34
2 Σ !"# $ % & ’( ) ) *+ A ! "# $ % & ! "# A A & *+ A ! "# $ % +, - String . % ()* + , -%. % / a,b,z 0 1 Σ $2 a 3 aaba 3 abz &&& * Σ 4 +/ 5 6% 7 8) 9 :# λ ) $ 9 ; : 0 1 λ %& ! & ’( A B < <) , , %=# % >?6 % ()* ( & () ( % ()9 @%"# %2 < 7 A , , "# & ,’ & ’( 5 9 ; ")B C N D ( +/ @%"# EF G# Σ 3 * Σ & HI 5 % / a,b 0 1 Σ ( $2 / &&& 3 ba 3 b 3 aa 3 ab 3 a 3 λ 0 1 * Σ +/ * Σ ; J EF 5 % * Σ , Σ & "# 9 KL < %)M 3 HI 3; %)M } , , { 1 ab aab a L = ,...} , , { 2 aaa aa a L =

˘ˇ - ab-rafiee.comab-rafiee.com/Pdf/jozvenazariyezabanha.pdf · 8 0 3 H n l a n n = ≥ ≠ { : 0, 4} ˙ ˘ ˚ . ˛˙ >2 4 4% NFA$ ˘ˇˆ ˘0 NFA, ˘ δ+ ˘ ˆM ˆ ˚ Dˆ

  • Upload
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

2

�������������������������������������������������������� ������������������

���������������������

������������� ��������������������������������������������

��� � ��!��"#�$����%������&��'(�)���) ��*+���

��������A���� ��������������������� ���!�����"#�$� �%&���!�����"#A������������'A�'����������

��& �*+���������������A������������� ���!�����"#�$� �%���� ��������������

�+ ,-String�.��%��������()*� ������+������,��-�%.���������������������

�% �/a,b,z01�$�2� �����a��3�aaba�3�abz����&&&������������*���������4����

�+/�5��

������6%����7��� ����������8)���9������������ ��������������������� ��:#������� ���λ)��$�����������9��;���:������0�1'λ'�

%�&�!��&��'(���������������A���B��������������<���<)��,�����,��%=�#�% ��>?6���% ��()*� ����(������&()����������������������������(����%���

()9�@�%"#�%2�������������������������<�������7��������A���,�����,���"��#&��

�,�' ��&��'(��5��

�9��;������������������������")�B����������������������CN�D�������(���

�+/����������@�%"#�E��F�����������G��#�������������3�*

Σ�� ��&��H�I�5 �% ��/a,b0�1Σ�(�����$�2� �����/�&&&3 ba 3 b 3 aa 3 ab 3a 3�λ01*

Σ

�+/�����*

�;��J�����E��F������������������������

���5��

���������������%�����*�����������������,������������ ��&���������� ������������"#��9������K��L�<���%)M����������3���

������������������������������������������������������������������������������������H�I��3�;��������%)M������},,{1 abaabaL =��������������,...},,{2 aaaaaaL =��

3

��

���*/��������������������������������������������������5����������������������������������������������������������������}{*

λ−Σ=Σ+��

��0�1����2�'&���

����EL�.�%2�����������3��������<���N)9%#�����9���������()�����)A�%2��������H�������������������$� �%�������������<���OF������3���$��P�Q���(�&

����@�%"#��R|||||.|.,**

WUWUWUWU +=→�Σ∈Σ∈��������*�S����S��)L�T�P�Q���%2U��UWWU .. ≠��

�;���%�VA��9%���)L�T�������P�Q���%2U��VWUWWU )..()..( =���P�Q���E����IT��!�λ�;��UUUU ==→Σ∈ λλ ..

*��� R

w=������W�7"�w

cbawabcwR

=→=

3�/4���2�'&� +56���7��4#� �

��8�� �zyxzyxxzyxzyxyzzxyxyzxyzW

RRRRRR======→= λλ .)..().().().()(

�+/�5��nnn

wwwww ..11

==−+����������������������������

www .22

=− ww

RR=− )(3

nRRnww )()(4 =−

��8�5��

babababawbababaabababwabwRRR

==↔==→=333

)()()..()(

��2�'&∗����% ��Σ∈a�$�2� �3n

a�����9��;����������n�-%.��#�a�������;��$��E)7�#*a�-%.������%7#�XY�������"#��"�����a���Z�[���9

��#�%�L�<)������%�n����S�������#����∗�(�������)���λ=0

a��aaaa ..

3=

,...},,,,{*

aaaaaaaaaaa λ=

�����9+:�� 1�;�#������������%,���,%)��},,{1 abbabal =

�����1l�������������;��������},{ ba=���"#��9�����������9�������!��������a�������\�%��&��

)(,0|| λλ ==→=RR

www

RRuawauauww .,,.0||

*=→Σ∈Σ∈=→≠

→Σ∈*

w

4

}0|{2 ≥= nbalnn��

�����2l�������������;��������},{ ba=���"#���������<�������;��$��$����������������U�S�K��L�����9�n��#�aC�����%�L

%��)��D-%.���"#�<)������� �H����������b��������$���������&��#�������},,,{2 �aabbabl λ=��}0,|{3 ≥= mnbal

mn

�����3l�������������;��������},{ ba=���"#���������<�������;��$��$����������������U�S�K��L�����9�n��#�aC�����%�L

%��)��D�� �H��������� m�"#�-%.��b�C%��)�����%�LD��������$���������&��#�������},,,,,,,{3 �bbbbaabaaabbabbbl λ=��

},{),{**

4 babal =Σ=����������U�F����������������<���&%2���E7������:��C(]��K����D��

����"#������<��ab�C%��)�����%�L�D�#��������9������%7#�(��%;���A���},,,,{5 �ababababababl λ=��

},|.){(*

6 Σ∈= baaabl��,���U�F�����������������:��������9�K��?#�<�������;���U�F����������������<��a�#��������9�����6�R���},,,{6 �ababaabaal =��

�2�'&�����'�5��

�()4���������F�)|( BA��9�A�B������^�Y�����"��4���L�T�������������*��������A��B���_����:� �����%�����&��

},,,,,,{},|)|({ 7

***

7 �abaabbbaaalbabbaal λ=�Σ∈=��},,,,,,{},|)|{( 8

*

8 �aabbbbbaabaabalbabal λ=�Σ∈= *

)|( ba�%2U����%7#������%�����������#���a����b9�^�Y��������&����%��)��#�E��F��������������#�OF������a���b�<���������#��������)��#����T�;&��

Σ∈= baabl ,|){(*

5

34

��������������� �� ����������������LBA��

������ ������������ ����������������� ��� ��!�"#�$ ��%��������& %��'() ��!* $ ��%������+%&����, ��� ���-%.��

!/�&0� 1� 2���3��4�5& ���6'+������ %&78���9!* ���:��&7�.��) ��$ ��%�LBA!* ���:�7�.��) �

�;*%�����(<��)3��-�'+ !����:�����!* =���LBA�&%�������>?$ ��%�;*%���!* ��(<��)) �����:�9�&%�������>?�

������������� ������:��&��

���%@��������A��+ %�4�'�<B����,�� ���*)|()|( VTVT →

+C��%���D��&�� �������7�.�������:�E�( "��%�'&-�'+ !* ��FG

�/��#&3�+��FG7�.�A � 1H������

�%&,���:��&�� ���=&B, ��< %������(<��)�����:��&,�(<��)!����D��&�� �%��

�!* $ ��%������9���:��&,�(<��)3�&��>?�

�;*%������I�/J,�(<��)LBA�&%�������>?�

��A&���%�;*%���� �/(��(<��))% (K�9���>?� ��(<��)) ,���)���/�3���/�$ ��%������� G�(�� ��E�( "�9�&%�'&�����>?C($

�%�'& ��?�=&B, �����:��&�J9@���

�(��<�L& ��(<��),� �C�/D���)2A��

��&%��C�/D���*������&%�������>?$ ��%������;*%�����(<��)�

MK ��L�)��

N�&��'����L�)��

��,�(<��)������9������=&!"�O�9!"�O�<B�� 9�%��M�%��!"�O�P���!��=&��$ ��%������<��)) �����(, ) ���L�)�

�%�'&�����>?����9������=&��Q!"�O�<B�� K��%�������>?������� ����%����J �@$ ��%������9�(<��)�� ���R�����#+��

�%L&M�%��!��E�($ ��%������!* �A'�&��'����L�)��,�(<��)��K��&��!/(<��)%�+������ ������������� ��! "��

�� �/�&��/�2O����,���C'���S ��� ��!#/&K�� �/(��/�, 3���*���/�9I%A"�9T�:K 9U�'�H 2'+!:����) 2D�/�,�(<��)�

��� 1l����) 2D�/�&��)2l3�R&B����CV �&��)2121 , llll �−!* ���) 2D�/�C(�

�%&��4��U%&,�(<��)3� ����) 2D�/��!:��%'(41���%��W��'(�!* ��/������� ������������� ��� � �#$�%���&�

CK- ��������)X ?��M��J;*%�9��7�.) ��W�& ������������� ��!* CV �,�(<��), ��Y��1�CK� &��Y��1�zyxvu ....�%��C�/D�

��.����1.

1..

−≤

yv

myxv�����2A���D��1�����!��=&���zxyuvii ���������P�, )i!/�&<��)%�+������ C� �!��Z����3 %WK��

CV �

"[����) 2D�/� ���) 2D�/� �����I�/J

�L�)�� &��'����L�)��

35

-�\��<��)���� �!��Znnn cba!/�&���) 2D�/��

2J�, ) ��mM��J7�.) ��W�& 9mmm cbaC� ��N�W�& ���!* =���9!* <��)) ,%�+����%@M��J7�.) ��15���,%:&�(��

<%G����yxv ..) ��'�0K%.m�*�(�& %�'&!* abc ,,;D��& %��!��=&���9�(�0�%? �a;D�9�(b��9�(;D�c�(� ���(�0�%?

���� ab ,���(�0�%?C(�� �bc ,9C(�� �2������� , ���Jac ,!/�&��>?<�A� �����(�

<%G]?yxv ..�& %�'&�*�(cba ,,) D��1��(��C��/(�^'[��9�(�0�%? �i%�+�6@�J���� "�9����( %�2��D���& ��(��� ���� �"�

!* !��ZCAJ��%��( %W&<��)�

-�\��<��)���� �!��Z)}()()(|)||({*

wnwnwncbawl cba ==∈=!/�&���) 2D�/��

�M6�<�(��C� �_��l<��)��<��)�� S ��� �������) 2D�/�***cba�� ��!* C[ �&��)��nnn

cba) 2D�/���Q!* &��)�������

������!��Z6#�-�\���:�� ��K��%�!��Z����<��C�& �����9���) 2D�/�&��)�'�J���) 2D�/�<��)P���CV �<��)P�S ���

�3�%�!*���&��_��]?!* l����'&���) 2D�/�&��)�

-�\��<��)}200|{ ≤= nbalnn!* &��)

��CV �� �`CV ��&����) 2D�/�

�`/� ����) 2D�/��&���������`�����I�/J�&�!����:�<���

��A&����:�,�(<��)��&� ���� ������:�� �"�����(<��)�� ����CV ��

-�\��!* ���) 2D�/���),�(<��)) P�4 ����`kkjikji

dcccbba�`kkjiji

dcccba��`kkjikjt

dcccbba�`a�N

-�\��!* �� ��<��)�%�����),�(<��)) P�4 �����/���`}03mod||02mod||,},{|{

*==∈= wORwbawwl

�`|}|||,},{|{*

yzxxyzwbawwl ==∈=�

�`},,},{|{*

yzxxyzwbawwl ==∈=�`},,},{|{

* Ryxxywbawwl ==∈=

'�( �)�*$�+��

�`<��)���� �bWL�}{ *},{,0: bawnawwaL nRn

∈≥=c�&����������) 2D�/�

C�(��!#/&<B�� ���)�� ��!* ���) 2D�/�

�`<��)�� �!��Z}0:{!

≥= naL n����'&���) 2D�/��

<B����mtttvxyttvy ≤++=≥+= 43242 ||,1||�����

, ��<%Gmk ≤C�� �!!)!1( mkmm <−<−

λ

λ

||

||

bAbaAaA

bAbaSaS

)(!

!!

432143121 .).(.).()3

||,)2

)1

ttttmittitti

mm

aaaaaw

maLaw

Nm

+++−=

≥∈=

∈∃

z u v x y

lawittm

i ∉=�=+− )(! 320)4

5

����������

�� ������9l���10l�������� ������������������������

���������������� � ��}},,{,)||{(*

9 cbacbal =Σ=�

}},,{,)|{(*

10 cbabcal =Σ=

���������9l��*������� �������*

9 Σ=l���������10l����� �� ���a���bc������� ������������

���������������� ���

�! "��Σ���#$� �������� %&�'����(��) �Σ�*+��,%���-���$�./���! � "�α������,%���-���$�*α*+��,%���,��

�! � "�α���β������,%���(���-���$αβ*+��,%���,������0��1�2 ���3$����*�0&�,%���-����$��&��

�! � "�α���β�������,%���(���-���$)|( βα*+��,%���,��

�! � "�l�4�5&6������3%��������l������,3����7/�l�*+��,%���,���

������-���$��������������������������������������������������������������8�&��/�*+��,%���� �},{,))|((***

babaar =Σ=

9�:�����a���������;������*+��,%���<=�*+��>��) ���#$���*

a������������*+��,%���,�����)|( ba����<=�*+��,%���,*)|( ba�,��

��*+��,%��*)|( ba ?6����*

a-���$�<=�*+��4���@2A��**)|( baa�-���$���3����,���6�4���+����0��<=�*+��,%���r�

*+��,%���*+����

�������� �(� �������� "����/�"�,%������&����' ����=�3%���-���$��6���

�� �&��,%��� /��(��������������*��B�,%���-����$��' ����=�������

�����,%���-���$)10(*������4������ ���1l*+����������������������������������������������}1,0{},,0001,001.01,1{1 =Σ= �l

},{},0,2)(|{*

2 bakkwlengthwl =Σ≥=Σ∈=

��������)A�C��(���D� ����'���������������� ������ E����F�������� �����aabbabba ,,,� ��,�&����������7/�����0�����'����������#$�����l�G�H����������������������,����/IE��4�����)"�(������������������������-���$�,�&������G*

)|||( aabbbaab������J�K�����������,%���-���$�L/����*+��M/�����,�0/����*+��,%���-���$�./�������,%���-���$�L��N3� �*

)))((( baba ++�I�&�������� �����������L�3�����

����*+��,%���A�O�������,3�������*��B���

���,3���������,�0/�&���������ll −Σ= *�������←����},12)(|{* +∈+=Σ∈= zkkwlengthwl�������

�,%���-���$���*+��9:��)|()|||(*

baaabbbaab������l�������� ��������

�������������*��B l ��*+��,%�� �},{,0,3)(|{*

bakkwlengthwl =Σ≥=Σ∈=���������������������

��� ���������������������L/��*�+����� #����P �H���'���������� � �

�����**3*)))()((()()( babababbabbbbabbaaabbabaaabaaa +++=Σ=+++++++��

6

������0/���������O�G�Q�������,3�����

9�:�����'��/��� �����./������ ?6��'���/�M&�,����/IE�����������+����������������6����'���������������������������L/��,3����R�������������L/�����S�� ��,%���-���$�,�&������<=��&�������?��T�:�� ���)|()(

2*3 ΣΣΣ��,�0/�����������L/����������������*)"��������U��(��) ��(��������0����������������V�����������7/��&�����J�K���J/ 7��),( ba�

�W #����P �Hn�&��,%���*+�����

�����G�H������������������������,3���A�* ����'�W #�n*+�� /���R�������&��'���� �)||||()(

132* −ΣΣΣΣΣ nn�

��� �����������*��B�l�*+��,%�����������������������������������������������������c}b,{a, },2)(|{ )(

* =Σ=Σ∈= wnwl b

������������������L/�*�X ���'�YZT���YZT���'������������b�������������������������������&��'�***)|()|()|( cabcabca

��� �����������*��B�l�*+��,%������������������������������������������},,{},3)()(|{ )()(

*cbawnwnwl cb =Σ=+Σ∈=���������������������������������������������������������������������

������������������L/�*� R��'��7����'��������������b������c �� ���6��'���$��3E���������������****)()()( acbacbacba +++

��� �����������*��B�l�������������������������������������������*+��,%��}9,2,1,0{},700200|{*

�=Σ≤≤Σ∈= wwl

W��;�)700(|))(65432(2Σ++++���������������������������������������������������������������������������

�� �����(� ��,%���-���$�./�}3,1,1|{ ≥≥≥= nmmnbalmn��0/������

��

******aabbbaaaabbaabbbbal ++=

�� �./������ )K����(����������������0/����3%���-���$���0�&� ����� )K��'���������&�����[� ��./���������0�����

*)101( +���� �(��� /��(��������(� ��,%���-����$},{ ba=��0/������

�������������������������������������������������������������������������}03mod)(|{*

1 =Σ∈= wnwl a

��������������������������������������������������������������}05mod)(|{*

2 >Σ∈= wnwl a

����*****

1 )( abababbl =�����������������������))()()()((***********

2 abbababababababababbl λλλ +++=��

�� ���������4'�+�J�K���./))()()()((****

aabaaaaaabaal +=������������������������������\�3�a��b�./�YZT��������b'��7����a�����]����6��'������ ��$��3E��(� ��,%���-���$�./}�]��=+ mnba

mn|{��0/�������

����****)()()()( bbaabbbaaa +����/���**

))(()( bbabaa λ+���

�!������(� ��,%���-���$�./})|(,3|{+∈≥= bawnwabl

n������++ )(

*baabbbb��

\�'��0A;���/�=��

7

�������� �

��� ����������Dfa��

���������������� ����5���������������������),,,,( 0 FqQM δΣ=�����������Q:����� ����������!�"#��$State�%��δ:�&' �����()����*��+���QQ →Σ×:δ��

0: q���,�-!Q� �����State. �����/ � �0��F:����,���!��"#������Q�����)( QF ⊆. �������12�,����� ��!��"#�����0��

�����Dfa�.����3��������������0}}{,,},1,0{),,,{( 10210 qqqqqM δ=������������������������������������������

10 )1,( qq =δ 00 )0,( qq =δ����:δ

21 )1,( qq =δ 01 )0,( qq =δ &)������������������������������������������4��

12 )1,( qq =δ 22 )0,( qq =δ

����

����56���7.2 ������'���������5.2��89�����!���������State����,��(:2��3�������12����� �����;���<��� �5����/ � �7/ � �

�=�������.�����&�'>�����,���� ��5. ��<�,�;��, ���?@ADFA�=������������ ��B"���!��"#�����7�� ������C��89�DFA������� ������C��89DFA�� ������D6��0�,��� ��EF�01,0001,0101,0111�=����DFA.2� ������C��89���G��0��

�����4DFA���89�����2����A������0��

&)4a*b

���

;F��4DFA���89��������2����A�����0��

&)4****)( bababb

��

0q��

0

1q��

2q��

0 1 1

1 0

0q��

a

1q��

2q��

a,b

b a,b

������������������������2����DFA���7�����>2�����3H����������������&I�.)�3H���������,������DFA����,�������3���6�����#��2�J9�7J'�(�� �������K��DFA������K �3H�����:!�����0��

��������"2���������,������DFA����12�������������� ������.�9DFA���8L�������������������3���0��

0q��

b

1q��

2q��

a

b

3q��

a,b a

b

a

8

�����4���>2��������.�}4,0:{ ≠≥= nnaln����3H���0

�� ������������������$NFA4%��

�����������M����NFA����: ��������F�����DFA�+���M��������� D������������δ�,����NFA�����������������0Q

Q 2)(: →Σ× λδ �������'2�.�A�M�����������3�� �����K��0��

����4

�������,������NFA������������7���89������������������DFA����8L����������"�����N���������.I�3� ����;����0����������������3H���������,������NFA���� �����3��NFA����3H����������5.����.�(������0��

�����4����bbaa*

)|(������NFA.����3����0

��

0q��

1q��

2q��

3q��

4q�� 5q��

a a a a a

a

�,����NDFA4���

�0 ���DFA��������O������������"2�P�)���������� ������State �C��0

�0 ���DFA�3� ���� ����K �N�.������� �������Q:D(��P�)���"��,������0

�0 �.2�����"2�;�����?@A��λ. ���0��

�R �����?@A��NFA����&� �.�2�����λ.� ��3����R ����+����K �NNFA�����,�-!Q

2����,�-!���3�2�����7����Q2������+���B ��P�<�J9������!�"#�����

�������.2���������+���������. ���'�����O���.2���State��P�)����5.>�����������O�����State�� ���0

�R ���AQ2����������'���������7. ��3��1��.2�������+���B ��P�<�7�@�S�2��1���!�"#��&� �State��������

3���.2��K �N�T��7�Q:D(��P �)����.�A��

2q��

0q��

a,b

a b 1q��

9

��'2�.�A�4���

��� ��NFA��!�DFA4���

����� �����K �N�7Q:D(��P �)���"��,������� �5�����U��/ � NFA��M���������K�����73�������VW>����NFA��������������'"�����K �N����� � �5�����#����1������ �����()��������73� ���� �.2��K �N����� �73����������.����P�<��������H2���

����3��������#���,.�.K����� ���()��������7�3� ����� ����K� �N�������O���7Q:D(��P �)�����'�������� ������������'"�

�&� State. ���'"��,��0�����6�NFA������������State�������.�.K����� 7�����2�9����� ���DFA73�������2�9�S�2�������3���6�����H2����0��

�����4NDFA�����������DFA.����&�.:��0

����������

����

&)4

����4��

�,���**ba����DFA.��@��0��

&)�4�����.���NDFA3�������&�.:��JL�� �3�����������

����

��������������������������������������X��K4

��

��

��

0q�� a 1q��

���P�)����5.2��89��

0q�� 1q��

�1������5.2��89

0q�� λ 1q��

0q��

������;���

0q��

1q��

2q��

1

0,1� 0,1

0q��

1 0

},{ 10 qq

0,1 },,{ 210 qqq

1q�� 0 1

},{ 21 qq 1 0,1

1,0

2q�� 1

0

��

0q��

a

λ

b

1q��

},{ 10 qq

a

0q��a b

b

1q�� a

��

a,b

0

10

"�#$��%&�3(���������������( �����3H�����U��2������.��������)�������.2������� �����5. ��:Y�����:���2G�&���Z����

.��������,�H2�.2�����"2����������3H��0������������3������Y�3���N���L����,.������)�7M��)�P�<�������)���( ��73�������&"!��C�<� ��,������&F��7����3H�����U�

P�<��(�� ����0003�����,� ��9����M��)�P�<�����"���)���,����������3���[��O�9�����(� ��3��@2�����6����12����0�����3�������Y�����:\�����������3H�����U���3H�����������������"2������������U����7����3H�����U0��

�'�!(�')�!�%* ��+�,�-� ./��/+!�"�#$��%&��/0#L��

�R )�.�2�����:<���.!�����5��W(���.!����M��m.������XW�2��������R ����5��W(��,���� ���L� �, @����6�S��O(�<����3�������XW�2�m����

�R ��"@I��������������W�2���� ��M��)zyx ,,�����<� ���.������3�@]��myxy ≤≥ |.|,1||

�R �����3������Y�3�2������6��,��i�5�����5��W(��∞<≤ i0��� ��7��@)���.!����zxyi�����5. ���Y�7�@�2��H2�������������

����3H�����U�������0

;F��0�����.�����Y}0|{ >= nbalnn����3H�����U�0��

&)�4�^�C��0>m� �mmbaw =���������������������3����mba

mm≥||��

���C�6��H2������;)xyzw =������������3������_`@��=��� ��mmbzayax ===

−,,

1��

lbabaabaazxyimmmmimimi

∉= →=>∀+−=∀− 12121

,0��;F���.������Y�����)}()(|{

*wnwnwl ba <Σ∈=3H�����U�����0

&)�4�^�C��0>m� �1+=

mmbaw���������������������3����mba

mm≥

+||

1�����C�6��H2������;)xyzw =������������3������_`@��=��� ��11

,,+−

===mm

bzayax

lbabaabaazxyimmmmimimi

∉= →=>∀+++−=∀+− 11121211

,0������.������Y}�n����; ���.!�a L={a

n����3H�����U.

���'2�4� �2�������"2��.!� ��X���&�)����������������,�.!�; ���.!����� �^�Cmp ≥���; ���.!���� �����

���→+=+=+=�=+

)1(|||||..||..||..|1

yPyppyzyxzyxpzyxpp

�@�2�; ���.!�J9�5. ��.!� ��X����#��2���A

������������

aaaaa…a

x y z

p

11

��

�C�������"�4��DFA-1���� ��;����.����3���������0

X��K������������������������������������������������������������������4

��

�R.������Y������}|{ kmncbawkmn

<<=��@�2�3H��0��&)�4�^�C��0>m� �21 ++

=mmm

cbaw���������������������3����mcbammm

≥++

||21��

���C�6��H2������;)xyzw =������������3������_`@��=��� ��211,,

++−===

mmmcbzayax

lcbacbaacbaazxyimmmmmmimmimi

∉= →=>∀+++++−=∀++− 21221313211

,0��

�R�R.������Y������}|{ kmncbawkmn

=+=��@�2�3H����

&)�4�^�C��0>m� �121 ++=

mmmcbaw�����������3��������������mcba

mmm≥

++||

121��

���C�6��H2������;)xyzw =������������3������_`@��=��� ��1211,,

++−===

mmmcbzayax

lcbacbaacbaazxyimmmmmmimmimi

∉= →=>∀+++++−=∀++− 2111212121211

,0 ��R�� �����89��������2����A����������0 �

****

)0110(10+ X��K��

��λ−NFA�����������DFA.����&�.:�����

��

��

������������������������������������X��K��

��

��

��

��

b 0

q�

a

2q�

1q�

a

b

a λ

b

b

0q��a

},{ 21 qq

},,{ 210 qqq

a

b

a

},{ 10 qq

a

b

b

0q�

0 1

1q�

0

1

a

0q�

b

1q�

2q�

c a λ

a

b c

0q�b,c a

Θ

a,b,c },,{ 210 qqq

a

b

1q�

},{ 21 qq

a,c

a

b

c

12

������������� ��������DFA������������������������������ ��������!�����"#��$%&��'��

1������������� ��������DFA�� ����������������������������� �� �!��"�#$ ���%��"�%� ���&������ ���'��(��� ���)*�

2q+ ���+,�������

�������������������������������������������������������������������2�����%�'���"iq��jq�������DFA��%�-����.�'����),( ji qq��.�'�+,����$���� �������� /����n

C2$�"���(�����!��$���� /�%��� ���+,��'���.�'�#�0�1��"����������� ��� 2�%�3,������ ���� ����"�45�6���.�'�'���7,���������

� �'����89��,�:��;2��<(� �'�����89�$��"��� ���� ���������=���6>/�?������%�'���"��),( ji qq<���$@������)>A�)�����������?B��9��C>D/������������%�'���"���%��iq��jq��=���� ����������"����

��� ��iq��jq�%��� ����"�E*��C>D/������F,�"�aa qq ,'�%��� �������,�������G H@��E>A�����$���"�aa qq ,

'�;2���������,� =�����I 6��$��,�:�iq��jq$��,�:��;2���J ��(��

�(���5�����89�#�0"��,�:��;2���#�0�1��"�������.�'��, ��������$�����A"�#��������%��"��B�'�K ���� ��������7���$L�!����

$��,�:�;2����$�����0H�<"$�0�����;2���%$���� M9��"��B0��(?������ ���6 M9�+ �N�%����#�0"��,�:��;2����/�������%$���,�%���=����� M9�%�����#�0"��,�:�;2����O"����0���B0��(������ �����P�������� �����$����������;2�������,�:�;2���%�.�'��Q"�2��6,�03/��;����'��$�"(��

!�)*�(DFA�$ ����� "�����,'��

��������(�����

��

���(���,��$����$�������� ����5����+,����<������0B��%� ���&�����/��'����� ���������"������,'(?��

�(���$����"102

5=��

����

���$����$���� /��,'��������,����-����.�'

� ),( 40 qq ������ ),( 30 qq ����������),( 20 qq�������������),( 10 qq���),( 41 qq �����������),( 31 qq������������),( 21 qq��

�),( 42 qq ����������),( 32 qq�������������������������������),( 43 qq�����������

0q��

0

1q��

2q��

� �

0q��

1q��

2q��

3q��

4q��

� � �

� �

� 0,1

13

����6�,"��5����+,�����������+,������� �J"�89��,�:���;2���.�'�;�0�1��"�������� �� �!�%��� ���'���7,�������-����.�'���5������������$��;I��<$������09�F ����E1������ �!?��

�������5����+,��$����A"�%�.�'�� ����������C>D/������������%�'���"����<( �!$�0�����;2���$������0H��F ����E1������?��

),()1,(

)1,(,

)0,(

)0,(21

42

41

12

21qq

qq

qq

qq

qq→

→� �� ),()1,(

)1,(,

)0,(

)0,(10

41

30

21

10qq

qq

qq

qq

qq→

→��

),()1,(

)1,(,

)0,(

)0,(31

43

41

23

21qq

qq

qq

qq

qq→

→ �� ),(

)1,(

)1,(,

)0,(

)0,(20

42

30

12

10qq

qq

qq

qq

qq→

→��

),()1,(

)1,(,

)0,(

)0,(32

43

42

23

12qq

qq

qq

qq

qq→

→� ),(

)1,(

)1,(,

)0,(

)0,(30

43

30

23

10qq

qq

qq

qq

qq→

��������5��������7�,���"��B0��"��5����+,������$����$��GH@���,�:�;2���%��� ��<$������0H��F ����E1������ �!�?�� M9��"��"��

�%��� ����������R�����%$��321 ,, qqq�� ���F,��"�),$>����$��,�:�;2����<��=�?$�0����(��Q��DFA����������������� "� (

����*��+�������=G ��S�0M��"���},,,( PSTVG�#!�������� ������T,������

V:$�"������ U6��'����6��%���10�I���S:'��%� U6�V$�"����&������@�����(��T:��Q� ���<#"'�%>D/��'����6��%���10�I�?��P:$1�0A�'����6��%��$���(��

���#,-�V�S�0M��"�$������) 7@���������=��5M����$"������ ��0A�yx →$�0����������#@���(���x��y$������$ /0�����(�,��������*

)|(,)|( VTyVTx ∈∈+��

!�)*�V��=�AbS →�%B��"�� ��0������$�"�;'W����%���5������������+,�����,�S�'��Ab� �����D6���(��

��+ �W�X�J"������"����� U6��W0����$������P,���($�������+ "�'�������=�#"'�'��%���6���$ /0��;3���"���(��� ���6������,$�0����������P,���+ �W�FN0�������"����$�6��#"'�%>D/��#�����$�"��Q� ����'��%���/>���$,"��(��

!�)*�V�����=aaAA

AbSp

PSbaASG

|

:

},,},,{),,{(

=

$������$ /0�������"'��N����()����������������������������������V�%$ /0��#"'ba+$�"������

��

��Y���S�>1�#"'��������GH@��)7���"��B0��"**)10(10)10( ++$������$ /0����(��

0 �

0q�� 123q

0,1

0,1

4q��

14

���=���5���/������� �0=�����6���#!�%��"�ZL6���F,����#"'�����6���F,�$ /0��%��"��$���[�� ����")(GLw ∈������,'�S�>1��%��"�ZL6���F,w����� �0=�������������������������(wwwwwS n →→→→→ �321��

���� ���/>����"�1w���nw$�6���Q� ������� U6��'��%���/>������$�,0=��5�B��>��(��

!�)*V��

�#"'����$�,0�"�%����=}0|{ ≥= nbaLnn$���$ /0���������()��Vλ|aSbS ←��

�����=λ|abSS →$������$ /0�������"'��N����()��V0|)( ≥nabn��

�#"'����$ �,0�"�%����=0|{2

≥= nbaLnn$���$ /0���������()��Vλ|aSbbS ←��

�#"'����$ �,0�"�%����=0|{1

≥=+

nbaLnn /0�����$���$����()��VbaSbS |←�������;���\��������������������

λ|aAbA

AbS

→���

���$,"�$���T M0�����#"'�F,�%����=��=����

�� ���%�'���"�$,"Lww ∈,�0��$ /0������=�8�0��$��06"�(���� �"�#"'�0]1�$,"���0��$ /0������=�8�0�����%���6����$(

!�)*�V�����=��"�^0"���#"'

bSaS

aSbS

S

SSS

λ_�� N����

./�V�'���> �����a���b ���$�����a�"�b��$ /0��%�'���"��$������+ �]������=�+,��������"��"�aF,�b�`7�/"����0��$ /0����

�7�,��%��"��� �]��� 6��a'��)>A�b����� ��$�"���

!�)*V��#"'����$ �,0�"�%����=},{},|{*

bawwwLR

=ΣΣ∈=$���$ /0�����(��

)�Vλ→

s

bSbS

aSaS

�����

0����1234����V��

�����#"'�%��"}0|{ mnbcalmn

≤≤="�����=�F,�$ �,0������()���VccBB

baAcA

ABS

|

|

���

����#"'�%��"})(){(* +

= aacdabl$ �,0�"�����=�F,�����������()�VaaaaBB

abAA

AcdBS

|

|

�

�(#"'�%��"�})01011{(****

=l$ �,0�"�����=�F,��������������()��Vλ

λ

|1

00

|

BB

BBBA

ASS

15 ���

���DFA��,'$ ����� "����(��

������0�����������6� ���K ���,�������6������ ���������"�&������ ���'��#0N��5����+,��(��

��(����$����"152

6=��

����

�$����$���� /��,'��������,����-����.�'��

��),( 50 qq ),( 40 qq� ),( 30 qq ���� �),( 20 qq� ),( 10 qq

),( 51 qq�� ),( 41 qq � ),( 31 qq�� ),( 21 qq

� ),( 52 qq �� ��� ),( 42 qq�� ),( 32 qq�� ),( 53 qq���� ),( 43 qq��

� ),( 54 qq������,"��5����+,�����6�0�1��"�������� �� �!�%��� ���'���7,�������-����.�'�#�+,������� �J"�89��,�:���;2���.�'�

��5������������������$��;I��<$������09�F ����E1������ �!<?.�'�����0���A� ),( 42 qq��/������#0N��$@�������� �

$�6�?��

���%�.�'��5����+,����� ����������C>D/������������%�'���"�����$����A"�<($�0�����;2���$������0H��F ����E1������ �!?��%$���� M9��"��B0��"��6>/��'���

���������),(,(

),(,

),(

),(40

44

30

54

10qq

qbq

qbq

qaq

qaq→

→����������������

�),(,(

),(,

),(

),(20

22

30

52

10qq

qbq

qbq

qaq

qaq→

→��

�),(),(

),(,

),(

),(51

55

31

55

21qq

qbq

qbq

qaq

qaq→

→� ),(,(

),(,

),(

),(31

13

31

43

21qq

qbq

qbq

qaq

qaq→

→��

�),(),(

),(,

),(

),(53

55

13

55

43qq

qbq

qbq

qaq

qaq→

→� � � � ),(),(

),(,

),(

),(42

44

22

54

52qq

qbq

qbq

qaq

qaq→

→����

���5��������7�,���"��B0��"��5����+,�������$����$��GH@���,�:�;2���%��� ���<$������0H��F ����E1������ �!��?�� ����������R���1q�"3q��2q"�4q�� ���F,��"�),$>����$��,�:�;2�����<��=�?$�0������(�Q�DFA� ��������������� "��

����

�� ��

a

b

��

a

b

5q��

a ,b

1q��

��a

3q��

b

��

a

bb

a

a,b

a

5q��

13q��

0q��

24q��

b

a,b

b

0q

2q

4q

16

����������

������������ ��������}0,|{ ≥= mncbaLnmn� ����������������������������������������

λ|

|

bAA

AaScS

→��

��

����������� ��������}|{ mnkcbaLkmn

+==���������������������������� ������������λ|

|

bAcA

AaScS

ccbaLmnknmmn

=�+=

��

�������� �����������|}||{ mnkcbaLkmn

−==� ������������

21 LLL �=�kknn

kmmk

cbbaLnkmmnkmn

cbaaLmknmnkmn

=→+=→−−=→<

=→+=→−=→>

2

1

)(����������

λ

λ

|

|

bYcY

aXbX

XYB

��

�� ��������������� ������� ��������������� �!"���#�$��%�&�%��%�%�'&��()��*��+��#�$��%�,�-��.�� ��/0��%����� )0��1�0������2����&��34

��)5��6�7����)7�%��()���34����*��&��%�����%�'&�!"���#�$��%��()����8��������)�%&�9��%�7�! %����

�������:;�λ|ccabAA

AbbbB

aaBcaS

�7�������<=�����

������� ���������,!"���!/"��%�>�7�>%�3)"���()���? ������ ��%&�9���.����������0����� �,�<=�������@��A���%�����������,%�7������B��?)����%�>���/0

%�7����@��A�������87������%�/��C��4�������,%����0��=�!"����<=��������4������

xBA →����xA →�����VBA ∈,�&�*Tx ∈�������:;��

AbBB

aB

aaabBA

|→

"����<=�!"��!��

����� ��������

������G�C��4�����-����� ���/0�����,!"��+���<=�������*��xA

BxA

→�����%�����7����*

,

Tx

VBA

∈��

�����������������7���!"����<=��-��.�� ��/0����&�+���<=��-��.�� ��/0����!"���D �����������

����������� ��%��A����������������������� E/<����&��7����D ���������������/��,�7����)7�%�+���<=����� ��F�%��%��A��&�!"����<=

!"���<=�������*����

������� �����������-����!7����/D �����������������D ��������0���������&�,�����D ����0������>� ��������D ����0���������

����������������aaab*������D ��������*������

�����*����)��DFA ����NDFA������������������-�����'������&�� ������"����

λ|

|

|

aTbT

TaAcA

BAS

17

1q�

0q� 2q�

b

a a a fq�

����

���������������������������������������������������&�������������������)8���"�����'�����DFA���� ������%�A�����������

��

����

���G���0�?��!AH&��;���1fq�>�.� ����λ→fq%�7�����%�A�����

�&��)8���"���������'��������DFA���� ���87��������������������������������%�A��

λ→

f

f

q

bqq

bqq

aqq

aqq

2

22

21

10

��

��D ������������babSA

aAS

|→

→�*��DFA� ���"�����

���"�����'��������������������)8DFA� ���"������%�A�������

�D �������������F�%�@��A���%�����B��D ��������*���-���������)�����!"���D ����������

��������� �!"�#�$

�G����������1l&�2l�>�F�-�� 7����D ��2121211

*

1 ,,.,, llllllll �������D ���F/0����G������)��I�8A��&��H�3�����!J���D ����0������>%����=����G�K�����/0�C�L/.����!J���D ����0������>%����=�2�)M����0�6�����)�����N���-�����)M����0�*��&�,�7����D ������������� A�

������0��=��D ���0������4��������,� ����

���������������������������������������%�A�ji aqq →�7��������� iq��jq��a

���������������%�A��ii aqq →�7������� iq��

a

�G>�.� ���'�����aBA →�#�������5�����������������������������������

��

A

B��

a

�G�>�.� ���'����abaBA →��� 8���"�����������������������������������������������������#������ a A

1

T��

2T��

B��

b a

A��

S��

a b fq��

T��

a b

�G��'�����aA →�#����������������� ������"���������������� a A

fq��

18

��%&�������O�K�� �1�&�2�P����� 7���@L)M����J3���&%�*

21)( Σ→Σh� ��������)M����0�P����*�������� A�h��%�#����0����!"���A����

1��%��)7��*��������*

2Σ�����%����87��������:;��pbhpqqqrqahrqpba ===Σ=Σ )(,)(},,,{},,{ 21

�P����� ��%h���������������*

1Σ����87����������D ��%�%��/A��Q��12121 ),()()()( Σ∈= inn aahahahaaah ��

��P�����) &�h�� ���������*����0��)7�����1l�����)7���0�,%��R���N���1l�����'��)7��������2��J3�����2�6� ��������J����.�/S����

��)M����0�,>�7���������'���0��)7�1l�P����!9��h� �������

�������

���%�����;�����2l��)M����0����T��1l�!9��h�7�������

�����!��N�� �},,{},{ cbacbalknkn

=Σ=+!"���D �������

@L=���0����� �����O�Kl�)M����0�U����0�!9��VB�,�7����D �������*����)M����0,�7����D �������h�@��A�����W��C��4�������

�� ����}{}{)(,)(,)(mmknkn

cacaalcchabhaah ==�===+�

��X �YJ$�:J Pumping�!"��>%���ZL[�O�K�VB�,!"���D ��������!"��>�7�!��N�2�C�JN����9)����%Pumping�!"��\�]�Q��6��

������������ ��!��N�}|{ lnballn

≠=!"���D ���������*�����

@L=���0������ �����O�Kl��D ����0������^��=����� ��VB�,!"���D �������*��ll −Σ=*��K�$����,!"���D ���0��**

ba���

������VB�,!"���D ���0nnbalbal == �)(

**�^��=����� ���)�����0�7����D ��,�D ����0������!����$�������2��X �YJ$Pumping�6��

%�7����!��N�O�K�#:=�VB���

�'�(��)��&�*+��

},,{

)(,)(,)(

)(,)(},,,{},,{},,{

2

121

qqpqqqpqpqqql

qqbhpqqqabhpqpqqqaabh

qqbhpqahbabaablqpba

=

�===

�====Σ=Σ

�� �����������

bbBB

bbBA

aAaSS

|

|

||

→ λ

�� ������$��0� )���7���*����

b 2

F�

a

S B

b

b

1

F�

b

A��

a

19

�����7��NFA���_������������λ

λ

λ

||

|||

|||

bSaBC

bCcSaBB

aBcSbSS

!�����

��������

�������G+���<=�&�!"����<=���0������������������}3,2:{ ≥≥= mnbal

mn��� �����

!"����<=�λ|

|

bBB

bbbBaAA

aaAS

+���<=����������������λ|

|

BaB

BaaAbA

AbbbS

��

���G*��������������D ��������}0,2|{ ≥=+= kkmnbal

mn��� �������������������������������������������������������������������

`��'�

λ

λ

λ

|

||

|

|

|

EaaE

EDbbD

BaaB

BaAbbA

DAbS

��

��

�G������-������������������ ������}0,|{2

≥=+

mncbalmnmn�7������

`��'�bcbAcA

aAccaSccS

|

|

→ ��

G����������_����������}0|{ >= ndcbalnnnn���� ������

`��'�

dddD

cccC

bbbB

BccB

CddC

BddB

abcdaSBCDS

→ |

��

� �&������������

b

a

a

��

b,c

S B

a b

c

20

����������

�� ����������1L��2L����������2

1

L

L������� ��� ���������������������������������������

},|{ 21

2

1 LyLxyxL

L∈∈=���

����� ��},,,{1 baabbaababL = },{2 babL =������2

1

L

L�!����"��#������$��%�&},,,{2

1 abaaaL

Lλ=��

����� ��**

1 baaaL = *

2 abL =������2

1

L

L�!����"��#�������

'!(���&��)� ����!*�+� �2

1

L

L���DFA����,�� �1L������-!����-�)����.����/0���DFA�������*� !1�)2�+�����!( �������

�-!����-����������-!������� �������%��+�����!( �3��3���������4���DFA����,�� �1L5���������!( ����3�� ����� ����

� !6�7������ �-!� ��8�9����!( �����9:���)� ��;����������+���<����=���;2L����-!�������!*���!( �)���>������!( �)2��

����8�9�DFA�.����������!( �����)� ���6���������������+��?���@>�DFA�.�����)����2

1

L

L����������

���������<6��-!6A��B�>��"6��-C��+���)�����>���D���

������ �������� �!����&��

� � �},,,{ PSTVG =�7!���E����� ����������7<����BA<6����P�BF�����xA →���-������������*

)|( TVx

VA

∈���

�����&�)���l����BA<6� � ��)2�+� ��)��<�� �����������7<����BA<6����� ����!*��<���

�7<����BA<6�)����3���������-C��)���� ����!�9G�)������� �������%������4Context Free�5���������)����@H�nn

ba � ��������λ|aSbS →�����7<����BA<6�)����3���������!�������)����������}|{ mnbal

mn ≠=�!���I#�����

0q�

b b

3q�

a,b

1q�

b

a

2q�

a

a

b

0q�1q�

a

2q�

3q�

a,b

b a

b

a

b

a 0

q��

b

3q��

a,b

b

a a

2q��

1q��

DFA,�� ����1l� DFA�.���1l����*���!( �) ���

=2

1

l

l )|(

** += baaba

21

����7<����BA<6�)������������J�K�� � ������%������ �-!6��������)���� � ����

���

→≠

���

→≠

<

>

bbDD

aCbC

CDS

mn

aBbB

aaAA

ABS

mn

mn

mn

|

|

|

|

λ

����B!FL�����)�����9�2�M��<%�� �����7<����BA<6� � �� �� ���������'(� �������

�"���#������$%�&'�&��

�����������N�A<�������KO � ����� �������7�PQ��%� !R<�7� ������-!8��������N�A<���B��O�N�A<�������

�#������$%�&'()�&��

������ST�N�A<������B��O�N�A<����-!���7�PQ��%���� !R<�7� ��ST�����N�A<�������KO � ����� �����

�����&7<����BA<6� � ������%�����λ|.3

.2

.1

AB

bBbA

aABS

�<���+� ��abbbb�N�A<���3�� ������N�A<���3������ � ��)�����U>����

�!�����!*�ST���abbbbabbBbbabAbabBbaAaABS →→→→→→ 323231�����N�A<������

abbbbabbbBbabbAabbBabBbBaABS →→→→→→ 323321ST�N�A<������

�����&�������%��)2�+� ��ST�N�A<���3��BE��O� ������N�A<���3��BE��O������� � ��3��)�����U>�+���<��� ����

�����&� ���BH�+���<���+� �W� � ��)�����U>�G� � ���� ����!*�ST�N�A<���3������!����������N�A<���3������!��)��<��G����

������V������-9"� � �����

�����&��� � ��+�� �����)����V��bB

AaaA

aaBABS

|

|

�!���)�L�������

aabaaBAaBABS →→→→�S%����

�������������������aabaaBS →→�ST���������<���+� ��)�Taab-9"� � ��/*���������% �ST�N�A<��� ��4V��5�������

�����&� � ��+�� �����)����V��AABA

ACA

CBAS

011,0

1,0

1,

→→

→→

→→

�!���)�L�����

0110011010 →→→→→ ACBAS��1.

������������0110011 →→→ AAS �2.��

�����)�T=�����!*�ST�N�A<��� ����������N�A<��� ������W��)�����-����<���� !R<�3��=�4=�����E G�X!��5����-9"� � ��.�O� ������������&����V��� !1�)����)2��� ����!*�V��� !1� � ��3��)����3��+� ��)��<�� �������

22

�����&������!:������)�������8��� � ��������������Y� ���-!8���V������Z����)����)2����<6��V�������

�*&���� �����+� �'���',4NPDA�5:���

�J G���},,,,,,{ 0 FZqQM δΣΓ=�����������������Q:�������<�+���>��DState����������Σ:���)����+�"W:�� �������� ����������0: qM ����!( �4����+�U>Q����������������������������5Γ:����������������������<L*�+��"W:�� ��δ: �:�O� !R��[��� ��������������������� �Z:����\K�<�ΓL*�7!��*� ������)�L������<���������������������

F:����+���>���D� ��� Q���4����*��]�O5

�����)��������!���O� ;�+���<L*�+�����2

}0|{ >= nbalnn�� �?0���������������$��%

������������������������������������

�^� ���}100{},110{**

2

*

1 == ll��"6��������2

1

l

l������!*�������

��

BO�&���<��DFA�)�������,�� �1l-!����-���������

��

1

2q�

1q�

0

0q� 1

tq�

0,1 0 0,1

1l ���,�� �� DFA DFA���!( �) ��� �.�������*���

0q

0q

1

tq�

0,1

1

0 0,1

2q�

0

1q�

=2

1

l

l *

10=

0

z 1

z 1 → �→ )01,()1,,( 00 qaqδexamplefor

*)(: Σ×→Γ×Σ× QQ λδ �

-.�/��0�1%��'

),(),,(:

),()1,,(:

),()1,,(:

)11,()1,,(:

)1,(),,(:

1

1,1

1,0

0,0

0,0

zqzq

qbq

qbq

qaq

zqzaq

f→

λδ

λδ

λδ

δ

δ

0 ,1

0

1

1

1 0,1

0q

q

1q

q

tq

q

2q

q

23

�^����� � ��J�9����

��

abS

S

aSbS

G

.3

.2

.1

: λ�!���)�L��������������������������������������$��%abS

abaSbS

→→3

21

��<���+� ��)�TabST�N�A<��� ��4��������5 ��/*��������% ����-9"� ����

�^� � ��J�9�����

��

λS

bSaSS

aSbSS

G

.3

.2

.1

:����!���)�L�����abababaSbSabSaSbSS

abababSaSbSaSbSS

→→→→

→→→3131

321

��<���+� ��)�Tabab ������-9"� � ��/*��������% �ST�N�A<����

�^� � ��J�9�����

��

λ

λ

|.3

|.2

|.1

:

bBB

aAaA

AaSbBS

G��!���)�L�����

aaaabbaaaabBbBaaaaSbBbBaaAaSbBbBaaSbBAaSbBS

aaaabbaaaabbBaaaabBaaaaSbBAaaaSbBAaaSbBAaSbBS

→→→→→→

→→→→→→→312121

3312221

��

+� ��)�T�<���aaaab����-9"��;�� � � ��/*���������% �ST�N�A<��� �����

�^ � ���!������Y�

��

��

+→

baE

EE

EEE

EEE

G

|.4

)(.3

*.2

.1

:����-9"��bbaEEaEaEEE

bbaEEEEEE

+→+→→→

+→+→+→

****

**

4142

421

��K�%�+� ��)�Tbba +*����-9"��;�� � � ��/*���������% �ST�N�A<��� �������^�)���� � �)}()(|)10({ 10

*wNwNwl =+∈=�!6��������������&��$��%������������������������������&

λ→

S

SS

SS

SSS

01

10

��

�^�-C�����">�+� �***cba�!6�����-C�� � ��3�����������$��%������������������������������&

λ

λ

λ

|

||

|||

cBB

cBbAA

cBbAaSS

^�<����BA<6� � ���)����=������!:�������!6�����}0|{ imncbalimn ≤+≤=��������

�����������������������������������������������������������������������������������������������$��%������λ|

|

|

cBB

BbAcA

AaScS

24

�������� ��� ���������������������������������������������� �!�����!" ����

�#}1|{2

>= nbalnn$�%����������������������������������������������������������������������������������������������������

),(),,(:

),()1,,(:

),()1,,(:

)111,()1,,(:

)11,(),,(:

1

11

10

00

00

zqzq

qbq

qbq

qaq

zqzaq

f→

λδ

λδ

λδ

δ

δ

��

��

�#�})|(|{*

bawwcwlR

∈=$�%������������������������������������������������������������������������������������

),(),,(:

),()0,,(:

),()1,,(:

)0,()0,,(:

)1,()1,,(:

)00,()0,,(:

)01,()1,,(:

)10,()0,,(:

)11,()1,,(:

)0,(),,(:

)1,(),,(:

1

11

11

10

10

00

00

00

00

00

00

zqzq

qbq

qaq

qcq

qcq

qbq

qbq

qaq

qaq

zqzbq

zqzaq

f→

λδ

λδ

λδ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

���

�#}1,|{ ≥=+

mncbalmnmn������������������������������������������������������������������������$�%�������������

).(),,(:

).()1,,(:

).()1,,(:

)11.()1,,(:

)11.()1,,(:

)11.()1,,(:

)1.(),,(:

2

22

21

11

10

00

00

zqzq

qcq

qcq

qbq

qbq

qaq

zqzaq

f→

λδ

λδ

λδ

δ

δ

δ

δ

��

�#}1|{3

≥= ncbalnn$�%�������������������������������������������������������������������������������������������������

),(),,(:

),()1,,(:

),()1,,(:

)11,()1,,(:

)1,(),,(:

),(),,(:

),(),,(:

),(),,(:

4

44

43

33

33

32

21

10

zqzq

qcq

qcq

qbq

zqzbq

zqzaq

zqzaq

zqzaq

f→

λδ

λδ

λδ

δ

δ

δ

δ

δ

��

25

�#*)|(|)()({ bawwnwnl ba ∈==�������������$�%��������������������������������������������������������������

),(),,(:

),()1,,(:

),()0,,(:

)00,()0,,(:

)11,()1,,(:

)0,(),,(:

)1,(),,(:

0

00

00

00

00

00

00

zqzq

qbq

qaq

qbq

qaq

zqzbq

zqzaq

f→

λδ

λδ

λδ

δ

δ

δ

δ

��

�#}3,2,|{ nmnmnmbalmn

====$�%��������������������������������������������������������������������

),(),,(:

),()1,,(:

),()1,,(:

),()1,,(:

),()1,,(:

)1111,()1,,(:

)111,(),,(:

)111,()1,,(:

)11,(),,(:

)11,()1,,(:

)1,(),,(:

4

44

43

42

41

33

30

22

20

11

10

zqzq

qbq

qbq

qbq

qbq

qaq

zqzaq

qaq

zqzaq

qaq

zqzaq

f→

λδ

λδ

λδ

λδ

λδ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

��

�#},{},{ bawwlR

=Σ=����������������������������������������������������������������������������������������������$�%��

),(),,(:

),()0,,(:

),()1,,(:

)0,()0,,(:

)1,()1,,(:

)01,()1,,(:

)00,()0,,(:

)10,()0,,(:

)11,()1,,(:

)0,(),,(:

)1,(),,(:

1

11

11

10

10

00

00

00

00

00

00

zqzq

qbq

qaq

qq

qq

qbq

qbq

qaq

qaq

zqzbq

zqzaq

f→

λδ

λδ

λδ

λδ

λδ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

���

��

�#�*)||(),()()( cbawnwnwn cba =Σ=+$�%������������������������������������������������������������������

),(),,(:

),()0,,(:

),()0,,(:

)11,()1,,(:

)11,()1,,(:

),()1,,(:

)00,()0,,(:

)0,(),,(:

)1,(),,(:

)1,(),,(:

0

00

00

00

00

00

00

00

00

00

zqzq

qbq

qaq

qbq

qaq

qcq

qcq

zqzcq

zqzbq

zqzaq

f→

λδ

λδ

λδ

δ

δ

λδ

δ

δ

δ

δ

��

26

#�}1,0|{ ≥≥=+

mncbalmmnn$�%�������������������������������������������������������������������������

),(),,(:

),()0,,(:

),()0,,(:

)00,()0,,(:

)0,(),,(:

),()1,,(:

)0,(),,(:

),()1,,(:

)11,()1,,(:

)1,(),,(:

2

22

21

11

11

11

10

10

00

00

zqzq

qcq

qcq

qbq

zqzbq

qbq

zqzbq

qbq

qaq

zqzaq

f→

λδ

λδ

λδ

δ

δ

λδ

δ

λδ

δ

δ

��

�#}0|{21

≥=+

nbalnn������������������������������������������������������������������������������$�%��������������

),(),,(:

),()1,,(:

),()1,,(:

)111,()1,,(:

)11,(),,(:

),(),,(:

2

22

21

11

11

10

zqzq

qbq

qbq

qaq

zqzaq

zqzaq

f→

λδ

λδ

λδ

δ

δ

δ

��

��

��#}1,|{ ≥= mncbalnmn��������������������������������������������������������������������$�%������������������

),(),,(:

),()1,,(:

),()1,,(:

)1,()1,,(:

)1,()1,,(:

)11,()1,,(:

)1,(),,(:

2

22

21

11

10

00

00

zqzq

qcq

qcq

qbq

qbq

qaq

zqzaq

f→

λδ

λδ

λδ

δ

δ

δ

δ

���

��

������������ �

27

����������

����λ ���������

���������� ������������λ���������������������������������� �!�������"#�$�����������%�λ��&��'�(�G���&�������(�λ−L����

��������%)���*�+�,�-������.�/λ|0 SS →0���(��1�����%�0s-2%�&��3�4%�����5��λ�&�����6���.�/�)��'��

7�8���λ����(������λ|asbs →����������'�9��:abaSbS

SS

|

|0

→ λ��

��

!��)+��:���������7�8�babbAB

abbCababbACaaAaA

|

|||

→�

babbAB

abBCaaAaA

|

||

→��

����������������������3�4%����;��������<�-��=�������������&����.�/���>���;����?%��-�&��*�����!�����/�!��������@���A5�%��

�&�B��! �� ��"���2%�&�'���&�!���/�*�� �����(�C�����������������.���%��0������@������'��

7�8��'����(���aAA

AaSbS

→ || λ����������S��C��A%�����������*��D� ��aAA →�E������B��%�����!�3���&�����F����.�/�����&���G��A�%�

H��C����������������������,��������%������������%�����<�/�E���'��

7�8�'����(���bAB

aAA

AS

λ|���G����2%�&��3�4%�������$��E��B���%�������<�/�E���H��C�������������B��%�������.�-��������:%����

������������,����/�!��%������'

�������������I���%J���

";&��!��������VBA

BA

,���������0��������� ��;��������@��K ������!���$�.���(��:����;����L�%�;��0�������!+�$�%����(������

���� �!������*�&����M����%��5���������!/?���!��N/ �-�-�������:%����,�0�����$���������!���$�.����!O���,���G����D:����������K

�&���&������:%����,����;��0����������$����!��!.��3����������������+��:����������*��D� �� ��K �����*�&���>������:�0������K �-��$��0PNQ��%���$����!���.%��;����L�0������*��N�������;����������R%�D/�0������ ���.%������(���N��-*�&���>������:�����(����'��

7�8��'����(�;��0�����BbcaA

bbAB

BAaS

||

|

|

��������������������������������������������������'��

�;����L�0��������������(��:����;��%�������!���$�.�������

�!+�$�%����(����������G������M����%��5���������!O����*�&����������!��� �����(��:�/��������������������������������

bcaBAB

bbABA

bcaSAS

bbSBS

|

|

→�→

→�→

→�→

→�→

����

���%,�!��� �'�

�� �

���)(�S���/���1�%2�������6�"�#��";&��!O����9��:��'&����������T�������G����2%�&��.��B%��������������/�!��%����������<�/��,���B��%����-�������! �� ��H��C����0�������' ��

�1�����������(���� �*��

S�� B��

A��

��

��

×→

bbbcaA

bcabbB

bcabbAaS

||

||

|||2,1

bcaA

bbB

aAS

|→

���%���L�0�����

BA

AB

BS

���%�0�����������

28

����������������

�";&��!��������AaA →����(�UT�!�=(��������������'��,�����TaVA ∈∈ ,��

";&��?�N3����UT�!�=(�����������������bAaA |→�����!��*��D� ������*���������&�!��*����������R��B5��:�/��abaaaAaaaAaaAaA ���→→→����(�����&�!��1�V��bAaA |→@��������!����.�/����!O����&��b�

=.%�WF=�������3/���,�7�B����%��$����a����&����N������������X������(���� ��!����KX��$������UT�!�=(���%�������.�/�

�&�B�'������(aTT

bTA

→����!���������9�AQ��>����'��

Y.� ���!���"�!#��$#������ ��Z���0�����������(N��R��[�%�����!;����,��5����),,( VCBABCA ∈→����),( TaVAaA ∈∈→�&�I%��������!B���/���J�

9 �"�!#��$#�%�&�#������ ��Z���0�����������(��";&���,��5����N��*aVA →�&�'��

7�8�'����(�AcB

aaBA

ABaS

�!;$��T�7�����Z����������B�'9��:���

→�→

��

��

�→

��

��

�→cT

ATBAcB

bT

TTT

TTA

aabA

aT

BTT

ATS

ABaA5

5

4

423

32

2

21

1

��

7�8��'����(λ

λ

||

|

ABAaB

bABA

abABS

���B�!;$��T�7�����Z��������'9��:�*�5������������!���������;��*�5���%'��

�������#����IA%B�J��=��)��S�����!��"N5�'��

7�8��'����(aaabSbS |→�����B�\�B��(�7�����Z������'�"��

�1�������������������9�6�7�8��@����@�NFA������������ ��}12)(,2)(,)|(|{

*+==∈= kwNkwNbawwL ba���� ����'�AP$��0���"��������

������NFA�]���}2)(|)|(|{

*1 kwNbawwL a =∈=�����!��� �������

��

K NFA]����}12)(|)|(|{*

2 +=∈= kwNbawwL b�����!��� ����� �������������������������������������

"�!#��'��#!�#�

{ 3136

61

35

51

4

3

432

1

21

TTSabSATT

TTSabAS

BTT

TTSabBS

ABT

bT

TTT

aT

TTS

abABS →�→

���

→�→

���

→�→

���

���

=

�→

���

→�→

��

��

�→aT

aTSaaS

bT

bSTT

aTS

abSbS3

3

2

21

1

bbAbBbABB

aAaBaBAaB

bbAbBbABA

ababAabBabABS

|||

|||

|||

|||

1q

q

b

0q��

b a

a

0p

q

a

1p��

a b

b

29

�*�(���DFA�]����1L%�2L@�������F�%���&���&������DFA5�N>��%����� ��������%��0���^���&������=;}{ 0 nqq �4%��3�����1L�

%� -��&�}{ 0 npp ����� �3�4%� 5�N>��2L��&�� '@�DFA��3�4%� 5�N>�� !/����� 9�4� "[��� �,� ���� �3�4%� �� ����� !�� � �� ���:�

���12 , LL ������%�-� �)},(,),({)),,(( aqaqapq jiji δδδ =������DFA�3�4%� -"[���),( ji qq�%������(��_#��%��(��� ��!O�����3�4%iq�%jq���DFA6���&��!O�����3�4%���&��� '�!���(����� ��6

�������3�4%����!;���(��!O�����3�4%�9�F�������!.%��&�!��Z�>�������0�N�����%,�� ���������%��2�N�:�DFA�-���!O�����3�4%�H��6�

�!��!O�������H�M������3�4%������'�������6�����";&��9��:�[V6��'

���

�(��)�*�#+,����

10 pq��

00 pq

��

01 pq��

11 pq��

b

b

b

b

a a a a

������G�����������(��������������'��

��

��

λ

λ

|

|

|

:

bBB

aAA

ABABbS

G��

"��������G���A%B��G�����#�$����C��λ��G���%���&��!�S��G�����#�$����L���C��λ�&��!��'�!;��"�������!O���AN:�B&�Z�N/

��G���`):��,���a5����λ�&����B$�������G���0�����!O����=+��:�Z�N/�%������!�������7%�:�"6������-λ�!��� ������������

�����!����.�/�����=+��:�0���0���(��1���������0������%����%,�'��

����

ABbS

BbS

AbS

bS

ABb

S

→−−−

→−−

→−−

→−

λ

λ

λλ

ABS

BS

AS

S

AB

S

→−−

→−

→−

λ

λ

λλλ

aAA

aA

aA

A

→−−

→− λ

bBB

bB

bB

B

→−−

→− λ

����Z�N/�)����6,����%������!��0�)+��:����0������!��N/�����X���λ�����L�������!�����������λ→S��T���λ��&�!����.�/�����_ �/�'��

��

��

��

=′

bbBB

aaAA

ABABbAbBbABbS

G

|

|

||||||| λ

��

��������(�����

��

bBAaSB

BbaAA

BAbabAS

G

||

||

|||

:;���5����I���%J�����������'��

�����������(��:����;��%�;����L�0���������!���$�.�'����

�!+�$�%����(���������G�������M����%��5���������!O�����!��� ������*�&����'���

��

��

��

��

bBAaB

baAA

babAS

|

|

|

���%���L�0�����

SB

BA

BS

AS

���%�0�������������

S�� B��

A��

30

����R��<���,�!��� ���!+�$�%����(������:���������$���%��������%��5���'���%���L��5����*��N����5����0������ �!��������:�����( �

��

��������6�%�%��";&�����:�����(�������������������������������'����������������������������������������aAbabAbBAaB

bBAaabAbaAA

bBAaaAbabAS

||||

||||

||||

��������������������������������������������������������������������������������

��

�������(���������D����L�������G��G����������%�*�������X���'������������������������������������������������

����

����

EFeM

dD

FF

eeEE

bbBB

baBA

DbbaBS

G

D

ff |

|

|

|

||

:��

9��:�������&�������G�D� ��!N��`�BD.���I�����!������J`):�������G����#��%A�������! �� ��2%�&��.������'��

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������

→=′

bbBB

baBSG

|

| ��

�b�Z�������(�\�B��(�7�����λ|| bSbaSaS →��$�������'��

�7%��Z�(�!�=(���0���L,���N�����������������λ→

→′

S

bSbaSaS

SS

|����

�Z%��Z�(�������������������������bbaabSbaSaS

SS

|||

|

→′ λ����

�Z� �Z�(�Z����0�&����\�B��(�!O����bB

aA

bBaAbSBaSAS

→ |||

����

����Z������(�!;$��T�7�����G��$��������'�����������������������������������������������������������������������

λ||

||:

bDbaDaD

aDbaSbSG��

�Z�(7%��������������������������bbaabDbaDaD

abaDbaSbS

|||

||

→����

��

�Z%��Z�(����������������������������

bB

aA

BBAABDBADAD

ABADBASbS

|||

||

����

��

�Z� �Z�(���!;$��T�7�����!O����Z�����

aA

DBT

DAZ

BBAABTAZD

DBY

SBX

ABAYAXS

|||

||

��

babABSB

baABAB

bBAaABA

babAASA

bBAaSBS

baASAS

|

|

|

|

|

|

→�→

→�→

→�→

→�→

→�→

→�→

31

���������

�� ���������������������� ������������������������������������������������ !�����"#$����%��������������

&�'�(� ���)#�*+���*��������,��-�� ��������� ���'�(�#&�.��) ��/�01���2��3������4 ��*� &�-���������������.

� &����.���5��%� 6����57��� 0������8�9�'�(�4���������� ��:����'�(�4�� ��������#�;�����#<��������%��=�(�#&�����#� �����#��>9�������"#$�������*�-�� ��������(�#��#&�����3���������4 ��*�?��

��

Q��������@A������5B���

��4��%���CD=��

��������CD=��

��6�7��#�E��F�����

0q����������=���=����

���������CD=��G�H����4�#���� !����,�I��

fq���2�J��@A������5B�H���5B��#�%%���QI��

�������6�7��#��E��F���},{: RLQQ ×Γ×→Γ×δ���,����� ������},{ RL &�����4�K��������������������#���JL����?��

��/�0��������3<��,M�),,(),( 10 Rxqaq →δ���������4���������6�7�����#;�0q�����#�;��#<�����%��=�(�����#���3������4 ��*� &�

��,�a�6�7����� ���� ���) &�K���1q�E���'�(�4�5&�%��� &���=���#a�4����L������)�#��"N���x�������*�-���� 0��������5���

�����#����?��

'�M��?������������{{��

��

=

=

=

),,(),(

),,(),(

),,(),(

:

1

11

10

Lqq

Rbqbq

Raqaq

M

f ��δ

δ

δ

��#�NO����������%��9�?H������#<������ 3������3������4 ��*� &�������P# ���I��

Q�L?�6�7���������� 3�����0q������#<��3������*���=������3������4 ��*� &���/�30&��6�7������0q/��������R1 �a�SO�./���C����

����T5&��#�NO�����������������2�&��3���������J� �a��=��4 ���U!������=�� �������V�#��a���1q�6�7��#��E�������/�&�����1q�

)�:=��� 6��������/�&��4���O���*����������) ���F�#��/�����������/&b4��%������������6��/���C��*ab�#�NO������?��

'�M��?4��%���� ������#$��T�����������1000*���#�NW��?��

Q�L?

���

���

=

=

=

=

=

),,(),(

),0,()0,(

),1,()1,(

),0,()0,(

),0,()0,(

:

3

32

21

11

10

Lqq

Rqq

Rqq

Rqq

Rqq

M

f ��δ

δ

δ

δ

δ

����

'�M�?4��%���� ������#$��T������������}1,{ ≥= nbaLnn�#�NW����?�����������������Q�L?��

��

��

�� �&��3�������

FC

head

Writead /Re

-�����������M������������������)���4�K���2����D&�-����������������������������������������������������},,,,,,{ 0 fqqQM �δΓΣ=

�������

�������

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

),,(),

),,(),(

),,(),(

),,(),(

),,(),(

),,(),(

),,(),(

),,(),(

),,(),(

),,(),(

:

3

33

30

22

11

02

22

21

11

10

lqq

Ryqyq

Ryqyq

lyqyq

Ryqyq

Rxqxq

laqaq

lyqbq

Raqaq

Rxqaq

M

f ��

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

32

�� �����3����#�����8����7����@�C�!���#�� ��������������������#����#$������������������������ �9�4�������3��.��7����@�C�!�����

�����;�Q�L���) �X�O?

'�M��?� ����xy,�C�!���#���T������������ ��) ��)���yx + ������#$�?��

Y�!Z�� ��#&��%���������@��Z�����������[��n.n� �����1����. ����F5L�������� �&�*��������� �����#&�./�������)#�*+����������

�\�B��%� 6��/�&�*����]/�������)#�*+�#DZ���,��-��� ����������� ���� L�/&�%�� ������������#���� �������)#�*+��������) ���3D;����

��F5L��Z���������R���F5L��5�����) ����������) ���3D;�@��Z���?�-�������� ���������#DZ�� ����������/�&��\�B�� �������������J��

������2�J3��-��P������.��Q�(^��F5L��Z���%�#3K��� ���-���Z�����&�-��� 6������������/������ C���/��������� C�?��

�����������������������������������������������������Q�L?

),,()1,(

),,(),(

),1,()0,(

),1,()1,(

1

10

00

00

Lqq

Lqq

Rqq

Rqq

f �

��

=

=

=

=

δ

δ

δ

δ

��

���������������������HCS�I��

���;��3�����_�0����&�#�#;� ����#�%��������4�� ��<�\�5������2�&�#�#;����������?��

�����������������������������������������������������������������������������������������������������

||||

)|(

)|(

*

BA

VTB

VTA

BA

+

� ���;��3�����_�0��4��%�.������3�����_�0����&�#�#;�.��J����#��4�3������2�&�4��%���? �

����3�����_�0����&�4��%λ`#��#�%� �����5�� �=�����|||| BA ≤�������U1��?

��������L�����4� ���3��%��130����&�4��%�������J� ���3�����_�0�����3��%��130����&�#�#;�a���6��&�4��%�%�������5B��#�%�

����3�����_�0�?�

������ ���!�� �

�b�������R�������%��9}}{,,,},,,{},,{},,,,{{ 303210 qqbabaqqqqM �� δ�=���#��E��F�������

),,(),(

),,(),(

),,(),(

),,(),(

),,(),(

),,(),(

32

22

31

11

20

10

Raqaq

Rbqbq

Rqq

Rbqbq

Rbqbq

Raqaq

=

=

=

=

=

=

δ

δ

δ

δ

δ

δ

����������3 #�NO��?��

Q�L�?4��%}1,{}0:{ ≥≥= nabnabLnn

��#�NO������?��

���4��%�����6�7����#M�� ������������������-�*)(( baaL + ������#$� ������'�C<����? ����P# },{ ba=�����������������\�B������ ����

��#�NO�4����/&��36�7����?��

���������������������������������������������������������Q�L?

),,(),(

),,(),(

),,(),(

),,(),(

1

11

11

10

Lqq

Rbqbq

Raqaq

Raqaq

f �� =

=

=

=

δ

δ

δ

δ

��

�/���3����3C=����@��Z�������/�����%��)���O��6�7����������4��fq4����L������)�#��"N����1q/�#�NW���2�J���6�7��4���������?��������

33

�b4��%���� ������#$��T������������)(*babal�#�NW����?� ����P# },{ ba=��

Q�L�����������������������������������������������������������������������������������������?������

�b�4��%���� ������#$��T�����������}1,2|:|)|({* ≥=∈= kkwbawL�#�NW����?� ����P# },{ ba=Σ��

Q�L���������������������������������������������������������������������������������������?

),,(),(

),,(),(

),,(),(

),,(),(

),,(),(

),,(),(

),,(),(

2

12

12

21

21

10

10

lqq

Rbqbq

Raqaq

Rbqbq

Raqaq

Rbqbq

Raqaq

f �� =

=

=

=

=

=

=

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

��

��

),,(),(

),,(),(

),,(),(

),,(),(

),,(),(

3

32

22

21

10

lqq

Rbqbq

Raqaq

Rbqbq

Raqaq

f �� =

=

=

=

=

δ

δ

δ

δ

δ