόμενο δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, πρέπει να είναι κανείς

ιδιαίτερα προσεκτικός στη σειρά με την οποία παραθέτει τα διανύσματα. Εάν αλλάξει η σειρά τότε το διάνυσμα θα έχει αντίθετη φορά κάτι που μπορεί να επηρεάσει τον υπολογισμό του φωτισμού. Έστω τώρα ότι μας δίνεται η συνάρτηση της επιφάνειας σε πεπλεγμένη μορφή:

{Εξ. 6.20}

και πιο συγκεκριμένα, έστω η πεπλεγμένη συνάρτηση ενός ελλειψοειδούς:

0ax by cz d+ + + =

( )0 0− =n p p

[ ], , Ta b c=n

( ) ( )1 0 2 0= − × −n p p p p

( ), , 0f x y z =

6-10

{Εξ. 6.21}

Το κανονικό διάνυσμα προκύπτει από την κλίση της συνάρτησης και μπορεί να περιγραφεί από το

παρακάτω διάνυσμα:

{Εξ. 6.22}

Εκτός, όμως, από την πεπλεγμένη τους μορφή, οι επιφάνειες μπορούν να εκφραστούν και σε

παραμετρική μορφή, όπου οι τιμές των καρτεσιανών συντεταγμένων των σημείων της επιφάνειας εκφράζονται συναρτήσει των ανεξάρτητων μεταβλητών u,v.

{Εξ. 6.23}

Για την περίπτωση του ελλειψοειδούς έχουμε:

{Εξ. 6.24}

Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να πάρουμε το κανονικό διάνυσμα από το εξωτερικό γινόμενο των

παραγώγων της θέσης του σημείου ως προς u και v.

{Εξ. 6.25}

Όπου τα εφαπτόμενα στην επιφάνεια διανύσματα είναι:

6.5.2. Διανύσματα φωτισμού και θέασης Το διάνυσμα φωτισμού που έχουμε χρησιμοποιήσει και στις προηγούμενες παραγράφους μπορεί εύκολα να υπολογιστεί εάν είναι γνωστή η θέση PL της πηγής φωτός και η θέση Px του φωτιζόμενου σημείου:

( )2 2 2

2 2 2, , 1 0x y zf x y za b c

= + + − =

2

2

2

2

2

2

f xx af yy b

zfcz

∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂

n

( )( )( )

,

,

,

x x u v

y y u v

z z u v

=

=

=

[ ) [ ]cos sinsin sin 0,2 , 0,cos

x a u vy b u v u vz c v

π π=

= ∈ ∈

=

u v∂ ∂

= ×∂ ∂p pn

,

x xu vy y

u u v vz zu v

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

p p

6-11

{Εξ. 6.26}

Σε περιπτώσεις όπου θεωρείται ότι οι διαστάσεις του αντικειμένου είναι αμελητέες σε σχέση με την απόσταση της πηγής φωτός από το αντικείμενο, τότε το διάνυσμα φωτισμού μπορεί να θεωρηθεί σταθερό και είναι απαραίτητο να δοθεί η κατεύθυνσή του (κατευθυντική πηγή φωτός).

Το διάνυσμα θέασης v προκύπτει με όμοιο τρόπο αντικαθιστώντας τη θέση της πηγής φωτός με τη θέση του παρατηρητή Pv.

{Εξ. 6.27}

6.5.3. Διάνυσμα Ανάκλασης Για τον υπολογισμό της κατοπτρικής συνιστώσας του μοντέλου Phong είναι απαραίτητος ο υπολογισμός του διανύσματος κατοπτρικής ανάκλασης r. Έστω, λοιπόν, σημείο σε επιφάνεια με κανονικό διάνυσμα n που φωτίζεται από μία πηγή με κατεύθυνση φωτισμού l (Εικόνα 6-9). Θέλουμε να υπολογίσουμε το διάνυσμα κατοπτρικής ανάκλασης r.

Εικόνα 6.9. Διανύσματα κατοπτρικής ανάκλασης

Ο γενικός κανόνας που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι ότι η γωνία πρόσπτωσης ισούται με τη γωνία ανάκλασης. Στις δύο διαστάσεις ο περιορισμός αυτός θα ήταν αρκετός για τον υπολογισμό του διανύσματος r. Στις τρεις, όμως, διαστάσεις υπάρχουν άπειρα διανύσματα που ικανοποιούν τον περιορισμό αυτόν. Ο επιπλέον περιορισμός που πρέπει να θέσουμε είναι ότι τα διανύσματα l, n και r είναι συνεπίπεδα. Με αναφορά, λοιπόν, στα διανύσματα που παρουσιάζονται στην Εικόνα 6-9, έχουμε:

{Εξ. 6.28}

Ακόμα είναι:

{Εξ. 6.29} Επίσης, ισχύουν οι εξής διανυσματικές σχέσεις:

{Εξ. 6.30}

Οπότε συνδυάζοντας τα παραπάνω προκύπτει ότι:

( )2 2= − = ⋅ −r w l n n l l {Εξ. 6.31}

X L= −l P P

X V= −v P P

( )cosθ= = ⋅ = ⋅w l l n l n l

( )= = ⋅w n w n n l

= += −

r w ss w l

6-12

6.6. Φωτοσκίαση Το μοντέλο φωτισμού του Phong μας δίνει τη δυνατότητα να υπολογίσουμε την ένταση του φωτισμού σε ένα συγκεκριμένο σημείο μίας επιφάνειας δοσμένης πηγής φωτός με συγκεκριμένα χαρακτηριστικά. Πώς θα μπορούσαμε, όμως, να εφαρμόσουμε το μοντέλο αυτό στην πρακτική και δημοφιλή περίπτωση όπου ένα αντικείμενο αναπαρίσταται με ένα τριγωνοποιημένο πλέγμα; Είναι πρακτικά υπολογιστικά αδύνατο να υπολογίσουμε τις εξισώσεις του μοντέλου σε κάθε σημείο στο εσωτερικό κάθε τριγώνου. Αυτό που μπορούμε, όμως, να κάνουμε είναι να υπολογίσουμε το φωτισμό σε κάθε κορυφή του μοντέλου και να χρησιμοποιήσουμε μία εξειδικευμένη μέθοδο για να «φωτίσουμε» και το εσωτερικό των τριγώνων που το απαρτίζουν. Οι εξειδικευμένες αυτές μέθοδοι ονομάζονται αλγόριθμοι φωτοσκίασης και στη συνέχεια θα αναλύσουμε τις τρεις δημοφιλέστερες από αυτές. 6.6.1. Σταθερή Φωτοσκίαση Τα κύρια διανύσματα που εμπλέκονται στον υπολογισμό της εξίσωσης φωτισμού, δηλαδή, τα διανύσματα θέασης v, φωτισμού l, και κανονικό διάνυσμα n, μεταβάλλονται καθώς κινούμαστε πάνω στην επιφάνεια. Εάν υποθέσουμε ότι βρισκόμαστε πάνω σε ένα πολύγωνο της επιφάνειας, τότε το κανονικό διάνυσμα είναι σταθερό σε όλη την επιφάνειά του. Εάν υποθέσουμε ότι ο παρατηρητής αλλά και η πηγή φωτισμού βρίσκονται στο άπειρο, τότε και τα αντίστοιχα διανύσματα v και l είναι σταθερά σε όλη την επιφάνεια του πολυγώνου. Έτσι έχοντας και τα τρία διανύσματα σταθερά, αρκεί να υπολογίσουμε την εξίσωση φωτισμού μία φορά και να εφαρμόσουμε τον φωτισμό που προκύπτει, σε όλη την επιφάνεια του πολυγώνου. Αυτή η τεχνική ονομάζεται σταθερή ή επίπεδη φωτοσκίαση και είναι μία από τις απλούστερες μεθόδους φωτοσκίασης.

Η τεχνική αυτή παρουσιάζει ξεκάθαρα τα όρια των πολυγώνων (τις ακμές του πολυγωνικού μοντέλου) διότι το κανονικό διάνυσμα μεταβάλλεται ασυνεχώς πάνω στα όρια των ακμών, οδηγώντας έτσι σε διαφορετική τιμή φωτισμού στις εκατέρωθεν έδρες μίας ακμής. Στην περίπτωση που το πολυγωνικό πλέγμα μοντελοποιεί μία συνεχή επιφάνεια, όπως φαίνεται στην Εικόνα 6-10 τότε το αποτέλεσμα της μεθόδου αυτής είναι απογοητευτικό.

(α) Σταθερή φωτοσκίαση όπου αποδίδεται η ίδια τιμή φωτισμού σε όλα τα σημεία του πολυγώνου

(β) Φωτοσκίαση Gouraud κατά την οποία η τιμή του φωτισμού σε κάθε πολύγωνο μεταβάλλεται

Εικόνα 6.10. Διαφορές μοντέλων σκίασης

6.6.2. Φωτοσκίαση Gouraud

Η φωτοσκίαση Gouraud (1971) επιχειρεί να λύσει το πρόβλημα της σταθερής φωτοσκίασης κατά μήκος μίας επιφάνειας υπολογίζοντας αρχικά την τιμή του φωτισμού στις κορυφές ενός τριγώνου και στη συνέχεια εφαρμόζοντας παρεμβολή για τον υπολογισμό του φωτισμού σε κάθε εσωτερικό σημείο του τριγώνου.

Πώς μπορούμε, όμως, να υπολογίσουμε την τιμή φωτισμού σε ένα σημείο του τριγωνοποιημένου πλέγματος. Ενώ τα διανύσματα φωτισμού v και θέασης l μπορούν να υπολογιστούν, το κανονικό διάνυσμα δεν μπορεί να οριστεί διότι στις κορυφές δεν μπορεί να οριστεί η κλίση της επιφάνειας, οπότε θεωρητικά δεν ορίζεται κανονικό διάνυσμα. Αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να υπολογίσουμε μία προσέγγιση του κανονικού διανύσματος.

6-13

Το κανονικό διάνυσμα κορυφής στην Εικόνα 6.11 μπορεί να υπολογιστεί απλά ως ο μέσος όρος των κανονικών διανυσμάτων των τριγώνων που προσπίπτουν στην κορυφή:

{Εξ. 6.32}

Εικόνα 6.11. Υπολογισμός κανονικού διανύσματος κορυφής από τα κανονικά διανύσματα εδρών

Εναλλακτικά μπορεί να υπολογιστεί ως σταθμισμένο άθροισμα των κανονικών διανυσμάτων των εδρών, όπου οι συντελεστές βάρους είναι είτε ανάλογοι της επιφάνειας της έδρας (areai) στην οποία αντιστοιχεί κάθε διάνυσμα:

{Εξ. 6.33}

είτε ανάλογοι της γωνίας θi του κάθε τριγώνου (Εικόνα 6-11):

{Εξ. 6.34}

Από τη στιγμή που μπορεί να υπολογιστεί το κανονικό διάνυσμα κορυφής, μπορεί να υπολογιστεί και ο φωτισμός που της αντιστοιχεί.

Εικόνα 6.12. Διγραμμική παρεμβολή στη φωτοσκίαση Gouraud.

1

1 N

ii

n nN =

= ∑

1

1

1 N

i iNi

ii

n area narea =

=

= ⋅∑∑

1

12

N

i ii

n nθπ =

= ⋅∑

6-14

Έστω τώρα το τρίγωνο στην Εικόνα 6.12. Υπολογίζοντας τα κανονικά διανύσματα κορυφής nA, nB, nC μπορεί να υπολογιστεί όπως είδαμε και ο φωτισμός των αντίστοιχων κορυφών IA, IB, IC. H φωτοσκίαση Gouraud υπολογίζει αρχικά με γραμμική παρεμβολή το φωτισμό ID, IE στα σημεία D και E:

{Εξ. 6.35}

Στη συνέχεια υπολογίζεται η τιμή φωτισμού για το σημείο P πάλι με γραμμική παρεμβολή των τιμών

ΙD και ΙC:

{Εξ. 6.36}

6.6.3. Φωτοσκίαση Phong Παρά τη σημαντικά βελτιωμένη απόδοση φωτισμού της φωτοσκίασης Gouraud, αυτή παρουσιάζει ικανοποιητικά αποτελέσματα μόνον όταν η πυκνότητα δειγματοληψίας είναι υψηλή. Ο Phong εναλλακτικά πρότεινε ότι αντί να παρεμβάλλουμε την τιμή φωτισμού, μπορούμε να παρεμβάλλουμε τα ίδια τα κανονικά διανύσματα χρησιμοποιώντας διγραμμική παρεμβολή όμοια με αυτή που εκτελείται κατά τη φωτοσκίαση Gouraud.

Εικόνα 6.13. Διγραμμική παρεμβολή στη φωτοσκίαση Phong

Πιο συγκεκριμένα μπορούν να υπολογιστούν τα κανονικά διανύσματα στα σημεία D, E και P ως εξής (Εικόνα 6.13):

{Εξ. 6.37}

και αντίστοιχα:

{Εξ. 6.38}

Η σημαντικότερη και ευκολότερα αντιληπτή διαφορά της φωτοσκίασης Phong και της Gouraud είναι ότι η πρώτη μπορεί να αποδώσει καλύτερα τη λάμψη της κατοπτρικής ανάκλασης.

Με αναφορά στην Εικόνα 6.14, παρατηρούμε ότι η φωτοσκίαση Gouraud δεν οδηγεί στη σωστή απόδοση των λάμψεων της κατοπτρικής ανάκλασης. Αυτό συμβαίνει όταν η λάμψη βρίσκεται στο εσωτερικό της επιφάνειας ενός τριγώνου. Ο φωτισμός στις κορυφές είναι χαμηλός διότι η γωνία είναι μεγάλη.

( )( )1 ,

1 ,D

E C

B D

C E

λ λ λ

λ λ λΑ Β

Α

= + − = −

= + − = −

n n n

n n n

( )1 ,P D Ev v v E P= + − = −n n n

6-15

Οπότε και η παρεμβολή των τιμών φωτεινότητας θα δώσει χαμηλές τιμές φωτισμού και στο εσωτερικό του τριγώνου. Αντίθετα, όταν εκτελεστεί παρεμβολή των κανονικών διανυσμάτων, τότε για κάποιο σημείο τα διανύσματα κατοπτρικής ανάκλασης και θέασης θα συμπέσουν οπότε και η τιμή φωτισμού λόγω κατοπτρικής ανάκλασης θα μεγιστοποιηθεί και θα παρατηρήσουμε τη χαρακτηριστική λάμψη.

Εικόνα 6.14. Φωτοσκίαση Gouraud (αριστερά) και φωτοσκίαση Phong (δεξιά)

6.7. Προτεινόμενες Ασκήσεις και Προβλήματα Άσκηση 1) Έστω μία σημειακή πηγή φωτισμού η οποία φωτίζει το τρισδιάστατο αντικείμενο της τσαγιέρας (teapot) από την κατεύθυνση παρατήρησης. Υλοποιήστε πρόγραμμα που να φωτίζει το αντικείμενο σύμφωνα με το μοντέλο και τον αλγόριθμο Phong. Δώστε στο χρήστη τη δυνατότητα να μεταβάλλει τις τιμές του μοντέλου και να βλέπει το αποτέλεσμα. Άσκηση 2) Επαναλάβετε την Άσκηση 1 με τη διαφορά ότι έχουμε μία πηγή φωτός ραβδόμορφη, η οποία προσεγγίζεται από πεπερασμένο αριθμό Ν σημειακών συνευθειακών πηγών. Άσκηση 3) Επαναλάβετε την Άσκηση 2 με τη διαφορά ότι πρέπει να χρησιμοποιήσετε φωτοσκίαση Gouraud. Άσκηση 4) Πολλές φορές όταν φωτίζεται ένα μεγάλο πολύγωνο, για το οποίο αναμένουμε να προκύψει ομοιόμορφος φωτισμός, παρατηρούμε ότι η μία πλευρά του φωτίζεται έντονα ενώ οι άλλες πιο αμυδρά. Περιγράψτε γιατί συμβαίνει αυτό και πως μπορούμε να το αποφύγουμε.

Βιβλιογραφία/Αναφορές

Avro J. (1995). Analytic Methods for Simulated Light Transport. PhD Thesis, Yale University.

Dorsey J., Rushmeier H., Sillion F. (2008). Digital Modeling of Material Appearance. Morgan Kaufman.

Gouraud H. (1971). Continuous Shading of Curved Surfaces, IEEE transactions on Computers, 20(6), pp. 623-629.

Phong BT. (1975). Illumination for Computer Generated Pictures, Communications of the ACM, 18(6), pp. 311-317.