第 12 讲可测函数的性质与逼近定理

第第 1212 讲可测函数的性质与逼近定理讲可测函数的性质与逼近定理

目的：熟练掌握可测函数的性质，理解 Egoroff 定理的科学意义，掌握其证明。

重点与难点： Egoroff 定理的科学意义与证明。


基本内容：一．可测函数的性质（续）（ 1 ）可测函数乘积的性质

问题 1 ：如何将集合 E{x|f(x)g(x)<α} 用形如 E{x|f(x)<α}、 E{x|g(x)<α}、 E{x|f(x)≥α}、 E{x|g(x)≥α}的集合表示？


性质 3 若都是 E 上的可测函数则在 E 上乎处处有意义时，在 E 上可测。 (iii)证明 (iii) 。令

)( )( xgxf ，

)()( xgxf

)()( xgxf

})()(|{

})()(|{

2

1

xgxfxEE

xgxfxEE


则})(0|{})(|{1 xgxExfxEE }0)(|{})(|{ xgxExfxE })(|{})(0|{ xgxExfxE })(|{}0)(|{[ xgxExfxE }]0)(|{})(|{[2 xgxExfxEE

}])(0|{})(|{[ xgxExfxE


显然 E1,E2 都是可测集。在 E1 ， E2 上都可测。由性质 2 ，只需证明在 E1 ，E2 上都可测。注意到在 E3 上，都有意义，从而可测，于是由 (i),(ii) 知

}])(|{}0)}(|{[

}])(|{})(0|{

xgxExfxE

xgxExfxE

)()( xgxf)()( xgxf

})()(|{ 23 axgxfxE


是可测集 , 进而都可测 , 这说明

也是 E3 上的可测函数。

0},)()(|{

})()(|{

0,

3

3

3

aaxgxfxE

axgxfxE

aE

2)()( xgxf

)))()(())()(((4

1)()( 22 xgxfxgxfxgxf


（ 2 ）可测函数商的可测性

问题 2 ：可否直接应用乘积的可测性证明商的可测性？


性质 3 若都是 E 上的可测函数则当在 E 上几乎处处有意义时，在 E 上可测。 (iv)证明（ iv ）。由（ iii ），仅需证明是可

测函数就可以了。

)( )( xgxf ，)(/)( xgxf

)(/)( xgxf

)(

1

xg


对任意 1 ，Ra

0}0)(|{}1

)(|{

0}0)(|{}1

)(|{

0})(|{}0)(|{

})(

1|{

axgxEa

xgxE

axgxEa

xgxE

axgxExgxE

axg

xE


由可测性立得可测，即是 E 上的可测函数，证毕。

（ 3 ）可测函数序列的上、下极限之可测性

问题 3 ：假设 h(x)=limfn(x), 如何用形如E{x|fn(x)<α} 、 E{x|fn(x)≥α} 的集合表示集合 E{x|h(x)<α}?

)(xg })(/1|{ axgxE )(/1 xg


问题 4 ：如果 h(x) 是 fn(x) 的上极限，情形又如何？

一个很重要的问题是：可测函数序列的极限是否是可测函数？到目前为止，至少有三种意义下的极限概念，其一是“一致收敛”、其二是“处处收敛”（即在给定的集上逐点收敛），其三是“几乎处处收敛”（即在给定的集上，除去一个零测


集后逐点收敛）。显然，如果我们证明了一个几乎处处收敛的可测函数序列的极限是可测函数，则上述任何意义下的极限函数都是可测的。为此，先证明一个引理。

引理 1 假设是上的可测函数序列，则

1)}({ mm xf

)(inf)(),(sup)( (i)11

xfxlxfxh mm

mm


都是上的可测函数。

都是上的可测函数。证明：对任意实数，显然有

故由的可测性立知 f 可测。而

)(lim)(),(lim)( ii)(~

xfxfxfxf mm

mm

1Ra

1})(|{})(|{

mm axfxEaxhxE

mf


所以也是上的可测函数，记

则由（ i ）知都是上的可测函数，

))((sup)(inf)(11

xfxfxl mm

mm

)(xl

)(sup)( xfxh mkm

k

)(inf)( xfxl mkm

k

kk lh ,

)(supinf)(lim)( 1

xfxfxf mkmk

mm

且


由此立得，都可测。证毕。

)(inf1

xhkk

)(infsup)(lim)(1

~

xfxfxf mkmk

mm

)(sup1

xlkk

)(xf )(~

xf)}({ xfn )(xf

EE 0


（ 4 ）几乎处处收敛与几乎处处相等定义 3 设是 E 上的函数列，是 E 上的函数，若存在，使且对任意，有

)}({ xfn )(xfEE 0

， 00 mE 0EEx


，则称在上几乎处处收

敛到 f ，记作性质 4 如果是 E 上的可测函数序

列，且几乎处处收敛到，即

)()(lim xfxfmm

]E.[.)(lim)( eaxfxf mm

1)}({ mm xf

)(xf

]E[..)(lim)( eaxfxf mm


则在 E 上可测。证明：由于几乎处处收敛到，故存

在零测集，使得在上处处收敛到 , 由引理 1 知是

上的可测函数，从而也是 E 上的可测函数。证毕。

我们已经看到，任何非负可测函数都可以

)(xf

)(xfm )(xf

0E )(xfm 0EE )(xf )(xf 0EE


让单调递增的简单函数逐点逼近，那么一般的可测函数情形如何呢？为此，我们可以将上可测函数分成正部和负部如下：

显然

}0),(max{)( xfxf }0),(max{)( xfxf

)()()( xfxfxf )()(|)(| xfxfxf


问题 5 ： f(x) 的可测性与 f+(x) 、 f-(x) 的可测性是否等价？

问题 6 ： |f(x)| 的可测性与 f+(x) 、 f-(x)的可测性是否等价？

问题 7 ： f(x) 的可测性与 |f(x)| 的可测性是否相同？

由引理 1 的（ i ），知都是， )(xf )(xf


非负可测函数，于是存在单调简单函数列，使（任意），（任意）所以不难看到，两个简单函数的差仍是简单函数，事实上，若

11 }{,}{ nnnn )()( xfxn

Ex )()( xfxn

Ex 。 )()()( xfxx nn

m

ijiii dxEEmiExCx

1,)(,,,,1,)(


则且这说明是简单函数列的极限。从及很容易得到下面的性质 5 在 E 上可测当且仅当，都

， ,,,1,1

k

jjj EFkjFx

， )()( jiji FExdcxx ji

ji EFE,

)( )(xf 1}{ nnn

)()()( xfxfxf )()(|)(| xfxfxf

)(xf )(xf


在 E 上可测。当在上可测时，也在 E上可测。

也许有人会问，的可测性与的可测性是否等价？这很容易从下面的例子中找到答案。

例设是不可测集，定义 [0,1] 上函数如下：

)(xf |)(| xf

)(xf |)(| xf

]1,0[E


则是 [0,1] 上的不可测函数，但可测。

Ex

Exxf

1

1)(

)(xf 1|)(| xf


一． Egoroff 定理（ 1 ）近一致收敛定义（ 2 ）处处收敛与一致收敛的关系

问题 8 ：区间上处处收敛的函数序列可否通过挖去长度充分小的区间使其在剩下的集合中一致收敛？


问题 9 ：一般情况下，一个几乎处处收敛的函数序列能否经适当的限制使其一致收敛？

问题 10 ：如何表示函数序列不收敛的点集？问题 11 ：能否利用问题 10 构造一个测度

很小的集合，使函数序列在其余集上一致收敛？


函数逼近是分析及计算中十分重要的问题，它的本质就是用“好”的或“简单”的函数去逼近“坏”的或“复杂”的函数，无论是用多项式逼近连续函数的 Weirstrass 定理，还有用三角级数逼近可测函数的 Fourier 分析都可归类为逼近问题。由于收敛概念有多种，所以函数逼近相应的


也有多种含义；即“一致逼近”、“逐点逼近”、“几乎处处逼近”，后面我们还要介绍另一种收敛概念：“依测度收敛”，因此，又有“依测度逼近”的概念。很自然地，有两个问题是必须考虑的：

1 、什么样的函数可以用“好”的函数按某种收敛意义逼近？


2 、几种收敛性关系如何？这正是本节要讨论析内容。关于第二

个问题，前面已作过初步讨论，显然“一致收敛”强于“处处收敛”、“处处收敛”强于“几乎处处收敛”。本节则是要考察反方向的结论。几乎处处收敛能否推出一致收敛？当然，一般情况下，这是做不到的。即使是定义于某个区)}({ xfn


间上的连续函数序列，且逐点收敛到连续函数，也不一定一致收敛到例如，在 (0,1) 上处处收敛到 0 ，但不一致收敛到 0 。然而，假如我们将1 的一个小邻域挖掉，即考虑区间

，不管多么小，在上总是一致收敛到 0 的。这就是说，我

们

)(xf )(xfn )(xfn

n xxf )(

]1,0(

)10( )(xfn ]1,0(


可以将 (0,1)挖去长度充分小的区间，使在剩下的集合上一致收敛。对中一

般可测集上的可测函数，相应的结论是否仍然正确呢？下面的 Egoroff 定理给出了一个肯定的回答。

（ 3 ） Egoroff 定理的叙述*定理 1 （叶果洛夫（ Egoroff ））设是可测集，且是 E 上

)(xfnnR

nRE 1)}({, nn xfmE


的几乎处处有限的可测函数序列，是 E 上几乎处处有限的可测函数，则下

列各数言等价。

(ii) 对任意存在可测子集，使而在上，一致收敛于

)(xf

]E[..)()(limi eaxfxfnm

）（

0 EE

)( EEmE )(xfn

。 )(xf


证明： .设对任意，存在，使，且在上一致收敛于，取，则存在，，且，令，则，且，故

)()( iii 0 EE

)( EEm )(xfn E

)(xfkk

1 EEk

kEEm k

1)(

kk EEk ff ||一致

10

kkEE EE 0

01

)()( 0 k

EEmEEm k


。往证在上几乎处处收敛到，事实上，对任意。存在，使，由立得。。假设，我们来看看使不收敛的点集是什么。若

0)( 0 EEm )(xfn 0E

)(xf 0Ex

k kExkk EEn ff ||

一致

)()( xfxfn

)()( iii ]E[..)()( eaxfxfn

)(xfn


，则存在，使得无论取何值，都有，使，这就是说，对任意 N，，从而，但对不

)()( xfxfn 0

NN NnN |)()(| xfxf

Nn

}|)()(||{

xfxfxEx n

Nn

}|)()(||{1

xfxfxEx

Nn

Nn


同的，对应的可能不同，因此，取一串正数，使得单调趋于 0 ，则对任意，总存在，使，从而当时，一定也有，由此立知

x

}{ k k

0 k k

|)()(| xfxfn kn xfxf |)()(|

}|)()(||{

)}()(|{

11k

Nn

Nnk

n

xfxfxE

xfxfxE


反之，若，则存在，使

于是对任意 N，有

进而存在，使

}|)()(||{11

kN

nNnk

xfxfxEx

0k

， }|)()(||{0

1k

Nn

NnxfxfxEx

， }|)()(||{0kn

NnxfxfxEx

NnN


显然，故

由 (i) 的条件，，均为零测集，于是

， }|)()(||{0kn xfxfxEx

N

)()( xfxfn

)}()(|{ xfxfxE n

）（

}|)()(||{

11 N

knNnk

xfxfxE

})(|{ xfxE })(|{ xfxE n


是零测集，，在显然是处处有限的。

任给，我们要找，使，且对任，存在 N，使当时，对任意，有。由于前述

})(|{}])(|{[1

0

xfxExfxEE n

n

)(xf 1)}({ mn xf

0EE

0 EE )( EEm

0 Nn

Ex |)()(| xfxfn


的单调下降于 0 ，故仅需就证明就可以了。即然要求所以集合当然应该去掉， ( 此处待定 ) ，记则在上，必然一致收敛到。这是因为对任意，可取，则当

k k

， )(|)()(| kkn Nnxfxf

}|)()(||{ knNn

k xfxfxEEk

kN ， 1

0

k

kEE

0EE nf f

0 k kNn


时，只要，总有，所以

剩下的问题是如何保证可以充分小。注意到是零测集，由 (*)式知对每个，

0EEx kEx

kn xfxf |)()(|

0mE

)}()(|{ xfxfxE n

k

0}]|)()(||{[1

k

Nn

NnxfxfxEm


由于是单调递减的，故因此，对每个 k，我们可取充分大，使

}|)()(||{ knNn

xfxfxE

}]|)()(||{[lim

})|)()(||{(01

kNn

nnN

kN Nn

xfxfxEm

xfxfnxEm


因此，对每个 k，我们可取充分大，使的测

度小于，记，这样，

。而在上，

一致收敛到。证毕。

)(kk NN

kNnknk xfxfxEE }|)()(||{

k2

10

kkEE

11 11 2k kkkmEmE EE

)(xfn )(xf


问题 12 ：在 Egoroff 定理中，能否取 Eε

为闭集？为什么？

作业： P77 10 ， 11 ， 12

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