ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИУСА КРИВИЗНЫ ЛИНЗЫ

ПО ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОЙ КАРТИНЕ КОЛЕЦ НЬЮТОНА

Учебно-методическое пособие к лабораторной работе № 4.14

по дисциплине «Физический практикум»

Составители:

О.М. Устинова, Е.А. Коблова

Владивосток

2014

2

Цели лабораторной работы: а) изучить явление интерференции света; б) изучить интерференционную картину, называемую «кольца Ньютона»; в) проанализировать изменение

характера интерференционной картины в зависимости от длины световой волны; г) определить радиус кривизны линзы по

известной длине волны монохроматического света

1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Согласно волновой теории свет представляет собой

электромагнитную волну, которая характеризуется векторами

напряженности электрического и магнитного полей.

Векторы и перпендикулярны друг к другу и направлению распространения волны, т.е. электромагнитные волны поперечны. Поскольку практически все действие света связано с

вектором , принято его называть световым вектором.

В электромагнитной волне вектор напряженности

зависит от координат и времени согласно выражению:

=

где

- циклическая частота, - волновой вектор (

), - начальная фаза, T- период, - длина

волны. Если амплитуда, частота, длина волны и начальная фаза

не меняются со временем, то вышеприведенное выражение описывает монохроматическую волну. Электрическая

составляющая световой волны заметно изменяется при распространении света в различных средах, при прохождении через препятствие, при сложении волн.

При распространении в пространстве нескольких волн результирующее колебание в любой точке представляет собой

геометрическую сумму колебаний, т.е. суперпозицию волн. Особый интерес представляет сложение волн, при котором

3

наблюдается явление интерференции света: заключающееся в перераспределении энергии световых волн от когерентных источников света, которое происходит из-за наложения этих

волн друг на друга. На экране, который помещают в область наложения волн, наблюдается интерференционная картина в

виде чередующихся темных и светлых полос, т.е. чередующихся минимумов и максимумов интенсивности света.

Для выяснения

причин и условий перераспределения световой

энергии в пространстве рассмотрим (рис.1) наложение двух плоских

монохроматических световых волн, приходящих

в произвольную точку Р, отстоящих от источников волн S1 и S2 на расстоянии r1

и r2, соответственно.

Рис.1 Интерференция волн от двух когерентных

источников

В точке Р световые волны возбуждают колебания световых

векторов согласно уравнениям:

и

(1)

Согласно принципу суперпозиции результирующее

колебание вектора напряженности в точке Р при наложении

двух световых волн будет равно векторной сумме и

Потребуем, чтобы колебания световых векторов

происходили вдоль одного и того же направления, т.е. .

Тогда амплитуду результирующего колебания можно найти с помощью векторной диаграммы и теоремы косинусов:

(2)

4

где ( ) называют

интерференционным членом.

Поскольку интенсивность световой волны

пропорциональна квадрату амплитуды светового

вектора, то интенсивность результирующего света I в данной

точке пространства равна:

√ (3)

Где - интенсивности накладываемых волн в этой точке.

Приборы могут регистрировать только среднее по

времени значение интенсивности , подобно тому, как глаз не в

состоянии следить за колебаниями яркости лампочки

накаливания, питаемую переменным током, и отмечает некоторую постоянную среднюю яркость, Поэтому необходимо

усреднить (3) по времени наблюдения τ.

Полагая и

не зависящими от времени

наблюдения, получим:

√

где среднее значение косинуса разности фаз:

∫

Проанализируем полученное выражение:

1. Если разность фаз остается неизменной в

течение времени наблюдения, то

∫

∫

Выполнение этого условия возможно только при равенстве частот ω1=ω2 складываемых колебаний, поскольку с учетом (1)

5

𝛗2 - 𝛗1= (ω2- ω1)t-(k2r2- k1r1) + (𝛗02- 𝛗01)

Интенсивность результирующего колебания в каждой точке не

будет изменяться со временем, и будет отличаться от суммы интенсивностей исходных колебаний: может быть больше или

меньше ее, в зависимости от разности фаз (имеет место интерференция).

√ , т.е. .

В тех точках, для которых значение соs( ) , будет

наблюдаться усиление света , а в точках, для которых значение соs( ) ,

будет наблюдаться ослабление света .

2. Если за время усреднения τ разность фаз ( ) много раз изменялась так, что соs( ) принимал как

положительные, так и отрицательные значения, то его среднее

значение соs( ) за время наблюдения будет равно нулю, тогда . В этом случае интерференция отсутствует.

Следовательно, можно сформулировать необходимое условие

существования интерференции: для возникновения интерференции необходимо, чтобы среднее по времени значение косинуса разности фаз складываемых колебаний не

должно быть равно нулю и разность фаз сохраняет свое значение за время усреднения. Колебания (и волны) одинаковой частоты,

для которых разность фаз за время наблюдения остается постоянной, называются когерентными.

Из выражения (2) видно, что если интерференционный член

(

) равен нулю, т.е. среднее значение скалярного

произведения векторов и

равно нулю (имеет место для перпендикулярных векторов), то интерференция отсутствует.

Таким образом, для возникновения интерференции векторы и

должны быть неперпендикулярными.

6

Оптическая длина пути световой волны, распространяющейся в однородной среде с абсолютным показателем преломления n, равна произведению

геометрической длины r пути световой волны в данной среде на показатель преломления этой среды, т.е. . Тогда выражение

фазы световой волны можно представить через ее оптическую длину

где учтено, что волновое число k связано с длиной волны в среде λ и длиной волны в вакууме соотношениями:

Оптическая разность хода двух волн (когерентных) равна:

Тогда разность фаз Δ𝛗 двух когерентных волн (при условии, что ) можно выразить через их оптическую разность

хода Δ:

Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме

(m=0,1,2,…) (4)

то = ±2m, и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в одинаковой фазе.

Следовательно, (4) является условием интерференционного максимума.

Если оптическая разность хода равна нечетному числу

полуволн

(m=0,1,2,…) (5)

7

то = ±(2m + 1) , и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в противофазе.

Следовательно, (5) является условием интерференционного минимума.

Существуют различные способы получения

интерференционной картины. Частным случаем являются

«полосы равной толщины», примером которых служат «кольца

Ньютона».

Рис. 2

Ход лучей в отраженном свете при получении колец Ньютона.

Рис. 3

Ход лучей в проходящем

свете при получении колец Ньютона.

Их можно наблюдать при отражении световой волны от

поверхностей тонкой клиновидной прослойки, образованной поверхностью плоской стеклянной пластины и

соприкасающейся с ней выпуклой сферической поверхностью линзы большого радиуса кривизны R (рис. 2). При нормальном падении монохроматического света на плоскую поверхность

линзы наблюдаются интерференционные полосы в виде чередующихся концентрических темных и светлых колец.

Если интерференционная картина наблюдается в проходящем свете (рис.3), то она будет обратной по отношению

8

к картине в отраженном свете: там, где наблюдались темные кольца, будут наблюдаться светлые, и наоборот. Радиусы темных и светлых колец зависят от радиуса кривизны линзы и

длины световой волны. Их ширина и интенсивность убывает по мере удаления от центрального пятна.

Пусть на плоскую поверхность линзы нормально падает (рис.2) монохроматический свет длиной волны . Зазор между

линзой и пластинкой обозначим ( ): знак «плюс»

соответствует случаю, если в область контакта между линзой и пластинкой попадает пылинка размером , знак «минус» - в

случае сильного прижатия линзы к пластинке и величина деформации.

Выделим из падающего света один луч и рассмотрим его ход. В результате отражения от нижней поверхности линзы и

верхней поверхности плоской пластины образуются два когерентных луча (волны), которые интерферируют. Эти два луча имеют оптическую разность хода:

Следует учесть, что при отражении от оптически более плотной среды фаза отраженной электрической составляющей волны скачком изменяется на π, что равносильно дополнительной

разности хода

.

Таким образом, полная оптическая разность хода волн 1 и 2 (рис. 2) равна:

+

Условие минимумов (5) интерференции в отраженном

свете запишется в виде:

+

(m=0,1,2,…) (6)

где m – порядок интерференции (номер кольца Ньютона).

9

Рис. 4 Геометрические построения при определении толщины d

( ).

Из рис. 4 видно, что перпендикулярен диаметру 2R

окружности, опущен из

вершины прямоугольного треугольника, т.е. является

среднегеометрическим в прямоугольном треугольнике. Таким образом,

√

Учитывая, что ,

получим:

(7)

В лабораторной работе кольца Ньютона будут наблюдаться в проходящем свете (Рис.5). ). Лучи С' и С" будут когерентны. Разность хода у них в случае нормального падения

лучей будет равна:

Условие минимумов (5) интерференции в проходящем свете запишется в виде:

+

(m=1,2,…) (8)

Учитывая (7), условие минимумов приобретет вид:

+

(m=1,2,…)

Из полученной формулы выразим квадрат m-го темного кольца Ньютона:

(9)

При идеальном контакте =0 и

.

Как видно из формулы, радиус кольца зависит от

номера кольца, длины волны и радиуса линзы.

10

Получим формулу для целей экспериментального определения длины волны. Формула для квадрата радиуса m-го кольца запишется так:

(10)

Для квадрата радиуса k-го кольца:

(11)

Вычтем из выражения (11) выражение (10), получим формулу для вычисления :

(12)

Если построить график зависимости f(m),

откладывая по оси абсцисс номера темных колец, а по оси

ординат − квадраты их радиусов , то в соответствии с

формулой (10) должна получиться прямая. Вычислив тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс можно определить

радиус кривизны линзы:

(13)

где

; m и k − номера колец; −

соответствующие их радиусы.

2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

2.1 Описание установки.

Установка для наблюдения колец Ньютона показана на

рис. 5. На оптической скамье с левого края расположена ртутная лампа высокого давления в защитном футляре, в который

встроен двойной конденсор (f=60 мм), затем идут: держатель для светофильтров, устройство для получения колец Ньютона (регулировочные винты смотрят на лампу), линза ( f =50 мм) и

экран. Экран расположен на правом краю оптической скамьи. Расстояние между линзой и экраном 40 см.

11

Рис.5 Экспериментальная установка

2.2 Подготовка к эксперименту

2.2.1. Установите линзу на расстоянии 40 см от экрана.

Вплотную к линзе установите устройство для получения колец Ньютона. 2.2.2. Включите ртутную (Hg) лампу. Для этого вилку от

источника питания Hg-лампы включите в сеть. На задней панели источника включите кнопку «вкл».

2.2.3. Закрепите на экране лист белой бумаги. Предварительно в центре листа проведите две взаимно перпендикулярные линии, так называемые координатные оси.

2.2.4. После разогрева (в течение 10 минут) отрегулируйте траекторию хода лучей, сначала без

светофильтров. Двигайте устройство для получения колец Ньютона до тех пор, пока оно не будет оптимально освещено.

12

Меняя положение линзы добейтесь четкого изображения колец на экране.

2.2.5. В держатель для светофильтров вставьте зеленый

светофильтр. При помощи трех регулировочных винтов на устройстве для получения колец Ньютона добейтесь, чтобы

светлый центр колец интерференции находился в средней точке шкалы на экране. Убедитесь, что средняя точка шкалы совпадает с началом координатных осей.

2.3 Проведение эксперимента

2.3.1. Получив с зеленым (λ= 546 нм) светофильтром четкое изображение колец на экране, отметьте середины первых

восьми темных колец в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Снимите лист с экрана и измерьте линейкой их

диаметры. Полученные результаты занесите в табл.1. Рассчитайте среднее значение диаметра каждого

измеренного тёмного кольца. 2.3.2. Изображение колец на экране получается

увеличенным. Одно малое деление шкалы соответствует одному миллиметру (мм).

2.3.3. Аналогичные измерения проделайте с желтым (λ=

578 нм) и синим (λ= 436 нм) светофильтрами, данные занесите в табл.1.

Табл.1

№ с зеленым светофильтром, λ= 546 нм

с желтым светофильтром, λ= 578 нм

Измеренный

диаметр, мм

Действительный

радиус, мм

Измеренный

диаметр, мм

Действитель

ный радиус, мм

,

,

1

…

8

13

2.4 Обработка результатов эксперимента

2.4.1.Используя данные пункта 2.3.2, найдите

увеличение Г. 2.4.2.Рассчитайте действительный радиус каждого

темного кольца по формуле:

С Р Н

Данные занесите в табл.1

2.4.3. При данной длине волны проходящего монохроматического света, комбинируя попарно радиусы колец, по формуле (12) определить радиус кривизны линзы. При этом, в

целях повышения точности результатов, рекомендуется комбинировать радиусы колец, отстоящих как можно дальше

друг от друга. Например, m=1 и k=4; m=2 и k=5. Результаты занесите в табл.2. Найдите среднее значение .

Табл.2

Номера комбинирующих колец

, м , м , м

m

1 4

…

4 8

=

2.4.4.Рассчитайте абсолютную Δ и относительную

погрешность δ определения радиуса кривизны линзы. Окончательный результат запишите в виде: = .

2.4.5. По данным табл.1 постройте в одной системе координат три графика

f (m): для желтого, зеленого и

синего проходящего света. 2.4.6. Зная длину волны проходящего света, рассчитайте

из тангенса угла наклона прямой по формуле (13) радиус кривизны линзы.

14

Контрольные вопросы:

1. В чем состоит явление интерференции? 2. Условия наблюдения интерференции света.

3. Вывести условия усиления и ослабления света при интерференции двух волн.

4. Условия максимумов и минимумов для колец Ньютона в отражённом и проходящем свете.

5. Вывести формулы радиусов m-го светлого и темного

колец Ньютона в отражённом и проходящем свете. 6. Почему при освещении белым светом кольца Ньютона

цветные? 7. Что будет наблюдаться в центре интерференционной

картины, если наблюдения проводить в проходящем

свете? В отраженном свете? 8. Где плотнее расположены интерференционные кольца: в

центре или на периферии? Почему? 9. Как влияет радиус кривизны линзы на

интерференционную картину?

10. Как изменится расстояние между кольцами Ньютона с увеличением показателя преломления вещества в зазоре

между линзой и пластинкой?

Литература:

1. Савельев, И. В. Курс общей физики: учеб. пособие / И. В.

Савельев. – СПб.: Лань, 2005. – Т. 2. – § 122. 2. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.2. Изд.10, М.,

Физматлит, 2008. § 122. 3. Ландсберг Г.С. Оптика, Изд.6, М., Физматлит, 2006. §§25,

26.

4. Сивухин Д.В. Общий курс физики. т.4. Оптика. Изд.3. М., Физматлит, 2005. § 33.

5. Бутиков Е.И. Оптика. Изд.2, С-Пб., Невский диалект, 2003. § 5.1, § 5.3.