Upload
mackenzie-donaldson
View
50
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Математический турнир для учащихся 9 классов 2 апреля 2013г. Мы рады встрече с вами. Правила турнира. Решение задач следует записывать на специальных бланках ( которыми можно будет пользоваться при выступлении) Выступать с докладом и оппонированием должны разные члены команды - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Математический
турнирдля учащихся 9 классов
2 апреля 2013г.
Мы рады встрече с вами
1. Решение задач следует записывать на специальных бланках ( которыми можно будет пользоваться при выступлении)
2. Выступать с докладом и оппонированием должны разные члены команды
3. Запрещается общение с кем- либо кроме членов своей команды и жюри
Правила турнира
• 45 минут на решение всех задач своей лиги
• 45 минут – защита решений и оппонирование по задачам своей лиги
Регламент турнира
Порядок выступления команд лиги Б определяется жеребьевкойНе забывайте подписывать каждый
бланк с решением
Рейтинг задач
Правила соревнования
• Жребием определяется порядок рассмотрения задач ( порядок выступления команд был объявлен ранее, теперь мы узнаем какая задача какой команде достается)
• Команды ( по жребию) выставляют своего докладчика или оппонента.
• Цель докладчика: рассказать все правильно, полно и доходчиво.
• Цель оппонента: найти как можно больше ошибок и неточностей в выступлении докладчика.
Правила соревнования
Правила соревнования возможные варианты распределения баллов
Балл докладчика
Балл оппонента
Комментарии
3 3 В докладе все верно и четко, ошибок нет. Оппонент оценил решение как верное.
0 3 В докладе было приведено ошибочное решение. Оппонент указал на все неточности.
3 0 Задача решена верно, оппонент с решением не согласился.
1-2 1-2 В выступлении оппонента и докладчика содержались неточности.
• Докладчик иллюстрирует свое решение с помощью документ камеры по заготовками, сделанными в процессе решения.
• Оппонент в своем выступлении должен только указывать на ошибки, но не рассказывать правильного решения ( если такового не было в докладе)
• В ходе выступления докладчика оппонент имеет право задавать уточняющие вопросы: «Правильно ли я Вас понял, что….», «Повторите, пожалуйста, еще раз фразу о …..»…
• Диалог ведут только 2 выступающих• После выступления докладчика и его оппонента каждая из
команд оценивает выступление (в баллах). Если оценки команды совпадут с оценками жюри, то команда получает дополнительный балл.
Правила соревнования
Площадь квадрата равна 144 см2. В квадрат вписана окружность. Вычислите площадь равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность.
Задание 1
Задание 1 (Решение)
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника. Докажите, что площади этих треугольников равны.
Задание 2
Медиана СМ прямоугольного треугольника АВС, проведённая к гипотенузе АВ, разбивает данный треугольник на два треугольника АСМ и ВСМ, у которых общая высота СН проведена к равным основаниям АМ и МВ (т. к. М-середина АВ по определению медианы). Следовательно, площади данных треугольников равны (площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию).
Задание 2 (Доказательство)
В прямоугольной трапеции меньшая диагональ равна 15 и перпендикулярна большей боковой стороне. Меньшая сторона трапеции равна 12. Найдите большее основание трапеции.
Задание 3
1) Пусть CF – высота. ABCF – прямоугольник (ВА || СF , СF = ВА = 12
- расстояние между параллельными прямыми, угол B равен 90°).
2) Пусть ВС = АF = х (противоположные стороны прямоугольника).
В прямоугольном треугольнике ACF по теореме Пифагора
x2 = 152 - 122, тогда x = 9.
3) В прямоугольном треугольнике ADC по свойству высоты, опущенной из вершины прямого угла, имеем равенство CF? = ху. Отсюда y = 144 : 9 = 16.
4) AD = х + у = 9 + 16 = 25.
Ответ: 25.
Задание 3 (Решение)
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 29. Найдите радиус окружности.
Задание 4
ABCD – описан около окружности, поэтому его стороны обладают следующим свойством:
AB + CD = BC + AD.
AB + CD = BC + AD = 50.
BA = 50 – 29 = 21, BA = 2R, R = 10,5.
Задание 4 (Решение)B
A
C
D
В параллелограмме АВСD отмечена точка М – середина отрезка ВС. Отрезок АМ пересекается с диагональю ВD в точке К. Докажите, что ВК : BD = 1 : 3.
Задание 5
А
В С
D
М
К
Треугольник ВКМ подобен треугольнику AKD по двум углам:
Угол В равен углу D, как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD.
Угол ВКМ равен углу AKD как вертикальный,
следовательно, ВМ : AD = ВК : КD.
По условию ВМ : ВС = ВМ : AD = 1 : 2 (М середина ВС, ВС = AD
– противоположные стороны параллелограмма).
ВМ : AD = ВК : КD = 1 : 2
BD = BK + KD = 3BK
BK : BD = 1 : 3
Задание 5 (Доказательство)
А
В С
D
М
К
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, который изображён на рисунке.
Задание 6
Задание 6 (Решение)
В параллелограмме ABCD точка K – середина стороны AB. Известно, что KC = KD. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.
Задание 7
Задание 7 (Доказательство)
В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане ВN. Найти площадь треугольника АВС, если АМ = m, ВN = n.
Задание 8
Пусть медианы АМ и BN пересекаются в точке О.
Пересекаясь, они делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины, следовательно, АО = ⅔АМ. Медиана АМ перпендикулярна медиане BN, значит, отрезок АО– высота треугольника ABN. Используя формулу площади треугольника, S = 0,5ah, где получаем, что
S∆ABN = 0,5*AO*BN = ⅓*m*n.
ABC и ABN имеют общую высоту, проведенную из вершины В, основание АС вдвое больше основания AN. Из той же формулы площади следует, что площадь ∆АВС вдвое больше площади ∆ABN, то есть S∆ABC = ⅔*m*n.
Ответ: ⅔*m*n.
Задание 8 (решение)
Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите угол ABC, если угол KCB равен 20°.
Задание 9
О
А
К Е
С
В
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны, поэтому угол КСЕ равен углу КАЕ и они равны 20°.
Треугольники АОК и СОЕ прямоугольные, поэтому углы АКО и СЕО равны 70°.
Сумма угла СОЕ и угла ВЕО равна 180° (смежные), значит, угол ВЕО равен 110° .
Аналогично доказывается, что угол ВКО равен 110° .
В четырехугольнике ВКОЕ угол КОЕ равен 90°, Угол ВКО и угол ВЕО равны 110°, следовательно угол КВЕ равен 50°.
Задание 9 (Решение)
О
А
К Е
С
В
Спасибо за игру.
До новых встреч