제 제 77 장 장 유한 임펄스 응답 필터 설계유한 임펄스 응답 필터 설계

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유한 임펄스 응답 (FIR) 필터– 임펄스 응답이 유한한 특성– 선형 위상응답과 매개변수 양자화 영향에 강함– 설계 과정이 복잡함

• 긴 시간지연• 요구되는 필터사양에 대해 높은 차수가 필요

1. 1. 서론서론

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기본적인 FIR 필터의 특성(1)현재의 출력 표본 은 단지 과거와 현재의 입력

값인 의 함수로 표현됨

(2) FIR 필터는 정확하게 선형적인 위상응답을 가진다 .

(3) FIR 필터는 구현하기 매우 간단하다 .• 통용되는 모든 디지털 신호처리기는 FIR 필터처리에 적합한 구조를 가짐

• 비순환 FIR 필터는 IIR 필터보다 유한단어길이 (wordlength)에 대한 영향이 적다 .

( )y n ( )x n

1

0

( ) ( ) ( )N

k

y n h k x n k

1

0

( ) ( )N

k

k

H z h k z

(7-1)

(7-2)

2. FIR 2. FIR 필터의 기본 특성필터의 기본 특성

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필터의 위상 응답– 신호가 필터를 통과할 때 신호의 진폭이나 위상이 변형

• 변형의 속성이나 정도는 필터의 진폭 및 위상 특성에 기인함

– 신호의 위상 특성 변화 정도를 가늠하는 척도• 필터의 위상지연 (phase delay)

– 신호의 각 주파수 성분이 필터를 통과하는 과정에서 얻어지는 시간지연의 양

• 필터의 군지연 (group delay)– 혼합 신호가 각 주파수에서 나타나는 평균 시간지연

3. 3. 선형 위상 응답선형 위상 응답

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– FIR 필터의 주파수 응답 특성

• 필터의 위상지연 와 군지연 는 다음과 같다 .

0

( )

( ) ( )

= ( )

Nj T j kT

k

j T j

H e h k e

H e e

(7-3)

여기서

이며 , 는 의 연속 위상을 나타낸다 .

( ) arg ( )j TH e (7-4)arg ( )j TH e ( )j TH e

p g

( )p

( )g

d

d

(7-5)

(7-6)

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– 비선형적인 위상특성의 필터• 신호가 필터를 통과하는 과정에서 위상의 왜곡 유발

– 신호의 주파수 성분이 주파수 값에 비례해 지연되지 않아 이들 사이의 분포가 달라지기 때문

– 필터가 선형 위상응답 특성을 가질 조건

( )

( )

(7-7)

(7-8)

여기서 와 는 상수이다 .

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• 위의 조건 만족을 위해서 필터의 임펄스 응답은 양의 대칭이 되어야 한다 .

– 식 (7-3) 과 (7-4) 로 부터 다음을 얻을 수 있다 .

1 0

0

( )

( )sin = tan

( )cos

N

nN

n

h n nT

h n nT

0

0

( )sintan =

( ) cos

N

nN

n

h n nT

h n nT

그러므로

(7-9)

(7-10)

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– 식 (7-12) 가 성립하기 위해서는 이나 가 대칭성을 가져야 하기 때문에 이 식의 해는 다음과 같이 표현된다 .

0

( ) cos sin sin cos 0N

n

h n nT nT

0

( )sin( ) 0N

n

h n nT

(7-11)

(7-12)

따라서

즉

( )h n sin( )nT

0,1, , ( : )2( ) ( ),

10,1, , ( : )

2

Nn N

h n h N nN

n N

짝수

홀수

/ 2NT

(7-13)

(7-14)

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– 단지 식 (7-8) 의 조건만이 만족될 때 필터는 일정한 군지연만 가짐

» 필터의 임펄스 응답은 음의 대칭을 이룸( ) ( )h n h N n

( ) / 2NT

/ 2

(7-15)

(7-16)

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그림 7-1. 4가지 유형의 선형위상필터에 대한 임펄스 응답 :

위상지연과 군 지연 모두 일정할 때 : (a) 짝수 인 양의 대칭 , (b) 홀수 인 양의 대칭

군 지연만이 일정할 때 : (c) 짝수 인 음의 대칭 , (d) 홀수 인 음의 대칭

N N

N N

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예제 7-1(1)디지털 필터가 선형위상 특성을 가지기 위해 필요한

조건들에 대해 간략히 설명하고 , 그러한 특성을 가진 필터들의 장점을 서술하라

(2)임펄스 응답 을 가지는 FIR 필터가 구간에서 정의되어 있다 . 이고 , 이 다음의 대칭 조건을 만족한다면 필터가 선형위상 특성을 가진다는 것을 보여라 .

(3) 일 경우에 대해 (2) 를 반복하라 .

( )h n 0 n N 10N ( )h n

( ) ( )h n h N n

9N

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(1)임펄스 응답이 반드시 대칭이 되어야 한다 .

(2)대칭 조건을 사용하면 에서 다음과 같다 .

( ) ( ) ( ) ( )h n h N n h n h N n 또는

선형위상 응답을 가지는 필터에서는 모든 주파수 성분이 필터를 통과할 때 지연은 동일하다 . 즉 위상 왜곡은 일어 나지 않는다 . 10N

(0) (10)

(1) (9)

(2) (8)

(3) (7)

(4) (6)

h h

h h

h h

h h

h h

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• 필터의 주파수 응답 는 식 (7-3) 에서와 같이 를 이용해 표현할 수 있다 .

• 대칭 조건을 이용하여 계수들이 동일한 항끼리 묶을 수 있다 .

( )H j Tz e

10

0

2 3 4 5

6 7 8 9 10

5

( ) ( )

= ( )

= (0) (1) (2) (3) (4) (5)

+ (6) (7) (8) (9) (10)

= [ (0)

j T

jk T

k

j T j T j T j T j T

j T j T j T j T j T

j T

H H e

h k e

h h e h e h e h e h e

h e h e h e h e h e

e h

5 4 3 2

2 3 4 5

(1) (2) (3) (4) (5)

+ (6) (7) (8) (9) (10) ]

j T j T j T j T j T

j T j T j T j T j T

e h e h e h e h e h

h e h e h e h e h e

5 5 5 4 4 3 3

2 2

5

( )= [ (0)( ) (1)( ) (2)( )

(3)( ) (4)( ) (5)]

[2 (0)cos(5 ) 2 (1)cos(4 ) 2 (2)cos(3 )

2 (3)c

j T j T j T j T j T j T j T

j T j T j T j T

j T

H e h e e h e e h e e

h e e h e e h

e h T h T h T

h

os(2 ) 2 (4)cos( ) (5)]T h T h

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• 이고 이라고 하면 , 는 다음과 같이 축약할 수 있다 .

위상응답은 명확히 선형임

(0) (5)a h ( ) 2 (5 ), 1,2,3,4,5a k h k k ( )H

55 ( )

0

( )= ( )cos( ) ( )j T j

k

H a k k T e H e

여기서5

0

( ) = ( )cos( )k

H a k k T

( ) 5 T

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(3) 인 경우 , 대칭조건에 의해 다음과 같이 둘 수 있다 .

• 위의 접근 방법과 대칭 조건을 이용하면 다음의 주파수 응답을 얻음

9N (0) (9)

(1) (8)

(2) (7)

(3) (6)

(4) (5)

h h

h h

h h

h h

h h

9 /2 9 9 7 7 5 3

3 3

9 /2

( )= [ (0)( ) (1)( ) (2)( )

(3)( ) (4)( )]

[2 (0)cos(9 / 2) 2 (1)cos(7 / 2) 2 (2)cos(5 / 2)

2

j T j T j T j T j T j T j T

j T j T j T j T

j T

H e h e e h e e h e e

h e e h e e

e h T h T h T

( )

(3)cos(3 / 2) 2 (4)cos( / 2)]

= ( ) j

h T h T

H e

여기서5

1

( )= ( )cos[ ( 1/ 2) ]k

H b k k T

( ) (9 / 2) T

1 1( ) 2 ( ), 1, 2, ,

2 2

N Nb k h k k

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표 7-1. 선형적인 위상 FIR 필터들의 4 가지 형태

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선형위상 FIR 필터의 영점

– 양의 대칭 ( 유형 1 과 2) 인 식 (7-13) 을 사용하여 를 나타내면

가 된다 . 선형 위상 FIR 필터는 임펄스 응답 이 가지는 대칭성으로 인하여 의 영점들도 대칭으로 분포

4. FIR 4. FIR 필터의 영점 분포필터의 영점 분포

0

( ) ( )N

k

k

H z h k z

( )H z

0

0

1

( ) ( )

= ( )

= ( )

Nk

k

k N

k N

N

H z h N k z

h k z z

z H z

(7-17)

( )H z

( )h n

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– 영점들의 분포를 네 가지 경우로 나누어 생각해 보자 .

(1) 가 에서 영점을 가진다면

에서 영점을 가진다면 선형 위상이므로

에서도 영점을 가져야 한다 . 또한 이 실수이고 가 복소수라면

에서 켤레 영점을 가져야 한다 . 이는

도 영점이 되어야 함을 의미한다 . 따라서 이 실수 이고 , 각 복소

영점이 단위원 위에 있지 않다면 , 다음과 같은 네 개의 역 켤레

(conjugate reciprocal) 영점들을 가진다 .

( )H z 0z z

0jz re

1 10

jz r e ( )h n 0z

*0

jz re

* 1 10( ) jz r e

1 1 1 1 1 1(1 )(1 )(1 )(1 )j j j jre z re z r e z r e z

( )h n

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(2) 영점이 단위원 위에 있게 되면 이고 이 되므로 ,

즉 이면 , 가 되므로 다음과 같다 .

(3) 의 영점이 실수이고 단위원 위에 있지 않다면

그 역 (reciprocal) 또한 의 영점이며 아래와 같은 쌍으로 나타남

(4) 의 영점이 에 있으면 다음으로 표현됨

1r 1/ 1r

0jz e 1 *

0 0jz e z

1 1(1 )(1 )j je z e z

( )H z

( )H z

( 0 또는 )

1 1 1(1 )(1 )rz r z

( 1 =0r 및 또는 )1z ( )H z

1(1 )z

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– 영점이 에 있는 경우는 식 (7-17) 로 부터

이므로 , 이 홀수인 대칭 임펄스 응답인 경우 는 에서 반드시 한 개의 영점을 가져야 한다 .

– 비대칭 임펄스 응답인 유형 3( 짝수의 ) 과 유형 4(홀수의 ) 에 대해서는 식 (7-17) 로 부터

이다 . 식 (7-18) 는 비대칭인 경우에 의 영점들이 대칭인 경우와 마찬가지로 영점들이 제한되어야 함을 의미한다 .

1z

( 1) ( 1) ( 1)NH H

N 1z ( )H z

N N

1( ) ( ) ( )NH z z H z (7-18)

( )H z

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그림 7-2. 선형 위상 FIR 필터의 영점들의 위치

(a) 유형 1(짝수의 ), (b) 유형 2(홀수의 ), (c) 유형 3(짝수의 ), (d) 유형 4(홀수의 )N N N N

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유한 임펄스 응답 필터 설계– 필터 사양들을 결정

• 필터의 형태• 요구되는 진폭이나 위상응답• 허용오차• 표본화 주파수• 입력 데이터의 단어길이

– 필터 사양을 만족하는 필터의 계수를 결정• 창함수 방법• 최적화 방법• 주파수 표본화 방법

5. FIR 5. FIR 필터 설계 사양필터 설계 사양

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FIR 필터와 관련된 필터 사양– 주요 매개변수 ( parameter)

• : 통과대역 첨두 편차값 ( 또는 파상 (ripple))

• : 저지대역 ( 또는 소거대역 ) 편차값• : 통과대역 차단주파수• : 저지대역 ( 또는 소거대역 ) 차단주파수• : 표본화 주파수

– 다른 중요한 매개변수• 필터 계수의 수를 나타내는 필터의 길이

p

r

p

r

s ( 2 )s sf

( 2 )r rf

( 2 )p pf

여기서 와 사이의 차는 필터의 천이 폭 (transition width) 이다 .p r ( 2 )f

N

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그림 7-3. 저역통과필터에 대한 주파수 진폭 응답

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FIR 필터 계수의 결정– FIR 필터의 표현

– FIR 필터 계수 결정• 진폭 - 주파수 응답 및 허용 오차 등과 같은 설계 사양을 만족하는 필터 , 즉 을 얻기 위함

• FIR 필터 계수 결정 방법– 창을 이용한 방법– 최적화 방법– 주파수 표본화 방법

0

( ) ( ) ( )N

k

y n h k x n k

0

( ) ( )N

k

k

H z h k z

( )h k

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창함수를 이용하여 FIR 필터를 설계하는 방법– 이상적인 필터의 주파수 응답 와 그의 대응하는

임펄스 응답 이 가지는 관계를 이용

6. 6. 창함수를 이용한 방법창함수를 이용한 방법

( )IH

( )Ih n

1( ) ( )

2j n

I Ih n H e d

(7-

19)

여기서 아래 첨자 는 이상적인 임펄스 응답과 실제 임펄스 응답을

구분하기 위해 사용 되었다 .

I

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– 저역통과 필터를 설계한다고 가정하자 .• 이상적인 저역통과 응답은 다음과 같다 .

1 1( ) 1

2 22 sin( )

, 0, - =

2 , 0

c

c

j n j nI

c c

c

c

h n e d e d

f nn n

n

f n

(7-20)

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• 이 에 대해서 대칭이므로 선형위상응답이다 .

• 이 로부터 멀어지면 감소하지만 , 이론적으로는 까지 존재하므로 인과성 조건에 위배 되어 이 필터는 FIR 이 아니다 .

그림 7-4. (a) 저역통과필터의 이상적인 주파수응답 ( 주파수 축이 로

정규화 되어 있음 ),(b) 이상적인 저역통과필터의 임펄스 응답

1T

0n n ( )Ih n 0n ( )Ih n

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• 인과성 조건의 위배에 대한 해결– 원하는 필터길이 보다 큰 에 대하여

으로 둠으로써 이상적인 임펄스 응답을 절단 (truncation) 함– 절단되어 버려진 계수들로 인한 효과

» 파상 (ripple)

» 오버슈트 (overshoot)

» 깁스현상 (Gibb’s phenomenon)

– 에 대한 직접적인 절단은 이상적인 임펄스 응답에 구형창 (rectangular window) 함수 을 곱하는 것과 같다 .

nN ( ) 0Ih n

( )Ih n( )w n

1, 0,1, ,( )

0,

n Nw n

그 이외의경우

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그림 7-5. 이상적인 임펄스 응답을 절단 했을 때의 주파수 응답에서의 효과 (a) 개의 계수로 절단 (b) 개의 계수로 절단 (C) 무한한 수의 계수 ( 즉

절단이 없을때 ) N 2N

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– 이상적인 임펄스 응답을 절단 했을 때 주파수 응답» 주파수 영역에서 절단의 과정은 가 의

푸리에 변환이라면 , 와 를 상승적분한 것과 같다 .

» 가 전형적인 의 형태를 가지므로 에 구형창으로 계수를 절단함은 주파수 영역에서 오버슈트와 파상을 일으킴

( )W ( )w n( )IH ( )W

( )W (sin ) /x x ( )Ih n

그림 7-6. 이상적인 임펄스 응답을 절단 했을 때의 주파수 응답에서의 효과를 보여 주는 상승적분 연산 (a)이상적인 임펄스 응답과 구형창 ( 절단 ) 의 상승적분을 보여주는 과정 ,

(b) 상승적분 결과

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– 오버슈트와 파상을 줄이기 위해 유한길이의 적당한 창 함수를 곱함

그림 7-7. 창함수 ( 블랙맨 창 ) 에 의한 필터의 응답 특성

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표 7-2. 주파수 선택적인 필터들의 이상적인 임펄스 응답

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일반적인 창 함수– 해밍 (Hamming) 창 함수

– 해밍창 함수를 이용한 필터 설계• 통과대역과 저지대역 사이의 천이폭과 필터길이에 대한 관계

0.54 0.46cos(2 / ), 0( )

0

n N n Nw n

그 이외의경우

3.32 /F N

(7-21)

(7-22)

여기서 는 정규화된 천이폭으로 , 로 구해지며

는 필터의 길이이다 .

F / /s sF f f

N

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그림 7-8. 창함수의 시간영역 및 주파수 영역의 비교

(a)창함수들 , (b) 구형창의 주파수 특성 , (c) 해밍 (Hamming)창의 주파수 특성 (d) 블랙맨 (Blackman)창의 주파수 특성

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표 7-3. 창 함수들의 중요한 특징

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카이저 (Kaiser) 창 함수– 파상과 천이폭의 상충관계 (trade-off) 를 설계자가 조절

• 파상제어 매개변수 사용 – 는 시간영역에서 창함수 가장자리 부분에서 점점

감소하는 정도를 조절한다 .

– 앞의 4 가지 창 함수들에서 야기되는 문제점들을 다소 해결

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– 카이저 창 함수

일반적으로 일 때 , 구형창 함수와 같아지며 , 일

때는 해밍창 함수와 유사하게 된다 .

22

1

( ) , 0( )

0,

o

o

n NI

Nw n n N

I

그 이외의경우

여기서 는 제 1 종 영차 수정 베셀함수 (zero-order modified Bessel function of the first kind) 이다 .

0 ( )I x

2

01

( / 2)( ) 1

!

kL

k

xI x

k

25L 0 5.44

(7-23)

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• 의 결정– 저지대역에서 요구되는 감쇠 값에 의해 결정– 다음의 관계식을 통해 추정

• 필터의 계수

0.4

0, 21dB

0.5842( 21) 0.07886( 21), 21dB 50dB

0.1102( 8.7) 50dB

A

A A A

A A

(7-24)

여기서 는 저지대역의 감쇠 값으로 , 통과대역과 저지대역의 파상이 거의 같기 때문에 이다 .

1020log ( )A min( , )p s

N

7.95

14.36

AN

f

(7-25)

여기서 는 정규화된 천이폭이다 . 위에서 구한 와 의 값들은 카이저 창함수 의 계수 값들을 계산하기 위해 사용된다 .

F N( )w n

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FIR 필터의 계수 값을 계산하는 창 함수 방법단계 1: 필터의 이상적인 주파수응답이나 또는 원하는

주파수 응답에 대한 사양을 정한다 .

단계 2 : 요구되는 필터 의 임펄스 응답 을 역 푸리에 변환하여 구한다 .

단계 3 : 통과대역과 감쇠 사양들을 만족하는 창 함수를 선택하고 , 필터 길이와 천이폭 사이의 적절한 관계를 고려하여 필터 계수들의 개수를 결정한다 .

단계 4 : 선택된 창 함수 의 값을 결정하고 , 실제 FIR 필터의 계수들 값 , 을 과 의 곱을 통해 구한다 . 즉

( )w n

( )h n ( )Ih n ( )w n

( )Ih n( )IH

f

(7-26)

( ) ( ) ( )Ih n h n w n

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예제 7-2– 창 함수 방법을 이용하여 아래의 사양을 만족하는 FIR

저역통과 필터의 계수 값을 구하라 .

통과대역 차단주파수 천이폭 저지대역 감쇠 표본화 주파수

• 저역통과 필터에 대해 를 아래와 같이 선택한다 .

: 1.5pf kHz

: 0.5f kHz

: 8sf kHz

50dB

( )Ih n

sin( )2 , 0

( )

2 , 0

cc

cI

c

nf n

nh n

f n

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• 표 7-3 으로부터 해밍 , 블랙맨 또는 카이저 창 함수가 저지대역 감쇠 조건을 만족

– 여기서는 해밍창 함수를 이용한다 .

– 정규화된 천이폭을 계산하면 다음과 같다 .

– 식 (7-22) 로부터

– 이므로 으로 정한다 .

/ 0.5 / 8 0.0625sF f f

3.32 / 3.32 / 0.0625 53.12N F 54N

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– 필터 계수는 다음 식으로부터 얻어진다 .

– 창 함수의 번짐효과 (smearing effect) 를 고려하여 천이대역의 중간지점에 해당하는 를 사용한다 .

– 그림 7-4(a) 에서 주파수 축을 로 정규화 하여 표현하고 있으므로 여기서 사용되는 차단주파수도 정규화 하여 표현하면 다음과 같다 .

( ) ( ) 0 54Ih n w n n

( ) 0.54 0.46cos(2 / 54) 0 54w n n n

여기서

cf

' / 2 (1.5 0.25) 1.75[ ]c pf f f kHz

' / 1.75 / 8 0.21875c c sf f f

1T

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– 을 구하기위해 식 (7-20) 에서의 을 방향으로 만큼 전이 (shift) 시킨다 .

– 따라서 위 식에 을 곱하여 을 구할 수 있다 .

( )Ih n n2

N( )h n

2 sin ( )2

, , 02( ) ( )

2

2 ,2

c c

I c

c

Nf n

Nn n N

Nh n n

Nf n

( )w n ( )h n

( ) ( ) ( )Ih n h n w n

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– 이 대칭 함수이기 떄문에 에 대한 값을 계산하고 나머지 계수 값들은 대칭성을 이용함

( )h n (0), (1), , (27)h h h

2 0.218750 : (0) sin( 27 2 0.21875)

27 2 0.218750.00655

(0) 0.54 0.46cos(0) 0.008

(0) (0) (0) 0.00052398

I

I

n h

w

h h w

2 0.218751 : (1) sin( 26 2 0.21875)

26 2 0.218750.011311

(1) 0.54 0.46cos(2 / 54)

0.08311

(1) (1) (1) 0.00094054

I

I

n h

w

h h w

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2 0.218752 : (2) sin( 25 2 0.21875) 0.00248397

25 2 0.21875(2) 0.54 0.46cos(2 2 / 54) 0.092399

(2) (2) (2) 0.000229516

2 0.2187526 : (26) sin( 1 2 0.21875)

1 2 0.21875 0.3121936

I

I

I

n h

w

h h w

n h

(26) 0.54 0.46cos(2 26 / 54) 0.9968896

(26) (26) (26) 0.3112226I

w

h h w

27 : (27) 2 2 0.21875

0.4375

(27) 0.54 0.46cos(2 27 / 54)

1

(27) (27) (27) 0.4375

I c

I

n h f

w

h h w

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그림 7-9. 예제 7-2의 FIR 저역통과 필터의 스펙트럼

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예제 7-3– 카이저 창함수 방법을 이용하여 아래의 진폭응답 사양들을

만족하는 선형 위상응답을 가지는 저역통과 FIR 필터의 계수 값들을 구하라 .

저지대역 감쇠통과대역 파상천이폭표본화 주파수차단 주파수 : 1200pf Hz

: 500f Hz

: 10sf kHz

: 40dB

: 0.01dB

49/92

• 설계 사양들로부터 다음을 구한다 .

• 창 함수 방법에서는 통과대역과 저지대역의 파상들 모두가 동일하기 때문에 더 작은 파상을 사용한다 .

이 경우에서는 이다 .

• 식 (7-25) 로부터 계산된 필터 계수의 개수는 아래와 같다 .

로 정한다 .

20log(1 ) 0.01 , 0.00115p pdB

20log( ) 40 , 0.01r rdB

0.00115r p 20log(0.00115) 58.8dB

7.95 58.8 7.9570.82

14.36 14.36(500 /10000)

AN

F

71N

50/92

• 로 홀수이므로 결과의 FIR 필터는 유형 2 의 필터가 된다 . 파상의 매개변수 감쇠가 58.8 로 구해졌으므로 는 다음과 같다 .

• 창 함수의 번짐효과 (smearing effect) 를 고려하여 천이대역의 중간지점에 해당하는 를 사용한다 .

• 정규화된 다음과 같다 .

71N

0.1102(58.8 8.7) 5.52

cf

1200 / 2 1450cf f Hz

cf

' / 1, 450 /10,000 0.145c c sf f f

51/92

• 을 구하기위해 을 방향으로 만큼 전이 (shift) 시킨다 .

• 따라서 위 식에 을 곱하여 을 구할 수 있다 .

( )Ih n n2

N( )h n

2 sin2

( ) , 0

2

c c

I

c

Nf n

h n n NN

n

( )w n ( )h n

( ) ( ) ( )Ih n h n w n

52/92

• 이 대칭 함수이기 떄문에 에 대한 값을 계산하고 나머지 계수 값들은 대칭성을 이용함

( )h n (0), (1), , (27)h h h

2 0.1450 : (0) sin( 35.5 2 0.145)

35.5 0.145 0.00717

In h

2

0

0

0 0

21

(0)(0) 0.023

( ) (5.52)

n NI

N Iw

I I

(0) (0) (0) 0.000164935Ih h w

53/92

2 0.1451: (1) sin( 34.5 2 0.145) 0.0001449

34.5 2 0.145In h

2

0

0

0 0

695.52 1

71 (1.3)(1) 0.0337975

(5.52) (5.52)

II

wI I

(1) ( 1) (1) (1) 0.000004897Ih h h w

2 0.1452 : (2) sin( 33.5 2 0.145) 0.007415484

33.5 2 0.145In h

2

0

0

0 0

675.52 1

71 (1.8266)(2) 0.04657999

(5.52) (5.52)

II

wI I

(2) ( 2) (2) (2) 0.000345413Ih h h w

54/92

2 0.14535 : (35) sin( 0.5 2 0.145)

0.5 2 0.145 0.280073974

In h

2

0

0

0 0

15.52 1

71 (5.51945)(35) 0.999503146

(5.52) (5.52)

II

wI I

(35) ( 35) (35) (35) 0.279934818Ih h h w

55/92

그림 7-10. 예제 7-3의 FIR 저역통과 필터의 스펙트럼

56/92

창함수 방법의 장단점– 창함수 방법의 중요한 장점은 간결성이다

• 적용하기 간단하며 이해하기도 간단하다 .

• 복잡한 카이저 창 함수를 사용하더라도 계산량은 많지 않다 .

– 주요 단점은 유연성이 부족하다는 점이다 .• 통과대역의 첨두값과 저지대역의 파상이 대략 동일하므로 설계시 너무 작은 통과대역의 파상이나 혹은 너무 큰 저지대역의 감쇠를 유발

– 통과대역과 저지대역의 가장자리 주파수를 정확히 명기할 수 없다 .

– 감쇠 사양이 주어지면 그에 적합한 창 함수를 찾아야 한다 .• 정해진 창 함수에 따라 최대 파상진폭과 저지대역의 감쇠는 고정됨

57/92

FIR 필터의 계수를 계산하는 최적화 방법 (optimal method)– 적응성이 뛰어나고 쉽게 적용가능

• 우수한 설계 프로그램을 이용• FIR 응용에 많이 사용됨

7. 7. 최적화 방법최적화 방법

58/92

기본 개념– 적합한 필터 계수를 계산의 목적

• 원하는 혹은 이상적인 주파수 응답에 적절한 근사값을 찾는 것

– 통과대역과 저지대역이 동일한 파상을 가진다는 개념에 기반

• 이상적인 필터와 실제 응답 사이의 차이는 다음과 같이 구해짐

( ) ( )[ ( ) ( )]IE W H H 여기서 는 이상적인 또는 원하는 응답이고 ,

는 정의된 다른 대역들 사이에서 근사값의 상대적

인 오차를 허용하는 가중함수이다 .

( )IH

( )W

(7-27)

59/92

그림 7-11. (a) 최적의 저역통과필터의 주파수 응답

(b) 통과대역의 이상적인 응답과 실제적인 응답 사이의 오차

(c) 저지대역의 이상적인 응답과 실제적인 응답 사이의 오차

( 2 )p r 1

( )2r p

60/92

• 최적화 방법은 최대 가중오차 가 통과대역과 저지대역에서 최소가 될 수 있도록 필터 계수 을 계산하는 것

이 식은 가 최소화 될 때 최종 필터의 응답이 통과대역과 저지대역 각각에서 진폭의 크기가 같으나 부호가 교번하는 파상을 가짐을 의미

최대값 (maxima) 과 최소값 (minima) 들은 극값 (extrema) 들로 알려짐

• 최적화 방법의 주된 문제점– 극값 주파수들의 위치를 찾는 것

» Remez 교환 알고리즘을 사용

( )E

min[max ( ) ]E

( )h n

max ( )E

61/92

그림 7-12. 최적 필터의 주파수 응답

62/92

– 주어지 사양에 대해 최적화 방법은 다음의 단계로 이루어진다 .

• 최적 개수의 극값 주파수들을 찾기 위해 Remez 교환 알고리즘을 사용한다 .

• 극값 주파수들을 사용하여 주파수 응답을 결정한다 .

• 임펄스 응답 계수들을 구한다 .

63/92

최적화 FIR 필터 설계– 저역통과 필터 설계

• 전달함수는 다음과 같다 .

여기서 • 대칭적인 성질 때문에 다음과 같이 나타낼 수 있다 .

여기서 와 , 이다 .

0

( ) ( )N

k

k

H z h k z

( ) ( )h n h n

/2 /2

1 0

( ) (0) 2 ( )cos ( )cosN N

k k

H h h k k T a k k T

(7-28)

(7-29)

(0) (0)a h ( ) 2 ( )a k h k 1,2, , / 2k N

64/92

• 설계를 위해 , 를 와 같이 정규화된 주파수로 정의한다 . 여기서 은 표본화 주파수이다 .

– 로 정규화하여 와 을 사용한다 . 따라서 는 정규화된 통과대역 , 는 정규화된 저지대역으로 정의한다 .

• 원하는 진폭특성은 다음과 같이 주어진다 .

• 가중함수 를 다음과 같이 정의 한다 .

f / 2 / 2sf f T 1/sf T

/ , /p s p r s rf f f f f f pfrf

0, pf ,0.5rf

1, 0( )

0, 0.5p

Ir

f fH f

f f

(7-30)

1, 0

( )1, 0.5

p

r

f fW f k

f f

(7-31)

( )W f

65/92

• 설계 문제는 다음함수가 최대오차 를 최소화 하는 ,

를 찾는 것이다

• 는 다음과 같이 정의된다 .

여기서 는 와 이다 .

는 와 에 상대적인 가중치를 준다 .

와 에 같은 가중치를 주며 , 따라서 이다 .

/22

0

( ) ( ) ( ) cos 2N

j f

k

H f H e a k k f

( )E f ( )a k

0,1,2, , / 2k N

( )E f

( ) ( )[ ( ) ( )]IE f W f H f H f f 0, pf ,0.5rf

(7-32)

(7-33)

( )W fp r

/p k r /p rk

66/92

– 교번 정리 (Alternation Theorem)• 오차함수 가 와 에서 등파상을 가지고 적어도 개의 극점을 가진다면 , 는 에 가장 가까운 근사치가 된다 . 즉

인 가 존재한다 . 여기서

이며 , 는 양수 또는 음수이다 .

( )E f 0, pf ,0.5rf 2m ( )H f ( )IH f

1( ) ( ) , 0,1, , 1i iE f E f e i l

0 1 ( 1)lf f f l m

[0, ]&[ ,0.5]max ( )

p rf f fe E f

(7-34)

e

67/92

• 개의 극점들이 개의 와 를 구하는데 충분함

• 식 (7-35) 에 식 (7-32) 를 대입하면 다음과 같다 .

• 이 방정식의 집합을 행렬 형식으로 나타내면 다음과 같다 .

2m e1m ( )a k

( ) ( ) ( ) ( 1) , 0,1,2, , 1ii i I iW f H f H f e i m (7-

35)

0

( ) cos 2 ( ) ( 1) , 0,1,2, , 1( )

mi

i I ik i

ea k kf H f i m

W f

0 0 0 0 0

1 1 1 1

11 1 1 1

1 cos 2 cos 4 cos 2 1/ ( ) ((0)

1 cos 2 cos 4 cos 2 1/ ( ) (1)

1 cos 2 cos 4 cos 2 ( 1) / ( ) ( )

1 cos 2 cos 4 cos 2 ( 1) / ( )

I

mm m m m

mm m m m

f f mf W f H fa

f f mf W f a

f f mf W f a m

f f mf W f e

1

1

)

( )

( )

( )

I

I m

I m

H f

H f

H f

(7-36)

68/92

– 요약• 통과대역과 저지대역에서 필터의 원하는 특성 가 주어져 있을때 , 이 대역들에 있는 최대오차 를 최소화 하는 디지털 필터를 구하라 .

1 단계 . 으로 필터의 길이를 선택하라 .

2 단계 . 통과대역과 저지대역에서 개의 점들을 선택하라 . 차단주파수 와 는 개의 점들에 포함된다 .

3 단계 . 식 (7-33) 에서 와 를 계산하라 .

4 단계 . 식 (7-29) 에서 통과대역과 저지대역에 균등하게 분포된 점들에서 를 계산하라 . 만약 몇 개의 에 대해 이면 , 다섯 번째 단계로 가고 , 그 외의 경우이면 여섯 번째 단계로 간다 .

5 단계 . 의 개의 국소적 최소점 또는 최대점을 찾아라 . 이들 개의 점들은 대역 가장 자리 주파수 와 과 함께 개의 극점들로 구성된다 .

6 단계 . 일 때 를 계산하라 . 이때 최적화 필터는 아래와 같이 주어진다 .

( ) ( )[ ( ) ( )]IE f W f H f H f ( )IH f

2 1m

2m if

pfrf 2m

e( )a k

( )E f f ( )E f e

( )E f m m

pfrf 2m

1,2, ,k m (0) (0), ( ) ( ) / 2h a h k a k

0

( ) ( )N

k

k

H z h k z

69/92

예제 7-4– 이상적인 저역통과 필터에 근접한 길이가 3 인 최적화

FIR 필터를 설계하라 . 여기서 이며

• 이므로 을 얻음• 개의 주파수를 선택함 ( 이중 2 개는 차단주파수이고 , 세번째 것은 로 임의적으로 선택한다 .)

• 정규화된 주파수를 계산하면 다음을 얻을 수 있다 .

1[rad],pT 1.2[rad]rT 2k

2 1 3N m 1m

2 3m 0.5T

0 1 20.5 / 2 , 1/ 2 , 1.2 / 2f f f

70/92

• 그리고 이기 때문에 다음과 같이 된다 .

• 이를 풀면 그리고 이다 . 따라서 는 다음과 같다 .

• 이므로 와 에서의 오차는 이고 , 에서의 오차는 0.196 이다 . 이는 를 만족하지 않으므로 최적화 필터의 특성이 아니다 .

0 1 2 0 1( ) ( ) 1, ( ) 0, ( ) ( ) 1/ 2I I IH f H f H f W f W f 2( ) 1W f

1 0.8776 2 (0) 1

1 0.5403 2 (1) 1

1 0.3624 1 0

a

a

e

(0) 0.645, (1) 2.32,a a 0.196e ( )H f

( ) 0.645 2.32cos 2H f f (7-37)

2k 0f 1f 2 0.196 0.392 2f( )E f e

71/92

• 의 새로운 집합을 선택한다 . – 에서 한 개의 최대점을 가지고

에서 최소점을 가짐– 에서의 오차가 에서의 오차보다 크기때문에 를 새로운 끝점으로 선택한다 .

와 그리고 을 가진다 . 에 대해 식 (7-36) 은 다음과 같이 된다 .

if

0f 0.5f 0.5f 0f 0.5f

0 1 2

1 1.20.5

2 2f f f

0 1 2 0( ) 1, ( ) ( ) 0, ( ) 0.5,I I IH f H f H f W f 1 2( ) ( ) 1W f W f if

1 0.5403 2 (0) 1

1 0.3624 1 (1) 0

1 1 1 0

a

a

e

72/92

• 이를 풀면 그리고 이다 . 따라서

는 다음과 같다 .

• 이 필터에 대해 와 에 있는 모든 에 대해

을 가진다 . 그러므로 최적화 필터의 특성을 가진다 .

로 계산되고 , 최적화 필터의 전달함수는 다음과 같이 구해진다 .

(0) 0.144, (1) 0.45,a a 0.306e( )H f

( ) 0.144 0.45cos 2H f f (7-38)

0,1/ 2 1.2 / 2 ,0.5 f

( ) 0.306E f

1 2( ) 0.225 0.144 0.225H z z z

(0) 0.144, ( 1) 0.45 / 2 0.225h h

(7-39)

73/92

그림 7-13. 필터 길이가 3 인 최적화 필터를 설계하기 위해 계산된 의 특성곡선

(a) (b)

( )H f

( ) 0.645 2.32cos 2H f f ( ) 0.144 0.45cos 2H f f

74/92

Matlab 프로그램을 이용한 최적화 방법– Park-McClellan 과 Remez 알고리즘을 기반– Remez 는 최적화 방법으로 FIR 계수 계산위해 중요

• 명령어는 다음과 같은 구성을 가진다 .

remez( )b N -1,F, M

remez( )b N -1,F, M, WT

여기서 은 필터의 길이를 의미한다

는 정규화된 대역 가장자리 주파수들의 값을 나타낸다 .

은 지정된 대역 가장자리 주파수에서 요구되는 필터의

진폭응답을 나타낸다 .

는 파상들 사이의 상대적인 가중치이다 .

N

F

M

WT

75/92

예제 7-5– 최적화 방법을 사용하여 다음의 특성을 가지는 저역통과

선형위상 필터의 계수를 계산하고 , 주파수 응답을 그려라 .

통과대역 : 0 – 1000Hz

천이대역 : 500Hz

필터 길이 : 45

표본화 주파수 : 10,000Hz

76/92

• 대역 가장자리 주파수들은 나이퀴스트 주파수로 먼저 정규화 되어야 한다 .

• 따라서 정규화된 대역 가장자리 주파수 F 의 값들은 다음과 같다 .

• 통과대역에서 요구되는 진폭 응답은 1 이고 , 저지대역에서는 0 이기 때문에 요구되는 진폭응답의 값은 다음과 같다 .

1000 / 5000 0.2

1500 / 5000 0.3

5000 / 5000 1

[0, 0.2, 0.3, 1]F

[11 0 0]M

77/92

표 7-4. 예제 7-5의 최적화 방법에 의해 계산된 대역통과 선형위상 필터 계수들

78/92

그림 7-14. 예제 7-5의 최적화 방법을 이용한 필터의 진폭 스펙트럼

79/92

예제 7-6– 선형위상 대역 통과 필터가 다음의 사양을 만족하도록

최적화 방법을 사용하여 설계하라 .

통과대역 : 3kHz – 4kHz

천이폭 : 500kHz

통과대역 파상 : 1dB

저지대역 감쇠 : 25dB

표본화 주파수 : 20kHz

80/92

낮은 대역 가장자리 주파수 : 3000-500=2500

통과대역 주파수 : 3000

통과대역 주파수 : 4000

높은 대역 가장자리 주파수 : 4000+500=4500

• 대역 가장자리 주파수는 다음과 같다 .

[2500, 3000, 4000, 4500]F

[0 1 0]M

81/92

• 필터길이의 추정은 remezord 명령어를 사용– 다음 식들을 사용하여 일반 값으로 전환해야 한다 .

여기서 와 는 dB 단위의 통과대역과 저지대역의 파상값이다 .

• 얻어진 필터의 매개변수들– 필터길이– 가중치– 최대편차 0.0774

20

20

10 1

10 1

p

p

A

p A

2010rA

r

pArA

1.0225 :1:1.0225

41N

82/92

표 7-5. 예제 7-6의 최적의 FIR 필터의 계수들

83/92

그림 7-15. 예제 7-6에서 구한 필터의 진폭응답

84/92

주파수 표본화 (frequency sampling) 방법– 표준형 주파수 선택 FIR 필터– 임의의 주파수 응답을 가지는 FIR 필터

8. 8. 주파수 표본화 방법주파수 표본화 방법

85/92

– 이상적인 저역통과 필터의 주파수 응답을 갖는 FIR 필터 계수를 구하고자 한다 .

• 주파수 응답으로부터 , 의 간격으로 개의 표본을 선택하고 , 역 이산 푸리에 변환하여 필터 계수 을 구한다 .

• 양의 대칭 임펄스 응답을 가지는 선형위상 필터는 이 짝수일때 다음과 같이 나타낼 수 있다 .

/skF N 0,1, , 1k N N( )h n

12 /

0

1( ) ( )

Nj nk N

k

h n H k eN

(7-40)

여기서 는 이상적인 또는 목표로 하는 주파수 응답의 표본들이다 .

( ), 0,1, , 1H k k N

12

1

1( ) 2 ( ) cos[2 ( ) / ] (0)

N

k

h n H k k n N HN

(7-

41)

여기서 이며 , 홀수의 에 대해 합의 상한치는 이다( 1) / 2N ( 1) / 2N N

86/92

그림 7-16. 주파수 표본화 방법에 의한 필터설계

(a) 이상적인 저역통과필터의 주파수 응답 , (b) 이상적인 저역통과필터의 표본들 , (c) (b)의 주파수표본들로부터 유도된 저역통과필터의 주파수 응답

87/92

예제 7-7(1)짝수의 에 대하여 , 양의 대칭인 선형 위상 FIR

필터의 임펄스 응답계수가 다음과 같이 표현됨을 보여라 .

(2)다음의 사양을 만족하는 저역통과 FIR 필터를 주파수 표본화 방법으로 설계하고 그의 필터 계수들을 구하라 .

통과대역 : 0-5kHz

표본화 주파수 : 18kHz

필터길이 : 9

N

/2 1

1

1( ) 2 ( ) cos[2 ( ) / ] (0)

N

k

h n H k k n N HN

여기서 이고 , 는 간격으로 형성된 필터의 주파수 응답 표본들이다 .

( 1) / 2N ( )H k /skf N

88/92

(1) 식 (7-40) 으로부터 주어진 조건들에 대해 전개하면 다음과 같다 .

• 위의 과정에서 4번째 식에서 5번째 식으로 되는 이유는 이 모두 실수 이기 때문이다 .

12 /

0

12 / 2 /

0

12 ( )/

0

1

0

1

0

1( ) ( )

1( )

1( )

1( ) cos[2 ( ) / ] sin[2 ( ) / ]

1( ) cos[2 ( ) / ]

Nj nk N

k

Nj k N j kn N

k

Nj k n N

k

N

k

N

k

h n H k eN

H k e eN

H k eN

H k k n N j k n NN

H k k n NN

( )h n

89/92

• 선형 위상 이 대칭이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다 .

이 홀수이면 합의 상한치는 이 된다 .

( )h n

/2 1

1

1( ) 2 ( ) cos[2 ( ) / ] (0)

N

k

h n H k k n N HN

(7-

42)

( 1) / 2N N

90/92

(2) 이상적인 주파수 응답과 그의 주파수 표본들이 의 간격 , 즉 의 간격으로 주어졌다 . 주파수 표본들은 다음과 같다 .

1, 0,1,2( )

0, 3,4

kH k

k

/skf N

18 / 9 2kHz

그림 7-17. (a) 이상적인 주파수 응답과 그의 표본화 점들

(b) 주파수 표본화 필터의 주파수 응답

91/92

최적화 방법– 필터설계 소프트웨어를 이용하면 쉽고 효율적으로 FIR

필터 계수를 계산할 수 있다 .

– 적당한 에 대해 우수한 진폭 응답특성을 가지는 필터를 만듬

창 함수 방법– 최적화 프로그램이 없거나 통과대역과 저지대역의 파상이

동일할 때 유용함– 적용이 간단하고 개념적으로 이해가 쉽다 .

– 차단 주파수나 통과대역 및 저지대역의 파상을 정확히 제어하기가 어려움

9. 9. 창함수창함수 , , 최적화최적화 , , 주파수 주파수 표본화표본화

방법들의 비교방법들의 비교

N

92/92

주파수 표본화 방법– 임의의 진폭 - 위상 응답을 가지는 필터를 쉽게 설계– 대역 가장자리 주파수의 위치 또는 통과대역 파상의

정확한 위치제어가 어려움