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Plasma Modeling with COMSOL Multiphysics®

ミニコース～専門技術セミナ～電気化学コース東京秋葉原UDX2014 12.4

和訳に誤りがある場合は英文を正とします。計測エンジニアリングシステム株式会社

Why COMSOL Multiphysics?• Multiphysics

– Coupled phenomena プラズマは連成現象

• Single physics– One integrated environment – different physics and applications– Adaptable, no need for user-subroutines 調節可能、ユーザーサブルーチン不要

– Create your own multiphysics couplings独自の連成を作成できる

– Type in nonlinear expressions, look-up tables, or function calls非線形式、ルックアップテーブル、関数コールが可能

– Optional user-interfaces for working directly with equations: algebraic, PDEs, and ODEs代数式、偏微分方程式、常微分方程式

– Parameterize on anything任意のものをパラメタ化

• High-Performance Computing (HPC): 高性能計算

– Multicore & Multiprocessor マルチコア・マルチプロセッサ

– Clusters クラスタ

異なるフィジックスと応用を統合することで

Product Suite – COMSOL 5.0

COMSOL Multiphysics Plasma Module

What is a Plasma?• Definition

– Plasmas are conductive assemblies of charged particles, neutrals and fields that exhibit collective effects.

• Industries 工業

– Lighting– Semiconductor– Military– Coating– …

定義

照明

半導体

軍用

コーティング

プラズマは荷電粒子、中性粒子および集合効果を示す場の導電性集合体

Types of Plasma• The following are the most common types of plasmas:

– Inductively coupled plasmas (Easy)– DC discharges (Easy, Magnetic Field enhanced Hard)– Microwave plasmas (Medium, ECR Hard)– Electrical breakdown (Hard)– Capacitively coupled plasmas (Hard)– Combined ICP/CCP reactor ( )– In each of the above, the mechanism of energy transfer from the

electromagnetic fields to the electrons is different.

Increasing difficulty to

model

The Plasma Module is designed for non-nuclear, low temperature plasmas (non-equilibrium discharges)

誘導結合プラズマ

直流放電

マイクロ波プラズマ

電気絶縁破壊

容量性結合プラズマ

誘導結合型放電と容量結合型放電の結合

各プラズマ放電における電磁場から電子までの異なるエネルギー転送のメカニズムである。

最も一般的なプラズマ種類

プラズマモジュールは非核、低温プラズマ（非平衡放電）の解析用の開発された商品である。

Components of a plasma• A plasma consists of: プラズマの構成

– Electromagnetic fields (instantaneous) 電磁場（瞬時）

– Electron energy (<nsec) 電子エネルギー

– Electron transport (nsec) 電子輸送

– Ion transport (usec) イオン輸送

– Excited species transport (0.1msec) 励起種輸送

– Neutral gas flow and temperature (msecs) 中性ガス流と温度

• The broad range of characteristic timescales for the different components which make up the plasma creates computational difficulties.プラズマを構成する成分の特性時間スケールは多岐にわたることが計算を困難にする。

• Plasma Models are computationally stiff in time.プラズマモデルは時間において計算上、スティフである。

Additional difficulties with plasma modeling

• Stiff in space (space charge separation needs to be resolved).空間でもスティフ（空間電荷の分離を解決する必要あり）

• Large number of degrees of freedom (many species).膨大な自由度（多くの化学種があるため）

• Strong coupling between electron energy and electromagnetic fields.電子エネルギーと電磁場間の強連成

• Plasma chemistry data can be difficult to find or not exist at all.プラズマ化学データは探すのも困難であり、すべてのデータが揃うとは限らない。

• The COMSOL Multiphysics Plasma Module makes it easier to set up a plasma model, but some level of expertise is still required.プラズマモジュールはプラズマモデルのセットアップを簡単化するが、専門知識がなお必要である。

プラズマモデリングのさらなる困難さ

Plasma Modeling Physics Interfaces• Drift Diffusion ドリフト拡散

– Interface to compute the electron density and mean electron energy for any type of plasma.任意のタイプのプラズマの電子密度と電子エネルギーを計算するためのインターフェース

• Heavy Species Transport 重粒子の輸送

– A mass balance interface for all non-electron species. This includes charged, neutral, and electronically excited species. 全ての非電子種の質量収支のインターフェース。 荷電、中性、電子励起された種を含む。

• Electrostatics 静電場

– Interface to compute the electrostatic field in the plasma caused by separation of space charge between the electrons and ions. 電子とイオン間の空間電荷の分離によって生じるプラズマ内の静電場を計算するインターフェース

• Boltzmann Equation, Two-Term Approximation 二項近似ボルツマン方程式

– This interface allows you to compute the electron energy distribution function.電子エネルギー分布関数を計算するためのインターフェース

• Electrical Circuits 電気回路

– Interface to add an external electrical circuit to the plasma model.プラズマモデルに外部回路を付加するためのインターフェース

プラズマモデリングのフィジックスインターフェース

Application Specific Interfaces• Inductively Coupled Plasma 誘導結合プラズマ

– Used for studying discharges which are sustained by induction currents. The induction currents are solved for in the frequency domain.誘導電流によって保持される放電の解析に利用する。誘導電流は周波数領域で計算される。

• DC Discharge DC放電

– Used for studying discharges that are sustained by a static electric field.静電場で保持されるプラズマの計算に利用する。

• Microwave Plasma マイクロ波プラズマ

– Used for studying discharges that are sustained by electromagnetic waves.電磁波で保持される放電の計算に利用する。

• Capacitively Coupled Plasma 容量結合型プラズマ

– Used for studying discharges that are sustained by a time-varying electrostatic field.時間変化する静電場によって保持される放電の計算に利用する。

Boundary Conditions• There are special boundary

conditions for the application specific interfaces:– Metal Contact. Used for the

interaction between the plasma and a metal wall. The terminal can be driven with a fixed voltage, fixed current or connected to a circuit.金属接触。プラズマと金属壁間の相互作用。

– Dielectric Contact. Used for modeling the interaction of the plasma and a dielectric surface.誘電接触。プラズマと誘電性表面との相互作用。

New in V5.0

Settings window for the Metal Contact feature

境界条件

金属接触の設定の様子。

特定境界条件

Discretization• Finite element is the default

discretization for all plasma physics interfaces.有限要素はデフォルト。

• A face centered finite volume discretization with Scharfetter-Gummel upwinding is also available.シャフター・ガンメルの風上法による面中心にとった有限体積法を離散化として利用できる。

• This was available as a beta version in V4.4, but is fully available in V5.0.V5.0では完全に利用可能。

• The option is available in the Discretization section.離散化セクションで選択可能。

New in V5.0

Discretization settings available in the application specific interfaces

離散化

Equilibrium Discharges• The Plasma Module has added support for modeling

discharges in local thermodynamic equilibrium (LTE) at atmospheric pressure.大気圧で局所熱力学平衡(LTE)にある放電のモデリング。

• These interfaces do not solve for the electron, ion and neutral species, only the heat transfer, fluid flow and electromagnetics.電子、イオン、中性粒子は解かず、伝熱、流体、電磁気を解く。

• They can be used to model things like atmospheric pressure plasma torches.大気圧プラズマトーチのようなものに適用できる。

New in V5.0

Model Builder for an Equilibrium Inductively Coupled Plasma. The model consists of the standard Magnetic Fields, Heat Transfer in Fluids and Laminar Flow interfaces. In addition, a Plasma Heat Source multiphysics feature computes the plasma conductivity, heat generation and volumetric radiative losses.

平衡放電

平衡ICPのモデルには標準磁界、流体中の伝熱および層流のインタフェースを含む。なお、プラズマ熱源のマルチフィジックス特性によってプラズマ導電率、発熱および輻射損失を求める。

Equilibrium Discharge Interfaces• There are 3 multiphysics interfaces

available for modeling equilibrium discharges: ３つのマルチフィジックスインターフェースがある。

– Equilibrium DC Discharge (the equivalent of the DC Discharge interface)平衡DC放電（DC放電インターフェースと等価）

– Equilibrium Inductively Coupled Plasma (the equivalent of the Inductively Coupled Plasma interface)平衡誘導結合プラズマ（誘導結合プラズマインターフェースと等価）

– Combined Inductive/DC Discharge (for discharges driven by induction currents and electric currents)誘導/DC放電の組み合わせ（誘導電流と電子電流によって駆動される放電用）

New in V5.0

Equilibrium Discharge interfaces can be found in the Plasma physics area.

Theory理論

Electron Transport• COMSOL solves a pair of drift diffusion equations for the electron density

and electron energy density.

• The transport properties may be tensors and functions of the mean electron energy and a DC magnetic flux density.輸送特性は、テンソルであったり、平均電子エネルギーやDC磁束密度の関数であったりする。

COMSOLはドリフトー拡散方程式によって電子密度と電子エネルギー密度を求める。

Tensor Electron Transport Properties

• The Plasma Module allows you to use tensor’s for the electron mobility, diffusivity, energy mobility and energy diffusivity.

• This allows for example Hall thrusters to be modeled.

Plot of the electron mobility vs the components of the magnetic flux density

テンソル型の電子輸送特性

ホールスラスタのモデリングが可能。

テンソル型の電子移動度、拡散係数、電子エネルギー移動度と拡散係数の利用が可能。

Electron Transport Boundary Conditions

• There are a variety of boundary conditions available for the electrons:

– Wall which includes the effects of:• Secondary electron emission. 二次電子放出

• Thermionic emission. 熱電子放出

• Electron reflection. 電子反射

– Flux which allows you to specify an arbitrary influx for the electron density and electron energy density.電子密度と電子エネルギー密度に任意の流束を設定することができる。

– Fixed electron density and mean electron energy (not recommended).（推奨しないが）電子密度と平均電子エネルギーを固定できる。

– Insulation. 絶縁

電子輸送の境界条件

様々の電子輸送境界条件

壁

Heavy Species Transport

• Transport of the heavy species (non-electron species) is determined from solving a modified form of the Maxwell-Stefan equations.

• An integrated reaction manager is required in order to keep track of the electron impact reactions, reactions, surface reactions and species.電子衝突反応、化学反応、表面反応と化学種を追跡しつづけるために、統合された反応マネージャーが

必要である。

where:

重粒子の輸送

修正されたマクスウェル・ステファン方程式による重粒子（非電子粒子）輸送を求める。

Bulk Gas Flow Transport

• The neutral gas flow is determined by the Compressible Navier-Stokes equations with a modified heat source.

• The last term on the right hand side of the energy equation can lead to substantial gas heating for molecular gases at higher pressures.エネルギー方程式の右辺の最終項は、より高い圧力にある分子ガスを加熱することに寄与する。

バルクガス流れの輸送

物質保存則

運動量保存則

エネルギー保存則

Surface Reactions and Species

• Surface reactions can be specified in terms of rate or sticking coefficients.

• The surface rate constant and sticking coefficient are given by:

• Surface adsorbed species and bulk species may be included to model deposition processes.

表面反応と化学種

反応レート或いは付着係数によって表面反応を指定する。

析出プロセスのモデルにおいて表面の吸収された化学種およびバルク化学種を扱うことが可能。

反応レート定数および付着係数は以下の通りである。

Electromagnetics

Electrostatic fields• The plasma potential is computed from Poisson’s equation.

• The space charge is computed from the number density of electrons and other charged species.

ポアッソン方程式によってプラズマ電位を求める。

電子などの荷電粒子の数密度によって空間電荷密度を計算する。

Electrostatic boundary conditions• Due to the different transport timescales for ions and electrons, a surface

charge can accumulate on dielectric surfaces:

• The surface charge is used as a boundary condition in the electrostatics physics interface:

電子とイオン輸送の異なる輸送タイムステップにより、誘電体表面の上で表面電荷を集めることができる。

静電場物理インターフェースにおいて，表面電荷を境界条件として扱っている。

Electromagnetic fields• For inductive discharges we solve for the magnetic vector potential in the

frequency domain:

• For microwave plasmas, we solve for the electric field in the frequency domain:

• If a static magnetic field is present the plasma conductivity may be a full tensor:

誘導放電には、周波数領域における磁気ベクトルポテンシャルが求められる。

マイクロ波プラズマには、周波数領域における電場が求められる。

静磁場がある際にプラズマ導電率がフルテンソル型で可能。

Shielding

Shielding Electrostatic Surface Inductive

ICP X X √

DC √ X X

MWP X X X

Breakdown √ √ X

CCP √ √ X

Combined ICP/CCP √ √ √

遮蔽

遮蔽 静電 誘導表面

Electron Cyclotron Resonance• In Electron Cyclotron Resonance

(ECR) the plasma conductivity is a highly non-linear function of the DC magnetic flux density.

• At the resonant flux density, Bres, electrons continually gain energy from the magnetic and electric fields.

Plot of the plasma conductivity vs the components of the magnetic flux density on a log scale

電子サイクロトロン共鳴

電子サイクロトロン共鳴におけるプラズマ導電率はDC磁束密度の高度非線形の関数である

共鳴磁束密度にて電子は磁界と電界から間断なくエネルギーをもらえる。

Plasma Chemistry

Plasma Chemistry• A large amount of data needs to be assembled about the chemical

processes which occur in a plasma, before you start the modeling process.

– A set of electron impact reactions and the corresponding cross section data• Data can be found at http://fr.lxcat.net/data/set_type.php

– List of all the gas phase reactions which occur and the rate coefficients for each reaction

– List of all the surface reactions which occur in the system along with the rate coefficients, sticking coefficients and secondary electron emission probability

– Molecular weight, potential characteristic length and potential energy minimum for each species

• There is predefined data for the most commonly encountered species in COMSOL– Thermodynamic property data for each species if you are computing the gas

temperature

プラズマ化学

プラズマモデルの前にプラズマ中で発生された化学プロセスに関する大量のデータを集めるのが必要。

電子衝突反応及び断面積データ

あらゆる気相反応及びレート係数

あらゆる表面反応及びレート係数、付着係数及び二次電子放出確率

分子量、ポテンシャルの特性長及びポテンシャルエネルギー最小

熱力学データ

Chemical Mechanisms• The behavior of the plasma is largely determined by the plasma chemistry.

• Argon is the simplest of all plasma chemistries; there are only 7 reactions and 4 species.

• Plasma chemistries can be much more complex, air chemistry is over 300 reactions and 30 species.

• Always use argon first when starting a new model!

化学メカニズム

プラズマの挙動は主にプラズマ化学によって決定される。

アルゴンはあらゆるプラズマ化学の中で最も単純なガス、７つの反応と４つの化学種のみである。

プラズマ化学はもっとはるかに複雑で可能、空気の化学は３００種以上の反応および３０種以上の化学種がある。

Cross Section Data• Cross section data is vital piece of

data required to perform a plasma simulation.

• Cross section data allows the rate coefficient for a given reaction to be computed based on the EEDF using:

Plot of a set collision cross sections for molecular oxygen

衝突断面積データはプラズマシミュレーションのための極めて重要なデータである。

衝突断面積データによって反応レート係数がEEDFに基づいて計算される。

衝突断面積データ

Example - GEC ICP reactor

5 turn coil, 1500Watts, 13.56MHz

Wafer pedestal

Dielectric material

Plasma forms here

A demo of this model can be found at: http://www.comsol.com/products/plasma/

事例－GEC ICP 反応器

Example• The GEC ICP reactor is modeled in COMSOL Multiphysics.

• The GEC cell is a standard reference cell designed by NIST for studying plasmas and benchmarking simulations.

• The gas is Argon, and the pressure is 20mtorr.

• The following chemical reactions are considered:

COMSOLにおいてGEC ICP反応器はモデリングされる。

GEC セルはプラズマ研究及びベンチマーキングシミュレーション用のNISTの開発された標準セルである。

ガスはアルゴン、圧力は20mTorrである。

以下の化学反応を含む。

事例

Step 1 – Select Physics Interface

• Select the appropriate physics interface from the Model Wizard.

• In this example we are modeling an Inductively Coupled Plasma.

• Additional interfaces for capacitivelycoupled plasmas, direct current discharges and microwave plasmas.

ステップ１－物理インタフェースを選択

適当な物理インタフェースを選択

このモデルは誘導結合プラズマがモデリングされる。

さらなるインタフェース：容量性結合プラズマ、直流放電およびマイクロ波プラズマ

Step 2 – Draw or Import the Geometryステップ２－ジオメトリの作成あるいはインポート

Step 3 – Import Cross Section Data

Reactions and species automatically appear in the model tree

Import cross section data for the electron impact reactions from file

ステップ３－衝突断面積のインポート

Step 4 – Define volume and surface reactionsステップ４－化学反応（体積および表面）の定義

Step 5 – Define the coil domains and currentステップ５－コイルドメインおよび電流の定義

Step 6 – Boundary Conditionsステップ６－境界条件

Step 7 – Mesh the geometry

Boundary layer meshing on the plasma volume allows us to resolve separation of space charge

ステップ７－メッシュ

Step 8 – Compute the solutionステップ８－計算

Step 9 – Examine the Resultsステップ９－結果を考察

Results• The results agree

well with experimental data for the electron density, electron temperature and plasma potential.

Ref: “An Inductively Coupled Plasma Source for the Gaseous Electronics Conference RF Reference Cell, J. Res. Natl. Inst. Stand. Technol. 100, 427 (1995)”

結果

結果は試験データと一致する （電子密度、電子温度及びプラズマポテンシャル）。

Model Library• Product ships with 19

example models, all complete with documentation and step-by-step instructions.

• Example models for:– Capacitively coupled

plasmas– Chemical vapor deposition– Direct current discharges– Inductively coupled

plasmas– Solving the two-term

Boltzmann equation– Wave heated discharges

19個のモデル事例がある。あらゆるモデルの説明書類及び段階的な操作手順が提供されている。

誘導結合プラズマ

容量性結合プラズマ

直流放電

二項近似ボルツマン方程式

波動加熱放電

化学蒸着

Inductively Coupled Plasma• An electrodeless lamp has no electrodes and thus a long life.• Plot of the electron density (left) and ground state Mercury (right).• This model has 12 species and 96 reactions.

Electron number density in an electrodeless lamp Mole fraction of ground state Hg in an electrodeless lamp

誘導結合プラズマ

12種の化学種と96種の反応がある。電子密度（左図）とHg（右図）

無電極ランプは電極なし、長寿命がある。

Ion Energy Distribution Function• The ion energy distribution function (IEDF) and angular distribution

functions can be computed with the Particle Tracing Module.• Plots below are for an inductively coupled plasma.

Ion energy distribution function on the wafer Ion angular distribution function on the wafer

イオンエネルギー分布関数

粒子トレーシングモジュールによってイオンエネルギー分布関数(IEDF)及び角度分布関数を計算できる。

Dielectric barrier discharge• Two dielectric plates are separated by a small gap (0.1mm).

• A sinusodial voltage is applied to one of the plates, the other is grounded.

• A plasma periodically forms in the gap – the gap transitions from being an insulator to a conductor.

誘導体バリア放電

プラズマはギャップに周期的に生成する。絶縁体から導電体までの絶縁破壊プロセスである。

一つのプレートに正弦波電圧を印加し、もう一つのプレートを接地する。

２つの誘導体プレートが微小ギャップ (0.1mm)で分離される。

Dielectric barrier discharge• Extruded plots of electron current density (left) and ion current density

(right).

• The y-axis represents time and the x-axis represents space.

誘導体バリア放電

電子電流密度及びイオン電流密度

y 軸は時間、x 軸は空間を表わす。

Direct Current Discharge• A direct current discharge is sustained through secondary emission of

electrons from the cathode.• The electric potential is close to uniform everywhere except in the cathode

fall region where it decreases very rapidly.

直流放電

直流放電はカソードでの2次電子放出により保持される。

陰極降下領域における電位は非常に速く減少され、それ以外領域には電位はほぼ均一である。

Microwave plasma• A microwave discharge is sustained when an electromagnetic wave is

absorbed by the plasma.

• The wave can’t penetrate into regions where the critical electron density is exceeded.

Gas flow

Wave

マイクロ波放電

マイクロ波放電はプラズマの電磁波の吸収により保持される。

マイクロ波は臨界電子密度以上の領域を貫通できない。

Inductively Coupled Plasma Torch• An atmospheric argon plasma is sustained through induction

currents.

• The temperature of the gas becomes very high, over 10,000[K].

New in V5.0

• Total power input in this model is 11[kW].

ICPトーチ

大気圧アルゴンプラズマは誘導電流により保持される。

ガス温度は非常に高い、10,000K以上の温度がある。

このモデルの総入力パワーは11kWである。

END