第 9 章 反应堆动力学

核反应堆安全运行的基础在于成功的控制中子通量密度或反应堆功率在各种情况下随时间的变化。 第七章 , 我们讲了燃料和裂变产物同位素成分随时间的变化以及它们对 keff 的影响。由于这些量随时间的变化很缓慢，所以很容易对其进行控制并使反应堆维持在一定功率下运行。 但反应堆启动、停堆或功率调节时的控制棒的移动等情况下将使反应堆的 keff 发生迅速变化。此时反应堆成为超临界或次临界，而中子通量密度将随时间急剧变化。这种变化以秒为单位来量度。了解这种中子通量密度在偏离临界状态下的瞬态变化特征，对反应堆的控制和安全运行是及其重要的。 本章讨论由于有效增殖因子或反应性的迅速变化所引起的反应堆内中子密度随时间的瞬态变化特性。 中子密度的瞬态变化会引起反应堆内功率、温度等的瞬态变化，而这些参数的变化，又会引起反应性的变化，从而又引起中子密度的变化。既在反应堆的瞬态过程中，存在反应性反馈效应，为了简单起见本章暂不涉及反应性的反馈效应。

9.1 缓发中子的作用

在以前的反应堆临界计算只需考虑中子产生与消失保持平衡即可，认为所有裂变中子为瞬发中子。然而，反应堆动力学研究功率或中子通量密度的瞬态时间特征，就必须考虑缓发中子的产生相对于裂变时刻的延迟。 缓发中子占总裂变中子份额很小（ 235U 0.65% ），但缓发时间很长，它对反应堆动态特征有重要的影响。 为了说明这一问题，假设所有裂变中子为瞬发中子，则堆

芯内中子密度的变化率为：

)(1)(tn

l

k

dt

tdn eff

假设在 t<0 时， keff=1 ，在 t=0 时keff 有一阶跃变化，上式积分得

定义反应堆周期（ T ）为：反应堆内中子通量密度变化 e 倍所需要的时间。

则有： 不考虑缓发中子时 , 压水堆内中子的平均寿命就等于瞬发中子的寿命 , 既 l ≈ 10-4 秒。 引入 δk=0.001 的反应性扰动，反应堆周期： T=0.1 秒。1 秒内，堆功率将增大 e10 （ 22000 ）倍。核反应无法控制。

t

l

kntn eff 1

exp)( 0

1

effk

lT

Ttentn /0)(

反应堆内中子密度随时间的变化

上面结论是基于所有裂变中子为瞬发的假设，忽略了缓发中子。虽然，缓发中子所占比例很少，但其缓发时间却非常长（表 1-6 ）。所以缓发中子对中子寿命所起的作用不能忽视。根据表 1-6 第 i 组缓发中子寿命应等于 ti +l ， 这里 ti

是第 i 组缓发中子先驱核的平均寿命。考虑缓发中子后裂变中子的平均寿命为：

利用表 1-6 的数据可以计算出考虑缓发中子时压水堆的中子平均寿命为 l≈10-1 秒，引入 δk=0.001 的反应性扰动，反应堆周期： T=100 秒。1 秒内，堆功率将增大 e0.01 （ 1% ）倍。核反应完全可以控制。

6

1

6

1

)()1(i

iii

ii tlltll

缓发中子虽然份额很少，但缓发时间较长，缓发效应大大增加了两代中子之间的平均时间间隔，从而延迟了中子密度的变化率。所以缓发中子效应在研究瞬态过程和反应堆控制时不可忽略。反应堆控制正是利用缓发中子的作用才得以实现的。

9.2 点堆中子动力学方程

核反应堆动力学方程 我们从单群中子扩散方程出发推导反应堆动力学方程。在研究功率的瞬态特征时要考虑每组缓发中子产生的数据延迟及其效应，以及它对动态过程的影响。根据（ 3-34 ）单群中子扩散方程为：

如认为所有裂变中子为瞬发中子则：若考虑缓发中子的效应：

),(),(),(),(1 2 trStrtrD

t

tr

v a

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6

1

),(),()1(),(i

iia trCtrktrS

考虑缓发中子的效应单群中子扩散方程为：

每一个先驱核只放出一个缓发中子， 就是堆内每秒每单位时间体积内第 i 组缓发中子先驱核产生率。先驱核通过衰变而消失，消失率等于 ，考虑缓发中子效应的联立方程为：

以上两方程便是反应堆的动力学方程。可以推广到多群情况。反应堆的动力学方程描述瞬态过程堆芯中子通量密度随空间和时间的变化。一般只能用数值方法求解。

6

1

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i

点堆动力学方程 在动态过程中 , 空间效应不是主要的 , 我们感兴趣的是中子通量密度随时间的变化 , 我们可以用点堆模型来处理 .

假定不同时刻中子通量密度在空间中的分布形状不变，也就是说堆内各点中子密度随时间的变化涨落是同步的，堆内中子好像没有线度尺寸一样，可以把它看作一个集总参数的系统来处理，在此基础上得到的模型称为点堆模型。 假定中子通量密度 和先驱核浓度 可以用空间形状因子 , 与时间相关的幅函数 和 的乘积来表示 :

若堆芯偏离临界状态不远 , 并且先驱核的浓度分布具有与中子通量密度分布相同的分布函数 , 将以上表达式带入反应堆的动力学方程可得。

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1

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l

BL

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BL

v

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lk

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eff

的中子寿命，增殖因子和考虑泄露后分别为以前定义的有效和式中，

定义中子每代时间

以上方程可以改写为：effkl /

6

1

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iii tCtn

t

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ii

这就是考虑缓发中子效应后的反应堆动态方程， 通常称为点堆动力学方程。这是耦合的一阶微分方程组。 keff 或反应性是时间函数。如考虑功率和温度对反应性的反馈作用， keff 或反应性还是中子通量密度函数，所以以上点堆动力学方程 是非线形方程。

点堆模型的适用范围

假定不同时刻中子通量密度在空间中的分布形状不变，也就是说堆内各点中子密度随时间的变化涨落是同步的，堆内中子好像没有线度尺寸一样，可以把它看作一个集总参数的系统来处理。 点堆模型的主要限制在于它不能描述与空间有关的动力学效应，如反应性的局部扰动和过渡过程中中子通量密度空间分布随时间的快速畸变。

例如，对于一个均匀平板反应堆，分为三个活性区，在 t=0 时刻，I区引入一个正反应性阶跃，反应堆超临界；随后在 0.01 s 内反应性线性下降到 - 。 点堆模型的缺陷： 多数物理量不考虑空间效应，或中子通量密度分布所用的形状因子是取未受扰动时的形状函数，且不随时间变化。由于实际中子通量密度的显著畸变和倾斜，用点堆模型求得的中子通量密度将大大低于实际的峰值。

点堆模型仅适用于局部扰动不大，或者空间效应不太重要的情况！

乎板状堆芯当反应性局部阶跃变化时快中子通量密度空间分布的计算结果

9.3 阶跃扰动时点堆模型动态方程的解在运行过程中 , 反应堆的提升功率、降低功率和停堆过程分别对应于反应堆引入正和负反应性的操作。 在不考虑反馈效应，点堆方程为一阶线性常系数微分方程组，假定其解的形式为：

带入点堆方程（ 9-18 ）和（ 9-19 ）并整理可得反应性方程：

或

)219()(

)209()(

t

ii

t

eCtC

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i i

i

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ll

l

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反应性的阶跃变化

它是一个关于ω的 7 次代数方程 ,在给定的反应堆特性参数下 ,由它可以确定出 7 个可能的 ω值。但求解直接该方程却非常困难。可以用图解法研究方程的根的分布却非常方便。=>0 时：有 6个负根和 1个正根。=<0 时：有 7个负根。 在反应性阶跃变化的情况下，点堆模型动态方程（ 9-18 ）和（ 9-19 ）是线性的，所以方程的一般解由 ω的所有 7 个解所形成的线性组合给出，即：

系数根据初始条件确定。

)269()0()(

)259()(

7

1

7

10

j

tijii

j

tj

j

j

eCCtC

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用图解法确定反应性方程的根

作为反应堆 keff 阶跃变化的例子，设在初始状态突然引入 δk=0.001 的阶跃变化，中子的寿命 l ≈ 10-4 秒。由方程（ 9-24 ）确定出 7 个ωj值，其中 ω1 为正值，其余 6个ωj 均为负值。中子密度时间响应为

=>0 时 方程（ 9-25 ）中只有ω1 为正值，其余为负值。中子周期将按 增长。

无缓发时 T=0.1秒=<0 时 所有项均指数衰减。

]179.000767.00205.00637.0

140.00359.0446.1[)(6.55875.2005.1183.0

0598.00136.00182.00

tttt

ttt

eeee

eeentn

秒550182.0/11 T

11 /1 T

阶段扰动下相对中子密度水平随时间变化的曲线

9.4 反应堆周期

9.4.1 反应堆周期 引入反应性的阶跃变化后 , 中子密度立即发生急剧变化。 当引入为正值，反应性方程有唯一正根 ω1 。 当引入为负值，反应性方程所有的根为负根， ω1 比其

它各指数项衰减的慢，起主导作用。 无论引入正或负的反应性，中子密度都将发生急剧变化，

但经过一段时间各瞬变项消失后，其最终时间特性表现为：

Tt

t

etn

etn/~)(

~)( 1

或

中子密度按指数规律变化 e 倍所需的时间称为反应堆周期：

当引入反应性为正时，Ｔ为正，中子密度随时间指数增长当引入反应性为负时，Ｔ为负，中子密度随时间指数衰减 堆内中子通量密度增长一倍所需的时间称为反应堆倍周期或倍增周期。用 TD 表示：

所以

反应堆周期的符号和大小直接反映堆内中子增减变化速率，特别是在启动或功率提升过程中，对反应堆周期的监督十分重要。周期过小，可能导致反应堆失控。一般周期限制在 30s 以上。反应堆还有周期保护系统。

1

1

T

2)/exp(/)( 0 TTnTn dd

TTTd 693.02ln

反应堆周期可以由反应性方程（ 9-23）或（ 9-24）确定，以 T=1/ω代入则可得：

或

反应性方程（ 9-23）或（ 9-24）和方程（ 9-40）、（ 9-41）都是表示反应堆周期和反应性之间的方程式。给定反应性 ρ便可确定周期Ｔ。反之，它是由测量得到的反应堆周期来确定反应性的理论依据。 式中右端第一项是表示瞬发中子的作用，而第二项则表示缓发中子对反应堆周期的影响。若 βi=0，则两式变为

这便和（ 9-3）不考虑缓发中子时的反应堆周期相等。

)409(1

i i

i

TT

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i i

i

eff TTk

l

)1/(

effklT

9.4.2 不同反应性引入时反应堆的响应特性

当引入的反应性很小时（ << ） , 从图（ 9-4 ）得 1

很小

由（ 9-24 ）式可得：

所以

方括中部分就是考虑缓发中子的裂变中子平均寿命 。一般 是很小量所以

1211

l

6

1110 /i

iil

0

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101

11

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i

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l

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6

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iii

i i

i tT

因而引入很小反应性时，反应堆周期与瞬发中子寿命无关，与引入的反应性成反比，且取决于缓发中子寿命。

当引入的反应性很大时（ >> ） , 1 较大， 1 >> I

由（ 9-23 ）式可得：

或

可以看出，如果引入的反应性很大，反应堆周期主要决定于瞬发中子每代时间。这与全部忽略缓发中子的结果是一样的。

当 0= 时，即仅依靠瞬发中子达到临界，称为瞬发临界。

10

001

1

T

0 < 时，反应堆达到临界尚需缓发中子作出贡献，因而反应堆特性在很大程度上由先驱核衰变的时间决定，称为缓发临界。

0> 时， 称为瞬发超临界，此时即使不考虑缓发中子，有效增殖因子也会大于 1 ，只靠瞬发中子就能使链式反应不断进行下去，缓发中子在决定周期方面不起作用。反应堆功率以瞬发中子决定的极短周期快速增长。 利用（ 9-13 ）式可以求得瞬发临界的条件，不考虑缓发中子（ 9-13 ）式变为：

临界时中子密度不随时间变化，所以瞬发中子临界条件为：

(1-)keff =1上式说明去处缓发中子部分，即仅依靠瞬发中子达到临界，称为瞬发临界。

)489()(1)1()(

tnl

k

dt

tdn eff

将 keff =1/(1- ) 带入上式 可得瞬发临界条件 = 由于瞬发临界的重要性，将它用作反应性的基本单位。称为“元”（ $ ），其定义为：

即把缓发中子的份额的反应性数值定义为 1 $ 反应性。 1 $ 的1% 定义为一“分”。当反应性正好具有 1 $ 反应性时，反应堆达到瞬发临界。在反应堆运行中这是不允许的。

上面讨论的三种情况可以在图（ 9-6 ）中清楚看出。

($)反应性反应堆周期与反应性的关系

当 0 为很大的负反应性时

稳定周期将接近于 1/1 ，即约等于 80 s 。

如果由于引入大的负反应性而突然停堆，则中子通量密度 迅速下降，而在短时间内瞬变项衰减之后，中子通量密度 将按指数规律下降，其周期约为 80 s ，即大约每 184 s 功率 下降一个量级。

反应堆停堆时，中子通量密度需下降 10个数量级以上， 其关闭时间要求至少 30min ，反应堆设计需要考虑。

有些反应堆，即使停堆以后很长时间，还会由积累的裂 变产物衰变放出 γ 射线，然后通过（ γ,n ）反应继续 产生中子。这样的过程会延长停堆的时间。

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