Upload
deirdra-lombard
View
97
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
第 8 章 有限字长效应. 问题的提出 截尾和舍入效应 滤波器输入信号量化效应 滤波器系数量化效应 数字滤波器的定点运算误差. 问题的提出. (1) 输入信号经 A/D 变换而产生的量化误差。 (2) 滤波器的系数量化误差。 (3) 运算误差。. 数字系统,存储单元的容量有限。. 有限字长的影响,主要表现在以下三方面. 截尾和舍入效应. 定点二进制数的表示 量化及量化误差. 一、 定点二进制数的表示. 定点二进制数 x 有原码、反码和补码 三种表示形式. 若 x =0. X 1 X 2 X b ,则其原码、反码和补码分别定义为. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
第第 88 章 有限字长效应章 有限字长效应 问题的提出问题的提出 截尾和舍入效应截尾和舍入效应 滤波器输入信号量化效应滤波器输入信号量化效应 滤波器系数量化效应滤波器系数量化效应 数字滤波器的定点运算误差数字滤波器的定点运算误差
问题的提出问题的提出
(1) (1) 输入信号经输入信号经 A/DA/D 变换而产生的量化误差。变换而产生的量化误差。(2) (2) 滤波器的系数量化误差。滤波器的系数量化误差。(3) (3) 运算误差。运算误差。
数字系统,存储单元的容量有限。
有限字长的影响,主要表现在以下三方面
截尾和舍入效应截尾和舍入效应
定点二进制数的表示定点二进制数的表示 量化及量化误差量化及量化误差
一、一、定点二进制数的表示定点二进制数的表示
定点二进制数 x 有原码、反码和补码三种表示形式
01.11
10.0][
21
21
xXXXx
xXXXxx
b
b
原
01.11
10.0][
21
21
xXXXx
xXXXxx
b
b
反
012
10][
xx
xxx 补
若 x=0.X1 X2 Xb ,则其原码、反码和补码分别定义为
二、量化及量化误差二、量化及量化误差
理论上十进制数可用无穷多为二进制数表示
1
0 2n
nnx
符号位 有效数字位
实际中,只能用有限位近似表示 (b+1) 位 ) ,这种过程称为量化。
量化方式量化方式
q q
2q
2q
3q 4q
3q
q
2q
3q
4q
q 2q 3q 4qx
Q[x]
q q
2q
2q
3q 4q
3q
q
2q
3q
4q
q 2q 3q 4qx
Q[x]
截尾量化 舍入量化
b
n
nnxQ
10 2][
截掉 b 位后数据 视 b+1 位后数据的大小决定 b 位数据的值
量化误差量化误差
截尾误差 xxQET ][
舍入误差范围 22 qEq R
正数和补码负数截尾误差范围为0 TEq
原码负数和反码负数截尾误差范围为
qET 0
区别:舍入误差对称分布,截尾误差单极性分布。
bq 2
滤波器输入信号量化效应滤波器输入信号量化效应
问题的提出问题的提出 量化误差统计假设量化误差统计假设 信噪比和字长的关系信噪比和字长的关系
一、问题的提出一、问题的提出
模拟信号经过 A/D 转换为 b 位数字信号,即
][][][ˆ kekxkx
精确抽样值 量化误差
分析 A/D 转换器的量化效应目的在于选择合适的字长,以满足信噪比指标。
二、 e[k] 统计假设
1) e[k] 是平稳随机序列 2) e[k] 是白噪声,且 e[k1] 和 e[k2] 不相关 3) e[k] 和 x[k] 不相关4) e[k] 等概率分布
][ke
]}[{ keP
q1
2q 2q0
舍入量化误差的概率密度函数曲线
三、信噪比和字长的关系
信号 x[k] 的平均功率为 2x
输入信号的信噪比 SNR 为
dB)(10log1079.1002.610log10 22
2
xe
x bSNR
字长增加一位, SNR 增加 6db
12
][2
22 qkeEe 量化误差方差
滤波器系数量化效应滤波器系数量化效应
问题的提出问题的提出 IIRIIR 系数量化效应系数量化效应 FIRFIR 系数量化效应系数量化效应
一、问题的提出一、问题的提出
N
rr
M
k
kk
N
k
kk
M
k
kk
zp
zb
za
zb
zA
zBzH
1
1
0
1
0
)1(1)(
)()(
因字长有限,滤波器系数 ak 、 bk 量化后将产生误差
1. 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。
2. 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。 严重时,使系统失去稳定。
设系统只有单极点,理想 DF 的系统函数可表示为
二、二、 IIRIIR 系数量化效应系数量化效应
{ak} 量化后的值 Nkaaa kkk ,1,ˆ
011
kk
N
k
kk zaza
N
kkk aa
1
1
)1(22}max{
b
k
k q
a
a
保持稳定性的 IIR DF 系数的最小字长
量化后极点位置
为了保持稳定,设极点在单位圆内接近 z=1
Nrppp rrr ,1,ˆ
kk
rN
kr a
a
pp
1
系统对系数量化的灵敏度
量化后极点
第 r 个极点对第 k 个系数变化的敏感度
位置误差
pr /ak 越大, ak 对 pr 的影响越大,反之亦然。
将系数量化误差所造成的零、极点位置误差作为对系数量化灵敏度的度量。
系统对系数量化的灵敏度系统对系数量化的灵敏度
N
rll
lr
kNr
N
rll
rlr
kr
pzr
k
k
r
pp
p
ppp
p
p
zDa
zD
a
p
r 11
11 )()1()(
)(
对级联或并联型,每个子系统最多只有两个共轭极点,故对系数量化影响较小。
极点彼此之间距离越远,极点位置灵敏度就越低极点彼此越密集,极点位置灵敏度就越高
三、 FIR 系数量化效应
系数量化只影响零点,不涉及稳定性问题,但会影响频率特性。
若要求频响误差为 E(ej) ,则所需字长为
)1(2)1(2
)1()(
bj N
qNeE
实际中,需要在估计字长的基础上加上 3~4 位
数字滤波器的定点运算误差数字滤波器的定点运算误差
IIR DFIIR DF 的极限环振荡的极限环振荡 IIR DFIIR DF 乘积量化误差的统计分析乘积量化误差的统计分析 FIR DFFIR DF 中乘积量化的影响中乘积量化的影响 溢出问题溢出问题
一、 IIR DF 的极限环振荡
][]1[][ kxkyky
设: y[1]=0
b=3, =1/2=0.100, x [k]=(7/8)[k] = 0.111
[k]
]}1[{][][ kyQkxky
由于字长有限, IIR DF 零输入下也有固定不变的输出,或输出在一定范围内出现震荡现象。
乘法运算采用舍入量化处理,相应的差分方程为
分析:
一阶一阶 IIR DFIIR DF输出输出
111.087]}1[{]0[]0[ yQxy
100.0]0111.0[]}0[{]1[
QyQy
010.0]010.0[]}1[{]2[
QyQy
001.0]001.0[]}2[{]3[
QyQy
81001.0]0001.0[]}3[{]4[
QyQy
},8
1,
8
1,
8
1,
8
2,
8
4,
8
7{][ˆ ky ][)
2
1(
8
7][ kuky k
极限环震荡 无限精度输出
产生极限环震荡的原因产生极限环震荡的原因
量化使下式成立
]1[]]1[[ kykyQ )0,0( 取取
即系统的差分方程变为
]1[][][ kykxky
极点从原来的单位圆内迁移到单位圆上,从而产生等幅序列形式的极限环震荡。
消除限环震荡方法消除限环震荡方法
1. 适当地增加字长
1
2]1[
)1(b
ky
死区
2. 在滤波器的输入端加入高频脉冲,使输出跳出死区,回到零。
在一定时,增加字长 b ,死区也减小。
二、二、 IIR DFIIR DF 乘积量化误差的统计分析乘积量化误差的统计分析
乘积的舍入用噪声源 e[k] 表示,对其做如下假设:
1) 各噪声源均为白噪声序列;
2) 各噪声源统计独立,互不相关;
3) 在量化噪声范围内,各噪声源都视为等概率密度分布。
直接直接 II 型结构乘积量化误差分析型结构乘积量化误差分析
x[k] b0
b1
b2
bM
a1
aN
a2
z 1
z 1
z 1
z 1
z 1
z 1
e0[k]
e1[k]
e2[k]
eM[k]
eM+1[k]
eM+2[k]
eM+N[k]
][ˆ ky
直接 I 型结构乘积量化误差单个噪声源模型
12
][2
220
qkeE i 单个噪声源方差
直接直接 II 型结构乘积量化误差分析型结构乘积量化误差分析
x[k] b0
b1
b2
bM
a1
aN
a2
z 1
z 1
z 1
z 1
z 1
z 1
e[k]
][ˆ ky
直接 I 型结构乘积量化误差联合噪声源模型
12
)1(][2
22 qNMkeEe 联合噪声方差
直接直接 II 型结构乘积量化误差分析型结构乘积量化误差分析
e[k] 通过系统的平均噪声功率
dzzzHzHj
qNM eeCv
112
2 )()(2
1
12)1(
e[k] 所通过系统的系统函数He(z)=1/A(z)
直接直接 IIII 型结构乘积量化误差分析型结构乘积量化误差分析
x[k]
aN
z 1
eM+N[k] eM[k]
z 1
z 1
][ˆ ky
a1
a2
eM+2[k]
eM+1[k]
b0
b1
b2
bM
e0[k]
e1[k]
e2[k]
直接 II 型结构乘积量化误差单个噪声源模型
直接直接 IIII 型结构乘积量化误差分析型结构乘积量化误差分析
x[k]b0
b1
b2
bM
a1
aN
a2
z 1
z 1
z 1
ea[k]
][ˆ ky
eb[k]
直接 II 型结构乘积量化误差联合噪声源模型
12
2)1(][
12
2 22
0
22
b
k
b
v MkhN
ea[k] 和 eb[k] 通过
系统的输出噪声方差
IIR DFIIR DF级联结构乘积量化误差分析级联结构乘积量化误差分析
01
11
21
11
21
x[k]
z 1
z 1
z 1
z 1
e1[k]
][ˆ ky0L
1L
2L
1L
2L
z 1
z 1
z 1
z 1
eL[k]
dzzzAzA
zHzH
j ii
ll
L
il
Ci
L
iv
11
1
12
1
2
)()(
)()(
2
1
IIR DFIIR DF并联结构乘积量化误差分析并联结构乘积量化误差分析
01
11
21
11
21x[k]
z 1
z 1
e1[k]
][ˆ ky
0L
1L
2L
1L
2L
z 1
z 1
z 1
z 1
eL[k]
22
1
2 ][khie
L
iv i
三、三、 FIR DFFIR DF 中乘积量化的影响中乘积量化的影响
乘积量化噪声的输出平均功率
12)1(][
12)1(
2
0
22
2 qNk
qN
kv
y[k]
z 1 z 1 z 1
h[0] h[1] h[2] h[N 1]x[k]
e0 e1 e2eN 1
四、溢出问题四、溢出问题
][][][ nkxnhkyn
][][ maxmaxnhxky
n
产生原因: x[k]的最大绝对值
n
nhx ][max 超出了表示范围,就会产生溢出。
避免溢出的方法 :
1. 适当增加字长
2. 将输入信号乘以小于 1 的比例因子 A ,使下式成立
1][max n
nhAx