课题课题 9 9 扭转变形扭转变形

9.19.1 扭转的概念与外力偶矩的计算扭转的概念与外力偶矩的计算

9.1.19.1.1 扭转的概念扭转的概念

在一对大小相等、方向相反、作用面垂直于轴线的两力偶作用下，杆件的横截面将绕轴线产生相对转动，这种变形称为扭转变形。

•杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相等、转向相反的力偶。

•杆件的变形特点是：各横截面绕轴线发生相对转动。杆件任意两横截面间的相对角位移称为扭转角，简称转角。

•工程上常把以扭转变形为主要变形的杆件称为轴。

9.1.29.1.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 • 计算公式为：

式中： Me—作用在轴上的外力偶矩，单位为牛 顿·米（ N·m）； P—轴传递的功率，单位为千瓦（ kW）； n—轴的转速，单位为转 / 分（ r/min ）

n

PM e 9549

9.29.2 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图

9.2.19.2.1 内力内力——扭矩扭矩

CADB

Me1

（ a）

qMe2

Me3

Me4

q

r

r

s

s

Me1

（ c）

Me2 M

x2

Me1

（ b）

Mx1

x

105

5035

Mx(Nm)

（ d）

-

9.2.29.2.2 扭矩图扭矩图

【例 9-1】齿轮轴如图所示。已知轴的转速为 n＝ 300r/min，齿轮 A 输入功率 PA＝ 50kW，齿轮 B 、 C 输出功率 PB＝ 30kW， PC＝ 20kW。不计轴和轴承的摩擦阻力，试作该轴的扭矩图。

+x

636.6

954.9

Mx(Nm)

（ d） -

CB A

Me

B

（ a）

qMe

AMe

C

q

r

r

Me

B

（ c）

Me

A Mx

2

Me

B

（ b）

Mx

1

【分析】（ 1 ）计算作用在齿轮 A 、 B 、 C 上的外力偶矩MeA、 MeB、 MeC

N·m N·m N·m

（ 2 ）求各段截面上的扭矩（采用截面法） 首先，沿截面 q-q截开，取左侧部分为研究对象，如图（ b ）

所示，求 BA间截面上的扭矩 Mx1 ΣM1x ＝ 0 ， MeB＋ Mx1 ＝ 0 Mx1 ＝－ MeB＝－ 954.9 N·m 其次，沿截面 r-r截开，取左侧部分为研究对象，如图（ c ）

所示，求 AC间截面上的扭矩 Mx2 ΣM2x ＝ 0 ， MeB＋ Mx2 － MeA ＝ 0 Mx2 ＝ MeA－ MeB＝ 1591.5－ 954.9＝ 636.6 N·m（ 3 ）画扭矩图 根据以上计算的结果，按比例画扭矩图，如图（ d ）所示。

5.1591300

5095499549

n

PM A

eA

9.954300

3095499549

n

PM B

eB

6.636300

2095499549

n

PM C

eC

9.3 9.3 圆轴扭转变形时横截面上的应力圆轴扭转变形时横截面上的应力

9.3.19.3.1 平面假设平面假设

在变形微小的情况下，可以观察到下列现象： 第一，两条纵向线倾斜了相同的角度，原来轴表面上的小方格变成了歪斜的平行四边形；

第二，轴的直径、两圆周线的形状和它们之间的距离均保持不变。

根据观察到的现象，我们推断，圆轴扭转前的各个横截面在扭转后仍为互相平行的平面，只是相对地转过了一个角度。这就是扭转时的平面假设。

Me Me

ф

根据平面假设，可得两点结论：（ 1 ）由于相邻截面相对地转过了一个角度，即横截面间发生了旋转式的相对错动，出现了剪切变形，故截面上有剪应力存在。又因半径长度不变，剪应力方向必与半径垂直。

（ 2 ）由于相邻截面的间距不变，所以横截面 上没有正应力。

9.3.29.3.2 横截面上的剪应力横截面上的剪应力

9.3.2.19.3.2.1 横截面上剪应力的分布规横截面上剪应力的分布规律律

Wρ称为抗扭截面系数，其单位为 mm3或 m3。

τ

ρ

τmax

τρρ

τmaxdA

Mx

I

M x

W

M xmax

9.3.2.39.3.2.3 极惯性矩和抗扭截面系数极惯性矩和抗扭截面系数

（ 1 ）圆形截面

（ 2 ）圆环形截面

33

2.0162

DD

D

IW

)1(2.0)1(162

4343

D

D

D

IW

【例 9-2】一轴 AB传递的功率 P ＝7.2kW，转速 n ＝ 360r/min。轴的 AC段为实心圆截面，直径 D ＝ 32mm； CB段为空心圆截面，空心部分的直径 d ＝ 16mm，如图所示。试计算 AC段横截面边缘处的剪应力以及 CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。

A BC

Me

Me

d D

【分析】（ 1 ）计算扭矩 N·m（ 2 ）计算极惯性矩 AC段： mm4 CB段： mm4（ 3 ）计算剪应力 AC段横截面边缘处的剪应力 : MPa CB段横截面外边缘处的剪应力 :

MPa CB段横截面内边缘处的剪应力 :

MPa

98.190360

2.795499549

n

PMM xe

52.10289132

3214.3

32

44

1

D

I

2.96460)1632(32

14.3)(

324444

2 dDI

7.292

32

52.102891

1098.190

2

3

11 D

I

M x

7.312

32

2.96460

1098.190

2

3

22

D

I

M x

外

84.152

16

2.96460

1098.190

2

3

22 d

I

M x

内

9.4 9.4 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形

式中 : Mx——横截面上的扭矩； ——两横截面间的距离； G——轴材料的切变模量； Iρ——横截面对圆心的极惯性矩。

GI

lMdx

GI

M xl

x 0

l

圆轴单位长度上的扭转角称为单位扭转角，用 θ表示，即

上式中，单位扭转角 θ的单位是弧度 / 米（ rad/m），工程上常用的单位是度 / 米（ º/m ），即

GI

M

lx

180

GI

M x

【例 9-3】在【例 9-2】中，若轴 AC段的长度是 2m，并已知 G ＝ 80GPa。试求截面 A 相对于截面 C 的扭转角。

【分析】

rad

23

33

1064.452.1028911080

1021098.190

GI

lM x

9.59.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算

9.5.19.5.1 强度计算强度计算

此式称为圆轴扭转时的强度条件。

][max

W

M x

9.5.29.5.2 刚度计算刚度计算

][180

GI

M x

【例 9-4】在【例 9-3】中，已知轴的许用剪应力 ＝ 40MPa，许用扭转角 ＝0.5 º/m，材料的切变模量 G ＝8×104MPa。试设计轴的直径。

][ ][

【分析】（ 1 ）最大扭矩 由【例 1】可知， |Mxmax|＝ 954.9N•m（ 2 ）按强度条件设计轴的直径 由 得 :

mm（ 3 ）按刚度条件设计轴的直径 由 得 : mm

要使轴同时满足强度条件和刚度条件，取轴的直径D≥51.14mm＝ 52mm。

][2.0 3max

max

D

M

W

M xx

24.49402.0

109.954

][2.03

3

3 max

xMD

][180

1.0

1804

max

DG

M

GI

M xx

14.51105.014.31081.0

109.954180

][1.0

1804

34

3

4 max

G

MD x

【例 9-5】一空心传动轴的外直径 D ＝90mm，壁厚 t ＝ 2.5mm，轴的许用剪应力 ＝ 60MPa，许用扭转角 ＝ 1º/m，材料的切变模量 G ＝ 8×104MPa。若传递的最大力偶矩 Memax＝ 170N•m，试校核空心轴的强度及刚度。若将空心轴变成实心轴，试按强度设计轴的直径，并比较两者的材料消耗。

][][

【分析】（ 1 ）校核强度 轴各截面上的扭矩 Mx＝ Memax＝ 170N•m

Mpa

因 ，所以该轴能满足强度要求。

（ 2 ）校核刚度

º/mm＝0.901º/m

因 ，所以该轴能满足刚度要求。（ 3 ）若改为实心轴，按强度条件设计轴的直径 mm

944.090

5.22902

D

tD

D

d

6.56)944.01(902.0

101700

)1(2.0 43

3

43max

D

M

W

M xx

][606.56max

)1(1.0

18018044

DG

M

GI

M xx

3444

3

10901.014.3)944.01(901.0108

101700180

][1901.0

52602.0

101700

][2.03

3

3

xMD实

（ 4 ）比较材料消耗 空心轴和实心轴在相同条件下的材料消耗比就是截面面积之比，即

该比值说明，空心轴的材料消耗仅为实心轴的 32.4%，可节约材料三分之二，所以空心轴是比较经济的。在工程实际中，用钢管代替实心轴，不仅节约材料，还可减轻构件的重量。

324.052

)5.2290(902

22

2

22

实实

空

D

dD

A

A

9.5.39.5.3 提高圆轴扭转强度和刚度的措施提高圆轴扭转强度和刚度的措施

要提高圆轴扭转时的强度和刚度，应从以下几个方面进行考虑：

（ 1 ）合理布置主动轮与从动轮的位置 （ 2 ）提高轴的转速 （ 3 ）合理选择截面形状 （ 4 ）合理选择材料