АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2012, том 58, № 2, с. 193-199

НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА

У Д К 539 .2 .01:548 .4

Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е У Е Д И Н Е Н Н Ы Е ВО Л Н Ы В НЕЛО КА ЛЬНО У П Р У ГИ ХТВ Е Р Д Ы Х ТЕЛ А Х

© 2012 г. Е. А. Памятных, А. В. УрсуловУральский государственный университет им. А.М. Горького

620083 Екатеринбург, у я. Ленина 51 E-mail: Audrey. Ursulov@usu.ru

Поступила в редакцию 19.07.2011 г.

Показано, что в нелокально упругих средах возможно существование нового типа слабонелиней­ных уединенных волн. Свойства этих волн определяются особенностями закона дисперсии волн в линейном приближении, а их скорость и амплитуда не могут превышать некоторых предельных значений. При малых амплитудах и скоростях, близких к скорости звука, профиль рассматривае­мых волн соответствует профилю солитона, описываемого уравнением Кортевега—де Вриза. В слу­чае же, когда амплитуда и скорость волны достигают своих предельных значений, происходит ха­рактерное заострение профиля волны. Сделан вывод о возможности распространения таких волн в горных породах и почвах.

Ключевые слова: нелокальность, солитон, волна предельной амплитуды.

1. При исследовании нелинейных волн в упру­гих твердых телах обычно ограничиваются пред­положением об отсутствии пространственной дисперсии или ее слабости [1—91. Это предполо­жение оправдано для достаточно плавных возму­щений, когда длина волны возмущения велика по сравнению с масштабом структурной неоднород­ности среды. При рассмотрении таких возмуще­ний учет слабой пространственной дисперсии можно осуществить за счет добавочных слагаемых в законе Гука, содержащих высшие производные от тензора деформаций. Однако во многих случа­ях такое описание становится недостаточным и необходимо использовать более общую н ел окал ь- ную теорию упругости. Необходимость в послед­ней возникает, например, при описании упругих свойств статистически неоднородных сред, геоло­гических сред, композитных и конструкционных материалов, кристаллов с дефектами, а также воз­мущений в идеальных кристаллах в случае, когда характерный размер возмущения сравним с по­стоянной решетки |3, 9— 181.

В основе нелокальной теории упругости лежит уравнение состояния, которое с учетом первых не­линейных слагаемых может быть записано в виде:

Оу = |% / (г - г>*., (г’) dr' +, r (1)

+ - j Ь0-ш „(т - т',г - r'')ukJ(T')un n (r")dr'dT '\

где а у — тензор напряжений, ии = дик/дх ,, ик —компонента вектора смещения, aijkt,bijklmn — ядра линейного и нелинейного тензоров модулей

упругости соответственно. Уравнение динамики такой среды в лагранжевых координатах имеет стандартный вид

где р — плотность среды. Система уравнений (1) и(2) описывает достаточно широкий класс слабо нелинейных упругих возмущений с учетом силь­ной пространственной дисперсии. В случае, ко­гда пространственная дисперсия слабо сказыва­ется на нелинейных эффектах, выражение (1) можно записать в виде

V,J = J%/ (г - г'К/ (ГУ Г' + Т;РJklmPkjUmj» *3>

где

Р IJklm = \t>ijklmn{r\r")dr'dr". (4)

В настоящей работе исследуются уединенные вол­ны в упругих твердых телах с уравнением состоя­ния (3), в котором ядро aJk/ соответствует закону дисперсии линейных волн, имеющему максимум.

2. Для продольных одномерных возмущений, распространяющихся в изотропных твердых те­лах, а также вдоль осей симметрии высокого по­рядка в кристаллах [1—6], выражение (3) прини­мает вид

+СО

<т = а | у (х - х ) их. (У) dx + Х- ри].-СО

1 9 3

194 П А М Я Т Н Ы Х , У Р С У Л О В

где а = а д.д., а — линейный модуль упругости,£

<г> М-со, d yL dz йхххх ^ л ^ Р = P»»«. и* =

= ди/дх. Из (2) и (5) получаем уравнениесо

« я = с ] | у ( х - x 'K v ( * ’) d x ' + Г | ихи ^ (6)-со

где С/ = у а /р — скорость звука, г\ = p/р — коэффи­циент нелинейности. В отличие от известного уравнения Уизема [19, 20], описывающего нели­нейные возмущения в гидродинамических моде­лях, интегро-дифференциальное уравнение (6) содержит не первую, а вторую производную по времени.

3. Линеаризованное (г) = 0) уравнение (6) хоро­шо изучено [9] и приводит к уравнению дисперсии

(О2 = с 2у (к )к 2. (7)где

сс

У ( * ) = j" dxy (х)е-ikx

( 8 )

-СО

— Фурье-образ ядра у(х). Требование, чтобы в длинноволновом приближении {к —> 0) закон дисперсии был акустическим (со = с,к), приводит к условию нормировки

J dxy(х) — 1. (9)—со

Во многих случаях закон дисперсии со = о)(к) имеет максимум в некоторой точке к = к0. Нали­чие этого максимума может быть обусловлено различными факторами: взаимодействием атомов кристаллической решетки с дальними соседями, сильным электрон-фононным взаимодействием и т.д. [9, 21]. В точке к0 групповая скорость обра­щается в нуль:

д(АV £(*о) = дк

= 0. ( Ю )к=к0

Рассмотрим частный случай ядра, приводящего к максимуму в законе дисперсии и удовлетворяю­щего всем перечисленным выше требованиям:

У(х) = - | i 2§ ( x ) + (l + ц 2) у о ( * ) . ( П )где

/ N 4 0_

(J.2 = — -к*'1 + 2

/ \ 2£_

ч^0/

( 12)

а функция

Yo(x) = q~e-M (13)

является фундаментальным решением уравнения 119, 20]:

( ^ - 9 2) yoW = -<728(x). (14)

Параметр q определяет характерное расстояние на котором происходит спадание функ­

ции у0(х). Наличие в выражении (11) слагаемого с 5-функцией обеспечивает положение максиму­ма функции со - со (к ) при конечных значениях волнового числа к0.

Для линейных волн ядро (11) приводит к следу­ющему закону дисперсии

со = со(£) = с,к 1 -ч

О V )*к 2 + q 2

2'N(15)

Подбирая параметры q и к0, с помощью выраже­ния (15) можно аппроксимировать соответствую­щий закон дисперсии, полученный в экспери­менте. При малых к из (15) следует акустический закон дисперсии: со = с{к. Огметим, что переход к локальному случаю, когда пространственная дис­персия отсутствует, а закон дисперсии является акустическим во всей области изменения волно­вого числа к , осуществляется в (15) путем последо­вательного устремления к бесконечности сначалак0 при фиксированных q и к (к0 —> со, в результате чего р -> 0), а затем q при фиксированном к (q —» со, в результате чего обращается в нуль второе слагаемое в (15)). Это соответствует тому, что в яд­ре (11) исчезает первое слагаемое, коэффициент перед у0 (х) обращается в единицу, а сама функ­ция у о (х) становится 5-функцией (в выражении(14) при q —> со членом со второй производной дх можно пренебречь).

Функция со = со(&), согласно (15), обращается в нуль в начале координат (к = 0) и в точке

(16)*, = к ( \ . \ 2

Максимальное значение частоты равно

С00 = со(£0) =c,q

1 + 2 —

(17)

Видно, что при малых к{) (к0 < q, р 1) макси­мальное значение частоты со0 определяется вели­чиной к{): со0 « Cfk0 /yf2 , а при больших к0 (к0 > q,р 1) — величиной q\ со0 » c{q. При этом, как вид­но из выражений (11) и (12), при больших к0 пара­метр р мал: р 1 (в пределе при к{) — > со имеем

А К У С Т И Ч Е С К И Й Ж У Р Н А Л т о м 5 8 № 2 2 0 1 2

н е л и н е й н ы е у е д и н е н н ы е во лн ы в н е л о к а л ьн о у п ру ги х т в е рд ы х телах 195

[д _> 0), поэтому в качестве ядра у(х) выступает функция уоС*) ( 13):

У(х) *7оМ > ( ,8)которая, в частности, используется при анализе уравнения Уизема |19, 20|. Из выражений (15)—(17) следует, что в случае £0 —> со значение к { стре­мится к бесконечности: кх —> со, а частота со до­стигает своего максимального значения со0 = c,q при к —у со. В обратном предельном случае малых к0 параметр р, наоборот, велик,

2

, , 2 ~Р - 1V̂O.

> 1 (19)

и функции 8(х) и у0 (х) входят в ядро у (х) с одина­ковым весом р2, но с разными знаками:

у (х )* ц 2(уо(х)-6(х)). (20)Законы дисперсии в указанных предельных слу­чаях легко получаются непосредственно из обще­го выражения (15).

4. Покажем, что уравнение (6) с ядром (11) имеет решения в виде уединенных бегущих волн.Действуя оператором д2х - q2 на уравнение (6), по­лучаем

>2 Я2)(<5,2м + ch.Cd2xu -~ г \д хи;(21)

+ q2 с2 (l + |а2)д2и = 0.Булем искать решения уравнения (21) в виде ста­ционарных уединенных волн: и = и(^), £ = x — ct, с - скорость возмущения. Тогда для величины

У = г\ (22 )ч 0 + и л

с учетом граничных условийу(±со) = 0, У (±°о) = 0 (23)

(штрих означает производную по переменной £), получаем уравнение

(0? - л2 1 2 '

Г ' - у ,| + q 2d,y = 0, (24)

где

2S =

1 V ’z = ~ .

C l

(25)

Умножая обе части уравнения (24) на

a4(52j ; - i у 21 = (52 - у)У, после простых преобра­зовании получаем

(s2 - y f y 2 =где

g4 У (У y t){y Уг), (26)

352- 2 + ^4 - 352). (27)

Уравнение (26) но форме аналогично уравнению, которое получается из стационарного уравнения Уизема с ядром (13) и имеет решение в виде уеди­ненных волн [19, 20].

Уравнение (26) может быть переписано в виде

“ = ± т; - г — >Ку - У 1)(у - У 2 \ (28>d t 2 s - уа его решение непосредственным интегрирова­нием получено в явном виде

X In

X In

я

(л](у - У,)( у - У 2 ) + у ) ~ ( У 1

^ ( ^ У 2^{У ~У\)(У ~ Уг) +

Уз)

~{У\

(29)X

Угде — постоянная интегрирования. Анализ вы­ражения (29) показывает, что функция у(£) опи­сывает уединенную волну с амплитудой у }.

Убедится в существовании уединенных бегу­щих волн можно и качественно: если проанализи­ровать не выражение (29), а непосредственно уравнения (26) или (28). Уравнение (26) удобно для анализа на фазовой плоскости {уУ). Этому уравнению соответствует фазовая траектория, ко­торая представляет собой фазовую петлю, замкну­тую в начале координат, что однозначно указывает на существование решений в виде уединенных волн. В наличии последних можно также удосто­вериться и другим способом — из анализа уравне­ния (28). Заметим следующее. Граничные условия (23), условие ограниченности функции у(^) и условие положительной определенности правой части уравнения (26) приводят к неравенствам

0 < у < Уу < s < у 2, которые реализуются при

i < * 2 < 1

(30)

(31)

Из (28) следует, что когда у удовлетворяет нера­венствам (30), производная dyjdb, знакоопределе­на (положительна слева от максимума функции у = у (£) и отрицательна справа от него) и обраща­ется в нуль при у —» 0 и при у —> У\. Поскольку значение у —> 0 достигается при £, —> ±оо, а у { явля­ется максимальным значением функции у = у(^), то график этой функции имеет вид уединенной волны.

Из неравенств (30) следует, что амплитуда рас­сматриваемых уединенных волн положительна и р а в н а В общем случае значениеу } определяется как отношением скорости возмущения с к скоро­сти звука сь так и отношением величин q и к0 (см. выражения (27), (25), (12)). Поскольку функция

А К У С Т И Ч Е С К И Й Ж У Р Н А Л т о м 5 8 № 2 2 0 1 2

196 П А М Я Т Н Ы Х , У Р С У Л О В

у = y (Q положительна на всем интервале своего изменения, то, как следует из (22), знак произво­димой волной деформации их определяется зна­ком коэффициента нелинейности ту. при г\ > 0 мы имеем дело с волнами положительной деформа­ции (растяжения) ых > 0, а при г| < 0 — с волнами отрицательной деформации (сжатия) их < 0. Со­гласно (25), неравенство (31) приводит к следую­щим ограничениям на скорость возмущения с:

Сг < С2 < с02, (32)

где

— предельная скорость волны. Из (32) следует, что исследуемые уединенные волны существуют в ограниченном интервале скоростей с и являются сверхзвуковыми: с > с,. Кроме того, скорость с не может превышать предельного значения с0, которое существенным образом зависит от пара­метра р.

5. В случае, когда величина s2 близка к единице(s2 = 1 + г, 0 < г < 1), амплитуда волны у, мала (у, ~~ 52), а у < s 2 и у < у 2 ~ 4/3, уравнение (28)упрощается и принимает вид:

| = ± f f y ^ 7 \ (34)

Решение этого уравнения имеет профиль, харак­терный для солитонов, удовлетворяющих уравне­нию Кортевега—де Вриза |4, 5|

где с принятой точностью амплитуда волны у, и ее ширина А соответственно равны

у, * 3 (s2 - i ) , (36)

Г Г (37)qvs - 1Легко убедиться, что в принятых приближениях выражение (35) следует непосредственно из об­щего решения (29). Из выражений (36), (37) вид­но, что исходное предположение о малости ам­плитуды волны оправдывается именно за счет близости величины s2 к единице. По этой же при­чине ширина возмущения А велика. Отметим, что произведение

не зависит от скорости возмущения, а определя­ется параметром q. Используя выражения (22), (35) и (36), для деформаций получаем

(39)

где амплитуда а равна

<7«3|*(1 + ц2)(52 -1 ) , (40)

а ширина А определяется выражением (37). Из (38) имеем

а А 2 = 1 2 -E t iL . (41)Р <?'

Считая, что правый конец образца не смещен: а(+со) = 0, получаем следующее выражение для смещений

“=лаИ!Н­ (42)

из которого следует, что поле смещений и(^) име­ет вид кинка: график функции ы(%) испытывает перегиб при переходе от

и0 = и ( - со) = -2аА (43)*

при ^ —> -со к и(+со) = 0 при £; -> +сс. Амплитуда кинка и0 отрицательна, т.е. рассматриваемое воз­мущение является волной сжатия. Ширина кинка равна А и определяется выражением (37).

Рассмотрим некоторые предельные случаи. В случае, когда значение к0 мало (&0 q), согласно(19), (25), (36) и (37), получаем

2

Г « 1 + 2 23)Я

у - . ) .

а

V2k j z 1 -1

(44)

(45)

(46)

Из выражений (45) и (46) следует, что малость ам­плитуды а и большая ширина возмущения А обес-печиваются за счет малости величины z ~ 1 • По­скольку z = cjc,, то это означает, что скорость возмущения с должна быть близка к скорости зву­ка С/. Ширина возмущения А (46) и, соответствен­но, произведение я А2 не зависят от q, а определя­ются волновым числом А0. Кроме того, в рассмат­риваемом приближении, согласно (19) и (33), предельная скорость возмущения с0 равна

. .. 1'0Л к С/ (47)

ои может значительно превышать скорость звука с(. Амплитуда кинка (43) и0 и его ширина А (46) зави­сят от волнового числа &0, а малость величины и{) и

А К У С Т И Ч Е С К И Й Ж У Р Н А Л т о м 5 8 № 2 2 0 1 2

НЕЛИНЕЙНЫЕ УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ В НЕЛОКАЛЬНО УПРУГИХ ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 1 9 7

большое значение Д обеспечиваются близостью скорости возмущения к скорости звука.

В противоположном случае, когда значение &0велико (к{] q), s 2 * г 2, амплитуда волны а такжеопределяется выражением (45), а ее ширина Д определяется выражением

А « А • <48)qvz -1

Выражения (44) и (48) показывают, что малость амплитуд деформации а и смещения w0, а также большая ширина Д возмущения, как и ранее, обеспечиваются близостью его скорости с к ско­рости звука С/. В отличие от рассмотренного ранее случая, здесь ширина возмущения Д (48) и, соот­ветственно, амплитуда кинка щ не зависят от к0, а определяются параметром q.

6. Анализ выражения (27) показывает, что ам­плитуда у, не может превышать предельного зна­чения

Уо=~г (49)

которое достигается при 5 = 2/Тз. Таким образом, в рассматриваемой здесь задаче мы имеем дело с волнами предельной амплитуды, аналогичными тем, которые возникают в жидкости [ 19, 201. Ско­рость волн предельной амплитуды имеет макси­мальное из всех возможных значение:

с - с0. (50)Поскольку для таких волн

У\ = У2 =Уо = Л (51)то из (28) получаем уравнение

У = ± \ у- (52)Интегрируя (52) с учетом граничных условий (23), получаем

У = Уо ехр

Как и ранее, легко убедиться, что в соответствую­щих приближениях выражение (53) непосред­ственно следует из общего решения (29). Из вы­ражения (53) следует, что профиль волны пре­дельной амплитуды заострен на вершине. Угол заострения 0 равен углу между касательными в точке £ = 0:

0 = 2 arctg f e w ) ]\ 2 В ' ’)(54)

(Здесь волновое число q приведено к безразмер­ному виду путем деления на соответствующий единичный масштаб.) Угол 0 увеличивается при увеличении q и/или уменьшении к0 и достигаетмаксимального значения 0 т = п при q —> сс и/или *о -» 0.

Переходя в (53) к деформациям, согласно (22), получаем

= а0 ехр\

2 х - с 0 1■-

А У(55)

где ширина возмущения

Д = - (56)Я

полностью определяется параметром q. Амплиту­да волны деформаций равна

гдеа 0 - ат\п (57)

(58)

— минимальное значение амплитуды волны, кото­рое определяется отношением линейного а и не­линейного р модулей упругости. Из (57) следует, что когда волновое число к0 велико: к{) > q (р 1), амплитуда волны а0 принимает свое наименьшеезначение: а0 ~ amin. В обратном случае, когда кц <§ q (р 1), амплитуда деформаций велика

а 0 ~ °тах2азр Ч

1к

то/

и определяется не только значениями модулей упругости, но и значениями величин к0 и q.

Пусть sm — деформация, соответствующая пре­делу упругости материала. Требование а0 < г т приводит к ограничению на величину amin:

^min ^Для типичных упругих материалов гт < 10~\ чтоприводит к значениям (3>102а, превышающим значения нелинейных модулей упругости боль­шинства типичных материалов [22]. Столь боль­шие значения нелинейных модулей упругости экспериментально установлены для горных пород и почв, таких как гранит, известняк, песчаник, мрамор, суглинистая почва и т.д. [23—25]. Такие материалы в силу наличия у них внутренней структуры (пор, трещин, зерен и т.д.) являются флюидо- или газосодержащими, что приводит к аномально большим значениям нелинейных мо­дулей упругости Р > (102— 104)сх. Это создает пред­посылки для возможности распространения в та­ких средах волн предельной амплитуды не только с минимальными амплитудами а{) « ат[п, но и с ам­плитудами, превышающими минимальное значе­ние: а{) > amin. Такие волны будут распространять­ся, если ширина волны Д будет меньше характер­ной длины релаксации возмущения в среде £/.

А К У С Т И Ч Е С К И Й Ж У Р Н А Л т о м 5 8 № 2 2 0 1 2

198 ПАМЯТНЫХ, УРСУЛ OB

Д < £п что, согласно (56), приводит к тому, что ве­личина q ограничена снизу значением

4б min

е

Видно, что <7mjn тем меньше, чем больше характер­ная длина релаксации возмущения £г. Последняя определяется многими факторами: типом и свой­ствами среды, ее состоянием, характерными вре­менами (частотами) возмущения и т.д. [21, 26]. Экспериментально определяется декремент зату­хания, который, по порядку величины, пропор­ционален отношению ширины возмущения к длине релаксации:

о - ' - а1 г

Таким образом, условием существования волн предельной амплитуды является малость декре­мента затухания волны: Q ] <1. Это условие мо­жет выполняться для интересующих нас материа­лов (горных пород и почв). Так, например, декре­мент затухания “сплошных" (лишенных пор) консолидированных горных пород обычно непревышает несколько сотых: Q~l < 0.05 [27]. В по­ристых же средах (к которым относятся некото­рые горные породы и почвы) декремент затухания увеличивается, так как там основным механизмом затухания становится рассеяние на “мягких” мик- ронеоднородных включениях. Однако и там, если пористость среды невелика (порядка одного про­цента), коэффициент затухания может оказатьсядостаточно малым: Q~1 -0 .5 . Таким образом, вол­ны предельной амплитуды могут распространять­ся в горных породах и почвах.

Поле смещений и(£,) имеет вид кинка:

и = 2аоехр

2 -е х р ’Я %

г ;> 0.

£ < 0.(60)

Амплитуда кинка и0, как и ранее, отрицательна:

«о = и ( - с о ) =4а() _ 1ба1 + р' (61)q 3 (3 q

При конечных к{) функция u0(q) имеет максимум при q = к0, значение которого равно

Um = (62)9 (3*о

При малых q(q < ко) величина амплитуды смеще­ний |w0| изменяется обратно пропорционально q, а при больших q (q > к0) — пропорционально q. Ес­ли же к0 —> сю, то

16а 1«о = и(-°°) = 3 (3?

(63)

Из последнего выражения видим, что величина амплитуды смещений |и0| изменяется обратно пропорционально q на всем интервале изменения этого параметра.

Таким образом, в нелокально упругих тверды: телах возможно существование нелинейных уеди­ненных волн, амплитуда и скорость которых огра­ничены некоторыми предельными значениями. Условия существования и свойства этих волн во) многих случаях определяются наличием максиму­ма в законе дисперсии волн в линейном режиме. В! случае, когда амплитуда и скорость уединенно] волны достигают своих предельных значений, на­блюдается заострение профиля волны. В случае же малых амплитуд и скоростей, близких к скоро­сти звука, профиль уединенной волны совпадает с] профилем солитона Кортевега—де Вриза.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Зарембо Л.А., Красильников В .А. Введение в нели­

нейную акустику. М.: Наука, 1966. 520 с.2. Зарембо Л.А., Красильников В.А. Нелинейные явле­

ния при распространении упругих волн в тверды: телах / / УФН. 1970. Т. 102. Вып. 4. С. 549-586.

3. Красильников В.А., Крылов В. В. Введение в физиче­скую акустику. М.: Наука, 1984.400 с.

4. Энгельбрехт Ю.К., Нигул У.К. Нелинейные волны деформации. М.: Наука, 1981.256 с.

5. Наугольных К.А., Островский Л.А. Нелинейные волновые процессы в акустике. М.: Наука, 1990. 240 с.

6. Леманов В.В., Смоленский Г.А. Нелинейные эффек­ты при распространении высокочастотных упру­гих волн в металлах// Акуст. журн. 1974. Т. 20. № 3. С. 426-434.

7. Островский Л.А., Сутин А.М. Нелинейные упругие вол ныв стержнях //ПММ. 1977. Т. 41. № 3. С. 531 — 537.

8. Дрейден Г. В., Островский Ю.И., Самсонов А.Н., Се­менова И.В., Сокуринская Е.В. Формирование и распространение солитонов деформации в нели­нейно-упругом твердом теле / / ЖТФ 1988. Т. 58. № 10. С. 2041-2047.

9. Кунин И.А. Теория упругих сред с микрострукту­рой. М.: Наука, 1975. 416 с.

10. Онами М., Ивасимидзу С., Гэнка К., Синодзава К., Танака К. Введение в микро механику М.: Метал­лургия, 1987. 280 с.

11. Порубов А.В. Локализация нелинейных волн де­формации. М.: Физматлит, 2009. 208 с.

12. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: МГУ, 1999. 328 с.

13. Лисина С.А., Потапов А.И., Нестеренко В.Ф. Нели­нейная гранулированная среда с вращением ча­стиц. Одномерная модель / / Акуст. журн. 2001. Т. 47. №. 5. С. 666-674.

14. Graghoffer J.F., de Borst R. A new framework in nonlo­cal mechanics / / Int. J. of Engn. Sci. 2000. V. 38. P. 453-486.

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 58 № 2 2012

НЕЛИНЕЙНЫЕ УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ В НЕЛОКАЛЬНО УПРУГИХ ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 199

15. Pijaudier-Cabot G., Benalal A. Strain localization and bifurcation in nonlocal continuum / / Int. J Solids Structures. 1993. V. 30. № 13. P. 1761.

16. Lazar M., Kirchner H.O.K The eshelby tensor in non­local elasticity / / J. of Mech. of Mater, and Struct. 2006. V. 1. № 2. P.325-337.

17. Eringen A.C. Nonlocal continuum field theories. N.Y.: Springer, 2002. 176 p.

18. Duruk N., Erbay //. A., Erkip A. Blow-up and global ex­istence for a general class of nonlocal nonlinear cou­pled wave equation. 2011. arXiv:1009. 1263v2[math.AP]. P. 1-11.

19. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

20. Габов С.А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: МГУ, 1988. 176с.

21. Кучин В.А., Ульянов В.Л. Упругие и неупругие свой­ства кристаплов. М.: Энергоатомиздат, 1986. 136 с.

А К У С Т И Ч Е С К И Й Ж У Р Н А Л т о м 5 8 № 2 2 0 1 2

22. Францевич И.И., Воронов Ф.Ф., Бакута С .А. Упру­гие постоянные и модули упругости металлов и не­металлов. Киев: Наукова думка, 1982. 288 с.

23. Быков В.Г. Нелинейные волновые процессы в гео­логических средах. Владивосток: Дальнаука, 2000. 190 с.

24. Беляева И. К)., Зайцев В.Ю., Островский Л.А. Нели­нейные акустоупругие свойства зернистых сред / / Акуст. журн. 1993. Т. 39. № 1. С. 25-32.

25. Назаров В.Е., Радостин А.В. Самовоздействие сей- смоакустической волны в сыром песчаном грунте / / Акуст. журн. 2009. Т. 55. № 3. С. 331-334.

26. Такер Дж., Рэмптон В. Гиперзвук в физике твердо­го тела. М.: Мир, 1975.456 с.

27. Гик Л.Д. Методы изучения трешин и пор горных пород на основе данных акустического каро­тажа. Физическая мезомеханика. 2008. Т. 11. № 4. С. 67-73.