工學碩士學位論文

대변형 유한요소해석에 적합한 사각형

요소망의 자동 생성 기법

Automatic Quadrilateral Mesh Generation for Large Deformation Finite Element Analysis

2002年 2月

仁荷大學校 大學院

自動化工學科

金 東 俊

工學碩士學位論文

대변형 유한요소해석에 적합한 사각형

요소망의 자동 생성 기법

Automatic Quadrilateral Mesh Generation for Large Deformation Finite Element Analysis

2002年 2月

指導敎授 黃 炳 福

이 論文을 碩士學位 論文으로 提出함

仁荷大學校 大學院

自動化工學科

金 東 俊

本 論文을 金東俊의 碩士學位 論文으로 認定함

2002年 2月

主審 印

副審 印

委員 印

요 약

본 논문에서는 금속 성형 공정 해석과 같은 대변형 유한요소해석에서 요구

되는 요소망의 특징을 고려하여 이러한 해석에 적합한 유한요소망의 자동 생

성 기법을 제안하고 전처리기의 기능을 포함하는 요소망 생성기의 개발에 관

하여 논하였다. 개발된 요소망 생성기는 NURBS interpolation 방법을 사용하여

유한요소 모델링에서 요구되는 임의 형상의 2차원 해석영역의 표현이 가능하

다. 또한 페이빙 경계(paving boundary)의 교차 문제의 해결 방법이 수정된 이른

바 수정 페이빙 알고리즘을 사용하여 요소를 생성한다 . 요소망 밀도의 제어는

요소의 크기와 고밀도점의 설정을 통하여 가능하다 . 제안된 요소 생성 기법은

MFC와 OpenGL을 사용하여 객체지향 프로그램 언어인 C++을 사용하여 윈도

우 응용프로그램으로 개발되었다. 여러 적용 예제는 개발된 요소망 생성기가

대변형 유한요소해석에 적합한 우수한 형상의 요소망 생성이 가능하여 전처리

기로써의 활용 가능성을 보인다.

Abstract

An automatic quadrilateral mesh generator for large deformation finite element analysis

such as metal forming simulation was developed. The NURBS interpolation method is

used for modeling arbitrary 2-D free surface. The used mesh generation technique is the

modified paving algorithm, which is an advancing front technique with element-by-

element resolving method for paving boundary intersection problem. The mesh density for

higher analysis accuracy and less analysis time can be easily controlled with high-density

points, maximum and minimum element size. A couple of application to large

deformation finite element analysis is given as an example, which shows versatility and

applicability of the proposed approach and the developed mesh generator for large

deformation finite element analysis.

i

목차

목차 ................................................................................................................ i

List of figures and tables ...............................................................................ii

1. 서론........................................................................................................... 1

2. 사각형 요소망의 자동 생성법 .................................................................... 3

2.1. 해석 영역의 기하학적 표현.............................................................. 5

2.1.1. NURBS 보간법 ....................................................................... 6

2.1.2 단일 매개변수에 의한 경계곡선 표현 .....................................10

2.2. 요소망 밀도의 제어와 경계곡선의 분할...........................................15

2.2.1. 요소망 밀도의 제어 ...............................................................15

2.2.2. 경계 곡선의 분할 ..................................................................19

2.3. 수정 페이빙 알고리즘에 의한 요소분할...........................................23

2.3.1. 요소망 생성의 기본 알고리즘 ................................................23

2.3.2. 사각형 요소의 생성 ...............................................................30

2.3.3. 페이빙 경계의 교차 문제.......................................................42

2.3.4. 요소 형상의 개선 ..................................................................47

2.4. 자료구조와 객체지향 프로그래밍.....................................................55

2.4.1. 자료구조................................................................................55

2.4.2. 객체지향 설계 및 구현 ..........................................................57

3. 요소망 자동 생성기의 적용 예제 ..............................................................60

3.1. 복잡한 형상의 단조공정 해석의 요소 분할......................................60

3.2. 파인 블랭킹 공정 해석의 요소망 생성 ............................................68

4. 결론..........................................................................................................70

참 고 문 헌...................................................................................................72

ii

List of figures and tables

Fig. 2-1 The overall procedure of automatic mesh generation............................................................. 4

Fig. 2-2 Geometrical modeling of the problem domain with NURBS interpolation. (a) Problem

domain and interpolation points. (b) Boundary representation with four parameters. (c)

Boundary representation with one parameter. ............................................................................ 13

Fig. 2-3 Mapping from multi-parametric space to one parametric space .......................................... 14

Fig. 2-4 Violation of joint point constraint......................................................................................... 14

Fig. 2-5 Curve joint point constraint .................................................................................................. 21

Fig. 2-6 The algorithm for dividing boundary curve.......................................................................... 22

Fig. 2-7 Flow chart of modified paving algorithm............................................................................. 28

Fig. 2-8 Processes of mesh generation by the modified paving algorithm, (a) Initial paving boundary

loop, (b) One layer of element, (c) Adjusting expansion row by wedging, (d) Advancing paving

boundary by four layers, (e) Resolving intersection problem with splitting loop and seaming

operation, (f) Closing loop, (g) Adjusting contraction row by tucking, (h) Advancing paving

boundary by seven layers, (i) Advancing paving boundary by eight layers, (j) Complete

quadrilateral mesh generation over whole problem domain ...................................................... 29

Table 2-1 Definition of paving node .................................................................................................. 31

Table 2-2 Example of tolerance angle................................................................................................ 31

Fig. 2-9 Category of paving node....................................................................................................... 31

Fig. 2-10 Choose start node, (a) Start from end node, (b) Start from side node, (c) Start from corner

node ............................................................................................................................................ 33

Fig. 2-11 Add element on side node................................................................................................... 38

Fig. 2-12 Add element on side node................................................................................................... 38

Fig. 2-13 Add element on reversal node ............................................................................................ 39

Fig. 2-14 Complete element row........................................................................................................ 39

Fig. 2-15 Ambiguous nodes transform, (a) Ambiguous end side node, (b) Transformation of

ambiguous end side node into end node, (c) Transformation of ambiguous end side node into

side node, (d) Ambiguous side corner node, (e) Transformation of ambiguous side corner node

iii

into side node, (f) Transformation of ambiguous side corner node into corner node, (g)

Ambiguous corner reversal node, (h) Transformation of ambiguous corner reversal node into

corner node, (i) Transformation of ambiguous side corner node into reversal node................. 40

Fig. 2-16 Closing paving boundary of six nodes................................................................................ 41

Fig. 2-17 Resolving the problem of intersecting with side boundary ................................................ 45

Fig. 2-18 Resolving the problem of intersecting with corner boundary ............................................ 46

Fig. 2-19 Node smoothing, (a) Desired length smoothing, (b) Desired angle smoothing, (c) Interior

node smoothing .......................................................................................................................... 51

Fig. 2-20 Adjust expanding or contracting row by inserting wedge or forming tuck........................ 54

Fig. 2-21 Data structure of quadrilateral mesh................................................................................... 56

Fig. 2-22 Object diagram of mesh generator. ..................................................................................... 59

Fig. 2-23 Screen shot of the mesh generator program. ...................................................................... 59

Table 3-1 Conditions of rigid -plastic finite element analysis............................................................. 61

Fig. 3-1 Application example to forging process analysis, (a) Initial mesh, (b) First analysis stop due

to severe distorted elements, (c) First remeshing, (d) Second analysis stop, (e) Second remesh,

(f) Third analysis stop, (g) Third remesh, (h) Final forming shape............................................ 61

Fig. 3-2 Effective strain distribution of final forming shape.............................................................. 62

Fig. 3-3 Initial mesh generation and mesh quality distribution.......................................................... 64

Fig. 3-4 Mesh quality distribution of initial mesh system.................................................................. 64

Fig. 3-5 First remesh generation and mesh quality distribution......................................................... 65

Fig. 3-6 Mesh quality distribution of first remesh system................................................................. 65

Fig. 3-7 Second remesh generation and mesh quality distribution .................................................... 66

Fig. 3-8 Mesh quality distribution of second remesh system............................................................. 66

Fig. 3-9 Third remesh generation and mesh quality distribution ....................................................... 67

Fig. 3-10 Mesh quality distribution of first remesh system............................................................... 67

Fig. 3-12 Application example to analysis of fine blanking process................................................. 69

1

1. 서론

유한요소법(finite element method)은 여러 공학 문제의 해석에 널리 사용되고 있는 수

치해석 방법이다. 컴퓨터 기술의 빠른 발달로 인하여 해석에 직접 소요되는 시간은 점

차 감소하고 있는 반면 유한요소의 모델 생성을 위한 전처리과정(pre-processing)은 많은

시간과 노력이 요구되고 있다. 또한 적용되는 문제에 적절한 유한요소의 모델만이 해석

결과의 정확성을 보장하므로 세심한 주의가 필요하다. 이처럼 유한요소의 모델링은 유

한요소해석에 있어서 매우 중요한 부분을 차지하고 있는 부분으로 다양한 요소망 생성

법(finite element mesh generation)이 연구되어 왔다[1]. 또한 해석결과의 정확도 향상을 위

하여 적용하고자 하는 문제의 특성과 기하학적 형상이 고려된 우수한 형상의 적응 요

소망 생성(adaptive mesh generation)을 위한 연구도 활발히 진행되고 있다[2-4].

단조나 압출 공정 등의 금속 성형 공정(metal forming process)의 해석에 있어서도 널리

사용되고 있는 유한요소해석은 다른 공학 문제의 해석과 비교하여 또 다른 특징을 갖

는다. 비정상 상태의 대변형 해석 과정은 요소의 과도한 찌그러짐을 유발시키며 문제에

따라 수 차례의 요소망의 재구성(remesh)이 요구되고 요소망의 형상은 해석 결과에 많

은 영향을 미치는 인자로 작용한다. 이러한 이유로 금속 성형 공정의 유한요소해석에서

우수한 형상의 유한요소모델의 생성을 위해서는 보다 세심한 주의가 요구된다. 그럼에

도 불구하고 이러한 금속성형 공정 해석의 특성이 고려된 요소망 자동 생성에 관한 연

구는 상대적으로 미흡한 실정이다.

2

따라서 본 논문에서는 금속 성형 공정의 대변형 유한요소해석의 특성이 고려된 사각

형 요소망 생성법을 제안하고 이를 바탕으로 전처리기의 기능을 포함한 요소망 자동

생성기를 구현을 목적으로 한다. 개발 과정에서는 다음과 같은 문제의 특성과 요구 조

건을 고려하였다.

첫째, 해석과정에서의 요소망 재구성 과정에서 나타나는 해석 영역은 임의의 형상의

자유 곡면으로 이에 대한 효율적인 모델링 방법이 요구된다.

둘째, 일반적인 성형 공정 해석에서는 소재와 금형의 코너 부근에서 국부적인 대변형

이 발생하며 상대적으로 변형이 적은 부분으로 구별된다. 따라서 해석시간과 해석 결과

의 정확도를 고려한 요소망 생성을 위해서는 요소 크기의 적절한 조절이 가능하여야

한다.

셋째, 해석 결과의 정확성 향상과 과도한 요소망 재구성 과정을 피하기 위해서는 우

수한 형상의 요소 생성이 요구된다. 즉 대변형이 주로 발생되는 영역의 경계 부근에서

는 보다 조밀하고 우수한 형상의 요소가 분포되어야 정확한 해석 결과를 얻을 수 있다.

넷째, 해석 과정에서 요소망 생성 과정은 많은 부분을 차지하는 작업으로 사용의 편

리성이 요구되며 사용자의 개입이 최소화된 자동 요소망 생성 방법이 요구된다.

이상과 같은 요구 조건을 고려하여 금속 성형 공정의 대변형 유한요소해석의 적용을

위한 사각형 요소망 생성기를 개발하고 적용 예제를 통하여 활용 가능성을 보이고자

한다.

3

2. 사각형 요소망의 자동 생성법

본 논문에서 고려된 사각형 유한 요소망의 자동 생성법은 그림 2-1과 같은 일련의

생성 과정으로 이루어져 있다. 먼저 임의의 형상을 가지는 2차원 해석 영역의 모델링과

요소망 밀도 제어를 위한 변수가 설정된다. 다음 과정에서 해석 영역의 경계는 사용자

에 의해 정의된 요소망 밀도 함수에 따라 경계가 분할되면 마지막으로 경계 분할에서

생성된 기본 절점(seed nodes)을 바탕으로 수정 페이빙 알고리즘(modified paving

algorithm)에 의해 사각형 요소망을 자동 생성하게 된다.

다음의 2.1.절은 NURBS(Non-Uniform Rational B-Splines) 곡선에 의한 해석 영역의 기

하학적 표현 방법에 대한 설명이며 2.2.절은 요소망 밀도 제어를 위한 요소 크기 함수

의 정의와 경계 분할 방법에 대한 내용이다. 그리고 2.3.절에서는 수정 페이빙 알고리즘

(modified paving algorithm)에 의한 사각형 요소 생성 방법에 대하여 살펴보고, 2.4.절에서

는 실제 구현에 사용된 요소망의 자료구조와 객체지향 프로그램 기법에 의해 구현된

사각형 요소망 생성기에 대해 알아보겠다.

4

GEOMETRICAL DESCRIPTION OFTHE PROLEM DOMAIN WITH ONE

PARAMETRIC SPACE

DEFINE MESH DENSITY FUNCTION

GENERATION OF SEED NODESTHROUGH THE BOUNDARY CURVE

QUADRILATERAL MESH GENERATIONWITH

MODIFIED PAVING ALGORITHM

OUTPUT :PRE-FORMATTED MESH DATA

MODELING 2-D PROBLEM DOMAINAND

INPUT MESH DENSITY CONTROL DATA

Fig. 2-1 The overall procedure of automatic mesh generation.

5

2.1. 해석 영역의 기하학적 표현

유한 요소망(finite element mesh) 생성에서 해석 영역(problem domain)의 명확한 정의와

효율적인 기하학적 표현은 우선 해결되어야 할 문제이다. 임의 형상의 2차원 해석 영역,

2R∈Ω 은 다음과 같은 요구조건을 만족해야 한다. 첫째, 2차원 해석 영역, Ω 은 유한

개의 경계 곡선에 의해 닫혀있어 영역의 넓이는 유한하다. 둘째, 모든 경계 곡선은 연

속이며, 교차하지 않는다. 셋째, 모든 경계 곡선은 다른 곡선의 끝에서 연결되어야만 하

며, 서로 교차되지 않는다. 이러한 요구조건의 만족뿐만 아니라 실제적인 유한 요소망

생성 과정에서는 위와 같이 정의된 해석 영역의 경계를 정확히 표현되고 요소 분할 과

정에서 효율적인 연산을 가능하게 하는 경계 곡선의 단일화된 수학적 표현이 필요하다.

자유곡면의 여러 가지 표현 방법 가운데 NURBS (Non-Uniform Rational B-splines) 곡선은

1987년 이후 IGES (Initial Graphic Exchange Specification) 표준으로 지정된 이후 많은 상용

CAD 시스템에 적용되고 있는 많은 장점을 지닌 자유곡면의 표현 방법이다[5].

위와 같은 사항을 고려하여 본 논문의 요소망 생성법에서는 해석 영역의 경계점을

보간 하여 얻은 유한개의 NURBS 곡선으로 임의 형상을 가지는 해석 영역을 모델링하

는 방법을 사용하였다. 또한 다음 단계의 요소분할 연산의 효율을 위하여 여러 개의 매

개변수로 표현된 경계 곡선을 단일한 매개변수를 공간으로 매핑하는 연산을 수행하게

된다. 다음 2.1.1 절에서 NURBS 곡선과 보간 방법에 대한 일반적 내용과 2.1.2 절에서

본 논문에서 적용된 경계 표현 방법에 대한 구체적인 과정을 살펴보겠다.

6

2.1.1. NURBS 보간법

조정점(control point)의 수가 n개이고 차수가 p인 NURBS(Non-Uniform Rational B-

Splines) 곡선은 식 2-(1)과 같이 정의된다[6].

∑∑

∑=

=

= ==n

iipin

iipi

n

iiipi

PuRuN

PuNuC

0,

0,

0,

)()(

)()(

ω

ω bua ≤≤ 2-(1)

여기서, iP 는 조정점, iω 는 가중치(weights) 그리고 , piN 는 비주기적 절점벡

타(non-periodic knot vector), U 상에서 정의되는 p계의 B-spline 기저함수(basis function)이

다.

,...,,,...,,,..,1

11

1321321

+

−−+

+

=p

pmP

p

bbuuaaU

여기서, m=n+p+1이다.

일반적으로 a=0, b=1, 그리고 모든 i 에 대하여 0>iω 이라 가정하면 B-spline 기저

함수는 식 2-(2)와 같이 곡선의 매개변수 공간에서 재귀 알고리즘으로 정의된다.

7

==−

−+−

−=

≤≤

=

++++

−+++

+

−

+

111

1,11

1,,

10,

00/0)(

)()(

)()(

,0

,1)(

iiipi

pipi

ipi

piipi

iii

uuifwithuu

uNuu

uu

uNuuuN

otherwise

uuuuN

2-(2)

매개변수 공간은 절점 벡터(knot vector)에 따라 폐구간 ],[ 1+ii uu , i= 0, …,n-1,으로 분

할되며 각 구간에서 B-spline 곡선 세그먼트가 정의된다. 각 곡선 세그먼트는 각 절점

(knot)에서 p-1계의 도함수 까지 연속성을 가지며 연결된다. 각 구간에서 0이 아닌 기저

함수는 오직 p+1 개만이 존재하며, 이와 같은 성질은 국소적인 곡선의 형상의 변화가

전체 곡선 형태의 큰 영향을 미치지않게 하는 특성을 갖게 한다.

NURBS(Non-Uniform Rational B-Splines) 곡선의 근사법(approximation method)을 사용한

형상 모델링(geometrical modeling)은 조정점(control points)과 가중치(weights)를 선택하고

조정점의 반복적인 이동과 가중치의 미세한 조절을 통하여 원하는 형태의 곡선을 표현

하게 된다. 이러한 근사 곡선에 의한 모델링 방법은 최소한의 데이터 사용하여 여러 형

태의 자유 곡선 표현이 가능하다. 그러나 조정점의 좌표와 가중치가 수정하려는 곡선의

형태와 직접적인 연관이 없으므로 사용자의 개입에 의한 반복적인 조정 작업이 필요하

며, 때로는 매우 번거로운 작업이 될 수 있다. 따라서 본 논문에서는 해석영역(problem

domain)의 경계를 특징 짖는 점의 좌표를 입력 받고, 이 데이터를 NURBS 보간

(interpolation)을 통하여 경계 곡선을 표현하는 방법을 사용하였다. 보간법(interpolation)에

8

의한 모델링 방법에서는 사용자가 경계 상의 특징적인 좌표를 직관적으로 선택함으로

써 형상 모델링이 용이하다. 또한 요소망 재구성(remesh) 과정에 적용할 경우, 해석 프

로그램으로부터 경계 절점의 좌표를 입력 받을 수 있으므로 사용자의 개입 없이 모델

링이 가능하도록 확장이 가능하다. 그러나 경계의 형태가 복잡할 경우 여러 개의 곡선

을 사용하거나 많은 양의 데이터를 입력 받아야만 정확한 표현이 가능하게 된다. 다음

은 본 논문의 경계 표현에 사용된 NURBS 보간법에 대한 설명이다.

보간점으로 주어진 점들을 지나는 NURBS 곡선은 여러 개가 존재할 수 있다. 만약

NURBS 곡선이 rC 연속성(continuity)을 갖기를 원한다면 차수는 p=r+1 이며, 가중치

(weights)는 단순히 1로 한다[6]. 따라서, 주어진 점들 kQ , k= 0, …,n,을 지나는 p계

NURBS 곡선을 구하는 과정은 주어진 보간 점(interpolation points)으로부터 곡선의 절점

폭(knot spans), ku 를 정하고, 적당한 절점 벡터(knot vector), ,..., 0 muuU = 을 선택하

면 n+1 개의 조정점(control points)이 방정식 2-(3)의 미지수로 남게 된다.

niuNPuCQn

ikpiikk ,...,0)()(

0, === ∑

=

2-(3)

절점폭(knot spans) ku 과 절점 벡터(knot vector) U 의 선택에 따라 곡선의 형태는 영향

을 받는다. B-slpine의 절점(knot)에 관련된 파라미터의 선택 방법에는 equally space

method, chord length method, centripetal method등 여러 방법이 있다[6]. 본 논문에서는 급격

한 기하학적 변화가 있는 보간점(interpolation points)에서도 좋은 결과를 보이는

9

centripetal method를 사용하였다[6]. 곡선의 매개변수, ]1,0[∈u 의 구간에 있다고 가정하

면 절점 파라미터의 선택은 다음의 식 2-(4)와 식 2-(5)과 같다.

∑=

−−=n

kkk QQd

11

1,00 == nuu , 1,...,111 −=

−+= −

− nkd

QQuu kk

kk 2-(4)

절점폭(knot spans), ku 의 분포를 고려하여 절점(knots)은 식(6)과 같은 방법으로 선택

되어진다.

1...,0...0 ====== − mpmp uuuu

pnjup

upj

jiipj −== ∑

++

=+ ,...,1

1 1

2-(5)

식 2-(4)와 식 2-(5)로부터 계산된 절점(knots)을 연립방정식 2-(3)에 대입하면 모든 계

수의 부호가 양수가 되며, pki ≥− 일 때, 0)(, =kpi uN 이므로 절반 띠폭(half

bandwidth)은 p보다 작게 된다. 따라서 연립방정식 2-(3)은 피봇(pivot) 연산 없는 Gauss

소거법에 의해 조정점(control points)을 구할 수 있다. 이로써 주어진 보간점을 지나는

NURBS 곡선을 얻게된다.

10

2.1.2 단일 매개변수에 의한 경계곡선 표현

본 논문에서 사용된 해석영역(problem domain)의 기하학적 표현 방법은 우선 NURBS

보간(interpolation)을 통하여 영역의 경계를 NURBS 곡선의 집합으로 표현하게 된다. 그

림 2-2 (a)와 같은 형상의 해석영역이 주어질 때, 해석영역은 경계 상의 보간점

(interpolation points)를 지나는 NURBS 곡선의 집합으로 표현될 수 있다. 이때 보간점의

선택은 직선 부분에서는 양 끝점의 선택으로 충분하지만 곡선 부분의 경우 여러 개의

보간점의 선택이 필요하며, 특히 곡선의 변화가 심한 곳에서는 더 많은 보간점을 선택

하여야 정확한 경계 표현이 가능하다. 일반적으로 해석영역의 경계 형상은 곡선의 형

상이 급격히 변하는 점, 즉 곡률이 불연속인 점이 존재하므로 하나 이상의 NURBS 곡

선을 사용하게 된다. 그림 2-2 (a)의 경우에는 불연속인 점이 네 곳에 존재하므로 그림

2-2 (b)와 같이 최소한 네 개의 NURBS 곡선, )( iuC , i=1, … 4 을 사용하여 표현될 수 있

다. 모든 곡선은 ]1,0[∈u 사이의 일차원 매개변수 공간에서 정의되며, 그림에서와 같

이 매개변수가 0에서 1까지 증가하며 반시계 방향으로 경계의 일부 표현하며 다시 다

른 곡선에 의해 경계의 일부가 표현되어 유한한 2차원공간을 가지는 해석영역의 경계

곡선을 구성한다.

여러 개의 NURBS 곡선으로 구성된 경계곡선은 매개변수의 증가분에 대한 실제 직

교좌표 공간에서 정의된 곡선의 길이가 서로 다른 비율로 적용된다. 이는 매개변수가

]1,0[∈u 사이의 단위 공간에서 정의되지만 실제 좌표공간에서 곡선의 길이가 서로 다

11

르기 때문이다. 다음 과정에서 요소의 크기를 결정하는 요소망 밀도함수(mesh density

function)가 일차 매개변수 공간에서 정의되는데, 이처럼 여러 개의 매개변수에 의해 정

의된 경계곡선에 적용될 경우 밀도함수를 각 매개변수 공간에서 다르게 정의하거나 복

잡한 변환 과정이 포함되어야 한다.

따라서 전 경계곡선에서 밀도함수의 일괄적 정의와 연산의 효율성을 위해 여러 개의

매개변수 공간에서 정의된 경계곡선을 하나의 매개변수 공간으로 매핑하는 연산을 추

가하였다. 그림 2-3은 그림 2-2 (b)와 같이 네 개의 매개변수 공간에서 정의된 경계곡선

을 하나의 매개변수 공간으로 매핑하여 모든 경계구간 ]1,0[∈u 에서 매개변수와 실제

좌표공간의 곡선 길이 비율이 일정하게 표현될 수 있음을 도식적으로 표현한 것이다.

실제 매핑 과정은 식 2-(6)과 같은 방법으로 n개의 NURBS 곡선으로 구성된 경계곡선

을 하나의 매개변수 공간에서 재정의된 경계곡선 )(uCb , ]1,0[∈u 로 표현될 수 있

다.

≤≤

≤≤

≤≤

=

−

−

1~),(

:

~~),(

:

~0),(

)(

1

1

11

uuuC

uuuuC

uuuC

uC

nn

kkkb

∑

∑

=

== n

ii

k

ii

k

L

Lu

1

1~ 2-(6)

12

여기에서 iL 은 곡선 iC 의 길이를 나타내며, 충분히 큰 정수 m을 선택하여 식 2-(7)

로부터 계산되어 진다.

muuukCukCLm

kiii

1,)()(1

=∆∆−∆−∆= ∑=

2-(7)

이와 같은 방법의 매핑 연산을 통해 그림 2-2 (c)와 같이 하나의 매개변수 공간에서

경계 곡선이 정의될 수 있다. 이 때 그림 2-2 (c)에서 표기된 iP , i=0, …,4는 두 곡선이

연결되는 곳으로 곡선의 형상이 급격히 변하는 기하학적 불연속 점이다. 해석영역이 사

각형 요소로 분할되면 영역의 경계는 연속된 선분으로 표현되는데, 이 때 곡선의 연결

점(joint points)이 해석영역의 경계 절점(boundary nodes)로 선택되지 않으면 그림 2-4에서

와 같이 형상을 심하게 왜곡시킨다. 따라서 경계곡선의 절점(nodes)에는 곡선의 연결점

(joint points)이 반드시 포함되어야 하는 제한조건이 추가되어야 한다. 식 2-(6)에서 정의

된 ku~ 는 연결점(joint points)의 매개변수 공간에서의 위치를 나타내므로 경계곡선이 매

개변수 공간에서 분할될 때 반드시 경계 절점(boundary nodes)으로 선택되어져야 한다.

13

C1(u)C2(u)

C3(u)

C4(u)

NURBS interpolation

mapping to one parametric space

problem domain

(a) (b)

(c)

Cb(u)

P0 & P4 P1

P2

P3

Fig. 2-2 Geometrical modeling of the problem domain with NURBS interpolation. (a)

Problem domain and interpolation points. (b) Boundary representation with four

parameters. (c) Boundary representation with one parameter.

14

para

met

ric

spac

e (u

)

u=0

u=1

u=0

u=1

multi-parametricspace

one parametricspace

p0

p1

p2

p3

p4

The tracking point on the bounadry at real coordiate space (x,y)

mapping to one parametric space

Fig. 2-3 Mapping from multi-parametric space to one parametric space

problem domain

joint point

Fig. 2-4 Violation of joint point constraint.

15

2.2. 요소망 밀도의 제어와 경계곡선의 분할

유한요소해석을 위한 요소망 구성에서 우수한 요소의 생성과 더불어 적절한 요소 크

기로의 분할은 해석 결과의 정확도에 영향을 미치는 중요한 인자이다. 다음의 2.2.1.절

에서는 본 논문의 요소망 생성법에 사용된 요소망 밀도의 제어 방법에 대하여 살펴보

고 2.2.2.절에서는 정의된 요소밀도 함수로부터 해석영역의 경계를 분할하는 방법에 대

하여 살펴 보겠다.

2.2.1. 요소망 밀도의 제어

유한요소모델(finite element model)에서 요소 크기의 적절한 선택은 해석 결과의 정확

성과 더불어 해석 연산의 효율성에 영향을 미치는 중요한 인자이다. 또한 요소의 크기

와 요소 크기의 점진적 변화도(mesh gradation)는 요소망의 질에 직접적인 영향을 미친다.

일반적으로 요소 크기의 선택은 해석영역의 기학학적 형상과 해석하고자 하는 문제의

특성 및 요구되는 해의 정확도를 고려하여 선택되어진다.

기학학적 형상의 측면에서 보면 해석영역의 형상이 큰 곡률을 가지는 부분을 포함하

는 경우, 또는 상대적으로 큰 형상이나 상대적으로 납작한 형상에 비해 작은 기하학적

형상을 포함하는 경우에는 상대적으로 세밀한 요소 분할이 필요하며 지나치게 많은 수

의 요소로 분할되는 것을 피하기 위해서는 요소 크기가 점진적으로 변화되도록 적절한

16

요소망 밀도의 제어가 필수적이다. 즉 큰 곡률을 가지는 부분이나 다른 경계와 매우 근

접한 부분은 세밀한 요소 분할이 필요하고, 이러한 작은 요소로부터 상대적으로 원만한

형상에서의 적절한 요소 크기로의 점진적 변화(mesh gradation)가 신중히 고려되어야 양

질의 요소망이 구성될 수 있다.

대변형 유한요소해석에 있어 정확한 결과를 얻기 위해서는 다음과 같은 문제의 특성

을 고려한 요소 크기의 선택과 점진적 변화도(mesh gradation)의 조절이 필요하다. 일반

적으로 필드 변수(field variable)의 변화를 심하게 보이는 영역에서는 상대적으로 세밀한

요소로 분할되어야 정확한 결과를 얻을 수 있다. 일반적인 소성가공(metal forming) 공정

해석의 경우에는 가공재료와 접촉하는 금형 형상 및 공정의 특성에 따라 금속유동이

결정되므로 해석영역의 기하학적 형상보다는 해석영역의 경계조건을 고려한 요소망 밀

도의 제어가 필요하다. 일반적으로 재료의 변형은 영역의 내부에서보다 경계에서 크게

일어나고, 금형의 코너와 접하는 영역에서 국부적으로 심한 변형이 일어난다. 특히 복

잡한 비정상 상태 문제의 경우 해석이 진행 과정에서 경계 형상의 심한 국부적 변형으

로 요소망 재구성(remesh)이 빈번히 요구되며 해석이 진행함에 따라 경계의 형상과 더

불어 재료의 유동 양상도 변하게 된다. 이러한 문제의 특성으로 적절한 요소 크기와 밀

도를 미리 예측한다는 것은 매우 어려운 문제이다. 따라서 소성가공 해석의 특성을 반

영한 요소 크기의 자동 선택 기준 마련을 위한 더욱 깊이 있는 연구가 필요할 것이다.

본 논문의 요소망 구성 기법에서는 요소망 밀도 제어를 위해 최대 요소크기 maxh 와

17

최소요소크기 minh 그리고 유한개의 고밀도 점(high density point)으로부터 요소크기 함

수(mesh size function)가 정의된다. 요소 밀도를 제어하는 고밀도 점의 결정은 문제의 구

성에 따라 사용자의 적절한 판단이 요구된다. 일반적으로 금형의 코너에 접촉하여 심한

국부적 변형이 예상되는 영역에는 상대적으로 세밀한 요소의 분할이 바람직하다. 요소

망 재구성(remesh)을 위한 요소 분할의 경우에는 해석영역에서 상대적으로 심한 변형을

보이는 영역, 즉 유효 변형율(effective strain rate)의 값이 지정된 한계치 이상의 값을 보

이는 지점을 고밀도 점(high density point)으로 추출하여 재료의 유동 특성을 반영한 요

소 밀도 제어가 가능하도록 하였다. 그러나 이러한 고밀도 점의 지정은 현재의 해석 결

과만을 반영한 것으로 해석이 진행함에 따라 다른 양상이 충분히 예상되므로 사용자는

다른 고밀도 점의 추가도 고려해야 할 것이다.

사용자는 문제의 특성과 해석의 목적 및 요구되는 정확도를 고려하여 해석에 적합한

요소의 크기를 결정해야 한다. 요소 크기는 최대요소크기 maxh 와 최소요소크기 minh

가 입력되면 전체 해석영역의 요소 크기는 두 한계치 사이에 분포하게 된다. 실제로 요

소크기 함수는 경계에서의 요소 크기만을 정의하게 되며 영역의 내부에서는 패이빙 알

고리즘(paving algorithm)에 의한 요소생성 과정에서 부근 요소의 크기를 보간하여 결정

된다. 요소망 밀도의 제어는 유한개의 고밀도 점(high density point)의 입력으로 조절될

수 있다. 고밀도 점(high density point)은 상대적으로 세밀한 요소 분할이 요구되는 곳의

2차원 좌표를 의미하며 최소요소크기 minh 가 할당된다. 고밀도 점(high density point)이

입력되면 프로그램 내부에서 최대요소크기 maxh 가 할당되는 저밀도 점(low density

18

point)이 정의되어지는데, 이 점은 유한개의 고밀도 점(high density point)에서 직선 거리

가 최대인 경계 곡선상의 점을 의미하고 모든 고밀도 점에서 동일한 거리에 위치한다.

또한 여기서 계산된 고밀도 점과 저밀도 점간의 최대거리 maxD 는 고밀도 점들의 위치

에 대한 해석형상의 근사적 크기를 표현한다. 경계상의 임의 좌표에서의 요소 크기는

가장 근접 거리에 존재하는 저밀도 점과의 거리와 고밀도 점과 저밀도 점간의 최대거

리 maxD 와의 보간을 통해 이루어진다. 식 2-(7)은 최대요소크기 maxh 와 최소요소크기

minh 그리고 m개의 고밀도 점(high density point) miPhi ,...0, = 이 입력될 때, 경계 곡

선상의 임의 점 p(u)에 할당되는 요소 크기의 함수이다. 요소크기 함수 h(u)는 경계 곡

선의 매개변수 공간 ]1,0[∈u 에서 정의된다.

max

minminmaxmin

)()()(

DuD

hhhuh −+= 2-(8)

],..,0 , )(,distance [ min)(min miuppuD hi ==

],...,0 ),(, distance [ max1

0max miuppD hiu

===

여기에서, maxmin )(0 DuD ≤≤ 이므로 요소크기 함수는 maxmin )( huhh ≤≤ 의 구

간에서 경계의 요소 크기가 정의된다. 이때 요소크기 함수에 의한 경계 요소의 점진적

변화(mesh gradation)는 최대요소크기와 최소요소크기의 영향을 받는다. 따라서 적절한

요소크기가 선택되어야 완만한 요소의 점진적 변화를 보이며 우수한 질의 요소로 분할

될 수 있다.

19

2.2.2. 경계 곡선의 분할

해석영역(problem domain)의 경계 곡선은 페이빙 알고리즘(paving algorithm)에 의한 요

소분할을 위하여 주어진 제한조건을 만족하며 미리 정의된 요소크기 함수(mesh size

function)에 따라 분할되어 경계 절점(boundary nodes)이 생성된다. 경계곡선의 분할은 이

른바, 곡선 연결점 제한조건(curve joint points constraint)과 짝수 제한조건(evenness

constraint)을 만족하여야 한다. 곡선 연결점 제한조건(curve joint points constraint)은 경계

형상의 모델링 과정에서 설명한 것과 같이 급격한 기하학적 변화 때문에 두 곡선의 끝

이 연결되는 점으로 곡선 연결점(curve joint points)은 경계 절점(boundary nodes)에 반드시

포함되어야 기하학적 형상을 제대로 표현할 수 있다. 또한 짝수 제한조건(evenness

constraint), 즉 생성된 경계 절점의 수가 짝수이어야 하는 제한조건이 만족되어야 한다.

이러한 제한조건은 사각형 요소 생성을 위한 전진경계기법(advancing front techniques)의

일종인 페이빙 알고리즘(paving algorithm)에서 비롯된 것으로 경계 절점의 개수가 짝수

이어야 모든 영역을 짝수개의 절점으로 이루어진 사각형 요소로 분할할 수 있다.

본 논문에서 구현된 경계 곡선의 분할 알고리즘은 그림 2-6의 순서도와 같다. 분할

과정은 기능에 따라 크게 두 부분으로 구성되어 있다. 처음 단계 (1)부터 단계 (8)까지

는 제한조건을 만족시키기 위해 도입한 변수의 값을 결정하는 과정이며 결정된 변수

값으로부터 실제로 경계곡선을 분할하여 경계 절점를 생성시키는 과정이 순서도의 단

계 (9)부터 단계 (14)까지의 과정이다. 단계 (1)에서는 분할과정에 사용될 변수 값을 초

20

기화한다. 여기에서 ,...,1, miui = 은 해석영역의 모델링 과정에서 1차원 매개변수

공간에서 정의된 곡선의 연결점이며 변수 k와 c는 짝수 제한조건을 위해 요소크기 조

정에 사용되는 변수이다. 단계 (2)에서 매개변수 u가 요소크기함수에서 얻은 현재 위치

의 요소크기 h 만큼 증가하며 경계 절점의 매개변수 공간상의 위치를 결정한다. 이러한

과정은 다음 연결점의 위치에 도달할 때까지 계속 반복된다. 다음 연결점에 도달되면

단계 (4)에서 마지막 경계 절점과 연결점 사이에서 일반적으로 나타나는 요소크기의 불

일치량 v를 계산하여 경계 절점의 이동량 iv 를 결정한다. 그림 2-5는 연결점 부근에서

나타나는 요소 크기의 불일치를 설명한다. 이러한 불일치는 불일치량에 따라 두 가지

방법으로 경계 절점을 이동시켜 해결할 수 있다. 그림 2-5 (a)에서 연결점이 jp′ 이면 불

일치량은 v′ 으로 주어진 요소크기 2/5h 보다 작게 된다. 이러한 경우에는 그림 2-5

(b)와 같이 요소 크기를 요소 함수의 크기보다 1/ −′ nv 만큼 증가시켜 절점을 이동시

킨다. 여기서 n은 불일치량 조정 전에 분할된 절점의 수이며, 이러한 경우에는 n-1의

절점으로 조정 분할된다. 또한 연결점이 jp ′′ 인 경우 2/5h 보다 큰 불일치량 v ′′ 이면

그림 2-5 (c)에서와 같이 절점이 이동된다. 이러한 분할 과정이 연결점의 개수만큼 반복

되어 전체 경계 곡선을 분할한다. 분할이 끝나면 단계 (7)에서 짝수 제한조건을 검사한

다. 이 때, 분할된 경계 절점의 개수가 짝수가 아니면 단계 (8)에서 k를 c만큼 증가시켜

짝수 제한조건을 만족할 때까지 전 단계를 반복한다. 이것은 요소 크기를 주어진 크기

보다 0.1%씩 증가시키는 것을 의미하는데 여러 경우에 적용한 결과 두세 번의 반복 수

행, 즉 0.3 %이내의 증가에서 짝수 제한조건을 만족시킬 수 있다. 따라서 요소 크기의

21

큰 변화는 보이지 않으며 짝수 제한 조건을 만족 시킬 수 있다. 이러한 과정을 통해 제

한조건을 위한 변수의 값이 결정되면 (9)부터 단계 (14)의 반복 수행을 통해 실제 사용

될 경계 절점을 생성하게 된다. 이와 같은 방법으로 생성된 경계 절점은 수정 페이빙

알고리즘(modified paving algorithm)에서 요소 생성의 기본 절점(seed node)으로 사용되게

된다.

h5

h1 h2 h3 h4

P jP j Pj' ''

vv

'''

P j P j'

h1+v/3 h2+v/3 h3+v/3 h4+v/3

P j Pj''

h1-v/4 h2-v/4 h3-v/4 h4-v/4 h5-v/4

' ' ' '

(a) Violation of joint point constraint

(b) Case I

(c) Case II

'' '' '' '' ''

Fig. 2-5 Curve joint point constraint

22

Division of Boudary Curveh=h(u)

u = u+khn=n+1

YES

NO

Check Joint Points Constraintu < iu~

i > m

Calculation of Violation

i

i

ii

i

uuiin

nnnvhhvnnnv

v

huuv

~ ,1 ,0

otherwise ,/)(1 2/ if 1 ),1/(

~

=+==

=−×−<−=−

=

+−=

YES

NO

Check Evenness ConstraintIs BN even ?

Update Correction Factork=k+c

NO

Set u=0, i=1, n=0

START

Add Boundary Nodesx=x(u), y=y(u)

Node(x,y)

inn ≤

YES

NO

END

NO

YES

i > m

YES

Total Number of Boundary Node

∑=

=m

iinBN

1

i=i+1, n=0

iuu =

Correct Joint Points Violation)(ukhvuu i ++=

1

2

3

4

6

7

8

9

10

11

5

12

13

14

Initialization of Parameters

m=number of joint pointsk=1, c=0.001, u=0, i=1,n=0

1 , 1,...,1, ,00 =−== mi umiuu

Fig. 2-6 The algorithm for dividing boundary curve

23

2.3. 수정 페이빙 알고리즘에 의한 요소분할

본 논문에서 제안된 수정 페이빙 알고리즘은 1980년대 말, blacker에 의해 개발된 페

이빙 알고리즘[7]을 기본으로 하여 페이빙 경계의 교차 문제를 해결하는 방법이 수정된

알고리즘이다. 요소열(element row) 단위로 교차 문제를 검사하고 해결하는 기존의 페이

빙 알고리즘은 해결 불가능한 페이빙 경계의 교차 문제를 발생시키는 점에서 알고리즘

의 안정성 문제가 지적되었다[8]. 따라서 제안된 수정 페이빙 알고리즘에서는 요소 단

위, 즉 요소가 생성된 직후 마다 경계 교차 문제를 검사하고 해결하는 방법이 사용되어

진다.

이 절의 내용은 페이빙 알고리즘의 기본 요소망 생성 방법과 본 논문에서 제안된 교

차문제 해결 방법에 대한 설명이다. 먼저 예제를 통한 요소망 생성의 기본 과정을 개

략적으로 살펴보고 다음 절에서 세부적인 알고리즘에 대하여 언급하였다. 교차 문제 해

결 방법을 제외한 알고리즘은 blacker의 페이빙 알고리즘[6]에 대한 설명이며 실제 구현

을 위해 사용된 구체적인 방법은 blacker의 알고리즘과 다를 수 있음을 언급한다.

2.3.1. 요소망 생성의 기본 알고리즘

그림 2-7의 순서도는 수정 페이빙 알고리즘(modified paving algorithm)에 의한 요소망

생성 과정을 나타낸다. 수정 페이빙 알고리즘은 경계 절점(boundary node)의 입력으로부

터 시작된다. 경계 절점 목록은 경계 곡선의 분할 과정에서 주어진 요소 크기에 따라

분할된 경계곡선 위의 절점의 집합으로 짝수 제한조건(evenness constraint)을 만족한다.

24

이 절점 목록은 요소망 생성의 기본 절점(seed nodes)으로 사용되기 위해 반시계 방향의

폐루프를 구성한다. 이로써 페이빙 경계 루프(paving boundary loop)가 초기화되어 루프

목록에 저장된다. 해석 형상이 내부에 구멍을 포함할 경우 반시계 방향의 외부 경계 루

프와 시계 방향의 내부 경계 루프가 초기화되어 루프 목록에 저장된다. 그러나 2차원

소성가공의 유한요소해석 형상은 내부에 구멍을 포함하는 경우가 없으므로 내부 경계

루프는 고려하지 않는다. 그림 2-8 (a)는 일정한 요소의 크기로 분할되어 얻어진 경계

절점과 초기 페이빙 졍계 루프(paving boundary loop)의 예이다.

사각형 요소의 생성은 루프 목록에서 임의로 선택된 페이빙 경계 루프(paving

boundary loop)를 따라 이루어진다. 루프 목록에는 이후 언급될 루프 분리(loop splitting)

에 의해 하나 이상의 페이빙 경계 루프가 포함될 수 있다. 선택된 경계 루프에서 처음

으로 생성될 요소의 위치는 우수한 형상의 사각형 요소를 쉽게 생성할 수 있는 경계

형상을 가지는 절점에서 시작된다. 일반적인 경우 인접한 두 모서리의 내부 사이각

(interior angle)이 90°에 가장 가까운 절점이 선택되어진다. 하지만 특별한 경계 형상을

가지는 루프의 경우에는 시작 절점(start node)이 다른 방법에 의해 선택되어져야 한다.

선택된 시작 절점으로부터 페이빙 경계 루프를 따라 절점의 두 인접 모서리가 가지는

형상에 따라 새로운 절점을 추가하며 사각형 요소가 생성된다. 이때 새로 추가되는 요

소의 크기는 현재 절점의 인접한 두 모서리의 크기, 즉 인접한 두 요소의 크기를 보간

하여 얻은 값으로 결정된다. 따라서 요소망의 밀도는 근접한 요소의 크기에 영향을 받

으며 점진적인 변화(mesh gradation)를 보이게 된다. 이러한 방법으로 새로운 사각형 요

25

소가 추가됨에 따라 페이빙 경계 루프는 새롭게 갱신되며 루프를 따라 한 층의 사각형

요소열(element row)를 구성한다. 이처럼 페이빙 경계 루프는 새로운 요소층(element

layer)을 생성하며 내부를 향해 전진하게 된다. 그림 2-8 (b) ~ (j)는 그림 2-8 (a)의 경계

절점으로부터 페이빙 경계가 내부를 향해 전진하며 요소망을 구성하는 과정을 나타낸

다. 페이빙 경계의 전진은 루프의 절점 개수가 6개 이하가 될 때까지 계속된다. 절점의

개수가 6개 이하인 페이빙 경계 루프는 형상에 따라 최적의 분할 방법에 의해 요소가

추가되는 루프 닫기(loop closing) 과정을 통해 마무리된다. 그림 2-8 (f)는 루프 닫기(loop

closing)의 예이다. 하나의 페이빙 경계 루프가 닫혀지면 루프 목록으로부터 다른 루프

가 선택되어 위와 같은 과정의 요소 분할 과정을 반복한다. 그림 2-8 (j)는 그림 2-8 (a)

의 해석 영역(problem domain)이 수정 페이빙 알고리즘에 의해 사각형 요소망으로 분할

된 결과를 나타낸다.

실제로 하나의 새로운 요소층(element layer)이 생성되면 평탄화(smoothing) 과정을 통

해 요소의 형상을 개선하게 된다. 그러나 루프의 경계 형상이 오목하거나 볼록한 부분

에서는 요소층(element layer)이 추가됨에 따라 요소의 크기가 점점 작아지거나 커지게

되므로 평탄화(smoothing)를 통해서도 개선되지 않는 경우에는 적당한 위치에 요소를

제거(tucking)하거나 삽입(wedging)함으로써 이러한 문제를 해결하게 된다. 그림 2-8 (c)와

(g)와 같이 요소열(element row)를 조정하여 해결할 수 있다. 또한 새롭게 갱신된 페이빙

경계 루프에는 그림 2-8 (e)에서와 같은 날카로운 크랙(crack)을 포함하는 경우가 빈번하

게 발생하는데, 이러한 문제는 이른바 시이밍(seaming) 과정을 통해 해결할 수 있다. 수

26

축 또는 팽창 열의 조정(row adjusting)과 시이밍(seaming) 과정 이후에는 국부적인 또는

전체적인 평탄화(smoothing) 과정을 재 수행함으로써 요소의 형상을 최적화한다.

또 다른 실제적인 문제는 페이빙 경계(paving boundary)가 내부를 향해 진행됨에 따라

경계는 점차 근접하게 되고 때로는 교차하는 경우가 발생하는 것이다. 기존의 페이빙

알고리즘은 이러한 문제를 해결하기 위해 하나의 요소 열이 추가된 이후, 경계의 근접

도(proximity)와 교차(intersection) 여부를 검사한다. 해결 방법으로는 근접 또는 교차한

두 경계 모서리를 합쳐 페이빙 루프를 두개의 루프로 분리하는 방법(loop splitting)을 사

용한다. 이때 분리된 루프 역시 짝수 제한조건(evenness constraint)을 만족해야 한다. 즉,

루프를 구성하는 절점의 개수가 짝수이어야만 사각형 요소로의 분할이 가능하기 때문

이다. 이러한 루프 분리법(loop splitting)은 짝수 제한조건(evenness constraint)을 위반하여

루프의 분리가 불가능하거나 심하게 비뚤어진 요소가 도입되기도 한다. 더욱 심각한 문

제는 교차 판별(intersection detection)의 오류로 교차 문제가 해결되지 못하면, 페이빙 경

계의 성장이 계속 진행되는 현상(break-out)이 발생된다. 이러한 페이빙 경계의 교차 문

제는 페이빙 알고리즘(paving algorithm)의 안정성(robustness)에 심각한 영향을 미치는 문

제로 작용한다. 본 논문에서 제안된 수정 페이빙 알고리즘(modified paving algorithm)에서

는 페이빙 경계의 교차 여부를 요소가 생성된 직후 판별하여 해결하는 방법을 사용하

였다. 교차 문제의 해결 방법은 6가지 경우의 루프 분리법(six-type loop splitting)과 요소

제거법(element deleting)의 두 가지 전략에 따라 이루어진다. 새로운 요소가 생성될 때,

경계의 교차 여부를 판별하여 6가지의 교차 형태에 따라 교차된 두 모서리를 합쳐 경

27

계 루프를 둘로 분리하다. 만일 분리될 루프가 짝수 제한조건(evenness constraint)에 위배

될 경우, 페이빙 경계의 교차를 유발한 요소를 제거하고 새로운 시작 절점(staring node)

에서 요소 생성을 시작하여 다른 곳에서 루프가 분리되도록 유도한다. 이때 요소가 제

거된 부분에서 다시 발생되는 교차 문제(intersection problem)는 이전과 다른 교차 형태

를 가지게 되어 루프 분리법(loop splitting)으로 해결되거나 경계 시이밍(boundary

seaming)이나 루프 닫기(loop closing) 과정에서 해결될 수 있다. 그림 2-8 (d)에서 (e)로

진행되는 과정에 이러한 경계의 교차 문제가 발생되어 교차된 경계 모서리를 합쳐 루

프를 분리함으로써 해결됨을 볼 수 있다.

이와 같은 과정을 통해 목록의 모든 루프가 닫혀지게 되며 전체 해석영역(problem

domain)은 사각형 요소로 분할되어 지고, 마지막으로 과도하게 찌그러진 요소가 제거

(mesh clean-up)되어 요소망의 형상이 개선되면 수정 페이빙 알고리즘(modified paving

algorithm)의 전 과정을 마치게 된다.

28

START

READBOUNDARY NODE LOOP

SELECT LOOP TOPAVING

CHOOSE ROW

ADD ROW ELEMENT

RESOVLE INTERSECTIONPROBLEM

ANYINTERSECTION

?

IS ROWCOMPLETE ?

SMOOTH ROW

YES

SEAMING BOUNDARY

ADJUST ROW

CURRENT LOOPNEED CLOSURE ?

CLEAN-UP MESH

END

ANY LOOP TOPAVING ?

YES

NO

CLOSE LOOP

YES

NO

YES

NO

NO

1

2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

13

14

Fig. 2-7 Flow chart of modified paving algorithm.

29

paving boundary loop wedging

loop 1

loop splitting

loop 2

seamingcrack

(a) (b) (c)

(d) (e)

(f)(g)

(h) (i) (j)

loop closing

tucking

Fig. 2-8 Processes of mesh generation by the modified paving algorithm, (a) Initial paving boundary loop, (b) One layer of element, (c) Adjusting expansion row by wedging, (d) Advancing paving boundary by four layers, (e) Resolving intersection problem with splitting loop and seaming operation, (f) Closing loop, (g) Adjusting contraction row by tucking, (h) Advancing paving boundary by seven layers, (i) Advancing paving boundary by eight layers, (j) Complete quadrilateral mesh generation over whole problem domain

30

2.3.2. 사각형 요소의 생성

페이빙 알고리즘(paving algorithm)에서 사각형 요소의 생성은 페이빙 경계 루프(paving

boundary loop)의 절점을 반시계 방향으로 이동하며 절점 상태에 알맞은 요소를 생성하

게 된다. 페이빙 절점은 인접한 두 모서리가 이루는 내부 사이각(interior angle), α 와

각 종류의 페이빙 절점(paving node)이 가지는 최적 사이각의 허용 편차를 나타내는 6개

의 허용각(tolerance angle), 6543 21 , , , , , σσσσσσ 에 따라 표 2-1과 같이 정의된다.

즉, 페이빙 절점(paving node)은 그림 2-9와 같이 절점의 내부 사이각(interior angle)의 크

기에 따라 말단 절점(end node), 측면 절점(side node), 모퉁이 절점(corner node), 반전 절

점(reversal node), 말단 측면 모호 절점(ambiguous end side node), 측면 모퉁이 모호 절점

(ambiguous side corner node), 모퉁이 반전 모호 절점(ambiguous corner reversal node)으로 분

류된다. 6개의 허용각(tolerance angle)은 그림 2-9에서 보이는 허용한계 내에서 사용자에

의해 설정될 수 있다. 표 2-2는 그림 2-9의 요소망 구성에 사용된 허용각(tolerance angle)

설정의 한 예이다.

31

Table 2-1 Definition of paving node

Category Definition

End Node 12/ σπα +≤

Ambiguous End Side Node 212/ σπασπ −≤<+

Side Node 32 σπασπ +≤<−

Ambiguous Side Corner Node 43 2/3 σπασπ −≤<+

Corner Node 54 2/32/3 σπασπ +≤<−

Ambiguous Corner Reversal Node 65 22/3 σπασπ −≤<+

Reversal Node 62 σπα −>

Table 2-2 Example of tolerance angle

Tolerance Angle Value (degree) Acceptable Range

1σ 20

2σ 45 πσσ ≤+≤ 210

3σ 40

4σ 40 πσσ ≤+≤ 430

5σ 22.5

6σ 45 πσσ ≤+≤ 650

0 π/2 π 3π/2 2π

σ 1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6

Ambiguous End Side Node

End Node Side Node

Ambiguous Side Corner Node

Corner Node

Ambiguous Corner Reversal Node

Reversal Node

Interior Angle (α)

Fig. 2-9 Category of paving node

32

일반적으로 페이빙 경계는 하나 이상의 말단 절점(end node)를 가지게 된다. 이 말단

절점은 우수한 형상의 사각형 요소를 쉽게 생성할 수 있는 경계 형상을 가지므로 요소

의 생성이 시작되는 시작 절점(start node)으로 선택된다. 그림 2-10 (a)와 같이 페이빙 경

계(paving boundary)에 여러 개의 말단 절점(end node)이 존재할 경우, 그 내부 사이각

(interior angle)이 90에 가장 근접한 말단 절점(end node)이 시작 절점으로 선택된다.

기존의 페이빙 알고리즘(paving algorithm)에서는 교차 여부를 일련의 요소열(element

row)이 추가된 이후 판별하기 때문에 하나의 말단 절점(end node)을 시작 절점(start node)

으로 하고 다음 말단 절점(start node)을 열의 마지막 절점으로 선택한다. 즉, 페이빙 경

계(paving boundary)의 전진은 요소열(element row)의 단위로 진행된다. 그러나 본 논문에

서 제안된 수정 페이빙 알고리즘(modified paving algorithm)에서는 교차 여부의 판별이

하나의 요소가 생성된 직후 이루어지므로 요소 생성의 과정은 시작 절점(start node)을

만날 때까지 계속된다. 즉 페이빙 경계의 진행이 루프(paving loop) 단위로 이루어 진다.

그러나 그림 2-10 (b), (c)와 같이 말단 절점(end node)을 전혀 포함하지 않는 특별한 형

상의 페이빙 경계(paving boundary)도 존재한다. 그림 2-10 (b)는 모든 페이빙 절점(paving

node)이 측면 절점(side node)으로만 구성된 경우로 시작 절점은 내부 사이각(interior

angle)이 최소인 절점을 시작 절점(start node)으로 한다. 또한 그림 2-10 (c)와 같이 말단

절점(end node)을 전혀 포함하지 않으며 모퉁이 절점(corner nide)나 반전 절점(reversal

node)을 포함하는 경우에는 내부 사이각(interior angle)이 최소인 모퉁이 절점(corner node)

33

이나 반전 절점(reversal node)을 시작 절점(start node)으로 선택한다.

start nodestart node start node

(a) (b) (c)

Fig. 2-10 Choose start node, (a) Start from end node, (b) Start from side node, (c) Start from corner node

시작 절점(start node)이 결정되면 루프를 따라 이동하며 현재의 절점에 적절한 방향과

위치에 새로운 절점을 추가하고 요소 생성 시켜 나간다. 말단 절점(end node)은 시작 절

점(start node)의 역할을 할 뿐, 새로운 절점을 추가시키는 역할은 하지 않는다. 페이빙

경계(paving boundary)의 대부분을 차지하는 그림 2-11의 iN 과 같은 측면 절점(side

node)에서는 새로운 절점, jN 를 iN 를 원점으로 하고 절점의 내부 사이각(interior

angle)을 양분하는 벡터 V 의 끝에 추가시켜 11 , , , −− ijji NNNN 의 절점을 갖는 새로

운 사각형 요소를 생성한다. 투영 벡타 V 의 크기는 인접한 요소의 크기 1d 과 2d 로

부터 식 2-(9)과 같이 얻어진다.

)2/sin(2/)(

21

αdd

V+= 2-(9)

34

식의 분모에 사인(sine)항목은 요소열(element row)이 울퉁불퉁해지는 것을 순화시키는

역할을 한다. 측면 절점(side node)에 새로운 요소가 생성되면 새로운 말단 절점(end

node)으로 변화되며 요소열(element row)은 한 단계씩 진행하게 된다. 모퉁이 절점(corner

node)에서의 요소 생성은 그림 2-12의 절점 iN 으로부터 내부 사이각(interior angle), α

을 1/3, 1/2, 2/3으로 분할하는 벡터 21 , , ++ jjj VVV 의 끝에 새로운 절점

21 , , ++ jjj NNN 을 투영시킨다. 각 벡터의 크기는 식 2-(10)과 2-(11)과 같이 주어진다.

)3/sin(2/)(

211 α

ddV j

+=+ 2-(10)

2 12 ++ == jjj VVV 2-(11)

따라서 모퉁이 절점(corner node)에는 절점 11 , , , −− ijji NNNN 과 절점

jjji NNNN , , , 12 ++ 으로 이루어진 두개의 사각형 요소가 생생되며 모퉁이 절점(corner

node)은 말단 절점(end node)으로 변환되고 1+iN 과 같은 새로운 모퉁이 절점 (corner

node)이 페이빙 경계에 도입된다.

반전 절점(reversal node)에서의 요소 생성은 그림 2-13과 같이 절점 iN 으로부터 내부

사이각(interior angle), α 을 1/4, 3/8, 1/2, 5/8, 3/4으로 분할 하는 벡터

4321 , , , , ++++ jjjjj VVVVV 의 끝에 새로운 절점 4321 , , , , ++++ jjjjj NNNNN 를 투

35

영시킨다. 각 벡터의 크기는 식 2-(12)와 2-(13)과 같이 주어진다.

)4/sin(2/)(

2131 α

ddVV jj

+== ++ 2-(12)

2 142 +++ === jjjj VVVV 2-(13)

이로써 반전 절점(reversal node)에는 절점 11 , , , −− ijji NNNN 과

jjji NNNN , , , 12 ++ 그리고 234 , , , +++ ijji NNNN 으로 구성된 세 개의 사각형 요소

를 생성되고 절점 1+jN 과 절점 3+jN 과 같은 새로운 모퉁이 절점(corner node)이 페이

빙 경계에 도입된다. 이러한 이유로 반전 절점(reversal node)은 최초의 페이빙 경계에만

존재가 가능하고 한 층의 요소열이 생성된 이후에는 나타나지 않는다.

말단 측면 모호 절점(ambiguous end side node)과 측면 모퉁이 모호 절점(ambiguous side

corner node) 그리고 모퉁이 반전 모호 절점(ambiguous corner reversal node)과 같이 그 상

태가 명확하지 않은 절점의 경우에는 두 절점 종류의 요소 생성 방법 중에서 더 나은

형상의 요소를 생성하는 절점의 종류로 변환된다. 이러한 변환은 요소열(element row)이

전진하며 도입되는 인접한 말단 절점(end node)의 내부 사이각(interior angle)의 영향을

받는다. 사각형 요소의 최적 형상은 정사각형으로 두 꼭짓점의 내각의 합은 ð이다. 따

라서 그림 2-15에서와 같이 두 가지 방법으로 생성되어 인접한 말단 절점(end node)을

36

포함하는 요소 가운데 하부의 두 절점 1−iN 과 iN 의 내부 사이각 α 와 β 의 합이 ð

에 근접한 요소를 생성하는 절점의 종류로 변환된다.

이러한 요소 생성 과정은 페이빙 루프(paving loop)의 절점을 반시계 방향으로 이동하

여 그림 2-14과 같이 시작 절점(start node) 부근까지 진행되면 연속된 두 개의 말단 절

점, iN 와 2+iN 이 나타난다. 이 때 절점 jjii NNNN , , , 11 ++ 으로 이루어진 요소를 추

가하여 요소열(element row)의 생성을 완성한다. 요소열(element row) 추가됨에 따라 페이

빙 경계는 내부 향해 전진하고 경계의 절점의 수는 줄어들게 된다. 페이빙 경계의 전진

은 루프의 남은 절점의 수가 6개 이하가 될 때까지 계속된다.

페이빙 경계는 짝수 제한조건(evenness constraint)을 만족하므로 6개 혹은 4개의 절점

이 남게 되는 데, 4개의 절점이 남게 될 경우에는 남은 절점으로 이루어진 요소를 추가

하여 페이핑 경계를 닫는다. 또한 절점의 수가 6개인 경우에는 그림 2-16과 같이 경계

형상에 맞는 요소를 추가함으로써 경계를 닫는다. 그림에서와 같이 6개의 절점으로 이

루어진 경계의 형상은 구성하는 절점의 종류에 따라 사각형, 삼각형, 반원형, 원형의 경

계를 갖는다. 경계 형상의 판별은 구성하고 절점의 종류에 따라 이루어진다. 이때 절점

의 분류는 내부 사이각(interior angle)이 120이하의 값을 갖는 단순 말단 절점(simple end

node)와 그 이상의 값을 가지는 단순 측면 절점(simple side node)로 분류한다. 이러한 단

순 분류법의 사용은 7종류의 절점으로 분류할 경우, 경계 형상의 분류를 위해 조합되어

야 하는 절점 구성이 필요이상으로 늘어나는 것을 피하기 위해서다. 그림 2-16과 같이

6개의 절점으로 이루어진 페이빙 경계는 포함된 단순 말단 절점(simple end node)의 개수

37

에 따라 분류될 수 있다. 단순 말단 절점(simple end node) 4개를 포함하는 사각형의 경계

형상과 3개를 포함하는 삼각형 경계, 2개를 포함하는 반원형 경계, 그리고 1개 이하를

포함하는 원형 경계 형상으로 분류된다. 각각의 형상에도 절점의 구성에 따라 다른 요

소 분할법을 사용한다. 사각형의 경우 두 개의 연속된 단순 말단 절점을 가지는 E-E-S-

E-E-S형은 두 단순 측면 절점을 연결하여 두개의 요소로 분할하며, 네 개의 연속된 단

순 말단 절점을 가지는 E-E-S-S-E-E형은 그림과 같이 네 개의 요소로 분할되고, 세 개

의 연속된 단순 말단 절점의 경계는 세 개의 요소로 분할된다. 삼각형 경계 형상에서는

연속된 단순 말단 절점이 없는 E-S-E-S-E-S형은 세 개의 단순 측면 절점과 중심점을 연

결하여 세 개의 요소로 분할되고, 두 개의 연속된 단순 말단 절점을 가지는 E-E-S-S-E-

S형은 두 개의 요소로 분할되며, 세 개의 연속된 말단 절점의 경계 E-E-S-S-S-E형은 그

림과 같이 세 개의 요소로 분할된다. 반원형이나 원형의 페이빙 경계는 여러 절점의 조

합을 보이지만 단순히 최대 내부 사이각을 가지는 절점을 찾아 반대편 절점과 연겨하

여 두 개의 요소로 분할하여 페이빙 경계를 닫게된다.

38

Ni+1Ni

d2

α/2

N j-1

Ni-1

d1

V

α

Nj

Fig. 2-11 Add element on side node

α/3d2

Ni+1

Vj

α/3

Ni-1

d1

Nj-1

α/2

Vj+2Niα

Nj+2

Vj+1

Nj

Nj+1

Fig. 2-12 Add element on side node

39

α/4

α/8

Ni+1

Ni-1d 2

α

Vj

α/4

d1Ni

Nj

α/8

α/8

α/8

Nj-1

Nj+1

Nj+2

Nj+3

Nj+4

Vj+1

Vj+2

Vj+3

Vj+4

Fig. 2-13 Add element on reversal node

Nj Nj+1

Ni+1Ni

start node

Fig. 2-14 Complete element row

40

N i-1Ni Ni-1

Ni

α

β α

β

Ni-1 Ni Ni-1 Ni

α β α β

Ni-1 NiNi-1 Ni

α β α β

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

Fig. 2-15 Ambiguous nodes transform, (a) Ambiguous end side node, (b) Transformation of ambiguous end side node into end node, (c) Transformation of ambiguous end side node into side node, (d) Ambiguous side corner node, (e) Transformation of ambiguous side corner node into side node, (f) Transformation of ambiguous side corner node into corner node, (g) Ambiguous corner reversal node, (h) Transformation of ambiguous corner reversal node into corner node, (i) Transformation of ambiguous side corner node into reversal node

41

Rectangle

Triangle

Semicircle

Circle

Boundary Shape Paving Boundary Closing Type

E-E-S-E-E-S E-E-S-S-E-E E-E-S-E-S-E

E-S-E-S-E-S E-E-S-S-E-S E-E-S-S-S-E

S-E-S-S-E-S S-E-S-S-S-E S-S-E-E-S-S

S-S-E-S-S-SS-S-S-S-S-S S-S-S-S-S-S

Fig. 2-16 Closing paving boundary of six nodes

42

2.3.3. 페이빙 경계의 교차 문제

본 논문에서 제안된 수정 페이핑 알고리즘(modified paving algorithm)에서는 페이빙 경

계의 교차 여부를 요소 생성 직후 판별하여 루프 분리법(loop splitting)이나 요소 제거법

(element deleting)을 사용하여 해결한다. 페이빙 경계가 내부를 향해 전진함에 따라 경계

는 점점 근접하게 되고 때로는 요소가 생성될 때 페이빙 경계가 서로 교차되는 현상이

일어난다. 이러한 경계 교차 문제의 해결을 위해 우선 루프 분리(loop splitting)가 시도되

는데, 분리될 페이빙 루프가 경계 절점의 수가 짝수이어야 하는 짝수 제한조건(evenness

constraint)에 위배될 경우 교차된 페이빙 루프는 분리될 수 없다. 이러한 경우 교차된

요소는 제거되며 현재 페이빙 경계에서 요소열의 진행은 중단되고 이후 과정이 수행

된다. 다음 단계에서는 교차 문제를 발생시킨 절점을 피해 새로운 시작 절점에서 요소

열의 진행이 시작된다. 새로운 요소열의 진행은 페이빙 경계의 절점 구성을 변화시키므

로 전 단계에서 교차 문제를 유발한 절점에서 다시 발생하는 교차 문제는 루프 분리에

의해 해결이 가능하게 될 수 있다. 여전히 루프의 분리가 불가능 할 경우에는 루프가

닫혀질 때가지 요소 생성이 유보되어 결국 루프 닫기(loop closing)를 통해 해결되거나

근처에서 발생되는 교차 문제의 해결 과정에서 간접적으로 해결되기도 한다.

루프의 분리는 요소와 교차하는 경계의 형상에 따라 다른 분리법을 사용한다. 그림

2-17은 생성된 요소와 교차하는 경계가 측면 절점(side node)으로 이루어진 경우의 분리

방법이다. 절점 a, b, c, d로 이루어진 요소가 생성될 때 교차하는 첫 번째 경계 모서리를

43

이루는 절점은 iv 와 1+iv 과 같으며 1+iv 는 단순 측면 절점이다. 두 절점과 교차된 요

소의 절점 b가 이루는 거리 1d 과 2d 의 크기를 비교한다. 절점 b가 iv 와 더욱 근접된

경우 CASE 1-1과 같이 절점 iv 와 절점 b를 선분 bvi 의 중간점에서 병합하고 절점

1+iv 와 절점 c를 선분 cvi 1+ 의 중간점에서 병합하여 두 경계 모서리가 병합된다. 루프

의 분리로 절점 a에서 절점 iv 에 이르는 페이빙 루프와 절점 1+iv 에서 절점 c에 이르

는 페이빙 루프로 분리된다. 이때 각 루프는 짝수 제한조건(evenness constraint)을 만족해

야 한다. CASE 1-2는 절점 b가 1+iv 에 더욱 근접하여 교차된 경우로 경계 모서리

12 ++ ii vv 와 교차된 요소의 모서리 cb를 병합하여 루프를 분리한다.

그림 2-18는 교차하는 경계가 모퉁이 절점 1+iv 를 포함할 경우의 분리법이다. 분리

방법은 교차된 요소의 절점 b가 절점 2+iv 와 iv 와 이루는 거리 1d 과 2d 그리고 절

점 d와 절점 1+iv 와의 거리 3d 가 요소의 크기 h와 이루는 상대적 크기를 비교하여 네

가지 분리법 가운데 하나를 선택한다. CASE 2-1은 경계가 요소의 모서리 ab 측면에서

교차된 경우로 경계 모서리 21 ++ ii vv 와 요소 모서리 ab를 병합하여 분리하며 CASE 2-2

의 경우와 같이 모퉁이 경계가 요소와 반 이상 교차될 때에는 요소를 생성하지 않고

경계 모서리 1+iivv 와 모서리 ad를 병합하고 경계 모서리 21 ++ ii vv 와 모서리 dc를 병합

하여 페이빙 경계를 분리한다. 두 경우에 나타나는 절점 a 부근의 크랙(crack)은 루프

분리 이후 수행되는 시이밍(seaming)을 통해 해결될 수 있다. CASE 2-3은 경계의 모서리

1+iivv 부분이 요소의 모서리 bc 부분에서 교차된 형태로 두 모서리를 병합하여 경계

문제를 해결한다. CASE 2-4는 경계의 모퉁이 절점 1+iv 부분과 요소 절점 b 부분이 요

44

소의 반 이하로 교차된 경우로 두 절점을 병합하고 절점 e와 절점 iv 를 잇어 새로운

요소 1+iivaev 를 추가하여 페이빙 루프를 분리한다.

45

a

vi

vi+2

c v i+1 b

a

vi+1

c bv i

Intesection Type Resolving Method

a

v'i+1

c' v'ib'

c' b'v' i+1

a

vi

v' i+2

CASE 1-1

CASE 1-2

v i+1

c

a

v i

b

v' i+1

c'

a

v'i

b'

d2

d1

d1

d2

a

vi+1

vi

c b c'b'

v i

a

v' i+1

v'i+2d1

d2d1

d2

(v i+1=side node ) & (d1>d2)

(v i+1=side node ) & (d1<d2)

v'i+1=c'=the center point of line segment vi+1cv'i=b'=the center point of line segment vib

v'i+2=c'=the center point of line segment vi+2cv'i+1=b'=the center point of line segment vi+1b

v i+2

d

dd

d

d

d

d

d

Fig. 2-17 Resolving the problem of intersecting with side boundary

46

v i+2

c

d

v i+1

a

vi

b

a

v i+1

c v i+2

bv i

a'v'i+1

cv'i+2

b'

v i

v' iv' i+1

d'

c'v'i+2

a'

b

CASE 2-1

CASE 2-2

d

c

a

vi+1 vi

d a

v' i+1

c'

v'ib'

v i+2 vi+2

CASE 2-3

d

c v i

a

vi+1

vi+2

b

d

c vi

a

v'i+1

vi+2

b'CASE 2-4

d1

d2

d

d3

d1d2

d3

d3

d1 d2

b

e

d1

d2

d3

Resolving MethodIntesection Type

e

(v i+1=Corner Node) & (d3<h/2)

(vi+1=Corner Node) & (d3>h/2) & (d1>d2) & (d2<h/2)

(v i+1=Corner Node) & (d3>h/2) & (d1<d2) & (d1<h/2)

(vi+1=Corner Node) & (d3>h/2) & (d1>h/2) & (d2>h/2)

v'i+2=b'=the center point of line segment vi+2bv'i+1=a'=the center point of line segment v i+1a

v'i=a'=the center point of line segment vi+1av'i+1=d'=the center point of line segment vi+1dv'i+2=c'=the center point of line segment v i+2c

v'i+1=c'=the center point of line segment vi+1cv'i=b'=the center point of line segment vib

v'i+1=b'=the center point of line segment vi+1bAdd Edge vie

Fig. 2-18 Resolving the problem of intersecting with corner boundary

47

2.3.4. 요소 형상의 개선

요소 형상의 개선은 페이빙 경계(paving boundary)에 새로운 요소열(element row)을 추

가 시킬 때마다 평탄화(smoothing) 작업과 페이빙 경계에 발생하는 크랙(crack)의 봉합

(seaming) 작업 그리고 수축 또는 팽창 열의 조정(adjusting contraction or expansion row) 작

업 등을 통해 이루어지다.

요소망의 평탄화(smoothing)는 페이빙 경계의 평탄화(paving boundary smoothing)와 내부

절점의 평탄화(interior node smoothing)를 번갈아 수행하여 요소망의 형상을 개선한다. 페

이빙 경계 절점의 평탄화(paving boundary smoothing)는 페이빙 경계의 절점을 대상으로

수정 아이소파라메트릭 평탄화(modified isoparametric smoothing) 기법을 적용한다. 먼저

페이빙 경계의 절점이 이동될 위치는 아이소파라메트릭 평탄화(isoparametric smoothing)

기법에 따라 절점의 이동 위치를 계산하고 필요에 따라 요소의 크기와 각도를 고려한

이동량을 추가한다.

먼저 다음과 같은 아이소파라메트릭 평탄화(isoparametric smoothing)를 통해 절점의 새

로운 이동 위치가 계산된다. 원점으로부터 페이빙 경계의 절점 iN 을 가리키는 벡터를

iV 라하고 절점 iN 에 n 개의 요소가 붙어 있을 때, 원점으로부터 접하고 있는 m 번째

요소의 나머지 절점 jN , kN , lN 을 가리키는 벡터를 mjV , mkV , mlV 라고 정의 하

면 절점 iN 의 새로운 위치를 가리키는 벡터 iV ′ 은 식 2-(14)과 같이 계산된다. 그리고

48

절점 iN 의 이동량을 나타내는 위치 벡터 A∆ 는 식 2-(15)와 같다.

∑=

−+=′n

mmkmlmji VVV

nV

1

)(1 2-(14)

iiA VV −′=∆ 2-(15)

이와 같은 아이소파라메트릭 평탄화(isoparametric smoothing) 기법은 요소의 형상이 평

행사변형에 가깝게 되도록 절점의 위치를 이동 시킨다. 하지만 주어진 요소의 크기나

사각형 요소의 직각도(squareness)를 유지 시키지는 않는다. 이러한 현상은 일반적으로

두개의 요소가 붙어 있는 페이빙 경계의 대부분을 차지하는 측면 절점(side node)에 적

용될 경우 문제가 될 수 있다. 따라서 두 개의 요소가 붙어 있는 측면 절점에는 원하는

요소의 크기와 각도을 고려한 평탄화(smoothing) 작업이 추가되어야 한다. 요소의 크기

를 고려한 평탄화(desired length smoothing) 작업은 그림 2-19 (a)에서와 같이 원점으로부

터 두 개의 요소가 붙어 있는 페이빙 경계의 절점 iN 의 A∆ 에 의한 새로운 위치 와

두 요소의 공통 경계의 맞은편 절점 jN 을 가리키는 위치 벡터 iV , jV 를 정의하고

Dl 가 절점 iN 에 주어진 요소의 크기라고 할 때, jN 에서 A∆ 에의해 이동된 절점

iN 까지의 거리 Al 을 계산하여 식 2-(16)으로부터 위치 벡타 B∆ 를 얻는다.

A

DjiAijB l

lVVVV )( −+∆+−=∆ 2-(16)

49

요소 크기를 고려한 평탄화 작업에서는 각도에 대한 고려가 없으므로 벡터 B∆ 는

요소 크기와 가로 세로 비(aspect ratio)는 개선시킬 수 있으나 사각형 요소의 직립도

(perpendicularity)의 개선은 보장하지 않는다. 따라서 두개의 요소가 붙어있는 측면 절점

의 평탄화(paving boundary smoothing) 작업의 마지막 과정으로 그림 2-19 (b)와 같은 각

도를 고려한 평탄화(desired angle smoothing) 작업이 추가된다. 두 요소가 붙어 있는 경계

의 측면 절점(side node) iN 와 요소 공통 경계의 맞은편 절점 jN 그리고 iN 에 인접

한 두 절점 1−iN , 1+iN 가 있을 때, 절점 jN 을 원점으로 하고 1−iN , iN , 1+iN 를

가리키는 벡터 1−iP , iP , 1+iP 을 정의한다. 벡터 1BP 은 벡터 1−iP 와 1+iP 의 내각을

양분하는 새로운 벡터이고, 벡터 iP 와 1BP 의 내각을 양분하는 벡터 2BP 를 구하면 절

점 iN 가 이동될 위치의 방향을 가리키는 벡터가 얻어진다. 벡터 2BP 의 크기를 결정

하기 위해서 1−iN 와 1+iN 를 지나는 직선과 벡터 2BP 가 교차하는 점 Q를 구하여 절

점 jN 로부터 점 Q까지의 거리 Ql 를 얻는다. 요소 생성 과정에서 주어진 요소 크기를

Dl 라고 하면 벡터 2BP 의 크기는 식 2-(17)와 같이 계산되고 절점 이동량을 나타내는

위치벡터 c∆ 가 식 2-(18)로부터 얻어진다.

<

+=

otherwise

if 22

D

QDDQ

B

l

llll

p 2-(17)

iBC PP −=∆ 2 2-(18)

50

이러한 각도를 고려한 평탄화는 사각형 요소의 내각이 직각에 가깝게 유지하도록 한

다. 두개의 요소가 붙어있는 페이빙 경계의 절점이 이동될 최종 위치는 식 2-(19)의 위

치 벡터 i∆ 와 같이 정의된다.

2CB

i

∆+∆=∆ 2-(19)

절점에 두개 이하 또는 두개 이상의 요소가 붙어 있는 경우에는 아이소파라메트릭

평탄화(isoparametric smoothing)에 의해 계산된 평탄화 벡터 A∆ 만을 적용하여 위치를

이동시킨다. 페이빙 경계의 평탄화(smoothing) 작업 후에는 모든 경계 절점을 고정시키

고 수정된 길이 가중 라플라시안 평탄화(modified length-weighted Laplacian smooth)기법에

의한 내부 절점 평탄화(interior node smoothing)가 수행된다. 내부 절점의 이동량은 이웃

한 절점의 상대적 위치에 영향을 받는다. 그림 2-19 (c)의 표현과 같이 내부 절점(interior

node) iN 가 n 개의 이웃 절점을 가질 때, 내부 절점 iN 로부터 이웃 절점 jN 를 가

르키는 벡터를 jV 라고 한다. 만약 절점 jN 가 해석영역의 경계가 아니면 새로운 벡터

jC 는 jV 와 같고 해석영역의 경계 절점인 경우에는 식 2-(20)와 같이 정의된다.

jCjj VC ∆+= 2-(20)

여기에서 jC∆ 은 식 2-(18)에서 정의된 각도가 고려된 평탄화 벡터이다. 내부 절점

51

iN 의 이동량 i∆ 는 식 2-(21)의 정의와 같이 벡터의 크기가 가중된 모든 jC 의 합과

같다.

∑

∑

=

==∆ n

jj

j

n

jj

i

C

CC

1

1

2-(21)

이와 같은 수정된 길이 가중 라플라시안 평탄화(modified length-weight Laplacian

smoothing)는 해석영역의 경계에 위치한 요소를 경계와 직각을 이루도록 하며 내부 절

점이 이웃한 절점과 동일한 거리를 유지하도록 절점을 이동시켜 요소의 형상을 개선한

다.

Nj

Ni

Vijl A l B

Ni

Nj

Ni-1 N

i+1

PB2

PB1

PiP

i-1P

i+1

Q

Ni

N4

N3

N2

N1

V4

V3

V2

V1

(a) (b) (c)

∆A

∆B

∆i

Fig. 2-19 Node smoothing, (a) Desired length smoothing, (b) Desired angle smoothing, (c) Interior node smoothing

52

요소의 형상 개선을 위한 또 다른 오퍼레이션은 요소열(element row)의 페이빙(paving)

과정에서 빈번히 나타나는 크랙(crack)에 대한 처리이다. 크랙(crack)은 페이빙 경계에서

매우 작은 내부각(interior angle)을 가지는 경계를 말하며 처리되지 않을 경우에는 좋지

않은 형상의 요소가 삽입되거나 해결 불가능한 경계의 교차 문제가 발생할 여지가 있

다. 이러한 페이빙 경계에 크랙(crack) 발생의 여부는 내부각(interior angle) α 와 절점에

접한 요소의 수 εN 를 기준으로 식 2-(22)와 2-(23)으로부터 판단한다.

5 1 ≥< εεα Nfor 2-(22)

otherwise 2εα < 2-(23)

식에서 1ε 과 2ε 는 사용자에 의해 설정되는 시이밍 허용각(seaming tolerance)이며

21 εε < 되도록 설정한다. 크랙(crack)으로 판별되면 크랙(crack)의 끝을 표현하는 절점에

인접한 두 절점을 중심 위치에서 합치는 간단한 오퍼레이션을 통해서 해결할 수 있다.

그러나 인접한 두 모서리의 상대적인 길이가 큰 차이를 보일 때는 특별한 처리가 필요

하다. 그림 2-15에서와 같이 크랙(crack)이 발생한 두 인접 모서리의 비가 미리 설정된

한계치(약 2.5배)를 넘을 때에는 쇄기(wedge) 모양의 요소를 추가하여 요소 크기의 급격

한 변화로 인한 영향을 피하면서 크랙(crack)을 해결한다.

요소망의 형상 개선을 위한 또 다른 오퍼레이션은 요소열이 추가될 때, 요소의 크기

가 점차 증가하거나 줄어드는 현상에 대한 개선이다. 그림 2-20에서와 같이 경계의 형

상이 볼록한 경우에는 요소열이 점차 팽창하게 되고 오목한 경우에는 수축하는 현상이

53

일어난다. 이러한 현상은 그림에서와 같이 수축하는 요소열에는 쐐기 모양의 새로운 요

소를 삽입(wedging)하여 해결하고 팽창하는 요소열에는 인접한 세 개의 요소를 묶어 두

개의 요소를 만드는 이른바 tucking을 통하여 해결한다. 이때 팽창 또는 수축하는 요소

의 판별은 주어진 요소크기에 대한 실제 요소 크기의 비와 경계의 내부각의 크기를 미

리 설정된 한계값과 비교하여 판단한다. 예로 수축률이 0.8보다 작고 내부각이 177보

다 작으면 수축되는 요소열로 간주하며 팽창률이 1.25보다 크고 내부각이 183이상일

때는 팽창하는 요소로 간주한다. 일반적으로 팽창 또는 수축되는 요소는 여러 개가 연

속적으로 나타나는데 wedging 이나 tucking이 적용될 위치는 대상 요소의 페이빙 경계

을 따라 이동할 때, 진행각이 90의 변화를 보일 때마다 그 중간 위치에 적용하는 것이

바람직하다. 이러한 오퍼레이션 이후에는 평탄화 작업을 통해 주변 요소의 형상에 영향

을 주기 때문에 모든 팽창 또는 수축 요소에 적용하는 것은 오히려 요소의 형상에 좋

지않은 영향을 미치기 때문이다.

54

Original Mesh Insert Wedge Smoothed Mesh

Original Mesh Form Tuck Smoothed Mesh

Fig. 2-20 Adjust expanding or contracting row by inserting wedge or forming tuck.

55

2.4. 자료구조와 객체지향 프로그래밍

본 절에서는 이제까지 살펴본 사각형 요소망의 자동 생성법의 효율적인 구현을 위해

고려된 내용이다. 먼저 사각형 요소망의 표현을 위해 구현된 자료구조에 대하여 살펴보

고 사각형 요소망 생성기의 객체지향적 설계 및 구현에 대하여 설명하겠다.

2.4.1. 자료구조

요소망 생성기의 효율은 알고리즘과 자료구조에 영향을 받는다. 특히 요소망의 표현

을 위한 자료구조는 실제 요소망 구성에 있어서의 실행 속도와 구현 과정에서의 코드

의 복잡성에 영향을 미치는 요소이다. 또한 많은 수의 요소 분할이 요구되는 문제에 적

용될 경우 시스템의 자원을 효율적으로 사용 가능한 자료구조의 도입이 필요하다.

본 논문에서는 구현 과정에서의 편리성, 효율적인 자료 접근 및 시스템 자원의 효율

적인 사용 등을 고려하여 그림 2-21과 같이 자료구조를 구성하였다. 하나의 사각형 요

소는 네 개의 절점으로 구성되는 데, 각 요소는 요소를 구성하는 절점의 반시계 방향으

로 정렬된 주소를 갖는다. 또한 각 절점은 인접한 절점의 주소와 절점이 구성하는 요소

를 가리키는 주소를 갖는다. 예를 들어 이미 생성된 두개의 절점과 새롭게 생성된 두개

의 절점으로 구성되는 새로운 요소를 생성시킬 경우, 두개의 새로운 절점을 생성시키고

이 들 절점과 인접한 절점의 주소를 연결시킨 후, 반시계 방향으로 정렬된 절점의 주소

목록을 가지는 요소를 생성시키는 과정을 거치면 된다. 또한 요소망 개선 등을 위한 요

56

소의 제거 과정은 생성의 반대 과정을 거쳐 이루어지게 된다. 이렇게 구성된 자료구조

에서는 요소망 구성 과정에서 절점과 요소의 데이터가 각각 한 번씩 만 생성되며 알고

리즘의 실행 과정에서의 연산을 위하여 중복 생성되지 않아 시스템 자원의 사용을 최

소화할 수 있다. 또한 각 절점은 인접한 절점과 요소의 주소를 가지고 있기 때문에 요

소망 구성 과정에서 별도의 탐색 과정을 통하지 않고 직접적인 데이터 접근이 가능하

여 요소망 생성 속도의 향상에 기여할 수 있다.

Node Node

NodeNode

Element

Fig. 2-21 Data structure of quadrilateral mesh.

57

2.4.2. 객체지향 설계 및 구현

대변형 유한요소해석에 적용을 위한 사각형 요소망 생성기는 앞서 설명한 알고리즘

과 자료구조를 기본으로 객체지향 프로그래밍 방법에 의해 객체지향 프로그램 언어인

C++을 사용하여 구현되었다. 요소망 생성기는 기본적으로 그림 2-22의 객체 다이어그

램과 같이 10개의 객체로 구성되어 있다. 클래스 Node, Element, Mesh는 앞서 설명한 자

료구조에 따라 요소망의 절점, 요소, 요소망 객체를 모델링한 클래스이다. 또한 클래스

Paver는 수정 페이빙 알고리즘에 대한 객체이며, 페이빙 경계는 클래스 Loop에 의해 표

현된다. 2차원 해석영역을 표현하는 클래스 TDDomain 과 요소 분할된 영역의 경계 조건

의 설정을 위한 금형을 표현하는 클래스 Die는 NURBS 곡선을 정의하는 클래스

TDNurbs를 기본으로 구성되어 있다. 클래스 DataTrans는 해석 과정에서 요소망 재구성

이 이루어질 때 해석영역의 자동 표현을 위한 데이터 변환 알고리즘을 위한 객체이다.

이러한 객체는 최상위 클래스 MeshGen에 의해 통합되고 제어된다.

요소망 생성 과정에서의 각 객체간의 관계는 다음과 같다. 먼저 사용자의 입력이나

DataTrans 객체로부터 입력된 데이터로부터 객체 TDDomain 에서는 객체 TDNurbs의

NURBS 곡선 생성 방법에 따라 2차원 해석영역을 모델링한다. 또한 사용자에 의해 조

정된 요소망 밀도에 따라 경계 곡선을 분할하여 경계 절점을 객체 Paver에 입력 데이터

로 전달한다. 객체 Paver는 객체 Node, Element, Mesh에 정의된 요소망의 자료구조를 바

탕으로 요소를 생성하고 저장한다. 해석영역의 요소분할이 끝나면 객체 Die에서 객체

58

TDNurbs의 의해 표현된 금형 형상으로부터 객체 Mesh에 경계조건을 설정하게 된다. 이

로써 대변형 해석을 위한 유한요소모델이 생성되게 된다. 요소망 생성기는 위에서 설명

한 객체를 기본으로 사용자 인터페이스의 편리성을 고려하여 MFC(Microsoft Foundation

Class)[9]를 이용하여 윈도우 응용프로그램으로 구현되었다. 또한 유한 요소망의 화면

출력을 위해서 OpenGL[10]을 도입하여 구현되었다. 그림 2-23은 구현된 요소망 생성기

의 실행 모습이다.

이상에서 살펴본 것과 같이 구현된 요소망 생성기, QuadMesher는 국부적이 요소망 밀

도의 조정이 가능한 사각형 요소망의 자동 생성 뿐만 아니라 금형 데이터로부터 경계

조건의 설정을 자동 설정하는 등의 여러 기능을 포함하여 대변형 유한요소해석에 있어

서 전처리기로써의 충분한 활용 가능성을 가진다.

59

Fig. 2-22 Object diagram of mesh generator.

Fig. 2-23 Screen shot of the mesh generator program.

60

3. 요소망 자동 생성기의 적용 예제

개발된 사각형 유한 요소망 생성기의 활용예제를 통하여 대변형 유한요소 해석에 적

합한 요소 분할이 가능한 특징에 대하여 살펴보겠다. 먼저 복잡한 유동 양상을 보이는

단조 공정 해석에 적용된 예제를 통하여 분할된 요소의 우수한 형상과 요소 크기를 조

절함으로써 해의 정확도를 유지하며 해석 시간을 단축시킬 수 있음을 보이고, 또한 요

소 밀도 조정 기능을 활용하여 파인 블랭킹(fine blanking) 등의 유한요소해석을 위한 요

소망 생성에 적용될 수 있음을 보겠다.

3.1. 복잡한 형상의 단조공정 해석의 요소 분할

첫번째 적용 예제로써 개발된 요소망 생성기를 사용하여 전반압출과 후방압출 등의

다소 복잡한 유동 양상을 보이는 냉간 단조 공정의 해석에 적용하였다. 적용 공정은 그

림 3-1 (a)와 같은 원주형 초기 소재로부터 (h)와 같은 축대칭 형상을 성형하는 공정으

로 이후 몸체 중심과 나사이음 부분은 피어싱과 트리밍 공정을 통해 제거되어 플랜지

로 가공되는 공정이다. 그림 3-1은 해석 과정 중에 나타나는 변형 형상과 요소망 재구

성 과정을 단계적으로 나타낸 그림이다. 공정의 유한요소 해석은 표 3-1과 같은 조건에

서 강소성 유한요소법을 사용하여 수행되었으며 그림 3-2와 같은 형상과 유효변형률

분포를 보이는 해석 결과를 얻었다. 요소망 생성기의 적용은 그림 3-2 (a)의 초기 요소

망 생성과 그림 3-2 (c)와 (e), (g)에서와 같이 세 번의 요소망 재구성 단계에 적용되었다.

61

Table 3-1 Conditions of rigid-plastic finite element analysis

Material MPa11.03.794 εσ = (ASTM 105 STEEL)

Friction Constant shear friction factor, m=0.2

Initial billet D=212 mm, H=75 mm, Cylindrical billet

Average number of elements 348 elements

Element size range 3 ~ 6 mm

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g) (h)

Fig. 3-1 Application example to forging process analysis, (a) Initial mesh, (b) First analysis stop due to severe distorted elements, (c) First remeshing, (d) Second analysis stop, (e) Second remesh, (f) Third analysis stop, (g) Third remesh, (h) Final forming shape

62

1.8

1.0

0.2

1.8

1.81.0

0.2

1.81.0

0.21.00.2

1.8

0.2

Fig. 3-2 Effective strain distribution of final forming shape

그림 3-3과 그림 3-5, 그림 3-7, 그림 3-9는 초기 해석영역과 세 번의 요소망 재구성

과정에서 분할된 요소망이며 사각형 요소질(element quality)의 분포를 Lo[11]가 제안한

distortion coefficient β로 나타낸 그림이다. Lo의 distortion coefficient β는 사각형 요소

ABCD에 대하여 식 3-(1)과 같이 정의된다. 요소의 찌그러진 정도를 나타내는 β의 값

은 큰 값을 가질수록 우수한 형상의 사각형 요소를 나타낸다. 예를 들어 1의 값은 정사

각형의 요소를 나타내며 삼각형 형상의 요소의 경우에는 0의 값을 기지게 된다.

432121

43 , ααααααααβ ≥≥≥=

BCDABDACDABCi ααααα ,,,= 3-(1)

22232cabcab

cbcaabc

++

×=α

63

그림 3-4와 그림 3-6, 그림 3-8, 그림 3-10은 각각의 구성된 요소망에 분포하는

distortion coefficient β의 비율을 나타낸다. 모든 경우의 요소망에서 70% 이상이 0.6 이

상의 값을 가지며 0.6 이하의 다소 좋지 않은 형상의 요소는 전진 경계 기법(advancing

front technique)인 페이빙 알고리즘(paving algorithm)의 특성에서 비롯되어 영역의 내부에

대부분 분포하는 특성을 보인다. 이러한 해석 영역의 경계에 상대적으로 우수한 형상의

요소가 분포하는 특징은 대부분의 변형이 해석 영역의 경계에서 발생하는 점에서 매우

바람직한 요소 분할 특성을 보임을 알 수 있다. 요소망의 밀도의 조정은 요소의 크기가

3 ~ 6 mm 사이에서 점진적으로 분포되도록 분할하였다. 이러한 요소 분할은 다음 해석

과정에서 국부적인 변형이 예상되는 지점을 상대적으로 작은 요소로 분할 함으로써 해

의 정확도 유지하며 해석 시간을 단축시킬 있다.

또한 개발된 요소망 생성기는 우수한 요소 분할과 밀도 조정 기능뿐만 아니라 그림

3-11에서와 같이 심한 변형으로 인하여 왜곡된 해석영역의 경계를 보정하는 기능을 포

함한다. 그림 3-11의 왼쪽 요소망은 해석이 진행되는 과정에 금형의 코너 부근에 심한

국부적인 변형으로 인하여 원 내부의 확대된 그림과 같이 영역의 경계가 심하게 왜곡

상태로 개발된 요소망 생성기를 통한 요소망 재구성을 통하여 영역의 경계 형상을 금

형 형상과 일치하도록 보정할 수 있다.

64

0.8-1.0

0.0-0.20.2-0.40.4-0.60.6-0.8

Mesh Quality

Fig. 3-3 Initial mesh generation and mesh quality distribution

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

10

20

30

40

50

perc

enta

ge (%

)

Lo's distortion coefficient β (mesh quality)

Fig. 3-4 Mesh quality distribution of initial mesh system

65

0.8-1.0

0.0-0.20.2-0.40.4-0.60.6-0.8

Mesh Quality

Fig. 3-5 First remesh generation and mesh quality distribution

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

perc

enta

ge (%

)

Lo's distortion coefficient β (mesh quality)

Fig. 3-6 Mesh quality distribution of first remesh system

66

0.0-0.20.2-0.40.4-0.60.6-0.80.8-1.0

Mesh Quality

Fig. 3-7 Second remesh generation and mesh quality distribution

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

10

20

30

40

50

60

perc

enta

ge (%

)

Lo's distortion coefficient β (mesh quality)

Fig. 3-8 Mesh quality distribution of second remesh system

67

0.8-1.0

0.0-0.20.2-0.40.4-0.60.6-0.8

Mesh Quality

Fig. 3-9 Third remesh generation and mesh quality distribution

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

perc

enta

ge (

%)

Lo's distortion coefficient β (mesh quality)

Fig. 3-10 Mesh quality distribution of first remesh system

68

Fig. 3 -11 Application example to remeshing and automatic modification of erroneous

boundary shape

3.2. 파인 블랭킹 공정 해석의 요소망 생성

두 번째 적용 예제로써 개발된 요소망 생성기의 요소망 밀도 조정 기능을 활용하여

파인 블랭킹 공정 해석의 요소망 구성에 적용한 예이다. 그림 3-12는 파인 블랭킹의 해

석을 위한 일반적인 유한요소 모델이다[12]. 해석의 정확도를 위해서는 블랭킹에 의해

전단 될 영역은 매우 조밀한 요소의 분할이 필요하다. 그림 3-12는 두께 7 mm의 소재

에 대하여 최대요소크기 2 mm로 하고 전단 될 영역을 2 mµ 의 매우 작은 요소로 분할

된 예이다. 이와 같이 최소요소크기와 최대요소크기가 2000 % 이상의 차이를 가지며

69

요소분할이 가능한 밀도 조정 기능을 사용하여 파인 블랭킹의 공정 해석의 요소망 구

성에 적용이 가능하다.

main punch

workpiece

counter punch

blank holder

die plate

element size : 2µm~2mm

h=7.5mm

Fig. 3-12 Application example to analysis of fine blanking process

70

4. 결론

본 논문은 압출 또는 단조 등의 금속 성형 공정이나 파인 블랭킹(fine blanking) 공정

의 해석과 같은 대변형 유한요소 해석에의 적용을 고려한 사각형 요소망 생성기의 개

발에 관한 연구이다. 따라서 대변형 문제의 해석에 적합한 요소망 구성을 위한 요구 조

건을 고려하여 NURBS Interpolation에 의한 해석영역의 표현과 요소망 밀도 제어가 가능

한 수정 Paving 알고리즘을 사용하여 객체지향 프로그래밍 기법에 따라 사각형 요소망

생성기를 개발하였다. 개발된 요소망 생성기는 적용 예제에서 살펴본 것과 같이 대변형

유한요소 해석에 적합한 요소망 구성이 가능한 다음과 같은 몇 가지 특징을 갖는다.

첫째, 해석 과정에서 나타나는 임의 형상을 가지는 2차원 영역은 NURBS Interpolation

기법에 따라 표현된다. 어떠한 형상의 자유 곡면도 경계점의 입력으로 자유롭게 표현가

능하며 요소망 재구성시 해석 프로그램으로부터 경계 절점을 전달을 통해 사용자의 개

입 없이 모델링이 가능하다.

둘째, 최대요소크기와 최소요소크기 그리고 고밀도 점의 조정을 통해 해석에 적합한

요소망 밀도의 조정이 가능하다. 대변형 유한요소해석은 국부적인 대변형을 발생하므로

적절한 요소 크기의 조정을 통해 해석 결과의 정확도를 유지하며 해석 시간의 단축이

가능한 요소망 구성이 가능하다.

셋째, 우수한 형상의 요소에 의한 요소망 구성이 가능하다. 유한요소해석의 정확성에

큰 영향을 미치는 요소망의 질은 적용 예제를 통하여 살펴본 것과 같이 모든 경우 분

71

할된 요소의 70% 이상이 0.6 이상의 Lo’s distortion coefficient를 가지며 일부 좋지않은

형상의 요소는 해석 결과에 영향이 적은 해석영역의 내부에 분포한다.

넷째, 일반적인 요소망 생성 기능과 더불어 경계 조건의 자동 설정 등의 전처리기의

기능을 포함한다.

이상과 같은 요소망 생성기의 특징은 대변형 유한요소해석에 있어 해석 결과의 정확

성을 보장하며 해석 시간을 단축시킬 수 있는 효율적인 요소망 생성을 가능케 한다. 따

라서 본 연구를 통하여 개발된 요소망 생성기는 대변형 유한요소해석에 있어 요소망

구성에 효과적으로 사용될 수 있을 것이다.

72

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