第 7章　時系列データの季節調整

経済統計 ｰ ｰ

この章の内容

Ⅰ 　時系列データとはa) 　データの種類b) 　時系列データの特

性

Ⅱ 　古典的時系列分析a) 　時系列データの成

分 b) 　トレンドの抽出c) 　季節変動の抽出d) 　季節調整法の実際

＜おもなポイント＞• 季節性を含むデータの簡単な

分析法である、前年同期比はどのような方法で、どのような問題点があるのか。

• 古典的時系列分析において、トレンドの抽出、季節変動の抽出はどのような方法があるのか。

など

Ⅰ 　時系列データとは

a) 　データの種類 時系列データ

• データを時間の順序に並べたもの• 過去の変動から現状を把握し、将来を予測するなどの目的

に用いられる（例）年次データ、四半期データ、月次データ、日次データ※ 　四半期データ　－　 1 年を 1 月 ~3 月、 4 月 ~6 月、 7 月 ~9 月、 10

月 ~12 月の 4 つに分けたもので、それぞれを第Ⅰ四半期、第Ⅱ四半期、第Ⅲ四半期、第Ⅳ四半期という。

クロスセクションデータ• 1 時点において何らかの属性に関してならべたデータ• 地域差などの現状把握に用いられる（例）都道府県別データ、収入階級別データ

年 鳥取県 島根県 岡山県 広島県 山口県2001 61 72 190 251 1522002 79 73 169 202 1412003 61 74 175 187 1292004 51 47 159 189 1062005 45 69 148 187 1162006 39 46 144 165 1082007 34 42 115 132 1152008 30 42 114 128 912009 37 33 107 142 1082010 42 31 109 127 96

鳥取県の交通事故死亡者数の年次推移　 → 時系列データ

（単位：人）

2010 年の県別交通事故死亡者数　 → クロスセクションデータ

（例） 交通事故死亡者数の推移 ( 中国地方 5県 )

(データ出典： 警察庁「交通事故死者数について」 )

＜時系列データとクロスセクションデータ＞

b) 　時系列データの特性 時系列データを用いた分析をおこなうとき、分析者

はどのような間隔のデータを用いるかを選ぶ必要がある。（例１）　年次データ

日本経済の長期的な変動をみるとき　→　実質 GDPの年次データなどの比較的間隔の長いデータを用いる

（例２）　日次データ

株価などの変動の激しいデータを分析するとき　→　日次データなどの比較的間隔の短いデータを用いる※ 　最近では秒次データの分析なども試みられている

GDP実質 の推移

300,000

350,000

400,000

450,000

500,000

550,000

600,000

1980 1983 1986 1989 1992 1995 1998 2001 2004

暦年

GDP実質10（ 億円）

8500

9000

9500

10000

10500

8/2

8/9

8/16

8/23

8/30 9/6

9/13

9/20

9/27

10/4

10/1

1

10/1

8

10/2

5

11/1

11/8

11/1

5

11/2

2

11/2

9

株価指数(円)

日付

東証株価(日経225種平均・終値)(2010年8月- 11月)

　分析にどのようなデータを用いるかは、分析の目的だけでなく、調査や集計・公表の間隔に依存する。

　たとえば、もし次のようなデータが分析に必要であっても、存在しないため利用することはできない。

• GDP の月次データ　－　四半期ごとのデータしか集計されていない。

• 毎週の失業率のデータ　－　『労働力調査』は毎月末 1 週間の就業状態を調査するものであり、毎週の失業率は調査されていない。

＜時系列データ分析のはじめの一歩＞　　前期のデータと比べ、どの程度の増減があったか

（対前期比）を調べることが、時系列データにおいて最初におこなうことである。（年次データなら前年、日次データなら前日と比べる）

　（例）ある商店の売上が次のようであった。　　　　　　　　　 2009 年　　　　 2010 年　　　　　　　　　 500 万円　　　 600 万円　この商店の 2010 年の売上は 2009 年を 100 とした

とき、 120 となる。　「この商店の 2010 年の売上は対前期比（この場合

は対前年比） 20 ％増」

　対前期比は四半期データや月次データに用いるとき、注意が必要

　→　データが季節による変動（季節変動、季節性などという）をもつ場合には誤った結論をみちびくおそれがある。

　 2001 年の第Ⅰ四半期は 2000 年の第Ⅳ四半期に比べて売上が落ちている　→百貨店は毎年第Ⅳ四半期の売上が良い（「歳末商戦」といわれる）

百貨店売上高の推移

220

240

260

280

300

320

340

1996

Ⅰ

1996

Ⅲ

1997

Ⅰ

1997

Ⅲ

1998

Ⅰ

1998

Ⅲ

1999

Ⅰ

1999

Ⅲ

2000

Ⅰ

2000

Ⅲ

2001

Ⅰ

2001

Ⅲ

年・四半期

(10

0)

売上高

億円

データ出典： 経済産業省『商業動態統計』

＜季節性を含むデータの簡単な分析＞　前年同期比を用いる。前年同期比は、前年の同じ時

期を 100 としたとき、今期がどれぐらいの大きさとなるかをあらわしたものである。

四半期データの場合

　　

1004

t

t

y

y

今期のデータ

前年の同じ時期のデータ百貨店売上高の推移

220

240

260

280

300

320

340

1996

Ⅰ

1996

Ⅲ

1997

Ⅰ

1997

Ⅲ

1998

Ⅰ

1998

Ⅲ

1999

Ⅰ

1999

Ⅲ

2000

Ⅰ

2000

Ⅲ

2001

Ⅰ

2001

Ⅲ

年・四半期

(10

0)

売上高

億円

（例）　 2001 年第Ⅰ四半期のデータであれば、 2000 年第Ⅰ四半期のデータと比較する。

月次データの場合

　これは前年同月比ともいわれる。

10012

t

t

y

y

今月のデータ

前年の同じ月のデータ

データ出典： ビール酒造組合『月別ビール課税移出数量 (会員5社 ) 』

（例）　 2009 年 12 月のデータであれば、 2008 年 12 月のデータと比較する。

050000

100000150000200000250000300000350000400000450000

2007年01月 2008年01月 2009年01月

課税移出数量(kl)

ビール国内課税移出数量(ビール酒造組合調べ)

百貨店売上高の推移（商業販売年報より作成）

220

240

260

280

300

320

340

1995

Ⅰ19

95Ⅲ

1996

Ⅰ19

96Ⅲ

1997

Ⅰ19

97Ⅲ

1998

Ⅰ19

98Ⅲ

1999

Ⅰ19

99Ⅲ

2000

Ⅰ20

00Ⅲ

年・四半期

売上高(100 )億円

( )百貨店売上高の推移 前年同期比

104.0102.0

100.0101.9

109.7

95.0

100.098.5

91.1

101.6

96.295.395.797.296.897.1

98.497.196.3

97.3

90

95

100

105

110

1996

Ⅰ

1996

Ⅱ

1996

Ⅲ

1996

Ⅳ

1997

Ⅰ

1997

Ⅱ

1997

Ⅲ

1997

Ⅳ

1998

Ⅰ

1998

Ⅱ

1998

Ⅲ

1998

Ⅳ

1999

Ⅰ

1999

Ⅱ

1999

Ⅲ

1999

Ⅳ

2000

Ⅰ

2000

Ⅱ

2000

Ⅲ

2000

Ⅳ

年・四半期

前年同期比( =100)前年

＜前年同期比の問題点＞　　１．　不規則変動の影響　　ある期のデータが平年と異なった値をとったとき、前年同期比は影響をうける。　（例） 1997 年の第Ⅰ四半期（第Ⅱ四半期も同様）

1997 年第Ⅰ四半期が平年より高い値をとったので• 1997 年第Ⅰ四半期の前年同期比は通常より高めになる。• 1998 年第Ⅰ四半期は、反対に通常より低めになる。この場合は、 1997 年第Ⅱ四半期も平年より低い値をとったので• 1997 年第Ⅱ四半期の前年同期比は通常より低めになる。• 1998 年第Ⅱ四半期は、反対に通常より高めになる。

　　２．　タイミングの問題　　経済時系列データは景気変動などにより、循環的な変動をするこ

とがある。（詳しくは後述）　　景気判断をおこなう場合などには、「どこが底か」を知りたいの

であるが、前年同期比にはタイミングのずれがある。

　　この仮想の月次データについて前年同月比を取ると、転換点から若干の遅れが出るのがわかる。

　　そのため、データから季節性のみをとり除くための方法が必要となる。

　⇒　その方法は季節調整法といわれる方法で、古典的時系列分析の応用例の 1 つである。

仮想データとその前年同月比

98

100

102

1月 4月 7月 10月 1月 4月 7月 10月 1月 4月

原系列前年同月比

Ⅱ 　古典的時系列分析a) 　時系列データの成分 時系列データは次の 4 つ成分が組み合わさってでき

たものと想定する。１．トレンド（ Trend ）

経済成長などの長期的な変動２．サイクル（ Cycle ）景気循環などの周期的な変動

３．季節変動（ Seasonal variation ）季節による変動

４．不規則変動（ Irregular variation ）上の 3 つに含まれない変動

ただし、これらの成分は実際に観測できるものではなく、あくまで仮定の話である。

右のデータは時系列データについての仮想例である。

この例は下のような 4 つの成分を加えたものである。

トレンド

02468

10121416

1980

Ⅰ

1981

Ⅰ

1982

Ⅰ

1983

Ⅰ

1984

Ⅰ

1985

Ⅰ

1986

Ⅰ

1987

Ⅰ

1988

Ⅰ

1989

Ⅰ

1990

Ⅰ

1991

Ⅰ

1992

Ⅰ

1993

Ⅰ

1994

Ⅰ

1995

Ⅰ

1996

Ⅰ

1997

Ⅰ

1998

Ⅰ

1999

Ⅰ

サイクル

- 0.6

- 0.4

- 0.2

0

0.2

0.4

0.6

1980

Ⅰ

1981

Ⅰ

1982

Ⅰ

1983

Ⅰ

1984

Ⅰ

1985

Ⅰ

1986

Ⅰ

1987

Ⅰ

1988

Ⅰ

1989

Ⅰ

1990

Ⅰ

1991

Ⅰ

1992

Ⅰ

1993

Ⅰ

1994

Ⅰ

1995

Ⅰ

1996

Ⅰ

1997

Ⅰ

1998

Ⅰ

1999

Ⅰ

季節変動

- 1- 0.8- 0.6- 0.4- 0.2

00.20.40.60.8

1

1980

Ⅰ

1981

Ⅰ

1982

Ⅰ

1983

Ⅰ

1984

Ⅰ

1985

Ⅰ

1986

Ⅰ

1987

Ⅰ

1988

Ⅰ

1989

Ⅰ

1990

Ⅰ

1991

Ⅰ

1992

Ⅰ

1993

Ⅰ

1994

Ⅰ

1995

Ⅰ

1996

Ⅰ

1997

Ⅰ

1998

Ⅰ

1999

Ⅰ

不規則変動

- 1.5

- 1

- 0.5

0

0.5

1

1.519

80Ⅰ

1981

Ⅰ

1982

Ⅰ

1983

Ⅰ

1984

Ⅰ

1985

Ⅰ

1986

Ⅰ

1987

Ⅰ

1988

Ⅰ

1989

Ⅰ

1990

Ⅰ

1991

Ⅰ

1992

Ⅰ

1993

Ⅰ

1994

Ⅰ

1995

Ⅰ

1996

Ⅰ

1997

Ⅰ

1998

Ⅰ

1999

Ⅰ

時系列データの仮想例

02468

1012141618

1980

Ⅰ19

81Ⅰ19

82Ⅰ19

83Ⅰ19

84Ⅰ19

85Ⅰ19

86Ⅰ19

87Ⅰ19

88Ⅰ19

89Ⅰ19

90Ⅰ19

91Ⅰ19

92Ⅰ19

93Ⅰ19

94Ⅰ19

95Ⅰ19

96Ⅰ19

97Ⅰ19

98Ⅰ19

99Ⅰ

年・四半期

原系列

トレンド＋サイクル

トレンド＋サイクル＋季節変動

トレンド、サイクル　 1990 年頃までの日本の経済データの多くは、周期的な上昇下降

をくり返しながら、右上がりの傾向を示している。（実質 GDPのグラフを参照）

　これは、トレンドとサイクルが組み合わさったものと考えられる。 トレンド

02468

10121416

1980

Ⅰ

1981

Ⅰ

1982

Ⅰ

1983

Ⅰ

1984

Ⅰ

1985

Ⅰ

1986

Ⅰ

1987

Ⅰ

1988

Ⅰ

1989

Ⅰ

1990

Ⅰ

1991

Ⅰ

1992

Ⅰ

1993

Ⅰ

1994

Ⅰ

1995

Ⅰ

1996

Ⅰ

1997

Ⅰ

1998

Ⅰ

1999

Ⅰ

サイクル

- 0.6

- 0.4

- 0.2

0

0.2

0.4

0.6

1980

Ⅰ

1981

Ⅰ

1982

Ⅰ

1983

Ⅰ

1984

Ⅰ

1985

Ⅰ

1986

Ⅰ

1987

Ⅰ

1988

Ⅰ

1989

Ⅰ

1990

Ⅰ

1991

Ⅰ

1992

Ⅰ

1993

Ⅰ

1994

Ⅰ

1995

Ⅰ

1996

Ⅰ

1997

Ⅰ

1998

Ⅰ

1999

Ⅰ

+トレンドサイクル

02468

10121416

1980

Ⅰ

1981

Ⅰ

1982

Ⅰ

1983

Ⅰ

1984

Ⅰ

1985

Ⅰ

1986

Ⅰ

1987

Ⅰ

1988

Ⅰ

1989

Ⅰ

1990

Ⅰ

1991

Ⅰ

1992

Ⅰ

1993

Ⅰ

1994

Ⅰ

1995

Ⅰ

1996

Ⅰ

1997

Ⅰ

1998

Ⅰ

1999

Ⅰ

不規則変動　不規則変動は 2 種類のものを含んでいる。

１．比較的小さなランダムな変動２．戦争、天災、制度の変更などによる突発的な変

動（例）　百貨店売上高

　 1997 年 4 月に消費税が 3% から 5% に引き上げられた。

　→　この年の第Ⅰ四半期に「駆け込み需要」、第Ⅱ四半期に「買い控え」の傾向がみられる

　これは不規則変動の 2番目の種類である。

時系列データの 4 つの成分は直接観測することはできない

どのように組み合わさっているかは分からない　　→　モデルを仮定する

　　 (1) 　加法モデル　ｙ t＝ Tt+Ct+St+It　　 (2) 　乗法モデル　ｙ t＝ Tt×Ct×St×It

季節調整法　原系列から季節変動 St をとり除くこと。加法モデルを仮定した場合は ｙ t-St 、乗法モデルを仮定した場合には ｙ t/St が季節調整値（季節調整済み系列ともいう）となる。季節調整値をもとめるには、

１．トレンド TCt をとり除く２．不規則変動 It をとり除く３．このようにしてもとめた季節変動 St を原系列 yt からと

り除くyt

TCt

SItIt

St

yt-St 　または　 yt/St

b) 　トレンドの抽出 系列の小さな変動を考えない大局的な変動をトレン

ドと考える。 Tt と Ct を分離することは困難なので、この 2 つを

あわせたものを、トレンドとよび、 TCt であらわす。 トレンドを抽出するには

• トレンドに特定の形を想定する方法• トレンドに特定の形を想定しない方法

　がある。

＜トレンドに特定の形を想定する方法＞• トレンドに直線や 3 次曲線、指数曲線などの特定

の関数形を想定するもの。（例）　 yt = α + βt + ut

• 回帰分析などの手法を用いてもとめた、 α + βt 　の推定値がトレンド

＜長所＞将来のトレンドの予測値をもとめる場合、t+1, t+2… を代入すればよい

＜短所＞どのような関数形を用いるかに、分析者の判断が必要（ 1 次式と 2 次式のどちらが良いのか など）

＜トレンドに特定の形を想定しない方法＞• 代表的なものに移動平均法を用いる方法がある。• 移動平均法はその期と前後 k 期の値の平均を、 1

期ずつ移動しながら平均する手法であり、 k=1とするなら、 3項移動平均である。

• 移動平均には系列の大幅な上下変動を「ならす」効果がある。

　 下の表のようなデータ (仮想データ ) について３項移動平均をとると、変動の幅は小さくなる。

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999126 106 101 108 103 111 101 106 75 107

111 105 104 107.33 105 106 94 96

3原系列と項移動平均

70

80

90

100

110

120

130

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

原系列3項移動平均

移動平均をとることによって、変動の激しいデータの大局的な動きを見ることができる。

たとえば、株価の変動などは移動平均をとることによって、今後のトレンドの予想をおこなう。

※ 　ただし、株価の変動の分析に用いられる移動平均は後方移動平均（その期以前の移動平均をおこなうこと）であることが多い。

日経平均株価

出典： Yahooサイトより

年・四半期 1996Ⅰ 1996Ⅱ 1996Ⅲ 1996Ⅳ 1997Ⅰ 1997Ⅱ原系列 257 258 263 326 282 245

四半期データの場合、移動平均としては４項移動平均をとる。

　　←　すべての季節の影響を「ならす」ため 移動平均の項数が偶数の場合、どの期に対応する

データか判断することが困難である。　　→　中心化系列の利用

１９９６年第Ⅲ四半期の中心化系列は前後同数の期の影響を受けている。

4項移動平均 276 282.25 279

中心化系列 279.125 280.625

中心化 4項移動平均によって、第 m 期のデータは次のようにもとめられる。

また、乗法モデルの場合は対数をとって

　とし、加法モデルと同じように移動平均をおこなえばよい。

　（実際には乗法モデルを仮定した場合でも、対数変換せずに移動平均をおこなっていることが多い。これは、対数変換したものと、しないものとの差があまり大きくないことによる）

4

)21

21(

)44

(2

1ˆ

2112

211112

mmmmm

mmmmmmmmm

yyyyy

yyyyyyyyy

ttttt ISCTy logloglogloglog

c) 　季節変動の抽出 原系列 yt からトレンド TCt を取り除いたものは、系

列 SIt となる。この SIt から It を取り除けば、季節変動 St が抽出される。

季節変動を抽出する場合、季節変動についての仮定が必要となる。

季節変動は次の 2 つに分けられる• 固定型季節変動• 可変型季節変動

＜固定型季節変動＞• 季節変動が全期間を通して一定と仮定したもの。• SIt 系列を各期ごとに平均したものは、固定型季

節変動の一例である。

＜欠点＞トレンドの増大とともに季節変動の幅が大きくなるような系列に固定型季節変動を仮定すると、トレンドの水準が低いときに季節変動を余分に取りすぎ、トレンドの水準が高くなると不足するということになる。

＜可変型季節変動＞• 季節変動が時間とともに変化すると仮定したもの。• 移動平均法を用いたものが可変型季節変動の一例

である。• たとえば、各期の SIt 系列に 3項移動平均を 2回繰り返すことなどが考えられる。

＜移動平均を繰り返す方法の欠点＞　　⇒　末端のデータが欠損してしまうこと

　何らかの加重平均を用いて補う必要がある。

ある xt という系列に 3項移動平均を取ると

となる。これを 2回繰り返すと

となり、各期のウエイトが異なる加重移動平均をおこなうことに等しい。

3ˆ 11

tttt

xxxx

9

2323

333

3

ˆˆˆˆ̂

2112

211112

11

ttttt

ttttttttt

tttt

xxxxx

xxxxxxxxx

xxxx

d) 　季節調整法の実際 現在日本の官庁統計で多く用いられているものは、

センサス局法Ⅱである。 センサス局法は移動平均法をもとに発展したもの。 現在は X-12-ARIMA というバージョンのプログラム

が開発されて、これが広く用いられている。 移動平均法に確率的時系列モデルを組み合わせたも

の

X-12-ARIMA の手順X-12-ARIMA は 3 つのパートから成り立っている。

X-11による移動平均パート

（季節調整法のメイン）

事後診断パート

regARIMAによる事前調整パート

（異常値や曜日変動などをとり除く）

X-11 のデフォルトの計算方法の概略は次のようになる。

＜第 1段階＞(1) 原系列に中心化 12 か月移動平均をおこない、

初期トレンド TCt(1) とする。

(2) 原系列 yt を TCt(1) で割ることによって初期の

SIt(1) を求める。(3) SIt(1) について各月別に 3×3 移動平均 (3項移動

平均した系列に、さらに 3項移動平均をおこなう ) をおこない、暫定の S^t

(1) を求める。(4) 暫定の S^t

(1) を S^t(1) の中心化 12項移動平均

で割ったものを初期季節変動 St(1) とする。

(5) 原系列を St(1) で割ることによって、初期の季節

調整済み系列 TCIt(1) を求める。

＜第 2段階＞(1) TCIt(1) に Henderson の移動平均 ( どのような

移動平均項数をとっても、ほぼ 3 次曲線を再現できるもの ) を適用して中間のトレンド TCt

(2) をもとめる。

(2) 原系列 yt を TCt(2) で割ることによって SIt(2) を

求める。(3) SIt(2) について各月別に 3×5 移動平均 (3項移動

平均した系列に、さらに 5項移動平均をおこなう ) をおこない、暫定の S^t

(2) を求める。(4) 暫定の S^t

(2) を S^t(2) の中心化 12項移動平均

で割ったものを St(2) とする。これが最終的な季

節変動である。(5) 原系列を St

(2) で割ることによって、季節調整済み系列 TCIt(2) を求める。

＜第 3段階＞(1) TCIt(2) に Henderson の移動平均を適用して最

終的なトレンド TCt(3) をもとめる。

(2) TCIt(2) を TCt(3) で割ったものが最終的な不規則

変動 It(3) である。