ГЛАВА 9

WEB – БАЗИРАНО ОБУЧЕНИЕ ПО МАТЕМАТИКА.

ОТ “МАТЕМАТИКА НА ПРЕСМЯТАНИЯТА” КЪМ “МАТЕМАТИКА НА ИДЕИТЕ И ЛОГИЧЕСКОТО МИСЛЕНЕ”

Резюме: Предлага се ограничаване на предлагане на такива математически задачи, чието решаване се опростява значително с използуване на WEB – математическите ресурси. В замяна на това се предлагат други задачи, които не могат да се решават с компютър и в този смисъл развиват логическото мислене на обучаемите, т. е. преминава се от “математика на пресмятанията” към “математика на логиката и идеите”.Ключови думи: WEB - базирано обучение по математика, математика на пресмятанията, математика на идеите и логическото мислене, състезания по компютърна математика.

1. Въведение

Преди да пристъпим към излагане на основните съображения за написването на този доклад, посочваме какво разбираме под WEB базирано обучение по математика. Очевидно това е обучение по математика чрез използуване на всички възможни средства, предоставени от глобалните INTERNET – ресурси: математически експлорери (програми) за непосредствено пресмятане и онагледяване на получените резултати; достъп и включване в различни форми за дистанционно обучение по математика, информиране за състоянието на т. н. e – Learning, използуване на електронни учебни пособия и т. н. В момента съществуват огромно количество сайтове, които предоставят такива възможности (фиг. 1). Далеч сме от мисълта да накараме обучаемите да сведат решаването на математическите задачи до натискане на копчета от компютърната клавиатура. Но не можем да не обръщаме внимание на изключително бързото развитие на съвременните информационни технологии, които правят регулярните пресмятания, в това число и символните, лесно достъпни и в този смисъл дори безинтересни.

Search Results

Results 1 - 10 of about 12,400,000 for web education in mathematics

Фиг. 1. Резултати за съществуващи сайтове в ИНТЕРНЕТ, свързани с WEB – базирано обучение по математика

2. Основни резултати. Oт “математика на пресмятанията” към “математика на логиката и идеите”

Както вече споменахме, възможностите в INTERNET са огромни. Авторът е направил електронен сайт със заглавие “ПРОБЛЕМИ И ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВА ПРЕД ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА В УСЛОВИЯТА НА СЪВРЕМЕННИТЕ ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ “ с електронен адрес: http :// free . bol . bg / annatomova / . С помощта на WWW Interactive Multipurpose Server с електронен адрес http :// wims . unice . fr , посочен в страницата “Полезни връзки” от сайта, избираме т. н. Function calculator. Без да претендираме за пълно изследване на проблема, след наша проверка се оказва, че практически почти всички регулярни (т. е. без особености)

156

задачи от учебниците и математическите сборници за ВТУЗ от раздела “Диференциално и интегрално смятане на функция на една реална променлива” [1 - 4] могат да бъдат решени с този функционен калкулатор. Нещо повече, например при развитие в ред на Тейлор, с лекота получаваме резултати, които, без функционния калкулатор, биха отнели значително време за пресмятане. Същото се отнася и за построяване на графиките на функции, за пресмятане на неопределени и определени интеграли особено в случая, когато формулите са сложни.

От гореизложеното става ясно, че за в бъдеще остават интересни само задачи, които не могат да се решават верно с помощта на съвременните информационни технологии. В много от случаите това са задачи, които даже не изискват големи премятания, но предполагат задълбочено разбиране на математическите идеи. Такива са задачи за доказателство и то на формули с параметър, изменящ се в интервал с безкрайни граници или на търсене на сингулярни примери като посочените по – долу и т. н.

2.1. Задачи, които не се решават с помощта на компютри

Задача 1. Посочете пример за функция, която има производна от n – ред, но няма производна от n + 1 ред (в началото на координатната система).

Решение. Както знаем, функцията e непрекъсната, но няма производна при х = 0 (фиг. 2). Тогава функцията, дефинирана със следната формула:

(1)

ще има първа производна (т. е. ще бъде диференцируема), но няма да има втора производна в х = 0 (фиг. 3). Аналогично функцията:

(2)ще има първа и втора производна (т. е. ще бъде два пъти диференцируема) във всяко х, но няма да има трета производна в х = 0 (фиг. 4). В тази посока можем да продължим за всяко

.

-2 -1 1 2

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Фиг.2. Графика на Фиг. 3. Графика на f(x), зададена с (1), и на - f(x)

157

-2 -1 1 2

0.5

1

1.5

2

-2 -1 1 2

-0.03

-0.02

-0.01

0.01

0.02

0.03

-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6

-0.06

-0.04

-0.02

0.02

0.04

0.06

Фиг. 4. Графика на f(x), зададена с (3), Фиг. 5. Графика на f(x) от задача 2 и на - f(x)

Задача 2. Докажете, че функцията, зададена с формулата:

има само първа производна (в началото).Доказателство. При х, различно от 0, производната на тази функция се изчислява по обичайния начин:

При х = 0 тази функция е диференцируема, т. е. има първа производна в тази точка, но тази производна е прекъсната при х = 0 (фиг. 5). Доказателство: при х = 0 използуваме определението за първа производна в точка:

Ясно е, че f’(x) няма граница при , т. е. f’(x) е прекъсната в х = 0, при това прекъсването е от втори род. Следователно това е пример за функция, която има само първа производна в точката х = 0, но няма втора (и следващи прозводни) в същата точка.

Задача 3. Намерете частните производни спрямо y в точката (1, y) на функцията:

Задача 4. Докажете, че, , където: .

2.2. Кратки бележки върху съдържанието на задачи, давани на конкурсни математически състезания

От гореизложеното тава ясно, че мнението на автора предполага не само качествена промяна в съдържанието на учебниците и сборниците по математика, но и в съдържанието на задачите, предлагани на различни математически състезания: олимпиади, математически прегледи и др. В този смисъл авторът е направил преглед на някои задачи, задавани на минали студентски математически олимпиади и състезания в България, които днес със съвременните информационни средства се решават веднага. За друг клас задачи системите

158

за компютърна алгебра дават неверни решения. Трета група от задачи (най – многобройната) въобще не могат да се решат с тези системи. Една от причините за последното е и тази, че системите за компютърна алгебра все още не са достатъчно подробно развити и не обхващат значителна част от математическия инструментариум.

Няколко примера за задачи, давани на математически състезания в България, които допускат решения с помощта на съвременните информационни технологии

Задача 1. (НСОМ’99, Група Б) Решете интеграла [5] :

Отговор:

Системата за компютърна алгебра MATHEMATICA 4.0 както и т. н.

от математически сайт с адрес http :// integrals . wolfram . com / . не решават този интеграл.

Решение с помощта на математическия сайт http :// wims . unice . fr / wims / :

Задача 2. (НСОМ’99, Група В) Докажете, че [5]:

Системата за компютърна алгебра MATHEMATICA 4.0 решава този интеграл и дава

същия резултат: .

(Числово) Решение с помощта на математическия сайт http :// wims . unice . fr / wims / :

159

Задача 3. (НСОМ’2004, Група Б) [6] : Пресметнете интеграла: .

Отговор: .

Системата за компютърна алгебра MATHEMATICA 4.0 решава вярно този интеграл и дава резултат: .

Решение с помощта на математическия сайт http :// wims . unice . fr / wims / :

Интегралът не се решава, отговорът е съобщението: The computation of the integral of f (x) from -pi to pi has failed. Please verify that f  is well-defined in the interval.

Задача 4. (НСОМ’2004, Група В) [6]: В интервала [0, 1] са зададени функциите:

.

(а) Да се докаже, че в интервала (0, 1] съществува единствена точка х0 такава, че: .

Графични решения

Тъй като интервалът [0, 1] е с крайна дължина, чертаем графиките на двете функции в една и съща координатна система (фиг. 1) или на тяхната разлика (фиг. 2) и наистина се убеждаваме в съществуването на точката х0 с посоченото свойство. Независимо от това, за повече прецизност, трябва да докажем твърдението, като разгледаме с помощта на производни поведението на разликата f(x) – g(x) в (0, 1].

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Фиг. 2. Графично решение с

Фиг. 1. Графично решение с помощта на помощта на математическия сайтсистемата за компютърна алгебра http :// wims . unice . fr / wims / : MATHEMATICA 4.0: графика на f(x) и графика на разликата f(x) – g(x) в [0,1]. g (x) в [0,1].

3. Изводи и предложения

Авторът предлага следната промяна в обучението по математика във ВТУЗ. Част от часовете, предвидени за семинарни упражнения да се трансформират в часове за упражнения, провеждани в компютърна зала с достъп до INTERNET. По време на тези часове да се решават, както вече споменахме, регулярни задачи, тъй като тяхното решение е възможно с използуване на вече обясненото WEB – базирано обучение чрез подходящи сайтове. Разбира се, по време на тези упражнения в компютърна зала може да се работи и с т. н. системи за компютърна алгебра (MATHEMATICA, MAPLE, MATLAB и др.), както това се прави, например в ТУ – Варна и в ТУ – София. Използуването на системите за компютърна

160

алгебра обаче изисква познаване на техния език, както и зареждане на компютрите с тези програми. Работата в INTERNET с математическите сайтове изисква само връзка с INTERNET, което е възможно и вън от учебните заведения. Сайтовете са оформени достатъчно ясно и пригледно. Разбира се, съществува езикова бариера (тя съществува и при работа със системите за компютърна алгебра) , но в някои ВТУЗ (например – ВВМУ “Н. Й. Вапцаров” – Варна) кандидат - студентските изпити включват тестове по английски език. Друго предимство на работа с математически сайтове в INTERNET е техният голям брой и разнообразие. По този начин може да се направи и евентуално наложителна проверка на резултатите. По време на обикновените семинарни упражнения предлагаме да се обръща внимание на задачи с особености, подобни на по – горе посочените примери. Техните решения обикновено не са свързани с големи пресмятания, но изискват задълбочено разбиране на теорията. По време на лекциите, естествено, преподавателят задължително трябва да отделя време за илюстриране на теорията с решаване на регулярни примери [1 – 4]. Тази евентуална промяна по наше мнение изисква написване и на нови учебни помагала, но това ще се оправдае с осъвременяване и повишаване на качеството на учебния процес по математика.

В края на доклада авторът предлага като задачи при провеждане на математически състезания (олимпиади, турнири др.) в досегашната им форма да се включват само такива, които не позволяват решаването им с помощта на съвременните информационни технологии, за да няма предупреждения от вида: “Употребата на калкулатори или други технически средства за решаване на задачите се забранява”, както е досега. В замяна на това предлагаме организиране на състезания, както на регионално, така и на национално ниво, може би – и на международно ниво по компютърна математика. На тези състезания ще се предлагат именно задачи, чието решаване без съвременни информационни технологии ще бъде невъзможно. Въпросът за конкретни примери на такива задачи е предмет на следващи публикации.

Литература

1.Йордан П. Димитров, Милко Т. Пенов и др., Висша математика, ч. 1 и 2, Издателство на МО, София, 1995, 1998 г.

2.Г. Н. Берман, Сборник задач по курсу математического анализа, М, 1957.3.В. П. Минорский, Сборник задач по высшей математике, М, 1987.4.Н. С. Пискунов, Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, М, 1976.5.Тонко Тонков, Студентски състезания по математика, Хроника, задачи, решения,

резултати, София, 2000.6.Тонко Тонков, Математически форум, Том VI, брой 5, 2004 г., стр. 147 – 148.

ОБНОВЯВАНЕ НА УЧЕБНИЯ ПРОЦЕС ПО МАТЕМАТИКА В УСЛОВИЯТА НА СЪВРЕМЕННИТЕ ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ

Abstract. We propose an alternative training on mathematics, using the multimedia in the class rooms.Key words: multimedia in the training, INTERNET, WEB technologies and WEB design, fractal geometry.

1.Въведение

В тази част съвсем бегло систематизираме едно мнение за известно обновяване на учебния процес по математика предимно в математическите гимназии и във висшите технически учебни заведения в България в условията на съвременните информационни

161

технологии. Ще съсредоточим вниманието си както върху обновяване на методиката на преподаване на дисциплината, така и върху нейното съдържание.

2. Необходимост от промяна в част от съдържанието на преподавания материал по математика в средното училище и в техническите учебни заведения в България

В [6] и [7] сме обосновали подробно необходимостта от промяна в обучението по математика в условията на съвременните информационни технологии, като сме взели предвид основни съображения на автори върху съвременното обучение по математика, изложено в [2] – [5]. Тук щe се опитаме да систематизираме тези идеи, като най – напред изложим мнението на известния руски и съветски математик – тополог П. С. Александров [1] за съдържателността и критериите, според които едно математическо познание е ценно, тъй като при обсъждането на всякаква промяна в обучението особено по една класическа дисциплина, каквато е математиката, предварително тези критерии трябва да се афишират. В [1] П. С. Александров пише: «...С вопросом о природе реальности, изучаемой математикой, тесно связан и другой вопрос: в чем ценность математического познания, а также каковы критерии, позволяющие отличить хорошие, ценные математические работы от малоинтересной продукции...В качестве первого такого условия назову условие непосредственной полезности, приложимости к практыике той или иной математической теории...Многие хорошие математики склонны оценивать достойнства математической работы с точки зрения трудностей, которые в этой работе преодолеваются: математический результат хорош, если он труден... Этот, я бы сказал, спортивный подход...дает...достаточные условия для оценки достоинства математической работы, но необходимым условием трудности доказательства теоремы для важности и значительности этой теоремы все же не является.... Все это хорошо понимал Гильберт...Для Гильберта математика, с одной стороны всегда есть познание ( “Wir muessen wissen, wir werden wissen” )..., с другой стороны, она для него в первую очередь является увлекательным искусством...”.

3. Едно предложение за обновяване на учебния процес по математика в математическите гимназии и в техническите висши учебни заведения в България

162

Фиг. 1.

163

Фиг. 2

На фиг. 1 и фиг. 2 показваме систематизирано някои идеи за обновяване на учебния процес по математика в математическите гимназии (фиг. 1) и в техническите висши учебни заведения в България (фиг. 2). При избора на тяхното съдържание сме се ръководили от по – горе споменатите критерии, изложени в [1]: критерий за истинност, за практическо приложение и за естетическо въздействие. Смятаме, че след избора на аксиоматично – множествения подход при излагане на математическите знания, а така също и чрез използуване на системи за компютърна алгебра (MATHEMATICA, MATLAB, MAPLE и др. ) и електронни учебници времето, необходимо за усвояването им, ще се използува многократно по – ефективно. Трябва да споменем, че вече са отпечатани учебници, предимно за средните училища, в които са изложени част от темите, посочени на фиг. 1. Също така, в някои университети: ТУ – София, ТУ – Варна, ТУ – Русе, Великотърновски Университет и др. се реализират част от идеите от фиг. 2.

4. Заключение

Реализацията на идеите, посочени схематично на фиг. 1 и фиг. 2 изисква съществена промяна в организацията на учебния процес по математика в математическите гимназии и в техническите висши учебни заведения в България. Преди всичко трябва да се увеличи хорариумът на дисциплината. В някои страни, например свързани с френската образователна система математика в университетите от бъдещите учители – бакалаври по физика и химия се изучава през целия 4 – годишен срок на обучение, в ориентираните към точните науки лицеи се изучават комплексните числа и непосредственото интегриране и т. н.

Литература

1. Александров П. С., Несколько слов из воспоминаний о Гильберте, Успехи математических наук, т. 36, выпуск 1 (217), 233 – 236.

2. Арнолд Вл., Защо изучаваме математика ?, “ Математика +”,1995, бр. 3, стр. 3 – 8.3. Арнолд Вл., Антинаучната революция и математиката, “ Математика +”,1999, бр. 1,

стр. 2 – 4.4. Манделброт Б. , Фракталните обекти: форма, случайност, размерност, София, 1996 г.5. Саймън Синг. , Последната теорема на Ферма: една загадка на 358 години, София, 1999

г.6. Томова А., Григорова Т., Обучението по математика за архитекти и строителни

инженери в условията на новите информационни технологии, Научна конференция на ВСУ “Черноризец Храбър”, Варна, 06. 2003

7. Томова А., Необходимост от промяна в обучението по математика в условията на съвременните информационни технологии, Научна конференция “Дни на науката във Варна”, 31. 10. 2003 г.

ЕЛЕКТРОНЕН САЙТ С ЕЛЕКТРОНЕН АДРЕС В ИНТЕРНЕТ: http :// free . bol . bg / annatomova / И ЗАГЛАВИЕ: “ПРОБЛЕМИ И ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВА

ПРЕД ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА В УСЛОВИЯТА НА СЪВРЕМЕННИТЕ ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ”.

Резюме: Част от нашите бележки представят съдържанието на сайт с електронен адрес в ИНТЕРНЕТ: http :// free . bol . bg / annatomova / и заглавие: “ПРОБЛЕМИ И ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВА ПРЕД ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА В УСЛОВИЯТА НА СЪВРЕМЕННИТЕ ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ”. Разглежда се провеждане на

164

WEB – базирано занятие по математика на тема: “Неопределено интегриране on – line”. Отделено е място и за построяване на сложни математически обекти on – line или с помощта на система за компютърна алгебра. Ключови думи: WEB - базирано обучение по математика, математика на пресмятанията, математика на идеите и логическото мислене, пример за WEB- базирано математическо занятие, изобразявне на сложни математически обекти on – line.

1.Въведение

Част от нашите бележки представят съдържанието на сайт с електронен адрес в ИНТЕРНЕТ: http :// free . bol . bg / annatomova / и заглавие: “ПРОБЛЕМИ И ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВА ПРЕД ОБУЧЕНИЕТО ПО МАТЕМАТИКА В УСЛОВИЯТА НА СЪВРЕМЕННИТЕ ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ”. Отделено е място и за построяване на сложни математически обекти on – line или с помощта на система за компютърна алгебра.

2. Основни резултати

На фиг. 2 представяме началната страница на сайта. Последователно даваме кратка информация за страниците му според навигационната лента, показана също на фиг. 2.

За математиката: Тук се дава отговор на въпроса: Защо трябва да изучаваме математика? Според чудесната статия “Защо изучаваме математика ?” [2] (“ Математика +”,1995, бр. 3, стр. 3 – 8) на един от най - известните съвременни математици проф. Владимир Арнолд (понастоящем професор в Русия и във Франция) на този въпрос е отговорил английският философ Роджър Бейкън още през 1267 г.: "Този, който не знае математика, не може да изучава никоя друга наука и даже не може да разбере своето невежество". Критерии. Тук се посочват критериите за ценност на математическото познание: придържаме се към следните критерии: едно математическо познание е съдържателно и ценно, ако то удовлетворява критериите за истинност, за практическо приложение и за естетическо въздействие [1], [3].

Спорове: Тук се дават кратки бележки и коментарии за споровете между "традиционалисти" и "бурбакисти" [4].

Промени в математическите гимназии: Тук се предлагат под формата на таблица промени в методиката и съдържанието на учебния процес по математика в математическите гимназии.

Промени във ВТУЗ: Тук се предлагат под формата на таблица промени в методиката и съдържанието на учебния процес по математика в техническите висши учебни заведения в България.

WEB - базирано обучение: Тук са осъществени хипервръзки към известни математически сайтове с учебни помагала по математика предимно със справочен характер на английски език.

Системи за компютърна алгебра: На тази страница може да намерите хипервръзки към сайтовете на няколко от най – широко използуваните системи за компютърна алгебра: Mathematica , Mathcad, Maple, Matlab.

165

Фиг. 2. Начална страница на WEB - сайт, посветен на проблемите и предизвикателствата пред обучението по математика в условията на съвременните информационни технологии

Приложението на системите за компютърна алгебра все повече и повече осъществява получаването на сериозни математически резултати, както и тяхното онагледяване и в този смисъл трябва да бъде демонстрирано от преподавателите по математика пред обучаемите във всички степени на обучение. За да илюстрираме това наше мнение, разглеждаме следния клас обикновени диференциални уравнения на Рикати [6, 9, 10]:

(1) ,

където А, B и m са константи. Както е споменато в [ 6, 9, 10 ], при и при

нецяла стойност на специалното уравнение на Рикати не може да се реши чрез

краен брой интеграли от краен брой елементарни функции. Съсредоточаваме вниманието си върху един известен частен случай на (1), а именно разглеждаме специалното уравнение на Рикати:

(2)

Тук и, следователно това специално уравнение на Рикати не може да се реши чрез

краен брой интеграли от краен брой елементарни функции [6, 9, 10]. Въпреки многогодишни усилия за [2] не е намерено частно решение. Както знаем от теорията за решаване на уравненията на Рикати, посочването му би решило напълно въпроса за намиране на общия интеграл на (2). От друга страна, дясната част на (2) е аналитична функция на 2 променливи в R2. От общата теория за аналитични решения на обикновени диференциални уравнения [6] следва, че (2) притежава единствено аналитично решение при зададени начални условия в околност на . Ето защо разглеждаме формалното решение, което дава системата за компютърна алгебра MATHEMATICA 4.0.

166

С оператора за символно интегриране на обикновени диференциални уравнения получаваме с помощта на системата за компютърна алгебра MATHEMATICA 4.0 (формална) формула за общия интеграл на (2). В нея участвуват добре познатите Беселови функции [6, 9, 10]. На фиг. 3 показваме графиките на формалното решение при стойност на константата C[1] = 0 в интервала [-1.5, 1.5 ] , на фиг. 4 - C[1] = 0 в интервала [-100, 100].

E – learning: Обсъжда се състоянието на т. н. E – learning по математика. За да добием, макар и най – бегла, представа за състоянието на т. н. E – LEARNING по математика в INTERNET, даваме Web адреса:

http://search.yahoo.com/bin/search?p=elearning+of+mathematics&ei=UTF-8 , съдържащ към м. юни, 2005 г. 123,000 резултата (Results 1 - 10 of about 123,000 for elearning of mathematics), свързани с тази тема.

-100 -50 50 100

-200

-100

100

200

Фиг. 3 Фиг. 4

Фрактална геометрия on linе. На тази страница са дадени кратки сведения за фракталната геометрия, разгледани са т. н. основни фрактални обекти [5] - и са осъществени връзки към няколко от най – известните фрактални експлорери: програми, с чиято помощ се създават фрактали. На електронен адрес: http :// free . bol . bg / annavioletta /

можете да намерите електронен сайт на български език с автор Анна Томова и заглавие: “ФРАКТАЛНИ ЕКСПЛОРЕРИ ON LINE. Кратки сведения за фракталните обекти.” Литература. Тук е посочена литературата, използувана при създаването на сайта. Полезни връзки: http :// wims . unice . fr / wims / ,http :// archives . math . utk . edu / cgi - bin / interactive . html , http :// www . integrals . com / index . en . cgi и др. Примери за WEB - базирани практически занятия. Тук подробно може да се разгледа съдържанието на един от най – качествените математически сайтове в ИНТЕРНЕТ с адрес: http :// wims . unice . fr / wims / .

3. Пример за WEB - базирано учебно занятие на тема: “Неопределено интегриране on – line»

Забележка. Това занятие се провежда, след като обучаемите са прослушали лекциите и провели семинарните упражнения за пресмятане на неопределени интеграли в квадратури. Те ще решават избрани примери за пресмятане от т. н. интегратор (предвиден е и случаен избор на примерите от интегратора) с по – долу посочения адрес в INTERNET и с негова помощ ще получават примитивните. Задължението им е да потвърдят отговорите и да ги проверят отново on – line с помощта на друга програма за символно диференциране. Ако има някаква разлика в резултата, трябва или да се отстрани грешката, или да се обясни причината за получаване на тази разлика. По – нататък могат да начертаят графиките на примитивните в интервал с крайна дължина (а,b), графиките на подинтегралните функции в същия интервал отново с помощта на програма за чертане на графики on – line. По този начин обучаемите се подготвят да направят връзка със следващия материал, обикновено: “Определен (Риманов) интеграл.”

167

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75

-60

-40

-20

20

40

60

План на занятието:

Избор на т. н. интегратор на адрес: http :// integrals . wolfram . com / или с помощта на Function calculator на адрес http :// wims . unice . fr / wims / или др. Решаване на 10 задачи, посочени от тези интегратори или др. Проверка на резултатите чрез програма за символно диференциране Function calculator на адрес http :// wims . unice . fr / wims / или др. Начертаване на графиките на получените примитивни и на подинтегралните функции с помощта на програми за графики на функции на адрес: http :// wims . unice . fr / wims / , http :// www . uncwil . edu / courses / mat 111 hb / или др. Изводи и препоръки.

На фиг. 9 показваме графиките на функцията и на нейната примитивна

(получена с помощта на Function calculator с адрес http :// wims . unice . fr / wims / ),

начертани с помощта на т. н. “Grapher” с адрес http :// www . uncwil . edu / courses / mat 111 hb / .

4. Oт “математика на пресмятанията” към “математика на логиката и идеите”.

От гореизложеното става ясно, че за в бъдеще остават интересни само задачи, които не могат да се решават вярно с помощта на съвременните информационни технологии. В много от случаите това са задачи, които даже не изискват големи премятания, но предполагат задълбочено разбиране на математическите идеи. Ще посочим адресите на някои страници от математическите сайтове в INTERNET, където се разглеждат графични особености, без да са известни формулите, задаващи функциите, техните производни и примитивни, т. е. преминава се към “математика без формули”.

Фиг. 9

Математическият сайт с адрес : http :// wims . unice . fr / wims / wims . cgi ? session = V 2762 CB 15 F .1&+ lang = en &+ module = U 1%2 Fanalysis %2 Fgraphder . en се на една от

168

страниците си (фиг. 10) предлага на обучаемите да посочат коя от долупосочените графики е графиката на f’(x) за функцията от първата рисунка. Отговорът се оценява по десетобална скала. Фиг. 10 отговаря на задача от първо ниво на трудност, общо нивата на трудност в това упражнение са 9. Можем да направим следния извод. Предстои не само качествена промяна в съдържанието на учебниците и сборниците по математика, но и в съдържанието на задачите, предлагани на различни математически състезания: олимпиади, математически прегледи и др В този смисъл авторът е направил преглед на някои задачи за решаване на определени интеграли, задавани на минали студентски математически олимпиади, които днес със съвременните информационни средства се решават веднага. За друг клас задачи системите за компютърна алгебра дават неверни решения. Трета група от задачи въобще не могат да се решат с тези системи. Примери: Задачи, давани на Московски, зонални и заключителни турове на Всесъюзните олимпиади [7].

ЗАДАЧА 1. Намерете примитивната за функцията: . Отговор:

.

Системата за компютърна алгебра Mathematica 4.0 дава вярно решение.

Решение с помощта на математическия сайт http :// wims . unice . fr / wims /

Фиг. 10

ЗАДАЧА 2.Решете интеграла: Отговор: .

169

Вярно решение с помощта на системата за компютърна алгебра Mathematica 4.0:

Решение с помощта на математическия сайт http :// wims . unice . fr / wims /

ЗАДАЧА 3.Решете интеграла: , като знаете, че: . Отговор:

.

Системата за компютърна алгебра Mathematica 4.0 дава вярно решение. Решение с помощта на математическия сайт http :// wims . unice . fr / wims / :

Задачата не се решава, отговорът е съобщението:

“You have entered: f (x) = log(x) log (1+x). The computation of the integral of f (x) from 0 to 1 has failed. Please verify that f  is well-defined in the interval. “

ЗАДАЧА 4. Решете интегралa: Отговор. .

Системата за компютърна алгебра Mathematica 4.0 дава невярно решение.Решение с помощта на математическия сайт http :// wims . unice . fr / wims / :

ЗАДАЧА 5. Докажете,че при всяко цяло n е изпълнено:

Системата за компютърна алгебра Mathematica 4.0 дава вярно символно решение.

ЗАДАЧА 6. Решете интеграла: . Отговор. .

Системата за компютърна алгебра Mathematica 4.0 дава вярно решение. Решение с помощта на математическия сайт http :// wims . unice . fr / wims / :

ЗАДАЧА 7. Докажете,че: = .

Системата за компютърна алгебра Mathematica 4.0 не решава този интеграл.Решение с помощта на математическия сайт http :// wims . unice . fr / wims / :

170

Задачата не се решава, отговорът е съобщението: “You have entered: f (x) = arctg(sqrt(cos(2x)/(2cos(x) cos(x)))). The computation of the integral of f (x) from 0 to pi/4 has failed. Please verify that f  is well-defined in the interval.”

5. Изводи

В тази част се обсъжда състоянието и проблемите, които поставя пред преподавателите и обучаемите едно съвременно WEB – базирано обучение по математика. Посочени са примерни теми за провеждане на WEB – базирани практически занятия, на които се решават и обсъждат нови по същество математически задачи, използувайки част от богатите налични WEB – математически ресурси. Очевидно е назряла необходимостта от бърза преквалификация на преподавателите по математика; те трябва да имат, макар и основни, познания за програмиране (на HTML и DHTML или на други езици, на които се програмира в INERNET), както и познания в областта на компютърния дизайн (работа с редактори Front Page, Dreamweaver и др.).

Отделено е място и за построяване на сложни математически обекти on – line. Във връзка с последното посочваме интересния доклад по покана, изнесен от д – р Евгения Сендова [8], в който фракталните обекти са построени след програмиране на езика ЛОГО. В нашия случай това се избягва и построяването е възможно без предварително програмиране, само чрез използуване на фракталните експлорери on – line, така, както е посочено на адреса: http :// free . bol . bg / annavioletta / .

Литература

1. Александров П. С. , Несколько слов из воспоминаний о Гильберте, Успехи математических наук, т. 36, выпуск 1 (217), 233 – 236.

2. Арнолд Вл., Защо изучаваме математика ?, “ Математика +”,1995, бр. 3, стр. 38.3. Арнолд Вл., Антинаучната революция и математиката, “ Математика +”,1999, бр. 1,

стр. 2 – 4.4. Дийодоне Ж., Увод в съвременния анализ, София, 1972 г.

5. Манделброт , Б. Фракталните обекти: форма, случайност, размерност, София, 1996г.

5. Манолов Сп. и др., Висша математика, ч. 3, ч. 4, София, “Техника”, 1977, 1974.6. Садовничий В. А, Григорян А. А., Конягин С. В., Задачи студенческих олимпиад,

Издательство Московского Университета, 1987.7. Сендова Евг., Да разчупим традицията с малко хаос, МАТЕМАТИКА И

МАТЕМАТИЧЕСКО ОБРАЗОВАНИЕ, Proceeding of thirty First Spring Conference of the union of Bulgarian Mathematicians Borovets, April 3 – 6, 2002.

8. Bieberbach L., Differentialgleichungen, Berlin, Verlag von Julius Springer, 1930.9. Forsyth A. R., Lehrbuch der Differential – Gleichungen, Druck und Verlag von Friedr.

Vieweg & Sohn, 1912.

171

172