第二十三讲

7.3 利用频率采样法设计 FIR 滤波器

1

0

( ) ( ) ( )N

j j n jd

n

H e h n e H e

1

( ) ( )2

j j nd dh n H e e d

( ) ( ) ( )dh n w n h n

回顾窗函数设计法：

得到的启发：能否在频域逼近？

用什么方法逼近？

通过加窗实现时域逼近

7.3 利用频率采样法设计 FIR 滤波器 设计思路

对理想频率响应等间隔抽样 作为实际 FIR 数字滤波器的频率特性的抽样值

2( ) ( ) ( )jd d

kN

H k H k H e

0,1,..., 1k N

( )h n ( )H z ( )jH e

( 频域逼近 )

用内插恢复公式建立联系用 IDF

T 实现

抽样

1

10

1 ( )( )

1

N N

kk N

z H kH z

N W z

1

0

2Nj

k

H e H k kN

1

2

sin1 2( )sin

2

Nj

N

eN

1 1

2

0

sin21

sin2

N Njj

k

kN

NH e e H k

kNN

复习内插公式：内插函数

重构公式

1 、用频率采样法设计 线性相位滤波器的条件 为什么要讨论这个问题 ?

在时域逼近采用截断（加窗）、延时（附加线性相位 ）保证了：

je

( ) ( 1 )h n h N n

如果要求由频率采样信号 H(K) 恢复的系统频响满足线性相位， H(K) 应满足什么条件 ?

2. 幅度函数：

g ( ) 0, , 2 N H 为奇数 对 呈偶对称

( ) ( 1 )h n h N n

1

0

1( ) ( )cos

2

N

gn

NH h n n

1

2

N

1. 冲激响应 h(n) 偶对称

( ) 3. 相位函数：

复习：第一类线性相位约束条件

( )gN H 为偶数 对 呈奇对称

我们要讨论的问题是如果对 w 抽样，仍保证线性

相位时，对 H(k)有什么约束？

以第一类线性相位即 h(n) 偶对称为例：

1

2

Njj

d gH e H e

g

( ) (2 ) N

H ( ) (2 ) N

g g

g

H H

H

为奇数

为偶数

2

( )( )j k j kN

gH k H e H k e

( ) ( )

( ) ( )

g g

g g

H k H N k

H k H N k

幅度函数：

1 2 11

2k

Nk k

N N

相位函数：

2k k

N

若在 0~2π进行频域 N点采样则有 :

N 为奇数N 为偶数

线性相位条件

对第一类线性相位进行频率抽样的分析：

h(n) 为实数序列时， H(k) 圆周共轭对称

*g gH k H N k

k N k

H k H N k 即：

2

N对称中心：

( ) ( )

( ) ( )

g g

g g

H k H N k

H k H N k

幅度函数： 的进一步说明

注意与 h(n)对称中心的区

别

当 N为奇数时：

2 1 10,...,

2 2

2 1 1,..., 1

2 2

N Nk k

Nk

N NN k k N

N

2 10,..., 1

2 2

02

2 11 ,..., 1

2 2

N Nk k

N

Nk k

N NN k k N

N

当 N为偶数时：

线性相位： 1

2j Ne

的频率抽样表示

2 1

2

2 1

2

10,...,

2

1,..., 1

2

Nj kN

Nj N kN

NH k e k

H kN

H N k e k N

2 1

2

2 1

2

0,..., 12

02

1 ,..., 12

Nj kN

Nj N kN

NH k e k

NH k k

NH N k e k N

当 N为奇数时：

当 N为偶数时：

由抽样点重构的频率响应：

1

2

(0) sin2

sin2

N djj

NH

H e eN

1

sin sin2 2

sin sin2 2

Md

k

k kN N

H k N Nk kNN N

1

2

NM

当 N为奇数时：

12

NM 当 N为偶数时：

可利用的重要公式

利用 N个频域采样值重构 FIR的系统函数与频响，利用对称性化简 .

2 、频率抽样点的分布

设用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率为 ωc ，采样点数 N ， Hg(k) 和 θ(k) 用下面公式计算：

N= 奇数时，

ck

( ) ( ) 1, 0,1,2, ,

( ) 0, 1, 2, , 1

1( ) , 0,1,2, , 1

g g c

g c c c

H k H N k k k

H k k k k N k

Nk k k N

N

(7.3.12)

ckN

N/2

N0

N= 偶数时，

ck

( ) 1, 0,1,2, ,

( ) 0, 1, 2, , 1

( ) 1, 0,1,2, ,

1( ) , 0,1,2, , 1

g c

g c c c

g c

H k k k

H k k k k N k

H N k k k

Nk k k N

N

(7.3.13)

0

ckN N

N/2

3. 逼近误差及其改进措施 如果待设计的滤波器为 Hd(ejω), 对应的单

位取样响应为 hd(n) ，1

( ) ( )2

j j nd dh n H e e d

则由频率域采样定理知道，在频域 0~2π

之间等间隔采样 N 点，利用 IDFT 得到的 h(n)

应是 hd(n) 以 N 为周期，周期性延拓乘以 RN

(ω) ，即( ) ( ) ( )d N

r

h n h n rN R n

由采样定理表明，频率域等间隔采样 H(k) ，经过 IDFT 得到 h(n) ，其 Z 变换 H(z) 和H(k) 的关系为

1

20 1

1

0

1

2

1 ( )( )

12

( ) ( ) ( )

1 sin( / 2)( )

sin( / 2)

N N

jk N

Nj

k

Nj

z H kH z

Ne z

H e H k kN

Ne

N

抽样点上，频率响应严格相等

抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加 变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小

用频域抽样 H(K) 逼近理想频响的特点

增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减

4 、过渡带抽样的优化设计

不加过渡抽样点： 2 20dB 加一点： 2 40 ~ 54dB

加两点： 2 60 ~ 75dB 加三点： 2 80 ~ 95dB

1

0

2Nj

k

H e H k kN

增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，但导致过渡带变宽

增加 N，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增加了计算量

优点：频域直接设计 缺点：抽样频率只能是 或 的整数倍，

截止频率 不能任意取值2 /N

c/N

11 0 Int 8

2 4( )

10 Int 1 9 16

2 2

c

c

N Nk

H kN N

k

例：利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想低通滤波器，截止频率为 0.5π，抽样点数为 N=33 ，要求滤波器具有线性相位。

解：

1 0

0cj

dH e

理想低通频率特性

其它

按第一种频率抽样方式， N=33 ，得抽样点

由于 h(n)为偶对称，且 N=33为奇数，所以 对于

是偶对称。所以上图可画一半（到 ）

kH

截止频率 5.0c ，即 33

18

33

16 c

得线性相位 FIR 滤波器的频率响应：

8

16

1

33 sin 33 sin 33sin2 33 2 332

33sin 33sin 33sin2 2 33 2 33

j j

k

k k

H e ek k

2 /33过渡带宽：

阻带衰减： -20dB

增加一点过渡带抽样点

令 H(9)=0.5

4 /33过渡带宽：阻带衰减： -40dB

增加两点过渡带抽样点且增加抽样点数为 N=65

令 H(17)=0.5886

H(18)=0.1065

6 / 65过渡带宽：

阻带衰减： -60dB

7.5 IIR 和 FIR 数字滤波器的比较IIR 滤波器 FIR 滤波器

h(n) 无限长 h(n) 有限长

极点位于 z平面任意位置 滤波器阶次低 非线性相位

递归结构 不能用 FFT计算 可用模拟滤波器设计 用于设计规格化的选频

滤波器

极点固定在原点

滤波器阶次高得多 可严格的线性相位 一般采用非递归结构 可用 FFT计算 设计借助于计算机 可设计各种幅频特性和

相频特性的滤波器

第七章习题讲解

解：线性相位理想低通滤波器

1 ．用矩形窗设计一个 FIR 线性相位低通数字滤波器。 已知 ， 。求出 并画出 曲线。

=0.5c 21N h n

20lg jH e

其单位抽样响应：

1

2j j n

d dh n H e e d

( )0 ,

jj c c

d

c c

eH e

sin cc

c

n

n

1

2

c

c

j j ne e d

其中 110

2

N 0.5c

用矩形窗截断得 FIR 滤波器：

sin2

, 0 2010

0

d

n

nh n h n w nn

n

其他

其中 21w n R n 是窗函数。

sin ccd

c

nh n

n

低通滤波器的幅频响应曲线：

sin2

, 0 2010

0

d

n

nh n h n w nn

n

其他

则 FIR 滤波器的频率响应：

2 ．试用频率抽样法设计一个 FIR 线性相位数字低通滤波器，已知 。，0.5c 51N

解：根据题意有 1 0

0cj

dH e

其它

按第一种频率抽样，得

1, 0 12

2

10, 13 25

2

cNk Int

H kN

k

12

25

1

51 sin 51 sin 51sin2 51 2 512

51sin 51sin 55sin2 2 51 2 51

j j

k

k k

H e ek k

是偶对称序列3．已知 ，圆周移位（移 位）

1h n 8N

2h n 1h n 42

N

后的序列。设 1 1H k DFT h n 2 2H k DFT h n

成立否？ 与 有（ 1 ）问

1 2H k H k 1 k 2 k什么关系？

（ 2 ） ， 各构成一个低通滤波器，试问它 1h n 2h n

们是否是线性相位的？延时是多少？

解：（ 1 ）根据题意可知　

2 18 84h n h n

则

34

41 8 8

4

i nki k

i

h i W W

7

2 1 8 880

4 nk

n

H k h n W R n

41 8

kH k W

由上式可以看出

2 1H k H k

2 1 1

24

8k k k k k

7

48 1 8

0

k ki

i

W h i W

（ 2） 各构成低通滤波器时，， 1h n 2h n

由于都满足偶对称，因此都是线性相位的。

1 73.5

2 2

N 延时为

4．请选择合适的窗函数及 N来设计一个线性相位

低通滤波器

, 0

0,

jj c

d

c

eH e

要求其最小阻带减为－ 45dB ，过渡带宽为8

51

求出 h n 并画出 20lg jH e 曲线（设 0.5c ）

解：根据低通滤波器的最小阻减为－ 45dB ，查表， 应选择海明窗：

得 43N

20.54 0.46cos

1 N

nw n R n

N

6.6 8

51N

过渡带宽应满足：

又求得理想低通滤波器的单位抽样响应为：

1

2

c

c

j j ndh n e e d

sin cc

c

n

n

其中： 1

212

N

dh n h n w n

sin 0.5 210.54

0

0.46cos21 21

nnn

n

n

其他

20.54 0.46cos

1 N

nw n R n

N

sin ccd

c

nh n

n

21

0.5c

43N

线性相位 FIR 低通滤波器：

用海明窗设计得到 FIR 滤波器的幅频响应：