Бүлэг 8: ОГТОРГУЙН ГЕОМЕТР - edub.edu.mn · 4. Додекаэдрийн ирмэг нь 2 нэгж бол гүйцэт гадаргуугийн талбайг

Бүлэг 8: ОГТОРГУЙН ГЕОМЕТР

ОГТОРГУЙН ГЕОМЕТР

Бид өмнөх бүлгүүдэд хавтгайн геометрийн тухай судалж үзсэн билээ.

Хавтгайн геометрийн үндсэн аксиомууд дээр тулгуурлан огторгуйн геометрийн үндсэн чанар ба

дүрс,тэдгээрийг зураглал,бодлого бодох аргачлалтай танилцах билээ.

Олон талст өнцөг

Бид хавтгай дээр хоѐр шулууны хоорондох өнцөг тэдгээрийг хэрхэн хэмжих тухай үсэн

билээ. Тэгвэл одоо бид хоѐр хавтгайн хоорондох өнцөг , олон талст өнцөг тэдгээрийг хэмжих

талаар үзэх болно. За тэгвэл хүүхдүүдээ хуудас цаас аваад түүн дээрээ шулуун татаарай. Энэ

шулуун уг цаасны хавтгайг 2 хагас хавтгайд хуваадгыг бид мэднэ. Одоо шулуун шугамныхаа

дагуу цаасаа нугалаад үзье. Энэ хуудас цаас хавтгайг төлөөлнө гэвэл уг шулуун хоѐр хавтгайн

хооронд өнцөг үүснэ. Энэ өнцгийг хоѐр хавтгайн хооронд үүсэх хоёр талст өнцөг гэнэ.

зураг : 1

𝒍

Хоѐр талсын ерөнхий шулуун 𝑙 – ийг хоѐр талст өнцгийн ирмэг гэнэ. Хоѐр талст өнцгийг

үүсгэж байгаа хагас хавтгайнуудыг түүний талс гэнэ. Хоѐр талст өнцгийн ирмэгийн дурын

цэгээс эхтэй ,талсууд дээр орших ирмэгт перпендикуляр цацрагуудын хооронд үүсэх өнцгийг

хоёр талст өнцгийн хэмжээ гэнэ. (зураг :1)

Теорем:1 Хоѐр хавтгай хоорондоо перпендикуляр байх гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээтэй

нөхцөл нь : тэдгээрээр тодорхойлогдох хоѐр талст өнцөг нь 900 байх явдал юм. Харин

паралель байх гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь : тэдгээрээр тодорхойлогдох хоѐр

талст өнцөг нь 00 -ын өнцөг байх явдал юм.

Санамж :1 Огторгуйд ямарч биет дүрсийн цаана орших хэрчим,шулууныг дүрслэхдээ

тасархай шугамаар дүрсэлдгийг бид шугам зургийн хичээлээр мэдэх билээ. Цаашид энэ

зарчмыг ашиглан зураг,дүрслэлээ үйлдэх болно.


Бодлого :1 хоѐр талст өнцгийн хоѐр өөр талс дээр орших А ; В цэгүүдээс ирмэг рүү 𝐴𝐴1 ; 𝐵𝐵1

перпендикуляруудыг татав. 𝐴𝐴1 = 3𝑐м ; 𝐵𝐵1 = 5см ; 𝐴1𝐵1 = 6см ; хоѐр талст өнцгийн хэмжээ 𝛼

бол 𝐴 ;𝐵 цэгүүдийг хоорондох зайг олоорой.

Зураг : 2

Өгсөн нь :

𝐴 𝐴𝐴1 = 3𝑐м ; 𝐵𝐵1 = 5см ; 𝐴1𝐵1 = 6см

Олох нь :

𝛼 𝐴1 𝐵1 𝐴𝐵 → ?

𝐵2 𝐵 Бодолт :

𝐴𝐴1 = 𝐴1𝐵1 𝐵2𝐴1 = 𝐴1𝐵1 => ∆𝐴𝐵2𝐵 𝐴𝐵2 = 𝐵𝐵2

тэгш өнцөгт гурвалжин болох

тул : 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐵22 + 𝐵𝐵2

2 теоремоор бодно . Үүний тулд ∆𝐴𝐵2𝐴1 гурвалжин дээр косинусын

теорем бичвэл :

𝐴𝐵22 = 𝐴𝐴1

2 + 𝐴1𝐵22 − 2 ∙ 𝐴𝐴1 ∙ 𝐴1𝐵2 ∙ cos𝛼

𝐴𝐵2 = 9 + 25 − 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ cos𝛼 = 34 − 30 cos𝛼 гэвэл

𝐴𝐵 = 𝐴𝐵22 + 𝐵𝐵2

2 = 34 − 30 cos𝛼 + 36 = 70 − 30 cos𝛼 болно.

Нэг цэгээс гарсан , гурвуул нэг хавтгайд үл орших гурван цацраг авч цацрагуудыг хос

хосоор нь агуулсан хавтгайнуудыг татъя. Эдгээр хавтгайнууд болон цацрагуудын хооронд

үүсэх өнцгүүдээр хашигдсан хэсгийг өгсөн цацрагуудаар тодорхойлогдох гурван талст өнцөг

гэнэ.

a c b 𝑆

зураг :4 гурван талст өнцөг

a c b

зураг : 3 S

зураг : 3,4 –т гурван талст өнцгийг дүрслэв. Цацрагуудын ерөнхий цэгийг гурван талст өнцгийн

орой, орой болон цацрагуудаар тодорхойлогдсон өнцгүүдийг гурван талст өнцгийн талс ,

цацрагуудыг өнцгийн ирмэг гэнэ. Гурван талст өнцөг нь нэг орой,гурван ирмэг, гурван талсаас


бүрдэнэ. Үүний адилаар 4;5 ;.....; n шулуунуудаар 4 талст; 5 талст ; .............; n талстыг үүсгэж

болно.

Жишээ нь : зураг : 5 д байшингийн дээврийн хэсгийг үзүүлэв. Дээврийн зарим уртын

хэмжээнүүд мэдэгдэж байгаа бөгөөд мужаан дээврийн хонгилын нүүрэн талыг битүүлэх ѐстой.

Мужаан оройдоо хэдэн градусын өнцөгтэй гурвалжин дүрсээр дээврийн нүүрийг таглах вэ? Мөн

тэнд хэдэн талст өнцөг үүсэх вэ?

Зураг : 5

ОЛОН ТАЛСТ

Огторгуйн олон талст гэж төгсгөлөг тооны олон өнцөгтүүдээс бүрдсэн огторгуйд тодорхой

төгсгөлөг биетийг хүрээлэх дүрсийг (гадаргууг) хэлнэ. Олон талстыг үүсгэж байгаа олон

өнцөгтийг талс ,түүний талыг олон талстын ирмэг,оройнуудыг олон талстын орой гэж

нэрлэдэг. Стереометрт олон төрлийн олон талст байдаг. Бид 2 курст хялбар төрлийн олон

талсттай танилцана. Жижээ нь : пирамид (гурвалжин,дөрвөн өнцөгт,5,6....n өнцөгт пирамид),

огтлогдсон пирамид,призм (гурвалжин,дөрвөн өнцөгт,5,6....n өнцөгт призм), зөв олон

талстуудын тухай үзнэ.

Теорем : 2 (Эйлерийн томъёо) Аливаа олон талстын оройн тоог − 𝒗 , ирмэгийн тоог - 𝒆

,талсын тоог- 𝒇 гэж тэмдэглэвэл 𝒗 − 𝒆 + 𝒇 = 𝟐 тэнцэтгэл биелнэ.

Зөв олон талст

Талсууд нь бүгд хоорондоо тэнцүү, зөв олон өнцөгт байх олон талстыг Платоны биет буюу зөв

олон талст гэнэ.

Зургаас харахад бид дээврийг ,нэг ерөнхий

тал нь хоѐр талст өнцгийн ирмэг дээр орших ,

хоѐр талст өнцгийн талсууд дээр оршиж буй

тэгш өнцөгтүүд гэж үзэж болно. Хонгилд үүсэж

буй өнцөг нь хоѐр талст өнцгийн хэмжээтэй

тэнцүү энэ өнцөг нь 6м суурьтай , 4м хажуу

талтай адил хажуут гурвалжны оройн өнцөгтэй

тэнцүү байна.

∆АВС : гийн хувьд : cosВ = 𝐴𝐵2+𝐵𝐶2−𝐴𝐶2

2∙𝐴𝐵∙𝐵𝐶

cos𝐵 =16+16−36

2∙4∙4= −

1

8

𝐵 = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠 1

8 өнцөг бүхий оройтой

гурвалжнаар дээврийн хонгилыг бөгөлнө. Тэнд гурван талст өнцөг үүссэн байна.


Платоны олон талст нь :

тетраэдр – талс болгон нь зөв гурвалжин дөрөв байдаг

октаэдр -- талс болгон нь зөв гурвалжин найм байдаг

куб -- зургаан ширхэг квадратаас бүтнэ

икосаэдр -- талс болгон нь зөв гурвалжин хорь байдаг

додекаэдр -- талс болгон нь зөв таван өнцөгт арван хоѐр байдаг

Зөв олон талстыг бодохдоо хавтгайн зөв дүрсийн чанаруудыг маш сайн мэдэж байх хэрэгтэй.

Үүнд : зөв гурвалжин, адил хажуут ,квадрат гэх мэт

Бодлого: 1

Зөв октаэдрийн ирмэг 1см бол бүтэн гадаргуугийн талбайг олоорой.

Зөв октаэдр 8 зөв гурвалжингаас бүтэх учир бүтэн гадаргуугийн талбай нь :

𝑆гг = 8 ∙ 𝑆∆ = 8 ∙1

2∙ 1 ∙ 1 ∙ sin 600 = 4 ∙

3

2= 2 3см2

Бие даан бодоорой.

1. Тетраэдрийн ирмэг нь 2см бол гүйцэт гадаргуугийн талбайг олоорой.

2. Кубын ирмэг нь 5м бол гүйцэт гадаргуугийн талбайг олоорой.

3. Иксоэдрийн ирмэг нь 1м бол гүйцэт гадаргуугийн талбайг олоорой.

4. Додекаэдрийн ирмэг нь 2 нэгж бол гүйцэт гадаргуугийн талбайг олоорой.

5. Октаэдрийн ирмэг нь 3 см бол гүйцэт гадаргуугийн талбайг олоорой.

1.1 ПРИЗМ

Параллель 𝛼 ,𝛽 хавтгайнууд дээр орших 𝐴1;𝐴2;…𝐴𝑛 ; 𝐵1;𝐵2;…𝐵𝑛

өнцөгтүүд хоорондоо тэнцүү бөгөөд харгалзах тэнцүү талууд нь

хоорондоо параллель байг. Олон өнцөгтийн оройнуудыг параллель

шулуунуудаар холбоход үүссэн олон өнцөгтийг призм гэнэ.

Призмийн хажуу талсууд өнцөгтүүдээс бүрдэнэ. Суурийн олон

өнцөгт нь адил хажуут n – ширхэг адил хажуут гурвалжнаас тогтоно.

Тэгвэл бид гурвалжны үндсэн чанарууд ба олон өнцөгтийн дотоод

өнцгүүдийн нийлбэрийг мэдэж байх шаардлагатай болж байна.

Бид химийн хичээл дээр бодисын молекулууд хоорондоо бат бөх барьцалдан холбогдсон

байхдаа тогтвортой төлөвт кристалл хэлбэрээр оршин байдгыг мэднэ. Одоогоор ийм атомын

долоон төрлийн байрлал мэдэгдээд

байгаа бөгөөд эдгээр нь


паралелпипед,призм,кубын орой болон зарим онцгой цэгүүд дээр байрладаг. Жишээ нь

хоолны давсны атомын байрлалыг үзүүлэв.

Призмийн ирмэгүүд суурьдаа перпендикуляр бол шулуун призм, перпендикуляр биш бол

налуу призм гэнэ. Призмийн талсууд тэгшөнцөгт, паралелoграмм гурвалжин байда тэгшөнцөгт

,паралелограмм, гурвалжны чанарыг ашиглан бодлогыг бодно. Тэгш өнцөгт суурьтай

призмийн дэлгээсийг авч үзье.

С1 𝐷1 A1 B1

A1 B1

C1 A C D D1

D

A B C B

Тэгш өнцөгт суурьтай призмийн дэлгээсээс түүний хажуу гадаргуу болон бүтэн гадаргуугийн

талбайг олохдоо ердөө л тэгш өнцөгтүүдийн талбайн нийлбэр байгааг харж болно. Тиймээс :

1. 𝑆хг = 𝑃𝐻 = 2 𝑎 + 𝑏 ∙ H P − суурийн периметр , H − призмийн өндөр

2. SГГ = Sхг + 2Sc Sc − суурийн талбай

3. d = a2 + b2 + c2 a; b; c − тэгш өнцөгт паралелопипедийн гурван хэмжээс

Призмийн эзэлхүүн гэж тухайн бие хэр зэргийн багтаамжтай байгааг хэлнэ. Эзэлхүүнийг

олохдоо тухайн биетэд 1 нэгжийн эзэлхүүнтэй куб хичнээн багтаж байгаагаар тооцоолно.


а. Шулуун гурвалжин призм б. Тэгш өнцөгт призм буюу паралелопипед с. Налуу призм

Призмийн эзэлхүүн нь суурийн талбайг өндрөөр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

𝟒. 𝐕 = 𝐒𝐜 ∙ 𝐇 = 𝐚 ∙ 𝐛 ∙ 𝐇

Жишээ нь : 1. Тэгш өнцөгт паралелопипедийн гурван хэмжээс 10см , 22см , 16см урттай бол

хажуу гадаргуу болон бүтэн гадаргуугийн талбайг олоорой.

Өгсөн нь : Бодох нь :

𝑆𝑐 АВ= 10см 𝑆2 - нүүрний тэгш өнцөгтийн талбай

ВС = 22см 𝑆𝑐 - суурийн тэгш өнцөгтийн талбай

𝑆1 𝑆2 𝑆1 А1А = 16см 𝑆1 - хажуу талсын тэгш өнцөгтийн талбай

Олох нь :

𝑆хг = 2𝑆1 + 2𝑆2 = 2 ∙ 𝐴1𝐴 ∙ 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 =

𝑆хг−? 𝑆гг−?

= 2 ∙ 16 ∙ 10 + 22 = 32 ∙ 32 = 1024

𝑆гг = 2𝑆𝑐 +𝑆хг = 2 ∙ 10 ∙ 22 + 1024 = 440 + 1024 = 1464см2

Бие даан бодоорой.

1. Гурван хэмжээсээр нь тэгш өнцөгт паралелопипедийн диогналийг олоорой.

а. 1; 2; 2 б. 2; 3; 6 в. 6; 6; 7 г. 8; 9; 12 д. 12; 16; 21

2. Шулуун паралелопипедийн 5м,суурийн талууд 6м ба 8м ,харин сурийн диогналуудын нэг

нь 12м болно. Паралелопипедийн диогналийг олоорой.


3. Шулуун паралелопипедийн 9см,суурийн талууд 7см ба 11см ,харин сурийн диогналуудын

нэг нь 14см болно. Паралелопипедийн диогналийг олоорой.

4. Шулуун паралелопипедийн талууд 3см ба 5см , суурийн нэг диогналь 4см болно.

Паралелопипедийн бага диогналь суурийн хавтгайтай 600-ын өнцөг үүсгэнэ.

Паралелопипедийн диогналийг олоорой.

5. Кубын гадаргуу 24м2 бол хажуу ирмэгийг олно уу?

6. Хэрэв гадаргуу нь 5046см2 , 793,5дм2 , 47м2 бол кубын ирмэгийг олно уу?

7. Тэгш өнцөгт паралелопипедийн гурван хэмжээс 10см , 22см , 16см бол гүйцэт

гадаргуугийн талбайг олоорой.

8. Тэгш өнцөгт паралелопипедийн ирмэгүүдийн харьцаа 3 : 7 : 8 , харин бүтэн гадаргуу нь

808см2 бол ирмэгүүдийг олоорой.

9. Зөв дөрвөн өнцөгт призмийн диогналь 14см , хажуу талсын диогналь 10см бол бүтэн

гадаргуугийн талбайг олно уу?

10. Шулуун гурвалжин призмийн суурь 40см , 13см , 37 см талуудтай гурвалжин бөгөөд

өндөр нь 50см бол бүтэн гадаргууг олно уу?

11. Шулуун гурвалжин призмийн суурийн талууд 25дм , 29дм , 36 дм бөгөөд бүтэн гадаргуу

нь 1620дм2 бол хажуу гадаргуугийн талбайг олоорой.

12. Кубын эзэлхүүн нь 8м3 бол түүний гадаргууг олоорой.

13. 3см , 4см, 5см ирмэгтэй гурван гуулин кубыг хайлуулан нэг куб болгов. Энэ кубын

ирмэгийг олно уу?

14. Металь кубын гадаад ирмэг 10,2см бөгөөд 514,15г жинтэй. Ханын зузаан нь m = 0,1см

бол куб хийсэн металлийн хувийн жинг олно уу?

15. 10кг хар тугалагаар куб цутгав. Кубын ирмэгийг олоорой.

( хар тугалганы хувийн жин 11,4 болно.)

16. 200мм гадаад ирмэг бүхий хөндий ширмэн кубын ханын зузаан нь 30мм болно. Түүний

жинг олно уу? ( Ширмийн хувийн жин 7,4)

17. Туйпуу ( 25𝑐𝑚 × 12𝑐𝑚 × 6.5𝑐𝑚 ) 3.51кг жинтэй бол түүний хувийн жинг олно уу?

18. 2.5 м × 1,75 м хэмжээтэй талбай дээр 10м3 эзэлхүүн бүхий усны савыг байрлуулав.

Савны өндрийг олно уу?

19. Тэгш өнцөгт хэлбэртэй алтны хэмжээ 4,7𝑐𝑚 × 6.2 𝑐𝑚 бөгөөд 6,3 г хүнд болно. Энэ

алтны зузааныг олоорой. ( алтны хувийн жин 19,3 )

20. Тэгш өнцөгт огтлол бүхий 16 банзаар шал хийв. Банз бүрийн урт 3,6м , өргөн 0,20м ,

зузаан 0,25 м байв. Түүний даах хамгийн их ачаа хичнээн жинтэй бэ?

( модны хувийн жин 0,84 )

21. Тэгш өнцөгт паралелопипед хэлбэртэй хайрцагны хэмжээсүүд 15м ,50м , 36м болно.

Түүнтэй хэм чацуу куб хэлбэртэй хайрцагны ирмэгийн уртыг олно уу?

22. Тэгш өнцөгт паралелопипед хэлбэртэй амбаарын диогналь 35см ,харин түүний

ирмэгүүдийн харьцаа нь 2 : 3 : 6 байв. Амбаарын эзэлхүүнийг олоорой.

23. Шулуун гурвалжин призм хэлбэртэй шилэн савны суурийн талууд 4см , 5см , 7см , харин

хажуу ирмэг нь суурийн их өндөртэй тэнцүү бол уг шилэн савны эзэлхүүнийг олно уу?

24. Призмийн суурь 3см ,5см, 7см талуудтай гурвалжин болно. Өндөр нь 8см бол эзэлхүүнийг

олоорой.


25. Гурвалжин призмийн хажуу ирмэг 15м , суурийн талууд 26м , 25м , 17м бол түүний

эзэлхүүнийг олно уу?

26. Гурвалжин призмийн хажуу ирмэг 1м ба хажуу ирмэгүүдийн хоорондох харьцаа 9 : 10 :

17 байв. Хэрэв хажуу гадаргуу нь 6м2 бол түүний эзэлхүүнийг олоорой.

27. Призмийн суурь 6см ,5см, 9см талуудтай гурвалжин болно. Өндөр нь 10см бол

эзэлхүүнийг олоорой.

2.Пирамид

Хавтгай дээр орших олон өнцөгтийн орой бүрийг огторгуйн ямар нэг S цэгтэй холбоход үүсэх

дүрсийг пирамид гэнэ. Пирамидын суурь нь хэдэн өнцөгт ч байж болно.

S – пирамидын орой , О – өндрийн суурь , SK – афопем

( хажуу талсад буусан өндөр)

Пирамидын суурь нь зөв олон өнцөгт байгаад түүний төвийг

пирамидын оройтой холбосон хэрчим пирамидын өндөр

гэвэл энэ пирамидыг зөв пирамид гэнэ.

Пирамидын хажуу гадаргуугийн талбай нь : суурийн олон

өнцөгтийн периметрийн хагасыг афопемээр үржүүлсэнтэй тэнцүү.

𝑺хг =𝟏

𝟐𝑷𝒄 ∙ 𝒍 ; 𝑷𝒄 − суурийн периметр ; 𝒍 − хажуу талсын афопем

Пирамидын гүйцэт гадаргуугийн талбай нь : хажуу гадаргуугийн талбай дээр суурийн

талбайг нэмсэнтэй тэнцүү байна.

𝑺гг = 𝑺хг + 𝑺с ; 𝑺с − суурийн талбай .

Пирамидын эзэлхүүн гэдэг нь : пирамидын суурийн талбайг

өндрөөр үржүүлсний гуравны нэгтэй тэнцүү байна.

𝑽 =𝟏

𝟑∙ 𝑺𝒄 ∙ 𝑯 ; 𝑺𝒄 − суурийн талбай ,𝑯− пирамидын өндөр

𝑽 − эзэлхүүн

Пирамидыг суурьтай нь паралель хавтгайгаар огтлоход үүсэх

дүрсийг огтлогдсон пирамид гэнэ.

𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝐸1𝐹1 − дээд суурийн олон өнцөгт

ABCDEF – доод суурийн олон өнцөгт

ОО1-- огтлогдсон пирамидын өндөр

КК1 -- огтлогдсон пирамидын афопем

Огтлогдсон пирамидын хажуу гадаргуугийн талбай нь суурийн периметрүүдийн

нийлбэрийн хагасыг афопемээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.


𝑺хгог =

𝟏

𝟐 𝑷𝒄 + 𝑷𝒄

′ ;

𝑺хгог − огтлогдсон пирамидын хажуу гадаргуугийн талбай ;

Рс − доод суурийн периметр , Рс′ − дээд суурийн периметр,

Огтлогдсон пирамидын эзэлхүүн гэдэг нь:

𝑽 =𝟏

𝟑∙ 𝑺𝒄 + 𝑺𝒄

′ + 𝑺𝒄𝑺𝒄′ ∙ 𝒉 ; 𝑺𝒄−доод суурийн талбай , 𝑺𝒄′ − дээд суурийн талбай ,

𝒉 − огтлогдсон пирамидын өндөр

Жишээ нь : 1. Суурийн тал а , хажуу ирмэг b – ээр : а). Гурвалжин , б). Дөрвөн өнцөгт ,

в). Зургаан өнцөгт зөв пирамидын бүтэн гадаргуугийн талбайг олно уу?

Бодолт : а.

б.

Сууриудын талбайнуудын нийлбэр дээр тэдгээрийн

геометр дундажийг нэмээд өндрөөр үржүүлсний

гуравны нэгтэй тэнцүү байна.

𝑽 =𝟏


′ + 𝑺𝒄𝑺𝒄′ ∙ 𝒉

өгсөн нь: AB = BC = AC = a ; AS = BS = CS = b ;

∆𝐴𝐵𝐶 − зөв гурвалжин

Бодолт : 𝑆∆ =1

2∙ 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶 ∙ sin𝛼 ; 𝐴𝐵ˆ𝐴𝐶 = 𝛼

𝑆𝑐∆ =1

2 ∙ 𝑎2 ∙ sin 600 =

3

4 𝑎2

𝑆𝐿 = 𝐴𝑆2 − 𝐴𝐵

2

2

= 𝑏2 −𝑎2

4

𝑆∆𝐴𝑆𝐵 =1

2∙ 𝑆𝐿 ∙ 𝐴𝐵 =

1

4𝑎 4𝑏2 − 𝑎2

𝑆гг = 3𝑆∆𝐴𝑆𝐵 + 𝑆𝑐∆ =3

4 ∙ 𝑎 4𝑏2 − 𝑎2 +

3

4 𝑎2

өгсөн нь: AB = BC = DC = AD = a; AS = BS = CS = DS = b ;

∆𝐴𝐵𝐶𝐷 − квадрат

Олох нь : 𝑆гг−?

http://images.google.mn/imgres?imgurl=http://www.korthalsaltes.com/foto/pyramids/truncated_heptagonal_pyramid.jpg&imgrefurl=http://www.korthalsaltes.com/special_pyramids.htm&usg=__idSnZU3DrQ6Fx9HZR2Bl2nj3iVs=&h=1924&w=1924&sz=224&hl=mn&start=92&tbnid=tcDRHxNwlhPgvM:&tbnh=150&tbnw=150&prev=/images?q=pyramid&gbv=2&ndsp=20&hl=mn&sa=N&start=80


Вв в.

Жишээ нь : 2 . Огтлогдсон зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын хажуу ирмэг 3 м , суурийн талууд 5

м ба 1 м болно . Пирамидын эзэлхүүнийг олно уу?

Бодолт : 𝑆𝑐 = 𝐴𝐵2 = 25 м2 ; 𝑆𝑐′ = 𝐴′𝐵′

2= 1м2 ; огтлогдсон пирамидын хажуу

талсууд нь адил хажуут трапец байдаг. KA’ = h - огтлогдсон пирамидын өндөр

Өгсөн нь : AA’ = BB

’= CC

’= DD

’= 3 м

AB = BC = CD = AD = 5 м

A’B

’= B

’C

’ = C

’D

’= D

’A

’= 1 м

Олох нь : 𝑽прог =

𝟏


′ + 𝑺𝒄𝑺𝒄′ ∙ 𝒉 ; h - ?

𝑺𝒄−? ; 𝑺𝒄′−?

. өгсөн нь: AB = BC = DC = DE = EF = FA = a;

AS = BS = CS = DS = ES = FS = b ;

𝑆гг−? ∆𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 − зөв зургаан өнцөгт

бодолт : 𝑆𝐿 = 𝐴𝑆2 − 𝐴𝐵

2

2

= 𝑏2 −𝑎2

4=

4𝑏2−𝑎2

2

𝑆∆𝐴𝑆𝐵 =1

2∙ 𝑆𝐿 ∙ 𝐴𝐵 =

1

4𝑎 4𝑏2 − 𝑎2 ; 𝑆𝑐∆ =

1

2 ∙ 𝑎2 ∙ sin 600 =

3

4 𝑎2

𝑆гг = 6𝑆∆𝐴𝑆𝐵 + 6𝑆𝑐 = 3𝑎 4𝑏2 − 𝑎2 +6 3

4 𝑎2

𝑆гг = 3𝑎 4𝑏2 − 𝑎2 +3 3

2 𝑎2


𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 = 50 = 5 2м

Бие даалтын бодлого :

1. Суурийн тал а , өндөр h – ээр : а). Гурвалжин , б). Дөрвөн өнцөгт , в). Зургаан

өнцөгт зөв пирамидын апофемийг олно уу?

2. Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын өндөр 7см , суурийн тал 8см бол хажуу ирмэгийг олно

уу?

3. Пирамидын суурь нь 3см ба 7см талтай ,нэг диогналь нь 6см байх паралелограмм

болно. пирамидын өндөр суурийн диогналиудын огтлолыг дайрах бөгөөд 4 см бол

пирамидын хажуу ирмэгийг олоорой.

4. Пирамидын суурь нь 6см суурьтай ,9см өндөртэй адил хажуут гурвалжин болно.

хажуу ирмэгүүд нь тэнцүү бөгөөд 13см бол пирамидын өндрийг олно уу?

5. Пирамидын суурь нь 12см суурьтай , 10см хажуу талтай адил хажуут гурвалжин

болно . Хажуу талсууд нь суурьтай 450 -ын хоѐр талст өнцөг үүсгэх бол энэ

пирамидын өндрийг олоорой.

6. Пирамидын суурь нь 6см ба 8см талтай тэгш өнцөгт болно. хажуу ирмэг бүр нь 13см

бол пирамидын өндрийг олно уу?

7. Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын суурийн тал 14см , хажуу ирмэг 10см болно. Диагональ

огтлолын талбайг олоорой.

8. Пирамидын суурь нь 12дм суурьтай , 10дм хажуу талтай адил хажуут гурвалжин

болно . Хажуу талсууд нь суурьтай 600 -ын хоѐр талст өнцөг үүсгэх бол энэ

пирамидын өндрийг олоорой.

9. Зөв гурвалжин пирамидын хажуу ирмэг суурийн хавтгайтай 600 –ын өнцөг үүсгэнэ.

Суурийн талыг дайруулан суурьтай 300 –ын өнцөг үүсгэх хавтгай татав. Суурийн тал

а бол огтлолд үүсэх гурвалжны талбайг олно уу?

10. Огтлогдсон зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын өндөр 7см , сууриудын тал 10см ба 2см

бол хажуу ирмэгийг олно уу?

11. Огтлогдсон зөв гурвалжин пирамидын суурийн талууд 4дм ба 1дм . Хажуу ирмэг 2дм

бол өндрийг олоорой.

12. Огтлогдсон зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын өндөр 63см , апофем 65см , суурийн

талууд 7:3 харьцаатай бол суурийн талуудыг олно уу?

13. Огтлогдсон зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын өндөр 2см , суурийн талууд 3см ба 5см

бол уг огтлогдсон пирамидын диогналийг олоорой.

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 = 50 = 5 2м

𝐴′𝐶′ = 𝐴′𝐵′ 2 + 𝐵′𝐶′ 2 = 18 = 3 2м

∆𝐴𝐴′𝐾 − ны хувьд ∶ 𝐴𝐾 =𝐴𝐶−𝐴′ 𝐶 ′

2= 2м

𝐴′𝐾 = ℎ = 𝐴′𝐴 2 − 𝐴𝐾 2 = 9 − 2 = 7м

𝑉пир =1

3∙ 25 + 1 + 5 ∙ 7 =

31 7

3м3


14. Огтлогдсон зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын өндөр 7см , хажуу ирмэг 9см ба диогналь

11см бол суурийн талуудыг олно уу?

15. Огтлогдсон зөв гурвалжин пирамидын суурийн талууд 2см ба 6см . Хажуу талс нь их

суурьтай 600 –ын өнцөг үүсгэх бол өндрийг олоорой.

16. Огтлогдсон зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын өндөр 4см , диогналь 5см бол диогналь

огтлолын талбайг олно уу?

17. Зөв гурвалжин пирамидын хажуу ирмэг 10см , хажуу гадаргуу 144см2 бол суурийн тал

ба апофемийг олоорой.

18. Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын хажуу ирмэг 5см , бүтэн гадаргуу нь 16см2 бол

суурийн талыг олно уу?

19. Пирамидын суурь нь 360см2 талбайтай , 20см ба 36см талтай параллелограмм

болно.

Пирамидын өндөр нь суурийн диогналуудын огтлолыг дайрах ба 12см урт бол

пирамидын хажуу гадаргууг олоорой.

20. Пирамидын суурь нь 5м ,ба 4м талтай , нэг диогналь нь 3м байх параллелограмм

болно. Пирамидын өндөр нь суурийн диогналуудын огтлолыг дайрах ба 2м урт бол

энэ пирамидын бүтэн гадаргууг олоорой.

21. Огтлогдсон зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын суурийн тал 8м ,ба 2м . Өндөр нь 4м бол

бүтэн гадаргууг олоорой.

22. Огтлогдсон зөв гурвалжин пирамидын тал 6дм ба 12дм , өндөр нь 1дм бол хажуу

гадаргуугийн талбайг олоорой.

23. Огтлогдсон зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын хажуу ирмэг 13 см , апофем нь 12см,

хажуу гадаргуу нь 720см2 бол суурийн талуудыг олно уу?

24. Огтлогдсон зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын өндөр 12см , сууриудын ялгавар 10см ба

бүтэн гадаргуу нь 512см2 бол сууриудын талыг олоорой.

25. Зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын өндөр 3м , хажуу ирмэг 5м бол эзэлхүүнийг олоорой.

26. Зөв зургаан өнцөгт пирамидын эзэлхүүн 6см3 , суурийн тал 1см бол хажуу ирмэгийг

олно уу?

27. Пирамидын суурь нь 9м ба 12м талтай тэгш өнцөгт болно. Хажуу ирмэг бүр нь 12,5м

бол эзэлхүүнийг олоорой.

28. Пирамидын суурь нь 6см хажуу талтай , 8см суурьтай адил хажуут гурвалжин болно.

Хажуу ирмэгүүд нь тэнцүү бөгөөд 9см байв. Пирамидын эзэлхүүнийг олно уу?

29. Пирамидын суурь нь 39см , 17см , ба 28см талтай гурвалжин бөгөөд хажуу ирмэг бүр

нь 22,9см бол эзэлхүүнийг олоорой.

30. Пирамидын суурь нь 39см хажуу талтай ,30см суурьтай адил хажуут гурвалжин

болно. Суурь дах хоѐр талст өнцгүүд нь 450 бол пирамидын эзэлхүүнийг олно уу?

31. Гурвалжин пирамидын суурийн талууд 7см , 8см ба 9см ,суурь дахь хоѐр талст

өнцгүүд тэнцүү болно. Пирамидын эзэлхүүн 40см3 бол хажуу гадаргуугийн талбайг

олоорой.

32. Пирамидын суурь нь 15см талтай ромбо болно. Хажуу талс бүр нь суурь руу 450 –ын

өнцгөөр налжээ. Пирамидын хажуу гадаргуу 3дм3 бол эзэлхүүнийг олно уу?


33. Огтлогдсон зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын хажуу ирмэг 3м , суурийн талууд 5м ба 1м

болно. Эзэлхүүнийг олоорой.

34. Огтлогдсон пирамидын суурийн талбайнууд 245м2 ба 80м2 , харин бүтэн пирамидын

өндөр 35м болно. Огтлогдсон пирамидын эзэлхүүнийг олно уу?

35. Огтлогдсон пирамидын өндөр 15м , эзэлхүүн нь 475м3 , сууриудын талбайн харьцаа 4

: 9 болно. Сууриудын талбайг олоорой.

36. Огтлогдсон пирамидын өндөр 10м , эзэлхүүн нь 430м3 ба нэг суурийн тал 8м бол

нөгөө суурийн талыг олоорой.

37. Огтлогдсон пирамидын эзэлхүүн 76м3 , өндөр нь 6м ба нэг суурийн талбай 18м2 бол

нөгөө суурийн талбайг олоорой.

38. Огтлогдсон пирамидын эзэлхүүн 1720м3 , өндөр нь 20м , сууриудын харгалзсан

талуудын харьцаа 5 : 8 болно. Сууриудын талбайг олоорой.

39. Огтлогдсон гурвалжин пирамидын өндөр нь 10м , нэг суурийн талууд 27м , 29м , ба

52м , нөгөө суурийн периметр 72м болно . огтлогдсон пирамидын эзэлхүүнийг олно

уу?

40. Огтлогдсон зөв дөрвөн өнцөгт пирамидын диогналь 9см , сууриудын тал 7см ба 5см

бол эзэлхүүнийг олоорой.

41. Огтлогдсон гурвалжин пирамидын бага суурийн талууд 14м ,10 м ба 6м болно .

Хажуу ирмэг бүр нь суурийн хавтгайтай 450-ын өнцөг үүсгэнэ. Огтлогдсон пирамидын

өндөр харгалзах бүтэн пирамидын өндрөөс 11

3 дахин бага бол огтлогдсон пирамидын


Эргэлтийн бие

1. Конус

Хавтгайд О цэгт төвтэй тойрог , хавтгайн гадна орших S цэг авч S цэгийг тойргийн цэг бүртэй

хэрчмээр холбоход үүссэн гадаргууг дугуй конус гэнэ.

S цэгийг конусын орой , тойргоор хүрээлэгдсэн дугуйг

конусын суурь, оройг суурийн тойргийн цэгүүдтэй

холбосон хэрчмийг конусын байгуулагч – SB= L ,

S цэгээс суурийн хавтгайд буулгасан перпендикулярыг

конусын өндөр – SO = H ; радиус – ОВ= R

SO буюу конусын өндөр нь суурийн хавтгайд

перпендикуляр бол уг конусыг шулуун конус гэнэ.

Конусын байгуулагч нь тойргийн ямарч цэгээс хамааралгүй тогтмол 𝐋 = 𝐇𝟐 + 𝐑𝟐 байна.


Даалгавар : Алиалагч конус хэлбэртэй цаасан малгай хийжээ. Уг конусын суурийн тойргийн

радиус 10см , байгуулагчийн урт мөн 10см байв. Малгай хийхэд ямар хэмжээний цаас хэрэгтэй

вэ?

Энэ бодлогыг бодохын тулд :

1. Малгайг ( конусыг )нэг

байгуулагчийх нь дагуу хайчлан

тэнийлгэвэл ямар дүрс үүсэх вэ?

2. Үүсэж буй дүрсийн талбайг

хэрхэн олж болох вэ?

Одоо бодлогоо бодъѐ. Малгайг (

конусыг )нэг байгуулагчийх нь

дагуу хайчлан тэнийлгэвэл L

2𝜋𝑟 урттай сектор радиустай

үүснэ. Энэ нь конусын дэлгээс

болно.


Эндээс шулуун конусын гадаргуугийн талбай олох нь секторын талбай олохтой ижил юм. Уг

сектор нь L радиустай тойргийн сектор бөгөөд 2𝜋𝑟 урттай тул талбай нь : 𝐒 = 𝛑𝐥𝟐

𝟐𝛑𝐥∙ 𝟐𝛑𝐫 = 𝛑𝐫𝐥

болно. Тэгвэл :

Шулуун конусын хажуу гадаргуугийн талбай нь : суурийн периметрийн хагасыг

байгуулагчаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. 𝐒хг = 𝛑𝐑𝐋

Конусын суурийн диаметр болон 2 байгуулагчийг дайруулан татсан огтлолд адил хажуут

гурвалжин үүсэх бөгөөд түүнийг диогналь огтлол гэнэ.

Конусын бүтэн гадаргуугийн талбай нь : хажуу гадаргуугийн талбай дээр суурийн

талбайг нэмсэн нийлбэртэй тэнцүү байна. 𝐒бг = 𝐒хг + 𝐒𝐜

Бодлого :

1. Конусын өндөр 20, суурийн радиус 25 болно . Конусын оройг дайрсан бөгөөд түүний

суурийн төвөөс 12- той тэнцүү зайд орших хавтгайгаар огтлоход үүсэх огтлолын талбайг

олно уу?

Өгсөн нь : SO= 20 ; OB = R = 25 ; OK = 12

Олох нь : 𝑆∆𝑆𝐴𝐵 →? бодолт :

∆ОВК ∶ ВК = ОВ2 − ОК2 = 625 − 144 = 481

АВ = 2ВК = 2 481

∆𝑆𝑂𝐵 ∶ SK = SO2 + OK2 = 400 + 144 = 544

𝑆∆𝑆𝐴𝐵 =𝑆𝐾∙𝐴𝐵

2=

2 481∙544

2= 261664 ≈ 511 кв нэгж


2. Огтлогдсон конусын өндөр Н болно. Байгуулагч нь суурьт 300 – ын өнцөг үүсгэх бол

байгуулагчийг олно уу?

Өгсөн нь : SO = H ; < 𝑆𝐵𝑂 = 300 олох нь : SB -?

Бодолт : SB = SO

sin 300 = 2SO = 2H


1. Конусын суурийн радиус 3м , өндөр нь 4м бол байгуулагчийг олно уу?

2. Конусын байгуулагч h бөгөөд суурийн хавтгайтай 300 –ын өнцөг үүсгэнэ. Өндрийг

олоорой.

3. Конусын өндөр 6 , суурийн радиус нь 8 болно .хажуу гадаргуугийн талбайг олно уу?

4. Конусын өндөр 4 ба байгуулагч нь 5 бол бүтэн гадаргуугийн талбайг олно уу?

5. 3,5м өндөр бөгөөд 4м диаметртэй конус хэлбэртэй майхныг даалимбаар бүржээ. Энэ

майханд хичнээн квадрат метр даалимба зарцуулагдсан вэ?

6. Адил талт гурвалжин өөрийн өндрийг тойрон эргэв. Гурвалжны периметр 30см бөгөөд

эргэлтийн биеийн гадаргуу 60дм2 бол энэ гурвалжны талуудыг олно уу?

7. Конусын өндөр 4 ба суурийн радиус 3 байв. Конусын хажуу гадаргууг хавтгай дээр

дэлгэв. Үүссэн секторын өнцгийг олоорой.

8. Конусын хажуу гадаргуу 80см2 бөгөөд түүний дэлгээсийн өнцөг 112030’ болно. Суурийн

талбайг олно уу?

9. Суурийн радиус R ба байгуулагч l- ээр конусын хажуу гадаргуугийн дэлгээсийн өнцгийг

олно уу?

10. Адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжин конусын тэнхлэгийн огтлол болно. Энэ гурвалжны

талбай 9м2 бол конусын эзэлхүүнийг олоорой.

11. Конусын суурийн талбай 9𝜋см2 бол конусын эзэлхүүнийг олно уу?

12. Конусын өндөр ба байгуулагч 4 : 5 гэсэн харьцаатай бөгөөд конусын эзэлхүүн 96𝜋см2

болно .бүх гадаргууг олно уу?

13. Конусын байгуулагчийн урт l бөгөөд суурийн тойргийн урт с бол конусын эзэлхүүнийг

олоорой.

14. Конусын өндөр 15м ба эзэлхүүн 320𝜋см3 болно . конусын гүйцэт гадаргуугийн талбайг

олно уу?

15. Конусын өндөр 6м ба хажуу гадаргуу нь 24𝜋см2 болно . Конусын эзэлхүүнийг олно уу?


16. Конусын байгуулагчийн урт l бөгөөд суурийн хавтгайтай 300 –ын өнцгийг байгуулна.

Конусын эзэлхүүнийг олно уу?

17. Конусын эзэлхүүн V бөгөөд суурийн радиус R болно . Конусын тэнхлэгийн огтлолын

талбайг олно уу?

18. Конусын суурийн талбай Q ба тэнхлэгийн огтлолын талбай М болно . эзэлхүүн ба хажуу

гадаргууг олоорой.

19. Адил хажуут трапецийн параллель талууд 7см , 17см ба талбай нь 144см2 бөгөөд

дундаж өндрийг тойрон эргэнэ. Үүссэн биеийн эзэлхүүнийг олно уу?

20. Конусын суурийн радиус R бөгөөд тэнхлэгийн огтлол нь тэгш өнцөгт гурвалжин болно .

түүний талбайг олоорой.

2. ОГТЛОГДСОН КОНУС

Суурийн радиус нь R байгуулагч нь l байх шулуун конусыг суурийн хавтгайтай

параллель хавтгайгаар огтлоход үүссэн дүрсийн доод талын хэсгийг огтлогдсон

конус гэнэ.

𝒓𝟏 - дээд суурийн радиуc ;𝒓𝟐 - доод суурийн радиус;h – огтлогдсон конусын өндөр

Огтлогдсон конусын тэнхлэг огтлолын талбай нь адил хажуут трапец байна.

Огтлогдсон конусын хажуу гадаргуугийн талбай нь суурийн тойргийн уртуудын

нийлбэрийн хагасыг байгуулагчаар үржүүсэн үржвэртэй тэнцүү байна.

𝐒хг =𝟏

𝟐∙ 𝐥 ∙ 𝐏𝟏 + 𝐏𝟐

Огтлогдсон конусын бүтэн гадаргуугийн талбай нь хажуу гадаргуугийн талбай

дээр дээд доод сууриудын талбайн нийлбэрийг нэмсэнтэй тэнцүү байна.

𝐒бг = 𝐒𝐜 +𝐒𝐜′ + 𝐒хг


𝐒𝐜 − доод суурийн талбай 𝐒𝐜′ - дээд суурийн талбай

Огтлогдсон конусын эзэлхүүн нь : сууриудын нийлбэр дээр тэдгээрийн геометр

дундажыг нэмсэн нийлбэрийг огтлогдсон конусын өндрийн гуравны нэгээр

үржүүлсэн үржвэртэй тэнцүү байна.

𝐕𝐤 =𝟏

𝟑∙ 𝐡 ∙ 𝐒𝟏 + 𝐒𝟐 + 𝐒𝟏 ∙ 𝐒𝟐

Бодлого :

1. Огтлогдсон конусын сууриудын радиусууд 3м ба 6м бөгөөд түүний өндөр 4м бол

байгуулагчийг олоорой.

2 . Огтлогдсон конусын сууриудын радиусууд R ба r бөгөөд байгуулагч нь суурьтай 450

–ын өнцгөөр налсан байв. Огтлогдсон конусын эзэлхүүнийг олно уу?

Өгсөн нь : бодолт : 𝐕𝐤 =𝟏

𝟑∙ 𝐡 ∙ 𝐒𝟏 + 𝐒𝟐 + 𝐒𝟏 ∙ 𝐒𝟐

АО = R 𝑆1 = 𝜋𝑅2 ; 𝑆2 = 𝜋𝑟2 AK = OA – O1A1 = R – r

A1O1 = r < A1AO = 450 => < KAA1 = 450 учир АК = КА1 = R - r

< A1AO = 450 𝐕𝐤 =𝟏

𝟑∙ 𝐑 − 𝐫 ∙ 𝛑𝐑𝟐 + 𝛑𝐫𝟐 + 𝛑𝐑𝟐 ∙ 𝛑𝐫𝟐 =

олох нь : Vk - ? =𝟏

𝟑∙ 𝐑 − 𝐫 ∙ 𝛑 𝐑𝟐 + 𝐫𝟐 + 𝐑𝐫 =

𝟏

𝟑∙ 𝛑 𝐑𝟑 − 𝐫𝟑


1. Огтлогдсон конусын суурийн радиусууд 3дм , 7дм бөгөөд байгуулагч нь 5дм болно

Тэнхлэгийн огтлолын талбайг олно уу?

2. Огтлогдсон конусын суурийн радиусууд R ба r бөгөөд байгуулагч нь L болно. Tэнхлэг

огтлолын талбайг олоорой.

3. Огтлогдсон конусын сууриудын радиусууд R ба r бөгөөд байгуулагч нь суурьтай

450 –ын өнцгөөр налсан байв. Огтлогдсон конусын өндрийг олно уу?

4. Огтлогдсон конусын сууриудын радиусууд 11см ба 16см бөгөөд байгуулагч нь 13см

байв. Огтлогдсон конусын эзэлхүүнийг олно уу?

5. Огтлогдсон конусын сууриудын радиусууд 11м ба 16м бөгөөд байгуулагч нь 13м

байв. Дээд суурийн төвөөс доод суурийн тойрог хүртэлх зайг олоорой.

6. Огтлогдсон конусын өндөр H болно. Байгуулагч нь суурьт 300 – ын өнцөг үүсгэх бол

байгуулагчийг олно уу?

7. Огтлогдсон конусын байгуулагч 2а бөгөөд суурьт 600 – ын өнцгөөр нална. Нэг суурийн

радиус , нөгөө суурийн радиусаас 2 дахин их байв. Радиус тус бүрийг олно уу?

8. Огтлогдсон конусын суурийн талбайнууд 4м2 ба 16м2 бөгөөд өндрийн дундуур

суурьтай параллель хавтгай татав. Огтлолын талбайг олно уу?

Өгсөн нь : 𝑟1 = 3м ; 𝑟2 = 6м ; ℎ = 4м

олох нь : l - ?

AK = OA – O1A1 = 3м

𝐿 = 𝐴𝐴1 = 𝐴𝐾2 + ℎ2 = 16 + 9 = 25 = 5м


9. Огтлогдсон конусын өндөр 10см бөгөөд сууриудын радиусууд 8см ба 18см болно.

Сууриудын талбайнуудын хоорондох дундаж пропорциональ талбайтай параллель

огтлол , дээд сууриас хичнээн зайд орших вэ?

10. Огтлогдсон конусын өндөр 4см бөгөөд түүний сууриудын радиусууд 2дм ба 5дм

болно. Хажуу гадаргууг олоорой.

11. Огтлогдсон конусын бүх гадаргуу 572𝜋м2 бөгөөд сууриудын радиусууд 6м ба 14 м

бол түүний өндрийг олно уу?

12. Огтлогдсон конусын өндөр 63дм ба байгуулагч нь 65дм бөгөөд хажуу гадаргуу

𝑆хг = 26𝜋м2 болно. Сууриудын радиусуудыг олоорой.

13. Конусын өндөр 3 ба 5 болно . түүний эзэлхүүнийг олоорой.

14. Конусын суурийн талбай 9𝜋см2 бөгөөд түүний бүх гадаргуугийн 24𝜋см2 болно

.конусын эзэлхүүнийг олно уу?

15. Конусын өндөр ба байгуулагч 4 : 5 гэсэн харьцаатай бөгөөд конусын эзэлхүүн

96𝜋см3 болно. Конусын бүх гадаргууг олоорой.

16. Конусын өндөр 15м ба эзэлхүүн нь 320𝜋м3 болно . бүх гадаргууг олно уу?

17. Гөлмөн төмрөөр 20см радиустай бөгөөд 2500 –ын төв өнцөг бүхий секторыг огтлон

авч ,конус хэлбэртэй болгон хуйлав. Конусын эзэлхүүнийг олоорой.

18. Огтлогдсон конусын суурийн радиусууд R ба r бөгөөд байгуулагч нь суурьтай 450-ын

өнцгөөр налсан байв. Конусын эзэлхүүнийг олоорой.

19. Огтлогдсон конусын эзэлхүүн 584𝜋см3 бөгөөд сууриудын радиусууд 10см ба 7см

болно. Өндрийг олно уу?

20. Огтлогдсон конусын сууриудын радиусууд ба байгуулагч 4 : 11 : 25 гэсэн харьцаатай

бөгөөд эзэлхүүн нь 181𝜋м3бол суурийн радиус ба байгуулагчийг олоорой.

3. ЦИЛИНДР

Хоорондоо параллель 𝛼 ; 𝛽 хавтгайнууд дээр орших харгалзан О1 ; О2 төвтэй , ижил

радиус бүхий 𝑆1 ; 𝑆2 тойргоор хүрээдэгдэх дугуй авъя. Төвүүдийг дайрсан шулуун

хавтгайнуудад перпендикуляр байг. 𝑆1 – тойрог дээр А1 цэг авахад түүнийг дайрсан , О1О2 –

шулуунтай параллель шулуун 𝑆2 − тойргийг А2 цэгээр огтолдог гэе.

О1 О2 А1А2 параллель шулуунуудаар 𝛼 ; 𝛽 хавтгайнуудыг

огтолж байгаа О1О2 хэрчим хавтгайнуудад перпендикуляр

бөгөөд О1О2 А1А2 дөрвөн өнцөгт тэгш өнцөгт тул О1 О2 = А1А2

болно. Хэрэв 𝑆1 тойргийн цэг болгоныг дайруулан О1О2

хэрчимтэй параллель шулуунууд татвал ; 𝛽 хавтгайг бүгд

хоорондоо ижил урттай хэрчмүүдээр огтолно. Эдгээр

хэрчмүүдээр тодорхойлогдох гадаргууг цилиндр гадаргуу

гэнэ. Хэрчмүүдийг цилиндрийн үүсгэгч буюу байгуулагч ,

тойргуудыг цилиндрийн суурь , О1О2 –г цилиндрийн тэнхлэг

гэнэ. Цилиндрийн аль нэг суурийн цэгийг нөгөө суурийн

цэгтэй холбоход үүссэн хэрчмийг цилиндрийн өндөр гээд h

үсгээр тэмдэглэнэ.


Суурийн тойргийн төвийг тойргийн дурын цэгтэй холбосон хэрчмийг суурийн радиус гэнэ. Цилиндрийн байгуулагч нь суурьт перпендикуляр биш бол налуу цилиндр үүснэ.

Цилиндрийн дэлгээсийг харуулбал h өндөр( өргөн ) , 2𝜋𝑟 − урт бүхий тэгш өнцөгт , r – радиус бүхий 2 тойргоос бүтнэ.

Эндээс цилиндрийн хажуу гадаргуугийн талбай нь тэгш өнцөгтийн талбай буюу суурийн тойргийн уртыг өндрөөр үржүүлсэн үржвэртэй тэнцүү байна.

𝑺хг = 𝟐𝝅𝒓𝒉

Цилиндрийн гүйцэт гадаргуугийн талбай нь хажуу гадаргуугийн талбай дээр суурийн талбайг 2 лахин авч нэмсэнтэй тэнцүү байна.

𝐒бг = 𝐒хг + 𝟐𝐒𝐜 = 𝟐𝛑𝐫𝐡 + 𝟐𝛑𝐫𝟐 = 𝟐𝛑𝐫 ∙ 𝐡 + 𝐫

Бодлого : 1. Цилиндрийн суурийн талбай Q , тэнхлэгийн

огтлолын талбай S болно .Энэ цилиндрийн бүтэн гадаргуугийн талбайг олно уу?

Base – суурь ; Lateral Area – хажуу гадаргуу

Цилиндрийг тэнхлэгтэй нь параллель хавтгайгаар огтлоход

огтлолд нь тэгш өнцөгт үүснэ. Эдгээр тэгш өнцөгтүүд

дотроос хамгийн том нь тэнхлэгийг дайрсан хавтгай юм.

Үүнийг тэнхлэг огтлолын талбай гэнэ.

Суурь нь r радиустай цилиндрийг суурьтай параллель

хавтгайгаар огтлоход огтлолд нь r радиустай тойрог үүснэ.

Тэнхлэгтэй нь параллель биш хавтгайгаар огтлоход

огтлолд нь мөн л тэгш өнцөгт үүснэ.

Бодлого :

Өгсөн нь : Бодолт :

𝑆𝑐 = 𝑄 𝐒гг = 𝟐𝛑𝐫 ∙ 𝐡 + 𝐫 -ээс цилиндрийн өндөр

𝑆𝑡𝑜 = 𝑆 ба радиусыг олъѐ. 𝑺𝒄 = 𝝅𝒓𝟐 => 𝑸 = 𝝅𝒓𝟐 =>

Олох нь : 𝑟 = 𝑄

𝜋 ; 𝑆𝑡𝑜 = 2𝑟 ∙ ℎ => ℎ =

𝑆

2𝑟=

𝑆 𝜋

2 𝑄=

𝑆 𝜋∙𝑄

2𝑄

𝐒бг−? 𝐒гг = 𝟐𝛑 ∙ 𝐐

𝛑∙

𝑆 𝜋∙𝑄

2𝑄+

𝑄

𝜋 = 𝜋𝑆 + 2𝑄


1.Цилиндрийн өндөр суурийн радиусаас 10-см-ээр их , бүтэн гадаргуу нь 144 𝛑см2 бол

цилиндрийн өндөр ба суурийн радиусыг олоорой.

2. Цилиндр хэлбэртэй утааны яндан 65см диаметртэй ба өндөр нь 18м байв. Үүнийг

хийхэд хичнээн квадрат метр гөлмөн төмөр орох вэ? Үүнд бүх төмрийн 10% нь залгахад

хэрэглэгдэнэ.

3. Дугуй гөлмөн төмрөөр 25см диаметртэй ,50см өндөр цилиндр хэлбэртэй аяга хийв.

Энэ аягыг хийхэд гөлмөн төмрийн талбай өөрчлөгдөхгүй гэж үзээд түүний диаметрийг

олоорой.

4. Цилиндрийн суурийн радиус 2м , өндөр 3м бол тэнхлэгийн огтлолын диогналийг олно

уу?

5. Цилиндрийн өндөр 6см ,суурь 5см бол цилиндрийн тэнхлэгтэй параллель бөгөөд түүнээс

4см зайд орших хавтгайгаар огтлоход үүсэх огтлолын талбайг олоорой.


6. Цилиндрийн өндөр 8дм , суурийн радиус 5дм болно. Цилиндрийн огтлолд нь квадрат

үүсэхээр тэнхлэгтэй нь параллель хавтгайгаар огтлов. Энэ огтлолоос тэнхлэг хүртлэх

зайг олно уу?

7. Цилиндр хэлбэртэй уурын тогооны диаметр 0,7м бөгөөд урт нь 3,8м болно. Хэрэв усны

уур 1см2 -д 10кг хүчээр дарвал тогооны бүтэн гадаргуу дээрхи даралт хэд вэ?

8. Цилиндрийн суурийн диаметр 1м-тэй тэнцүү ба өндөр нь суурийн тойргийн урттай тэнцүү

бол цилиндрийн хажуу гадаргууг олно уу?

9. Адил талт цилиндрийн өндөр h хажуу гадаргууг олоорой.

10. Цилиндрийн тэнхлэг огтлолын талбай Q бол хажуу гадаргуугийн талбайг олоорой.

11. Адил талт цилиндрийн хажуу гадаргуу 50см2 бол бүтэн гадаргууг олно уу?

12. Цилиндрийн хажуу гадаргуугийн дэлгээс нэг тал нь нөгөөгөөс 1-дм-ээр их тэгш өнцөгтийг

үүсгэнэ. Хажуу гадаргуугийн талбай 20дм2 бол түүний бүтэн гадаргуугийн талбайг

олоорой.

13. 25м урт зэс утас 100,7г жинтэй байв. Утасны диаметрийг олно уу?

( зэсний хувийн жин 8,9)

14. Термометрийн доторхи 15,6см урт мөнгөн ус 5,2г жинтэй байв. Түүний хөндлөн

огтлолын талбайг олно уу? ( мөнгөн усны хувийн жин 13,6 )

15. а талтай квадратыг түүний талыг нь тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биеийн эзэлхүүнийг

олоорой.

16. Цилиндрийн тэнхлэг огтлол квадрат бөгөөд түүний диогналь 4м бол цилиндрийн

эзэлхүүнийг олно уу?

17. Цилиндрийн хажуу гадаргуугийн дэлгээс а талтай квадрат бол цилиндрийн эзэлхүүнийг

олно уу?

18. Нэг цилиндр 2,4м өндөртэй ,суурийн диаметр нь 1м ба нөгөө цилиндр 1,2м өндөртэй

суурийн диаметр нь 0,5м . хоѐр цилиндрийн эзэлхүүнийг харьцуулна уу?

19. Цилиндрийн өндөр Н , түүний хажуу гадаргууг дэлгэхэд байгуулагч нь диогнальтай 600 -

ын өнцөг үүсгэнэ. Эзэлхүүнийг олоорой.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Cilindro_comp.jpg


20. Нэг цилиндр 0,6м өндөртэй ,суурийн диаметр нь 0,2м ба нөгөө цилиндр 0,3м өндөртэй

суурийн диаметр нь 0,2м . Хоѐр цилиндрийн эзэлхүүнийг харьцуулаарай.

21. Цилиндрийн хажуу гадаргуу S , суурийн тойргийн урт с бол эзэлхүүнийг олоорой.

22. 1,6м урт , 0,8м өргөн гөлмөн төмрөөр нэгдүгээрт 1,6м урт цорго хийж болох ба

хоѐрдугаарт 0,8м урт цорго хийж болно. Эдгээр цоргонуудын эзэлхүүнүүд болон

гадаргуунуудын харьцааг олно уу?

23. Цилиндрийн перпендикуляр огтлолын талбай Q , тэнхлэг огтлолын талбай Р болно.

Цилиндрийн талбай ба эзэлхүүнийг олно уу?

24. Цилиндрийн хажуу гадаргуу Р ба тэнхлэг огтлолын диогналь l бол эзэлхүүнийг олоорой.

25. Хоѐр цилиндрийн хажуу гадаргуу тэнцүү бөгөөд нэгний нь суурийн радиус R , нөгөөгийнх

нь r болно .Эдгээрийн эзэлхүүнүүдийн харьцааг олно уу?

26. 𝟐𝛑 м талтай квадратаар цилиндрийн хажуу гадаргуу хийв. Түүний эзэлхүүнийг олно уу?

БӨМБӨРЦӨГ

Иймд бөмбөрцөг нь эргэлтийн биет , бөмбөлөг нь эргэлтийн гадаргуу гэнэ. Бөмбөрцөгийг

хавтгайгаар огтлоход түүнд перпендикуляр диаметрийг О1 цэгт огтолдог гэе.

Өгөгдсөн цэгээс тогтмол R зайд орших огторгуйн цэгүүдийн олонлогийг уг цэгт төвтэй бөмбөлөг гэнэ. R зайг бөмбөлгийн радиус гэнэ. Бөмбөлгөөр хүрээлэгдсэн биетийг бөмбөрцөг гэнэ. R радиустай бөмбөрцөг нь төвөөс R-ээс бага зайд орших огторгуйн цэгүүдийн олонлог юм. Математикт бөмбөрцгийг R радиустай хагас дугуйг диаметрийг нь тойруулан эргүүлэхэд үүссэн биет гэж үздэг.


Бөмбөлөгтэй ганц ерөнхий цэгтэй хавтгайг шүргэгч хавтгай гээд огтлолын цэгийг шүргэлтийн

цэг гэнэ. Шүргэгч хавтгайн шүргэлтийн цэгийг бөмбөлгийн төвтэй холбосон хэрчим үргэлж

шүргэгч хавтгайдаа перпендикуляр байна. Шүргэгч хавтгайд агуулагдах шүргэлтийн цэгийг

дайрсан шулууныг шүргэгч шулуун гэнэ. Энэ шулуун нь шүргэлтийн цэгийг дайрсан радиуст

үргэлж перпендикуляр байна.

Бөмбөлөг , хавтгай хоѐрын огтлолцол дээр орших А цэг

авбал ∆АОО1 гурвалжин тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд

бөмбөлгийн төв хавтгайгаас h зайд оршдог гэвэл

Пифагорын теоремоор : АО1 =𝑟1 = 𝑅2 − ℎ2 болно.


Хавтгай бөмбөрцгийг огтлохдоо түүнийг хоѐр хэсэгт хуваах ба хуваагдсан хэсгүүдийг

бөмөбрцгийн сегмент гэнэ. Огтлогч хавтгайн дугуйн хүрээний бүх цэгийг бөмбөрцгийн

радиустай холбоход конус үүсэх бөгөөд энэ конусыг бөмбөрцгийн сегменттэй нийлүүлэн

бөмбөрцгийн сектор үүснэ.

Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай нь : 𝑺г = 𝟒𝝅𝑹𝟐

Бөмбөрцгийн эзэлхүү нь : 𝑽б =𝟒

𝟑𝝅𝑹𝟑

Бодлого : 1. 41 дм радиустай бөмбөрцгийг түүний төвөөс 9дм зайтай хавтгайгаар огтлов.

Огтлолын талбайг олно уу?

Өгсөн нь : АО = 41дм , ОО1=9дм олох нь : 𝑆𝑜−?

Бодолт : Огтлолд тойрог үүссэн учир тойргийн талбай нь :

𝑆𝑜 = 𝜋𝑟2 болно. Иймд r – ийг олохын тулд ∆𝐴𝑂𝑂1 дээр

Пифагорын теоремыг бмчье. 𝑟 = 𝐴𝑂1 = 𝐴𝑂2 − 𝑂𝑂12 =

412 − 92 = 41 − 9 41 + 9 = 32 ∙ 50 = 2 ∙ 16 ∙ 25 ∙ 2 =

= 4 ∙ 5 ∙ 2 = 40дм


2 . Бөмбөрцгийн гадаргуу дээр 3 цэг өгөгдөв. Эдгээрийн хоорондох зай шулуун шугамаар 6см

,8см, 10см бөгөөд бөмбөрцгийн радиус 13см байв. Бөмбөрцгийн төвөөс эдгээр 3 цэгийг

дайрсан хавтгай хүртлэх зайг олоорой.


1. Бөмбөлгийн радиусуудын дундуур перпендикуляр хавтгайг татжээ. Үүнд үүссэн

огтлолын талбай их дугуйн талбайтай ямар харьцаатай вэ?

2. Бөмбөрцгийн диаметр 25см бөгөөд түүний гадаргуу дээр А цэг авав. Бүх цэгүүд нь А

цэгээс 15см зайд орших тойргийн радиусыг олоорой.

3. Бөмбөрцгийн гадаргуу 225𝜋см2 болно. Түүний эзэлхүүнийг олоорой.

4. Гурвалжны талууд 13см, 14см , 15см болно. Гурвалжны хавтгайгаас түүний талуудыг

шүргэсэн бөмбөрцгийн төв хүртлэх зайг олно уу? Бөмбөрцгийн радиус 5см байна.

5. Их дугуйн талбай 1м2 болно. Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайг олно уу?

6. Бөмбөрцгийн радиус 5см бол түүний гадаргуугийн талбайг олоорой.

7. Бөмбөрцгийн радиус 1м . Бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг олно уу?

8. Бөмбөрцгийн радиус 5м . Бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг олно уу?

9. Тохируулагчийн ширмэн бөмбөрцгүүд тус бүр 10кг болно. Бөмбөрцөг бүрийн диаметрийг

олно уу? ширмийн хувийн жин 7,2 болно.

10. Диаметрүүд нь 𝑑1 = 25см ба 𝑑2 = 35см -тэй хоѐр ширмэн бөмбөрцгийг нэг бөмбөрцөг

болгов. Шинэ бөмбөрцгийн диаметрийг олоорой.

𝑂𝑂1 = 𝐴𝑂2 − 𝐴𝑂12 = 132 − 52 = 13 − 5 ∙ 13 + 5 = 8 ∙ 18 = 12

Өгсөн нь : АВ = 6см , ВС = 8см , АС = 10см , АО = R = 13см

Олох нь : ОО1 - ? Бодолт : ∆𝐴𝑂𝑂1 : дээр Пифагорын теорем

бичье. 𝑂𝑂1 = 𝐴𝑂2 − 𝐴𝑂12 гэдгээс 𝐴𝑂1 – ийг олъѐ. Үүний тулд

гурвалжин АВС –г багтаасан тойргийн радиусыг олно.

𝑅1 − гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус гэвэл : 𝑅1 =𝐴𝐵∙𝐵𝐶∙𝐶𝐴

4𝑆∆𝐴𝐵𝐶

𝑃∆ =𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶

2=

6+8+10

2= 12 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 𝑃 ∙ 𝑃 − 𝑎 ∙ 𝑃 − 𝑏 ∙ 𝑃 − 𝑐

𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 12 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 2 = 6 ∙ 2 ∙ 2 = 24 𝑅1 =6∙8∙10

4∙24=

480

96= 5


11. Гурван бөмбөрцгийн радиусууд 3см ,4см ба 5см болно. Эдгээр бөмбөрцгийн

эзэлхүүнүүдийн нийлбэртэй тэнцүү эзэлхүүнтэй бөмбөрцгийн радиусыг олно уу?

12. 1кг хар туглагаар 1см диаметртэй хичнээн бөмбөрцөг цутгаж болох вэ? хар тугалганы

хувийн жин 11,4 болно.

13. 20см диаметртэй хар тугалган бөмбөрцгөөр 10 дахин бага диаметртэй бөмбөрцгүүдийг

цутгав. Хичнээн ийм бөмбөрцөг болох вэ?

14. 3см диаметртэй бөмбөрцгийг хар тугалгаар цутгах хэрэгтэй болоход 5мм диаметртэй

хэдэн бөмбөрцгийг хэрэглэх вэ?

15. Хөндий бөмбөрцгийн гадаад диаметр 18см бөгөөд ханын зузаан 3см болно. Үүний


16. Ширмээр үйлдсэн хөндий бөмбөрцгийн дотоод диаметр 8см бөгөөд гадаад диаметр нь

10см болно. Бөмбөрцгийн жинг олно уу? ширмийн хувийн жин 7,3 болно.

17. Гурван бөмбөрцгийн радиусууд 1 : 2 : 3 гэсэн харьцаатай бол их бөмбөрцгийн эзэлхүүн

бага бөмбөрцгийн эзэлхүүнүүдийн нийлбэрээс 3 дахин их болохыг батлаарай.

18. Бөмбөрцгийн 30см диаметр нь цилиндрийн тэнхлэг болох бөгөөд энэ цилиндрийн

суурийн радиус 12см болно. Цилиндрийн дотор багтсан бөмбөрцгийн хэсгийн


19. Бөмбөрцөг өгөгдөв. Бөмбөрцгийн диаметрт перпендикуляр хавтгай түүнийг 3см ба 9см

гэсэн хоѐр хэсэг болгон хуваав. Энэ хавтгай бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг ямар хэсгүүд

болгон хуваах вэ?

20. Бөмбөрцгийн радиусыг 3 дахин , 4 дахин нэмэгдүүлбэл түүний эзэлхүүн хэд дахин

нэмэгдэх вэ?

Бодлогын хариу

1. Призм

1. а. 3 ; б. 7 ; в. 11 ; г. 17 ; д. 29 . 2. 13м ба 9м . 3. 277 см ба 15см . 4. 8см ба 10см.

5. 2м. 6. 29см . 7. 1464см2 . 8. 6см , 14см , 16см . 9. 192 + 32 6 . 10. 4980см2 . 11. 9м2 ба 1м . 12. 24м2 . 13. 6см . 14. ≈ 8,4 . 15. ≈ 9,57см . 16. ≈ 71кг . 17. 1,8. 18. ≈ 2,29м .

19. ≈ 0,11мм . 20. ≈ 0,46м . 21. 30м . 22. 4500см2. 23. 273

7см3 . 24. 30 3см3 . 25. 3060м3.

26. 1м3. 27. 100 2см3

2. Пирамид

1. а. 1

2 4ℎ2 +

𝑎2

3 б.

1

2 4ℎ2 + 𝑎2 в.

1

2 4ℎ2 + 3𝑎2 . 2. 9см . 3. 5см ба 6см . 4. 12см . 5. 3см

6. 12см . 7. 14м2 . 8. 3 3дм . 9. 3

8а2. 10. 9см . 11. 1дм . 12. 56см ба 24см . 13. 6см .

14. 2см ба 10см . 15. 2см . 16. 12см2. 17. 16см ба 6см ; 12см ба 8см . 18. 2см .

19. 768см2 . 20. 22 + 136 м2 . 21. 168м2 . 22. 54дм2 . 23. 20см . 24. 10см . 25. 32м2 . 26. 7см

27. 360м3 . 28. 48см3. 29. 420см3 . 30. 1800см3 . 31. 60см2 . 32. 500см3. 33. 31

10м3. 34. 2325м3.


35. 20м2 ба 45м2.36. 5м .37. 8м2 . 38.128м2 ба 50м2 .39.1900м3 .40.109см3 .41. 20м3 ба 45м3

3. Конус

1. 5м . 2. L

2 . 3. 80π . 4. 24π . 5. ≈ 25,3м2. 6. 11см;11см ;8см . 7. 2160. 8. 25см2 . 9. 3600 ∙

𝑅

𝑙

10. 9πм3 . 11. 12πм3. 12. 96πм3. 13. с2

24𝜋2∙ 4𝜋2𝑙2 − 𝑐2 . 14. 200πм2. 15. 24πcм2. 16.

1

8𝜋𝑙3. 17.

3𝑉

𝜋𝑅

18. 1

3𝑀 𝜋𝑄 ; 𝜋2𝑀2 + 𝑄2 . 19. 457πcм3. 20. R2

4. Огтлогдсон конус

1. 30дм2 . 2. 𝑅+𝑟

2∙ 4𝑙2 − 𝑅 − 𝑟 2. 3. R-r . 4. 2212π . 5. 20см . 6. 2Н . 7. а ба 2а . 8. 9м2 . 9. 4см

10. 35πдм3. 11. 15м . 12. 25дм ба 12дм . 13. 16π . 14. 12πм3 . 15. 96πсм3. 16. 200πм2 .

17. 2,9дм3 . 18. 𝜋

6∙ 𝑅3 − 𝑟3 . 19. 8см . 20. 2м ; 5.5м ; 12.5м .

5. Цилиндр

1. 4см ба 14см . 2. 40м2 орчим . 3. 75см . 4. 5м . 5. 36см2 . 6. 3дм . 7. 912т орчим . 8. 𝜋2

9. 𝜋ℎ2. 10. 𝜋𝑄. 11. 3

2𝑝 = 75см2 . 12. 23,9дм2. 13. ≈ 0,77м . 14. ≈ 1777. 𝟏𝟓. 𝜋а3 . 16. 4π 2 .

17. а3

4𝜋 . 18. V2: V1 = 1 ∶ 8 . 19.

3Н3

4π . 20. V2: V1 = 1 ∶ 2 . 21. .

𝑆𝑐

4π . 22. V2: V1 = 1 ∶ 2 ;

S1: S2 = 1 ∶ 1 . 23. 𝜋𝑃 + 𝜋𝑄 . 24. 𝑝

8∙ 𝑙2 +

2𝑝

𝜋 ± 𝑙2 −

2𝑝

𝜋 . 25.

R

r . 26. 𝟐𝜋2м3

6. Бөмбөрцөг

1. 2 : 3 . 2. 12см . 3. 562,5πм3 . 4. 3см. 5. 4м2. 6. ≈ 314см 2 . 7. 4

3π . 8. 9. ≈ 14см .

10. ≈ 39см . 11. 6см . 12. ≈ 168 . 13. 1000 ; 20см . 14. 216. 15. ≈ 2148см 3 16. 1866г ; ≈ 1.9𝑘г

18. 3528πсм3 19. 45πсм3 20. 27 удаа ба 64 удаа .




Documents

Бүлэг 8: ОГТОРГУЙН ГЕОМЕТР - edub.edu.mn · 4. Додекаэдрийн ирмэг нь 2 нэгж бол гүйцэт гадаргуугийн талбайг