© 2008, РАН,Фонд Осипьяна, «Квант»

ПРЕДСЕДАТЕЛЬРЕДАКЦИОННОЙ КОЛЛЕГИИ

Ю.А.Осипьян

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

С.С.Кротов

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

А.Я.Белов, Ю.М.Брук, А.А.Варламов,А.Н.Виленкин, В.И.Голубев, С.А.Гордюнин,

Н.П.Долбилин (заместитель главногоредактора), В.Н.Дубровский,

А.А.Егоров, А.В.Жуков,А.Р.Зильберман, В.В.Кведер (заместитель

председателя редколлегии), П.А.Кожевников,В.В.Козлов (заместитель председателя

редколлегии), С.П.Коновалов, А.А.Леонович,Ю.П.Лысов, В.В.Произволов, Н.Х.Розов,

А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин,В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, В.М.Уроев,

А.И.Черноуцан (заместитель главногоредактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, В.И.Арнольд, М.И.Башмаков,В.И.Берник, В.Г.Болтянский, А.А.Боровой,

Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, С.П.Новиков,Л.Д.Фаддеев

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ19 7 0 ГОДА

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

И.К.Кикоин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков,В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн,

Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов,П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров,

В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский,А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков,

Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов,А.П.Савин,И.Ш.Слободецкий,

М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский,В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Учредители — Российская академиянаук, Фонд поддержки

фундаментальной науки иобразования (Фонд Осипьяна),

ИФТТ РАН

Бюро Квантум

Н А У Ч Н О - П О П У Л Я Р Н Ы Й Ф И З И К О - М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й Ж У Р Н А Л

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1 9 7 0 ГОДА

В номере:

ЯНВАРЬ

ФЕВРАЛЬ Ю№120

08©

К 100-летию И.К.Кикоина2 О Кикоине, единицах СИ и стандартах. Ю.Брук3 «Вот Квант, который построил Исаак...» А.Савин4 Ударные волны и детонация. Л.Белопухов

9 Множества Жюлиа. Н.Долбилин

Н А Ш К А Л Е Н Д А Р Ь

15 Лев Давидович Ландау

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »

16 Задачи М2071–М2080, Ф2078–Ф208717 Решения задач М2051–М2055, Ф2063–Ф2072

К М Ш

25 Задачи26 Конкурс имени А.П.Савина «Математика 6–8»26 Призрак Леонардо. А.Акулич

Ш К О Л А В « К В А Н Т Е »

30 Три эссе на физические темы. Р.Винокур

34 Тема с вариациями. В.Эпштейн

К А Л Е Й Д О С К О П « К В А Н Т А »

32 Тепловое равновесие

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В

36 Не пренебрежем трением качения... А.Стасенко

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К

38 Оригами и построения. А.Петрунин

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А

40 Эта «простенькая» кинематика. В.Трояновский

И Н Ф О Р М А Ц И Я

44 Малый мехмат МГУ

В А Р И А Н Т Ы

45 Материалы вступительных экзаменов 2007 года

53 Ответы, указания, решенияНаша обложка (14)

Н А О Б Л О Ж К Е

I Иллюстрация к статье Н.ДолбилинаII «Невозможные» объектыIII Шахматная страничка

IV Коллекция головоломок

В праздновании 100-летнего юбилея академикаИ.К.Кикоина финансовое участие принимаетОАО «ТЕХСНАБЭКСПОРТ»

О Кикоине, единицах СИи стандартах

Ю.БРУК

К 1 0 0 - Л Е Т И Ю И . К . К И К О И Н А

ИДЕЯ О ТОМ, ЧТО ВСЕ УЧЕБНИКИ ФИЗИКИ ДЛЯшкол и вузов надо писать, используя Между-народную систему единиц, т.е. СИ, в середине

80-х годов прошлого века стала чуть ли не государ-ственным стандартом. Разумеется, всякие учебныепособия можно писать, используя разные системыединиц. Важно лишь, чтобы студент, школьник илиуже взрослый специалист умел переводить единицыСИ, скажем, в единицы системы СГС или наоборот.

Однако стремление облегчить жизнь изучающимфизику и пользоваться одной-единственной системойединиц может довести идо абсурда. Так, дляучебников физики, покоторым учатся в техни-ческих вузах, единицыСИ действительно удоб-ны, особенно если иметьв виду технические при-ложения (скажем, изме-рять ток в амперах, элек-трическое напряжение ввольтах, а длину в мет-рах). Но это, в извест-ном смысле, дело при-вычки. Студенты же фи-зических вузов (факуль-тетов) должны ясно по-нимать, что в теорети-ческой физике Между-народная система еди-ниц неудобна хотя бы потому, что размерности векто-ров, входящих в уравнения Максвелла – основныеуравнения электродинамики, – в этой системе разные.Можно, конечно, и уравнения Максвелла записыватьв единицах СИ, но удобнее писать их в системе СГС.

Вот почему попытка «узаконить» одну систему еди-ниц и изгнать из печатных изданий другие, напримерсистему СГС, вызывала у преподающих и изучающихфизику ощущение неправильности. С другой стороны,отказ от этого приводил к конфликтам с издателями,редакторами и не очень грамотными читателями.

Исаак Константинович Кикоин (ИКК) не был, ко-нечно, «железным сторонником» единиц СИ, но онбыл еще и одним из руководителей комиссии по

школьным учебникам в Министерстве просвещенияСССР. А учебники полагалось, как уже говорилось,писать, используя именно эту систему единиц. Конеч-но, и журнал «Квант» в физических статьях перешелна единицы СИ.

Случилось так, что к 70-летию академика Я.Б.Зель-довича было решено напечатать его популярную ста-тью о космологии. Называлась статья «Вселенная».

Яков Борисович был идеальным автором для попу-лярного журнала. Он тщательнейшим образом самотредактировал свою статью, она не требовала никакой

дополнительной правки.Исаак Константиновичже был идеальным глав-ным редактором – всестатьи по физике, гото-вящиеся для публикациив «Кванте», он читал са-мым внимательнейшимобразом. Я выступал вформальной роли редак-тора статьи Зельдовича.Никаких проблем со ста-тьей вроде бы не было,но показать ее ИКК по-лагалось.

Договорившись о ви-зите, я приехал в назна-ченное время к ИКК до-мой и молча сидел надиване в его кабинете,

пока он читал статью. ИКК читал медленно и был какбудто доволен. Но неожиданно его густые брови попол-зли навстречу друг другу, и на лице обозначилосьсостояние, которое я определил как ожидаемую бурю.Кончив читать, ИКК отодвинул текст, помолчал исказал мне:

– Не пойдет.– Исаак Константинович, – возразил я, – что же Вам

не нравится? Статья-то очень хорошая.– Да, – сказал ИКК, – статья хорошая, но не пойдет.

Яков Борисович написал ее, используя единицы СГС,а должны быть единицы СИ.

Надо сказать, что в этом конкретном случае пробле-мы не было. Достаточно было заменить граммы на

О К И К О И Н Е , Е Д И Н И Ц А Х С И И С Т А Н Д А Р Т А Х 3

килограммы, а сантиметры на метры. Третья единица,используемая в статье, была секунда, но она секунда ив СИ, и в СГС. Тем не менее, я осмелился сказать, чтотакая замена может не понравиться автору, потому чтов космологии не принято использовать в научныхтекстах метры, более привычно использовать санти-метры или уж парсеки.

– Я сейчас позвоню Зельдовичу, – произнес ИКК инабрал его номер.

– Яша, – сказал ИКК в трубку, – ты написалзамечательную статью, и мы ее к твоему дню рожденияв «Кванте» напечатаем. Но надо единицы СГС (см, г,с) заменить на единицы СИ (м, кг, с).

Что ответил Зельдович, я не знаю, но на лице ИККопять обозначилась буря. Положив телефонную труб-ку, он сидел некоторое время молча, а потом сказалмне:

– Яша говорит, что если он будет писать в единицахСИ, то над ним все смеяться будут.

– И что же будем делать? – спросил я.– Ничего, – сказал ИКК, – оставим в статье единицы

СГС. Но в скобках напишем еще и единицы СИ.После этого он, наконец, улыбнулся, и я понял, что

бури не будет.Может быть, этот эпизод и не заслуживает столь

длинного изложения. Но мне кажется важным еще разподчеркнуть, что ИКК абсолютно все понимал. Онвовсе не был упрямым, но был дисциплинированным.То, что полагалось требовать от других, он старалсявыполнять и сам. И еще. Я.Б.Зельдович и К.К.Кикоинбыли людьми очень ответственными, они не моглиотдать в печать статью, которая в каком-либо смыслевыглядела бы «сырой».

Такая вот история.

Вот Квант, который построил Исаак,А вот ученица,Которая изредка любит хвалиться,Что все понимает на целой страницеВ Кванте, который построил Исаак.

Вот автор статьи – знаменитый ученый,Который писал ее так увлеченноДля этой без меры серьезной девицы,Которая изредка любит хвалиться,Что все понимает на целой страницеВ Кванте, который построил Исаак.

А вот рецензент – давний член редсовета,Который прочел сочинение это,Представив себя симпатичной девицей,Которая тщетно мурыжит страницу,Пытаясь понять то, о чем говоритсяВ Кванте, который построил Исаак.

А это редактор, статью эту правивший,Лишь автора имя на месте оставивший,Чтоб даже тупейшая в мире девицаСмогла хоть единожды в год похвалиться,Что все понимает на целой страницеВ Кванте, который построил Исаак.

А это художник в глубокой прострацииПытается выдумать те иллюстрации,Которые так очаруют девицу,Что сходу она прочитает страницуВ Кванте, который построил Исаак.

Вот главный редактор – большой академик,Он правит (за это не требуя денег),Чтоб делалось все только так и вот так,Поскольку он есть этот самый Исаак,Который по уши влюбился в девицу,Которая пальчиком тычет в страницу,Пытаясь понять то, о чем говоритсяВ Кванте, который построил Исаак.

«ВОТ КВАНТ, КОТОРЫЙ ПОСТРОИЛИСААК...»

А.САВИН

Это стихотворение взято из специального номера журнала«Квант», выпущенного в единственном экземпляре к 75-летиюИ.К.Кикоина.

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 14

Ударные волны и детонацияЛ.БЕЛОПУХОВ

К 1 0 0 - Л Е Т И Ю И . К . К И К О И Н А

ВСТАТЬЕ «ВЗРЫВ» ГОВОРИЛОСЬ О ТОМ, ЧТОвсякий взрыв обязательно сопровождается обра-зованием ударных волн в пространстве и что

ударная волна есть непременный элемент детонацион-ного взрывного процесса во взрывающейся газовой(или пылевоздушной) среде и в конденсированномвзрывчатом веществе.

Немного о газовой динамике

Ударные волны – это очень интересное явлениеприроды. Их существование было предсказано многи-ми учеными, в частности знаменитым математикомРиманом. Его имя связано прежде всего с развитиемидей своего учителя Гаусса в области геометрии. В 1854году 28-летний Риман дал общую идею математическо-го пространства, а затем подробно разработал одну изнеевклидовых геометрий, с тех пор носящую его имя.Но Риман внес вклад во многие области математики.Так, в работах по теории дифференциальных уравне-ний он обнаружил (на бумаге) возможность ударныхволн. Именно по этому поводу возникло крылатоеизречение – «явление возникло на кончике пера теоре-тика».

Дифференциальные уравнения, которые исследовалРиман, представляют собой математический аппаратнауки, которая называется газовой динамикой. Онаизучает, как следует из названия, движение воздуш-ных масс, в частности бури и ураганы, течение газа потрубам, движение газа в турбинах и соплах ракетныхдвигателей и многое другое.

Основным газодинамическим уравнением являетсязакон Ньютона, примененный к элементу газовой сре-ды (в этом случае оно называется уравнением Эйлера).Но поскольку элемент газа при движении изменяетсвою плотность, а часто и температуру, то кромесиловых необходимо использовать и энергетические(термодинамические) уравнения.

Одним из простых следствий решений системы урав-нений газовой динамики является волновое уравнение,в котором скорость волны для идеального газа зависиттолько от температуры. Это – звуковые волны, т.е.продольные колебания элемента газа. Скорость звукаравна

RTv

γ

Μ= ,

где Т – абсолютная температура, М – молярная масса,R – универсальная газовая постоянная, γ – показательадиабаты, равный отношению теплоемкостей при по-стоянном давлении и постоянной температуре. Длявоздуха при температурах меньше 1000 К показательадиабаты равен 1, 4. Скорость звука при этом равна

( )20 м сv T= ,

что дает для стандартных условий 342 м/с.Если же учитывать неидеальность газа, возможность

высоких температур, при которых показатель адиаба-ты непостоянен и выражается сложной функцией пара-метров состояния, то система газотермодинамическихуравнений становится довольно сложной.

Поскольку газовая динамика не интересуется отдель-ными атомами или молекулами, а рассматривает эле-мент газа, который в теории может быть бесконечномалой величиной, то в дифференциальных уравненияхгазовой динамики и в их решениях все параметрысостояния – непрерывные функции координат и време-ни. Но в 1860-е годы Риман показал, что существуетособое решение системы газотермодинамических урав-нений. Не общее решение, методы получения которогоон разрабатывал, и не частные решения, которыевытекают из общего решения при использовании на-чальных и граничных условий, а именно особое реше-ние, которое нельзя получить стандартными математи-ческими методами. Это особое решение представляетсобой разрыв функций давления, плотности и скоростидвижения среды, т.е. мгновенный, не имеющий шири-ны скачок параметров. Этот скачок и получил названиеударной волны.

Слово «волна» не совсем точно передает характерявления, поскольку в обычном понимании волна ха-рактеризуется периодичностью, частотой, а скачок –это однократное резкое изменение. Правильнее былобы назвать явление ударным импульсом.

Возникновение ударной волны

Образование ударной волны проще всего предста-вить на примере плоского движения газа в трубе, вкоторую вдвигается ускоряющийся поршень. Когдапоршень приходит в движение и начинает перемещатьи сжимать прилегающий к нему слой газа, известие обэтом событии (повышении давления и плотности)распространяется в газе со скоростью звука. В газевозникает «кусок» волны сжатия (четверть волны) сПродолжение. Начало – статью «Взрыв» – см. в «Кванте»

№6 за 2007 год.

У Д А Р Н Ы Е В О Л Н Ы И Д Е Т О Н А Ц И Я 5

непрерывным распределением параметров (рис.1,а).Но повышение давления и плотности соответствуетповышению температуры. Это означает, что скоростьзвука за началом (фронтом) волны сжатия непрерывноувеличивается, достигая максимума на границе газа с

поршнем. Поэтому по мере движения поршня и увели-чения его скорости возмущения от него с известием овозрастании давления и плотности догоняют переднюючасть волны сжатия и усиливают ее (рис.1,б).

Со временем форма волны сжатия изменяется. Этопроисходит по двум причинам. Во-первых, как ужеговорилось, в волне непрерывно увеличивается тем-пература, следовательно, увеличивается и «местная»скорость звука. А во-вторых, скорость звука складыва-ется со скоростью поршня, которая также непрерывноувеличивается. Профиль волны становится совершен-но непохожим на четверть синусоиды (рис.1,в). Каза-лось бы, участок волны с давлением Ap сможет дажеперегнать участок с давлением Bp . Но эта ситуацияабсурдна, ибо в одной точке х не может быть двухразных давлений.

Развитие волны сжатия будет происходить по друго-му сценарию. Сначала может появиться вертикальнаякасательная (рис.1,г), а потом и полноценный скачок– ударная волна (рис.1,д). Естественно, что скоростьперемещения разрыва, т.е. скорость ударной волны,больше скорости звука в невозмущенном газе и большескорости движения газа (но не звука) за фронтомволны.

Во времена Римана термодинамика еще только созда-валась, и он изучал не конкретные уравнения, вкоторые входят параметры газа (например, показательадиабаты), а математические методы нахождения ре-шений систем уравнений, похожих на уравнения газо-вой динамики. И математика подсказала возможностьособого решения – скачка параметров. Но ученые,развивавшие газовую динамику, не верили в то, чтотакие скачки могут реально существовать в природе –мало ли что могут показать математические «игры».Кажется, и сам Риман был в числе сомневающихся.

Сто лет назад проверить наличие ударных волн

экспериментом было невозможно – соответствующиеприборы не имели необходимого разрешения по време-ни и могли зафиксировать только усредненные величи-ны. Но внезапный и сильный звук при грозе иливзрывах приводил к мысли о существовании этогоявления. Выявлены были и другие скачки – например,внезапный переход некоторых магнетиков из парамаг-нитного состояния в ферромагнитное и иные так назы-ваемые фазовые переходы второго рода, в которыххарактеристики вещества меняются скачкообразно.Примером скачка может служить и резкое изменениехарактера излучения энергичных электронов системы,когда их концентрация достигает определенной вели-чины (лазеры и мазеры). И все это разрешено фунда-ментальными законами природы.

Уравнение Гюгонио

Приведенное рассмотрение механизма образованияударных волн при всей его элементарности былосделано только в начале XX века и тогда же былонайдено соотношение между параметрами состояниядо и после разрыва. Для этого оказалось достаточноиспользовать закон Ньютона, закон сохранения энер-гии (первое начало термодинамики) и условие отсут-ствия местных скоплений газа (закон непрерывностимассы), или, другими словами, закон постоянстварасхода газа, отнесенного к площади сечения трубы.Эти уравнения легко написать. Сделаем это.

Один и тот же элемент газа до ударной волны имеетмассу 0 0 0 0V Sv tρ ρ ∆= , где 0ρ и 0v – плотность искорость движения этого элемента, S – сечение трубы,

t∆ – время прохождения элемента газа через фронтволны, а за фронтом волны его масса равна Sv tρ ∆ ( ρи v – параметры газа за фронтом).

Запишем закон Ньютона в виде

0 0mv m vF

t∆

∆

-= .

Поскольку

( )0F pS p p S∆ ∆= = - ,

имеем2 2

0 0 0p p v vρ ρ- = - .

Закон сохранения энергии в данном случае совпадаетс законом Бернулли:

2 20 0

00 2 2

p v p vu u

ρ ρ+ + = + + ,

где 0u и u – внутренние энергии элемента газа, врасчете на единицу массы, до и после фронта волны.

Закон непрерывности массы можно записать в виде

0 0Sv t Sv tρ ∆ ρ ∆= , или 0 0v vρ ρ= .

Для идеального газа

00

0

1

1

pu

γ ρ=

-,

1

1

pu

γ ρ=

-.

Из написанных уравнений несложно получить такоесоотношение:

( ) ( )

( ) ( )0

0 0

1 1

1 1

p

p

γ ρ γ ρ

γ ρ γ ρ

+ - -=

+ - -.

Рис.1. Профиль давления в трубе (р – давление, х – расстояние отпоршня)

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 16

Это соотношение можно упростить, если учесть, чтодля воздуха (двухатомный газ) 1,4γ = , и перейти отплотностей к удельным объемам:

0

0

0

6

6 1

V

p VVpV

-=

-.

Два последних выражения называют уравнением Гю-гонио (в честь французского ученого, получившего ихв 1903 году), а соответствующие графики – адиабатойГюгонио.

На рисунке 2 представлены (в полулогарифмичес-ком масштабе) три кривые: кривая 1 соответствуетизотермическому процессу, кривая 2 – адиабатическо-

му (для воздуха),кривая 3 – это адиа-бата Гюгонио. При неочень сильном сжа-тии, например в 2раза, соответствую-щие значения относи-тельного давлениянемного отличаютсядруг от друга и со-ставляют 2; 2, 7 и2, 75. Но когда отно-сительное сжатие рав-но 6, то соответству-ющие значения дляотносительного давле-

ния составляют 6; 12, 3 и… бесконечность. Согласноударной адиабате, при сильном (почти шестикратном)сжатии давление в ударной волне может скачкомвозрасти до огромной величины. А это значит (всоответствии с уравнением состояния), что до огром-ной величины может подскочить и температура.

При обычном адиабатическом сжатии в 5,75 разаабсолютная температура возрастает в 2, 45 раза – по

уравнению адиабаты 1

0

0

VT

T V

γ-ж ц= з чи ш . А по уравнению

Гюгонио температура увеличивается в 23,3 раза – от300 К до 6990 К, что выше температуры излучающегослоя Солнца (6000 К).

При ядерном взрыве образуется сильная ударнаяволна, в которой давление возрастает в 1000 и болеераз. Температура при этом, согласно уравнению Гю-гонио, возрастает в 167 раз! Правда, более точныерасчеты приводят к увеличению температуры в этомслучае «всего» в 47 раз, т.е. до 14000 К. Ударнаяволна выглядит при этом как сверхраскаленный (ог-ненный) шар, который ярче Солнца в 1000 раз. (Приэтом расчете нужно учесть, что энергия излученияпропорциональна четвертой степени абсолютной тем-пературы, а огненный шар видится на расстоянии10 км от ядерного взрыва под углом в 5,3 разабольше, чем солнечный диск). Вот почему первая вмире популярная книга о ядерных взрывах (амери-канского ученого Р.Юнга) имела название «Ярче ты-сячи солнц».

Физика ударной волны

Но есть еще одно важнейшее отличие ударногосжатия от изотермического или адиабатического. Еслиснять давление за фронтом ударной волны (например,тем или иным способом вернуть поршень в начальноеположение), то газ после разгрузки не вернется висходное состояние с параметрами 0p , 0ρ , 0T . Удар-ное сжатие – процесс необратимый. При расширениисжатого в ударной волне газа не может образоватьсяударная волна расширения. Давление и плотность газаи убегающего назад поршня будут уменьшаться, иинформация об этом не будет накапливаться, как вслучае сжатия, поскольку скорость звука теперь околопоршня меньше, чем вдали от него, где температураеще не успела понизиться. Поэтому ударный фронтбыстро «размоется», скачок исчезнет, и переход сжа-того газа в исходное состояние будет происходитьобычным адиабатическим путем. А это значит, что еслиплотность газа и объемвернутся к первона-чальным значениям(масса газа не изме-нится), то давлениегаза будет больше ис-ходного (рис.3). Боль-ше будет и его темпе-ратура.

Таким образом, про-цесс «ударное сжатие– адиабатическое рас-ширение» приводит кнеобратимому нагреву газа. Это означает, что работа,затраченная на ударное сжатие газа, не компенсирует-ся работой газа при его расширении. Часть работы«застревает» в газе, как при всяком необратимомпроцессе. Адиабата Гюгонио не является графикомобратимого процесса, а просто отражает соотношениепараметров газа до и после ударного скачка. Приударном сжатии физический смысл имеют только дветочки ударной адиабаты – начальная и конечная.Можно сказать, что ударная адиабата – это геометри-ческое место точек на графике зависимости давления отудельного объема (или об плотности), достижимыхпутем ударного сжатия газа из данного начальногосостояния.

А как изменится газодинамическая теория, еслиучесть реальность молекулярной структуры газа? Приэтом придется учитывать передачу энергии и импульсаот одних молекул к другим за фронтом волны, т.е. такназываемые нестационарные явления переноса. Кромегазодинамических уравнений нужно будет учесть иуравнения нестационарной термодинамики – уравне-ния вязкости (передачи импульса) и теплопроводности(передачи кинетической энергии). Эта более сложнаязадача принципиально решаема, хотя аналитическоерешение возможно лишь для некоторых упрощенныхслучаев. В результате решения можно определитьтолщину ударного фронта, который уже не будетразрывом в математическом смысле. Для не оченьсильных ударных волн эта толщина оказывается по-

Рис.2. Изотерма (1), адиабата (2) иадиабата Гюгонио (3) Рис.3. Адиабата Гюгонио (1) и адиа-

бата разгрузочного процесса (2)

У Д А Р Н Ы Е В О Л Н Ы И Д Е Т О Н А Ц И Я 7

рядка нескольких длин свободного пробега молекул вневозмущенном газе ( 610 м-

: ), а в пределе с увели-чением интенсивности волны стремится к одной длинесвободного пробега ( 710 м-

: ).Молекулярно-кинетическая теория ударных волн

вносит поправки и в адиабату Гюгонио, точнее ввеличину показателя адиабаты γ . С учетом колеба-тельного движения атомов в двухатомных молекулахдля воздуха 9 7 1,286γ = » . Соответственно, уравне-ние адиабаты Гюгонио принимает вид

0

0

0

8

8 1

V

p VVpV

-=

-,

а предельно возможное сжатие в волне для идеальногогаза получается уже не 6, а 8.

Как возникают ударные волны?

Кроме разобранного примера движения поршня втрубе, удобного для теории (одномерная задача), удар-ные волны возникают во многих случаях сверхзвуко-вых движений. Например, при сверхзвуковом истече-нии газа из ракетного сопла внутри него, недалеко отвыхода, возникает скачок давления. При сверхзвуко-вом движении какого-либо тела в воздухе (например,самолета) оно действует на воздух, как поршень, и ввоздухе возникает коническая ударная волна, сопро-вождающая летящее тело. Если такая ударная волнадостигает поверхности земли, то она может произвестиразрушительный эффект (поломку крыши, разруше-ние оконных рам и стекол и т.п.). Поэтому переходитьот дозвуковой скорости к сверхзвуковой (преодолевать«звуковой барьер») самолетам разрешается только наопределенной высоте, когда интенсивность сопровож-дающей самолет ударной волны при достижении зем-ной поверхности ослабевает до безопасной величины.Человек при этом слышит резкий звук с раскатами,очень похожий на звук при взрыве.

Самый же распространенный случай возникновенияударных волн – это взрывы. Ударные волны сопро-вождают все виды взрывов – подземные, подводные,приземные и воздушные, независимо от их природы. Встатье «Взрыв» рассматривались взрывы различнойприроды – химические, ядерные, тепловые, электри-ческие, механические. Общее для всех взрывов свой-ство – достаточно быстрое (внезапное) превращениечасти энергии, содержащейся в источнике взрыва, вкинетическую энергии продуктов взрыва.

В случае сферической симметрии источника взрывапочти при всех типах взрыва возникает сферический«поршень», представляющий собой сильно сжатый инагретый газ, стремящийся расширяться. В окружаю-щей среде (воздухе) образуется сферическая ударнаяволна. Поскольку ускоряющийся вначале газовый пор-шень по мере увеличения размеров замедляет своедвижение (прежде всего, за счет сферичности расши-рения), за ударной частью волны следует волна разре-жения. Мгновенный профиль давления в такой волнеизображен на рисунке 4.

Было получено (впервую очередь длявоенных целей) вы-ражение для давле-ния во фронте удар-ной воздушнойвзрывной волны какфункции расстоянияот точки взрыва. Из общих соображений теории подо-бия в механике сплошных сред это давление должно

быть функцией величины 3

q

r, где q – энергия взрыва,

r – расстояние от точки взрыва. Для химическихвзрывчатых веществ, например,

2 3 1 3

ф 3 3 30,7 0,27 0,084q q q

pr r r

∆ж ц ж ц= + +з ч з чи ш и ш

,

где фp∆ – избыточное давление во фронте ударнойволны, измеряемое в мегапаскалях, q измеряется вкилограммах тротилового эквивалента, r – в метрах.Численные значения коэффициентов в этом выраже-нии были впервые экспериментально получены в40-х годах прошлого века М.А.Садовским, а теорети-ческое обоснование формулы было выполнено в то жевремя Л.И.Седовым в СССР и Э.Тейлором в Англии.

Воздействие ударных волн

Основным фактором воздействия ударной волны напрепятствие является давление во фронте волны. Од-нако не представляется возможным однозначно сопос-тавить давление с характером воздействия волны.Кроме давления существенным оказывается и времядействия волны сжатия. Так, например, разрушениерам, стекол и крыш при взрыве 1 килограмма тротиламожет происходить на расстоянии 10 метров от взрыва.При таком же отношении 3q r для ядерного взрыва,у которого q в 910 раз больше («мегатонная» водород-ная бомба), на расстоянии 1 километр действие удар-ной волны будет гораздо сильнее (вплоть до полногоразрушения зданий), а стекла вылетят при этом нарасстоянии вплоть до 20 километров. А если еще будетдуть сильный ветер, то по направлению этого ветраразрушение окон может произойти и в 50 километрахот взрыва.

Очень сложно и неоднозначно воздействие ударныхволн на живой организм. При сильной контузии (близ-кой к летальному исходу) поражающим факторомоказывается удар по грудной клетке, в результатекоторого в легких происходит закупорка воздушныхпутей. Для килограмма тротила это возможно нарасстоянии около 3 метров. При мегатонном взрывеударная волна поражает на расстоянии до 24 километ-ров. Легкой контузией считается поражающий удар побарабанным перепонкам. Для килограмма тротила этопроисходит на расстоянии около 5 метров, а для«мегатонника» – до 20 километров ( без ветра).

Но при взрывах разрушающее и поражающее дей-ствие чаще всего оказывает не воздушная взрывнаяволна, а местное (близкое к взрыву), так называемоебризантное действие и метательное действие взрыва.

Рис.4. Мгновенный профиль сферичес-кой взрывной волны (p0 – атмосфер-ное давление)

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 18

Так, для разрушения большого строения иногда доста-точно небольшого заряда, заложенного непосредствен-но внутрь (или рядом) с опорной конструкцией. Апоражение людей производится либо оболочкой взрыв-ного устройства (граната «лимонка»), либо специаль-но заложенными в устройство мелкими металлически-ми предметами.

При ядерных взрывах к действию ударной волныдобавляются и такие поражающие факторы, как тепло-вой (излучение огненного шара) и радиационный.

Ударные волны возникают не только в воздухе. Приочень больших давлениях способность твердого теласохранять свою форму теряется, и вещество «течет»подобно газу. Но, конечно, другое соотношение междудавлением и плотностью приводит к другому уравне-нию ударного сжатия, нежели адиабата Гюгонио длягаза.

Наибольшее давление, которое может создать хими-ческий взрыв в контакте с твердым телом, порядка

83 10Ч  Па (или 300000 атм). Если окружить твердо-тельный шар взрывчатым веществом, при его взрывев твердом теле возникнет сферическая сходящаясяударная волна, которая, отразившись «сама от себя»,даст рекордное давление в веществе – до 1210 Па(или 10 млн атм). При этом, правда, возрастает итемпература, что затрудняет научное исследованиевещества при таких сверхвысоких параметрах.

Сжатие твердого тела сходящейся волной использу-ется в конструкциях ядерных бомб, которые могутнайти (и находят) применение в мирных целях, а не вцелях уничтожения культуры.

Детонация и ее возникновение

Детонация – это особое волновое (точнее, импульс-ное) явление, когда химическая реакция распростра-няется по веществу со сверхзвуковой скоростью. На-пример, скорость детонационной волны в тротилесоставляет 7 км/с, а в не менее печально известном внаше время гексогене – около 9 км/с. Есть взрывчатыевещества со скоростью детонации 13 км/с. А скоростьзвука в веществах такого типа (точнее, скорость рас-пространения продольных упругих колебаний) – по-рядка 3 км/с.

Как объяснить такие большие скорости распростра-нения химических реакций? В газовых смесях возни-кает быстрое горение. При этом перенос температурыот горючей смеси к еще не воспламенившейся проис-ходит за счет теплопроводности и за счет диффузииактивных центров реакции – свободных радикалов.Скорости переноса частиц и температуры много мень-ше скорости звука, поэтому скорость горения в газахпорядка 20 м/с, а скорость горения твердых смесей(порохов) порядка 100 м/с.

Большая скорость детонации объясняется другимипричинами. Детонация – явление не только химичес-кое, но в большой степени и газодинамическое. Онаобъясняется распространением ударных волн. В удар-ной волне, где повышаются давление и температура,резко возрастает скорость химической реакции. Выде-ляющаяся при этом энергия (скорость движения час-

тиц) играет роль поршня, сжимающего еще не проре-агировавшее вещество ударным (а не обычным адиаба-тическим) способом. Таким образом детонационнаяволна сама себя поддерживает.

Интересны процессы возникновения детонации вконденсированных средах. У многих взрывчатых ве-ществ она начинается только при определенных идостаточно сильных воздействиях. Тротиловые шашки(кирпичики, похожие на мыло) можно поджечь, и онибудут гореть, чадя, как плохие дрова (партизанычастенько использовали их для растопки в сыруюпогоду). Для того чтобы тротил сдетонировал, нужноприменить ударное воздействие – произвести взрывсначала в капсюле-детонаторе. Ударная волна этого«провокатора» в свою очередь заставит сдетонироватьтротиловую шашку. А в капсюле-детонаторе содержит-ся другое, гораздо более чувствительное взрывчатоевещество, которое может сдетонировать при неболь-шом ударе (гремучая ртуть). Сейчас чаще применяютэлектродетонаторы, в которых находится специалноевещество – азид свинца, легко детонирующее от нагре-ва (от проволочки, по которой пропускается ток).

Очень многое в детонационных процессах еще оста-ется загадочным и ждет своих исследователей.

Взрыв-спаситель

Ударные волны и детонационные процессы играютважную роль и при ядерных взрывах. Эти взрывныеявления станут темой следующей статьи из «взрыв-ной» серии. Я уверен, что когда-нибудь настанет пораглобализаци большинства земных государств и навсег-да исчезнет опасность ядерной войны, а ядерные взры-вы вновь с успехом будут применяться в самых разно-образных мирных целях.

Может быть, именно ядерные взрывы спасут челове-чество от глобальной катастрофы – столкновения на-шей планеты с астероидом или кометой. СпециалистыЦентра космических полетов имени Маршалла, входя-щего в состав NASA, уже разработали модель аппарата,предназначенного для этой цели. Корабль-перехват-чик будет иметь до шести ядерных боеголовок, кото-рые, поочередно взрываясь на поверхности астероида,придадут импульсы, переводящие его на другую траек-торию, безопасную для Земли.

Одной из первых целей кораблей-перехватчиковможет стать астероид Апофис, который по предвари-тельным расчетам в 2029 году пролетит мимо Землина расстоянии около 37000 км, что примерно соответ-ствует высоте геостационарной орбиты. При последу-ющем «визите» он сможет под действием земноготяготения и упасть на Землю. Диаметр этого астерои-да около 400 км, масса порядка 202 10 кгЧ . Это по-больше, чем весь австралийский материк. Масштабыкатастрофы невозможно даже представить – вряд липосле этого сможет сохраниться жизнь на Земле.

Так что взрыв-воитель, который бывает и взрывом-работником, может стать и взрывом-спасителем.

(Продолжение следует)

Множества ЖюлиаН.ДОЛБИЛИН

Вместо пролога: воспоминаниео давнем путешествии

В далеком 1968 году мне посчастливилось совершитьпутешествие в Карпаты с моим учителем, выдающимсяматематиком Борисом Николаевичем Делоне. В одинпасмурный день во время прогулки я оказался на седлепод вершиной Говерла. В спускавшемся на востокцирке, в метрах 100 ниже седла, бурлил мощныйпоток. Это был исток реки Прут. Склон, сбегавший наюго-запад, быстро углубляясь, переходил в ущелье, изкоторого вытекала речка Говерлянка. Надо мной нави-сал интенсивно таявший (дело было в начале мая)снежник. Часто падавшие с огромной сосульки каплиобразовывали почти непрерывную струйку. Сильныйветер, поднимавшийся с юго-западного цирка, сносилэту струйку на восточный склон обледенелой площад-ки под снежником, откуда вода уходила вниз, к Пруту,впадающему в Дунай. Но как только ветер на мгнове-ние стихал, вода вертикально падала на площадку,наклоненную к западу, и стекала в другую сторону, кГоверлянке, которая много ниже впадала в Тису, а та– в Дунай. И хотя рано или поздно эти «восточный» и«западный» потоки сливались в один (вблизи устьяДуная), достаточно было взглянуть на карту, чтобыпонять, какая разная у них складывалась судьба.Особенно поражало – насколько поведение струйки,вытекавшей из снежника, радикально зависело отдуновения ветра.

Несколько слов о комплексных числах

Прежде всего нам понадобится кое-что, совсем не-многое, из теории комплексных чисел. Мы конспектив-но приведем лишь самые необходимые сведения.1

Комплексным числом z называется произвольнаяпара вещественных чисел ( ),a b . При этом

(а) два комплексных числа ( )= ,z a b и ( )=¢ ¢ ¢,z a bсчитаются равными тогда и только тогда, когда = ¢a aи = ¢b b ;

(б) вещественное число a представляет собой част-ный случай комплексного числа ( )= ,0a a ;

(в) сложение и вычитание комплексных чисел опре-деляется в точности как для векторов по формуле

( )± = ± ±1 2 1 2 1 2,z z a a b b ;

(г) умножение комплексных чисел задается фор-

мулой

( ) ( ) ( )= = - +1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , ,z z a b a b a a b b a b b a .

Отметим, что если оба комплексных числа являютсявещественными, т.е. = =1 2 0b b , то правило умноже-ния (г) комплексных чисел совпадает с правиломумножения вещественных чисел.

Обычно комплексное число ( ),a b записывают в видедвучлена a + bi, где i – так называемая мнимаяединица, т.е. такое «новое число», не являющеесявещественным, квадрат которого по определению ра-вен –1. В этом случае, например, произведение двухкомплексных чисел соответствует произведению соот-ветствующих двучленов:

( ) ( )+ + = + + + =21 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2a b i a b i a a a b i b ia b b i

( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2a a b b a b b a i= - + + .

Комплексное число z = a + bi можно представитьточкой ( ),a b на координатной плоскости (рис.1,а).При этом сама координатная плоскость, каждая точка( ),a b которой отождествлена с комплексным числомz = a + bi, называется комплексной плоскостью.

Тригонометрическая форма записи комплексного чис-ла имеет вид ( )ρ ϕ ϕ= +cos sinz i . Здесь ϕ есть уголмежду осью Ox и вектором

uuurOz , а ρ – модуль

= +2 2z a b числа z, или, что то же самое, длина

вектора uuurOz (рис.1,б).

И, наконец, нам понадобится изящная формулаМуавра:

( )( ) ( )cos sin cos sinnn nz i n i nρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ= + = + . (1)

Корнем n-й степени из числа ( )ρ ϕ ϕ= +cos sinz i назы-вается комплексное число, n-я степень которого равнаz. Другая формула Муавра дает представление всехкорней n-й степени:

ϕ π ϕ πρ

+ +ж ц= +з чи ш2 2

cos sinn n k kz i

n n,

k = 0, 1, …, n – 1.

Рис. 1

1 Более подробно о комплексных числах можно прочитать,например, в статьях Л.С.Понтрягина «Комплексные числа»(«Квант» №3 за 1982 г.) и «Основная теорема алгебры»(«Квант» №4 за 1982 г.).

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 110

Приведем также факт, вытекающий из основнойтеоремы алгебры: всякий многочлен n-й степени скомплексными коэффициентами (в том числе и свещественными) имеет в области комплексных чиселровно n корней.

Путешествие стрекозы тихим утром

В одно прекрасное летнее тихое утро попрыгунья-стрекоза, проснувшись в точке ( )ρ ϕ ϕ= +0 0 0 0cos sinz i ,отправилась в путешествие, перелетая из одного пунк-та в другой. Будем полагать, что после первого переле-та стрекоза оказалась в точке = 2

1 0z z , после второго –в точке = 2

2 1z z , после третьего – в точке ..., правильно,в точке = 2

3 2z z и так далее. И вообще, если после( )- 1n -го перелета стрекоза была в точке -1nz , то послеn-го перелета она окажется в точке -= 2

1n nz z . Множе-ство

-= =K K2 2

0 1 0 1, , , ,n nz z z z z (2)

точек «приземления» стрекозы будем называть орби-той.

Рассмотрим, что представляет собой орбита. Ясно,что начальная точка ( )ρ ϕ ϕ= +0 0 0 0cos sinz i одно-значно определяет орбиту. По формуле Муавра аргу-менты точек орбиты суть ϕ0 , ϕ02 , ϕ2

02 ,…, ϕ02n и т.д.Модули точек орбиты равны ρ ρ ρ ρK

2 4 20 0 0 0, , , , n и т.д.

Очевидно, что орбита лежит на быстро раскручиваю-щейся уходящей вбесконечность спира-ли, если ρ >0 1(рис.2). Если жеρ <0 1, то орбита ле-жит на спирали, зак-ручивающейся кнулю. Если точка 0zлежит на единичнойокружности, т.е. если

0 1ρ = , то вся орбиталежит на этой окруж-ности.

Таким образом,если >0 1z , то ор-

бита, задаваемая формулой -= 21n nz z , убегает на бес-

конечность. Если же <0 1z , то, наоборот, орбитаостается ограниченной. Более того, в нашем случаеона не покидает единичный круг и притягивается кнулю.

Это очень напоминает распределение земной суши потак называемым водным бассейнам. Из курса геогра-фии известно о бассейне реки Волга, о бассейне озераБайкал... Условная линия, разделяющая бассейнырек, скажем Волги и Дона, называется водоразделом.Эпизод, рассказанный в начале статьи, произошел наводоразделе бассейнов Прута и Тисы (впрочем, обе онивпадают в Дунай).

В случае итерации -= 21n nz z все орбиты, начинающи-

еся внутри единичного круга, стекаются к нулю, в товремя как орбиты, начинающиеся вне этого круга,стекаются к бесконечности. Единичный круг является

бассейном «океана Нуль», вся остальная часть плоско-сти составляет бассейн «океана Бесконечность».

Водораздел между этими океанами проходит поединичной окружности |z| = 1. Между точкой, лежащейвнутри бассейна, и точкой, лежащей на водоразделе,имеется качественное различие. У каждой точки 0z ,лежащей внутри единичного круга, некоторая ее окре-стность лежит внутри этого круга. Другими словами,орбиты, начинающиеся в точках, достаточно близких кточке 0z , впадают в тот же океан, что и орбита точки

0z . Совсем иначе обстоит дело на водоразделе. Произ-вольная, сколь угодно маленькая окрестность точки,лежащей на окружности |z| = 1, содержит как точкивнутри, так и точки снаружи единичного круга. Такимобразом, рядом с любой точкой водораздела находятсясколь угодно близко точки, чьи орбиты впадают в одинокеан, и тут же рядом сидят точки, из которых вытека-ют орбиты, впадающие в другой океан.

Именно на эту острую чувствительность поведенияорбит в зависимости от выбора начальной точки приопределенных условиях обратил внимание в 1918 годуфранцузский математик Жюлиа2 . Математик Б.Ман-дельброт, проявивший серьезный интерес к работамЖюлиа, назвал такие «водоразделы» в честь первоис-следователя множествами Жюлиа. Справедливостиради, надо сказать, что не менее серьезный вклад в этойобласти был сделан также другим французским мате-матиком П.Фату. Разумеется, вряд ли было бы оправ-данно как-то особо называть столь просто устроенныйводораздел (имеется в виду единичная окружность),если бы все обстояло столь просто, как могло показать-ся на первый взгляд. Сейчас мы увидим, что это совсемне так.

И поднялся ветер...

Рассмотрим орбиту стрекозы в случае, если «дуетпостоянный ветер», т.е. «ветер», имеющий постоянныенаправление и силу.Итак, «ветер» – это век-тор на плоскости, кото-рый можно задаватькомплексным числом c.Конкретно, мы предпо-лагаем, что стрекоза вовремя своего прыжка източки z в точку 2z допол-нительно «сносится вет-ром» на вектор, задавае-мый комплексным числом c (рис.3). Другими словами,орбита задается формулой

-= +21n nz z c , где n = 1, 2, ... (3)

Легко видеть, что «штилевая» орбита (2) есть част-ный случай «ветренной» орбиты (3), соответствующий

Рис. 2

2 Гастон Жюлиа (1893–1978) во время первой мировойвойны получил тяжелое ранение. Свою знаменитую работу«Мемуар об итерации рациональных функций» он написал вгоспитале в 1918 году в интервале между двумя болезненнымиоперациями.

Рис. 3

М Н О Ж Е С Т В А Ж Ю Л И А 11

значению c = 0. Теперь для фиксированного комплек-сного числа c, вообще говоря не равного нулю, рассмот-рим орбиту, заданную формулой (3).

Назовем точку 0z беглянкой, если начинающаяся вней орбита (3) убегает на бесконечность. Под этимпонимается следующее: какой бы большой круг z R£на плоскости ни взять, существует номер k, зависящийот радиуса ( )( )=R k k R , такой, что все точки nz ворбите (3) с номерами n > k лежат вне данного круга,т.е. z R> при ( )>n k R . Обозначим множество всехточек-беглянок при фиксированном c через cE (отанглийского escape – убегать). Например, в частномслучае c = 0 множество 0E состоит из точек, лежащихвне единичного круга.

Напротив, если орбита (3), начинающаяся в 0z , всевремя остается в пределах какого-то (пусть даже оченьбольшого) круга, то точку 0z назовем пленницей.Множество всех точек-пленниц будем называть плен-ным и обозначать через cP . Как мы уже видели, когдаc = 0, пленное множество 0P – это единичный круг

{ }: 1z z £ . Все точки плоскости, лежащие вне единич-ного круга, являются беглянками и составляют убега-ющее множество 0E .

Гипотетически имеется и третья возможность, когдаорбита, с одной стороны, выходит за пределы любогоданного круга сколь угодно много раз, а с другой,возвращается в этот круг столь же много раз. Однаков силу «теоремы о беглянке», которую мы докажем вследующем параграфе, третий случай невозможен.

Итак, для фиксированного комплексного числа cкаждая точка 0z плоскости является либо беглянкой,либо пленницей. Другими словами, вся плоскостьраспадается на два множества: cP и cE .

Из теоремы о беглянке легко следует, что если z –точка-беглянка, то ее достаточно маленькая окрест-ность состоит лишь из точек-беглянок.

Множество точек плоскости таких, что в каждой ееокрестности содержатся как пленницы, так и беглянки,образуют границу между множествами cE и cP . Этомножество называется множеством Жюлиа cJ . Мож-но показать, что множество Жюлиа состоит только изпленниц.

По определению множества Жюлиа, при c = 0 мно-жество 0J есть единичная окружность, но при 0c №характер множества cJ серьезно меняется. На рисунке4 приведены множества Жюлиа cJ при различных

значениях c. Мы видим, что с увеличением модуля |c|линия «водораздела» Жюлиа становится все болеесложной и изломанной.

Условие убегания орбиты

Теорема о беглянке. Пусть точка 0z такова, что

0z c³ и 0z 2> . (4)

Тогда орбита 21n nz z c-= + , начинающаяся в точке

0z , убегает на бесконечность, другими словами, точ-ка 0z является беглянкой.

Доказательство. Прежде всего заметим, что нера-венства (4) не являются необходимым условием точки-беглянки. Точка 0z может не удовлетворять условию(4), но если какя-то точкаорбиты удовлетворяет это-му условию, то орбитаубегает на бесконечностьи точка 0z является бег-лянкой.

Пусть точка z удовлет-воряет условию (4). Таккак в (4) второе неравен-ство – строгое, то

2z ε= + , где ε – некото-рое положительное число. В силу неравенства треу-гольника (рис.5), имеем

( ) ( )2 2 2 2z z c c z c c z c c= + - = + + - £ + + . (5)

Из (4) и (5) получаем

( ) ( )2 2 2 1 1z c z c z z z z zε+ ³ - ³ - = - = + .

Итак, если точка z удовлетворяет условиям (4), то( )2 1z c zε+ ³ + . Поэтому, если расстояние от точки

0z орбиты до начала 0 превосходит оба числа c и 2:{ }0 max ,2z c> , то следующая точка 1z орбиты отстоит

еще дальше. Причем коэффициент удаления каждыйраз не меньше фиксированного числа 1 ε+ , строгопревосходящего 1. Таким образом, если { }0 max ,2z c> ,то получающаяся после k итераций точка kz орбитыбудет расположена от начала по крайней мере в ( )1 k

ε+раз дальше. Так как ( )1 k

ε+ монотонно и неограничен-но возрастает при увеличении номера k, то и точкиорбиты монотонно и неограниченно удаляются от нача-ла. Теорема доказана.

Еще раз подчеркнем, что даже если точка 0z неудовлетворяет условию (4), но первый же возможныйвыход орбиты 2

1n nz z -= за пределы круга радиуса

{ }max ,2c гарантирует убегание данной орбиты набесконечность.

Упражнения

1. Докажите, что если cz EО , то у точки z существуетокрестность ( )U z , содержащаяся в cE .

2. Докажите, что c cJ PМ .

Неподвижные точки

Мы знаем, что при итерации 21n nz z c+ = + одни

орбиты убегают на бесконечность, причем такое убега-ние идет по раскручивающейся от начала координатспирали с постоянной поправкой на «ветер» c. Другиеорбиты «гуляют» в области, которая ограничена мно-жеством Жюлиа. Эти орбиты состоят из точек-плен-

Рис. 5

Рис. 4

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 112

ниц. Среди точек-пленниц есть особые точки. Это – такназываемые неподвижные точки.

Точка z называется неподвижной для функции ( )f z ,если ( )z f z= . При итерации ( )1n nz f z+ = орбита не-подвижной точки остается на месте: 0nz z= для любогонатурального числа n. В случае квадратичной функции( ) 2f z z c= + неподвижная точка z удовлетворяет урав-

нению 2 0z z c- + = . Это уравнение имеет два решения( )0z и ( )1z (здесь мы применяем верхние индексы,

потому что нижние используются для нумерации точекв орбите).

Итак, орбита неподвижной точки никуда не убегает,т.е. каждая неподвижная точка действительно являет-ся пленницей. Между тем, неподвижные точки квадра-тичной функции существенно различаются друг отдруга в том, как ведут себя орбиты, начинающиесявблизи этих точек.

Рассмотрим опять простейший случай: c = 0. Изуравнения 2z z= находим две неподвижные точки:

( )0 0z = , ( )1 1z = . Между ними имеется существенноеразличие. Неподвижная точка ( )0 0z = , как мы ужезнаем, «притягивает» к себе любую орбиту, начинаю-щуюся внутри единичного круга. В то же время еслиточка z достаточно близко находится к другой непод-вижной точке ( )1 1z = , то расстояние между образом 2zи неподвижной точкой 1 больше, чем между «прообра-зом» z и 1. Точка ( )1 1z = при итерации 2

1n nz z+ = как быотталкивает от себя осмелившиеся было приблизитьсяк ней точки орбиты. Одни орбиты (если 0 1z > )убегают от ( )1 1z = на бесконечность. Другие орбиты(если 0 1z < ) убегают от ( )1 1z = к другой неподвиж-

ной точке ( )0 0z = . Третьи орбиты ( 0 1z = ) располо-жены на единичной окружности.

В общем случае неподвижная точка ( )0z квадратич-ной функции ( )f z называется притягивающей, еслисуществует такое число 0ε > , что любая орбита,начинающаяся в ε -окрестности точки ( )0z , сходится к

( )0z . Притягивающую точку ( )0z также называют ещеи устойчивой неподвижной точкой, имея в виду, чтопри небольшом отклонении точки z от неподвижнойточки ( )0z ее орбита все равно стремится к неподвиж-ной точке. Таким образом, притягивающая точка нетолько сама является пленницей, но и некоторая ееокрестность полностью состоит из точек-пленниц. Оналежит внутри пленного множества cP , но не на егогранице, т.е. притягивающая точка не принадлежитмножеству Жюлиа cJ .

Неподвижная точка ( )1z функции ( )f z –отталкива-ющая, если существует такое 0ε > , что для любойточки z, удаленной от ( )1z не далее чем на ε , ее образ

( )f z отстоит от ( )1z дальше чем z: ( ) ( )12z c z+ - >( )1z z> - . Отталкивающая точка называется также

неустойчивой. Даже небольшое отличие начальнойточки 0z от неустойчивой точки ( )1z приводит к серь-езному отклонению соответствующей орбиты.

Пусть ( )0z – неподвижная точка функции ( )f z .Имеется важный критерий, выясняющий, какова эта

точка: притягивающая или отталкивающая. Мы пред-полагаем, что функция ( )f z дифференцируема в точке

( )0z . Заметим, что производная функции от комплекс-ного аргумента определяется аналогично тому, как этоделается для вещественной функции вещественногоаргумента:

( )( ) ( )

( ) ( )( )( )0

0

00

limz z

f z f zf z

z z®

-=¢

-.

Характер поведения орбиты в окрестности неподвиж-ной точки зависит от значения производной ( )f z¢ вэтой точке.

Теорема. Неподвижная точка ( )0z для функции

( )f z является притягивающей, если ( ) 1f z <¢ 1, и

отталкивающей, если ( )f z >¢ 1.Заметим, что производная квадратичной функции( ) 2f z z c= + равна ( ) 2f z z=¢ . В соответствии с этим

критерием, в хорошо знакомом нам случае c = 0неподвижная точка ( )0 0z = притягивающая, так как

( )0 0 1f = <¢ , а неподвижная точка ( )1 1z = – отталки-вающая, так как ( )1 2 1f = >¢ .

Мы не будем доказывать этот важный факт дляфункций комплексного переменного, но попытаемсяобъяснить его в случае вещественной функции ( )f x отвещественной переменной x. Пусть ( )0x – неподвижная

точка функции ( )f x , т.е. ( ) ( )( )0 0x f x= . Рассмотрим

графики двух функций y = x и ( )y f x= в окрестности

неподвижной точки ( )0x . Пусть ( )( )0 1f x <¢ , из рисун-

ков 6,а и 6,б видно, что если точка 0x расположенадостаточно близко к ( )0x , то вытекающая из нее орбита

( )1n nx f x+ = монотонно приближается к ( )0x :

( ) ( )0 0

0 nx x x x- > > - >L( )0

1nx x+ - >K

Условие «точка 0x расположена достаточно близко»означает: точка 0x расположена в той окрестностинеподвижной точки, где производная удовлетворяетнеравенству ( ) 1f x <¢ .

Если же ( )( )0 1f x >¢ , то вытекающая из точки 0x ,расположенной в окрестности точки ( )0x , орбита

( )1n nx f x+ = какое-то время будет удаляться от ( )0x

(рис.7,а и 7,б): ( ) ( )0 00 1x x x x- > - >K Причем уда-

Рис. 6

ление каждой следующей точки 1nx + орбиты по срав-нению с nx от неподвижной точки гарантировано,пока орбита находится в окрестности неподвижнойточки, где сохраняется неравенство ( ) 1f x >¢ . Нокак только орбита выходит за пределы такой окрест-ности, ее поведение становится не столь однознач-ным.

Упражнение 3. Докажите, что отталкивающая неподвиж-

ная точка итератора 21n nx x c+ = + принадлежит множеству

Жюлиа cJ , т.е. лежит на границе множеств cP и cE .

Самоподобие множества Жюлиа

Обозначим квадратичную функцию 2z c+ через( )cf z . Пусть U – множество точек на комплексной

плоскости, через ( )cf U обозначим образ этого мно-жества при функции ( )cf z . Другими словами, ( )cf U

есть множество образов всех точек z UО :( ) ( )c z U cf U f zО= U .Посмотрим, что происходит со знакомыми множе-

ствами , ,c c cP E J . Возьмем точку 0 cz PО . Легко видеть,

что точка ( )0cf z также является пленницей. Действи-

тельно, орбита точки ( )1 0cz f z= совпадает с орбитойточки 0z со сдвигом нумерации на единицу. Поэтому

( )c c cf P PН . Верно и обратное: ( )c c cP f PН . Таким

образом, ( )c c cP f P= , т.е. под действием функции cfмножество cP отображается на себя. Действительно,рассмотрим прообразы ( )1

0cu f z-= точки 20z u c= + .

Понятно, что они оба также являются точками-пленни-цами. Так как каждая точка-пленница 0z является

cf -образом точки-пленницы, то ( )c c cP f PН . В такихслучаях говорят, что множество cP инвариантно отно-сительно отображения cf .

По той же причине убегающее множество cE такжеинвариантно относительно отображения cf . Отсюдаследует, что так как каждое из множеств cE и cPявляется инвариантным относительно отображения cf ,то и граница между ними, т.е. множество Жюлиа cJ ,также инвариантна относительно cf .

Установленная инвариантность множества Жюлиаотносительно cf порождает повторяемость, точнее схо-жесть, формы множества Жюлиа в целом с формамивсе более и более мелких его фрагментов. Например,салфетка Серпинского, описанная в статье «Игра «Хаос»

и фракталы» 3 , отличалась замечательным свойством:эта салфетка была подобна (даже гомотетична) любойиз своих «четвертинок», каждая из которых былалинейно вдвое меньше салфетки Серпинского. Четвер-тинка, в свою очередь, была подобна (опять с коэффи-циентом подобия 1/2) «своей» четвертинке, и т.д. добесконечности. Свойство целого быть подобным своейчасти называют самоподобием.

Возьмем на множестве Жюлиа cJ точку z и пустьcU JМ – некоторая дуга, содержащая точку z. Так как

множество Жюлиа под действием cf отображается насебя, то дуга U переходит в другую дугу ( )cf U ,содержащую точку ( )cf z . Если бы функция ( )cf z былалинейной относительно z, то преобразование cf былобы преобразованием подобия, как это случилось вслучае салфетки Серпинского. Однако наша функция( )cf z не линейная, а квадратичная. Поэтому соответ-

ствующие фрагменты не являются подобными другдругу. Тем не менее, они во многом очень схожи междусобой.

На рисунке 8,б представлен (в том же масштабе)фрагмент множества Жюлиа, ограниченный рамкой на

рисунке 8,а. Фрагмент, выделенный рамкой на рисун-ке 8,б, увеличен на рисунке 8,в. В свою очередь,рисунок 8,г представляет увеличение фрагмента, ука-занного в рамке на рисунке 8,в.

Игра «Хаос» и множества Жюлиа

В заключение расскажем, как можно получать намониторе компьютера изображение множества Жюлиа

cJ для любого значения c. Предлагаемая процедурапостроения есть попросту версия игры «Хаос», кото-рая подробно изложена для более простой ситуации вупомянутой статье «Игра «Хаос» и фракталы».

Давайте отправимся из произвольной точки-пленни-цы 0 cz PО ( ( )0

0z z№ ) в путешествие по орбите «вверх»,

Рис. 7

Рис. 8

3 См. «Квант» №4 за 1997 год.

М Н О Ж Е С Т В А Ж Ю Л И А 13

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 114

Мозаика изснежинок

Н А ПЕРВОЙ СТРАНИЦЕ ОБЛОЖКИ ИЗОБРАЖЕНАмозаика из так называемых снежинок Кох. Сне-

жинка Кох является одним из фракталов, о которыхможно прочитать, например, в статье Н.Долбилина вэтом номере журнала.

Построить снежинку можно следующим образом.Возьмем равносторонний треугольник, разделим каж-дую его сторону на три равных отрезка и построим на

средних отрезках правильные треугольники во вне-шнюю сторону от исходного. Получим фигуру, ограни-ченную 12 отрезками. Разделим каждый из этих отрез-ков на три части и вновь построим на средних отрезкахправильные треугольники (рис.1).

Повторим ту же операцию с отрезками, ограничива-ющими полученную фигуру, и т.д. В пределе как разполучится снежинка Кох.

Отметим, что периметр снежинки бесконечен, а пло-

щадь конечна и равна 8

5 площади исходного треуголь-

ника.

переходя от одного прообраза к предыдущему. У точки0z имеются два прообраза 1z-± , такие, что

( ) ( )2

1 1 0cf z z c z± = ± + = . Выберем один из них случай-ным образом и обозначим его через 1z- . У точки 1z-имеются опять два прообраза 2z-± . Выберем случайноодин из двух прообразов и обозначим его через 2z- .Двигаясь таким образом по орбите вверх и делая накаждом шаге случайный выбор между двумя прообра-зами, получаем последовательность 1 2 3, , ,z z z- - - K Мож-но показать, что эта случайная последовательностьточек, оставаясь внутри множества cP , приближаетсяк множеству Жюлиа cJ . Более конкретно, последова-тельность { }nz- сидит на сложно устроенной спирали,которая асимптотически наматывается на множествоЖюлиа cJ . Подчеркнем, что в силу случайного выбораодного из двух прообразов, происходящего на каждомшаге, эта последовательность точек { }nz- будет нани-зываться на все множество Жюлиа. Поэтому несколь-ко тысяч первых точек последовательности { }nz- ,выведенные на экран компьютера, имитируют множе-ство Жюлиа. Так как начальная точка орбиты можетбыть выбрана достаточно далеко от множества Жюлиа

cJ да и орбита { }nz- сходится ко множеству Жюлиа неслишком быстро, то несколько первых точек орбитыследует выбросить, дабы не искажать картину. Другаянеприятность – орбита распределяется вдоль множе-ства Жюлиа не очень равномерно: некоторые участкипроявляются весьма отчетливо, на других, наоборот,есть «проплешины». Чтобы заполнить эти проплеши-ны в изображении, нужно либо позволить программедолго-долго работать, либо, учитывая самоподобиемножества Жюлиа, «пересадить» на проплешины кус-ки кривой Жюлиа с других уже проявившихся участ-ков. Последний подход намного эффективней. Благо-даря ему уже первые несколько точек орбиты даютизображение множества Жюлиа, более отчетливое, чемпри стандартном подходе – сотня тысяч точек орбиты.

Преодолев эти трудности, вы будете вознаграждены:

вы сможете самостоятельно знакомиться с миром изу-мительных по красоте и разнообразию множеств Жю-лиа. Судя по эскизам этих множеств, которые делалсам Жюлиа «от руки», автор вряд ли представлял всевеликолепие «царства» множеств, носящих теперь егоимя, а о некоторых глубоких свойствах он даже неподозревал. Например, во второй половине XX векабыл обнаружен «взрывной» характер множеств Жю-лиа. Давайте при заданном направлении «ветра» cбудем непрерывно увеличивать силу |c|. Получающиесяпри этом множества Жюлиа становятся все более иболее сложными и ажурными. Оказывается, что придостижении некоторого значения модуля |c| множествоЖюлиа взрывается, разлетаясь при этом на бесконеч-ное число отдельных кусочков (рис.9). Значение моду-ля |c|, при котором происходит взрыв, зависит отнаправления вектора c . Отложив на плоскости всезначения c, при которых происходит взрыв множества

cJ , Б.Мандельброт получил новое множество, еще

более сложное и восхитительное, чем множества Жю-лиа. Теперь это множество называется именем егооткрывателя – множество Мандельброта. Но это –тема другой статьи.

(Продолжение см. на с. 29)

Рис. 9

Н А Ш А О Б Л О Ж К А

Лев Давидович ЛандауН А Ш К А Л Е Н Д А Р Ь

22 января 2008 года исполнилось бы сто лет величайшемуфизику-теоретику XX века Льву Давидовичу Ландау.

Предлагаем вниманию читателей отрывок из книгиМ.И.Каганова «Школа Ландау: что я о ней думаю» (книгавыпущена издательством «Тровант» в 1998 году). Авторкниги принимал самое непосредственное участие в жизниэтой Школы.

Льва Давидовича никогда не привлекали модныеувлечения читательской аудитории: снежный человек,телепатия, летающие тарелки и т.п. Большинство по-добных увлечений он считал интеллигентским суевери-ем и остро высмеивал.

Я неоднократно рассказывал об ироническом отно-шении Дау к «таинственным» явлениям, и часто слу-шатели обижались за «таинственное» явление, выска-зывали удивление, иногда даже подозревали ЛьваДавидовича в ограниченности. Дело, конечно, не вограниченности. Повышенный интерес к таинствен-ным, загадочным проблемам, как правило, связан стем, что обычные, ежедневные проблемы скучнеют,теряют свежесть что ли. В Ландау поражал неослабе-вающий с годами интерес к реальным (большим ималым) задачам, которые ставит и решает физика.

Он разговаривал о науке с сотнями физиков. Онирассказывали ему самые различные работы, отличаю-щиеся по трудности, по глубине, по значительности,работы, относящиеся к самым разным объектам – ктвердым телам и к элементарным частицам, к звездами к газам. Работа выслушивалась Дау, выслушиваласьи занимала место в его фантастической памяти в том итолько в том случае, если она удовлетворяла простомупринципу: работа должна разъяснить что-то непонят-ное. Бесконечно разъясняющимся и бесконечно ставя-щим новые загадки – таким видел и ощущал мир Дау.Острый интерес к решению реальных задач не остав-лял места для задач надуманных, хотя, быть может, ивесьма увлекательных. И еще: Ландау всегда требовалпрофессионального отношения к науке, не любил диле-тантов. Его раздражали болтовня и верхоглядство,которые, как правило, сопровождали попытки реше-ния «таинственных» проблем.

Говоря о Ландау, часто упоминают о гениальнойинтуиции, о «даре божьем». Дар божий, конечно,был, но была и ежедневная, нет, ежечасная титани-ческая работа, утомляющая, требующая отдачи всегосебя. Я встречался с Дау вечерами, после рабочегодня, когда усталость, усугубленная невозможностьюотключиться, была видна невооруженным глазом. Онзадумывался, выпадал из разговора. Однако всегдабрал себя в руки и включался в беседу. При этомочень помогали стандартные темы – о счастье, олюбви, о том, каковы должны быть женские причес-ки и женские платья.

Я не хочу, чтобы подумали, будто разговоры осчастье, любви были для Ландау способом отвлечьсяот работы. Это, по-моему, совершенно не так. Он по-настоящему глубоко, я бы сказал выстраданно, инте-ресовался «вечными темами». Его высказывания былинестандартны. Многих отпугивала «теорфизическая»ясность, с которой Дау пытался (и часто не безуспеха) решать сложные задачи человеческих взаи-моотношений. Он был глубоко убежден, что в боль-шинстве случаев сложность взаимоотношений наду-манна (он всегда строго различал слова «сложно» и«трудно»), и пытался добраться до материалистичес-кой сущности конфликта, если таковой был. По свое-му темпераменту Дау был просветителем, и не толь-ко в науке, но и в жизни. Он считал, что людей надоучить жить. И учил…

Ландау прожил трудную, но, по сути, счастливуюжизнь. Он был окружен преданными учениками, при-знание и слава достались ему при жизни. Ему ка-залось естественным – человек должен быть счаст-ливым. Если ты несчастлив, то, поняв это, тщатель-но проанализировав, что мешает тебе жить и, глав-ное, получать от жизни удовольствие, ты обязан (имен-но обязан) добиваться своего счастья, бороться занего.

Л.Д.Ландау за работой (1959 г.)

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 116

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в немзадачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьнойпрограммы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мыобычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 мая 2008 года по адресу: 119296Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или поразным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе«Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №1–2008» и номера задач, решения которых Вы посылаете,например «М2071» или «Ф2078». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. Вписьмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этомконверте Вы получите результаты проверки решений).

Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельномконверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник«Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»).

В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь.Задачи М2073, М2075 и М2078 предлагались на III Всероссийской олимпиаде по геометрии имени

И.Ф.Шарыгина.

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »

Задачипо математике и физике

Задачи М2071–М2080, Ф2078–Ф2087

M2071. Универсальным числом ( )U n назовем мини-мальное натуральное число, из которого вычеркивани-ем цифр можно получить любое натуральное число от1 до n. Сколько цифр имеет число ( )2008U ?

С.Волчёнков

M2072. Найдите ( )1n + -ю цифру после запятой в

десятичной записи числа 2 девяток

999...99n

14243

.

Я.Алиев

M2073. Даны две окружности, пересекающиеся в точ-ках P и Q. Пусть C – произвольная точка одной изокружностей, отличная от P и Q; точки A и B – вторыеточки пересечения прямых CP и CQ с другой окруж-ностью. Найдите геометрическое место центров опи-санных окружностей треугольников ABC.

А. Заславский

M2074. Посетитель обходит залы музея по следующе-му правилу. Находясь в некотором зале, он выбираетсреди всех соседних залов тот, который до этого былпосещен им меньшее число раз, и переходит в него(если таких соседних залов несколько, то он переходитв любой из них). Верно ли, что посетитель черезнекоторое время обойдет все залы? (Известно, что излюбого зала музея можно пройти в любой другой зал.)

С.Волчёнков

M2075. Каждое ребро выпуклого многогранника па-раллельно перенесли на вектор так, что ребра образо-вали каркас нового выпуклого многогранника. Обяза-тельно ли он равен исходному?

А.Заславский

M2076. Найдите все функции :f ®R R , удовлетво-ряющие при всех 0x № и y равенству

( ) ( )y

xf y yf x fx

ж ц- = з чи ш.

Э.Туркевич

M2077. Найдите наименьшее натуральное число k,обладающее следующим свойством: в любой таблицеn nѣ , заполненной действительными числами, можноувеличить не более k чисел так, чтобы суммы чисел вовсех строках и столбцах стали равными.

П.Кожевников

M2078. Точки , ,A B C¢ ¢ ¢ – основания высот остро-угольного треугольника ABC. Окружность с центромB и радиусом BB¢ пересекают прямую A C¢ ¢ в точкахK и L (K и A находятся по одну сторону от прямойBB¢ ). Докажите, что точка пересечения прямых AKи CL лежит на прямой BO, где O – центр описаннойокружности треугольника ABC.

В.Протасов

M2079. Существует ли такая тройка попарно взаимно

простых натуральных чисел x, y, z, больших 1010 , что8 8 8x y z+ + делится на 4 4 4x y z+ + ?

В.Сендеров

M2080*. Последовательность векторов { }ner

на плоско-

сти задана условиями: ( )1 0; 1e =r

, ( )2 1; 0e =r

,

2 1n n ne e e+ += +r r r

при 1n ³ . Отложим от начала коорди-нат все векторы, являющиеся суммами несколькихразличных векторов из последовательности { }ne

r

. До-кажите, что множество концов отложенных векторовсостоит из всех точек с целыми неотрицательными

координатами, лежащих внутри некоторой полосымежду параллельными прямыми.

И.Пушкарев

Ф2078. Из листа фанеры вырезали кусок в формепрямоугольного треугольника с катетами 60 см и 80 см,

масса этого куска рав-на 2 кг. Кусок фанерыподвесили к потолкупри помощи двух оди-наковых легких нитей,расстояние между точ-ками прикреплениянитей к потолку равно

100 см (рис.1). Найдите силы натяжения нитей.А.Простов

Ф2079. Клин массой М с углом α при основаниинаходится на гладком горизонтальном столе. На на-

клонной грани клинастоит тележка массойm, к ней привязана лег-кая нить, переброшен-ная через блок, закреп-ленный осью в верши-не клина (рис.2). Сво-бодный конец нити при-вязан к стене. Вначале

клин удерживают, затем отпускают. С каким ускорени-ем он начнет двигаться?

Р.Клинов

Ф2080. Две большие параллельные пластины двигаютнавстречу друг другу с одинаковыми скоростями 0v .Между пластинами находится очень маленький упру-гий шарик. В тот момент когда одна из пластинударяется о него, расстояние между пластинами со-ставляет L. Считая удары абсолютно упругими, найди-те скорость шарика в тот момент, когда расстояниемежду пластинами составит L/5. Действием силытяжести пренебречь. Скорость шарика перед первымударом равна нулю.

А.Шариков

Ф2081. В комнате, заполненной воздухом, находитсяпустой кубический сосуд объемом 100 л. В стенкесосуда открывается маленькое отверстие площадью

21 см и через 0,001 с закрывается. Оцените количествомолекул, попавших в сосуд за это время. Оценитетакже давление, которое установится в сосуде. Стенкисосуда тепло не проводят, теплоемкостью стенок мож-но пренебречь.

А.Повторов

Ф2082. Моль гелия в сосуде расширяется от начально-го объема 1 10 лV = до конечного объема 2 50 лV = ,при этом давление газа в процессе меняется так, что

2 constpV = . Начальная температура газа 1 300 КT = .Найдите конечную температуру. Найдите также рабо-ту газа в процессе (если не получится найти точно,посчитайте приближенно) и полученное в процессеколичество теплоты.

Р.Газов

Ф2083. К батарейке подключают амперметр (вообщеговоря, так поступать не следует!) – он показываетсилу тока 1 А. Параллельно подключают еще одинтакой же амперметр – теперь они в сумме показывают1,2 А. Сколько в сумме покажут 2008 таких же ампер-метров, если их подключить к батарейке параллельно?

Т.Оков

Ф2084. Одна из квадратных пластин плоского конден-сатора закреплена, а вторая может свободно смещатьсяпараллельно, оставаясь на расстоянии d от первой.Масса подвижной пластины М, площадь каждой изпластин S. Конденсатор зарядили до напряжения 0U .Сдвинем теперь подвижную пластину относительноположения равновесия. Найдите период малых колеба-ний этой пластины. Зависит ли он от того, как мысдвинули пластину? Сила тяжести отсутствует.

З.Рафаилов

Ф2085. Катушка индуктивностью L и резистор сопро-тивлением R соединены параллельно, к выводам це-почки очень давно подключен внешний источник, токв его цепи равен 0I . Ток в цепи источника очень быстроувеличивают в 3 раза. Какое количество теплотывыделится в резисторе после этого? Какой полныйзаряд протечет через резистор?

А.Зильберман

Ф2086. Две одинаковые катушки индуктивности со-единены последовательно. Выводы получившейся це-почки подключены к звуковому генератору последова-тельно с низковольтной лампочкой для фонарика.Параллельно одной из катушек подключают конденса-тор и начинают изменять в широких пределах частотугенератора. На частоте f = 600 Гц наблюдается четкийминимум свечения нити накала лампочки. На какойчастоте (частотах) лампочка будет гореть ярче всего?

Р.Старов

Ф2087. Небольшая плосковыпуклая линза отштампо-вана из прозрачной пластмассы. Форма выпуклойповерхности аккуратно рассчитана при помощи ЭВМ,она отличается от сферической (сферическая поверх-ность «собирает» лучи параллельного пучка в фокусетолько приблизительно). Диаметр плоской поверхнос-ти линзы 2 см, толщина линзы 0,5 см. Найдитефокусное расстояние линзы. Коэффициент преломле-ния пластмассы 1,5.

З.Очков

Рис. 1

Рис. 2

Решения задач М2051–М2055,Ф2063–Ф2072

M2051. Пусть a, b, c > 0; ( ) ( ) (a b c b c a c a+ - + - + -)b abc- = . Докажите, что a = b = c.

Положим x = a + b – c, y = b + c – a, z = c + a – b. Таккак x + y = 2b > 0, y + z = 2c > 0, z + x = 2a > 0, то средичисел x, y, z нет двух отрицательных. Кроме того, поусловию xyz = abc > 0, значит, все три числа x, y, zположительны. Имеем:

2 2 2

z x x y y zxyz zx xy yz xyz

+ + += ³ = .

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 17

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 118

Рис. 2

Знак « ³ » превращается в равенство только при x =

= y = z. Отсюда 02

z ya b

-- = = и 0

2

x ya c

-- = = ,

т.е. a = b = c.

П.Кожевников

M2052. а) Рассмотрим окружность и ее хорду АВ.Найдите множество точек М, находящихся от пря-мой АВ на расстоянии, равном длине касательной,проведенной из точки М к рассматриваемой окружно-сти.Докажите следующие утвержденияб) Для любых двух парабол, описанных около однойокружности и пересекающихся в четырех точках,диагонали «параболического четырехугольника» пер-пендикулярны (рис.1).

в) Для любых двух парабол, описанных около однойокружности и пересекающихся в двух точках, осипарабол наклонены под одним и тем же углом кпрямой, проходящей через точки пересечения этих

парабол (рис.2).г) Для любых трех пара-бол, описанных около од-ной окружности и таких,что любые две из них пере-секаются в четырех точ-ках, диагонали «параболи-ческого шестиугольника»пересекаются в одной точ-ке (рис.3).

а) Введем систему координат так, чтобы точки A, B и

центр окружности C имели координаты ( ), 0a- , ( ), 0a ,

( )0, c . Тогда радиус окружности равен 2 2R a c= + .

Длина касательной из точки ( ),M x y к окружности

равна ( )22 2 2 2MC R x y c R- = + - - . Таким обра-

зом, искомое ГМТ задается уравнением 2 2y x= +( )

2 2 2 22y c R cy x a+ - - Ы = - . При c = 0 (т.е. если

AB – диаметр) получаем пару касательных в точках Aи B. При 0c № получается парабола, касающаясяокружности в точках A и B (это означает, что параболаи окружность имеют общую касательную в точке A и вточке B).

Нетрудно показать, что парабола, касающаяся окруж-ности в данных точках A и B, единственна. С помощью

этого соображения и пункта а) решим остальные пун-кты. Обозначим точки касания парабол с окружностьюA и B, C и D, E и F (см. рис.1, 2, 3).б) Если X – точка пересечения парабол, то длинакасательной из X к окружности равна, с одной сторо-ны, расстоянию от X до AB, с другой стороны –расстоянию от X до CD, поэтому X лежит на одной издвух биссектрис углов между прямыми AB и CD. Дветочки пересечения парабол лежат на одной биссектрисеи две – на другой. Остается заметить, что эти биссек-трисы перпендикулярны.в) Как и в пункте б), прямая, проходящая через точкипересечения парабол, – биссектриса угла между AB иCD. Нужное утверждение следует из того, что осипарабол перпендикулярны AB и CD соответственно.г) Диагонали шестиугольника – биссектрисы (внут-ренние или внешние) треугольника, образованногопрямыми AB, CD, EF. При надлежащем выборе (тривнутренние биссектрисы или одна внутренняя и двевнешние) диагонали будут пересекаться в одной точке.

Ф.Нилов, П.Кожевников

M2053. Пусть n > 3. Докажите, что существуютцелые отличные от нуля числа 1 2, , , nx x xK такие,что

1 2 nx x xK = ( ) ( )2 3 1 3n nx x x x x xK K K+ + + + + + ѣ

( )1 2 1nx x xK K -ѣ + + + .

При четном n достаточно взять любой набор ненулевыхцелых чисел ( )1 2, , ,n nA x x x= K , сумма которых равна0. Эта конструкция, разумеется, не единственна: на-пример, можно положить ( )4 8, 7,1,5A = - - .Пусть n нечетно. Если существует набор

( )1 2, , ,n nA x x x= K , удовлетворяющий условию, то су-ществует и набор 4nA + . В самом деле, сумма

1 2 nk x x x= + + +K не равна 0, и набор

( )4 1 25 ,5 , ,5 ,3 , 3 ,4 , 4n nA x x x k k k k+ = - -K с суммой 5k –

искомый, поскольку набор ( )1 25 ,5 , ,5 nx x xK удовлет-

воряет условию и ( ) ( )3 3 4 4k k k kЧ - Ч Ч - == ( ) ( ) ( ) ( )5 3 5 3 5 4 5 4k k k k k k k k- + - + . Остается ука-

зать примеры наборов 5A и 7A :

( )5 2, 2,2,3,3A = - - или ( )5 6, 1,1,4,4A = - - ,

( )7 8, 2, 2,3,4,4,7A = - - - или ( )7 6, 6, 6, 1,4,5,7A = - - - - .

Прийти к наборам 5A (и сходным образом к наборам

7A ) можно с помощью следующих рассуждений. Дос-таточно найти нужные наборы рациональных чисел (азатем домножить их на общий знаменатель). Пусть a,b, c – ненулевые рациональные числа, s = a + b + c,( ) ( ) ( ) 1s a s b s c

abc k

- - -= . Достаточно подобрать такое

ненулевое рациональное x, что ( ) ( )

( )

11

s x s x

k x x

- +Ч =

Ч -.

Преобразуем: ( )2 21s k x= - . Таким образом, достаточ-но подобрать такие a, b, c, что 21 k r- = для ненулевогорационального r; например, достаточно взять k = –3.Отсюда нетрудно прийти к наборам ( )2,3,3, 2,2- - ,

1 12,2, 3, ,

2 2

ж ц- -з чи ш и т.п.

Рис. 1

Рис. 3

Авторам неизвестно, справедливо ли утверждение за-дачи для n = 3.

В.Сендеров, С.Токарев

М2054. Пусть ( ) 2P x x x 1= + + . Существуют линатуральные числа 1, , nx xK , 1, , nk kK такие, что

( ) 21 2

kP x x= , ( ) ( )3 12 13 , ,k k

nP x x P x x= =K ?Решите задачу для случаев:а) n = 2;б) n – произвольное нечетное число;в) n = 4.

Ответ: нет во всех пунктах.Латинскими буквами всюду ниже обозначены нату-ральные числа.а) Пусть x y³ ,

2 1 nx x y+ + = , (1)

2 1 my y x+ + = . (2)

Так как y > 1 и 3 1y - делится на 2 1y y+ + , то3 3 3 21 1 mx y y y y x³ > - ³ + + = . Следовательно, 3 >

> m. Но, поскольку ( )22 2 1 1y y y y< + + < + , имеем

2m № . Таким образом, m = 1. Подставляя х из второгоравенства в первое, видим, что у делит 3. Получилиу = 3, х = 13. Но ( )13 183P = не является степеньютройки.Вот еще одно решение. Левая часть каждого из ра-венств (1) и (2) либо делится на 3, либо имеет вид3k + 1. Так как n и m нечетны, то такой же видимеют и сами числа у и х. При этом если х делитсяна 3 (соответственно, имеет вид 3k + 1), то ( )P x , азначит и у, имеет вид 3k + 1 (соответственно, делитсяна 3). Значит, одно из чисел х, у (например, х)делится на 3, другое – не делится. Но 2 1y y+ + нипри каком целом у не делится на 9. Получаем m = 1,и, подставив х из второго равенства в первое, видим,что у делит 3. Противоречие.Это решение можно с помощью малой теоремы Фермаи некоторых ее следствий обобщить на случай много-членов 1 1px x- + + +K , где р – произвольное нечетноепростое число.б) Будем рассуждать как при втором решении пунктаа). Без ограничения общности считая, что 1x делитсяна 3, имеем: 2x не делится на 3. С другой стороны,

3 5, , , nx x xK , 2x делятся на 3. Противоречие.Это решение нетрудно обобщить на случай многочле-нов 1 1px x- + + +K для произвольного нечетного про-стого р.в) Лемма. Пусть n – произвольное четное число. Тогдав системе равенств задачи больше половины из показа-телей степеней 1, , nk kK равны 1.Доказательство. Рассуждая аналогично пункту а) ибез потери общности считая, что числа 2 4, , , nx x xK

делятся на 3, имеем: 1 3 1 1nk k k -= = = =K . Следо-вательно, систему можно переписать в виде

( )( ) ( )( )11 12 , , mrr

mP P z z P P z z= =K (где 2

nm = и

1 1z x= , 2 3,z x= K ). Пусть для определенности

{ }2 1max , , mz z z= K . Докажем, что 1 1r = .Предположим противное. Имеем 1 3r № . Действитель-

но, 1 3 1z k= + , ( )1 9 3P z k= +¢ , ( )( )1 9 4P P z k= +¢¢ .Но число 3t несравнимо с 4 по модулю 9 ни при какомцелом t. Следовательно, 1 3r № . Поскольку

( )22 2 1 1y y y y< + + < + , четным 1r быть не может.

Значит, 1 5r ³ .Из уравнений системы следует, что 1 2, 1z z >K . От-

сюда ( )21 12z P z> ; поскольку функция ( )P t на по-

ложительной полуоси возрастает, имеем

( ) ( ) ( )( ) 122 2 5

1 1 1 222 2 2 rz P z P P z z z> ³ = ³ . Получили4 4 52 1 28 8z z z³ > , откуда 28 z> . Однако 2z (как и 1z ) –

нечетное число вида 3k + 1. Следовательно, 2 7z = . Но

1 2z z£ , откуда 1 7z = . С другой стороны, из равенства

( )( ) 1 11 12

r rP P z z z= = следует, что 1z делит 3. Получен-ное противоречие доказывает лемму.В силу леммы, можно переписать систему равенств

задачи при n = 4 в виде ( )( )( )( ) lP P P P x x= , или16 27 21 183 lx x x+ + ѣ + =K . Следовательно, х – дели-

тель 183, больший 1 и не делящийся на 3 (посколькузаведомо l > 1). Отсюда х = 61. Значит, число27 21 61 183ѣ ѣ + должно делиться на 261 , или27 21 3 570ѣ + = – на 61. Противоречие.Авторам неизвестно, справедливо ли утверждение за-дачи для произвольного четного n. Неизвестно также,справедливо ли в случае n = 4 его естественное обобще-ние на многочлены 1 1px - + +K , где 3p ³ – простоечисло.Замечания.1. При доказательстве леммы мы получили неравен-

ство ( )( ) 31 2P P z z№ . Легко показать, что оно справедли-

во при любых целых 1z и 2z ; можно также распрост-ранить его на случай произвольного простого p > 3.2. Утверждение задачи нельзя распространить на слу-чай р = 2: уже при n = 2 это показывает системаравенств 2 + 1 = 3, 23 1 2+ = . «Дублированием»примера его легко распространить на случай любогочетного n.3. Может ли вообще уравнение 1n kx y+ + =K иметьнетривиальные решения в натуральных числах? Ответ

положителен: 4 23 1 11+ + =K , 3 27 1 20+ + =K . Одна-ко, согласно глубокой теореме Туэ, на любой неособойкривой степени 3³ лежит лишь конечное число целыхточек, откуда следует, что каждое из таких уравненийможет иметь лишь конечное количество решений.

В.Сендеров, Б.Френкин

M2055. Клетки бесконечной вправо клетчатой по-лоски последовательно занумерованы числами 0, 1,2, … В некоторых клетках лежат камни. Если на i-й клетке (i > 0) лежит ровно i камней, то разреша-ется снять с нее и разложить по одному на клетки сномерами i – 1, i – 2, …, 0. Леша распределил 2006!камней по клеткам, начиная с первой, так, чтобыможно было собрать их в нуле, сделав несколькоопераций. Найдите минимальный номер клетки, накоторой лежит камень.

Ответ: 2010.Заметим сразу, что в любой момент времени на клетке

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 19

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 120

с номером i > 0 лежит не более i камней; в противномслучае их количество на этой клетке может тольковозрастать, и все камни на нулевой клетке собрать неудастся.Для произвольного натурального k рассмотрим множе-ство клеток с номерами 0,1, , 1k -K . Выясним, какизменяется общее количество камней kS в этих клет-ках при наших операциях. Пусть Леша сделал опера-цию с i-й клеткой. Если i < k, то камни перекладыва-лись только в пределах нашего множества клеток, и kSне изменилось. Если же i k³ , то по одному камнюпоявилось во всех наших клетках, т.е. kS увеличилосьна k. Значит, остаток от деления kS на k остаетсянеизменным; в конце же он равен остатку от деления2006! на k.Заметим, что 2006! делится на все числа от 1 до 2006(очевидно), а также на 2007 3 669= Ч , 2008 2 1004= Ч ,2009 7 287= Ч и 2010 2 1005= Ч . Докажем индукциейпо 0 2009i£ £ , что i-я клетка вначале была пуста.База при i = 0 выполняется по условию. Пусть всеклетки от 0-й до ( )1i - -й были пусты. Тогда числокамней на i-й клетке было равно суммарному количе-ству камней на клетках 0, ,iK , т.е. делилось на i + 1;кроме того, оно не превосходило i. Значит, оно былонулевым, что и требовалось.С другой стороны, 2006! не делится на 2011 (так как2011 – число простое), поэтому общее число камней наклетках от 0 до 2010 имеет ненулевой остаток отделения на 2011; в частности, это число не равно нулю,поэтому на 2010-й клетке изначально были камни.Замечание. Решение позволяет выяснить, каков наи-меньший номер занятой клетки, если изначальноечисло камней было равно n. Именно, это наименьшеенатуральное число k такое, что n не делится на k + 1.Более того, из решения легко увидеть, как следуетразложить n камней на клетках с положительныминомерами так, чтобы их можно было собрать в нуле.Будем раскладывать камни в клетки по порядку. Наi-ю клетку положим такое (единственное!) количествокамней ia i£ , чтобы число 1 ia a+ +K имело тот жеостаток от деления на i + 1, что и n. Предоставляемчитателю самостоятельно доказать, что при такой рас-кладке камни собрать в нуле удастся.

И.Богданов

Ф2063. Фигурку из металла взвешивают на оченьточных весах, используя золотые гирьки, – измерен-ная масса составила 47,98 г. Когда воздух под колпа-ком весов откачали до 0,1 атмосферного давления,получилось практически точно 49 г. Определите поэтим данным, из какого металла сделана фигурка.

Плотность воздуха при нормальных условиях равна5 3

3 31 10 29 10 кг м 1,2 кг м

8,3 293

p

RT

Μρ

-Ч Ч Ч= = »

Ч.

Отношение измеренных масс гирек составляет

2 0 0

1 0

0

1 0,10,1 49

47,981

m

m

ρ

ρ ρ ρ

ρρ ρ

ρ

--

= = =- -

.

Тогда для искомой плотности металла получим

30 53 кг м

0,023

ρρ = » .

Металл такой плотности найти не просто… Либофигурка пустотелая, либо в условии задачи ошибка.Разность измеренных масс для сплошной металличес-кой фигурки должна быть совсем малой, больше 1 гразницы для 50-граммовой фигурки – это слишкоммного. Вот если бы данные в задаче были 47,98 г и48 г, тогда мы получили бы

0 0

1 0,1 1,0004 1ρ ρ

ρ ρ

ж ц- = -з чи ш

, или 30 2600 кг мρ » .

Такая плотность соответствует алюминию – это реше-ние выглядит куда лучше. Должно быть, автор задачии в самом деле ошибся…Кстати, вес воздуха, вытесненного гирьками, можно неучитывать – в решение входит отношение 2 1m m .

Н.Простов

Ф2064. Длинная тонкая прозрачная трубка заполне-на глицерином, посредине трубки находится малень-кий воздушный пузырек. Когда трубка вертикальна,пузырек всплывает практически с постоянной скоро-стью 1 см/с. Сделаем трубку горизонтальной, по-дождем достаточно долго – пока все успокоится, апузырек перестанет двигаться. Теперь разгонимтрубку вдоль ее оси до скорости 10 см/с и продолжимдвигать ее с этой скоростью. Найдите смещениепузырька относительно его начального положения.Считать силу сопротивления пропорциональнойскорости пузырька относительно жидкости.

Будем считать, что диаметр пузырька во много разменьше диаметра трубки и что при движении пузырькажидкость в трубке практически не перемешивается.Когда трубка расположена вертикально, в ней возни-кает распределение давлений – чем ниже, тем большедавление. При этом на пузырек действуют силы состороны окружающей воды – распределение давленийтакое, что будь на месте пузырька такая же капелькаводы, сила тяжести была бы уравновешена силами состороны окружающей воды. Так мы можем найтисумму этих сил – она равна mg, где m – масса воды вобъеме нашего пузырька (просто сила Архимеда, ниче-го неожиданного). При движении пузырька со скоро-стью 1v она уравновешена силой сопротивления:

1mg kv= . Если мы двигаем горизонтальную трубкувдоль ее оси с ускорением a, распределение давленияполучится таким, что капелька воды (вместе с окружа-ющей водой) имеет такое же ускорение. Тогда сила состороны окружающей воды равна ma и в каждыймомент почти полностью (считаем – полностью, массавоздушного пузырька совсем мала) уравновешена си-лой сопротивления: 1 1 1kv kv v v mgv v= = . В итогеполучим соотношение 1a gv v= . За малый интервалвремени τ получаем

1

va g

v

ττ = , или

1

gv x

v∆ ∆= .

Суммируя изменения скорости, получим слева 2v ,

справа суммирование дает полное смещение пузырькаотносительно трубки. Окончательно найдем

1 2 0,01 0,1м = 0,1мм

10

v vx

g

Ч= = .

Совсем немного …А.Повторов

Ф2065. На гладком горизонтальном столе покоитсяклин массой М, его наклонная поверхность составля-ет угол α с горизонтом. Маленькая шайба массой mдвижется по столу со скоростью 0v и «въезжает» нанаклонную поверхность клина. Считая, что наклон-ная поверхность имеет плавное короткое сопряжениес горизонталью, найдите время подъема шайбы доверхнего своего положения. Найдите также смещениеклина к этому моменту. Трения в системе нет.

Попробуем решить эту задачу в «лоб», т.е. укажем всесилы, действующие на шайбу и на клин в процессе ихдвижения (до наивысшей точки), и учтем связи междуускорениями шайбы относительно плоскости и относи-тельно клина. Будем считать, что скорость шайбыотносительно клина линейно убывает со временем от

0v до нуля, а скорость клина линейно возрастает отнуля до скорости cV центра масс системы «шайба–клин», которую найдем из закона сохранения импуль-са (по горизонтали):

0 0c

1

v m vV

m M n= =

+ +.

Как нетрудно подсчитать, ускорение шайбы относи-тельно клина 1a направлено вниз под углом α кгоризонту и равно

( )1 2

1 sin

sin

g na

n

α

α

+=

+,

а ускорение клина относительно плоскости направленогоризонтально и равно

2

sin cos

sin

gA

n

α α

α=

+.

Разделив изменения скоростей на соответствующиеускорения, получим сильно различающиеся междусобой искомые времена:

01

1

vt

a

-=

-, c

2

Vt

A= .

Скорее всего, неверны оба результата, и въезд шайбына клин следует рассматривать как удар, в результатекоторого клин получает импульс, направленный гори-зонтально, а шайба и плоскость (вместе с Землей вцелом) получают компенсирующие друг друга верти-кальные составляющие начального импульса шайбы.Пусть сразу после въезда шайбы на клин V и v –

скорости клина и шай-бы, а 1v – скорость шай-бы относительно клина(см рисунок). Так какразмеры плавного сопря-жения клина малы, товременем его прохожде-ния можно пренебречь.Считая малой и высоту

поднятия шайбы после въезда, запишем законы сохра-нения энергии и импульса (по горизонтали):

2 2 20

2 2 2

mv MV mv= + , ( )0 1 cosmv MV m V v α= + + ,

или2 2 20v nV v= + , ( )0 11 cosv n V v α= + + .

Как видно из рисунка,2 2 2

1 12 cosv V Vv vα= + + .

Решая систему последних трех уравнений, находим

1 0 2sin

nv v

n α=

+, 0

21 cos

1 sin

v nV

n nα

α

ж ц= -з ч+ +и ш

.

Учтем, что относительная скорость шайбы уменьшает-ся от 1v до нуля с ускорением 1a , а скорость клинаувеличивается от V до cV с ускорением А. Есливременем въезда пренебречь, то для времени движениядо наивысшей точки получаем

11

1

vT

a

-=-

, c2

V VT

A

-= .

Преобразования дают, разумеется, одинаковые вре-мена:

( )( )20

1 2 sin1 sin

vT T T n n

g nα

α= = = +

+ .

Центр масс системы движется с постоянной скоростью

cV , его смещение за время T получится cL V T= . Ношайба относительно клина смещается по горизонталивперед, значит, клин отстает от центра масс и этоотставание нужно учесть при расчете смещения клина.Мы нашли скорость шайбы вдоль клина после въезда

1v , ее проекция на горизонталь меняется равномерноот 1 cosv α до нуля, смещение шайбы относительноклина по горизонтали составляет 10,5 coss Tv α= . Тог-да смещение клина «назад» относительно центра массравно ( )x ms M m= + , и полное смещение клина погоризонтали за время T будет L – x . Можно подставитьтеперь в формулу записанные выше выражения для Lи x, но можно этого и не делать – все равно красивойформулы не получится…

Г.Панькевич

Ф2066. Тележки с массами m = 1 кг и М = 2 кг связанылегким упругим шнуром длиной L = 0,3 м. Вначалетележки неподвижны, а шнур почти натянут. Лег-кой тележке ударом сообщают скорость 0v 2 м с= внаправлении соединяюще-го их шнура (рис.1). Че-рез какое время произой-дет удар тележек друг одруга? Жесткость шну-ра k = 20 Н/м.

Центр масс тележек все время движется со скоростью

ц 0m

u vM m

=+

.

Пересядем в эту систему отсчета. Точка шнура, которая

делит длину шнура в отношении 1

2

l M

l m= , как раз и есть

Рис. 1

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 21

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 122

центр масс, цu – это еескорость (рис.2). Жест-кость куска шнура дли-ной 1l равна

1 21

1

1l l m

k k kl M

+ ж ц= = +з чи ш,

и шнур останется натянутым в течение интервалавремени

( )1 1

1 1

1

2

mMT

k M mk

m

π πτ π

ω= = = =

+.

После этого шнур уже не влияет на движение системы(до удара тел – уж точно!), тела едут навстречу другдруга со скоростями 1u и 2u , которые можно найти изуравнений (мы все еще находимся в системе, связаннойс центром масс), описывающих законы сохраненияимпульса и энергии:

( )

1 2

2 22 20 ц ц1 2

,

.2 2 2 2

mu Mu

m v u Mumu Mu

=мпн -

+ = +по

Можно, конечно, решать эту систему, но можно ивспомнить, что относительная скорость тел послеабсолютно упругого лобового удара (а это – нашслучай) остается неизменной, т.е. равной 0v , а длинашнура в тот момент, когда он станет не натянут, равнаl. Тогда полное время до удара будет равно

( )0 0

0,7 cl mM l

tv k M m v

τ π= + = + »+

.

Р.Александров

Ф2067. Цикл тепловой машины, работающей с иде-альным газом, состоит из двух изохорических участ-ков и двух изотермических участков с отношениемтемператур 1 2:T T 3= . Известно, что на участке

изохорического нагрева-ния газ получаетстолько же тепла,сколько на участке изо-термического расшире-ния. Найдите КПД это-го цикла.

Это – совсем простаязадача. Работы на изо-термах (по абсолютнойвеличине) относятся как

3:1 (для каждого малого участка V∆ давление на«верхней» изотерме в 3 раза больше (см. рисунок).

Тогда полная работа в цикле равна ц1 2

3 3A Q Q Q= - = .

Значит, термодинамический КПД равен

ц

ц

2 3 1

2 3

A Q

Q Qη = = = .

С.Простов

Ф2068. Простой ом-метр состоит из пос-ледовательно соеди-ненных миллиампер-метра с током полно-го отклонения 1 мА,батарейки напряже-нием 1,5 В и перемен-ного резистора(рис.1). Регулируя сопротивление этого резистора,мы производим «установку нуля» омметра – призамкнутых выводах омметра стрелку прибора уста-навливаем в крайнее правое положение («нуль оммет-ра»). При разомкнутых выводах ток нулевой – этосоответствует «бесконечному» измеряемому сопро-тивлению. Можно ли при помощи этого прибораизмерить сопротивления резисторов xR порядка1 Ом; 1 кОм; 1 МОм? Какое сопротивление пока-жет этот омметр,если к его выводамподключить полупро-водниковый диод,вольт-амперная ха-рактеристика кото-рого приведена на ри-сунке 2?

Рассмотрим связьмежду током и напря-жением, приложен-ным к измеряемомурезистору. Впрочем,не обязательно к резистору – к любому «устрой-ству», подключенному к нашему омметру. Видно,что эта зависимость линейная, при U = 0 ток равен1 мА (мы его установили), при U = 1,5 В ток обра-тится в ноль. Полученная прямая показана на том жерисунке, на котором приведена вольт-амперная ха-рактеристика диода. Ясно, что точка пересечения двухкривых дает нам возможность найти ответ: такой жеток через прибор, какой мы получили из графика –примерно 0,4 мА при напряжении 0,9 В, – будеттечь при подключении резистора сопротивлением

–3

0,9 B2,25 кОм

0,4 10 AR = =

Ч.

А.Старов

Ф2069. В схеме на рисунке 1 «горизонтальная» ба-тарейка имеет напряжение 1 В, три из четырехконденсаторов имеют оди-наковые емкости, а пос-ледний – вдвое большую.Каким может быть на-пряжение второй, «верти-кальной» батарейки, что-бы хотя бы один конден-сатор в этой схеме ос-тался незаряженным? Доподключения батареек все конденсаторы заряженыне были.

Рис. 2

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 1

Задача несложная,важно только не упу-стить каких-либо воз-можных вариантов.Можно рассматриватьединственную схему(рис.2), но придетсяучитывать два воз-можных значения из-

вестного напряжения: 0 1 BU = и 0 1 BU = - . При этоммы учтем «перестановку» конденсаторов 3 и 4; то жедля 1 и 4 и 2 и 4 получится автоматически, с учетомполярности батарейки напряжением 1U . Итак, принезаряженном конденсаторе емкостью 2С потенциалточки Б равен нулю (примем далее за ноль потенциал«нижней» точки), 0A Uϕ = - , суммарный заряд «ниж-них» обкладок конденсаторов 3 и 4, а также «верхних»обкладок конденсаторов 1 и 2 равен нулю:

( ) ( )1 0 1 0 0 0CU U CU C U- - + + + + = .

Отсюда находим 1 0 1 BU U= = . При 0 1 BU = - полу-чим 1 1 BU = - (полярность обратная).Запишем условие нулевого заряда конденсатора 3:

0Aϕ = , 0Б Uϕ = , ( ) ( )1 1 0 02 0CU C U U C U+ - + - = ,

1 03

2U U= , 1 1,5 BU = ± .

Теперь запишем условие нулевого заряда конденсато-ра 1:

1A Uϕ = , 1 0Б U Uϕ = + ,

( ) ( ) ( )1 1 0 1 1 02 0CU U U C U C U U- + + - + - - = ,

0 1 1 02 2 0U U U U- - - - = ,

1 0 1 BU U= - = - (полярность обратная).

И, наконец, запишем условие нулевого заряда конден-сатора 2:

1Б Uϕ = , 1 0A U Uϕ = - ,

( ) ( ) ( )1 1 0 1 0 12 0C U U U C U U C U- + + - + + - = ,

0 1 0 12 0,U U U U- + - = 0 12 3 ,U U= 1 02 2

3 3U U B= = .

Итак, вот возможные напряжения «вертикальной»

батарейки: 2

B3

; 1 В; 1,5 В.

З.Рафаилов

Ф2070. На одинаковые тороидальные сердечники,сделанные из материала с большой магнитной прони-цаемостью, намотаны тонким проводом катушки,одна из них содержит вдвое больше витков, чемдругая. Катушка с меньшим числом витков имеетиндуктивность 0,5 Гн. Катушки соединены парал-

лельно, к выводам кату-шек присоединены кон-денсатор емкостью10 мкФ и батарейка на-пряжением 6 В с внутрен-ним сопротивлением10 Ом (см. рисунок). Ког-

да токи в цепи практически перестали изменяться,батарейку отключают. Найдите максимальное зна-чение заряда конденсатора. Какое количество тепло-ты выделится в каждой катушке после отключениябатарейки? Провод, которым намотаны катушки,имеет очень маленькое сопротивление.

Вначале о катушках. Пусть индуктивность катушки сменьшим числом витков равна L, тогда индуктивность«двойной» катушки в 4 раза больше и составляет 4L.Обозначим малое сопротивление куска провода, кото-рым намотана меньшая катушка, через r, сопротивле-ние «двойной» катушки вдвое больше и равно 2r.После того как токи в цепи практически перестаютизменяться, ЭДС самоиндукции катушек становятсянулевыми и полный ток в цепи батарейки равен

общ 6 B 10 Ом 0,6 AI = = . Между катушками этот токраспределяется в отношении, определяемом сопротив-лениями обмоток, т.е. через малую катушку течет вдвоебольший ток, чем через «двойную». Таким образом,ток первой катушки равен 2I = 0,4 А, а ток «двойной»катушки равен I = 0,2 А. Конденсатор при этом незаряжен (его напряжение было бы нулевым при иде-альных катушках, а в нашем случае оно равно падениюнапряжения на сопротивлениях проводов, которыминамотаны катушки). Максимальный заряд конденса-тора получится в тот момент, когда заряжающий еготок первый раз станет нулевым (для идеальных кату-шек такие моменты наступали бы дважды в течениекаждого периода колебаний – в нашем случае колеба-ния медленно затухают и самый большой заряд полу-чается именно в первый такой момент). Пренебрежемзатуханием за время одного периода колебаний (сопро-тивление проводов по условию мало), ЭДС индукциикатушек все время одинаковы, изменения токов обрат-но пропорциональны индуктивностям катушек – токчерез катушку индуктивностью L меняется в 4 разабыстрее, он сменит знак до того, как второй ток упадетдо нуля. Суммарный ток станет нулевым при значениитока каждой катушки J, определяемом уравнением( )4 0,2 0,4J J- = + , откуда J = 0,08 А. Максимальный

заряд конденсатора определим из закона сохраненияэнергии (выделением тепла за небольшой интервалвремени пренебрегаем):

( )2 22 2 22

4 42 2 2 2 2

mI QI J JL L L L

C+ = + + ,

откуда37,2 1,2 10 КлmQ I LC -= = Ч .

Общее количество теплоты, выделившееся в системепосле отключения батарейки, найти совсем просто –это суммарная энергия катушек сразу после отключе-ния: ( )

2 2общ 2 2 4 2 0,08 ДжW L I LI= + = . Намного

сложнее посчитать, как это тепло распределится междукатушками. В схеме одновременно происходят дваразных процесса – понемногу затухает «кольцевой»ток в контуре, образованном двумя катушками, имедленно затухают колебания в контуре из конденсато-ра и двух катушек, включенных параллельно. В «коль-цевом» процессе расходуется энергия 2

1 5 2W LI= =

Рис. 2

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 23

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 124

0,008 Дж= , в «колебательном» – остальные

2 0,072 ДжW = . В первом из процессов токи катушекодинаковы, отношение количеств теплоты определяет-ся отношением сопротивлений катушек. Тогда в оди-нарной катушке выделяется 3

1 3 3 10 ДжW -» Ч , в

«двойной» – примерно 36 10 Дж-Ч . В колебательномпроцессе токи катушек определяются отношением ин-дуктивностей, т.е. через одинарную катушку течет вкаждый момент вчетверо больший ток. С учетом отно-шения сопротивлений проводов получится отношение8:1 в пользу одинарной катушки, в ней выделится

28 9 0,064 ДжW = , в «двойной» катушке выделится

2 9 0,008 ДжW = . Будем считать, что в одинарнойкатушке всего выделилось чуть меньше 0,07 Дж, а в«двойной» в сумме выделилось примерно 0,015 Дж.Конечно, это довольно грубая оценка, нельзя простосуммировать количества теплоты, выделяющиеся вкаждом из процессов, но это все же лучше, чемничего…

А.Зильберман

Ф2071. На двух одинаковых легких пружинах жест-костью k, прикрепленных к потолку, висят одинако-вые грузы массой М. На один из грузов аккуратноставят грузик массой m, а после того, как колебанияпрекратятся, быстро переносят грузик на другойгруз. Через какое время грузы поравняются? А черезкакое время скорости грузов впервые будут направ-лены в одну сторону?

Каждый из маятников после переноса грузика будетсовершать гармонические колебания. Частоты колеба-

ний разные:

1k

Mω = и 2

k

M mω =

+,

амплитуды – одинаковые и равные 0mg

xk

= . Отсчиты-

вая координаты от положения равновесия ненагружен-

ного маятника, получим графики изменения координатсо временем (см. рисунок). Поравняются грузы вмомент 1t , для которого 0 1 1 0 2 1cos sinx t x tω ω- = - . Приэтом

1 1 2 1cos sint tω ω= ,

или

1 1 2 12

t tπ

ω ω+ = , ( )1

1 222

tk k

M M m

π π

ω ω= =

+ ж ц+з ч+и ш

.

Скорости грузов впервые будут направлены в однусторону, как только один из них изменит направлениедвижения. Так как 1 2ω ω> , первым это сделает груз,с которого сняли грузик массой m, через половинупериода своих колебаний. Итак,

2 11

1

2

Mt T

kk

M

π ππ

ω= = = = .

А.Грузов

Ф2072. Корпус светоизлучающего диода отштампо-ван из прозрачной пластмассы (рис.1). На одном егоконце сформированалинза, излучающаяобласть представля-ет кружок диамет-ром 2 мм. Оценитедиаметр светлогопятна на экране, рас-положенном на оси из-лучения на расстоя-нии 20 см от диода. Отражениями света внутрипластмассового корпуса можно пренебречь.

При решении этой задачи нам придется сделать не-сколько допущений. Будем считать, что центр излуча-ющей поверхности находится в главном фокусе линзы,т.е. F = 8 мм. Пусть коэффициент преломления плас-тмассы равен n = 1,5, тогда радиус кривизны сферичес-кой поверхности составляет ( )1 4 ммR F n= - = . Центризлучающей поверхности после преломления даст па-раллельный пучок света, его радиус 0 2,5 ммr = . Даль-ше проводим вычисления (рис.2). Отрезок ГD имеет

длину 0,9 мм, расходимость пучка после линзы опре-деляется ходом «самого невыгодного» луча БВ. Дляугла падения его к нормали – радиусу ОВ – расчет дает13°. Тогда угол преломления составит примерно 20°.При этом луч идет под углом 19° к главной оптическойоси линзы и на расстоянии 20 см от нее отойдет от этойоси еще на 20 см tg19 7 смЧ ° » . Таков и будет радиуспятна на экране. Интересно, что измеренный в прямомэксперименте со светодиодом радиус пятна был чутьбольше 5 см – для такого грубого расчета совпадениехорошее.

А.Светлов

Рис. 1

Рис. 2

Задачи

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8классов. И

ллю

страция Д

.Гриш

уковой

К М Ш

1. Даны 6 легких и 6 тяжелых монет. По внешнемувиду они неразличимы. За одно взвешивание пролюбое множество монет можно узнать, сколько в немтяжелых монет. Как за два взвешивания найти двемонеты, одна из которых легкая, а другая тяжелая?

А.Шаповалов

2. Вася задумал три натуральных числа. Для каждойпары чисел он нашел разность между их произведени-ем и суммой. Оказалось, что одна из этих разностейотрицательна, а другая положительна. Каков знактретьей разности?

Б.Френкин

3. В прямоугольном треугольнике один катет вдвоедлиннее другого. Разрежьте его на 5 одинаковыхтреугольников.

Р.Сарбаш

4. Для каких натуральных чисел х и у выполняетсяравенство

+ + + + =K

1 21 2 2 2 3

x y ?

В.Сендеров

5. В стране, каждый житель которой либо рыцарь,либо лжец (рыцари, как известно, всегда говорятправду, а лжецы – врут), за круглым столом собраласькомпания из 19 аборигенов. Каждый из собравшихсязаявил, что оба его соседа – лжецы. Разразилсяскандал, в результате которого часть компании поки-нула застолье.После этого каждый из оставшихся с удовлетворениемобъявил, что теперь оба его соседа – рыцари.– И в самом деле, среди вас теперь ни одного лжеца,– согласился с ними последний из покидавших компа-нию.Тем временем «отщепенцы» организовали новое со-брание и вновь за круглым столом. Каждый из сидя-щих за этим столом произнес, что среди его соседейровно один рыцарь.Сколько человек остались сидеть на своих местахпосле раскола компании?

В.Лецко

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 126

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»Мы завершаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8

классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала поадресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс «Математика6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес.

Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но иматематических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контакт-ный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальныйочный турнир.

16. При каких натуральных n > 2 можно записать водну строку числа от 1 до n так, чтобы среди любыхтрех чисел, записанных подряд, одно из них было неменьше суммы двух других?

И.Акулич

17. Найдите все натуральные степени простых чисел,представимые в виде суммы двух кубов натуральныхчисел.

В.Сендеров

18. Точку D, лежащую внутри остроугольного треу-гольника АВС, отразили симметрично относительнотрех его сторон АВ, ВС, СА. Оказалось, что соответству-ющие три новые точки 1 1 1, ,C A B лежат на окружности,описанной вокруг треугольника АВС. Затем на чертежеоставили точки 1 1 1, ,A B C , а все остальное стерли.Восстановите треугольник АВС по этим трем точкам.

С.Дворянинов

19. Числовая последовательность 0 1 2, ,f f f , … строитсяследующим образом:

=0 0f , ++ +

=2

1

3 5 4

2

n nn

f ff , n = 0, 1, 2, …

Докажите, что все числа этой последовательности –целые.

В.Лецко

20. Натуральные числа х и у таковы, что ху + 1является квадратом целого числа. Докажите, что най-дется натуральное число z такое, что числа yz + 1,zx + 1, а также число xy + yz + zx + 1 являютсяквадратами целых чисел.

В.Произволов

Призрак ЛеонардоИ .АКУЛИЧ

Пусть тот, кто не математик, не читает меня.

Леонардо да Винчи. Научная проза

ПОЛТЫСЯЧЕЛЕТИЯ ОТДЕЛЯЕТ НАС ОТ ВЕЛИКОГО ЛЕОНАР-

до да Винчи, но человечество и по сей деньнеустанно ищет ответ на вопрос: кто же он был такой?Художник? Изобретатель? Философ? Гений, намногоопередивший свое время, или вообще посланникинопланетного разума?

Свидетельствами неувядающего интереса к этомутитану эпохи Возрождения являются наделавшая мно-го шума книга (а затем и фильм) «Код да Винчи», атакже увлекательная компьютерная игра 1. Она прямо-

таки насыщена задачами, головоломками и прочимизатруднениями, что делает ее чрезвычайно трудной, нои весьма интересной.

Одна из задач этой игры и явилась отправной точкойистории, которую мы сейчас изложим. Итак, дан клет-чатый квадрат размером ѣ5 5 клеток, каждая клеткакоторого может быть либо белой, либо черной (пер-воначально все клетки белые, хотя это и несуществен-но). Разрешается выбрать любую клетку и одновре-менно перекрасить в противоположный цвет ее самуи все клетки, имеющие с ней общую сторону (мы ихбудем называть соседями). Требуется за несколькотаких операций перекрасить все клетки квадрата впротивоположный цвет.

Трудно сказать, приложил ли руку к этой задаче самЛеонардо да Винчи, но вполне возможно, что да. Во

1 Cм., например, www.1980-games.com/us/reflexion-games/reflexion-others/026.php или www.1980-games.com/us/reflexion-games/reflexion-others/debout.php

всяком случае, похоже на то. Ужочень… но об этом позже.

Безусловно, многие пользо-ватели компьютерной игры ре-шали головоломку «методомтыка», щелкая мышью по раз-личным клеткам по велениюдуши. Но мы постараемся по-дойти к делу научно.

Для начала назовем перекра-шивание какой-либо клетки (иодновременно всех ее соседейпо стороне) ходом в эту клетку.Пусть мы сделали какое-то ко-личество ходов в какие-то клет-ки и добились своего, перекра-сив все клетки квадрата в про-тивоположный цвет. Рассмотримлюбую клетку. При каждом ходев нее саму или в любую сосед-нюю с ней клетку она меняетцвет. Следовательно, если в итогеклетка получила противополож-ный цвет, суммарное число хо-дов в эту клетку и все соседниес ней клетки должно быть не-четным. При этом очередностьходов, очевидно, не имеет ни-какого значения – от переста-новки слагаемых сумма (а темболее четность) не меняется.

Поразмыслив, можно сделатьеще один, не менее важный вывод: если в какую-либоклетку было сделано не меньше двух ходов, то, умень-шив количество ходов в эту клетку на 2, мы придем ктакому же результату. Закон четности проявляется издесь. Но если так, то, уменьшая число ходов в каждуюклетку на 2 до тех пор, пока это возможно, мы доведемколичество ходов в каждую клетку до одного иливообще до ни одного. Другими словами, если возмож-но с помощью некоторого набора ходов в некоторыеклетки достичь желаемого результата, то того жеможно добиться, сделав в каждую клетку не болееодного хода. Такой вывод позволяет нам разделитьклетки на две категории: в которые был сделан ход(единственный!) и в которые не было сделано хода.Посему давайте отметим клетки, в которые надо сде-лать ход, и подумаем, каким условиям должна удов-летворять полученная конфигурация.

Заметим, что с каждой отмеченной клеткой обязанососедствовать четное число отмеченных клеток (т.е.или ни одной, или две, или четыре), а с каждойнеотмеченной клеткой – нечетное число отмеченныхклеток (т.е. или одна, или три). Несомненно, большин-ство читателей согласятся с этим без колебаний, а длятех, кто сомневается, поясним подробнее.

Рассмотрим любую неотмеченную клетку А. С нейсоседствует нечетное число отмеченных клеток. Так какпри ходе в любую такую соседнюю клетку клетка Апоменяет цвет, то после всех ходов она поменяет цвет

нечетное число раз, и в итоге ее цвет станет противо-положным исходному.

Теперь рассмотрим любую отмеченную клетку В. Сней соседствует четное число отмеченных клеток. Таккак при ходе в любую такую соседнюю клетку клетка Впоменяет цвет, то после всех ходов в соседние отме-ченные клетки она поменяет цвет четное число раз.Плюс к тому же она один раз поменяет цвет при ходев саму клетку В. Таким образом, в итоге ее цвет станетпротивоположным исходному.

Что ж, нам удалось преобразовать «динамическую»задачу (где клетки то и дело меняют цвет) в «статичес-кий» вариант, где нужно всего лишь отметить некото-рые клетки доски определенным образом: чтобы скаждой отмеченной клеткой соседствовало четноечисло отмеченных клеток, а с каждой неотмеченной –нечетное число отмеченных клеток.

Приступим. Для квадрата ѣ5 5 решение имеется(рис.1, отмеченные клетки окрашены в красный цвет).С помощью поворотов и отражений можно получитьеще три решения, но самое интересное, что другихрешений нет! Уже это позволяет предположить, чтовеликий Леонардо мог быть причастен к такой задаче– ведь интуитивно кажется, что решение должно быть«более симметричным», ну хотя бы относительновертикальной и горизонтальной осей.

Разумеется, мы не станем ограничиваться квадратомѣ5 5 , а «потрогаем» квадраты ѣn n и для других n.

К М Ш 27

Иллю

страция

В.И

ваню

ка

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 128

При небольших n это можно сделать без особоготруда. Проще всего получить ответ для n = 1 – этопросто единственная отмеченная клетка. При n = 2имеем четыре закрашенные клетки, и решение тожеединственное. Значение n = 3 дает красивую конфигу-рацию, опять-таки единственную (рис.2).

Неожиданную россыпь различных конфигурацийпорождает n = 4. Существует пять принципиальноразличных способов отметить клетки (рис.3).

Первые два из них с помощью поворотов и отраже-ний «раздваиваются», а остальные три «расчетверяют-ся». Итого, получается 16 способов. Весьма «выпадаю-щий» результат на фоне остальных уже рассмотрен-ных n.

Далее решения вплоть до n = 8 еще удалось подо-брать вручную (отметим, кстати, что задача для квад-рата ѣ8 8 , т.е. собственно шахматной доски, былапредложена в конкурсе «Математика 6–8» текущегоучебного года (задача 5) – так что заодно мы решилии ее). При этом были обнаружены весьма симпатич-ные, обладающие высокой степенью симметрии кон-фигурации (рис.4).

Уже на этом этапе, несмотря на достигнутые успехи,появились смутные мрачные предчувствия. Во-первых,не удалось нащупать никаких «общих» способов отме-тить клетки требуемым способом. Неудачной оказа-лись и попытки использовать найденные результатыдля меньших n при поиске решений для бóльших n.Правда, конфигурация для n = 8, как легко заметить,получается как бы дополнением «каймы» к конфигу-

рации для n = 6, но этот успех слишком скромен (ивыявлен он был, честно сказать, задним числом).

Что делать? Пришлось поставить на службу достиже-ния современной вычислительной техники и поручитькомпьютеру поискать, для каких еще n можно отметитьклетки (а заодно подсчитать количество способов этосделать для каждого n). Бодро стартовав, компьютердобрался только до n = 28, поскольку с дальнейшимростом n он начинает думать безбожно долго. Тем неменее, анализ результатов оказался настолько порази-тельным, что предположение о причастности да Винчик рассматриваемой задаче только укрепилось. Посуди-те сами. Во-первых, компьютер подтвердил единствен-ность решения для n = 6, 7 и 8. Более того, выяснилось,что решение существует для всех рассмотренных n,причем для n = 10, 12, 13, 15, 18, 20, 21, 22, 25, 26, 27 и28 оно единственно. Следовательно, оно обладаетсимметрией относительно всех осей симметрии самойдоски (иначе появились бы дополнительные решения,полученные поворотами и отражениями). Далее, дляn = 17 (как и для известного нам n = 5) имеется 4решения, для n = 14 и 24 имеется 16 решений, дляn = 11 число решений достигает 64, для n = 9 и 16 оноравно 256. А дальше – прямо-таки потрясающий взлет:при n = 23 число решений резко «прыгает» до 16384,а для n = 19 – до 65536. Отметим, что каждое изфигурирующих здесь чисел (1, 4, 16, 64, 256, 16384 и65536) является целой неотрицательной степенью чет-верки. При этом на свет уже появляются и конфигура-ции, не обладающие ни осевой, ни поворотной сим-метрией (хотя отдельные их фрагменты могут бытьсимметричны). Например, вот как выглядит один ихвозможных результатов для доски ѣ19 19 (рис.5).

Фантасмагория какая-то! Такого рода результатыпросто ошарашивают, и начинает казаться, что где-торядом неслышной тенью проходит восставший изглубины веков призрак Леонардо. Неужели он пред-чувствовал нечто подобное (отсутствие компьютерагению, как известно, не помеха)? Так или иначе, но то,

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4 Рис. 5

что мы имеем, заставляет сформулировать два безот-ветных пока вопроса.

Вопрос 1. Для любого ли n можно отметить требуе-мым образом клетки квадрата ѣn n ?

Вопрос 2. Если да, то всегда ли количество способов,которыми можно это сделать, является целой неотри-цательной степенью числа 4?

Что ж, «провалившись» с квадратом, попробуемпоступить излюбленным методом отечественного пер-сонажа деда Щукаря: вильнуть куда-то в сторону.Рассмотрим не квадрат, а прямоугольник размером

ѣm n клеток. Что будет для него при решении той жезадачи?

После запуска компьютера на всю мощь были полу-чены результаты для всех досок размером вплоть до

ѣ20 50 (дальше опять начались проблемы со време-нем). Результаты оказались не менее удивительны. Во-первых, по-прежнему для всех проверенных прямоу-гольников решение существует, причем для большин-ства из них (не менее 70%) оно единственно. При этомбыли выявлены два значения m = 12 и 18, для которыхрешение единственно при любом (из рассмотренных)значении n. Ну а если количество решений не един-ственно, то в некоторых случаях оно уже не являетсястепенью четверки, но является степенью двойки. Такчто вопросов только добавилось.

Вопрос 3. Для любых ли m и n можно отметитьтребуемым образом клетки прямоугольника ѣm n ?

Вопрос 4. Если да, то всегда ли количество способов,которыми можно это сделать, является целой неотри-цательной степенью числа 2?

Вопрос 5. Существует ли такое m, что для любого nрешение единственно?

После такого безответного удара задача перешла встадию «разброд и шатания». Уязвленное самолюбиетребовало ответных действий. Были предприняты мно-гократные попытки исследовать не квадрат и не пря-моугольник, а любую фигуру, которую можно выре-зать из клетчатой бумаги (в том числе и с дырками),причем с единственной целью: найти хотя бы однуфигуру, клетки которой нельзя отметить требуемымобразом.

Читатель наверняка уже догадался, что получилосьв результате: таких фигур обнаружено не было! Любоесамое заковыристое нагромождение клеток, котороетолько могло изобрести воспаленное воображение,позволяло после некоторых мучений добиться нужной«разметки». О количестве решений речь здесь, конеч-но, не шла – не до того как-то было. Остаетсяпоследний вопрос.

Вопрос 6. Существует ли хотя бы одна фигура,которую можно вырезать из клетчатой бумаги (воз-можно, с дырками), клетки которой нельзя отметитьтребуемым образом?

Автор будет благодарен читателям, которые прояс-нят хотя бы часть поставленных вопросов. Но на всякийслучай предупреждаем (ибо проверено на себе): неисключено, что в процессе раздумий у вас появитсяощущение, что где-то совсем рядом находится при-зрак Леонардо да Винчи, который смотрит на вас исочувственно улыбается. Точь-в-точь как Джоконда.

К М Ш 29

Теперь будем строить не одну, а много снежинок. Дляначала замостим плоскость правильными треугольни-ками и шестиугольниками, как показано на рисунке 2.Затем в каждом из шестиугольников проведем тридиагонали. В результате плоскость будет покрытабольшими правильными треугольниками (закрасим ихв красный цвет), маленькими правильными треуголь-никами (закрасим их в синий цвет) и равнобедренными

треугольниками с углом120° (оставим их белы-ми). Начнем строитьснежинки Кох из всехправильных треуголь-ников. Как видно изрисунка 3, после пер-вой итерации от каждо-го белого треугольникаостанутся незакрашен-ными 4 подобных емувтрое меньших треу-гольника. На второйитерации с этими ма-Рис. 1

ленькими треугольникамипроизойдет то же самое ит.д. Таким образом, красныеи синие снежинки не будут

пересекаться и в пре-деле заполнят по-чти всю плоскость.Последнее утверж-дение означает, чтоплощадь белой час-ти плоскости стре-мится к нулю, хотясуществуют точки,которые никогда небудут окрашены.

Мозаика на ри-сунке 4 получаетсяпосле трех итера-ций.

А.Заславский

Рис. 2 Рис. 3

Мозаика из снежинок

(Начало см. на с. 14)

Рис. 4

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 130 Ш К О Л А В « К В А Н Т Е »

Три эссена физические

темыР.ВИНОКУР

Трагический миг невесомости

В известном романе Жюля Верна «Из пушки на Луну»космические путешественники, летящие в огромном ар-тиллерийском снаряде, якобы ощутили состояние невесомо-сти в момент, когда снаряд пересекал центр притяжениямежду Луной и Землей. (Речь шла о точке, где силыпритяжения, создаваемые Луной и Землей, одинаковы ипротивоположно направлены.) Известный американскийфизик-экспериментатор Роберт Вуд указал, что на самомделе состояние невесомости должно было установиться привыходе снаряда из атмосферы Земли. Этот же вывод сделани в книге «Занимательная физика» замечательного популя-ризатора науки Якова Перельмана.

Жюль Верн упустил из виду, что если тело и его опорадвижутся в пространстве с одинаковыми ускорениями, сооб-щаемыми только гравитационными силами, то давить другна друга они не могут. (Имеется в виду ускорение во внешнейсистеме отсчета, например относительно центра Земли илиСолнца.) Поэтому как только на снаряд перестали действо-вать пороховые газы, выталкивающие его из орудийногоствола, и сопротивление воздуха (после выхода из земнойатмосферы), все предметы внутри снаряда должны статьневесомыми. Эти негравитационные силы давления порохо-вых газов и сопротивления воздуха действовали только наснаряд, так что пока все они или их равнодействующая неравны нулю, ускорение снаряда отлично от ускорения нахо-дящихся в нем предметов.

Однако состояние невесомости могло возникнуть внутриснаряда еще раньше. Действительно, рассмотрим негравита-ционные силы, действующие на снаряд до и после его вылетаиз пушки. Внутри ствола на движущийся снаряд действуетсила давления пороховых газов, которой противодействуютсила трения снаряда о стенки ствола и сила сопротивлениявоздуха. При этом сила давления пороховых газов суще-ственно превосходит силы сопротивления воздуха, благода-ря чему снаряд ускоряется в направлении движения. Послевылета из ствола на снаряд действует лишь одна негравита-ционная сила – сила сопротивления воздуха, направленнаяпротив движения снаряда. Значит, равнодействующая не-гравитационных сил изменила свое направление после выхо-да снаряда из ствола. Поэтому в какой-то момент, когдаснаряд еще находился в пушке, эта равнодействующая быларавна нулю и на снаряд действовала только сила тяжести,что и соответствует условию невесомости.

К сожалению, космические путешественники не смогли быощутить состояние невесомости по причине гибели из-за

гигантских перегрузок при разгоне снарядав орудийном стволе…

Впрочем, по мнению поэта Игоря Северя-нина, творчество Жюля Верна не подлежиткритическому научному анализу:

…Он предсказал подводные судаИ корабли, плывущие в эфире.Он фантастичней всех фантастов

в миреИ потому – вне нашего суда.

В конце концов, никто не бывает всегда иабсолютно прав, и это можно показать напримере все той же физической задачи.Помимо гравитационных сил со стороныСолнца, Луны и других космических гиган-тов на снаряд и предмет внутри него дей-ствует взаимная сила притяжения, котораямала из-за сравнительно небольших массэтих тел и практически неощутима. Однакоиз-за этого эффекта абсолютное состояниеневесомости не могло быть достигнуто.

Минус две рыбы и открытие позитрона

Нас было трое на рыбалке – Джон, Поли я, Гаррис. Темза здесь изобилует щуками,плотвой, угрями и уклейкой. Гуляя поберегу, вы можете видеть их целые стаи, нопоймать их на крючок не так просто. Времяшло, а рыба не ловилась. И тогда Полрассказал нам с Джоном об одной матема-тической задаче, которую он решал в рож-

Роман Винокур был автором интересных публикаций в нашемжурнале в 80-е годы прошлого века. Сейчас он живет в США, ноконтакта с журналом не теряет. (Прим. ред.)

Л А Б О Р А Т О Р И Я « К В А Н Т А »Ш К О Л А В « К В А Н Т Е » 31

дественском конкурсе, организованном Кембриджским сту-денческим обществом:

Три рыбака улеглись спать, не поделив улова. В час ночипроснулся один из них и уехал домой, взяв с собой третьулова. При дележке на три равные части у него оказаласьлишняя рыба, которую он выбросил в реку. В два часа ночипроснулся второй рыбак и, не зная, что один из его компа-ньонов уже уехал, снова разделил улов на три равные части.У него тоже осталась лишняя рыба, которую он выбросил вреку. В три ночи проснулся третий рыбак и проделал ту жеоперацию, поделив улов на троих и выбросив «лишнюю»рыбу. Сколько рыб выловили рыбаки?

Мы с Джоном достали карандаш и бумагу и получилиобщее решение задачи: рыбаки поймали (27N – 2) рыбы, гдеN – целое число. При N = 1 эта формула дает 25 рыб, а приN = 2 получается, что рыбаки поймали 52 рыбы. Мы решили,что 25 рыб – наиболее реальное число, но оказалось, что Полпредложил другое решение: минус две рыбы (при N = 0). Мыс Джоном дружно рассмеялись. В свое время смеялись ичлены жюри конкурса, увидев такое необычное решение.

Между тем, мы поймали лишь одну рыбу на троих, большеклева не было, и мы разбрелись по берегу, ища хорошееместо каждый в отдельности. Впрочем, удача нам не сопут-ствовала. Первым вернулся Джон, вспомнив, что ему надовозвращаться домой раньше других. Решив взглянуть напос-ледок на ранее пойманную рыбу, он вытащил ее из ведра.Неожиданно рыба вырвалась из его рук и нырнула в реку.Огорченный Джон решил возместить эту общую потерю. Онсбегал в соседний трактир, занял у трактирщика похожуюрыбу из свежего улова, бросил ее в наше ведро и уехал домойне прощаясь (как истинный англичанин). Следует заметить,что трактирщик поставил условие, чтобы ему впоследствиивернули не деньги, а рыбу. Затем появился Пол, и с нимпроизошла такая же история – он тоже задолжал трактирщи-ку одну рыбу. Потом это случилось со мной, когда Джон иПол уже уехали.

Встретившись на следующий день, мы выяснили, чтопроизошло, и долго смеялись, так как в результате мыпоймали ровно минус две рыбы: одну выловили в самомначале рыбалки, а три рыбы нам предстояло поймать, чтобывернуть долг трактирщику. Непривычное математическоерешение оказалось вполне реальным…

Фамилия Пола была Дирак, а его специальностью былатеоретическая физика. Однажды Дирак, решая уравнения,описывающие движение электрона, обнаружил отрицатель-ные решения там, где обычно рассматривались только поло-жительные значения. Вспомнив задачу «о минус двух ры-бах», он не пренебрег этим случаем, а предположил, что уэлектрона есть двойник, во всем подобный электрону, но сположительным электрическим зарядом вместо отрицатель-ного.

Такая элементарная частица была вскоре обнаруженаэкспериментально, и ее назвали позитроном. Впоследствиидвойники-античастицы были открыты почти у всех элемен-тарных частиц.

Объемный взрыв над Тунгусской тайгой

В интересной статье Льва Дыхно «Тунгусская катастрофа:новая гипотеза», напечатанной в журнале «Вестник» в 1997году, я увидел знакомое имя – Михаил Цикулин, членкомиссии по изучению Тунгусского метеорита при Академиинаук СССР.

Когда-то в бывшей стране Советов наука ассоциироваласьс романтикой, а физики считались весьма уважаемым сосло-вием. Молодежь зачитывалась романом Даниила Гранина«Иду на грозу», а фотографии Эйнштейна стали обязатель-

ным атрибутом дома и на работе.

Качает, качает, качает задира ветерфонари над головой.

Шагает, шагает, шагает веселый пареньпо весенней мостовой.

Листает, листает, листает, учебник физикилистает на ходу.

Не знает, не знает, не знает, что япо улице вслед за ним иду,

– звучала песня по радио из репродукторов…Зимой 1969 года я, тогда третьекурсник Московского

физико-технического института, попал на практику в Инсти-тут физики Земли, где Михаил Цикулин заведовал лабора-торией. Я уже успел прочитать его с соавторами статью омоделировании Тунгусского взрыва. По мнению Цикулина,огромное космическое тело вошло в атмосферу Земли и,пролетая над тайгой с большой скоростью, создало ударнуювоздушную волну, повалившую деревья. В эксперименте,поставленным для проверки гипотезы, роль деревьев игралипластмассовые модели, воткнутые в песок, а для созданияударной волны использовался шнуровой взрывной заряд,полого натянутый над ними – вдоль предполагаемой траек-тории космического пришельца. В конце шнурового зарядабыл прикреплен небольшой сферический заряд, имитирую-щий взрыв метеорита в конечной точке полета. Экспериментпоказал, что форма зоны, где пластмассовые модели былиповалены, соответствуют реальной картине в Тунгусскойтайге.

Однако сам Цикулин был не очень удовлетворен этимнаучным успехом. «Есть и другие гипотезы, – сказал он. –Если хотите, приходите делать диплом по этой теме. А покачитайте и думайте – может появится своя идея. Толькопомните принцип Оккама: чем проще гипотеза, тем онанадежней. Кое-кто, например, предполагает, что в 1908 годунад тайгой взорвался инопланетный космический корабль».Потом Цикулин читал нашей группе курс по теории взрыва.В июне 1969 года он попросил нашего согласия, чтобыперенести экзамен на неделю раньше. «Ради бога, извинитеза неудобство, – говорил он смущенно, – однако у менядействительно важная причина». Причиной оказалась труд-ная операция, сразу после которой Цикулин скончался. Емубыло тогда 42 года.

Мы успели обсудить с ним несколько новых гипотез иостановились на идее объемного взрыва пыли в воздухе.Давно известно, что при распылении в воздухе быстросгорающих мелких частиц – угольной пыли в шахтах,мучной пыли на мельницах, сахарной пудры на конфетныхфабриках и даже каменной пыли в каменоломнях и строя-щихся горных туннелях – нередко случались так называе-мые объемные взрывы. Физический эффект состоит в следу-ющем.

Поскольку отношение площади поверхности к объему упылинок намного больше, чем у того же вещества, сжатогов комок, пылинки могут быстро прогреться электрическимразрядом или вспышкой пламени до температуры воспламе-нения. При достаточном количестве кислорода сгораниепроисходит почти мгновенно и поэтому подобно взрыву. Сдругой стороны, благодаря большой суммарной поверхностидвижущаяся пыль сравнительно легко электризуется трени-ем частиц о воздух и между собой, поэтому вероятностьэлектрических разрядов довольно велика.

Предполагается, что Тунгусский метеорит был сравни-тельно малой кометой, просмотренной астрономами и состо-

(Продолжение см. на с.34)

32

Разумеется, хорошо! Ведь тепловые явления начинаютизучаться в школе одними из первых. И за помещеннымиздесь фрагментами из научных трудов сразу угадываютсязадачи на использование уравнения теплового балансаили лабораторные работы по нахождению температурысмешиваемых жидкостей. Да и в обиходе мы постоянносталкиваемся либо с определением температуры нашеготела с помощью градусника, либо с приготовлениемванны комфортной температуры – для чего мешаемгорячую воду с холодной, либо с добавлением в обжига-ющий чай или кофе молока – не дожидаясь их остывания.В общем, тепловое равновесие – это так наглядно ипросто!

Однако уже в старших классах, при знакомстве с зако-нами термодинамики, эта простота перестает казатьсястоль очевидной. Как вы отнесетесь, например, к идее«тепловой смерти Вселенной», к которой должно было быпривести всеобщее стремление к выравниванию темпера-туры? Оказывается, все попытки объяснить, почему этогоне произошло за невообразимо долгую историю нашегомироздания, были тщетными до создания общей теорииотносительности.

Еще одним примером нетривиальности понятия термо-динамического равновесия и его глубокой связи с други-ми разделами науки служит приведенный в эпиграфепринцип Ле Шателье. С иной его формулировкой вывстретитесь, например, при изучении электромагнитнойиндукции или химических процессов, что подтвердит егосправедливость и за рамками тепловых явлений.

Нельзя обойти вниманием и проблемы, возникшие уклассической термодинамики при переходе к исследова-нию открытых систем и неравновесных процессов, проте-кающих как в живой, так и в неживой природе. Ведьвозникновение разнообразнейших структур, их «самоор-ганизация», в конечном счете само появление жизни несогласуются с устоявшимися представлениями о разруше-нии всего стройного и упорядоченного при эволюции кравновесным, хаотическим состояниям.

Вот как далеко могут привести нас размышления надвроде бы нехитрыми вопросами. Поэтому, обдумывая их,

…я исследовал остроумно найденную…формулу для ко-личества, или градуса, теплоты в жидких смесях…

Георг Рихман

С покойным проф. Рихманом делал физико-химическиеопыты для исследования градуса теплоты, который на себявода принимает от погашенных в ней минералов, преждераскаленных.

Михаил Ломоносов

Ничего не зная о природе теплоты, можно построитьполную систему термометрии, если смешивать горячую ихолодную воду и в качестве термоскопа пользоватьсянашими тепловыми ощущениями.

Уильям Томсон (Кельвин)

…даже без помощи термометров мы можем уловитьстремление теплоты передаваться от какого-либо болеегорячего тела к более холодным окружающим телам до техпор, пока она не будет распределена между ними так, чтони одно из них не будет более склонно забирать теплотуот остальных.

Джозеф Блэк

Внешнее воздействие, выводящее систему из термоди-намического равновесия, вызывает в ней процессы, стре-мящиеся ослабить результаты этого воздействия.

Анри Ле Шателье

А так ли хорошо знакомо вам

тепловое равновесие?не упустите за внешней незамысловатостью глубокого ихсодержания.

Вопросы и задачи

1. Почему калориметры делают из металла, а не изстекла?

2. Верно ли, что при теплообмене энергия всегда пере-ходит от тел с большей внутренней энергией к телам сменьшей внутренней энергией?

3. Нормальная температура человеческого тела околоo

37 C . Отчего же нам не холодно при температуре возду-ха o

25 C и очень жарко при o37 C ?

4. Почему в очень жаркую погоду нет смысла обмахи-ваться веером?

5. Как влияет ветер на показания термометра в мороз-ный день? Рассмотрите два случая: а) термометр находит-ся в тени; б) термометр освещен солнечными лучами.

6. Если у вас имеются два непроградуированных термо-метра, то как определить, какой из них нагрет больше?

7. В жаркую погоду в тени один термометр кладут в лужу,а другой кладут на скамейку и поливают водой из той желужи. Какой из термометров показывает более высокуютемпературу?

8. Можно ли довести воду до кипения, подогревая еестоградусным паром при нормальном атмосферном дав-лении?

9. Большой сосуд с кипяченой водой, в котором плаваетстакан с сырой водой, ставят на нагреватель. Через неко-торое время вода в стакане закипает раньше, чем в сосуде.Как это объяснить?

10. Можно ли вскипятить воду в бумажном стаканчике?11. Откуда берется энергия, поддерживающая кипение

воды в чайнике в течение нескольких секунд после снятиячайника с газовой плиты?

12. На одинаковые плитки поставили две одинаковыекастрюли с равными количествами воды при одной и тойже температуре. Через некоторое время в первую кастрю-лю долили немного воды из кипящего чайника. В какой изкастрюль вода закипит быстрее?

13. В холодную воду опускают нагретый в кипящей воде

металлический брусок. В каком случае вода нагреетсябольше: если брусок алюминиевый или свинцовый? Объе-мы брусков одинаковы.

14. Медный кубик А имеет температуру o200 C , такие

же медные кубики В и С имеют температуру o0 C . Путем

теплообмена между ними нужно охладить кубик А дотемпературы o

50 C и нагреть за счет этого кубики В и Сдо температуры o

75 C . Возможно ли это? Теплообменоммежду кубиками и воздухом пренебречь.

15. Почему лед дольше не тает, если его завернуть вмокрую газету?

16. Зачем в погребах в холодную погоду рядом совощами ставят большие емкости с водой?

17. Если в воду при температуре o0 C бросить кусок

льда при температуре - o22 C , произойдет заметное уве-

личение массы льда. Кристаллизация воды сопровождает-ся выделением значительного количества теплоты, почемуже при этом вода не нагревается?

18. При помещении в переохлажденную воду небольшо-го кристаллика льда вода немедленно начинает замер-зать. Какую температуру должна была бы иметь переох-лажденная вода, чтобы целиком превратиться в лед?Теплоемкость воды считать не зависящей от температуры.

19. В сосуде находятся в тепловом равновесии лед и водаодной и той же массы. Через сосуд пропускают пар притемпературе o

100 C и в том же количестве. Какая устано-вится конечная температура? Потерями тепла пренебречь.

Микроопыт

Поставьте рядом три вместительных сосуда: с горячейводой – слева, с холодной водой – справа и со смесьюгорячей и холодной воды – в центре. Подержав правую илевую руки в соответствующих емкостях несколько минут,одновременно опустите их в центральный сосуд. Опишитеваши ощущения и постарайтесь их объяснить.

Любопытно, что…

…теплом Платон считал то, что остается от огня в накален-ных телах, когда пламя потушено; Бэкон полагал теплоту«расширяющимся движением»; по мнению Гассенди, теп-ло и холод – разные материи, причем холод состоит из«острых» атомов в форме тетраэдра; Галилей же учил, чтохолод не является «положительным качеством», а естьвсего лишь отсутствие тепла.

…эксперимент, описанный в «Микроопыте», был прове-ден еще в XVII веке английским философом ДжономЛокком для доказательства субъективности человеческихощущений. Но, помимо философского значения, опытнавсегда закрыл возможность использовать наше тело вкачестве термометрического прибора и дать с его помо-щью определение температуры.

…работа Рихмана «Размышление о количестве теплоты,которое должно получаться при смешивании жидкостей,имеющих определенные градусы теплоты», доложеннаяим в 1744 году в Петербургской Академии наук, положиланачало точным количественным расчетам в области тепло-техники. Хотя сам Рихман не разграничивал понятия«температура» и «теплота», ему удалось вывести формулудля определения температуры смеси однородных жидко-стей и экспериментально исследовать влияние на тепло-обмен температуры, формы и поверхности тел, а такжескорости движения охлаждающей среды.

…опыты Рихмана повторил в 1772 году шведский физикИоганн Вильке, введший затем единицу измерения коли-чества теплоты. Она легла в основу современного опреде-

ления калории, правда это название возникло лишь в 1852году во Франции. С появлением джоуля калория сталавытесняться из научного употребления, однако она до сихпор в ходу, например, при оценке энергетической ценно-сти продуктов питания.

…несмотря на долгую путаницу в определении тепловыхпонятий и использование мифической материальной сущ-ности – теплорода, к XIX веку был заложен фундаменттермометрии – раздела физики, изучающего способыизмерения температуры, и калориметрии – суммы мето-дов измерения различных тепловых эффектов.

…давно известные тепловые явления длительное времяпредставали областью, совершенно обособленной от яв-лений механических. Неудивительны поэтому попыткиученых найти связь теплоты с механикой, трактуя, скажем,температуру как аналог давления в сплошной среде.Подобно тому как механическое равновесие в такой средеобразуется при выравнивании давлений, тепловое равно-весие требует равенства температур.

…понятие теплового равновесия, через которое в физикеприходят к понятию температуры, можно характеризоватькак динамическое равновесие, когда процессы молеку-лярного масштаба идут весьма интенсивно, но все макро-скопические процессы прекращаются.

…первым примером процесса установления тепловогоравновесия, когда тепло передается от более хаотическойсистемы к более упорядоченной, было броуновское дви-жение. Маленькие частицы примеси в жидкости образуютсистему, схожую с идеальным газом частиц, хотя и невзаимодействующих между собой, но испытывающих дей-ствие молекул жидкости, в которой они плавают.

…в нагретой плазме в одном месте могут быть дветемпературы. Каждая из входящих в состав плазмы систем– электроны и ионы – находится сама по себе в тепловомравновесии. Поток тепла между ионами и электронамитем не менее существует, но он очень слаб, и температурывыравниваются сравнительно медленно.

…опытная проверка первого закона термодинамики неодин раз проводилась в специальных калориметрах, гдеизмерялась теплота, выделяемая в процессах жизнедея-тельности различными существами – от мыши до челове-ка. Как оказалось, она полностью соответствовала энергии,поглощенной вместе с питательными веществами. Этоотрицало идею о том, что организмы могут являтьсянезависимыми источниками какого-либо нового видаэнергии, а в конечном итоге привело к представлению оживых организмах как об открытых термодинамическихсистемах, далеких от состояния равновесия.

Что читать в «Кванте» о тепловом равновесии

(публикации последних лет)1. «Костры в поле и русская баня» – 2002, № 1, с. 31;2. «Тепловые свойства воды» – 2002, № 3, с. 10;3. «Обратимые и необратимые процессы в термодинамике» –

2003, Приложение № 4, с. 44;4. «Где найти прошлогоднюю зиму?» – 2004, Приложение

№ 4, с. 69;5. «Теплоемкость равновесных тепловых процессов» – 2005,

№ 3, с. 44;6. «Тепло и холод: физика и биология» – 2006, Приложение

№ 6, с. 100;7. «Калейдоскоп «Кванта» – 2004, № 3, с. 32; 2007, № 1, с. 32;8. «Работа газа при переходе из начального состояния в

конечное» – 2007, № 3, с. 43;

9. «Температура» – 2007, Приложение №5.

Материал подготовил А.Леонович

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 134

Тема свариациями

В.ЭПШТЕЙН

СТРУКТУРА КУРСА ФИЗИКИ ИНОГДА НАПОМИНАЕТ МУ-

зыкальные формы. Простые темы (народные мотивы)композитор разворачивает вариациями, и в результате полу-чается, к примеру, оркестровая симфония. Простые школь-ные задачи (поучительные сами по себе) демонстрируютидеи, лежащие в основе фундаментальных физических тео-рий. Вот пример такого рода.

Тема – задача 35

(«Сборник задач по физике» А.П.Рымкевича, 1992 г.)

Расстояние s необходимо проехать на лодке туда иобратно один раз по реке, скорость течения которой pv , адругой раз по озеру. Скорость лодки относительно водыоба раза лv . Докажите, что поездка туда и обратно пореке всегда занимает больше времени, чем по озеру.

Предварительный анализ

Первая (и вполне естественная) реакция на условие задачи– времена равны: выигрыш времени при движении потечению компенсируется потерей времени на обратном пути.Более глубокий анализ (или, для физиономистов, выраже-ние лица преподавателя) показывает, что все не так просто.Компенсация, конечно, имеется, но не полная. К этомувыводу можно прийти, исходя из качественных соображе-ний, которые стоит запомнить: их можно будет применитьпри решении других задач.

1) Придадим параметрам задачи допустимые значения,при которых ответстановится очевидным.

В нашем случае при

p лv v> катер, движу-щийся по реке, никог-да не вернется в исход-ный пункт (рис.1).

Можно предположить, что и при других значениях скорос-тей время движения в реке будет больше, чем в озере.

2) Сравним времена воздействия различных факторов.В нашей задаче время движения против течения заведомо

больше, чем по течению. Таким образом, фактор, мешающийдвижению, действует дольше, чем фактор помогающий.Следует, очевидно, ожидать, что мешающий фактор будетпревалировать над помогающим.

Решение задачи

Время движения в озере равно

1л

2st

v= .

Время движения в реке составляет

л2 2 2 2

л p л p л p pл

л

2 2v ss s st

v v v v v v vv

v

= + = =+ - -

-

.

Видно, что время движения в реке больше, так как числителиобеих формул одинаковы, в то время как знаменатель второйзаведомо меньше знаменателя первой.

Вариации на тему задачи 35

Рассмотрим конструкцию прибора для определения скоро-сти движения лодки относительно воды. Прибор представля-ет собой жесткое основание,на котором располагаются ис-точник звука и отражатель(рис.2). Для измерений при-бор закрепляют на корпуселодки снаружи так, чтобы вовремя движения прибор не увлекал воду.

Измеряется время, за которое звуковой импульс распрос-траняется от источника до отражателя и возвращается кисточнику. По этому времени легко вычисляется скоростьдвижения лодки относительно воды. При этом необходимоучитывать следующее обстоятельство. Дело в том, что рас-пространение звука имеет важную особенность: скоростьзвука относительно среды, в которой он распространяется,не зависит от скорости источника звука. (Этим распростра-нение звука существенно отличается, например, от движенияосколков разорвавшейся гранаты: если в момент взрываграната двигалась, скорость осколков относительно гранатысуммируется со скоростью гранаты.) С учетом этого обстоя-тельства в системе отсчета, связанной с прибором, скоростьРис. 1

Рис. 2

явшей в основном из углистого хондрита. Могло произойтивот что. Комета, с ее небольшим твердым ядром и объемис-тым пылевым шлейфом, полого вошла в земную атмосферуи вызвала поначалу свечение облаков в зоне длиной околотысячи километров, наблюдаемое рядом свидетелей. Облакоуглистой пыли, вытянувшееся вдоль траектории движения,под действием земного тяготения опускалось все ниже иниже, пока не достигло плотных слоев атмосферы, гдекислорода уже было достаточно для быстрого сгорания.Роль детонатора мог сыграть электрический разряд в атмос-фере (например, молния). После взрыва остатки небесноготела упали на землю в виде черной пыли, содержащейуглистый хондрит.

Объемная, или вакуумная, бомба давно имеется в военныхарсеналах, но широко не применяется (существуют опреде-ленные международные соглашения на этот счет).При еепервичной детонации выделяется облако взрывчатого геля,затекающее в щели, окопы и убежища. Потом (секунд черездвадцать) срабатывает второй детонатор, и облако взрывает-ся по всему своему объему.

Интересно, что гипотеза Льва Дыхно по существу тожебазируется на идее объемного взрыва. Однако в его моде-ли необходимо одновременное наличие двух редких явле-ний – небесного тела, принесшего космические частицы, ибольшого газового выброса из недр Земли. Вероятностьтакого совпадения крайне мала. Так что гипотеза пылевоговзрыва в нижних слоях атмосферы представляется болеенадежной.

(Начало см. на с. 30)

звука будет равна зв лv v- ( звv – скорость звука относитель-но воды), когда звук распространяется от источника котражателю, и зв лv v+ при распространении в обратномнаправлении. Но тогда совершенно ясно, что время междуизлучением и приемом звукового импульса определяетсяформулой для времени движения лодки в реке с заменой лvна звv и pv на лv :

2 2л

звзв

2st

vv

v

=-

.

Зная расстояние s между источником звука и отражателем иопределив время 2t , мы легко определяем искомое значениескорости лодки:

л зв зв2

2sv v v

t

ж ц= -з чи ш

.

Усложним задачу. Попробуем определить скорость лодки,если величина s не известна (или изменяется). Решениеможно получить, если произвести измерение времени дотого, как лодка начала двигаться. Это время определяетсяформулой для времени движения лодки в озере с соответ-ствующей заменой:

1зв

2st

v= .

Из двух последних формул можно исключить s и, такимобразом, решить поставленную задачу:

1л зв

2

1t

v vt

= - .

А можно ли найти скорость лодки, если измерения вусловиях неподвижной лодкине проведены? Предположимтакже, что опустить прибор,скажем, в движущуюся вместес лодкой ванну и определить

2t тоже нельзя. (Например,если вода протекает сквозьлодку и ванну, как сквозь ре-шето, – странная конструк-ция, не правда ли?) Оказыва-ется, и такую задачу можнорешить. Для этого необходи-мо развернуть прибор перпен-дикулярно движению лодки ипроизвести второе измерениевремени распространения зву-

ка. Ясно, что принятый звуковой импульс распространялсявдоль равных сторон треугольника, как это показано нарисунке 3. Легко рассчитать время распространения 3t . Каквидно из рисунка,

2 223 3

л зв2 2

t tv s vж ц ж ц+ =з ч з чи ш и ш

,

откуда получаем

32 2зв л

2st

v v=

-.

Сравнивая времена 2t и 3t , находим

2 зв

2 23 зв л

t v

t v v=

-.

Рис. 3

Отсюда и определяется скорость лодки:

23

л зв 22

1t

v vt

= - .

«Индикатором» движения, таким образом, является отноше-ние времен 2t и 3t .

Вряд ли рассмотренный прибор может быть действитель-но использован для определения скорости корабля илисамолета. Существуют более простые и надежные средствадля решения той же задачи. И тем не менее, идея устрой-ства оказывается плодотворной. Она имеет прямое отноше-ние к революционному преобразованию классической фи-зики – созданию теории относительности. Впрочем, речьпри этом пойдет о необычной лодке, плывущей по необыч-ному озеру.

Теория Максвелла. Плавание Земли в эфире

Во второй половине XIX века в истории науки произош-ло знаменательное событие. В результате создания Макс-веллом теории электромагнетизма была теоретически пред-сказана возможность излучения электромагнитных волн,при этом были указаны их свойства и условия излучения.Также было показано, что частным случаем излученияявляется видимый свет. Расчеты Максвелла были подтвер-ждены опытами Герца. В частности, выяснилось, что, вполном соответствии с общими свойствами волновых про-цессов, скорость распространения электромагнитной вол-ны (света) не зависит от скорости движения источникаизлучения относительно среды. С другой стороны, и расче-ты и эксперименты показали, что свет может распростра-няться в вакууме. Исходя из этого, Максвелл приходит кзаключению (единственно возможному, с его точки зре-ния): то, что мы считаем пустотой, на самом деле упругаясреда. Максвелл называет ее эфиром. Эфир заполняет всюВселенную. Он играет для света ту же роль, что и водадля звука: звук – распространение колебаний воды, а свет– эфира.

Но почему же мы не замечаем присутствия этой среды?Ответ прост: частицы, из которых состоит эфир, настолькомалы, что они свободно проходят сквозь любое тело, аследовательно, и сквозь датчик измерительного прибора. Акак же тогда установить факт существования эфира? Мак-свелл предлагает идею, суть которой рассматривалась намив решении задачи 35 и в вариациях на тему этой задачи.Источник звука заменяется источником света, а в качествелодки используется наша планета Земля, которая несетсяпо своей орбите вокруг Солнца, т.е. сквозь эфир, со скоро-стью 30 км/с.

Идея этого опыта была реализована Майкельсоном иМорли в 1887 году. Увы, результат эксперимента оказалсяотрицательным – движение Земли относительно эфира об-наружено не было ( 3 2t t= ). Именно отрицательный ре-зультат опыта Майкельсона и Морли был одной из основ-ных предпосылок для пересмотра основ классической ме-ханики и значительно способствовал признанию специаль-ной теории относительности.

Впрочем, это уже совсем другая история.

Л А Б О Р А Т О Р И Я « К В А Н Т А »Ш К О Л А В « К В А Н Т Е » 35

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 136

Не пренебрежемтрениемкачения…

А.СТАСЕНКО

ВТЕЧЕНИЕ ТЫСЯЧ ЛЕТ ТРЕНИЕ БЫЛО САМЫМ ЗНАКО-

мым и вместе с тем весьма загадочным явлением. Отдобывания огня (желанный эффект) до замены волочениягрузов (где трение выступает как вредный фактор) качениемпрошло, вероятно, много времени. Во всяком случае, изоб-ретение колеса признается величайшей технической револю-цией человечества.

Количественное описание трения (как и все научныетеории) началось приблизительно три века тому назад,пройдя путь от феноменологических соотношений до совре-менной молекулярно-механической теории.

В 1699 году Гильом Амонтон опубликовал результатысвоих экспериментов и сформулировал закон трения в видепропорциональности между тангенциальной ( )Fτ и нор-мальной ( )nF силами взаимодействия соприкасающихсятвердых тел:

nF kFτ = . (1)

Прошло более восьмидесяти лет, и Шарль Кулон подтвердил(1781 г.) закон Амонтона, но ввел в него дополнительноеслагаемое:

anF kF Fτ = + . (2)

Это был существенный шаг в понимании явления: новоеслагаемое aF подчеркивало, что притяжение соприкасаю-щихся тел существует даже без внешней прижимающейсилы: тела как бы «прилипают» друг к другу, не будучисмазаны каким-либо клеем. Эта дополнительная сила сталаназываться силой адгезии (от латинского «прилипание»), ановое выражение для Fτ назвали законом Амонтона–Ку-лона.

Сейчас любой школьник знает этот закон, по крайней мерев виде (1), и коэффициент пропорциональности k уверенноназывает «коэффициентом трения скольжения». Но опытпоказывает, что нужно приложить касательную к плоскостисоприкосновения силу не только для того, чтобы сдвинуть сместа кирпич, лежащий на столе. Для качения цилиндра постолу тоже нужна сила – правда, существенно меньшая, чемв случае кирпича. Эту силу по аналогии назвали «силойтрения качения». Кулон предложил выражение и для этойсилы:

к nF Fa

λ= . (3)

Здесь а – радиус цилиндра, а коэффициент λ , аналогичнослучаю трения скольжения, был назван «коэффициентомтрения качения». Но если k в выражениях (1) и (2) являетсябезразмерным, то λ в выражении (3), как легко видеть,имеет ту же размерность, что и радиус а, т.е. размерностьдлины.

Понимание физической причины взаимодействия сопри-

касающихся тел приходило постепенно с развитием пред-ставлений о молекулярном строении вещества. Выяснилось,что потенциальная энергия притяжения двух электронейт-ральных молекул друг к другу растет с уменьшением рассто-яния между ними обратно пропорционально шестой степениэтого расстояния. Значит, сила притяжения обратно пропор-циональна седьмой степени этого же расстояния. Конечно, вконденсированном состоянии каждая молекула взаимодей-ствует со многими другими, причем результирующая сила состороны этих других молекул различна в глубине веществаи у поверхности. Интуитивно ясно, что вблизи поверхностидолжно существовать ненасыщенное поле притяжения – ктоне наблюдал, как даже на вертикальных полированныхповерхностях шкафов со временем образуется слой тонкойпыли.

Прямые измерения показали, что сила взаимодействия(притяжения) двух диэлектрических тел действительно об-ратно пропорциональна седьмой степени расстояния междуними. Это очень резкая зависимость: стоит уменьшить зазормежду телами до размера диаметра атома, как сила притяже-ния уменьшится на два порядка! Иными словами, «бесконеч-ность» наступает уже на расстоянии порядка размеровмолекул.

Таким образом было понято, что и трение скольжения итрение качения имеют одну и ту же физическую природу –электромагнитное взаимодействие элементов, составляющихтвердое тело. Правда, любопытно, что сопутствующие коэф-фициенты, несмотря на почти одинаковую словесную фор-мулировку, имеют разные размерности.

Однако пора поговорить о физических свойствах соприка-сающихся твердых тел и о физических величинах, их харак-теризующих. Прежде всего рассмотрим модуль упругости.Он определяется следующим образом. Возьмем цилиндрдлиной l и площадью поперечного сечения S и растянем его(или сожмем) осевой силой F, при этом его длина увеличится(или уменьшится) на l∆ . Естественно предположить, чтоэто изменение длины пропорционально силе F и обратнопропорционально площади сечения S, а коэффициент про-порциональности и есть (обратный) модуль упругости:

1l F

l E S

∆= .

Этот модуль E ввел двести лет назад (1807 г.) английскийученый Томас Юнг. Из формулы видно, что если формально

положить l l∆ = , то F

ES

= . Это означает, что модуль

упругости есть механическое напряжение (сила на единицу

площади), которое должно увеличить (уменьшить) длинустержня в два раза. Отсюда же видна и размерность модуляупругости:

[ ][ ][ ] 2

НПа

м

FE

S= = = .

Эксперименты со стержнями подтверждают линейнуюзависимость между относительной деформацией и напряже-нием. Но растянуть стержень вдвое не получится – разве чтоесли он будет резиновый. Еще раньше стержень «потечет» –начнутся необратимые деформации. Соответствующее на-пряжение так и называется – предел текучести σ и,конечно, тоже измеряется в паскалях. В таблице приведенызначения Е и σ для нескольких металлов. Пусть вас неудивляет разброс численных значений: разные способыобработки, разные справочники… И этот разброс вполнеоправдывает приближенные соотношения, к поиску которыхмы и приступим.

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В 37

Для начала обсудим такой вопрос: как оценить поверхно-стную плотность энергии адгезии γ , т.е. энергию, прихо-дящуюся на единицу площади. Примем, что она должна как-то зависеть от коэффициента упругости Е, от «коэффициен-та мягкости» σ (предел текучести) и от характерногорасстояния порядка диаметра молекулы мd (смещение наэто расстояние всех слоев стержня и приводит к удвоению егодлины). Из соображений размерности можно предложитьзависимость вида

мd Eγ σ: .

Видно, что здесь оба коэффициента Е и σ представленыравноправно, через их среднее геометрическое значение.

Сравним предложенную формулу с более простой теорети-ческой зависимостью, принятой почти полвека назад:

Å

Å

211

теор1,3

0,856 102

EEγ

π-ж ц

= = Чз чи ш.

Здесь Å2 – характерный период решетки твердого тела,Å1,3 – характерное расстояние, на котором действуют силы

притяжения, ну а число «пи» появилось, конечно, из-за того,что в рассмотренной модели молекулы считаются шариками,а где кругло, там и «пи».

В таблице даны рассчитанные по соответствующим форму-лам значения γ и теорγ , а также экспериментально измерен-ные значения экспγ (которые удалось обнаружить в литера-туре). Видно, что наша оценка γ довольно близка и ктеоретическим и к экспериментальным значениям.

Итак, мы получили правдоподобную оценку для поверхно-стной плотности энергии адгезии γ и, следовательно, повер-

хностной плотности силы адгезии aм

f Ed

γσ: : . А како-

вы сами энергия и сила?Очевидно, что для этого величины γ и af нужно умножить

на некоторую площадь контакта соприкасающихся тел. Нокак ее найти? Ведь, например, для кирпича, лежащего настоле, видимая площадь контакта равна произведению егодлины на ширину, а на самом он соприкасается со столомвсего лишь в нескольких «пятнах» (достаточно трех) – в техместах, где были самые большие бугорки шероховатости.Эти пятна и приняли на себя всю нагрузку. И тут опятьприходит на помощь предел текучести: прижимающая силабудет уравновешена силой упругости деформированных бу-горков, площадь контакта s которых можно оценить изсоотношения

nF mg sσ= : .

Таким образом, энергия и сила прилипания соприкасающих-ся тел будут порядка

мnE

s F dγσ

: и a nE

F Fσ

: .

Получается чудовищная сила, на 1–2 порядка больше при-жимающей?! Но чему же тут удивляться: ведь чтобы растя-нуть стержень в два раза, т.е. сместить соседние слои друготносительно друга на межатомное расстояние, нужна была

бы плотность силы поряд-ка модуля Юнга

11 210 Н мE : . Это озна-чает, что для удвоения дли-ны проволоки сечением

2 6 21 мм 10 м-= потребова-лась бы сила порядка

11 6 510 10 H 10 H-Ч = .Почему же возможно ка-

чение цилиндра по плоско-сти, с которой он, казалосьбы, сросся? А все дело вправиле рычага – ведь ши-рина контактной полоски

c2a (см. рисунок) многоменьше радиуса цилиндра. На рисунке изображена сильнопреувеличенная полоса контакта, образовавшаяся в резуль-тате деформации цилиндра под действием прижимающейсилы, например его веса nF mg= . Там же условно показаныпятна контакта, суммарная площадь которых много меньшевидимой площади c2a l , и локальные силы адгезии в этихпятнах. Под действием силы кF , приложенной к оси цилин-дра, возникает момент относительно точки А, стремящийсяразорвать локальные спайки. В момент отрыва имеем

к a cF a F a= , или c

к a

aF F

a= .

А поскольку с 1a a = , сила трения качения кF многоменьше результирующей aF сил адгезии в локальных пят-нах.

Итак, осталось оценить отношение ca a . Теперь у насдостаточно оснований предполагать, что здесь должны иг-рать роль модуль Юнга Е, вес цилиндра 2mg a a gπ ρ= (мыприняли его длину равной радиусу). Более того, ясно, чточем больше вес и чем меньше модуль Юнга, тем большейбудет ширина видимой контактной полосы. Значит, модульЮнга должен стоять где-то в знаменателе, а вес – в числи-теле:

2

ca a g

aE

π ρ: .

Подставив выражения для aF и ca в формулу для кF , изсоотношения (3) найдем коэффициент трения качения:

3 3к

n

F a E a g a g

F E

π ρ π ρλ

σ σ= =: .

Примем следующие характерные значения: 3 310 кг мρ : ,210 м сg = , 8100 МПа 10 Паσ =: . Для радиуса цилинд-

ра выберем значения из «человеческой практики»:

( )210 1 мa - -: . Тогда получим

( )( )

32 3

5 28

10 1 10 10м 10 10 м

10

πλ

-- -

- Ч Ч-: : .

В литературе указываются такие значения: для металлов(например, стальной цилиндр катится по стальной подлож-

ке) ( ) 51 2 10 мλ -= - Ч ; при движении автомобиля (напри-мер, со скоростью 80 км ч ) по асфальту 42 10 мλ -= Ч ; для

дерева по дереву ( ) 45 6 10 мλ -= - Ч .Таким образом, наша оценочная теория не так уж плоха.

Тем более что внешние условия влияют на величину трениякачения ничуть не меньше, чем природа трущихся тел.

Таблица

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 138

1. Пусть заданы две точки А и В, тогда лист можно сложитьтак, что данные две точки будут на складке (рис.2).

2. Пусть заданы две точки, тогда лист можно сложить так,что одна точка перейдет в другую(рис.3).

3. Пусть заданы две прямые l и m, тогда лист можносложить так, что одна прямая перейдет в другую (рис.4).

4. Пусть заданы прямая l и точка А, тогда лист можносложить так, что точка попадет на складку, а прямаяперейдет в себя (т.е. линия складки будет ей перпендикуляр-на) (рис.5).

5. Пусть заданы прямая р и две точки А и В, тогда листможно 2 сложить так, что точка А попадет на складку, а В –на прямую р (рис.6).

6. Пусть заданы две прямые р и q и две точки А и В, тогдалист можно 2 сложить так, что точка А попадет на прямую р,а точка В попадет на прямую q (рис.7).

7. Пусть заданы две прямые р и q и точка А, тогда листможно сложить так, что точка А попадет на прямую р, апрямая q прейдет в себя (т.е. линия складки будет ейперпендикулярна) (рис.8).

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К

Оригамии построения

А.ПЕТРУНИН

Моему сыну Никодиму

ПРЕДСТАВЬТЕ СЕБЕ, ЧТО ВЫ СИДИТЕ НА УРОКЕ И ВАМ

скучно-скучно и очень хочется заняться геометрически-ми построениями: начертить, например, треугольник, найтив нем центры вписанной и описанной окружностей и орто-центр, провести прямую Эйлера и все такое. Но вот беда:циркуль и линейка оставлены дома.

Вот в такой ситуации, наверное, оказались 15 лет назад дваоригамиста, итальянец Бенедетто Скимеми и японец ХамякиХудзита. (Оригамистами называют людей, увлекающихсядревним японским искусством оригами – складыванием излиста бумаги различных зверушек, птичек, фонариков ит.д.) Вдруг их осеняет: «А ведь складка листа бумаги – этопрямая». Например, если взять на листке отрезок и согнутьлист так, чтобы концы отрезка соединились, а потом разгла-дить лист аккуратненько на парте, то перегиб образуетсрединный перпендикуляр к исходному отрезку (рис.1,а).Обычное построение срединного перпендикуляра (рис.1,б)длиннее. Для него требуется и циркуль и линейка (одной

линейкой не обойдешься), а тут никаких инструментов ненадо.

Чтобы продолжить, им пришлось придумать набор правилдля этого нового типа построений. Например, при обычныхпостроениях с помощью циркуля и линейки разрешаетсяделать такие операции:

1. Провести прямую через две данные точки.2. Построить окружность с данным центром и радиусом.3. Найти точку пересечения двух данных прямых, точку

пересечения прямой с окружностью или двух окружнос-тей. 1

Что-то подобное нужно было и Бенедетто с Хамяки. Дляэтого они математически описали приемы, которыми давнопользовались оригамисты. Вот эти правила.

Правила складывания

Мы будем говорить, что прямая задана, если на листеимеется соответствующая складка. На рисунках далее склад-ки показаны пунктиром.

1 Такие точки пересечения существуют не всегда, правилоутверждает только, что если такая точка есть, то ее «можно»найти.

Рис. 1

Рис. 2 Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5 Рис. 6

Рис. 7 Рис. 8

2 Такая складка существует не всегда, правило утверждаеттолько, что если такая складка есть, то ее «можно» найти.

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К 39

Последнее – седьмое – правило добавил позже другойяпонский оригамист Косиро Хатори, заметив, что Бенедеттос Хамяки забыли его включить. Эту последнюю складку, каки некоторые другие из этого набора, можно получить какрезультат последовательного применения остальных, т.е.для математика она ничего не добавляет, но оригамисты немнут бумагу зря.

Упражнения

1. Какие построения циркулем и линейкой соответствуютскладкам 1—5 и 7?

2. Через точку А вне прямой l проведите прямую l¢ , парал-лельную данной, с помощью перечисленных выше правил.

3. С помощью правил оригами постройте квадрат.4. Разделите данный отрезок АВ: а) на 2 равные части; б) на

3 равные части; в) на n равных частей.

Построение сгибанием

Теперь можно наслаждаться и заниматься любыми постро-ениями. Например, такими:

Если задан произвольный треугольник, то его биссектри-сы, а стало быть, и центр его вписанной окружности можнонайти, применив правило 3 ко всем парам его сторон.

Срединные перпендикуляры и центр описанной окружно-сти можно найти, применив правило 2 ко всем парам еговершин. После этого можно найти медианы и центр тяже-сти, применив правило 1 к каждой вершине в паре с уженайденной выше серединой противоположной стороны.

Высоты и ортоцентр легче всего найти, применив прави-ло 4 к каждой вершине в паре с противоположной стороной.

Далее можно убедиться, что ортоцентр, центр тяжести ицентр описанной окружности действительно лежат на однойпрямой, применив правило 1 к любой паре из этих точек. Этапрямая называется прямой Эйлера треугольника.

Конечно, сгибая листок, невозможно построить окруж-ность, но, оказывается, верно следующее: любую точку,которую удается построить с помощью циркуля и линейки,можно построить сгибаниями. Чтобы доказать это, достаточ-но предъявить построение двух типов точек:

1) Точки пересечения окружности с прямой, если проокружность известно только местоположение центра и однаточка на ней.

2) Точки пересечения двух окружностей, если про каждуюокружность известно только местоположение центра и однаточка на ней.

Первое можно сделать, применив правило 5, взяв за Ацентр окружности, за В – точку на окружности, а за р –данную прямую. Второе сделать сложнее, короткой после-довательности сгибаний мне найти не удалось. Но такуюпоследовательность можно получить, показав, что с помо-щью сгибаний можно построить инверсию точки относи-тельно окружности, если про окружность известно толькоместоположение центра и положение одной точки на ней.Потом, применив инверсию, которая переводит одну издвух данных окружностей в прямую, свести задачу к пре-дыдущей.

Упражнение 5. Постройте инверсию точки относительноокружности, заданной местоположениями центра и одной точкина ней.

Таким образом, все построения точек циркулем и линейкойможно осуществить с помощью сгибаний. Оказывается приэтом, что сгибаниями можно построить точки, которыеневозможно построить с помощью циркуля и линейки. Дляпримера приведем две задачи на построение, которые изве-стны уже более двух тысяч лет, но только в первой половине

XIX века была доказана невозможность решения каждой изних с помощью циркуля и линейки.

Трисекция угла

Задача 1. Разделите данный угол на три равные части.Вот решение, предложенное Хисаси Абэ.Пусть угол задан двумя складками р и q, обозначим через

А вершину угла (рис.9). Сначала проведем подготовитель-ное построение. Нам нужно: 1) восставить перпендикуляр lк q через А (правило 4); 2) отметить на l произвольно точкуВ и восставить срединный перпендикуляр q¢ к отрезку АВ(правило 2).

Теперь все готово дляглавной складки. Сло-жим лист так, чтобы Апопала на q¢ , а В – на р(правило 6). При этомобраз A¢ вершины Аляжет на первую трисек-трису нашего угла, а точ-ка С на пересечении q¢ сновой складкой будетлежать на второй. Такимобразом, лучи AA¢ и АСбудут делить угол на триравные части.

Докажем это. По свойствам выполненных складок,BC AC CA CB= = =¢ ¢ , а также A B AA AB= =¢ ¢ ¢ . Поэтомуравны треугольники AB C¢ и ACA¢ , но тогда равны и углы,отмеченные дужками на рисунке 9.

Удвоение куба

Мы не будем вдаваться в легендарные подробности исто-рии этой задачи. Напомним лишь, что речь идет о построенииребра куба, объем которого вдвое больше объема данного

куба с ребром а, т.е. отрезка 3 2a .Задача 2. Постройте два отрезка с отношением длин

3 2 .Вот решение, которое

предложил Петер Мессер.Сначала построим квад-

рат ABCD (рис.10), разде-ленный на 3 равные частискладками р и q, парал-лельными стороне АВ (см.упражнения 3 и 4). Теперьсложим лист так, чтобыточка В попала в точку B¢на стороне АD, а точка Х –в точку X¢ на отрезке EF.Возможность осуществитьтакую складку предусмот-рена правилом 6. Тогда

3 2DB

B A

¢=

¢.

Действительно, пусть B BA αР =¢ , а ВХ = 1. Тогда (по-

скольку 2 2

AB B GB Bπ π

α αР = - = Р = -¢ ¢ ) 2EB X αР =¢ ¢ .

Так как q pP , а X X B B¢ ¢P , то XX F αР =¢ .Поэтому

sin 2EX α=¢ , ctgFX α=¢ . Отсюда получаем, что

sin 2 ctg 3EFα α+ = = .

Положим ctgt α= . Тогда 2

2sin 2

1

t

tα =

+, и мы получаем

Рис. 9

Рис. 10

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 140

уравнение относительно t:

2

23

1

tt

t+ =

+,

откуда 3 23 3 3 0t t t- + - = , ( )3

1 2t - = , 3 2 1t = + . Далее,

3tgAB α=¢ , 3 3tgDB α= -¢ , и

33 3tgctg 1 2

3tg

DB

AB

αα

α

-¢= = - =

¢.

На этом список «невозможных построений» не кончается.При помощи складываний можно также построить некото-рые другие объекты, которые не поддаются построениюциркулем и линейкой. Например, правильный семиуголь-ник.

В чем же причина? Какое из описанных правил добавляетновые возможности? Чтобы это понять, достаточно постро-ить складку в каждом из правил 1—7 с помощью циркуля илинейки. Решив упражнение 1, вы увидите, что довольнолегко построить все прямые складок в правилах 1—5 и 7.Стало быть, дополнительные возможности скрыты в прави-ле номер 6. Не удивительно, что основной шаг в построенияхтрисекции угла и удвоении куба был сделан с применениемименно этого правила.

Причина, оказывается, в следующем: чтобы найти прямуюсгиба в правиле 6, требуется решить уравнение третьейстепени, тогда как в каждом из построений с помощьюциркуля и линейки решаются уравнения только 1 и 2степеней. Любителям геометрии мы рекомендуем убедитьсяв этом.

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А

Эта«простенькая»

кинематикаВ.ТРОЯНОВСКИЙ

ВСАМОМ ДЕЛЕ, ЕСЛИ ПОЖЕРТВОВАТЬ ОБСУЖДЕНИЕМ

необходимых первоначальных понятий и результатов, тов кинематике все ясно и понятно: скорость v, время движе-ния t и пройденный путь s связаны известным соотношениемv = s/t. Насколько все просто, вы сможете оценить, решивдля разминки такую задачу.

Задача 1. Кольцо радиусом R состоит из двух половинок,в которых скорости звука 1v и 2v ( 2 1v v< , для определен-ности). По одному из стыков половинок кольца ударилимолоточком. Найдите время Т от момента удара домомента встречи звуковых волн.

Прежде чем читать предлагаемое решение, попытайтесьрешить задачу самостоятельно. В частности, подумайте,почему скорость звука в разных веществах разная, что будетс «быстрой» волной после того, как она пересечет границуполовинок полуколец, где (примерно) произойдет встречазвуковых волн. В случае успешного самостоятельного реше-ния задачи все-таки взгляните на предлагаемое решение.Возможно, обсуждение некоторых вопросов вам пригодитсяв будущем.

Решение. Ясно, что встреча волн произойдет где-то на тойиз половинок кольца, в которой скорость звука меньше. Припереходе волны из одной среды в другую должна изменитьсяскорость волны, в соответствии со свойствами новой среды(скорость распространения волны в среде – это скоростьраспространения упругих деформаций).

Для записи уравнений надо, прежде всего, ввести обозна-чения. Воспользуемся рисунком 1. Кроме скоростей на немпоказаны время движения t «быстрой» волны от точкистарта до середины кольца (до границы раздела сред с

разными скоростямиволн), время движения Т«медленной » волны довстречи волн (т.е. иско-мое время) и время дви-жения T – t бывшей «бы-строй» волны в другойсреде, куда попадает вол-на после пересечения гра-ницы сред.

Нередко задачу удает-ся начать решать, делаяне то, что нужно, а то,что видно сразу. Вос-пользуемся этим способом решения. Легко найти путь «бы-строй» волны от точки старта до середины кольца: длинаполукольца равна Rπ . Просто находится и время t, затра-

ченное на прохождение этого пути: 1t R vπ= . Для тогочтобы приблизиться к ответу на вопрос задачи, надо хотябы «вставить» искомую величину в какое-нибудь урав-нение. Можно, например, записать величину пути двухволн в правом полукольце, выразив ее через скорости ивремена движений каждой из волн («медленной» и быв-

шей «быстрой»): ( )2 2R v T v T tπ = + - . В итоге имеем сис-тему двух уравнений с двумя неизвестными:

( )2 21

,R

t R v T v T tv

ππ= = + - .

Не сомневаюсь, что вы быстренько решите эту систему иполучите какой-нибудь один из приведенных ответов или имподобный ответ:

а) 1 2

1

( )

2

R v vT

v

π += ; б) 2 1

1 2

( )R v vT

v v

π -= ;

в) ( )1 2

1 24

R v vT

v v

π -= ; г)

( )1 2

1 2

R v vT

v v

π += .

На экзамене ответов для самопроверки обычно не дают,поэтому надо уже при подготовке к экзамену научитьсяпроверять себя хотя бы косвенно.

Конечно, вы знаете о том, что прежде всего ответ долженбыть верен по размерности. Начинаем проверять ответытаким образом и в первом же из них (а) находим:

м м сc м,

м с

Ч= =

Рис. 1

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А41

чего не может быть. Верная размерность не гарантируетправильность ответа, а вот неверная размерность гарантиру-ет неправильность ответа. Так что первый из ответов заведо-мо неверен.

Думаю, для вас не составит труда проверить остальныеответы и убедиться в том, что они по размерности верны.Однако никаких гарантий верности ответа вы еще не полу-чили. Возьмем, например, второй ответ (б). Хотя он верен поразмерности, но при 2 1v v< получается отрицательное вре-мя, чего быть не должно. И, пожалуйста, не надо выписы-вать подобный ответ по модулю, так как модуль существуетне для того, чтобы съедать нежелательный минус и облаго-раживать кое-что неблагородное. Так что и второй ответневерен.

Третий ответ «проходит» по размерности и по знаку, новсе-таки вызывает сомнения: при равенстве скоростей времядо встречи оказывается равным нулю. Ясно, что этого бытьне может – волны мгновенно встретиться не смогут. Увы, итретий ответ неверен, поскольку он неверен в проверяемомчастном случае. Такая проверка – для какого-либо известно-го частного случая – также должна быть в вашем арсенале.

Наконец, четвертый ответ верен по размерности, положи-телен и при равенстве скоростей дает вполне разумный ответ:2 R vπ . А насколько верен этот ответ? Как легко понять, приравенстве скоростей волны должны встретиться у противо-положного стыка и каждая из них пройдет до встречи путь

Rπ со скоростью v. Такое движение требует время R vπ ,что вдвое меньше получившегося. Значит, и четвертый ответневерен (он не дает в частном случае то, что должно быть вэтом случае очевидно).

Рассмотрим еще один ответ:

( )1 2

1 22

R v vT

v v

π += .

Этот ответ верен по размерности, положителен, в частномслучае равенства скоростей дает правильный результат.Более того, мы можем сделать еще одну проверку: дляпредельного случая. Представьте, что скорость 1v оченьвелика. Тогда левое полукольцо волна проскакивает мгно-венно, временем t можно пренебречь, а время до встречидолжно равняться ( )22R vπ . Получится ли такой результатиз последнего ответа? Проверим. Посмотрим, что происхо-дит, когда 1v становиться много больше 2v (т.е. 1 2v v? ):

( ) ( )( )2 11 2

1 2 2 2

1

2 2 2

R v vR v v RT

v v v v

ππ π++= = » ,

как и должно быть.Вывод, который напрашивается после всех проверок,

можно сформулировать следующим образом: есть основаниянадеяться на то, что последний из ответов является верным.

Закончив разминку, перейдем к основной части трениров-ки. Рассмотрим важный вопрос – правило сложения скоро-стей и связанный с ним результативный способ решениядостаточно сложных задач.

Начнем с примера, который иллюстрирует рисунок 2. Нарисунке указаны скорости трех тел – девушки, юноши ивагона. Как вы думаете, относительно каких систем отсчетауказана каждая из скоростей? Можете ли вы найти ско-

рость каждого из тел относительно земли? Правильныеответы на заданные вопросы очевидны. Скорости людейзаданы относительно вагона, скорость вагона указана отно-сительно земли. Скорость девушки относительно землиравна 65 км/ч, скорость юноши составляет 50 км/ч.

Этот пример – напоминание о том, что скорости (вектор-ные величины) складываются по правилу сложения векто-ров (по параллелограммуили треугольнику). В об-щем виде результат можноформулировать следующимобразом. Пусть есть непод-вижная система отсчета,представленная на рисун-ке 3 системой координатбез штрихов, и подвижнаясистема, помеченная штри-хами, скорость тела в подвижной системе v¢ , скоростьтела в неподвижной системе v, скорость подвижной систе-мы относительно неподвижной u. Правило сложения ско-ростей и его следствие – формула для расчета скороститела в подвижной системе отсчета – таковы:

,v u v v v u= + = -¢ ¢r r r r r r

.

Задача 2. Электричка едет прямолинейно со скоростью0,4 м/с относительно земли. Человек идет поперек вагонасо скоростью 0,3 м/с относительно вагона. Найдите ско-рость человека относительно земли.

Решение. Задача, конечно, «мечта двоечника», но и в нейесть подводный камень.

Рассмотрим рисунок 4 (вид вагона сверху). На этомрисунке видно, что искомая скорость является гипотенузойтреугольника с катетами, один из которых это скоростьчеловека относительно поезда чп ч 0,3 м сv v= = (этаскорость играет рольскорости тела v¢ отно-сительно подвижнойсистемы отсчета), вто-рой – скорость поездаотносительно земли

пз п 0,4 м сv v= = (этаскорость играет роль скорости u подвижной системы отно-сительно неподвижной системы). Таким образом, величинаскорости человека относительно земли равна чз 0,5 м сv =(она играет роль скорости тела относительно неподвижнойсистемы v).

Обычно абитуриенты ограничиваются нахождением вели-чины скорости, в данном случае чзv . Но скорость – вектор,и надо охарактеризовать направление скорости. Как прави-ло, достаточно найти какую-либо тригонометрическую фун-кцию одного из удобных углов. В этой задаче можно найтитангенс угла между искомой скоростью и скоростью поезда:

ч

п

tg 0,75v

vβ = = .

Вот на этот подводный камень (направление скорости) и ненадо налетать. Причем, даже если в условии задачи ничегоне говорится о нахождении направления скорости (и в ответенет этого), вам все равно надо найти эту характеристикувекторной величины, так как иначе вы, как минимум,оставляете основание для придирки.

Теперь рассмотрим важную задачу, идея решения которой(как и результат решения) используется достаточно часто.

Задача 3. Мяч летит горизонтально со скоростью мvи налетает по нормали на массивную стенку, котораяРис. 2

Рис. 3

Рис. 4

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 142

движется ему навстречу со скоростью сv . Найдите ско-рость мяча после отскока, если никаких потерь нет.(Траектория мяча в этой задаче считается все времяпрямолинейной.)

Решение. Прежде всего заметим, что встречающееся вусловии задачи понятие «нормаль» означает перпендикулярк плоскости в данной точке или перпендикуляр к касатель-ной плоскости в данной точке поверхности. В этой задаческазано, что стена – массивная. Это означает, что ее скоростьпри соударении практически не меняется. Далее. На первыйвзгляд, из-за встречного движения тел результирующаяскорость мяча должна быть равна сумме скоростей, но это,как мы сейчас убедимся, не так. Причем это не связано спотерями (их, по условию, и нет).

Для решения задачи нужны идеи. Вы можете остановитьсяи подумать, прежде чем читать дальше.

Первая идея проста: целесообразно перейти в движущуюсясистему координат. Мы неоднократно будем поступать та-ким образом, этот прием для вас должен стать стандартным.Вторая идея, которая оказывается полезной в данной задачеи благодаря которой удобно перейти в подвижную системукоординат, состоит в следующем. Представьте себе, чтостена неподвижна. В этом случае скорость мяча относитель-но стены до и после удара по величине одна и та же (векторыскоростей до и после удара отличаются лишь знаком). Вотсутствие потерь не меняется по величине скорость мяча иотносительно движущейся стены. Теперь надо выбрать удоб-ную подвижную систему координат. Связывать ее с мячом не

стоит, так как мяч меняет на-правление движения, а вот свя-зать ее со стеной, которая неменяет ни направления движе-ния, ни величины скорости,удобно.

Рассмотрим рисунок 5 и вос-пользуемся двумя указанны-ми идеями, а также правиломсложения скоростей и след-ствием из него. Найдем ско-рость мяча относительно сте-

ны (т.е. скорость в подвижной системе) до удара (начальнуюскорость):

( ) ( )мн м cv v v= + - - +¢ .

В этой формуле знаки в скобках связаны с ориентациейвекторов относительно неподвижной системы координат,знаки перед скобками – это знаки, стоящие в используемойформуле сложения скоростей. Далее найдем скорость мячаотносительно стены после удара (конечную скорость):

мк мн м cv v v v= - = +¢ ¢ .

Наконец, по правилу сложения скоростей получим искомыйрезультат, т.е. конечную скорость мяча в неподвижнойсистеме отсчета:

( )мк c м c м c2v v v v v v= + + = + .

Используем рассмотренные идеи на примере еще однойзадачи.

Задача 4. Футболист ударил по покоившемуся мячу.Скорость ноги во время удара практически постояннаи равна фv . Найдите величину стартовой скорости мяча.

Решение. Надеюсь, вы узнали в этой задаче только чторешенную задачу 3 с нулевой начальной скоростью мяча искоростью ноги футболиста в качестве скорости стены.Пользуясь полученным ранее результатом, сразу пишем

искомый ответ:

мк ф ф0 2 2v v v= + = .

Для того чтобы поупражняться в решении задач с исполь-зованием перехода в подвижную систему, можете найтистартовую скорость мяча «честно», не используя результатрешения предыдущей задачи.

Конечно, идея перехода в подвижную систему отсчетаприменима не только при движении тел вдоль одной прямой,но и в более сложных случаях.

Задача 5. Точка 1 движется вдоль оси 0х к началукоординат из положения нx =  10 см со скоростью   1v == 2 см/с . Точка 2 движется вдоль оси 0у к началукоординат из положения нy =  5 см со скоростью 2v == 4 см/с. Встретятся ли точки? Если нет, то каковоминимальное расстояние между ними?

Решение. Рассмотрим два способа решения данной за-дачи.

Первый способ. Каждая из точек движется строго посвоей оси, поэтому встретиться они могут только в началекоординат. «Встретиться» в данном случае формально оз-начает одновременное попадание точек в начало координат.Найдем время движения каждой из точек. Для этого намнадо записать изменение во вре-мени текущей координаты каж-дой из точек, а затем прирав-нять это значение нулю, так какв интересующий нас момент точ-ки попадают в начало коорди-нат.

Координата первой точки(рис.6) равномерно убывает вовремени от нx

до нуля, поэтому

можно записать н 1x x v t= - .Используя условие х = 0, най-дем 1 5 ct = . Аналогично, из уравнения н 2y y v t= - и усло-вия y = 0 получаем 2 1,25 ct = . Итак, точки движутся доначала координат разное время и встретиться не могут.

Для нахождения минимального расстояния между точка-ми запишем значение этого расстояния в общем виде (рассто-яние s между точками показано на рисунке 6 пунктиром):

( ) ( )2 22 2

н 1 н 2s x y x v t y v t= + = - + - .

Минимум этого выражения можно найти, используя диффе-ренцирование, но можно и элементарным способом, как мыи сделаем. Преобразуем выражение для расстояния следую-щим образом:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2н н 1 н 2 н 1 22s x y t v x v y v v t= + - + + + =

=2 2

2 2 2н н 1 н 2 н1 2 2 2 2 2

1 2 1 2

2x y v x v y

v v t tv v v v

+ ++ - +

+ +.

Под корнем прибавим и вычтем одну и ту же величину2

1 н 2 н2 21 2

v x v yA

v v

ж ц+= з ч+и ш

и выделим полный квадрат разности

двух величин (времени и вспомогательной величины А):

2 22 2 2н н 1 н 2 н1 2 2 2 2 2

1 2 1 2

2x y v x v y

s v v A A t tv v v v

+ += + - + - + =

+ +

2 2 2 22 2 1 н 2 н 1 н 2 н н н1 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

v x v y v x v y x yv v t

v v v v v v

ж ц ж ц+ + += + - - +з ч з ч+ + +и ш и ш

.

Рис. 5

Рис. 6

Первая из скобок под большим корнем – неотрицательноевыражение, все остальное – постоянные величины, поэтомуминимум расстояния достигается в тот момент, когда имеетместо равенство

1 н 2 н2 21 2

0v x v y

tv v

+- =

+, т.е. 1 н 2 н

2 21 2

v x v yt

v v

+=

+.

По этому времени можно непосредственно найти минималь-ное значение расстояния между точками. Но проще заме-тить, что для найденного момента последнее произведениекорней дает

2 2 2 21 н 2 н1 н 1 2 н н 2 н

2 2 2 21 2 1 2

26,7 см

v y v xv y v v x y v xs

v v v v

-- += = »

+ +.

Обратите внимание на следующее обстоятельство. Най-денное минимальное расстояние между точками равно нулютолько тогда, когда 1 н 2 н 0v y v x- = . В условиях задачи это нетак, значит, точки не встретятся (ответ на первый вопросзадачи можно было бы получить и таким образом).

Второй способ. Выберем в качестве неподвижной системыотсчета заданную систему координат х0у, а в качестве

подвижной системы X0Y –систему, связанную с первымтелом, которое двигается вдольоси 0х. В этой системе началокоординат совместим с пер-вым телом, ось 0Х подвижнойсистемы направим по скорос-ти первого тела, т.е. навстре-чу оси 0х, ось 0Y подвижнойсистемы направим по оси 0унеподвижной системы (рис.7).Перейдем в систему отсчета,связанную с первым телом. Вэтой системе первое тело по-коится, а второе тело прибли-

жается к нему со скоростями 1v и 2v . Искомое минимальноерасстояние s – это расстояние от первого тела до точки А. Какможно увидеть на рисунке,

,cos

sl

α= н tg ,L y α= 1

2

tg ,v

vα =

2

2 21 2

cos .v

v vα =

+

Собираем все и находим

н 2 н 1

2 21 2

x v y vs

v v

-=

+,

как и в предыдущем способе решения. Получающейся знакпозволяет увидеть «перед» или «за» первой точкой пройдетвторая точка.

Упражнения

1. Клин с углом β у основания едет горизонтально соскоростью кv , стержень может (свободно) перемещаться тольковертикально (рис.8). Найдите скорость стержня.

2. Человек идет вдоль трамвайных путей. Каждые семь минутего обгоняет трамвай, каж-дые пять минут ему навстре-чу проходит трамвай. Найди-те интервал движения междутрамваями.

3. Расстояние между греб-нями волн в море 5 мλ = .При встречном движении ка-тера за время 1 cτ = волны ударяются о корпус 1 4k = раза, апри попутном движении за то же время – 2 2k = раза. Найдитескорости катера и волн, считая их постоянными относительноберега.

4. Шарик налетает на массивную стенку со скоростью шнv подуглом α к нормали. Стенка едет навстречу шарику со скоростью

cv . Найдите величину скорости шарика шкv и угол β этойскорости с нормалью кстенке после отскока.Потерь нет.

5. Торпеду, имеющуюскорость т 100 км чv = ,выпускают из точки А вмомент, когда корабльпротивника находится вточке В и двигается неизменным курсом со скоростью

к 50 км чv = под углом 30β = ° (рис.9). Найдите угол α , прикотором торпеда поразит цель.

Статья написана по материалам книги «Кинематика. Практи-ческое пособие по решению задач для старшеклассников иабитуриентов». (Автор-составитель В.М.Трояновский. М.: Из-дательство РДЛ, 2007.)

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А

К О Л Л Е К Ц И Я Г О Л О В О Л О М О К

Пенто-пенто-пирамида

(Начало см. на 4-й с. обложки)

Головоломка «Пенто-пенто-пирамида» заключается в том,чтобы собрать пирамиду из шариков, объединенных в груп-пы. Конечно, объединять шарики в группы можно тысяча-ми способов, и каждый раз будет получаться новая голово-ломка. Но изобретатели игрушек стремятся придумыватьголоволомки с какими-нибудь особенностями, которые вы-деляли бы их из произвольно составленных вариантов.

Как раз этими качествами хорошо продуманной конст-рукции обладает головоломка Дианы Пасхиной, выпускни-цы Московского государственного института стали и спла-вов. Название головоломки говорит о том, что в пирамидедолжно быть пять слоев и что каждая деталь конструкции

состоит из пяти шариков. При этом детали разные и отлича-ются взаимным расположением шариков. Это не перваяигрушка Дианы, ею придумано более десятка различныхголоволомок из шариков. То что она предпочитает конст-рукции из шариков, объясняется очень просто. Шарикиможно купить готовыми, склеивать их в группы нетрудно, аигрушки получаются очень красивыми. Лучше всего дляэтих целей подходят шарики от пластмассовых бус, кото-рыми украшают новогодние елки. Для семи деталей вампонадобится 35 шариков.

Головоломка «Пенто-пенто-пирамида» трудна в решении,поэтому на рисунке (см. 4-ю с. обложки) дана подсказка –отмечено расположение детали номер 7. С нее и начинайтепостроение пирамиды.

Желаем успеха!А.Калинин

К О Л Л Е К Ц И Я Г О Л О В О Л О М О К 43

44 К В А Н T $ 2 0 0 7 / № 6И Н Ф О Р М А Ц И Я

Малый мехмат МГУ

Более 25 лет при механико-математическом факультетеМосковского государственного университета (МГУ) им.М.В.Ломоносова работает школа юных математиков – Ма-лый механико-математический факультет (МММФ). Ос-новные задачи Малого мехмата – углубление знаний потемам школьного курса и расширение математического кру-гозора по разделам математики, не входящим в программусредней школы.

Малый мехмат состоит из двух отделений: вечернего изаочного. На вечернем отделении работают кружки по мате-матике для школьников 6–11 классов, а для учащихся 9–11классов организованы еще и лекции. Занятия бесплатные ипроходят по субботам, во второй половине дня. Обучение назаочном отделении осуществляется по переписке. Школьни-ки выполняют задания по рассылаемым им методическимразработкам Малого мехмата и высылают их для проверки.

В 2008 году заочное отделение Малого мехмата объявляетприем учащихся на 2008/09 учебный год в 8 и 9 классы, атакже на неполный курс обучения в 10 и 11 классы. Прини-маются учащиеся из России (в том числе и проживающие вМоскве), стран СНГ и Прибалтики.

Обучение на заочном отделении платное. Информация обусловиях оплаты будет выслана учащимся, зачисленным назаочное отделение, осенью 2008 года. В 2007/08 учебномгоду плата за одно задание составляет, в зависимости от тогонасколько успешно была выполнена вступительная работа,140 – 280 руб. (для «Колективного ученика» – 280 руб),однако в 2008/09 учебном году она может быть повышена.За год учащийся выполняет 6–9 заданий.

Существует возможность обучения нескольких учениковиз одной школы по форме «Коллективный ученик». Группаработает под руководством преподавателя и может включатьв себя не более 15 учащихся из одной параллели. Какправило, группы изучают материалы методических разрабо-ток во время факультативных (кружковых) занятий. Группа«Коллективный ученик» обучается как один учащийся, т.е.оформляет по каждому заданию одну работу и оплачиваетобучение всей группы как обучение одного учащегося.

Школьники, прошедшие полный курс обучения (трех-или четырехлетний) и успешно закончившие обучение назаочном отделении (с итоговой оценкой «хорошо» или«отлично»), получают свидетельства об окончании Малогомехмата.

Зачисление для индивидуальных учеников производитсяна конкурсной основе по результатам выполнения приведен-ной ниже вступительной работы. Желающие поступитьдолжны не позднее 30 апреля 2008 года выслать в наш адресписьмом или по электронной почте решения задач вступи-тельной работы (при этом не обязательно должны бытьрешены все задачи). При отсылке по почте вступительнуюработу необходимо выполнить в школьной тетради в клет-ку. Записывать решения в тетрадь следует в том порядке, вкотором задачи идут во вступительной работе. На обложкутетради следует наклеить лист бумаги со следующими дан-ными:

1) Фамилия, имя, отчество учащегося2) Класс (в 2008/09 учебном году)3) Полный домашний адрес с указанием индекса почтово-

го отделения4) Электронный адрес, по которому с вами можно связать-

ся (если он есть)5) Откуда вы узнали о наборе на заочное отделениеВступительные работы обратно не высылаются.Группам «Коллективный ученик» не нужно выполнять

вступительную работу, необходимо лишь не позднее 15сентября 2008 года выслать письмом или по электроннойпочте такие данные:

1) Фамилия, имя, отчество руководителя группы2) Фамилии, имена и отчества учащихся (не более 15

человек) в алфавитном порядке3) Класс (в 2008/09 учебном году)4) Полный адрес руководителя группы (по которому

следует высылать задания) с указанием индекса почтовогоотделения

5) Электронный адрес, по которому с вами можно связать-ся (если он есть)

6) Откуда вы узнали о наборе на заочное отделение.Наш почтовый адрес: 119991 Москва, ГСП-1, Воробьевы

горы, МГУ, мехмат, МММФЭлектронные адреса:вечернее отделение – mmmf_v@math.msu.suзаочное отделение – zaoch@.math.msu.suТелефон для справок: (495) 939–39–43Наш сайте в Интернете: http//mmmf.math.msu.su

Вступительная работа

1. Волк побежал за Зайцем по кольцевой дороге, увидевего на 1/3 круга впереди себя. Скорость Зайца, который втот же момент помчался прочь от Волка, 5 кругов в час.Скорость Волка 7 кругов в час. Через какое время посленачала движения Волк догонит Зайца?

2. Докажите, что число 11…1 + 22…2 + … + 99…9, вкотором каждое слагаемое состоит из 2008 цифр, делится на9.

3. Решите неравенство ( ) ( )2 2 21 3 0x x x- + ³ .4. В выпуклых четырехугольниках ABCD и 1 1 1 1A BC D

выполняются равенства 1 1AB A B= , 1 1BC BC= , 1 1CD C D= ,

1 1DA D A= . Кроме того, известно, что наименьшая стороначетырехугольника ABCD равна наибольшей стороне четырех-угольника 1 1 1 1A BC D . Верно ли, что четырехугольники ABCDи 1 1 1 1A BC D равны (две фигуры называются равными, еслиих можно совместить наложением)?

5. Переменные 1 2 100, , ,x x xK могут принимать значения 0или 1. Обозначим через S сумму 1 2 3 1 2 4x x x x x x+ +K

98 99 100x x x+K (в сумму входят по одному разу все слагае-мые вида i j kx x x , где 1 100i j k£ < < £ ). Может ли Sравняться 5?

6. По кругу расставлены цифры 1, 2, 3, ..., 9 в произволь-ном порядке (каждая цифра встречается один раз). Каждыетри цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуюттрехзначное число. Чему равна сумма всех девяти такихчисел? Укажите все возможные варианты.

7. Найдите все решения ребуса, в котором одинаковымибуквами зашифрованы одинаковые цифры, разными – раз-ные:

ВАГОН ВАГОН

СОСТАВ8. В выпуклом четырехугольнике ABCD известны три

угла: 60AР = ° , 40BР = ° , 120CР = ° ; известно также, чтостороны CD и AD равны. Докажите, что BC + CD = AB.

9. Решите систему уравнений

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 21,

1 1 1.

6 3 2

x y x z y z

x y x z y z

м + + + + + =пн

+ = + = +по

10. Несколько друзей решили устроить турнир по игре в«камень-ножницы-бумагу». Каждый сыграл с каждым поодному поединку. За победу в каждом поединке игрокуначислялось одно очко, за поражение одно очко вычиталось,а ничья число набранных очков не изменяла. Оказалось, чтоодин из участников набрал +7 очков, а другой набрал –2очка. Верно ли, что хотя бы одна игра на турнире заверши-лась вничью?

+

В А Р И А Н Т Ы 45

Материалы вступительныхэкзаменов 2007 года

В А Р И А Н Т Ы

Московский государственный университетим. М.В.Ломоносова

МАТ ЕМА ТИКА

Письменный экзамен

Вариант 1

(олимпиада «Ломоносов-2007»)

1. Вычислите ( ) ( )sin cos sin cosα α β β- - , если ( )sin α β+ == 0,8 и ( )cos 0,3α β- = .

2. Решите уравнение

( ) ( )2 5 5

2 2x x= .

3. Какие значения может принимать выражение

( )11 50 1 2 60logb b b b bK ,

где 1 2, ,b b K – геометрическая прогрессия?4. Решите неравенство

8 2 11

7 2 1

x x

x x

- - -£

+ - -.

5. На стороне АВ треугольника АВС взята такая точка D,что окружность, проходящая через точки А, С и D, касаетсяпрямой ВС. Найдите AD, если АС = 9, ВС = 12 и CD = 6.

6. Натуральные числа а, b и с таковы, что ( )НОК , 60a b =и ( )НОК , 270a c = ( ( )НОК ,x y – наименьшее общее крат-ное чисел х и у). Найдите ( )НОК ,b c .

7. Определите, под каким углом видно из начала коорди-нат (т.е. внутри какого наименьшего угла с вершиной вточке(0, 0) помещается) множество, заданное на коорди-натной плоскости неравенством

2 214 14 2 4 0x xy y x y+ + + + + < .

8. Грани двугранного угла пересекают боковую поверх-ность цилиндра радиусом 5, образуя с его осью углы в 70°и 80° , а ребро двугранного угла перпендикулярно этой осии удалено от нее на расстояние 11. Найдите объем частицилиндра, расположенной внутри двугранного угла.

9. Найдите все значения ( ]0;x πО , удовлетворяющиеуравнению

tg tg 2 tg 3 tg tg 2 tg 3x x x x x x+ + = .

10. В течение четверти учитель по пению ставил детямоценки «1», «2», «3», «4» и «5». Среднее арифметическоевсех оценок Вовочки оказалось равным в точности 3,5. Итогда, по предложению Вовочки, учитель заменил одну егооценку «4» парой оценок «3» и «5». Докажите, что от этогосредняя оценка Вовочки по пению увеличилась. Найдитенаибольшее возможное ее значение после такой замены:

а) одной оценки «4»;б) всех его оценок «4».

Вариант 2

(механико-математический факультет)

1. Учитель назвал Пете натуральное число и попросилнайти сумму его логарифмов по основаниям 3 и 75. Однако

Петя по ошибке не сложил эти логарифмы, а перемножил их,получив неверный ответ, который оказался вдвое меньшеверного. Какое число назвал ему учитель?

2. Графики функций

( ) 22 2 1f x x x= - - и ( ) 25 2 3g x x x= - + +пересекаются в двух точках. Найдите коэффициенты а и b вуравнении прямой y = ax + b, проходящей через те же точки.

3. Решите уравнение

3 cos 3 sin cos sin cos 3 sinx x x x x x+ = - .

4. Точки А, В и С лежат на окружности радиуса 2 с центромО, а точка K – на прямой, касающейся этой окружности вточке В, причем 46AKCР = ° , а длины отрезков AK, BK, CKобразуют возрастающую геометрическую прогрессию (в ука-занном порядке). Найдите угол AKO и расстояние междуточками А и С. Какой из углов больше: ACK или AOK?

5. Найдите наибольшее значение выражения

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 7 1 7x y x y x x y y- - + - - + - -

при [ ]2; 3x О - и [ ]0; 11y О .6. Два конуса имеют общую вершину и единственную

общую образующую, которая составляет с их осями углы в30° и 45° . Двугранный угол расположен так, что каждая егогрань касается каждого из конусов по разным образующим.Найдите величину этого угла.

Вариант 3

(факультет вычислительной математики и кибернетики,олимпиада «Абитуриент-2007», апрель)

1. Решите уравнение34 cos 2 sin 2 cos

0sin 1

x x x

x

- + +=

-.

2. Решите неравенство3 9 7

5 2 5 23 4 5 3

x x

x x

+ -- -- ³ Ч .

3. В двух одинаковых сосудах объемом по 30 л каждыйсодержится всего 30 л спирта. Первый сосуд доливаютдоверху водой и полученной смесью дополняют второйсосуд, затем из второго сосуда отливают в первый 12 л новойсмеси. Сколько спирта было первоначально в каждом сосу-де, если во втором сосуде оказалось на 2 л спирта меньше,чем в первом?

4. В прямоугольном равнобедренном треугольнике АВС спрямым углом С проведены биссектриса АМ и медиана BN,пересекающиеся в точке K. Найдите площадь данного треу-

гольника, если 2 2AK = + .5. Найдите минимальное и максимальное значения функ-

ции

5sin sin

6y x x

πж ц= + +з чи ш .

6. Некоторая прямая касается двух сфер, расстояниемежду центрами которых равно 5. Первой сферы радиуса

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 146

3 с центром в точке 1O эта прямая касается в точке K, авторой сферы радиуса 2 с центром в точке 2O эта прямаякасается в точке L, причем 2 6KL = . Чему равен двугран-ный угол, ребром которого является прямая KL, одна изграней содержит точку 1O , а другая – точку 2O ?

Вариант 4

(факультет вычислительной математики и кибернетики)

1. Найдите все решения уравнения

72 sin

25x

πж ц+з чи ш

2cos

318sin 3 cos 4 2

25x x

ππж ц+ = +з чи ш ,

принадлежащие отрезку 4

;10 5

π πй щ-к ъл ы.

2. Решите неравенство

( )( )

( )5

25

log 2 3 1log 2

log 2x

xx

x+

+ -- ³

+ .

3. В треугольнике АВС точка D является основаниемвысоты, опущенной из точки А на сторону ВС. Окружностьдиаметра 2 3 проходит через точки В и D и касаетсявнешним образом окружности, описанной около треугольни-ка ACD. Известно, что 4 3AC = , а величина угла АВСравна 30° . Найдите длину стороны ВС.

4. Найдите все пары целых чисел ( );x y , удовлетворяющиесистеме неравенств

2

25,

8,

4 1.

x y

x y

x y

- £ -мп

- £нп + £о

5. Дана треугольная призма 1 1 1ABCA BC ( 1 1 1AA BB CCP P ).На ребре 1CC выбрана точка D. Сечение, проходящее черезточки A, 1B и D, делит призму на два многогранника,A 1BCDB и 1 1 1B AAC D , отношение объемов которых равно13:17. В каком отношении точка D делит ребро 1CC ?

6. Какие значения может принимать ( )sin α β γ+ + , еслипри этих , ,α β γ многочлен от х

4 3 sin 22x x xα+ + 1 sin2 cosβ γ- - + 2 2sin cosβ γ+

является квадратом некоторого многочлена относительно х?

Вариант 5

(физический факультет)

1. Решите уравнение

sin 5 sin 31

2 sin

x x

x

-= .

2. Решите уравнение

( )2 23 5 3 14

049 7

x x

x

-+ Ч -=

-.

3. Решите уравнение

2 2 2 2 5 3 1x x x x- - + = - - - .

4. Окружность радиуса 2, вписанная в KLM∆ , касаетсястороны LM в точке N. Отрезок KN является медианойтреугольника и KN= 8. Найдите площадь KLM∆ .

5. Решите неравенство

( )22

4 2 2

1log 4 log 0

4

xx

x

-- + >

-.

6. В KLM∆ через точку N высоты KN проведены прямые,перпендикулярные сторонам KL и KM и пересекающие их в

точках А и В соответственно. Отрезок АВ равен а, а радиусописанной около KLM∆ окружности равен R. Найдитеплощадь KLM∆ .

7. Для каждого значения а из промежутка ( )3; 0- найдитечисло различных решений уравнения

( )2 2 22 5 2 0x ax a x

a- + - = .

8. Сфера радиуса ( )1 2 17 касается всех сторон правиль-ного LMN∆ . Точка S такова, что плоскости SLM, SMN иSNL касаются сферы. Расстояние от точки S до плоскостиLMN равно 8. Найдите объем пирамиды SLMN.

Вариант 6

(факультеты: химический, наук о материалах,биологический, фундаментальной медицины,

биоинженерии и биоинформатики, географический,психологии)

1. Решите уравнение

( )2 7 6 4 23 0x x x- + + = .

2. Решите неравенство2 24 4 8 16

12 12 4

x x x x

x x

+ + + +£ -

+ +.

3. В прямоугольном треугольнике DEF на гипотенузуопущены медиана DM и высота DQ. Известно, что

17

2MD = и sin

8

17DMQР = . Найдите катеты треугольни-

ка DEF.

4. Положительные числа 1 2 3 4 5, , , ,b b b b b образуют геометри-ческую прогрессию, а числа 5 3 1,6 ,27b b b – арифметическую.Найдите знаменатель прогрессии 1 2 3 4 5, , , ,b b b b b .

5. Прямая 1l проходит через точки ( )3; 2- и ( )1; 1 коорди-

натной плоскости. Прямая 2l проходит через точку ( )5; 4-и перпендикулярна прямой 1l . Найдите координаты точкипересечения прямых 1l и 2l .

6. Решите уравнение

( )2 2 2coslog cos sin 2 sin 5 sin 2 0x x x x x+ - + = .

7. За 2005 год число книг в фонде библиотеки поселкаувеличилось на 0,4%, а за 2006 год – на 0,8%, оставшись приэтом меньше 50 тысяч. На сколько книг увеличился фондбиблиотеки поселка за 2006 год?

8. Найдите все значения параметра а, при каждом изкоторых среди корней уравнения

( )2 4 1 0ax a x a+ + + + =имеется ровно один отрицательный.

Вариант 7

(факультеты: географический, почвоведения и факультетглобальных процессов)

1. Решите уравнение

1 7 10x - - = .

2. Решите неравенство

2 2

1 19

7 7x

x x+ £ +

- -.

3. Сумма положительной бесконечно убывающей геомет-рической прогрессии в 4 раза больше ее второго члена. Восколько раз второй член меньше первого?

4. Решите уравнение2 2sin 11 cos 17x x= .

В А Р И А Н Т Ы 47

5. Решите неравенство3 2 2 4log 16 2 log 16 4 log 16 0x x x+ + ³ .

6. Решите систему

2 2

7,

13.

x y xy

x y xy

+ + =мпн

+ + =по7. Найдите все значения параметра а, при каждом из

которых система

( ) ( )( )2

5 2 6 5 2 6 5 8,

4 0

x xa y y

x a y

м - + + - = - -пнп - - =о

имеет единственное решение.8. Периметр равнобедренного треугольника АВС равен 18.

Через середину D основания АВ проведена прямая, пересе-кающая сторону ВС в точке K и делящая площадь треуголь-ника АВС в отношении 5:2, при этом угол ADK равен 135° .Найдите площадь треугольника АВС.

Вариант 8

(геологический факультет)

1. Решите неравенство

1212

xx

x- £

-.

2. Решите уравнение

cos 2 sin 1cos

cos 2

x xx

x

+= .

3. Решите неравенство2 42 1x - - ( )2 7 6 0x x- + £ .

4. Площадь четырехугольника ABCD равна 9, радиусвписанной в него окружности равен 1, а длины сторон АВ иВС равны 3 и 5 соответственно. Чему равны длины сторонAD и CD?

5. Решите неравенство2

22

log log2 11

12

xx x

x

ж цж ц-з чз чз ч-и ши шж ц £з чи ш .

6. Сумма первых пятнадцати членов арифметическойпрогрессии, состоящей из натуральных чисел, больше 337,но меньше 393. Чему равен восьмой член этой прогрессии,если известно, что он кратен четырем?

7. Числа x, y, z таковы, что

2

1 ,

14 7 0.

x z y

xy z z

+ = +мпн

+ + - =поПри каких значениях z сумма 2 2x y+ максимальна? Найди-те это максимальное значение.

8. В каком отношении делит объем куба 1 1 1 1ABCDA BC D ,где 1 1 1 1AA BB CC DDP P P , плоскость, проходящая черезвершину А и центры граней 1 1 1 1A BC D и 1 1BC CB ?

Вариант 9

(факультеты: социологический и филологический)

1. Решите уравнение

3 10x x- - - = .

2. Решите неравенство

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 5 81

2 5 8

x x x

x x x

- - -³ -

+ + +.

3. Один рабочий бригады, состоящей из 5 человек, произ-водит в среднем 14 деталей в час, причем каждый из рабочих

производит в час целое число деталей, не превышающее 16.Сколько деталей в час может делать при этих условияхрабочий с самой низкой производительностью?

4. Решите систему2

2

2 3 0,

2 3 0.

x y

y x

м - - =пн

+ - =по5. Решите уравнение

55 cos 2 4 sin 1

3 6x x

π πж ц ж ц+ = - -з ч з чи ш и ш.

6. Периметр треугольника АВС равен 36, а площадь равна60. Найдите стороны АВ и АС, если ВС = 10.

7. Решите неравенство

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2

3 3log 2 9 21 log

x xx x x x

+ ++ + ³ - .

8. При каких значениях с уравнение

216 x c x- - = +

имеет единственное решение?

Вариант 10

(экономический факультет, отделение экономики)

1. Для каждого значения х, удовлетворяющего условию

2 42 0x x- - = ,

найдите все числа у, для которых выполнено неравенство

27 10 34 4 7y y x- - + ³ + .

2. Найдите все решения уравнения

cos 3 sinx x= ,

удовлетворяющие одновременно двум неравенствам:

sin 0, cos 0x x³ £ .

3. Решите неравенство

( ) ( )2 32 3 5

3log log 5 log 125 25 0

5

xx xx -ж цж ц

- - Ч <з чз чи ши ш.

4. Бригаде грузчиков выделена некоторая сумма денег наразгрузку баржи, однако 3 человека заболели и в работе неучаствовали. Оставшиеся выполнили задание, заработавкаждый на 1,5 тысячи рублей больше, чем в случае работыв составе полной бригады. Определите выделенную бригадесумму денег, если 5%-й сбор за ее банковский переводобошелся работодателю дополнительно в величину, находя-щуюся в пределах от 1,2 до 1,6 тысяч рублей.

5. Внутри треугольника АВС взята точка K так, чтотреугольник ABK – равносторонний. Известно, что рассто-яние от точки K до центра окружности, описанной околотреугольника АВС, равно 6 и величина угла ACB равна

arcsin5

2 13. Найдите длину стороны АВ.

6. Найдите все значения а, при которых функция

( ) 2 arcsin10

af x x x

ж ц= - + з чи шне является монотонно возрастающей на отрезке числовойоси, который соединяет корни квадратного трехчлена

( ) ( )( )2 2 28 14 6 6 8 2x a a x a a a- - + + - + - .

7. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограммABCD, не являющийся ромбом. Вершины А, В и С располо-жены на некоторой сфере так, что прямая AD проходит через

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 148

центр этой сферы. Вершина S, также лежащая на даннойсфере, равноудалена от концов диагонали АС основания.Найдите наибольшее возможное значение объема пирамиды,

если 2 3AC = , BD = 2.

Вариант 11

(Московская школа экономики)

1. Решите неравенство2 3 2 1x x x- + £ - .

2. Решите уравнение

( ) ( )2 coslog 3 sin cos 2 0x x x- - = .

3. Решите неравенство 1 1

10 5 4 2

x x- ³ - .

4. Решите уравнение

4 25 23 5 15 0x xЧ - Ч + = .

5. Для перевозки 90 т груза затребовали некоторое коли-чество одинаковых грузовиков. В связи с тем что на каждуюмашину погрузили на 0,75 т меньше, дополнительно былозатребовано еще 4 грузовика. На сколько процентов увели-чилось число грузовиков по сравнению с первоначальнойзаявкой?

6. Найдите все целочисленные решения уравнения

2 214 4 32 88 0x x y y- + + + = .

7. Диагонали вписанного в окружность четырехугольникаABCD пересекаются в точке Е. Найдите периметр и площадьтреугольника АВС, если ВС = CD = 6, АВ = 7 и СЕ = 3.

8. При каких значениях параметра а уравнение

3 1 116 3 2 2 4x x x+ +- Ч + Ч - ( ) 1 24 4 2 2 1 0xa a a-- Ч - + - =

имеет три различных корня?

Вариант 12

(Институт стран Азии и Африки)

1. Решите неравенство

3x + ( )1 3 0x - - £ .

2. Фермер получил кредит в банке под определенныйпроцент годовых. Через год фермер в счет погашения креди-

та вернул в банк 1

6 часть от всей суммы, которую он должен

был банку к этому времени. А еще через год в счет полногопогашения кредита фермер внес в банк сумму, на 20%превышающую величину полученного кредита. Каков про-цент годовых по кредиту в данном банке?

3. Решите неравенство

2

1 4

2

2log log 0

10

x x

x

ж ц-³з ч+и ш

.

4. Решите уравнение

2 2 4 2 1x y x y+ - - + + 2 26 2 9x y x y+ - - - +

+ 1 2 1x y x y+ - = - + 2sin 6 sin2

zz + .

5. В треугольнике АВС проведена прямая, пересекающаястороны АВ и ВС в точках Р и Q соответственно. Известно,

что АВ = 3, 5AC = , длина медианы, проведенной из

вершины А к стороне ВС, равна 6 и длины отрезков АР,PQ, QC равны между собой. Найдите длину отрезка PQ.

6. Найдите все значения параметра а, при каждом из

которых множество решений неравенства

2 26 4 6 3 24 35 0x a ax x a+ + - - + <

содержит хотя бы одно целое число.7. Определите, какая из двух пирамид SABC или QKNM

имеет меньший объем, если длины ребер SA, SB, SC и QK,QN, MN равны 2, а длины ребер АВ, ВС, АС и KN, KM, QM

равны 3 .

Вариант 13

(факультет государственного управления)

1. На велотреке, имеющем форму окружности, из диамет-рально противоположных точек одновременно стартуют двавелосипедиста со скоростями 775 и 800 метров в минутусоответственно. Сколько полных кругов проедет первыйвелосипедист к моменту, когда его догонит второй, еслидлина велотрека равна четверти километра?

2. Решите уравнение

1 1 1 1sin sin

4 2 3 4x x

ж ц- - = +з чи ш.

3. Диагональ разбивает выпуклый четырехугольник на дваравных треугольника со сторонами длиной 5, 12 и 13.Найдите радиус наименьшего круга, в который можно поме-стить такой четырехугольник.

4. Решите неравенство

( )2

4 2log 2 log 14

xx - ³ - .

5. Город административно поделен на пять частей: запад-ную, северную, восточную, южную и центральную. Средняяцена дизельного топлива по бензозаправочным станциям ввосточном районе составляет 18 рублей за литр, в западном– 18 рублей 35 копеек, в центральном – 20 рублей с полтиной,в северном районе – 17 рублей с четвертью соответственно,в южном районе цена совпадает со средней ценой по всембензозаправкам города. Известно, что в центральной частибензозаправочных станций в полтора раза больше, чем взападной, а на востоке – на треть больше, чем на западе. Восколько раз бензозаправочных станций в северном районеменьше, чем на востоке, если средняя цена дизтоплива позаправочным станциям города составляет 18 рублей 60копеек?

6. Найдите значения а и b такие, при которых система

( )2 2 2

2 ,bx y a

x b y a

- =мпн

- + =поимеет ровно три решения.

7. Общество рыболовов и охотников, две трети членовкоторого – рыболовы, а одна треть – охотники, решилопереизбрать правление. Председатель общества подготовилпроект состава правления из 100 человек. Какое наибольшеечисло охотников можно было включить в проект составаправления, чтобы за него проголосовало более половинычленов общества, если известно, что за проект проголосуетстолько процентов рыболовов, сколько рыболовов в предло-женном проекте, и столько процентов от числа охотников,сколько в нем охотников?

Вариант 14(дополнительный набор на платные образовательныепрограммы для абитуриентов факультетов механико-

математического, вычислительной математики икибернетики, химического, биологического, почвоведения,

географического, наук о материалах, фундаментальной

В А Р И А Н Т Ы 49

медицины, психологии, биоинженерии ибиоинформатики, Московской школы экономики)

1. Решите уравнение1

lg lg 32

y y- = .

2. Решите уравнение4 3cos sin 1x x+ = .

3. На координатной плоскости расположен квадрат. Двеего вершины имеют координаты ( )4; 5- и ( )6; 5- . Найдитекоординаты двух других его вершин.

4. Решите неравенство

1 1 1 12

43 2 9 27x x x- + - + -

- Ч £ .

5. Основанием пирамиды SABCD служит прямоугольникABCD, площадь которого равна Q. Ребро SA перпендику-лярно плоскости основания, а ребра SB и SD наклонены кней под углами δ и γ . Найдите объем пирамиды.

6. Решите неравенство

2 9arcsin lg 0

6 25x x

πж ц ж ц- + >з ч з чи ш и ш .

7. Около окружности радиуса R описана равнобочнаятрапеция. Площадь четырехугольника, вершинами которогослужат точки касания окружности и трапеции, равна S.Найдите площадь трапеции.

8. К десятичной записи целого числа 0n № приписалисправа какую-то цифру. К получившемуся новому числуприбавили квадрат числа n, а потом вычли 3. Получилосьчисло 14n. Какое число n было взято и какая цифра былаприписана?

ФИЗИКА

Физический факультет

Задачи устного экзамена

1. Два тонких жестких стержня длиной L каждый враща-ются вокруг неподвижных точек 1O и 2O в плоскостирисунка 1. Расстояние между этими точками равно h. Най-

дите модуль скоростидвижения точки С пере-сечения этих стержнейвдоль первого стержня втот момент, когда уголмежду стержнями равенα , угол 1 2CO O равен β ,а скорости свободныхконцов стержней равны

1ur

и 2ur

.2. Неподвижный клин

с углом α при основании имеет гладкую нижнюю и шерохо-ватую верхнюю части своей наклонной плоскости. На верх-ней части клина удерживают тонкий однородный жесткийстержень массой m, расположенный в плоскости рисунка 2.Коэффициент трения между стержнем и верхней частьюклина равен µ . После того как стержень отпускают, онначинает поступательно скользить по клину. Найдите макси-

мальное значение силы натя-жения стержня в процессеего движения. Влиянием воз-духа пренебречь.

3. К вертикальной стенеодним концом шарнирно при-креплен однородный тяже-лый жесткий стержень, на

другом конце которогоподвешен груз, как по-казано на рисунке 3.Стержень удерживаютв горизонтальном поло-жении легкой жесткойпроволокой, прикреп-ленной к нему на рас-стоянии l = 30 см отшарнира. Другой конецпроволоки прикрепленк стене так, что прово-лока и стержень лежат в одной вертикальной плоскости. Накаком расстоянии h от шарнира должна быть прикреплена кстене проволока, чтобы ее абсо-лютное удлинение было мини-мальным? Трением в шарнире пре-небречь.

4. На гладком горизонтальномстоле лежат одинаковые грузымалых размеров, расположенныев вершинах правильного n-уголь-ника. Масса каждого груза рав-на m. Грузы соединены междусобой одинаковыми легкими пру-жинами жесткостью k. Грузысмещают от положений равнове-сия на одинаковые расстояниятак, как показано на рисунке 4.После этого грузы одновременно отпускают. Определитепериод малых колебаний грузов. Считать, что при колеба-ниях оси пружин остаются прямолинейными.

5. На рисунке 5 показана зависимость внутренней энергииU идеального газа, ис-пользуемого в каче-стве рабочего веще-ства теплового двига-теля, от количестватеплоты Q, котороегаз получил с момен-та 1 начала цикла 1–2–3–1. Найдите КПДэтого цикла.

6. В цилиндре подпоршнем находитсясмесь воздуха, насы-щенного водяногопара и воды в скон-денсированном состо-янии. Масса воды рав-на массе водяного пара. Если изотермически уменьшитьобъем смеси в k = 2 раза, ее давление увеличится в n == 1,5 раза. Во сколько раз изменится давление смеси, еслиее объем не уменьшать, а увеличивать при той же темпера-туре до тех пор, пока вся вода не испарится?

7. Четыре незаряженные одинако-вые металлические пластины, пло-щадь каждой из которых S, располо-жены в воздухе на малом расстоянииd параллельно друг другу так, какпоказано на рисунке 6. Внутреннимпластинам сообщили равные по мо-дулю, но противоположные по знакузаряды. Затем внешние пластинысоединили между собой через резис-тор, сопротивление которого R. В

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 150

результате в этом резисторе выделилось количество теплотыQ. Пренебрегая излучением, определите модуль q зарядоввнутренних пластин.

8. Металлический стержень, один конец которого шарнир-но закреплен в точке О, вращают с такой постоянной угловой

скоростью ω , что он образу-ет с вертикалью постоянныйугол α (рис.7). Другой ко-нец стержня касается прово-дящей полусферы. Центр по-лусферы совпадает с точкойО. Радиус полусферы R. Всясистема находится в однород-ном вертикальном магнитномполе, индукция которого В.К полусфере подключен ре-

зистор с достаточно большим сопротивлением r. Другойконец резистора подключен к стержню в точке О. Найдитемощность P, выделяющуюся в резисторе.

9. К идеальной катушке индуктивности, зашунтированнойрезистором сопротивлением R, подключают на время τисточник с малым внутренним сопротивлением и ЭДС E .При этом за время подключения источника и время после егоотключения в резисторе выделяются одинаковые количестватеплоты. Найдите индуктивность катушки L.

10. Оптическая система состоит из тонкой собирающейлинзы Л с фокусным расстоянием F и плоского зеркала З,плоскость которого перпендикулярна главной оптической

оси линзы. Между лин-зой и зеркалом находит-ся стержень С, располо-женный перпендикуляр-но главной оптическойоси линзы так, как пока-зано на рисунке 8. Рас-стояние от стержня долинзы равно d, причем

d > F. Найдите расстояние х между линзой и зеркалом, прикотором отношение размеров двух действительных изобра-жений стержня равно k >1.

Рис. 7

Рис. 8

Факультет вычислительной математики и кибернетики

Задачи устного экзамена

1. Тяжело нагруженную лодку подтягивают к пристани спомощью веревки, перекинутой через ролик, находящийсяна высоте h над уровнем воды. По какому закону должна

меняться со временемсила ( )F t , которую нуж-но прикладывать к верев-ке, чтобы поддерживатьскорость движения лод-ки в воде постоянной иравной 0v ? В моментвремени t = 0 лодка дви-жется со скоростью 0v ,сила, с которой тянут за

веревку, равна 0F , а расстояние от лодки до пристанисоставляет 0l (рис.9). Сопротивление воды считать пропор-циональным скорости лодки.

2. Правая чаша рычажных весов находится под мелкимморосящим дождем, а левая укрыта от него навесом. Каждаячаша представляет собой тонкостенную цилиндрическуюемкость с площадью дна 20,05 мS = и высотой бортика h == 1 мм. Интенсивность равномерно падающего дождя тако-ва, что дождевая вода целиком заполняет предварительно

опорожненную чашу весов за время 30τ =  c. Какой массыm гирю нужно положить на левую чашу весов, чтобыуравновесить весы в случае, когда правая чаша заполненадождевой водой до краев? Капли дождя падают вертикальносо скоростью v = 3 м/c. Плотность воды 3 310 кг мρ = .Ускорение свободного падения принять равным 210 м сg = .Соударение капель с водой в чаше считать неупругим.

3. Развивая максимальную мощность двигателя, автобусдвижется по горизонтальному участку шоссе с постояннойскоростью 0v . Когда автобус при неизменной мощностидвигателя въезжает на подъем с углом наклона 1α , егоскорость падает до 1v . С какой скоростью 2v автобусбудет преодолевать подъем с углом наклона 2 1α α< притой же мощности, развиваемой двигателем? Проскальзыва-ние ведущих колес автобуса на всех участках шоссе отсут-ствует. Силу сопротивле-ния воздуха считать про-порциональной скоростиавтобуса.

4. Два одинаковых ша-рика подвешены на неве-сомых нерастяжимых ни-тях, как показано на ри-сунке 10. Силы натяженияверхней и средней нитей

1T и 2T известны. Найдитесилу натяжения 3T нижней нити, если она горизонтальна.

5. Тонкостенный стакан вместимостью 30 200 смV = и

массой m = 100 г погружают в воду, держа его дном вверх.На какой глубине h предоставленный самому себе стаканперестанет всплывать? Атмосферное давление 5

0 10p =  Па,плотность воды 3 310 кг мρ = , температура воды не меняет-ся с глубиной. Ускорение свободного падения принятьравным 210 м сg = . Размерами стакана по сравнению сглубиной его погружения, давлением паров воды, а такжеобъемом стенок стакана пренебречь.

6. Садовый насос, расположенный в скважине на глубинеh, подает воду на поверхность земли по шлангу площадьюсечения S. Какую мощность N развивает насос, если извес-тно, что он наполняет водой ведро объемом V за время τ ?Плотность воды ρ , ускорение свободного падения g.

7. К потолку покоящейся кабины лифта на пружинежесткостью k подвешена гиря массой m. В некоторый моментвремени лифт начинает двигаться вверх с постоянным уско-рением a. Какой путь s пройдет кабина лифта к томумоменту, когда длина пружины достигнет максимальногозначения?

8. В космический корабль, совершающий межпланетныйперелет, попал метеорит, пробивший в корпусе маленькоеотверстие, через которое наружу стал выходить воздух.Объем корабля 31000 мV = , начальное давление воздуха внем 5

0 10p =  Па, температура 27 Ct = ° . Через какое времяτ после попадания метеорита давление воздуха в кораблеуменьшится на 310 Паp∆ = , если площадь отверстия

21 смS = ? Молярная масса воздуха Μ == 29 г/моль, универсальная газовая по-стоянная R ( )8,3 Дж моль К= Ч . При ре-шении учесть, что 0p p∆ = ; температурувоздуха внутри корабля считать постоян-ной, а процесс истечения воздуха – квази-равновесным.

9. В закрытом цилиндрическом сосудепод невесомым тонким поршнем находит-ся один моль идеального одноатомногогаза при температуре 0 300 КT = (рис.11).В пространстве над поршнем создан ваку-

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

В А Р И А Н Т Ы 51

ум. Поршень удерживается в равновесии пружиной, поме-щенной между поршнем и крышкой цилиндра, причемпружина не деформирована, если поршень располагается удна цилиндра. Какое количество теплоты Q нужно сооб-щить газу, чтобы его объем увеличился в n = 1,5раза?Универсальная газовая постоянная ( )8,3 Дж моль КR = Ч .Теплоемкостью сосуда и теплообменом с окружающей сре-дой пренебречь.

10. В закрытом с одного конца цилиндрическом сосуденаходятся два тонких поршня, способных перемещаться без

трения и разделяющихпространство внутри со-суда на два отсека(рис.12). В левом отсекезаключен водяной парпри давлении р, а в пра-вом – воздух при том жедавлении, причем дли-

ны отсеков одинаковы и равны L. Правый поршень медленнопередвинули влево на расстояние l. На какое расстояние xсместится при этом левый поршень? Температуру пара ивоздуха считать постоянной. Давление насыщенного водяно-го пара при этой температуре равно 2p.

11. Пластины плоского воздушного конденсатора располо-жены горизонтально. Верхняя пластина сделана подвижнойи находится в начальном состоянии на высоте h = 1 мм наднижней пластиной, которая закреплена. Конденсатор заря-дили до разности потенциалов U = 1000 В, отключили отисточника и освободили верхнюю пластину. Какую скоростьприобретет падающая пластина к моменту соприкосновенияс нижней пластиной? Масса верхней пластины m = 4,4 г,площадь каждой пластины 20,01 мS = , электрическая по-стоянная 12

0 8,85 10 Ф мε -= Ч . Сопротивлением воздухапренебречь. Ускорение свободного падения 210 м сg = .

12. Экран электронно-лучевой трубки представляет собойпрямоугольник с диагональю d = 51 см и соотношениемсторон 3:4. Сила тока в электронном луче I = 0,5 мА.Предположим, что все электроны луча, попавшие на экран,остаются на нем, распределяясь по его поверхности равно-мерно. Через какое время τ после включения устройстванапряженность электрического поля вблизи поверхностиэкрана достигнет по величине напряженности поля на поверх-

ности уединенного ме-таллического шара ра-диусом R = 10 см, за-ряженного до потенци-ала 3ϕ =  кВ? Элект-рическая постоянная

120 8,85 10ε -= Ч  Ф/м.13. В цепи, изобра-

женной на рисунке 13,ключ K в течение длительного времени находился в замкну-том состоянии. В некоторый момент ключ разомкнули.Какое количество теплоты Q выделилось в схеме после

этого? Емкости конденса-торов 1 1C =  мкФ и

2 2C =  мкФ, сопротивле-ние резистора R = 4 Ом,ЭДС источника 10=E В,его внутреннее сопротив-ление r = 1 Ом.

14. Для измерения тем-пературы t собрана схе-ма, состоящая из четырехрезисторов и подключен-ная к источнику с ЭДС U

и малым внутренним сопротивлением (рис.14). Температур-ные коэффициенты сопротивления резисторов попарно рав-ны и составляют 1α и 2α соответственно, а сопротивлениявсех резисторов при температуре 0 C° одинаковы. Какзависит напряжение 12U между точками 1 и 2 от температу-ры? Считать, что в диапазоне измеряемых температур 1 1tα =

и 2 1tα = .15. Два параллельных металлических стержня расположе-

ны на расстоянии l друг от друга в плоскости, перпендику-лярной однородномумагнитному полю с ин-дукцией B (рис.15).Стержни соединены не-подвижным проводни-ком сопротивлением R.Два других проводникасопротивлениями 1R и

2R находятся слева исправа от неподвижного проводника и скользят по стержнямв одну и ту же сторону со скоростями 1v и 2v . Какой ток Iтечет по неподвижному проводнику? Сопротивление стерж-ней пренебрежимо мало.

16. Цепь, изображенная на рисунке 16, состоит из конден-сатора, катушки индуктивности, источника с ЭДС E ипренебрежимо малымвнутренним сопротивле-нием, а также ключа K.В начальный моментвремени ключ разомк-нут, а конденсатор за-ряжен до напряжения

0U с полярностью, ука-занной на рисунке. Ка-кого максимального зна-чения maxU может достичь напряжение на конденсаторепосле замыкания ключа? Сопротивлением катушки и соеди-нительных проводов пренебречь.

17. Оптическая схема, изображенная на рисунке 17, состо-ит из непрозрачного экрана с маленьким отверстием O и двухплоских зеркал 1 и 2. Луч светапроходит через отверстие O,отражается от зеркал 1 и 2 ивыходит обратно через это от-верстие, причем угол падениялуча на зеркало 1 равен α , апосле отражения от зеркала 2луч распространяется парал-лельно зеркалу 1. Когда зерка-ло 1 сместили влево параллель-но самому себе на расстояние

1d , луч перестал попадать вотверстие O. На какое расстоя-ние 2d нужно сместить парал-лельно самому себе зеркало 2,чтобы луч снова попал в этоотверстие? Размер отверстияпренебрежимо мал.

18. Оптический сканер представляет собой правильнуюшестигранную призму с зеркальной поверхностью, вращаю-щуюся вокруг свой оси O (рис.18). Ширина каждой грани а.Снизу на сканер падает вертикальный световой луч, продол-жение которого проходит на расстоянии а/2 от оси враще-ния сканера. Рядом со сканером вертикально расположенатонкая собирающая линза большого диаметра. Фокусноерасстояние линзы равно F, а ее главная оптическая осьпроходит через ось вращения сканера. В правой фокальной

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 152

плоскости линзы распо-ложен широкий экран,нижний край которогонаходится на оптическойоси линзы. Определитедлину d отрезка, кото-рый заметает на экранесветовой луч, отражен-ный от поверхности ска-нера.

19. Оптическая систе-ма состоит из двух оди-наковых тонких собира-ющих линз с фокусным

расстоянием F каждая. Линзы расположены на расстоянииL друг от друга (F < L < 2F) так, что их главные оптическиеоси совпадают. Слева от системы на расстоянии 2F от левойлинзы находится точечный источник света. На какое рассто-яние h сместится изображение источника, даваемое этойсистемой, если правую линзу сдвинуть перпендикулярно ееоптической оси вниз на расстояние H?

20. Интерференционная картина «кольца Ньютона» на-блюдается в отраженном монохроматическом свете с длинойволны 0,63λ =  мкм. Интерференция возникает в заполнен-ном бензолом тонком зазоре между выпуклой поверхностьюплосковыпуклой линзы и плоской стеклянной пластинкой.Найдите радиус r первого (внутреннего) темного кольца,если радиус кривизны поверхности линзы R = 10 м, апоказатели преломления линзы и пластинки одинаковы ипревышают показатель преломления бензола n = 1,5. Светпадает по нормали к пластинке.

Рис. 18

Химический факультет

Письменный экзамен

Вариант 1

1. Сформулируйте закон электролиза Фарадея.2. Что такое система отсчета?3. Протон движется в электрическом и магнитном полях по

прямой линии. Какова скорость протона, если индукциямагнитного поля В = 50 мТл, а напряженность электрическо-го поля 410 В мE = ?

4. На тонкую рассеивающую линзу падает луч света 1, ходпреломленного в линзе луча 2 известен (рис.19). Линзу

заменили на собирающуюс теми же положениямифокусов. Постройте ходлуча 1 после преломленияв этой линзе.

5. В баллоне находитсядвухатомный идеальныйгаз. При нагревании газаего абсолютная темпера-

тура увеличилась в два раза, а половина молекул диссоции-ровала (распалась на атомы). Во сколько раз изменилось(увеличилось или уменьшилось) давление газа в баллоне?

6. По двускатной крыше вдоль поверхности АВ соскальзы-вает сосулька (рис.20).Какова скорость сосуль-ки 0v в момент отрыва отповерхности АВ, еслирасстояние от точки В доточки соударения с по-верхностью крыши ВСравно l, а скорость со-сульки перед соударени-

ем в n раз больше 0v ?Считать угол α извест-ным, сопротивлением воз-духа пренебречь.

7. На легкой диэлектри-ческой нити в однородноммагнитном поле подвешенмаленький положительнозаряженный шарик(рис.21). Шарик отклонили от положения равновесия так,что нить стала горизонтальной, и отпустили. Найдите силунатяжения нити при прохождении шариком нижнего поло-жения. Индукция магнитного поля равна В и направленаперпендикулярно плоскости движения шарика. Масса изаряд шарика m и q соответственно, длина нити l.

8. При нормальном падении на дифракционную решеткупучка света от гелий-неонового лазера с длиной волны

633 нмλ = наблюдаетсявсего k = 7 дифракцион-ных максимумов. Каковпериод d данной дифрак-ционной решетки?

9. В цепи, схема которойизображена на рисунке 22,сопротивление резисторовR = 4 Ом, внутреннее со-противление источникатока r = 2 Ом. Во сколько раз изменится энергия электричес-кого поля конденсатора после замыкания ключа K?

10. На гладкой горизонталь-ной поверхности находится клин,имеющий массу М = 0,64 кг(рис.23). О гладкую наклоннуюповерхность клина ударяетсяшарик массой m = 0,15 кг, летев-ший горизонтально. Каким дол-жен быть угол клина α , чтобышарик отскочил вертикальновверх? Удар считать абсолютноупругим.

Вариант 2

1. Сформулируйте законы преломления света.2. Что такое резонанс?3. Магнитный поток через поверхность, ограниченную

проводящим контуром, меняется так, как показано на рисун-ке 24. Постройте график зависимости от времени ЭДС,индуцируемой в этомконтуре.

4. Два одинаковыхбруска находятся нанаклонной плоскостина одном уровне.Брускам сообщаютодинаковые началь-ные скорости вдоль на-клонной плоскости:первому – вниз, к ос-нованию наклоннойплоскости, второму –в противоположномнаправлении, к верши-не плоскости. Какойиз брусков будет иметь бóльшую скорость, когда они окажут-ся у основания наклонной плоскости? Считать, что коэффи-циент трения между брусками и поверхностью tgµ α< .

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

Рис. 22

Рис. 23

Рис. 24

В А Р И А Н Т Ы 53

5. В середине неподвижно закрепленного горизонтальногоцилиндрического сосуда, открытого с одной стороны, нахо-дится тонкий поршень. В закрытой части цилиндра – воздух.Какую минимальную силу следует приложить к поршню,чтобы медленно вытащить его из цилиндра? Атмосферноедавление 5

0 10 Паp = . Площадь поперечного сечения ци-линдра 24 смS = . Температуру считать постоянной. Трени-ем пренебречь. Воздух можно считать идеальным газом.

6. Батарея состоит из четырех конденсаторов, соединен-ных так, как показано на рисунке 25. Во сколько раз

изменится электроем-кость батареи (увели-чится или уменьшится)при замыкании ключаK?

7. Для разморажива-ния водопроводной тру-бы, в которой замерзлавода, применили элект-

рический нагреватель. Нагреватель подключили к источни-ку напряжением U = 220 В. Каким должно быть сопротив-ление нагревателя, чтобы за время 1 минτ = он растапливалm = 1 кг льда? Учесть, что потери тепла составляют k = 40%.Удельная теплота плавления льда 53,3 10 Дж кгλ = Ч .

8. Стержень длиной l = 1 м опирается на пол и на стену.Нижний конец стержня скользит по полу, удаляясь от стены,а верхний скользит по стене вниз. Найдите путь, пройденныйточкой С, лежащей на середине стержня, при движениистержня от вертикального до горизонтального положения.

Рис. 25

Рис. 26

9. В цепи, схема которойприведена на рисунке 26,резисторы имеют сопротив-ления 1 100 ОмR = и

2 200 ОмR = . Амплитудаподведенного напряжения

0 20 BU = . Какое количе-ство теплоты выделяется вцепи за время 1 минτ = ?Период колебаний напряжения T τ= . Диоды считать иде-альными.

10. Тонкий стержень АВ расположен под углом 45α = ° кглавной оптической оси собирающей линзы (рис.27). Подкаким углом β к оси рас-положено действительноеизображение стержня, да-ваемое линзой? Фокусноерасстояние линзы F == 20 см. Расстояние от ниж-него конца стержня до лин-зы d = 60 см.

Публикацию подготовили А.Бегунц, С.Волошин,В.Воронин, Е.Григорьев, Д.Денисов, А.Зотеев,

В.Королев, Т.Лукашенко, Г.Медведев, В.Панферов,В.Погожев, А.Разгулин, И.Сергеев, А.Склянкин,

В.Ушаков, Е.Хайлов, С.Чесноков, Е.Шикин, Б.Щедрин

Рис. 27

КОНКУРС «МАТЕМАТИКА 6–8»

(см. «Квант» №4 за 2007 г.)

1. Занумеруем монеты слева направо вдоль горизонтальногоотрезка, на котором они лежат: 1, 2, …, 99, 100. Сдвинем всечетные монеты вниз, а потом «изогнем» два полученных го-ризонтальных отрезка с монетами так, чтобы верхние (нечет-

ные) монеты расположились вдоль верхней части окружнос-ти, а нижние (четные) – вдоль нижней (рис.1). В этом слу-чае любые две соседние монеты отличаются по весу менее,чем на 0,02 грамма.

Рис. 1

Рис. 2 Рис. 3

Рис. 4

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я

2. а) См. рис.2. Несложноубедиться в том, что если припересечении трех кругов обра-зуются 6 областей, то найдетсякруг, содержащий ровно 3 об-ласти. Любая сумма, большая15 и составленная из чисел от1 до 6, требует наличия в каж-дом круге не менее 4 областей.б) См. рис.3 (один из круговполностью содержится в дру-гом).в) См. рис.4. В многоугольниках ACEFLGHK, ABDLFHK,BCEGLK сумма чисел равна 16.3. Запишем доказываемое неравенство в виде

1 1 1 1 1 201

2r q p n m mnpqr+ + + + + £ .

Сумма дробей в левой части максимальна лишь в том случае,когда p, q, r, m, n принимают минимально возможные значе-ния, то есть выбираются из множества {1, 3, 5, 7, 9}. Тогда в

левой части стоит выражение 1 1 1 1 1 201

2 21 3 5 7 9 945+ + + + + = £ .

4. Традиционное решение основано на свойстве средней ли-нии треугольника. Мы приведем другое решение, использую-щее идею площади. Пусть точ-ка М делит пополам сторонуАВ, а точка N – сторону CDчетырехугольника ABCD ипусть MN делит пополам диа-гональ АС в точке K (рис.5).Так как в четырехугольнике Рис. 5

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я 53

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 154

MCNA диагональ MN делит АС пополам, то площадь тре-угольника MCN равна площади треугольника NAM. Но пло-щади треугольников MCN и MDN равны, значит, равны пло-щади треугольников NAM и MDN, т.е. MN || AD. Аналогич-но проверяем, что MN || BC. Значит, AD || BC.5. Можно. Решение этой задачи изложено в статье И.Акули-ча «Призрак Леонардо».

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

Вопросы и задачи

1. Бóльшая теплопроводность металла способствует более бы-строму выравниванию температуры; удельная теплоемкостьметалла меньше, чем у стекла; металл излучает наружу мень-ше тепла, чем стекло. Все вместе это повышает точность из-мерений.2. Нет, не всегда. Энергия при теплообмене переходит от телс более высокой температурой к телам с более низкой темпе-ратурой.3. Тело человека непрерывно выделяет тепло, которое отдает-ся окружающему воздуху. При температуре воздуха, близкойк 37 Co , процесс теплоотдачи замедляется, и в теле накапли-вается избыточная внутренняя энергия.4. Если температура воздуха выше температуры нашего тела,ветер, создаваемый веером, будет ощущаться как горячее ды-хание и будет не отнимать тепло, а увеличивать его передачутелу.5. Никакого влияния на показания термометра в тени (еслион сух) ветер оказать не может. Если же термометр освещенсолнечными лучами, при ветре его показания уменьшатся.6. Надо завернуть оба термометра вместе, чтобы избежать по-терь тепла наружу. Более нагретым был тот из термометров,чьи показания будут уменьшаться.7. Тот, что лежит в луже.8. Нет, нельзя. Как только температуры воды и пара сравня-ются, передача тепла от пара к воде прекратится.9. Вода в сосуде оказалась перегретой, т.е. нагретой вышетемпературы кипения, так как при ее предварительном кипя-чении из нее был изгнан воздух.10. Да, можно, поскольку температура кипящей воды значи-тельно ниже температуры воспламенения бумаги.11. Дно и нижние части стенок чайника, соприкасавшиеся спламенем горелки, имеют более высокую температуру, чемкипящая в нем вода. Поэтому передача тепла воде продолжа-ется еще какое-то время и после снятия чайника с плиты.12. Вода закипит практически одновременно. Точнее, еслиучесть, что во время переливания кипяток успеет несколькоохладиться, то для доведения его снова до температуры кипе-ния потребуется дополнительная энергия, поэтому в первойкастрюле вода закипит несколько позже.13. Больше нагреется алюминиевый брусок, так как теплоем-кость тела тем больше, чем больше произведение плотностивещества на его удельную теплоемкость (обратитесь к соот-ветствующим таблицам).14. Да, возможно. Приведя в контакт кубики А и В, добьемсявыравнивания их температур. Получим: А – 100 Co , В –100 Co , С – 0 Co . Поступив затем точно так же с кубикамиА и С, имеем: А – 50 Co , В – 100 Co , С – 50 Co . Наконец,производя теплообмен между кубиками В и С, окончательнополучим: А – 50 Co , В – 75 Co , С – 75 Co .15. Обычно вода, образующаяся при таянии льда, сразу сте-кает. Когда же лед завернут в мокрую газету, тепло извнедолжно пройти через слой задержанной газетой воды, поэто-му его поступление ко льду замедляется.16. При образовании льда высвобождается довольно многотепла, благодаря чему задерживается дальнейшее охлаждениевоздуха в погребе, а это предохраняет овощи от замерзания.

17. Выделившееся при кристаллизации воды тепло идет нанагревание льда.18. Для составления уравнения теплового баланса вам пона-добятся всего лишь табличные значения удельной теплотыкристаллизации воды и ее удельной теплоемкости. Их отно-шение даст искомую температуру: примерно 79 C- o .19. Расчет по уравнению теплового баланса приводит к тем-пературе, равной 100 Co .

Микроопыт

Одна и та же вода представляется правой руке горячей, а ле-вой руке – холодной! Однако через некоторое время рукипривыкают к температуре воды в средней емкости, т.е. при-ходят в тепловое равновесие со средой, и ощущения выравни-ваются.

ОРИГАМИ И ПОСТРОЕНИЯ

1. Эти построения достаточно очевидны. Например, построе-ние из правила 5 циркулем и линейкой можно осуществитьтак: из точки А опуститьперпендикуляр AA¢ напрямую р (рис.6), провес-ти окружность радиусом

AA¢ и затем провести ка-сательную p¢ к этой ок-ружности из точки В.2. Из точки А опуститеперпендикуляр q на пря-мую l (складка 4), а затем(снова складка 4) вос-ставьте перпендикуляр в точке А к q.3. Возьмите произвольный отрезок АВ, восставьте перпенди-куляр в точке А (складка 4), затем постройте точку С (склад-ка 3) на этом перпендикуляре. Дальнейшее очевидно.4. а) Складка 1. б) Возьмите вне прямой АВ точку Р и про-ведите через нее прямую, параллельную АВ, а затем на нейотметьте отрезок PQ и разделите его на 4 равные части(складка 1, примененная трижды).Проведите прямые 1AX и ВР(рис.7). Прямые 2RX и 3RX делятотрезок АВ на 3 равные части.5. Мы приведем лишь построения,оставляя обоснование читателю.Пусть О – центр окружности

(рис.8), F – точка на ней, Р – точка вне окружности. Пост-роим точку P¢ , инверсную точке Р относительно окружнос-ти. Проводим (делая соответствующую складку) прямые РО,PF, PK и во всех случаях находим точки пересечения их сокружностью. Затем проводим прямые FG и EH, HK и GL.Пусть М и N – точки их пересечения. Прямая MN пересека-ет РО в точке P¢ . Подумайте, как это доказать.Постройте такие точки P¢ для точки Р, лежащей внутри ок-ружности. Как видим, листок окажется после такого построе-ния изрядно помятым.

Рис. 6

Рис. 7 Рис. 8

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я 55

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМ. М.В.ЛОМОНОСОВА

МАТЕМАТИКА

Вариант 1

1. –0,5. 2. 0; 9 510 . 3. 30.

4. 3 1

7; ; 24 2

й ц й ц- - ч чк кш шл лU . Указание. Эквивалентное неравенство

8 70

7 2 1

x x

x x

- - +£

+ - - равносильно системе

( ) ( )

( )2

8 70,

7 2 1

8 0,

7 0.

x x

x x

x

x

- - +м£п

+ - -пн

- ³пп + ³о

(Выражение u v- при 0u ³ , 0v ³ имеет тот же знак,что и выражение u – v).5. 10. Указание. Треугольники АВС и CBD подобны с коэф-фициентом подобия 3/2.6. 540, 108. Из равенств

( ) 2НОК , 60 2 3 5a b = = Ч Ч , ( ) 3НОК , 270 2 3 5a c = = Ч Ч

следует, что число b кратно 22 и число с кратно 33 (так кака не кратно ни 22 , ни 33 ), а искомое число ( )НОК ,b c де-

лится на 2 32 3Ч и, в то же время, само является делителем

числа ( ) 2 3НОК 60,270 2 3 5= Ч Ч . Поэтому оно равно либо2 32 3 5 540Ч Ч = , либо 2 32 3 108Ч = . Первое из этих значений

реализуется при а = 1, 22 3 5b = Ч Ч , 32 3 5c = Ч Ч , а второе –при а = 5, 22 3b = Ч , 32 3c = Ч , причем оба набора удовлетво-ряют всем условиям задачи.

7. 7

arctg3 4

π- . Множество, заданное неравенством

2 214 14 2 4 0x xy y x y+ + + + + < ,

не пересекается с вертикальной прямой х = 0 (иначе при не-котором у выполнялось бы неравенство 2 2 4 0y y+ + < ).Найдем все значения k, при каждом из которых множествопересекается с невертикальной прямой у = kx: неравенство

2 2 2 20 14 14 2 4x kx k x x kx> + + + + + =

= ( ) ( )2 214 2 7 4k k x k x+ + + + +

имеет решение тогда и только тогда, когда

( ) ( )2 27 4 14k k k+ - + + > 0, т.е. при 7

13

k< < .

Данное множество не имеет точек в первой четверти, иначепри , 0x y ³ получилось бы противоречие:

2 20 14 14 2 4 4x xy y x y> + + + + + ³ .

Значит, это множество целиком расположено в третьей чет-верти и пересекается в точности теми лучами, выходящими изначала координат, которые соответствуют углам

7; arctg

4 3

πϕ π π

ж цО + +з чи ш .

ЭТА «ПРОСТЕНЬКАЯ» КИНЕМАТИКА

1. c к tgv v β= . 2. 1 2

1 2

25,8 c

t t

t tτ = »

+.

3. ( )1 2

к

45 м с

2

k kv

λ

τ

+ -= = ,

( )1 2в

210 м с

2

k kv

λ

τ

+ -= = .

4. 2 2шк шн шн c c4 cos 4v v v v vα= + + , шн

шн c

sintg

cos 2

v

v v

αβ

α=

+.

5. к

т

sinarcsin 14,5

v

v

βα = » ° .

8. ( )275 tg20° tg10°π ± . Пустьграни α и β двугранногоугла пересекают ось цилиндрав точках А и В, а плоскостьγ , проходящая через реброугла перпендикулярно оси,пересекает ее в точке С(рис.9; вид сбоку).Тогда если плоскости α¢ иβ¢ проходят через точки А иВ параллельно γ , то объемцилиндра между плоскостямиα¢ и γ равен его объемумежду плоскостями α и γ :действительно, избыточнаячасть последнего объема надпервым, находящаяся с однойстороны от плоскости α¢ , симметрична (относительно точкиА, в силу центральной симметрии самих плоскостей α , α¢ иповерхности цилиндра) его недостающей части, находящейсяс другой стороны от нее.Аналогично, объем цилиндра между плоскостями β¢ и γ ра-вен его объему между плоскостями β и γ .Поэтому часть цилиндра, лежащая между плоскостями α иβ , имеет тот же объем, что и прямой цилиндр с основаниями,расположенными в плоскостях α¢ и β¢ , причем высота пос-леднего равна

( )11ctg 70 11ctg 80h AB AC BC= = ± = ° ± ° = ( )11 tg 20 tg10° ± °

(где знак плюс или минус зависит от того, как расположеныграни α и β – по разные стороны от плоскости γ или поодну), а значит, его объем равен ( )25 275 tg 20 tg10hπ π= ° ± ° .

9. 2

0 , , ,6 3 3

x xπ π π

π< < = . Указание. Из условия следует не-

равенство tg 3 0x ³ . Кроме того, при всех допустимых х

tg 3 tg tg 2 tg 3 tg tg 2x x x x x x= + + .

Таким образом, данное уравнение равносильно системе

( )

tg tg 2 tg 3 tg tg 2

tg tg 2 tg 3 tg tg 2 ,

tg 3 0

x x x x x

x x x x x

x

м + + =п

= + + Ынп ³о

tg tg2 tg 3 0,

tg tg2 0,

tg 3 0.

x x x

x x

x

³мпЫ + ³нп ³о

Осталось найти ее решение на промежутке ( ]0;π .Рассмотрим два случая:

1) tg 3 0, , 1, ,6,

6tg tg2 0

tg tg2 0

x x n n

x xx x

πм= = =м пЫ Ын н+ ³о п + ³о

K 2, ,

3 3x

π ππ= ;

2)

tg 3 0, tg 3 0,

tg tg2 0, tg 0,

tg tg 2 0 tg2 0

x x

x x x

x x x

> >м мп п³ Ы ³ Ын нп п+ ³ ³о о

06

xπ

< < .

10. а) 2

33

; б) 8

311

. а) Пусть исходное число оценок равно

n и среднее их значение равно 3,5. Тогда n > 1 (иначе един-ственная исходная оценка оказалась бы равной «3,5») и пос-ле замены одной оценки «4» парой оценок «3» и «5» новоесреднее значение всех оценок равно

( )3,5 4 0,5

3,5 3,51 1

nf n

n n

+= = + >

+ +,

причем ( ) ( )2

2 33

f n f£ = . Последнее значение достигается

Рис. 9

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 156

при n = 2, когда исходные оценки – это «3» и «4»: тогда ста-

рое среднее значение оценок равно 3 4

3,52

+= , а новое равно

3 3 5 23

3 3

+ += .

б) Пусть среди исходных оценок доля оценок, отличных от«4», равна х, а среднее их значение равно 1a ³ . Тогда общеесреднее значение всех оценок равно

( )0,5

4 1 3,5 04

ax x xa

+ - = Ю = >-

,

а после замены каждой оценки «4» парой оценок «3» и «5»новое среднее значение всех оценок равно

( )

( )

0,57,5 43,5 1 4 1 7,5 4 4

0,51 1 2 24

x x ax x

a

- ЧЧ + - - -= = =+ - - -

-

= ( )

28 7,5 7,5 1

7,5 2 2 8 7,5 2

a

a a

-= - =

- -( ) ( )

81 3

11g a g£ =

(так как 2

7,5 2 04

xa

a

-- = >

-). Последнее значение достигает-

ся при а = 1, когда исходные оценки – это «4», «4», «4»,

«4», «4» и «1»: тогда старое среднее значение оценок рав-

но 1 5 4

3,56

+ Ч= , а новое равно

1 10 4 83

11 11

+ Ч= .

Вариант 2

1. 15.

2. 6 1

7 7y x= - + . Указание. Если ( ),x y – любая из точек пе-

ресечения данных графиков, т.е. решение системы22 2 1y x x= - - , 25 2 3y x x= - + + , то 5у + 2у = –6х + 1.

3. 1 3

arctg2 2 5

nπ

π- + , n ОZ . Указание. Если

3sin cos 0x x+ = , то sin 0x = и cos 0x = . Аналогично, изравенства cos 3sin 0x x- = следовало бы sin 0x = иcos 0x = , что невозможно. Из сказанного следует, что урав-нение равносильно системе

( ) ( )3cos 3sin cos sin cos 3sin ,

sin cos 0,

x x x x x x

x x

+ = ± -мпн

³порешая которую получаем ответ.4. 23 , 4 sin 67° ° ; одинаковы. Из неравенств AK < BK < CKследует, что отрезок KC пересекает окружность в точке A¢ ,

а продолжение отрезкаKA – в точке C¢(рис.10), причем в силутеоремы о касательной исекущей, а также в силусвойства геометрическойпрогрессии имеем

2KA KC KBЧ = =¢

KA KC KA KA= Ч Ю =¢ .

Поэтому треугольникиKAO и KA O¢ равны (по

трем сторонам), а коль скоро 46 0AKCР = ° № ° , точки ,A C¢ ¢симметричны точкам А, С относительно прямой KO и

123

2AKO AKCР = Р = ° .

Далее, CC KO⊥¢ , поэтому 672

AC C AKOπ

Р = - Р = °¢ и потеореме синусов получаем

2 2sin 4 sin 67AC AC C= Ч Р = °¢ .

Наконец, по свойству вписанного угла имеем

2 2AOC AC C AKO AKCπ πР = Р = - Р = - Р¢ ,

следовательно, точки K, A, O, C лежат на одной окружности,а значит, вписанные в нее углы ACK и AOK равны.5. 3. Указание. Перемножив подкоренные выражения, полу-

чим неравенство ( ) ( ) ( )2 2 2

1 7 0x y y x- - - - ³ . Поэтому однаиз скобок равна нулю. Осталось рассмотреть случаи х = 1,у = 7 и х = у.

6. ( )3

22arccos 3 1- . Через точку K, лежащую на общей обра-

зующей конусов и удаленную от их вершины О на расстояние1 (рис.11), проведемперпендикуляр к этойобразующей, которыйпересекает оси кону-сов в точках А и В.Пусть A¢ и B¢ – про-екции последних точекна одну из граней дву-гранного угла, величи-ну которого обозначим2ϕ . Тогда для парравных прямоуголь-ных треугольников AOK, AOA¢ и BOK, BOB¢ имеем

1OA OB OK= = =¢ ¢ ,

1tg 30

3x AA AK OK= = = ° =¢ ,

tg 45 1y BB BK OK= = = ° =¢ ,

а из прямоугольного треугольника АВС имеем

( ) ( )2 2

2 2z A B AC x y y x xy= = = + - - =¢ ¢ ,

откуда получаем

( )1

12OABS x y= Ч + Ч , ( )21

2 1 12OA BS z z xy xy¢ ¢ = Ч Ч - = - .

Угол между плоскостями ОАВ и OA B¢ ¢ равен ϕ , поэтому

( )( )

3

22 1

cos 3 1OA B

OAB

xy xyS

S x yϕ ¢ ¢ -= = = -

+.

Вариант 3

1. 2

,2 3

n nπ π

- + ОZ .

2. 2 7;

5 9ж щз ъи ы

. Указание. Поскольку 9 7 3

25 2 5 2

x x

x x

- += -

- -, удобно

выполнить замену 3

5 2

xt

x

+=

-.

3. В первом сосуде было 20 л спирта, во втором – 10 л.

4. 26 17 2

4

+. Указание. По теореме Менелая для прямой

BN и треугольника АСМ получаем 1AK MB CN

KM BC NAЧ Ч = ,

откуда KM = 2.

5. min2

2y = , max 6 2y = - . Указание. Ввиду периодич-

ности функции ( )y y x= с периодом 2π достаточно рассмот-

реть ее на промежутке 06

xπ

£ £ . Поскольку ( ) 0y x ³ , фун-

кция ( )y x достигает минимального и максимального значе-ний при тех же х, при которых принимает минимальное имаксимальное значения соответственно функция ( )2y x , т.е.

( )2 5 5sin sin 2 sin sin

6 6y x x x x x

π πж ц ж ц= + + + + =з ч з чи ш и ш

5 52sin cos

12 12x

π πж ц= + +з чи ш2 25 5

2 sin sin12 12

xπ πж ц+ -з чи ш

.

Далее, для любого 0;12

xπй щО к ъл ы

выполняется равенство

Рис. 10

Рис. 11

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я 57

( )2 2

6y x y x

πж ц= -з чи ш, следовательно, для нахождения наимень-

шего и наибольшего значений функции ( )2y x достаточно

рассмотреть лишь 0;12

xπй щО к ъл ы

. На этом отрезке значения

5sin

12x

πж ц+з чи ш монотонно возрастают. Следовательно, монотон-

но возрастает и ( )2y x .

6. 30° . Рассмотрим две перпендикулярные прямой KL плос-кости: 1P , содержащую точку 1O , и 2P , проходящую через

2O (рис.12). Посколь-ку K и L – точки каса-ния, 1K О P и 2L О P .Заметим, что 1P и 2P

параллельны. Пусть 1O¢– проекция точки 1O

на 2P , а 2O¢ – проек-

ция точки 2O на плос-

кость 1P . Тогда

1 1OO KL¢ P , 2 2O O KL¢ P , 1 1 2 2OO O O KL¢ = =¢ . Отрезок 1 2O O¢лежит в плоскости 1P , значит, 1 2OO KL⊥¢ , поэтому

1 2 2 2OO O O⊥¢ ¢ , так что 1 2 2 1O O O O¢ ¢ – прямоугольник с диагона-

лью 1 2OO . Тогда из треугольника 1 2 2O O O¢ следует 1 2 1O O =¢ .Так как 1O K KL⊥ , 2O K KL⊥¢ , то 1 2O KOα = Р ¢ – плоскийугол двугранного угла с ребром KL, одна из граней которогосодержит точку 1O , а другая – 2O . Теперь из треугольни-

ка 1 2O KO¢ , где 1 3O K = , 2 2 2O K O L= =¢ , по теореме коси-

нусов получаем 3

cos2

α = , откуда 30α = ° .

Вариант 4

1. 19 131

;200 200

π π- . 2.

3 1; 1 ; 1

2 2ж ц й щ- - -з ч к ъи ш л ы

U .

3. 36

13. 4. ( ) ( )5; 20 ; 5; 21- - .

5. 3 : 7. Пусть l – длина бокового ребра призмы, k – расстоя-

ние между прямыми 1BB и 1CC , h – расстояние между пря-мой 1AA и плоскостью 1 1CC BB (рис.13). Тогда площадь па-

раллелограмма 1 1CC BB равнаS = kl, а объем призмы

1 1 1ABCA BC равен 1

2V Sh= .

Если 1

CD

CCα= , то CD lα= ,

( )1 1DC lα= - , площадь тра-

пеции 1CDBB равна

( )1 1

2 2l l k S

αα

++ = . Поэтому

объем пирамиды 1ABCDB

равен 1 1 1

3 2 3Sh V

α α+ += .

Таким образом, заданное от-

ношение объемов равно

11 133

1 2 173

V

V V

αα

α α

++

= =+ --

, откуда 3

10α = ,

1

3

1 7

CD

C D

α

α= =

-.

6. 3

2± . Указание. Данный многочлен 4-й степени может

быть квадратом только многочлена 2-й степени вида 2x a+ .Таким образом, согласно условию,

4 3 sin 2 1 sin 2 2 4 2 22 2 cos sin cos 2x x x x ax aα β γ β γ-+ + - + + º + + ,

Рис. 12

что равносильно системе

3 sin

1 sin

2 2

2 2 ,

2 cos 0,

sin cos .

a

a

α

β γ

β γ

-

м =пп - =нп

+ =по

Из равенства 1 sin2 cosβ γ- = следует 1 sin2 1β- £ , т.е. sin 1β ³ .Таким образом, sin 1β = , значит, cos 1γ = . Поэтому из систе-

мы вытекает 2 2a = , a > 0, так что 2a = и 1

sin2

α = .

Далее, так как 22

kπ

β π= + , 2 nγ π= , ,k n ОZ , получаем

( )3

sin sin cos2 2

πα β γ α α

ж ц+ + = + = = ±з чи ш .

Вариант 5

1. 2

nπ

π+ , n ОZ . 2. 3log 5 . 3. 3.

4. 16 2 . 5. ( ) ( )2;0 2;- +¥U . 6. aR.

7. Если 3 2a- < £ - , то одно решение;если 2 1a- < £ - , то два решения;если 1 0a- < < , то три решения.

Указание. Отметим, что 2

xa

= – корень данного уравнения

при всех ( )3; 0a О - . Корни квадратного трехчлена 1 2x a= ,

2 2

ax = должны удовлетворять условию

2x

a³ . Учитывая

еще возможные совпадения ( 12

xa

= ; 2 2x a= ), получаем от-

вет.8. 32 3 . Указание. Если сфера касается сторон LMN∆

(рис.14), то ее центр находится на перпендикуляре ОН кплоскости LMN, прохо-дящем через центр Нокружности, вписаннойв LMN∆ (геометричес-ком месте точек, равно-удаленных от сторонтреугольника).На этой же прямой ОНпо другую сторону отплоскости LMN нахо-дится такая точка S, чтоплоскости SLM, SMN иSNL касаются сферы.Действительно, еслиплоскость SMN касаетсясферы, то OD MN⊥ иOD SD⊥ . Если заданы LMN∆ и радиус сферы, то в пря-моугольном SOD∆ известны OD и DH, значит, известна ги-потенуза SO. Такая же гипотенуза SO будет и в двух другиханалогичных треугольниках, связанных с плоскостями SLMи SNL.Таким образом, пирамида SLMN является правильной.

Вариант 6

1. 23

4- ; –1; 1; 6. 2. ( ) ) { }; 6 2 5; 4 2й-¥ - - - -лU U .

3. 1 и 4. 4. 3 ; 3. 5. 91 44

;17 17

ж ц-з чи ш.

6. arctg 5 2 nπ+ , n ОZ . Указание. Уравнение равносильносистеме

22sin 5sin2 0,

0 cos 1.

x x

x

м- + =пн

< <по7. 251. Указание. Пусть n – число книг в фонде библиотекина начало 2005 года. Тогда к концу 2005 года число книг рав-

Рис. 13

Рис. 14

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 158

нялось 3

2511,004

5 2n n=

Ч, а к концу 2006 года составляло

3 6

251 63 2511,008

5 2 5n n

Ч=

Ч, причем оба полученных выражения

– целочисленные. Поэтому число n делится на 35 2Ч и на 65 ,

а значит, и на 65 2 31250Ч = . По условию 50000n £ , так что

n = 31250.

8. ( ]2 2 13

1; 03

м ь+п п- н эп по ю

U . Если а = 0, то

( ) ( )22 4 1ax a x a+ + + + =1

0 4 1 04

x xЫ + = Ы = - ,

поэтому а = 0 удовлетворяет требованию задачи.Если 0a № , то нас интересуют только три случая:1) уравнение имеет ровно один корень, т.е.

( ) ( )2 2 2 13

0 4 4 1 03

D a a a a±

= Ы + - + = Ы = ,

причем этот корень отрицателен, т.е.

4 2 2 130

2 3

aa

a

+ +- < Ы = ;

2) уравнение имеет два корня разных знаков, т.е. свободныйчлен приведенного квадратного уравнения отрицателен (отку-да следует неравенство D > 0), т.е.

10 1 0

2

aa

a

+< Ы - < < ;

3) один корень равен нулю, т.е.

1 0 1a a+ = Ы = - ,

а второй, равный при этом 3, отрицателен, что невозможно.Собирая все найденные значения а, получаем ответ.

Вариант 7

1. –16; 18. 2. ( ) (; 7 7; 9щ-¥ - ыU . 3. В 2 раза.

4. 56 28

nπ π+ ,

12 6

kπ π+ , ,n k ОZ .

5. ( )1

1;2

м ь + ¥н эо ю

U . Указание. После замены log 16xt = нера-

венство приводится к виду 3 28 16 0l l l+ + ³ .

6. ( ) ( )1, 3 , 3, 1 . Указание. Заменой u = x + y, v = xy системаприводится к виду

2

7,

13.

u v

u v

+ =мпн

- =по7. 2; 4. Указание. Из равенства

( )( )

( )1

5 2 6 5 2 65 2 6

x x

x

-- = = +

+

следует, что если пара ( );x y удовлетворяет системе, то пара

( );x y- – тоже решение системы.Поэтому если решение единственно, то х = 0 и

( )

5 10 0,

4 0,

y y a

a y

- + - =мпн

- =пооткуда получаем два возможных значения а = 2 и а = 4. Про-верка показывает, что оба значения удовлетворяют условию.8. 12.

Вариант 8

1. [ )9; 12 . 2. ( )1 1

1 arcsin ,3

nn nπ

+- + ОZ .

3. { } [ ]2 2; 6- U . 4. 4; 6.

5. ( )2 3; 3 7 3 7;щ й- - + +¥ы лU .

6. 24. Указание. Сумма первых пятнадцати членов арифмети-ческой прогрессии { }na – это число 15 815S a= , кратное 60.

7. ( )2 2max 8x y+ = , достигается при z = 5.

Из данной системы следует, что числа х и –у являются кор-нями уравнения

( ) ( )2 21 7 14 0t z t z z- - + - + = .

Это уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда

дискриминант трехчлена неотрицателен, т.е. 11

53

z£ £ .

Искомая сумма

( )22 2 2x y x y xy+ = - + =

= ( ) ( )2 21 2 7 14z z z- - - + =

( )2

6 9z= - - + ,

при этих значениях z воз-растает, так что

( )2 2max x y+ = ( )5 8f = .

8. 1 : 2. Пусть K и L(рис.15) – центры граней

1 1 1 1A BC D и 1 1BCCB дан-ного куба с ребром длиныа, G – середина ребра

1CC . Точка K принадле-жит плоскости, проходя-щей через вершину А ипрямую 1CC . Обозначимчерез Е точку пересечения

прямых AK и 1CC . Так как 11

2C K CA= , то 1 1C E CC a= = .

Точки Е и L принадлежат грани 1 1BC CB , следовательно, пря-мая EL пересекает ребра 1 1BC и ВС в точках, которые обо-значим через 1P и N. Из треугольников ELG и ECN находим

1 1 1 2

3

PC EC

LG EG= = , 1 12CN C P= , так что 1 1

1

3C P a= ,

2

3CN a= .

Пусть 1M – точка пересечения прямой 1PK с ребром 1 1A D ,

тогда 1 11

3A M a= . Итак, сечение куба, о котором говорится в

условии задачи, – четырехугольник 1 1ANPM . Поскольку,очевидно, 1 1PN M A= и 1 1PN M AP , то 1 1ANPM – паралле-лограмм.Обозначим через М и 1N проекцию точки 1M на ребро ADи проекцию N на 1 1BC соответственно. Объем V многогран-ника 1 1 1 1ABB A M PN равен объему прямоугольного параллеле-пипеда 1 1 1 1ABB A MNN M , поскольку получается из последне-го объема вычитанием объема пирамиды 1M AMN и добавле-нием равного вычтенному объема пирамиды 1 1 1NM N P . Зна-

чит, 31

3V a= . Таким образом, отношение объемов, на кото-

рые делится данный куб, равно 1 : 2.

Вариант 9

1. –25. 2. ( ) ( ) [ ); 8 5; 2 0;-¥ - - - + ¥U U .

3. 6, 7, …, 14. 4. ( ) ( )1; 1 , 3; 3- - .

5. 2

23

nπ

π- + , ( )3

1 arcsin5 6

kk

ππ- - + , ,n k ОZ . Указание. За-

меной sin6

s xπж ц= +з чи ш

уравнение приводим к виду

( )25 1 2 4 1s s- = - .

6. АВ = АС = 13.

7. ( ] ( ) ( ) ( ); 7 4; 3 2; 0 1;-¥ - - - - + ¥U U U . Указание. Так как

lg lgu v- того же знака, что и u – v при u , v >0, исходное

Рис. 15

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я 59

неравенство равносильно системе

( ) ( )( )

( )

2 2

2

2

2

2

2 9 210,

3 1

2 9 21 0,

0,

3 0.

x x x x

x

x x

x x

x

м + - - -п ³п + -пп

+ + >нп

- >пп

+ >по8. 4 2c = - , 4 4c- < £ . График левой части

22 2 2

0,16

4

yy x

x y

£мп= - - Ы н+ =по

исходного уравнения есть нижняя полуокружность с центромв начале координат и радиусом 4 (рис.16), а график правой

части у = х + с – прямая,пересекающая ось орди-нат в точке с под углом

45α = ° . Эти графикиимеют ровно одну общуюточку тогда и только тог-да, когда прямая у = х ++ с либо совпадает с пря-мой 4 2y x= - , либолежит между прямымиу = х + 4 и у = х – 4 (невключая последнюю),

т.е. когда 4 2c = - или4 4c- < £ .

Вариант 10

1. При х = –7 у = 5. 2. 3 5

2 , 2 , ,4 8

n k n kπ π

π π+ + ОZ .

3. ( )3 23

; log 5 ; log 32

ж ц-¥ з чи шU . Указание. Неравенство преобра-

зуется к виду

( ) ( ) ( )2 3log 3 log 5 2 3 0x x x- - - < .

4. 27 тысяч рублей. 5. 10 3 .

6. ( ]7

3 5; 5;105

aж цО -з чи ш

U . Достаточно рассмотреть функцию

( )1 2f x x x= Ч - (константа arcsin10

a привносит лишь огра-

ничения на множество допустимых значений параметра:

10a £ ).Функция

( )2

1 2

2 при 2,

2 при 2

x x xf x

x x x

м - ³п= н- + <по

возрастает на каждом из множеств ( ]; 1-¥ , [ )2; +¥ .Корни данного в условии квадратного трехчлена с парамет-

ром равны 21 6 6x a a= - + , 2 8 2x a= - . Сразу же исключим

ситуацию, когда отрезок с концами в 1x и 2x вырождается вточку:

2 6 6 8 2 2 6a a a a- + = - Ы = ± .

Функция ( )1f x монотонно возрастает на отрезке числовойоси, соединяющем точки 1x и 2x , тогда и только тогда, ког-да указанный отрезок целиком принадлежит либо первомупромежутку возрастания, либо второму, так что следует рас-смотреть два случая:

а) 2 76 6 1,

5;58 2 1

a aa

a

м - + £п Ы £ £н- £по

б) 2 6 6 2,

3 5.8 2 2

a aa

a

м - + ³п Ы £ -н- ³по

Для получения ответа осталось исключить из множества

10a £ , 2 6a № ± найденные в случаях a) и б) значения.

7. 2. Плоскость параллелограмма ABCD проходит черезцентр О сферы, поскольку по условию точка О принадлежитпрямой AD. Следовательно, всечении сферы получается ок-ружность радиуса R, равногорадиусу сферы, с центром втой же точке. Так как диаго-нали параллелограмма связа-ны соотношением AC > BD,то угол АВС – тупой, значит,точка D лежит внутри окруж-ности (рис.17).Обозначим АВ = а, BC = b,

ACB CAD αР = Р = . Парал-лельные прямые AD и ВС от-секают от окружности равные дуги, поэтому

( )1

4 22 2

BACπ

π α αР = - = - , ( )1

22 2

ABCπ

π α αР = + = + .

По теореме синусов для треугольника АВС получаем

2 sina R α= , 2 sin 2 2 cos 22

b R Rπ

α αж ц= - =з чи ш ,

2 sin 2 cos2

AC R Rπ

α αж ц= + =з чи ш

, т.е. 3

cosR

α = .

Тогда2 2 2 24 sin 4 12a R Rα= = - ,

( )2

22 2 2 22

64 2 cos 1 4 1b R R

Rα

ж ц= - = -з чи ш .

Длины сторон параллелограмма и его диагонали связаныформулой

( )2 2 2 22 a b AC BD+ = + , т.е. 2 2 8a b+ = .

Подставляя в это равенство выражения для 2a и 2b , послеупрощений получаем уравнение

2

4 22

42 17 36 0 9

.2

RR R

R

й =к- + = Ы к =кл

Таким образом, R = 2 или 3

2R = . Значение R = 2 не подхо-

дит, поскольку в этом случае a = b = 2, т.е. ABCD – ромб,

что исключено условием задачи.

Для 3

2R = имеем 6a = , 2b = . Тогда площадь парал-

лелограмма ABCD равна

2 sin 2 22ABCD ABC

ACS S ab ABC ab

R= = Р = = .

Далее, вершина пирамиды S по условию равноудалена отконцов диагонали АС, следовательно, S принадлежит плоско-сти P , ортогональной к АС и проходящей через серединуэтого отрезка. Плоскость P содержит центр сферы, крометого она перпендикулярна плоскости параллелограмма. Сталобыть, P пересекает сферу по окружности радиуса R с цент-ром в точке О. Вершина S находится на этой окружности, по-этому наибольший объем пирамиды достигается в случае, ког-да ее высота принимает максимально возможное значение,т.е. когда проекция точки S на плоскость ABCD попадает вцентр сферы. Таким образом, наибольшее значение высотыпирамиды равно R, а максимальный объем пирамиды равен

max1

23 ABCDV S R= Ч = .

Рис. 16

Рис. 17

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 160

Рис. 18

Вариант 11

1. { } [ )1 2; +¥U . 2. 5

2 ,6

n nπ

π+ ОZ . 3. 2. 4. 1. 5. 20%.

6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12; 4 ; 2; 4 ; 10; 2 ; 4; 2 ; 10; 6 ; 4; 6- - - - - - .

Указание. Уравнение приводится к виду

( ) ( )2 27 4 4 25x y- + + = .

7. 25; 5

1434

. Указание. Треугольники АВС и ВЕС по-

добны.

8. ( ) ( ) ( )0; 1 1; 4 4; 5a О U U . Указание. Пусть 2xt = (t > 0),

тогда данное уравнение приводится к виду

( ) ( )24 3 26 8 2 1 1 0t t t a t a- + + - - - = Ы

Ы ( )( )2 23 1 3 1 0t t t a t t t a- + - + - - + - = .

Таким образом, требуется найти все значения параметра а,при которых два квадратных трехчлена

2 2 1t t a- - + и 2 4 1t t a- + -

имеют в совокупности три различных положительных корня.

Вариант 12

1. { } [ ]3 2; 4- -U . 2. 20%. 3. [ ) ( ]4; 2 5; 10- - U .

4. 1 4

4; 1; arccos arctg 25 3

nπж ц± - +з чи ш

, n ОZ . Указание. Из нео-

трицательности подкоренных выражений первых двух ради-

калов следует, что х = 4, у = 1.

5. 2 10 5- . Указание. Используя формулу для медианы,найдите ВС и примените теорему косинусов к треугольникуPBQ.

6. ( )2; 7a О . Указание. Необходимым и достаточным усло-

вием существования решений квадратного относительно а не-равенства является

( ) ( )2 23 12 4 6 3 35 0x x x- - - + > ,

т.е.8 8

2 215 15

x- - < < - + .

Полученному интервалу принадлежат всего пять целых значе-ний х, для каждого из которых надо найти соответствующиезначения параметра а.

7. 77 3

12 4QKMN SABCV V= < = . Пирамида SABC – правиль-

ная, так как ее основание – равносторонний треугольник

АВС, а боковые ребра имеют равную длину. Легко вычисля-

ется ее объем, он равен

3

4SABCV = .

Для вычисления объема пирамиды QKMN используем прием,связанный с достраиванием тетраэдра до параллелепипеда.Проведем через каждое ребро пирамиды плоскость парал-лельно противоположному ее ребру. Полученные три парыпараллельных плоскостей образуют параллелепипедQENFLKPM, диагоналями граней которого являются ребраисходного тетраэдра (рис.18). С другой стороны, тетраэдрполучается отсечением от параллелепипеда четырех треуголь-ных пирамид, примыкающих к граням QKMN, объем каждойиз которых равен одной шестой объема V параллелепипеда.Таким образом, объем исходного тетраэдра равен

1

3QKMNV V= .

Диагонали KN и QM противоположных граней параллелепи-

педа равны, следовательно, параллелограммы EKPN иQLMF – прямоугольники. Аналогично, прямоугольникамиявляются грани с равными диагоналями QK и MN. Третьяпара граней – параллелограммы с диагоналями QN = 2,

3KM = и сторонами, длины которых обозначим через а и

b. Если одну из этих граней принять за основание, то ребро,общее для смежных прямоугольных граней, – высота парал-лелепипеда. Обозначим его длину через с. Пусть ϕ – уголмежду диагоналями основания EQFN, тогда

sin 3sin2EQFN

cV c S QN EF cϕ ϕ= Ч = Ч = .

Числа а, b и с связаны уравнениями (первые два выражаюттеорему Пифагора, последнее – равенство параллелограмма)

( )

2 2

2 2

2 2

4,

3,

2 4 3,

a c

b c

a b

м + =пп + =нп

+ = +по

откуда 3

2a = ,

5

2b = ,

7

2c = .

Из треугольника OEN, где О – точка пересечения EF и QN,

а EN = a, по теореме косинусов получаем 1

cos2 3

ϕ = - ,

11sin

2 3ϕ = .

Итак, 1 77

sin3 123

QKMN

cV V ϕ= = Ч = .

Вариант 13

1. 15. 2. ( ) ( )11 1

1 arcsin , 1 arcsin2 4

n kn kπ π

+- + - + , ,n k ОZ .

3. 13

2. Указание. Треугольник со сторонами заданной длины

– прямоугольный. Поэтому возможны лишь 4 ситуации, отве-чающие условиям задачи: в двух из них диагональю выпукло-го четырехугольника является гипотенуза, в двух оставшихся– поочередно каждый катет.

4.

1

2 32

10; 4 ; 16 4

4

й щж щ к ъЧъзи к ъы л ыU . Указание. Если 4logt x= , то

данное неравенство принимает вид 2 2 2 3t t- ³ - .

5. Количество бензозаправочных станций в северном и вос-точном районах одинаково.

6. ( )2

; ;2

ta b t

t

ж ц= з ч+и ш

, где 0t № , либо ( )2

; ;2

ta b t

t

ж ц= з ч-и ш

, где

2t > . 7. 49

Вариант 14

1. 1000000000. Указание. Выполните замену lgl y= .

2. nπ , 22

kπ

π+ , ,n k ОZ . Легко угадываются решения

sin 1x = , т.е. 22

x kπ

π= + , и sin 0x = , т.е. x nπ= . Если же

cos 0x № и sin 0x № , то 4 3 2 2cos sin cos sin 1x x x x+ < + = .

3. ( )6; 5- - и ( )4; 5 , ( )4; 15 и ( )14; 5 , ( )16; 5- - и ( )6; 15- - .

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я 61

Пусть y = ax + b –уравнение прямой l,проходящей через дан-ные точки А и В(рис.19). Тогда

5 41,

5 6

a ba

a b

- = +мЮ = -н = - +о

поэтому прямая l пере-секает оси координатпод углом 45° .Если А и В – концыдиагонали квадрата, тоего стороны параллель-ны осям координат, по-

этому оставшиеся вершины расположены в точках ( )4; 5M =и ( )6; 5N = - - . Если же А и В – соседние вершины квадра-та, то диагонали квадрата параллельны осям координат иравны по 20, причем квадрат можно расположить в любой издвух полуплоскостей, на которые прямая l делит плоскость.Соответственно, получаем координаты оставшихся вершин:

либо ( )4; 15C = и ( )14; 5D = , либо ( )16; 5E = - - и

( )6; 15F = - - .

4. [ )2; 0- . 5. 3

21

tg tg3

Q δ γ .

6. 4 1 4; ; 1

5 2 5ж ц ж щ-з ч з ъи ш и ы

U . Указание. Поскольку числа lgu и u – 1,

а также числа arcsin6

xπ

- и x 1

2- имеют одинаковые знаки,

неравенство равносильно системе

2 9 11 0,

25 2

1.

x x

x

мж ц ж ц+ - - >пз ч з чи ш и шнп £о

7. 48R

S. Прямоугольные треугольники MNK и HCD

(рис.20) подобны, так как у них N CР = Р (углы со взаимно

перпендикулярными сторонами). Поэтому

( )2

22

2 2 2

RR a ba b

h R h

+= Ю + = ,

а площадь данного четырехугольника со взаимно перпендику-лярными диагоналями равна

12 2 2

2

SS h R h

R= Ч Ч Ю = ,

откуда площадь трапеции с основаниями 2а и 2b (по свойствукасательных) и высотой 2R равна

( )2 422 2 8

2 22 2

Ra b RR R

h S

+= = .

ФИЗИКА

Физический факультет

1. Обозначим расстояние между точками 1O и С через х. Эторасстояние должно удовлетворять соотношению

( )cos sin ctgh x xβ β π α β= + - - , откуда

( )sin

sin

hx

α β

α

+= .

В течение малого промежутка времени τ , начиная с заданно-го момента, зависимость величины угла β от времени имеет

вид ( ) 1u Lβ τ β τ= - . При этом величина угла α изменяется

по закону ( ) ( )1 2u u Lα τ α τ= + + . По определению, модульскорости движения точки С вдоль стержня 1OC равен моду-лю первой производной координаты х по времени. Следова-тельно, модуль искомой скорости заданной точки равен

( ) ( ) ( )2 1 22

sin cos cos sin

sin

u u uv x h

L

α α β α α β

α

+ - + += =¢ .

2. При решении задачи будем считать, что клин неподвиженотносительно лабораторной системы отсчета, ось Х которойпараллельна стержню и направлена вниз по клину. В тот мо-мент когда на гладкой поверхности клина оказывается частьстержня массой mβ , где 0 1β£ £ , на нее вдоль оси Х дей-ствует составляющая силы тяжести sinmgβ α и сила натяже-ния со стороны верхней части стержня, направленная проти-воположно оси Х, и равная ( )T β . Запишем уравнение движе-ния нижней части стержня вдоль оси Х:

( )sinma mg Tβ β α β= - ,

где а – ускорение любой точки стержня вдоль оси Х, так какстержень твердый и движется поступательно. В рассматривае-мый момент на верхнюю часть стержня вдоль оси Х наряду ссоставляющей силы тяжести ( )1 sinmgβ α- со стороны клинадействует направленная противоположно оси Х сила сухоготрения скольжения ( )1 cosmgµ β α- , а со стороны нижней ча-сти стержня действует направленная вдоль оси Х сила натя-жения ( )T β . Уравнение движения этой части стержня в про-екции на ось Х имеет вид

( ) ( ) ( ) ( )1 1 sin 1 cosma mg T mgβ β α β µ β α- = - + - - .

Решая совместно составленные уравнения, получаем

( )1 cosT mgβ β µ α= - .

Видно, что сила натяжения стержня в сечении, которое нахо-дится на границе между гладкой и шероховатой частями кли-на, зависит от значения коэффициента β . Докажите самосто-ятельно, что она будет максимальной при 0,5β = , т.е. когдаодна половина стержня окажется на гладкой нижней частиклина, а другая половина – на его шероховатой верхней час-

Рис. 19

Рис. 20

8. 1 и 6, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 3, –1 и 2 или –2 и 9.Обозначим приписанную цифру через k. Тогда если n > 0, то

( ) 210 3 14n k n n+ + - = ,

откуда 2 4 3k n n= - + + и при n = 1, 2, 3, 4 получаем k = 6,

7, 6, 3, а при 5n ³ имеем ( )27 2 0k n= - - < .

Если же n < 0, то

( ) 210 3 14n k n n- + - = ,

откуда 2 4 3k n n= - - и при n = –1, –2 получаем k = 2, 9, а

при 3n £ - имеем ( )2

2 7 9k n= - - < .

,

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 162

ти. В таком случае

max 0,25 cosT mgµ α= .

3. Пусть М – масса груза, m – масса стержня, а L – его дли-на (рис.21). Обозначим через F силу, действующую на стер-

жень со стороны проволоки. Запишем условие равновесиястержня:

( )sin 0,5Fl M m gLα = + .

Поскольку tgh l α= , то

( )0,5

cos

M m gLF

h α

+= .

По закону Гука удлинение проволоки равно ( )0l Fl ES∆ = ,где Е – модуль Юнга, S – площадь поперечного сечения, а 0l

– длина недеформированной проволоки. Согласно обозначе-ниям на рисунке, ( )0 sinl l h∆ α+ = . По условию задачи про-волока жесткая, следовательно, нужно считать, что 0l l∆ = , апотому

( )

( )

( )0

0

2 2

sin 2 sin 2

M m gLl M m gLl

l l ES ES∆

∆ α α

+ += »

+.

Из этого выражения ясно, что минимальным удлинение жест-кой проволоки будет при sin 2 1α » , т.е. при 45α » ° . Такимобразом, искомое расстояние

30 смh l» = .

4. После одновременного отпускания грузов, смещенных отположений равновесия на одинаковые расстояния, центр массрассматриваемой системы, совпадающий с центром n-угольни-

ка, т.е. точка O на рисунке22, должен оставаться непод-вижным. При этом на каждыйиз грузов, когда они смещеныот своих положений равнове-сия на расстояние х, будутдействовать две прикреплен-ные к нему пружины.На рисунке положение равно-весия i-го груза обозначеноцифрой 0.По условию задачи грузы со-вершают малые колебания, аоси пружин остаются прямо-линейными. Поэтому согласно

закону Гука модуль силы упругости каждой пружины ра-вен F k l∆= , где l∆ – удлинение пружины. Используя обо-

значения на рисунке, получим, что 2 cosl x∆ β= , причем

2β π α= - , где 2 nα π= .Равнодействующая всех сил, действующих на каждый груз,направлена вдоль прямой, соединяющей этот груз с точкойО. Модуль этой равнодействующей равен 2 cosF β . Следова-

тельно, уравнение движения любого из грузов в проекции науказанную прямую, например на ось Х для i-го груза, можнопредставить в виде

( )2 22 cos 4 cos

2

nmx F kx

n

πβ

-ж ц= - = -¢¢ з чи ш

.

Решением этого уравнения, как известно, является гармони-ческая функция, период которой равен

( )

( )

12

cos2 sin

nm mT

k n n k

π ππ

π

--ж ц

= =з чи ш.

5. По условию задачи на участке 1–2 газ получил от нагрева-теля количество теплоты 12Q∆ , равное приращению его внут-ренней энергии 12U∆ , т.е. 12 12 4Q U∆ ∆= =  кДж. Следова-тельно, процесс 1–2 – изохорный. На участке 2–3 газ не об-менивался теплом с окружающими телами, т.е. процесс 2–3 –адиабатный. На участке 3–1 внутренняя энергия газа остава-лась неизменной, т.е. это изотермический процесс. На этомучастке газ отдал нагревателю количество теплоты, модулькоторого равен 31 3Q∆ =  кДж. По определению КПД цикларавен

31

12

1 0,25Q

Qη = - = .

6. При решении задачи будем считать, что температура, прикоторой проводится опыт, существенно меньше критическойтемпературы воды. Тогда плотность насыщенного пара можносчитать много меньшей плотности воды в сконденсированномсостоянии, а потому объемом воды по сравнению с объемомпара можно пренебречь. Будем также считать, что уравнениясостояния сухого воздуха и паров воды вплоть до точки на-сыщения совпадают с уравнением состояния идеального газа.Если давление пара в начальном состоянии нp , а давлениевоздуха нxp , то начальное давление смеси в цилиндре бу-дет ( )0 н1p x p= + . После изотермического уменьшения объе-ма согласно условию задачи давление смеси возрастает в nраз и становится равным ( ) ( )0 н н1 1np kx p n x p= + = + . Сле-довательно,

11

nx

k n

-= =

-, а 0 н2p p= .

Масса воды в начальном состоянии была равна массе пара,значит, вся вода испарится, если объем смеси увеличится вдва раза. При этом конечное давление под поршнем станетравным

к н н н0,5 1,5p p xp p= + = .

Решая совместно два последних уравнения, получаем ответ:

к

0

0,75p

p= .

7. После сообщения внутренним пластинам противоположныхпо знаку зарядов, модули которых равны q, при разомкнутыхвнешних пластинах электростатическая энергия системы ста-нет равной

2

0 2

qW

C= ,

где 0C S dε= – емкость плоского конденсатора, образован-ного внутренними пластинами, а 0ε – электрическая постоян-ная. После соединения внешних пластин их потенциалы дол-жны стать одинаковыми. При этом на обращенных друг кдругу поверхностях внутренних пластин останутся равные помодулю, но противоположные по знаку заряды. Пусть модульэтих зарядов равен 1q , а модуль зарядов на внешних поверх-ностях этих пластин равен 2q . Согласно закону сохранениязаряда, должно выполняться соотношение 1 2q q q= + . При

Рис. 22

Рис. 21

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я 63

этом модуль разности потенциалов между внутренними плас-тинами станет равным 1 1U q C= , а модуль разности потенци-алов между крайней и ближайшей к ней внутренней пласти-

ной будет равен 2 2U q C= . Поскольку внешние пластины со-единены между собой, разность потенциалов между ними ус-тановится равной нулю, т.е. в конечном состоянии должновыполняться соотношение 2 12 0U U- = . Следовательно,

1 2 3q q= , а 2 3q q= . При этом электростатическая энергиясистемы будет равна

2 2 21 2

к2

2 2 3

q q qW

C C C= + = .

По условию задачи потерями энергии на излучение, имевшееместо при перераспределении зарядов по проводникам систе-мы, следует пренебречь. Поэтому согласно закону сохраненияэнергии,

2

0 к 6

qQ W W

C= - = .

Из этого соотношения следует, что модуль зарядов внутрен-них пластин равен

06QSq

d

ε= .

8. При вращении металлического стержня вокруг вертикаль-ной оси на свободные носители заряда, имеющиеся в нем, состороны магнитного поля действует магнитная составляющаясилы Лоренца. Действие этой силы можно учесть, считая, чтона свободные носители заряда действуют сторонние силы,ЭДС которых можно вычислить по закону электромагнитнойиндукции.Для вычисления ЭДС учтем, что за малое время τ стержень«заметает» площадь 0,5S Rv∆ τ= , где sinv Rω α= – ско-рость движения конца стержня, касающегося полусферы. По-этому модуль изменения магнитного потока через эту поверх-ность за указанное время равен

2 2sin 0,5 sinB S BR∆Φ ∆ α ω τ α= = .

Следовательно, модуль искомой ЭДС индукции равен

2 20,5 sinBR∆Φ

ω ατ

= =E .

Сила тока, протекающего через резистор, согласно законуОма равна I r= E , а выделяющаяся в нем мощность по за-кону Джоуля–Ленца составляет

2 2 4 2 42 0,25 sinB R

P I rr r

ω α= = =

E.

9. Поскольку внутренним сопротивлением источника тока поусловию задачи следует пренебречь, в резисторе в течениевремени τ выделится количество теплоты 2

1Q Rτ= E . Приэтом модуль скорости нарастания силы тока через катушкуостается постоянным и удовлетворяет условию I L= ¢E . По-этому в момент отключения источника сила тока через катуш-ку равна ( )I Lτ τ= E . После отключения источника вся энер-гия магнитного поля, созданного токами в катушке, преобра-зуется в количество теплоты ( )2

2 0,5Q LI τ= , которое выделя-ется в резисторе. По условию задачи 1 2Q Q= , т.е.

2 2 20,5

R L

τ τ=

E E.

Следовательно, искомая индуктивность катушки равна0,5L Rτ= .

В заключение следует отметить, что полученный ответ не за-висит от ЭДС источника.

Рис. 23

10. На рисунке 23 показано построение двух действительныхизображений стержня. Для нахождения изображения стержня

в плоском зеркале мы воспользовались тем, что это изобра-жение получается за зеркалом на расстоянии, равном рассто-янию между предметом и зеркалом, а его размер равен разме-ру предмета. Для построения изображения h самого стержняи изображения 1h отражения стержня в зеркале линзой мыиспользовали свойство лучей, проходящих вдоль побочныхоптических осей тонкой линзы, и свойство луча, падающегона собирающую линзу параллельно ее главной оптическойоси. Из рисунка следует, что

h f

H d= ,

1 1

1

h f

H d= , ( ) 12 x d d d- + =

причем, согласно формуле тонкой линзы,

1 1

1 1 1 1 1

F d f d f= + = + .

Из приведенных соотношений получается, что

1 1

1 1

2h d f d F x F

kh df d F d F

- -= = = =

- -,

или

( ) ( ) ( )1 2k d F x F+ - = - .

Решая последнее уравнение, находим искомое расстояние:

( ) ( )( )0,5 1 1x k d k F= + - - .

Факультет вычислительной математики и кибернетики

1. ( )( )

2 20 00

0 2 20 00

l v t hlF t F

l v tl h

- +=

-+.

2. 1 50,5 гv

m Shg

ρτ

ж ц= + =з чи ш

.

3. ( )2 22 0

14

2v u v u= + - , где

( )2 20 1 2

1 1

sin

sin

v vu

v

α

α

-= .

4. 2 22 1

34

3

T TT

-= . 5. ( )0

0 10 мp

h V mgm

ρρ

³ - = .

6. 2

2 22

V VN gh

S

ρ

τ τ

ж ц= +з чи ш

. 7. 2

2

ams

k

π= .

8. 0

241 c2

p V

p S RT

∆ Μτ = » . 9. ( )2

02 1 6225 ДжQ RT n= - = .

10. 2

lx = при l L£ ,

2

Lx l= - при 3 2L l L£ £ , x = L при

2L > l >3L/2.

К В А Н T $ 2 0 0 8 / № 164

Отпечатано в ОАО ордена Трудового Красного Знамени«Чеховский полиграфический комбинат»

142300 г.Чехов Московской области,Сайт: www.chpk.ru E-mail: marketing@chpk.ru

Факс: 8(49672) 6-25-36, факс: 8(499) 270-73-00Отдел продаж услуг многоканальный: 8(499) 270-73-59

Журнал «Квант» зарегистрирован в Комитете РФпо печати. Рег. св-во №0110473

Адрес редакции:

119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант»Тел.: 930-56-48

Е-mail: admin@kvant.info, math@kvant.info, phys@kvant.info

НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ

А.А.Егоров, А.В.Жуков, С.П.Коновалов,

А.Ю.Котова, В.А.Тихомирова, А.И.Черноуцан

НОМЕР ОФОРМИЛИД.Н.Гришукова, В.М.Власов, В.В.Иванюк,

А.Е.Пацхверия

ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ РЕДАКТОРЕ.В.Морозова

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППАЕ.А.Митченко, Л.В.Калиничева

©

Информацию о журнале «Квант» и некоторые материалыиз журнала можно найти в ИНТЕРНЕТЕ по адресам:

Редакция журнала «Квант»

kvant.info

Московский центр непрерывного математическогообразованияkvant.mccme.ru

Московский детский клуб «Компьютер»math.child.ru

Костромской центр дополнительного образования«Эврика»ceemat.ru

Химический факультет

Вариант 1

3. 52 10 м сE

vB

= = Ч . 4. См. рис.24.

5. Давление увеличилось в 3 раза.

6. 0 2

2 sin

1

glv

n

α=

-. 7. 3 2T mg qB gl= - .

8. 3 4dλ λ< < , или 1,9 мкм < d < 2,5 мкм (максимальныйпорядок дифракции равен 3).

9. ( )

( )

21

22

3 22,56

2

R rW

W R r

+= =

+.

10. 7

ctg8

M m

Mα

-= = .

Вариант 2

3. См. рис.25.4. Бóльшую скорость будет иметь первый брусок.

Рис. 25

Рис. 24

11. 2

02 0,2 м сSU

v ghmh

ε= + » .

12. 2

024133 мкс

25

d

IR

ε ϕτ = » .

13. ( )

2 24

2 1 21,32 10 Дж

2

RQ C C

R r

-ж ц

= + = Чз ч+и ш

E.

14. ( )12 1 21

2U U tα α» - . 15.

( )

( )1 2 2 1

1 2 1 2

Bl v R v RI

R R R R R

+=

+ +.

16. max 02U U= -E при 0U < E , max 0U U= при 0U ³ E .

17. 2 1sin

sin4 2

d dα

π α=

ж ц-з чи ш

. 18. tg 303

Fd F= ° = .

19. 2

3

F Lh H

F L

-=

-. 20. 2 мм

Rr

n

λ= » .

5. 0min 20 H

2

p SF = = .

6. Емкость увеличится в 4

3 раза.

7. ( ) 21

5,3 Омk U

Rm

τ

λ

-= » . 8. 0,8 м

4

ls

π= » .

9. ( )2

0 1 2

1 2

90 Дж4

U R RQ

R R

τ+= = . 10.

( ) tgtg 2

d F

F

αβ

-= = .