ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - СОФИЯ

ФАКУЛТЕТ ПО ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

КАТЕДРА „МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ И ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ“

Огнян Йорданов Каменов

Пространствени отклонения в периодичните решения

на неинтегруемите еволюционни уравнения

А в т о р е ф е р а т

на Дисертацията за присъждане на научната степен

„Доктор на математическите науки“

Научно направление: 4.5 Математика

Научна специалност: Математически анализ

София, 2014

1

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - СОФИЯ

ФАКУЛТЕТ ПО ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

КАТЕДРА „МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ И ЧИСЛЕНИ МЕТОДИ“

Огнян Йорданов Каменов

Пространствени отклонения в периодичните решения

на неинтегруемите еволюционни уравнения

А в т о р е ф е р а т

на Дисертацията за присъждане на научната степен

„Доктор на математическите науки“

Научно жури в състав: Вътрешни за ТУ – София

1. проф. дмн Ралица Крумова Ковачева (ФПМИ) - рецензент 2. проф. д-р Яни Николов Арнаудов (ФПМИ) - становище 3. доц. д-р Георги Пенчев Венков (ФПМИ) - становище Резервен член: доц. д-р Елена Апостолова Върбанова (ФПМИ)

Външни за ТУ - София 1.чл. кор. проф. дмн Стефан Петров Радев (ИМ, БАН) - рецензент 2. проф. дмн Евгени Христов Христов (ФМИ, СУ “Св. Кл. Охридски“) – рецензент 3. проф. дмн Николай Сашов Божинов (УНСС, ФМИ) - становище 4. проф. дмн Николай Колев Витанов (ИМ, БАН) - становище Резервен член: доц. д-р Димитринка Иванова Владева (ЛТУ)

Научното жури е утвърдено на заседание на ФС, състояло се на 04.12.2014/ Заповед на Ректора на ТУ - София ОЖ- 389/ 10.12.2014г.

София, 2014

2

Дисертационният труд е обсъден и допуснат до защита от разширен състав на катедра „Математически анализ и числени методи“ към ФПМИ, ТУ – София (Заповед на Ректора ОЖ – 372/17.11.2014 г.) на 02.12.2014 г. от 14.00 ч. в зала 2215 на ТУ – София, в състав:

1. проф. дмн Любомир Иванов Бояджиев – в дългосрочен неплатен отпуск

2. доц. д-р Моско Ашер Аладжем – командировка

3. доц. д-р Йорданка Добрева Панева – Коновска

4. доц. д-р Огнян Йорданов Каменов

5. доц. д-р Янка Великова Николова

6. гл. ас. Аврам Буков Ронков

7. гл. ас. Димитър Иванов Ваковски

8. гл. ас. д-р Даниела Ангелова Георгиева

9. гл. ас. Златина Иванова Ценова

10. ас. Ивац Боянов Даков

11. ас. Алексей Йорданов Николов

12. чл. кор. проф. дмн Стефан Петров Радев – ИМ, БАН

13. проф. дмн Евгени Христов Христов – ФМИ, СУ

14. проф. дмн Николай Колев Витанов – ИМ, БАН

15. проф. дмн Ралица Крумова Ковачева – ФПМИ, ТУ – София

16. проф. д-р Яни Николов Арнаудов – ФПМИ, ТУ – София

17. доц. д-р Георги Пенчев Венков – ФПМИ, ТУ – София

18. проф. дмн Николай Сашов Божинов – ФГМИ, УНСС

Дисертантът работи като доцент на постоянен трудов договор

(2720/27.11.1989) към Технически университет – София, ръководител на

катедра МАЧМ към ФПМИ ( Доп. Спор. 1 – 3293/13.11.2014г.)

Публичната защита на дисертационни труд ще се състои на 12.03.2015г.

(четвъртък) от 17.30 часа в аудитория 2140 на ТУ – София.

3

Tantum possumus, quantum scimus (лат.)

Толкова можем, колкото знаем

4

Съдържание

1. Увод……………………………………………………………………………5

2. Еволюция на дълги гравитационни вълни в плитка вода………………….8

3. Билинейна редукция………………………………………………………….9

4. Решение на първото остатъчно уравнение…………………………………12

5. Решение на второто остатъчно уравнение………………………………... 15

6. Решение на третото остатъчно уравнение…………………………………16

7. Условия за аналитичност и реални периодични решения……………… ..20

8. Кноидално решение……………………………………………………… …25

9. Локализирано солитарно-вълново решение……………………………… 29

10. Еволюционно уравнение за конвективния флуид…………………………32

11. Еволюционно уравнение на Кавахара……………………………………...36

12. Еволюционно уравнение на Курамото-Сивашински……………………...40

13. Еволюционно уравнение на Николаевски………………………………....43

14. Обобщено уравнение на Бусинеск от шести ред………………………… .47

15. Заключителни бележки……………………………………………………. .51

16. Приложения………………………………………………………………….53

Литература……………………………………………………………………… 54

Публикации на автора, свързани с дисертацията…………..……………….. .56

Авторска справка…………………………………………………………..….. .59

Анотация…………………………………………………………………….… . 60

5

1. Увод Нелинейните частни диференциални уравнения, несъдържащи малък

параметър, дълго време са били истинско предизвикателство за математици и

физици – теоретици, поради важната роля, която се отрежда на тези уравнения в

математическите модели на почти всички явления. В опитите за търсене на

аналитични техни решения се е разчитало на симетрия в структурата им.

Повратен момент на фона на теоретичните трудности е публикацията на

Гарднър, Грин, Крускал и Миура [1] през 1967, посветена на възможността да се

представи уравнението на Кортевег-де Вриз, като условие за съвместимост на

две линейни диференциални уравнения, едното от които е едномерното

уравнение на Шрьодингер. Тези опити прерастват в метода на спектралните

трансформации, известен още (в руската литература) като метод на обратната

задача на разсейването. С този метод са намерени точни локализирани решения

на споменатото по-горе еволюционно уравнение на Кортевег-де Вриз (KdV).

През шейсетте години на миналия век става ясно, че това уравнение, което по

принцип е модел на еволюцията на дълги вълни в плитка вода, притежава

универсален физически смисъл, защото може да описва разнородни физически

системи със слаба дисперсия.

Значителен принос в обогатяването на арсенала от аналитични методи, за

решаването на еволюционни интегруеми уравнения и намирането на точни техни

солитонни и N-солитонни решения, има директният метод на Хирота [2]. Този

оригинален метод се основава на билинейните редукции на изходните уравнения

с помощта на билинейните операторите на Хирота. Може да се каже, че всички

моделни интегруеми уравнения на математическата физика са „атакувани“ с този

директен метод. Не е известно този метод да е прилаган към частично –

интегруеми или към неинтегруеми моделни уравнения.

През 1976 г. е публикувана статията на Хирота и Сатсума [3], която поставя

началото на един силен аналитичен метод, наречен по-късно билинейно –

трансформационен метод. Този метод е прилаган от много автори в опитите им

да намерят точни периодични решения на редица интегруеми и частично

интегруеми нелинейни уравнения на математическата физика. Билинейно –

трансформационният метод е приложим към онези еволюционни уравнения,

които допускат билинейна редукция във формата ,. = 0 , където е

полином на две променливи от операторите на Хирота ,и. Такова

билинейно представяне е възможно само за интегруемите уравнения, но Алън

Паркър [4] показа през 1995 г., че с незначителни модификации методът е

приложим и към две частично интегруеми нелинейни уравнения.

6

Стремежът на редица автори, към намирането на точни локализирани

решения на важни моделни уравнения на математическата физика, е вероятната

причина да се публикува през 1981 г. една малка статия, на Кано и Накаяма [5].

В нея авторите за първи път представят решенията на една фамилия от

еволюционни уравнения + (, + 1) − = 0, където ; +

1е полином на неизвестната функция (, ) от степен + 1( ∈ ℕ), като

полином с неизвестни коефициенти на елиптичната функция на Вайерщрас -

℘( ). Сполучливите опити при = 1, = 1, както и при = 1, = 2; =

2, = 2) поставят началото на може би най-универсалния аналитичен - метод на

изображението и сингулярните деформации. През изминалите повече от три

десетилетия от въвеждането му, този метод е модифициран многократно, с цел

да придобие по-голяма степен на универсалност. Значителен принос в това

отношение са трудовете на Кудряшов [6], [7]. Той обвързва предполагаемото

решение на изходното нелинейното уравнение с неговата степен на

сингулярност. Недостатък на този метод е неговата голяма трудоемкост и това,

че няма гаранция за съвместимост на алгебричните нелинейни системи,

образувани за неизвестните коефициенти. Тази несъвместимост е обстоятелство,

което в общия случай е възпиращ фактор за практическото използване на метода

на изображението и сингулярните деформации. Някои автори като Порубьов [8],

Райбов, Синелшников и Кошанов [9] преодоляват несъвместимостта на

резултантните нелинейни алгебрични системи, за сметка на автономността на

получените локализирани решения. Формално тези решения са верни, но

условието да се генерират е обвързано със съотношение между параметрите в

изходното уравнение. Такива решения обикновено наричаме неавтономни и имат

ограничена практическа приложимост.

Нека споменем също един особено важен подход, изиграл значима роля в

изследванията на нелинейните частни диференциални уравнения, α – метода на

Пенлеве [10], както и неговите модификации – методите на Ковалевска и на

Дарбу. Математически този метод се базира на анализа на подвижните критични

точки на редуцираната версия на изходното уравнение. Решението на

редуцираното обикновено диференциално уравнение се представя във формата

на Лоранов ред в околност на първата подвижна критична точка, а най-високата

отрицателна степен в този ред, балансиращ доминантната рестрикция на

уравнението, съвпада със степента на сингулярност на изходното уравнение.

Макар тази технология да е трудоемка, тя има висока степен на универсалност –

приложима е както за интегруеми, така и за неинтегруеми частни диференциални

уравнения. Недостатък в този метод е, че в крайната фаза получаваме само едно

7

решение (обикновено солитарно) във формата на краен Лоранов ред. С този α –

метод Кудряшов [11], а по-късно и Р. Конте и М. Мюсет [12] получават

мероморфни решения на уравнението на Курамото – Сивашински. По-подробни

сведения за приложимостта на α – метода на Пенлеве са дадени в секция 15,

конкретно за еволюционното уравнение HOKdV. В заключение на този абзац да

споменем, че всяка подвижна особена точка за дадено моделно уравнение, която

не е полюс с някаква кратност, е критична подвижна точка. Тези критични

подвижни точки могат да имат различен характер: алгебричен, логаритмичен или

съществена особеност.

Настоящият дисертационен труд е изложен на 153 страници. Структуриран е

в три глави и заключителни бележки (с ранг на глава). Ето накратко кои са

акцентите в неговото съдържание:

- Създаване на т.н. неинтегруема версия на билинейно –

трансформационния метод на Хирота – Матсуно [13], подходяща за намиране на

периодични решения на широк клас от неинтегруеми частни диференциални

уравнения, с различна степен на сингулярност и от различен ред;

- Математическа мотивация и придаване на математическа легитимност на

пространствените индивидуални отклонения за всяка отделна хармоника на

локализираното решение;

- Изясняване на генезиса на пространствените отклонения при

неинтегруемите уравнения;

- Изяснено е отклонението на нелинейния принцип на суперпозицията,

дължащо се на ефектите, предизвикани от пространствените отклонения;

- Тестване на тази неинтегруема версия върху реални моделни уравнения

на математическата физика.

В автореферата към дисертационния труд е анализирано подробно

неинтегруемото еволюционно уравнение HOKdV, което е първото от шестте

моделни уравнения, изследвани във втора глава. Изборът е върху това уравнение

най-вече заради високата му степен на нелинейност – то съдържа необичайно

висок брой нелинейни членове: , , , и висок ред (пети) на

дисперсните членове. В своята пълна структура то не е решавано аналитично.

Получените периодични решения за това уравнение са нови. Подробно

изложеният алгоритъм, свързан с неинтегруемата версия, разкрива в пълна

степен всички етапи и проблеми, които се преодоляват в дисертационния труд.

За по-добра експедитивност и компактност, спомагателната първа глава е

трансформирана в няколко Приложения, означени с букви от българската азбука,

които са поместени в края на Автореферата.

8

2. Еволюция на дълги гравитационни вълни в плитка вода Под еволюция на дълги гравитационни вълни се разбира елевацията на

повърхността, създадена при нестационарното движение на несвиваем,

невискозен флуид под въздействието на гравитационна сила.

Моделните уравнения,

които ще разгледаме тук,

се отнасят за двумерни

вълни с малки амплитуди , 0 < ≪ 1,

динамиката на които е

върху плитко

Фиг. 1 хоризонтално дъно.

Уравнението за движение при свободната граница 1 + ,, уравнението за

непрекъснатост, както и скокът на налягането върху тази граница са както следва

[14] + = 0, 0 < < ,; = 0, = 0; |∇φ| → 0, || → ∞; + +

+ − 1 +

= 0 , = 1 + , ;

=

− , = 1 + ,, където и са съответно хоризонталната и вертикалната координата, така че

дъното е при = 0. Гладката функция (,,) е потенциалът на скоростта,

т.е. = ,,, = , ,, 1 + , e елевацията (отклонението) на

свободната повърхност, а = /ℎ е числото на Вебер (безразмерна

величина), характеризиращо съотношението между повърхностните и

гравитационните сили. Всички величини, участващи в системата са

обезразмерени

=ℎ

; =ℎ

; = ℎ ; =

Α

; =ℎ

ΛΑh ; =Τℎ

; =Α

ℎ; = ℎ

Λ!

при това = 9,81/", аℎ е дълбочината на несмутената повърхност, която в

случая приемаме за 1, а Λ е средната дължина на вълните. Предполага се, че и

са малки положителни параметри, т.е. , 0 < ≪ ℎ, 0 < ℎ ≪ #.

От гледна точка на потенциала на скоростното поле, при височина $, където 0 ≤$ ≤ 1 решението на посочената по-горе елиптичната гранична задача е

9

,$, =2$ − % +

24

5$ − 6$ + % +

120(610$ −

−750$ + 15$ − )% + ⋯,

където %, = ,,$|. Ако заместим горното решение в последните две

условия на изходната система, като елиминираме членовете със смесени

производни , , и съхраним членовете до порядък &∝ и &, ще

получим моделното еволюционно уравнение

(1) + + 2 + 4 + 4 − 3 + + = 0,

където параметрите , ' = 0, 1, … 5 са свързани с динамичните характеристики

на флуида посредством равенствата

=3

4; =

96

23 + 15; =48

5 − 6; =8

; =

1 − 3; =

19 − 30 − 45, което описва динамиката на еднопосочни и дълги гравитационни вълни в плитка

вода. С основание това уравнение се нарича HOKdV (Higher Order Korteveg-

deVries), защото при съхранение на членовете до порядък &и&, получаваме класическото уравнението на KdV + + 2 + = 0 ,

а в случай че за водещ порядък изберем = − , то ще получим уравнението

BBM (уравнение на Бенджамин – Бона – Махони) (Вж. [15]) + + 2 − = 0.

3. Билинейна редукция

Еволюционното уравнение (1) спада към силно нелинейните частни

диференциални уравнения на математическата физика. От четирите нелинейни

члена, най-голяма „тежест“ има кубично – нелинейният член 3 , ето защо

доминантното уравнение, съответстващо на (1) е

3 = ,

чиито анализ [32] показва, че степента на сингулярност на уравнението е втора,

а редът му е пети. Подробен анализ за наличието на подвижни критични точки е

направен в секция 15. В това уравнение балансът се осъществява между

конвективните членове , и нелинейните членове ,, , тъй

като нелинейният член се балансира изцяло от конвективния член ,

обстоятелство, известно от анализите на уравнението KdV.

Да решим нелинейното еволюционното уравнение (1) означава да намерим

негово реално или комплексно локализирано решение (което не удовлетворява

конкретни начални или гранични условия) в пространство, снабдено със силна

10

топология. В случая с уравнение (1) това означава, че ако (, ) е решение на

споменатото еволюционно уравнение, всички частни производни до пети ред по , трябва да са дефинирани във всяка точка от съответната област, заедно с

частната производна , така че да превръщат уравнението (1) в тъждество във

всяка точка. Ще означим това пространство от всички реални или комплексни

функции с такова свойство с ,

(Ω), където Ω е двумерната ивица

Ω = (, ∈ ℝ, 0 < < ∞;−∞ < < ∞). С други думи, ще търсим локализирано решение на уравнение (1) - (,) ∈

,(Ω). За да намерим една подходяща билинейна форма на уравнение (1), ще

използваме очевидното тъждество

4 + 4 = 6 − 2 + − ,

което предоставя три варианта на разклонение в изходното уравнение. Това са

частните варианти: = 3 и = , и общия случай, който е отрицание на

горните две равенства. Ще видим по-долу, че частните случаи не предизвикват

интересни от динамична гледна точка бифуркации на решението (има само

математически облекчения), ето защо ще разглеждаме общия вариант ≠ 3

и ≠ . С помощта на посоченото по-горе тъждество можем да изразим

уравнение (1) в по-удобната консервативна форма

(2) + * + + 6 − 2 + − − +++ = 0,

която е тъждествена на формата (1). Да представим решението на (2) чрез

трансформацията на Хирота – Сатсума [3]

(3) , = , + -./0,

където ,и-, - ≠ 0, са реални параметри, които на този етап са неизвестни, а 0 = 0(,) е неизвестна функция от класа ,(Ω). След заместването на (, )

от равенство (3) в (2), еднократно интегриране по и разделяне на параметъра -,

ще получим за 0(, ) уравнението

./0 +1- *, + -./0+ +

- *, + -./0+ +

6 − 2*, + -./0+./0 + − *2,./0 + -./0 + −- *, + 3,-./0 + 3,-./0 + -./0+

+./0 + ./0 = ,

където 1 е интеграционна константа, която при изоспектралните аналози на

изходното уравнение (1), т.е. = , ' = 0,1, … , 5 би могла да зависи от . Тази константа, макар да не притежава динамични характеристики, има важно

11

значение за генерирането на периодични решения. Например ако 1=0, то

уравнението (1) би могло да има солитарно, но не и периодично локализирано

решение. В последното равенство всички участващи в лявата страна

логаритмични производни по са четни, което е благоприятно за тяхното

билинейно представяне посредством билинейния оператор на Хирота [2].

.% = 22 −22! 22 −

22! , .%,|

,,/ ∈ ℕ

където , ,%, ∈ ,Ω. Нека заместим в последното равенство

четните логаритмични производни с техните билинейни аналози, дадени в

Приложение А. Ще получим уравнението

(4) * + − 43 + + 81+0. 0 − *- + 12-3 − + .

+ . 4

. + − , . + 435

+ 6

. +

. −

7 = 0 ,

където за удобство сме приели означенията = 1 + 2, − 3,; = 4, + ; = 2-3 − = - − 6; = 3- + 16; = - − − 6,

а с 1 сме означили сумарната интеграционна константа 1 =! *, − , − 1+.

Параметърът 3 , който е неизвестен засега, е изкуствено въведен в уравнение (4)

на паритетен принцип. Неговата роля ще бъде изяснена малко по-надолу.

Свободата при избора на ненулевия параметър - ни позволява да го изберем така,

че да анулираме третата степен на билинейния оператор в (4), т.е. - =

− 3, при което това уравнение може да се представи като конюнкция от три остатъчни

уравнения, в които участват различни форми на билинейните оператори. Тези

уравнения са

(5) * + − 43 + + 81+0. 0 = 0;

(6) * − , + + 83+0. 0 = 0;

(7) ,0 = 0. 0 + 20. 0. 0.

За уточнение и завършеност на остатъчните уравнения (5) – (7), да припомним,

че 0. 0 = 200 − 00; 0. 0 = 200 − 0;

12

0. 0 = 200 − 400 + 30 и т.н.

Разбира се, че системата от остатъчни уравнения (5) – (7) е достатъчно условие

за удовлетворяването на билинейното уравнение (4). Групирането на

билинейните структури на операторите в посочените три остатъчни уравнения

не е единствено, но както ще бъде показано в следващите секции, само тази

конфигурация е перспективна за решимост. Важно е да отбележим, че една

функция 0(,) от класа ,(Ω) е решение на билинейното уравнение (4), ако

удовлетворява и трите остатъчни уравнения, без оглед на различната им

билинейна структура. По същество и трите уравнения от системата (5) – (7)

представляват сложни нелинейни частни диференциални уравнения по

отношение на неизвестната функция 0, а именно

Ще подходим към системата от остатъчни уравнения последователно,

започвайки от първото уравнение.

4. Решение на първото остатъчно уравнение

Можем да кажем, че само първото остатъчно уравнение (5) е частно

диференциално нелинейно уравнение. Нека предположим, че решение на

уравнение (5) е третата тета-функция на Якоби [16], $(8, 9), дефинирана с

равенството (Вж. Приложение Б) 0, = $8, 9 = ∑ 9#$%% ,

където с 8 сме означили фазовата променлива, за която 8 = + ; + <.

Параметрите , ;, < в общия случай са комплексни и на този етап са неизвестни.

Първият от тях - е вълновото число, ; e фазовата честота, ;/ е фазовата

(вълновата) скорост, а < – фазовото отместване. За диспергиращите вълни е

известно, че ; = ;(), като ;"() ≠ 0, а величината ; = & е груповата

скорост на вълните. В случай че ;"() = 0, вълните са недиспергиращи.

Параметърът 9 е зададен за $-тета функцията, като 9 = #'(, =(9) > 0 т.е.0 <|9| < 1, при които стойности функцията $(8,9), се описва с един равномерно

сходящ комплексен ред за всяка стойност на 8(, ) ∈ Ω. Параметърът 9 се нарича

пертурбационен за тета – функцията $(8, 9), която е бипериодична и има реален

период > и квазипериод 2 (по?). Доколкото функцията на Якоби $(8, 9) е

дефазирана функция $(8,9), т.е. $8,9 = $ 8 +' , 9,

практически е без значение какъв избор ще направим между тях. В случая

изборът е върху $(8, 9), поради факта, че тази функция има технически по-лесно

изпълними квази – периодични модулации, в сравнение с $8, 9.

13

Ако заместим предполагаемото решение 0 = $(8, 9) в лявата страна на

уравнение (5) и приложим деветкратно (колкото са нелинейните членове в

уравнението) формулата ) . ) = @ − @)) , / ∈ ℕ;@ ∈ ℝ, ' = 1,2

(8) ∑ Ε#$%% = 0,

където

Ε = ∑ *−4;2/ − − 4 − 432/ − +%%

+162/ − + 81]9 , = 0, ±1, … ,

принос за което има и известната формула за произведението на абсолютно

сходящи редове, популярна още като формула на Коши ∑ ,*%*% .∑ A+%+% = ∑ ,A%,% .

Уравнение (8) всъщност представлява безкрайна верига от уравнения Ε =

0, = 0, ±1, … от коефициентите на експоненциалните функции. На пръв поглед

тази безкрайна системата е несъвместима, тъй като неизвестните параметри в нея

са само пет. Ще покажем, че полиномно- билинейната структура на уравнение (5)

позволява да приложим към него принципа на индексния паритет. Този принцип

се състои в следното: нека в посоченото уравнение (5) фиксираме и

рескалираме / → / + 1. След не сложни преобразования ще получим

тъждеството

Ε = Ε − 29. Ако продължим този процес с Ε − 2, ще установим веригата от равенства

Ε = Ε − 29 = Ε − 49 =. . = B Ε09

− акоmечетно

Ε19

− mенечетно.

Следователно в безкрайната сума на системата (8), пред всички събираеми с

четни стойности на ще има общ множител Ε0, а пред събираемите с нечетни , ще има общ множител Ε1, т.е. (8) допуска тъждественото представяне

C0∑ 9∞∞ #$ + C19/∑ 9,

-#$ = 0∞∞ ,

или с други думи получаваме една компактна форма на уравнение (8) във вида

Ε0$28, 9 + 9/Ε1$28,9 = 0,

където $(D,9) е втората тета-функция на Якоби (Вж. Приложение Б). Като

отчетем в последното равенство обстоятелството, че $(D,9) и $(D, 9) са

линейно независими функции в дефиниционната си област, следва, че уравнение

(8) е еквивалентно на две алгебрични уравнения: Ε0=0; Ε1 = 0, където Ε

е дефинирано след уравнение (8). Замествайки в Ε последователно = 0 и = 1, ще получим двойката уравнения

14

16∑ /9∞∞ ; − 81∑ 9∞∞ = 256∑ /9∞∞ −

−16 − 43∑ /9∞∞

4∑ 2/ − 19∞∞ ; − 81∑ 9∞∞ =

16∑ 2/ − 19∞∞ − 4 − 43

× ∑ 2/ − 19∞∞ .

Нека сега заменим в последните две уравнения безкрайните суми, които са в

скоби, с техните $- форми , дадени в Приложение В. Ще получим следната

нехомогенна алгебрична система по отношение на параметрите ;и1

(9) E9$′ ; − $1 = 8$′ + 9$′′ − 9 − 43$′ ;9$′ ; − $1 = 8$′ + 9$′′ − 9 − 43$′ , където за удобство сме приели означенията $ = $(0,9), ' = 2, 3, а символите за

диференциране прим и секонд са по отношение на пертурбационния параметър 9.

Ще анализираме решенията на система (9) при условието ≠ 0, което избягва

тривиалното решение 0 = 0(). При това условие за вълновото число, система (9)

е съвместима и определена, защото ако ∆ е детерминантата ѝ, то имаме

∆, 9 = −9$$′ − $′ $ = −9$,$ ≠ 0,

където $,$ е вронскианът от линейно независимите функции $ =$(0,9)и$ = $(0,9) т.е.

$,$ = F$ $$′ $′ F. Това означава, че нехомогенната система има единствено решение (при

фиксирано и9), което можем да запишем в явна форма:

(10) ;,9 = 8 41 + 9.′,.,

5 − − 43;

(11) 1, 9 = 8 ./′ ,′ 0. ,

,

където ′$ ,$ = $$′ − $′ $′ = $$′′ − $′′$ ; $′ ,$′ = $′ $′′ − $′′$′ .

Равенство (10) играе ролята на дисперсионно съотношение за фазовата

честота. Тъй като на този етап параметрите 3,, са свободни, то дясната страна на

посоченото дисперсионно съотношение е една четирипараметрична фамилия, т.е. ; = ;, 9,,,3. Недопустими за дисперсионното съотношение (10) са онези

стойности на споменатите параметри, при които ; = 0. За да изключим

тривиалното стационарно решение е достатъчно ≠ 0 и ≠ 43, а като отчетем,

че = 4, + ; = 1 + 2, − 3,, то тези недопустими стойности на

параметрите 3,, са

15

(12) , ≠ −

; 3 ≠

! [82 − − 3]

Впрочем условието , ≠ −

е и достатъчно, за да бъде интеграционната

константа 1 ≠ 0, което е необходимо за генерирането на периодични решения.

5. Решение на второто остатъчно уравнение

Структурата на второто остатъчно уравнение (6) не се различава от първото.

Също като (5), уравнение (6) има полиномно-билинейна структура по отношение

на оператора на Хирота . На практика това означава, че принципът на

индексния паритет е приложим към второто остатъчно уравнение. Но за да

получим удовлетворяване на това уравнение и то с предполагаемата

бипериодична функция 0 = $(8, 9), са необходими още две условия: наличие на

два неизвестни параметъра, свързани във формата на линейна система и второто

– дали тази система е съвместима и определена. Ако в уравнение (6) заместим 0

с нейното равно $(8, 9) , то ще се редуцира до следното

(13) ∑ ()∞∞ #$=0,

където целочислената функция () е дефинирана с равенството: = ∑ *−4 − ,2/ − + 162/ − + 83+9 ,∞∞

= 0, ±1, ±2, … Да приложим сега към принципа на индексния паритет, подробно

изложен в предходната секция, според който уравнение (13) е еквивалентно на

уравнението

T0$28, 9 + T1$28, 99/ = 0,

а отчитайки линейната независимост на $28, 9 и $28,9, то получаваме

както и при предишното остатъчно уравнение редукцията T0 = 0; 1 = 0.

В тези две очертаващи се алгебрични уравнения, като вземем предвид

структурата на целочислената функция , изборът на двата неизвестни

параметъра пада върху пространствения параметър , и върху изкуствено

въведения параметър 3. Ето защо при последователното заместване във

функцията с = 0и = 1, ще представим членовете на

характеристичните уравнения T0 = 0; 1 = 0 , подредени в следната

нехомогенна алгебрична система

(14) 16∑ /9∞∞ , + 83∑ 9∞∞ =

16∑ /9∞∞ − 256∑ /9∞∞

4∑ 2/ − 19()∞∞ , + 83∑ 9()∞∞ =

16

= 4∑ 2/ − 19() ∞∞ − 16∑ 2/ − 1∞∞ 9() .

Ако всяка една от безкрайните суми изразим с билинейните тъждества, дадени в

Приложение В, то от предходните две уравнения ще получим техните

компактни аналози във формата

(15) E9$′ , + 3$ = 9$′ − 89$′ + 9$′′;9$′ , + 3$ = 9$′ − 89$′ + 9$′′.

Както и при нехомогенната алгебрична система (9), системата (15) е съвместима

и определена, тъй като детерминантата ѝ е 9$,$т. е.129(3 −

5)$,$. В общия случай тази детерминанта ще бъде различна от нула при

3 ≠ 5. В този случай нехомогенната линейна алгебрична система (15)

допуска единственото решение

(16) ,,9 = − 8 41 + 9.′,.,

5 ;

(17) 3,9 = −89 ./′,′0

.,.

Можем да кажем едва сега, след решението на системата (15), т.е. на второто

остатъчно уравнение (6), че дисперсионното съотношение (10) е напълно

детерминирано, тъй като = 1 + 2, − 3,; = 4, + . Практически

ролята на изкуствения параметър 3, 9, дефиниран със (17), е да определи

фазовата честота ;, 9 наистина като функция на параметрите и9.

6. Решение на третото остатъчно уравнение

От анализа на предходните две остатъчни уравнения видяхме, че третата тета-

функция на Якоби удовлетворява тези уравнения, ако сумарното пространствено

отклонение ,, 9 е както в равенство (15), а дисперсионното съотношение е

както в (10). Параметърът -(- ≠ 0) е - =

− 3, като ≠ 3. Но за да

обявим тази функция за решение на билинейното уравнение (4) е необходимо тя

да удовлетворява и третото остатъчно уравнение (7). За разлика от първите две

остатъчни уравнения (5) и (6), уравнение (7) не притежава „хубавата“

полиномно – билинейна форма, което означава, че принципът на индексния

паритет е неприложим – уравнение (7) е неавтономно по отношение на

операторите и. Ако в него заместим 0 с третата тета функция на Якоби - $(8, 9) и извършим всичките седем произведения на безкрайните редове

(колкото са нелинейните членове в това уравнение) ще получим безкрайната

система

17

(18) ,∑ 9∞,∞ = 16∑ *2/ − 3 +∞,∞

+22/ − 3]9 ,

където = 12 − 3 − / − 6. Двойните суми от двете страни на

последното равенство са пречка за по-нататъшни анализи, ето защо ще се опитаме

да направим от тези двойни суми – прости, т.е. суми по един индекс. За целта нека

представим параметъра , , който вече е пресметнат от (15) във вид на формалния

засега числов ред

(19) , = 16∑ ,9∞∞ ,

членовете на който, на този етап са неизвестни. Замествайки , от (19) в (18) и

прилагайки формулата на Коши за произведение на абсолютно сходящи редове,

ще получим безкрайната алгебрична система от коефициентите пред

експоненциалните функции #$ , = 0, ±1, ±2, …

(20) , ∑ 9 = ∑ *2/ − 3 +∞∞∞∞

+22/ − ]9

= 0, ±1, ±2, …

Безкрайните редове от двете страни на последното равенство са абсолютно

сходящи при 0 < |9| < 1 за всяко цяло. Наистина, за безкрайния ред в лявата

страна на (20) абсолютната сходимост е очевидна при 0 < |9| < 1, а безкрайният

ред в дясната страна на същото равенство е суперпозиция на пет реда от вида ∑ (,, 9)1/+∞∞ 9

, ' = 0, 1, … 4; G, " = 0, 1, . .4, всеки един от които е

абсолютно сходящ съгласно критерия на Д’Аламбер. Това обстоятелство ни

позволява да решим безкрайната система (20), дефинирайки

(21) ,9 =∑ 345 ∞∞

∑ 5 ∞∞

, = 0, ±1, ±2, …

За всяка целочислена стойност на членовете ,9, дефинирани с предходното

равенство са крайни комплексни числа. Наистина, дефинирайки така ,9, ние

осигуряваме условието, при което формално функцията 0 = $(8, 9)

удовлетворява и третото остатъчно уравнение (7), но за да бъдат тези стойности

легитимни с оглед на математическата и физическата им приложимост, е

необходимо да се отговори на два въпроса:

- Съществуват ли допустими стойности на пертурбационния параметър 9,

при които ,9 са реални числа за всяко цяло ;

- Формалният ред (19) с членове ,9, дефинирани с равенство (21) за

всяко цяло , дали е абсолютно сходящ, т.е. сходящ.

18

На първия въпрос отговорът се предопределя от обстоятелството, че

параметрите , са реални, което означава, че членовете ,9 са реални, ако 9 ∈ ℝ. Като отчетем, че 9 = #'(, то ако при хипотезата

(22) ? = HI, къдетоI > 0, т.е. 9 = '6 ∈ (0,1),

членовете , = ,I, = 0, ±1, ±2, … са реални. По отношение на

абсолютната сходимост на реда (19), ще докажем следната теорема.

Теорема 1. Безкрайният ред (19) с членове, дефинирани от равенство (21), е

абсолютно сходящ за всяка стойност на пертурбационния параметър 9 = #'(, за

която =? > 0, т. е.0 < |9| < 1

Доказателство: Нека в дясната страна на равенство (21) извършим редукцията по

променливата /, във формата / → / + , при което ще получим

(23) ,9 =∑ 734585∞∞

∑ 5∞∞

,

което не променя структурата на безкрайните редове, а само пренарежда

събираемите в тях. Да положим D = D = −2H>?, където ∈ ℤ. Тогава за

безкрайния ред в знаменателя на (23) можем да запишем: ∑ 9 = ∑ 9##( = ∑ 9#9∞∞ = $D, 9∞∞∞∞ .

По аналогичен начин бихме могли да представим следните функционални редове,

използвайки четността на $(8, 9) по отношение и на двата аргумента

JKLKM∑ /9! = − # $N 2D, 9;∞∞∑ /9! = 9/6$′ 2D, 9∞∞ ;∑ /9! = H/8$O 2D,9∞∞ ;∑ /9! = 9/36P$′ 2D,9 + 9$′′2D, 9Q;∞∞

където в горните тъждества с точки, поставени над тета – функцията $ са

означени производните по аргумента D, а с прим и секонд – съответните

производни по пертурбационния параметър 9. С помощта на горните тъждества,

отчитайки (23) можем да представим безкрайния ред (19) във вида

(24) 16∑ ,9 =∞∞ ∑ R99+ ∑ R99

+∞∞∞∞∑ R99+ ∑ R99

+ ∑ R99∞∞∞∞∞∞

като с R9, ' = 0, 1, … 4 сме означили мероморфните функции: R9 = + 2$2D, 9$D, 9; R9 = 2H − 4$N 2D,9$D,9; R9 = 9 + 8 $′ 2D,9$D,9; R9 = 8H$O 2D, 9$D, 9;

19

R9 = 89 :′ 9,55′′9,5;<9,5.

Всеки един от петте безкрайни реда в дясната страна на (24) има

структурата ∑ +R+99," = 0,1, . . ,4∞∞ .

Отчитайки, че функцията $2D, 9 , както и производните ѝ по D и 9 са

аналитични функции при |9| ∈ (0,1), то функциите R+9 са ограничени по

модул, т.е. |R+9| ≤ Α=, " = 0,1, . . ,4

където Α= = ST/". Следователно сходимостта на въпросния ред (19) зависи от

абсолютната сходимост на всеки един от петте реда ∑ +9∞∞ , " = 0,1, … 4,

т.е. от сходимостта на редовете ∑ ||+|9|∞∞ , " = 0,1, … 4, което е в сила от

критерия на Д’Аламбер, тъй като |9| ∈ (0,1). От абсолютната сходимост на

редовете в дясната страна на (24), следва и абсолютната сходимост на реда (19),

с което теоремата е доказана.

Нека сега сме отново в условията на хипотеза (22), която превръща

комплексните стойности ,9, = 0, ±1, ±2, …, дефинирани с равенство (21) в

реални. Тези реални стойности ,I, = 0, ±1, ±2, … ще наречем

пространствени отклонения в периодичното решение (когато последното е

реално).

В хода на доказателството на Теорема 1 установихме, че всеки един от

редовете в дясната страна на равенство (24) е сходящ. При това тези редове ще са

реални в условието на хипотезата ? = HI, I > 0. Нека означим с ℂ9, ' =

0,1, … ,4 сумите на редовете в дясната страна на (24) Тъй като в този случай всеки

ред от въпросната сума е реален, това означава, че и ℂ са реални. Съгласно (19)

и (24) ще получим представянето: , = 16 ∑ ,I = *ℂ(I) + ℂ(I) + ℂ(I) + ℂ(I) + ℂ(I)+∞∞ = ℂ(I),

където ℂ(I) = ℂ(I) + ℂ(I) + ℂ(I) + ℂ(I) + ℂ(I), т.е.

(25) ,I = U(I).

Равенство (15) в условието на хипотезата (22) приема формата ,I =

− 8 *1 + 9($, $)], 9 = 6', I > 0,

където за удобство сме означили ($, $) = ′($, $)/($, $). Балансът

между десните страни на последните две равенства означава, че вълновото число трябва да удовлетворява биквадратното уравнение

(26) ℂ + 8 *1 + 9+ − = 0,

20

т.е. вълновото число може да приема всяка една от четирите стойности, които

биха могли да бъдат както реални, така и комплексни

(27) = ±Vℂ

6−(1 + 9+ ± W(1 + 9) + ℂ

7 и които са функционално зависещи както от коефициентите ,' = 0,1, … ,5, така

и от структурния пертурбационен параметър I > 0, който е свързан с базовия

пертурбационен параметър 9 чрез равенството 9 = 6'.

Всъщност равенство (27) описва четири еднопараметрични фамилии от

стойности на вълновото число, а с оглед на физическата приложимост на

получените точни решения, ще се интересуваме от онези фамилии от решения

(27), които осигуряват реални или чисто имагинерни стойности на вълновото

число .

7. Условия за аналитичност и реални периодични решения

В предходните три секции установихме, че съществува добре дефинирана

бипериодична функция 0 = $(8, 9), която удовлетворява и трите остатъчни

уравнения (5), (6) и (7), ако фазовата променлива 8 = + ; + < има вълново

число , дефинирано както в равенство (27), фазова честота ;, определена с

дисперсионното съотношение (10), (16) и глобално пространствено отклонение ,, дефинирано с безкрайния ред (19), членовете на който , са определени

според равенство (21). Съгласно трансформацията на Хирота – Сатсума [16],

изходното силно нелинейно, частно-диференциално уравнение HOKdV

притежава точно бипериодично мероморфно решение във вида

(28) , = 16∑ ,(9) +

− 3∞∞$ 4> $ ,5$ ,5

5 . Ще добавим, че принос за този периодичен характер на точното решение (28) има

и ненулевата интеграционна константа 1(, 9), определена с равенство (11).

Функцията ,, дефинирана с равенство (28) и точно решение на уравнение

(1), в общия случай е комплексна и мероморфна функция при комплексни

стойности на пертурбационния параметър 9 = #'(, =9 > 0 и фазовото

отместване <, които са свободни параметри. С оглед на физическата приложимост

на представеното решение (28), ние се интересуваме, както от реалните му

рестрикции, така и от онези зони на легитимност, в които се избягват полюсите на

решението ,, разположени в мрежата 8 = > + + ?> / +

, ,/ ∈ ℤ,

21

Реалните варианти на мероморфното решение (28) можем да осъществим, ако

изберем комплексния параметър ?, така че 9 да е реален параметър в интервала

(0,1). Това е постижимо в условието на хипотеза (22), т.е. ? = HI, къдетоI е

произволно положително реално число, поради необходимото базово условие =? = I > 0, при което 9 = 6' ∈ (0,1). Ето защо, при хипотезата (22) и

фиксирано фазово отместване – <, получаваме една еднопараметрична фамилия,

със свободен параметър I > 0 , която е реална. Трябва да подчертаем, че в този

случай пространствените отклонения ,I, дефинирани с равенство (21) са

също реални числа, за които lim→±∞

,I = 0, съгласно Теорема1. За да избегнем

сингулярностите в решението (28), предизвикани от двукратните полюси в

точките 8, бихме могли да ограничим вариацията на фазовата променлива 8 в

хоризонталната ивица |Ι8| < I>, т.е.

(29) −>I < Ι8 < >I.

Към горното условие (29) ще трябва да добавим и условието, при което са

избегнати полюсите на функцията $D,9, където D = −2H>?, =

0, ±1, ±2, …, съгласно анализа, направен в Теорема 1. Според хипотеза (22),

посоченото условие би било |ΙD| < 6I>, но тъй като при ? = HI имаме ΙD ==2>I = 0, то условието |ΙD| < 6I> е изпълнено във всяка област, т.е.

(29) остава като единствено условие за аналитичност на решението , .

Реалните периодични решения на уравнението HOKdV могат да се образуват

(в условието на хипотеза (22)) само при два възможни избора на вълновото число (I), дефинирано с (27). Тези два варианта са: когато (I) е реално число и когато (I) е имагинерно число. Ще анализираме двата варианта поотделно.

• Вълновото число е реално

Поради паритетната инвариантност на решението (28), можем без загуба на

общност да приемем, че вълновото число е положително. Достатъчно условие

за това, отчитайки (27), съгласно теоремата за междинните стойности е ℂ

> 0,

т.е.

(30) ℂ 4/

5 > 0,

Предположението, че > 0, означава, че фазовата променлива 8 = + ; + < е

реална или комплексна в зависимост от това дали фазовото отместване < е реално

или комплексно число, тъй като от дисперсионното съотношение (10) следва, че

при 9 = 6' и > 0 , фазовата честота също е реално число. Ако използваме

формулата за фуриеровото представяне на логаритмичната производна на $8, 9 (Вж. Приложение Б), т.е.

22

> $ ,5$ ,5

= 2∑ 55 sin28∞∞

и отчитайки, че при условието на хипотеза (22), при което пертурбационният

параметър е 9 = 6', е в сила тъждеството

55 =

cosechI>, при9 = 6', I > 0,

то решението , от (28) можем да представим във формата

(31) , = 16 ∑ +

()

− 3cosech cos2∞

∞ .

В горното равенство сме отчели, че параметрите (I) и ;(I) във фазовата

променлива 8 са детерминирани реални числа (при фиксирано I > 0), а фазовото

отместване < приемаме за произволно реално число, за да бъде 8 реална фазова

променлива.

Представеното в последното равенство точно решение , на

еволюционното уравнение HOKdV е реално и периодично, с реален период

T=2>/. По своята структура то представлява суперпозиция от синусоидални

хармоники с различни амплитуди, но

както ясно се вижда от (31), всяка една от

тях има индивидуално пространствено

отклонение ,I, като съгласно

Теорема1, за тези пространствени

отклонения е в сила граничното

съотношение lim→±∞

,I = 0,

завсякоI > 0. На Фиг.2 проличава

бързата им сходимост към нула. Този факт

се обяснява с обстоятелството, че при I →

0 параметърът 9 → 1(9 = 6') и

редицата от пространствените отклонения (,I) клони по-бавно към нула. С други

думи, в зоните на по-слаба нелинейност,

Фиг.2. Пространствени отклонения ефектите породени от пространствените

при = 1/2 отклонения са по-силни. В зоната I →

∞(т. е.9 → 0) се наблюдават проявления на по-различни ефекти, свързани със

засилващата се роля на нелинейността, но това ще обсъдим малко по-нататък.

Съществено е да добавим, че в зоната на по-слабата нелинейност, ефектите,

предизвикани от пространствените отклонения са по-осезаеми, което проличава

на графичното изображение на Фиг. 3.

23

Фиг. 3. Солитарно-вълново решение (2.36), = 1/2

• Вълновото число е имагинерно

Релацията (30) е необходимото и достатъчно условие за наличието на

имагинерен корен на алгебрично-то уравнение (26). Отново ще предположим, че → H, като „новото“ е реално положително число. Паритетната инвариантност

на решението не намалява общността на това предположение. Фазовата честота ;(I), дефинирана с дисперсионното съотношение (17), съдържа само нечетни

степени по , следователно в условието на хипотеза (22), ;(I) ще бъде

имагинерно число при имагинерно вълново число. При подходяща вариация на

фазовото отместване < (което засега е свободен параметър), ние отново можем да

получим реални рестрикции на комплексно мероморфно решение (28). В тази

насока нека изберем< → H<, което не променя дисперсионното съотношение

(17), което означава, че фазовата променлива 8 → H8, е реална или комплексна, в

зависимост от това дали фазовото отместване < е реално или имагинерно число.

Условието за аналитичност (29) добива в този случай вида

−>I < Im< < >I .

Ако изберем фазовото отместване < така, че < → < + >I, то H8 → H8 + >?,

(? = HI) и след прилагането на квазипериодичната модулация (Вж. […], […]) $D, 9 = 9/#9$D + >?/2,9,

за логаритмичната производна на функцията $D + >?/2, 9 при D = H8

получаваме съотношението:

> #$'(/,5#$'(/,5

= > #$ ,5#$ ,5

− H . То ни предоставя възможност да извършим функционалната инверсия

>#$ ,5#$ ,5

= H ∑ tanh*H8 − >I+∞∞ ,

а като отчетем, че tanh' D = sech D , получаваме

$

>#$ ,5#$ ,5

=∑ sech(8 − >I∞∞ .

24

Сега можем да представим реалната вариация на локализираното мероморфно

решение (28) във формата

(32) , = 16∑ *,I +

sech(8 − I>)+∞∞ .

Реалното периодично решение (32) представлява безкрайна суперпозиция от

регулярно разположени в пространството солитарни вълни със sech- профили.

Забележителното в случая е, че всяка солитарна хармоника има една и съща

амплитуда (при фиксирано I > 0), но различно пространствено отклонение ,I. Такова явление не се наблюдава при аналогични вълнови решения на

интегруеми или частично интегруеми еволюционни уравнения. Солитарно-

вълновото периодично решение (32) е обвързано с едно забележително свойство

на нелинейните еволюционни уравнения – нелинейния принцип на

суперпозицията. Този принцип е открит от Тода [19] през 1975 г. за класическото

еволюционно уравнение на Кортевег-де Вриз и се състои в твърдението, че

нелинейната периодична вълна се представя като безкрайна сума от повтарящи

се sech- вълнови профили. През 1992 г. А. Паркър [20], изследвайки

периодичните решения на междинното дълговълново уравнение, прави

съществено уточнение за структурната интерпретация на това явление – на

практика не се осъществява суперпозиция от солитарно – вълнови решения в

прекия смисъл, а суперпозиция от техни форми.

Да изясним една важна особеност на решение (32). В граничния случай I →

∞ имаме 9 → 0, (9 = 6'), тогава дължината на вълната става ∞ и решението

(32) се редуцира само до един член - нулевия

(33) , = 16, + 12

sech(8),

където = −ℂ

1 ± W1 + ℂ?

!,

Ако сега 9 → 0, но9 ≠ 0, тази вълнова форма не се повтаря нито със следващата

вълнова форма

, = 16, + 12 − 3 sech8 − I>; = 1

нито с предходната вълнова форма , = 16, + 12

sech8 + I>; = −1,

тъй като при фиксирано I > 0, пространствените отклонения ,,,,, са

различни, следователно за конкретното неинтегруемо еволюционно уравнение

HOKdV е налице мултипликация не от еднакви, а от подобни вълнови форми.

Подобието на формите е резултат от наличието на индивидуалните

25

пространствени отклонения. Графичната визуализация на Фиг. 2, 3 и 4

потвърждава посочените по-горе изводи, свързани с пространствената

модификация на нелинейния принцип на суперпозицията. На Фиг. 2 са - тите

хармоники, съответно при I = 2иI = 1/2 на солитарно – вълновото решение

(32), в отсъствието на пространствени отклонения. При малки I > 0, дължините

на вълните нарастват и се вижда осезаемо локализиращото въздействие на силно

нелинейните зони. На Фиг. 2 са изобразени стойностите на пространствените

отклонения 100,I, пресметнати за първите 15 – 20 члена на реда. Най-

големите стойности се наблюдават при малки значения на ||, ∈ ℤ , затова на

Фиг. 4, на която е изобразена солитарната периодична вълна, реалната елевация,

изобразена с непрекъсната крива линия има най-големи отклонения за първите

стойности на , > 0.

8. Кноидално решение

Пространствената модификация на билинейно-трансформационния метод,

който използвахме за неинтегруемото еволюционно уравнение HOKdV, позволява

да получим явния вид на един особен вид периодично решение на това уравнение,

при което пространствените отклонения проявяват въздействието си групово, в

цялата си съвкупност, а не индивидуално. Такова периодично решение е

кноидалното. Ще докажем, че всяко нелинейно еволюционно уравнение,

притежаващо периодично решение, което се изразява с някоя от бипериодичните

функции $8, 9или$8, 9, допуска кноидално точно решение. За целта ще

докажем следната теорема.

Теорема 2. (За кноидалната логаритмична производна) Ако ξ ∈ ℂ, q =

e@πτ,Imτ > 0, r = θ(0)/θ

(0), то

(33) AAξ

Plnθξ, qQ = θ0, qcnPξθ

0, q, rQ +θ′′ ,B

θ,B.

Доказателство: Известни са две дефиниционни равенства (Вж. [16]) в теорията

на елиптичните функции за дефиниране на трансцедентната функция X,;,;, а именно:

X,;,; =

,

,5-

,5; X,;,; = CD EDF

EF,

където ;,; са реалният и квази-периодът на функцията ℘8,;,;, а ;,;

са периодите на трансцедентната функция X,;,;, за която е в сила

равенството ln[X]" = −℘(), при това ; + ; + ; = 0; Y + Y + Y = 0

и съгласно тъждествата на Лиувил (Вж.[16]) имаме съотношенията

26

Y; − Y; = Y; − Y; = Y; − Y; =H>2

Свободата в избора на числата ; , ' = 1, 2, 3 ни позволява да изберем две от тях

по специален начин ; ='

= ΚG; ; = HZG = πτ$0 = τZG,

където ZG, j = 1,2 са пълните елиптични интеграли на Лежандър от първи и

втори род с модул G = $0/$0. Ако въведем една нова променлива 8 ='DF

,

то = 8$0, където сме означили $0 = $0,9, ' = 1, . . ,4. С въведената нова

променлива 8 можем да запишем трансцедентните функции X във формата

X8$0 =

.$,5

; X8$0 = C$ .E/$#G(1)0

EF.

Ако в горните две равенства приравним десните страни, след което

логаритмуваме това тъждество и накрая го диференцираме двукратно по 8, ще

получим равенството

C' $0 +

$ *ln$8, 9+ = $0.

H

H$ *lnX8$0 + HZ(G)+, а използвайки дефиниционното равенство *./XD+" = −℘D, можем да запишем

предходното равенство в по-удобната форма

(*) $ *./$8, 9+ = $0℘8$0 + HZ(G) − 2Y$0/>.

При фазовата модулация на Вайерщрасовата елиптична функция ℘D + HZ, се

получава кноидално израждане, а именно

℘D + HZ = +II

sn2/9JII#G1,K0,

където > > са характеристичните корени за елиптичната функция

℘D,[,[, т.е. те са корените на 4 − [ − [ = 0, ' = 1, 2, 3. От друга страна

при фазовата модулация на якобиевата елиптична функция sn\ + HZ, G имаме

реципрочното тъждество [17]

sn\ + HZ(G), r =

1snL,1,

при което за фазовата модулация на функцията ℘D + HZ са в сила равенствата

℘D + HZG = + − sn2D] − , G

= + − P1 − cn2D] − , GQ

= − − cn2D] − , G.

Модулът G е свързан с характеристичните корени чрез равенството

0 ≤ G =IIII

≤ 1. Сега тъждеството (*) придобива формата

27

(34) $ *./$8, 9+ = − $0cn28$0] − , G

− 4C' $0 + $05. Характеристичните корени , ' = 1, 2, 3 могат да се представят посредством

нулевите стойности на$ – тета функциите. За целта ще използваме следното

представяне на елиптичната функция на Вайерщрас ℘ (Вж. [16])

℘ = 'F

6 ′′′΄−

9′′9′9

97, къдетоD = >/2;.

Ако в горното тъждество положим = ;, то D = >/2 и отчитайки, че

℘;) = , ' = 1, 2, 3 ще получим израз за във формата

= 'F

4 ′′′′ −

′′

5. По аналогия, ако в същото тъждество положим = ; = −; − ;, то очевидно D = −>/2 − ?>/2 , (? =

F

F) и тогава можем да изразим

= 'F

4 ′′′′ −

′′

5, и накрая ако положим = ;, то D = ?>/2 , а за получаваме израза

= 'F

4 ′′′′ −

′′

5. Нека сега в последните три тъждества положим ; =

' , което

предположихме още в началото на доказателството и да извършим кръстосано

почленно изваждане, отчитайки лесно доказуемите тъждества. $′′0$0 −$′′0$0 = $0;

$′′0$0 −$′′0$0 = $0;

$′′0$0 −$′′0$0 = $0

Ще получим важните съотношения

(35) − =

; − = 1; − =

,

с помощта на които тъждеството (34) можем да представим с тета-функциите на

Якоби

$ *./$8,9+ = $0cn28$0, G − 4C' + $05.

За да получим окончателната форма на втората логаритмична производна е

необходимо да представим остатъчния член посредством нулевите стойности на

28

тета-функциите. Изразът −$0 можем лесно да пресметнем, използвайки

представянето на , получено по-горе, а именно:

−$0 =′′

−′′′

.

За да намерим подходящо представяне за втората част −C

' на остатъчния

член, нека представим трансцедентната функция X,;,; във формата X,;,; = ΑD$D,9, където D = >/2;

и да се опитаме да намерим параметрите , при граничните условия: X0 =

0; X ′0 = 1; X ′′0 = 0. При тяхното удовлетворяване, последователно ще

получим следните стойности за параметрите ,

Α =F

'′ ; = −

'

F .

′′′′

.

От друга страна, като отчетем, че 2;, 2; са примитивните периоди на

трансцедентната функция X, ще получим тъждествата =CF

, т. е.Y = −'

F

′′′′

.

С помощта на последното съотношение, можем да изразим −C

' = −′′′′

,

което ни дава възможност да представим остатъчния член във вида

−$0 −C

' =′′

.

Така получаваме формулата за втората логаритмична производна на $8,9 в

окончателен вид

(36) $ *ln$8,9+ = $0cn28$0, G +

′′

,

където G =

. С това теоремата е доказана. Q.E.D.

За конкретното уравнение (2) и в условието на хипотеза (22), можем да

приложим фазовата редукция < → < − >/2, т.е. 8 → 8 + >/2, при което $8 →$8 + >/2 = $8,9. Прилагайки формулата за кноидалната логаритмична

производна (33) към втората логаритмична производна от $8, 9, ще получим в

явен вид кноидалното решение на уравнението HOKdV

(37) , = + 12 − 3

′′

+ 12

0cn20, .

Кноидалното решение (37) по същество е еднопараметрична фамилия (с

параметър I > 0) от периодични вълни. Ако фиксираме I > 0, то решението

генерира една кноидална бягаща еднопосочна вълна, с точно дефинирано

пространствено отместване, в което са отразени всички отделни пространствени

29

отклонения ,I, = 0, ±1, ±2, …, взети в тяхната съвкупност, т.е. те

проявяват групово свойство.

Фиг. 4 Кноидална вълна при = 2; = 1/2 На Фиг. 4 е изобразена кноидалната периодична вълна (37) при I = 2

(непрекъснатата линия) и при I = 1/2. Реалният период на тази вълна е =

4Z(G)/$0, където Z(G) е пълният елиптичен интеграл на Лежандър от

първи род с модул G =

. Фазовата скорост на тази вълна е ;/$0, а като

отчетем, че при всяка положителна стойност на I, т.е. 9 = 6' $0 = [1 + 29 + 9 + ⋯ 9+. . ] > 1,

то можем да направим извода, че при > 0, фазовата скорост на кноидалната

вълна (37) е по-малка от фазовата скорост ;/ на периодичната солитарна вълна

(32).

9. Локализирано солитарно-вълново решение

Ще покажем, че методът на изображението и сингулярните деформации е

подходящ, за да намерим точно локализирано решение на уравнение (2). Ако

извършим редукцията , = (8), където8 = + ; + <, а (8) е

неизвестна функция от класа ,

(Ω), то еволюционното уравнение (2) след

еднократно интегриране по 8 се трансформира в обикновеното нелинейно

диференциално уравнение:

(38) 1 + + + 23 − ′′ + − ′′ − + ′′

+ = B,

където фазовите параметри ,;,<, които е възможно да са и комплексни, на

този етап са неизвестни, а с B сме означили интеграционната константа. За да

избегнем тривиалните решения, ще предполагаме, че ≠ 0,; ≠ 0. Ще

предположим, че съотношението 8 = 8 + ℂ,

където , ℂ са неизвестни на този етап параметри ( ≠ 0), изобразява

Рикатиевото уравнение

(39) ′(8) = ] − ,

30

в обикновеното диференциално уравнение (38), ако произволно локално

решение на това Рикатиево уравнение еднозначно дефинира някакво локално

решение на уравнение (38). Ако заместим 8 с неговото равно от (39),

отчитайки, че ′ = − ; ′′ = − 2,

то ще получим следната нелинейна алгебрична система от коефициентите пред

еднаквите степени на : [ + 8k + 2A − 120k

] = 0; A + 8k + − 6 − 120k

= ℂ3 + 24k);

1 + ; + 2 + 4ℂ − 3ℂ + 4 + 4 = 0; 1 = 1 + ;ℂ + ℂ − ℂ.

Алгебричната система е съвместима и допуска следните нетривиални решения:

JKKLKKM = −4 + 2 ! 1 ± ]1 + ,където =

15

2

( + 2)

ℂ =

^ + *8 + − 6 − 120+3 + 8 ;

; = 3ℂ − 2 + 4ℂ − [4 + 4 + 1];1 = ℂ1 + ; + ℂ − ℂ).

В посочените решения на алгебричната система е произволен положителен

параметър, а като отчетем, че локализираното решение на Рикатиевото уравнение

(39) е 8 = sech 8 (Вж. Приложение Г), то можем да кажем, че

еднопараметричната фамилия

(40) , = sech8 + ℂ, > 0, всеки представител на която удовлетворява солитарното гранично условие

lim$→∞

, < ∞, е локализирано солитарно – вълново решение на еволюционното

нелинейно уравнение (1). Изхождайки от обстоятелството, че еволюционното

нелинейно уравнение HOKdV (1) е модел на еднопосочни вълни, то физичен

смисъл за решението (40) ще имат онези положителни стойности на , при които ;, ℂ, < 0, което съответства на движещи се надясно солитарни вълни.

Например, ако < 4, то ;() < 0 за всяко > 0, а като отчетем, че = 1 − 3; =

< (19 − 30 − 45),

то горното условие е еквивалентно на релацията 0 < < 0,4076. Ако в

решението (40) изберем така, че 1 = ℂ = 0, то новополученото решение ще

удовлетворява „солитонното“ гранично условие lim$→∞

, = 0.Такава е

стойността на вълновото число , при която

31

=

[4 + − 3 − 2 + 21 ± ]1 + ],

при условие, че дясната страна на горното равенство е положителна при дадена

стойност на числото на Вебер – We. Едва тогава уравнение (1) би могло да

генерира солитонен импулс, който има вида

(41) , = −4

1 ± ]1 + sech8,

където фазовата честота е ; = −*4 + 4 + 1+, а вълновото число е

дефинирано с предходното равенство. На Фиг. 5 е показана формата на солитона

(41) при изпъкнал вариант (A>0) и при вдлъбнат (A<0), а в третата (от долу

нагоре) графика е показана солитарната вълна (40) при = 1. Естествено е да

си зададем въпроса – възможно ли е така да изберем параметрите на периодичната

солитарна вълна (32) и тези на солитарната вълна (40), че фазовите им скорости

да съвпаднат. Теоретично такава възможност съществува, тъй като в равенството ; = ;(I)/, параметърът , който е свободен, присъства в равенството в

явна форма, за разлика от свободния параметър I > 0, който е неявен.

Отчитайки дисперсионното съотношение за ;, можем да сведем посоченото

равенство до следното алгебрично съотношение за

16 + 4 + 4ℂ + 1 + 2ℂ − 3ℂ +

= 0.

Необходимото и достатъчно

условие посоченото

квадратно уравнение по

отношение на D = да

притежава един положителен

и един отрицателен корен

(спрямо z) е условието

Фиг. 5 Солитарна и солитонна вълна 1 + 2ℂ − 3ℂ +

< 0,

което всъщност гарантира поне един положителен корен на биквадратното

уравнение. Това на практика означава, че еволюционното нелинейно уравнение

HOKdV, може да генерира при специални условия солитарна вълна, която е

обвивка на един солитарно-вълнов пакет, от периодично повтарящи се подобни

форми.

32

10. Еволюционно уравнение за конвективния флуид

В настоящата секция ще изложим основните резултати, получени в

дисертационния труд (§3, Гл.II), по отношение на еволюционното уравнение

(42) + < + < + < + < + < = 0,

известно като уравнение за конвективния флуид (CFE). То е въведено от

аржентинските физици Аспе и Депасиер [21] през 1990 г., като модел за

еволюцията на дълги, дрейфуващи и еднопосочни вълни в плитък конвективен

флуид. Съществуват два механизма, по които се осъществява дисперсията:

конвекция - когато става прост механичен пренос, дифузия – вътрешно –

молекулярен преход, природата на който е като вискозното триене, т.е.

макроскопично проявление на микроскопичен пренос. Ще казваме, че един флуид

е конвективен, ако дисперсията се осъществява доминиращо чрез конвекция, а

когато доминира дифузията – той е дифузионен флуид.

Еволюционното уравнение (42) е неинтегруемо, нелинейно частно-

диференциално уравнение от четвърти ред, с втора степен на сингулярност.

Коефициентите < , ' = 0, . . ,4 са обвързани с динамичните характеристики на

конвективния флуид, както следва < =

)1.& 10 + [,.@G; < =)1√&

+@G;

< =6N)1 ; < =

6)1< [,.@G + 717; < =

!6√& ,

където @G =*O (число на Прандтл) – характеризиращо съотношението между

дифузното проникване и импулса на топлината,_ 4

+ 5 – динамичен коефициент

на вискозност; `[/"] – коефициент на дифузия. [, =PQ

* (число на Галилей),

характеризиращо съотношението между гравитационните и вискозните сили; I

– малък положителен параметър, такъв че стойността на числото на Релей – R, = @G.[, да надхвърля критичната стойност IR.

Ние се интересуваме от локализирани периодични решения на уравнение (42)

- , ∈ ,

(Ω), където ,Ω,,/ ∈ ℕ, както бе дефинирано в т.3 е

пространството от всички функции (реални и комплексни), на променливите , ,

които имат частни производни по до ред и по до ред /, в двумерната ивица

Ω = (, ) ∈ R, 0 < < ∞, −∞ < < ∞.

Прилагайки трансформацията на Хирота – Сатсума [3] , = , + 2-./0,

33

където ,, - са неизвестни на този етап параметри, като - ≠ 0, а 0 = 0, ∈,Ω и билинейните аналози на логаритмичните производни (Вж.

Приложение А), изразени чрез операторите на Хирота [2] .% = − ′

−′ , .% ′, ′a ′

′,,/ ∈ ℕ,

ние ще получим билинейното представяне на уравнение (42) във формата

* + <, + < + 81+0. 0 + -< − 6< .

+ 6< + ,< . + < . + -< − 6< . 7 = 0,

Ако в това билинейно уравнение изберем - така, че - = 6</<, то можем да го

представим като конюнкция на следните две остатъчни уравнения

(43) + <, + < + 810. 0 = 0

(44) < + ,<00. 0 + <00. 0 +R<< − <<0. 0 = 0,

където с 1 сме означили интеграционната константа, която се получава след

еднократно интегриране по . За решение на системата (43) - (44) ще обявим

такава функция 0, ∈ ,b, която превръща и двете остатъчни уравнения в

тъждества.

Нека предположим, че решение на (43) е четвъртата тета - функция $8, 9,

на Якоби, т.е. 0, = $8, 9 = ∑ −19#$∞∞ , 9 = #'(,

където 8 = + ; + <, а фазовите параметри ,;, < в общия случай отново са

комплексни и неизвестни на този етап. Тета – функцията $8,9 е бипериодична

( = >, = 2) при 9 = #'( ,Im? > 0, т.е. 0 < |9| < 1.

Замествайки 0,с$8,9 в (43) и отчитайки полиномно-билинейната

структура на първото остатъчно уравнение, след известни манипулации, свързани

с принципа на индексния паритет и билинейните редукции (Вж. Приложение А,

B) ние можем да сведем първото уравнение (43) до еквивалентната му

нехомогенна алгебрична система 9$′ ; − $1 = 8<$′ + 9$′′ − <,9$′ ; 9$′ ; − $1 = 8<$′ + 9$′′ − <,9$′ ,

където за удобство сме означили $ = $0, 9, ' = 2,3 . Лесно е да определим

единственото решение на системата по отношение на ;, 1, а именно

(45) ;,9 = 8< 41 + 9.′,.,

5 − <,;

34

(46) 1, 9 = 8<9 ./′ ,′ 0.,

,

където ′$,$ = $$′ − $′ $′ = $$′′ − $′′$; $′ ,$′ = $′ $′′ − $′′$′ ,

а $,$ е вронскианът от линейно независимите функции $и$.

Второто остатъчно уравнение (44) не притежава полиномно – билинейна

структура по отношение на операторите и , затова принципът на

индексния паритет е неприложим. Ето защо ще приложим пространствената

модификация на билинейно – трансформационния метод, представяйки

пространствения параметър , във формалния ред

(47) , = −RR

+RR

∑ ,9∞∞ ,

където , са неизвестни засега, изобщо казано комплексни параметри.

Замествайки , от (47) в остатъчното уравнение (44) и прилагайки осемкратно

формулата на Коши за произведение на абсолютно сходящи редове ∑ *∞*∞ .∑ 1+∞+∞ = ∑ 1∞,∞ ,

отчитайки, че 0, =$,, ще получим безкрайната система

∑ 2 − 3 = 3 − ∞ ∞

× ∑ 2 − 3 + ∞ ∞ ∑ 2 − ∞

∞ ,

= 0, ±1, ±2,…

Имайки предвид абсолютната сходимост на редовете от двете страни на

предходното равенство, валидно за всяко цяло , то тази безкрайна система ще

бъде удовлетворена, ако дефинираме ,(9) с равенствата

(48) ,9 =∑ 3RRRRRR45 ∞∞

∑ ∞∞ 5

, = 0, ±1, ±2,…

Важен етап от приложението на споменатата по-горе модификация на

пространствения билинейно-трансформационен метод е доказателството, че

формалният ред (47) с членове ,(9), дефинирани с равенство (48), е

абсолютно сходящ. Това предположение е формулирано като следната Теорема

3.

Теорема 3. Безкрайният ред (47) с членове ,9, дефинирани с равенство (48)

е абсолютно сходящ за всяка стойност на 9, такава че 0 < |9| < 1.

Тази теорема е доказана в секция 3.3 (§3) на Глава II от дисертационния труд.

Вече можем да кажем, че мероморфната бипериодична функция

(49) , = −RR

+RR

∑ ,I∞∞ + 6 RR HH$ >$ ,5$ ,5

,

35

е точно решение на еволюционното уравнение (42). Физическа приложимост

това решение би имало, ако посочим подходящи стойности на свободните

параметри, при които решението е реално и двукратните полюси в мрежата от

точки 8 = + ? / + , ,/ ∈ ℤ. Ако приложим хипотезата

(50) ? = HI,I > 0 ,

то 9 = 6' ∈ (0,1) и решението (49) ще бъде реално или комплексно, в

зависимост от това дали фазовата променлива 8 е реална или комплексна. В

случай че ∈ ℝ (без ограничение на общността можем да приемем, че > 0 ),

то в условието на (50) 8 ∈ ℝ и прилагайки фуриеровото развитие на

логаритмичната производна за $8, 9

> $ ,5$ ,5

= 4∑ 5 =@S $5

∞ ,

можем да получим периодичното реално решение във формата

(51) , = −RR

+RR

4∑ ,I +∞∞ <<.cosechI>. cos 285.

Полученото реално периодично решение (51) е характерно в зоната I →

0,т.е.9 → 1, в която нелинейните ефекти върху елевацията на конвективния

флуид са най-слаби. Поради бавната си сходимост, решението (51) е практически

неприложимо в силно нелинейните зони, т.е. при I → ∞или9 → 0. За да

приспособим решението (49) за тези силно нелинейни зони, ще дефинираме един

нов пертурбационен параметър 9, 9 = #'( ,където? = −1/?. В условието на

хипотеза (50) да приложим квазипериодичната модулация за $8, 9, която е

$8, 9 = −H?#($

' $?8, 9

и използвайки тъждеството за втората логаритмична производна на $D,9, а

именно

(52) 9 *ln$D,9+ = −∑ sech*HD − >?+∞∞ , D = ?8 = H8/I,

то решението (49) в силно нелинейната зона I → ∞ добива формата

(53) , = − RR +R6'R

+6RR

∑ 4,I +RR!6 sech $'6 5∞∞ .

В силно нелинейните зони, в които е валидно решението (53) то представлява

суперпозиция от подобни солитарно-вълнови профили, върховете на които са в

точките 0, ±>, ±2>,… а дължините им са 2>/.

Особено интересно в анализираното уравнение (42) е обстоятелството, че в

специалния случай, когато < = <</<, въпросното уравнение променя своя

статус – от неинтегруемо, то се превръща в полуинтегруемо. Това директно

следва от променената структура на второто остатъчно уравнение (44)

36

*< + ,< + < + 8A9+0. 0 = 0,

където A е изкуствено прибавена „диференциална“ константа. Новата стойност

на пространственото отклонение ,, като решение на горното уравнение е , = −RRRR

+ 8 RR 41 + 9.′,. ,

5, което съвместно с дисперсионното съотношение (45) означава, че

(54) ; = <</<,

т.е. в този специален случай фазовата честота е положителна и еднопосочните

вълни са движат наляво. Осъществява се следната внезапна метаморфоза в

периодичното решение. При суперпозицията от вълновите форми (53) и при

прехода < → <</<, вълните проявяват посочената вече динамика на

еднопосочни солитарно-вълнови форми. Тези подобни солитарно-вълнови

форми мигновено се прегрупират в еднакви вълнови форми, в момента когато < = <</<, а пространствените отклонения ,I въздействат на решението

като едно глобално пространствено отклонение, което се вижда от конкретния

вид на решението

(55) , =

8 1 + ′,

, −

+

+ 6

∑ sech

∞ ∞ .

11. Еволюционно уравнение на Кавахара

Нелинейното еволюционно уравнение на Кавахара [22], което има

структурата

(56) + + = f ,

където ,,f са реални параметри, = , ∈ ,b, по своята

приложимост е мултифункционално. От една страна то се използва [22] като

моделно уравнение, описващо еволюцията на едномерни вълни, за които ъгълът

между фронта и градиента на външното поле клони към критичния =

arctg]/ − ]/, (, са масите съответно на йон и електрон), а от

друга страна е модел на фронтален сблъсък между фронтовете на дълги вълни в

плитка вода [23], доколкото то може да се третира като частен случай на

еволюционното уравнение HOKdV (1). Параметрите ,f характеризират

дисперсната среда, а – нелинейните ефекти.

При бипериодичния анализ на това уравнение е удобно вместо (56) да

използваме негов компактен аналог

(57) + + I = ,I = ±1,

който се генерира от (56) след рескалирането

37

→ WT ; → T

WT ; →

T .

След трансформацията на Хирота – Сатсума [3] , = , + -ln0,- ≠ 0, , ∈ ,b ,

получаваме билинейната форма на уравнение (57), която има вида

* + I − − 8Β+0. 0 + − 6I

.

+ . 630 . − 120

. + ,7 = 0,

където Β е интеграционна константа, която в изоспектралния аналог на уравнение

(56) - = , = , f = f() би могла да зависи от , но не и от . ни

позволява Ако изберем свободния параметър - така, че - = 12I, то можем да

представим билинейната форма на уравнението на Кавахара, като конюнкция от

следните две остатъчни уравнения

(58) + I − − 8Β0. 0 = 0;

(59) ,0 = 300. 0 − 1500. 0,

първото от които има полиномно – билинейна структура, а второто е нелинейно

по отношение на билинейните оператори на Хирота [2]. При хипотезата, че

решението на първото остатъчно уравнение (58) се представя с третата тета-

функция на Якоби

0, = $8, 9 = ∑ 9#$∞∞ , 8 = + ; + <, 9 = #'( ,Im? > 0

и прилагането на принципа на индексния паритет, уравнение (58) се редуцира до

нехомогенната алгебрична система

B$′ ; + 5 Β = 8I$′ + 9$′′ − 64$′ + 39$′′′ + 9$′′′;

$′ ; + 5 Β = 8I$′ + 9$′′ − 64$′ + 39$′′′ + 9$′′′ ,

$ = $0,9, ' = 2,3,

която подобно на алгебричните системи за предходните две уравнения има

единствено решение

(60) , = 81 + () − 64!1 + 3() + − () ";

(61) Β, 9 = 8I99 + 649*9 + 399+, където сме въвели за по-голяма компактност следните означения

(62) =W′,

W,; =

W′

′ ,

′

W,; =

W′′,

W,; =

W

′ ,

′

W,,

а с W$,$ сме означили вронскианът от линейно–независимите функции $0,9и$0,9.

38

Второто остатъчно уравнение (59), което не притежава полиномно –

билинейна структура, решаваме с помощта на пространствената модификация,

представяйки глобалното отклонение , във вид на формален безкраен ред , = ∑ ,U∞∞ ,

което свежда остатъчното уравнение (59) до безкрайната система

∑ = 240 ∑ 2m2 − 3 − 2 − ∞ ∞

∞ ∞ , = 0, ±1, ±2, …

Последната е съвместима, ако дефинираме , = ,9, = 0, ±1, ±2, … , както

следва

(63) ,9 = 240∑ 3U()()45()∞∞

∑ 5()()∞∞

, = 0, ±1, ±2, …

Равенство (63) e възможно, ако редовете в числителя и знаменателя са абсолютно

сходящи за всяко цяло . Това се оказва, че е осъществено при условието 0 <|9| < 1 на базата на следната теорема.

Теорема 4. Безкрайният ред , = ∑ ,U∞∞ с членове ,9, дефинирани с

(63) е абсолютно сходящ за всяка допустима стойност на 9, |9| ∈ (0,1).

Теорема 3 е доказана в т.4.3 на Глава II от дисертационния труд. Условието за

аналитичност на комплексното мероморфно решение на уравнение (56), което

придобива вида

(64) , = ∑ ,U∞∞ 9 + 12I $ 4> $,5$,5

5, е свързано с реалната рестрикция на тази функция и избягването на двукратните

полюси в мрежата 8 = > + + ?> / +

, ,/ ∈ ℤ. В условията на

хипотезата

(65) ? = Hg, g > 0, т.е. 9 = 'V ∈ (0,1)

споменатото условие за аналитичност придобива формата |=8| < >g, т.е. това

е хоризонталната ивица −>g < I8 < >g. При реално вълново число, което

можем да приемем без ограничение на общността за положително число и

отчитайки Фуриеровото развитие на логаритмичната производна за $8, 9 (Вж.

т.7), можем да получим едно добре дефинирано двупараметрично семейство от

реални синусоидални вълни.

(66) , = ∑ *,Ug + 48−1Icosech>g. cos28+∞∞ .

Да уточним, че в случай на положителни стойности на вълновото число ,

дисперсионното съотношение (60) дефинира една реална стойност на фазовата

честота и съответно на фазовата скорост W = ;/. Както и в предходните две

39

еволюционни уравнения, пространствените отклонения ,Ug,въздействат

индивидуално върху всяка отделна хармоника, т.е. те физически ги отклоняват

вертикално. В случай че вълновото число е имагинерно, т.е. → H, като без

ограничение считаме, че Im() > 0 и изберем фазовото отместване < такова, че < → < + >g или H8 → H8 + >?(? = Hg), то при квазипериодичната модулация на

функцията $D, 9, а именно $D,9 = 9

#9$ D +'( ,9 и използването на

формула (52), ще получим следното солитарно – вълново решение на

уравнението на Кавахара

(67) , = ∑ *,Ug+12εsech8 − >g+∞∞ .

На Фиг. 6 са визуализирани пространствените отклонения ,Ug, = 0, 1, … , 15

за първите петнадесет положителни стойности на и пертурбационен параметър g = 2. Вижда се ясната тенденция, произтичаща от Теорема 4, че lim→%

,g =

0.

Фиг. 6 Пространствени отклонения , = 2

На Фиг. 7 са представени периодичните солитарно-вълнови профили (67) при g = 1/2, при които ясно са обособени профилите, които са напълно еднакви при

отсъствието на пространствените отклонения. Горната графика показва формата

на периодичната вълна без присъствието на пространствените отклонения, а на

долната графика е реалната периодична вълна.

40

Фиг. 7 Солитарно-вълново решение при = 1/2 (долна графика)

Използвайки Теоремата за кноидалната логаритмична производна (Вж. т.8),

бихме могли да придадем една кноидална форма на мероморфното решение (64),

а именно

(68) , = 4,,g + ′′,5,55 + 12ε$0,9cn2*8$0,9,+,

където ,,g = ∑ ,U∞∞ g; 9 = 'V; g > 0; =,5,5

.

Проявата на групово свойство на пространствените отклонения ,Ug, както

е в кноидалното решение (68), разкрива дуалистичната им физическа природа,

различните аспекти на която ще бъдат коментирани в заключителните бележки.

12. Еволюционно уравнение на Курамото – Сивашински

Еволюционно уравнение

(69) + 2 + + + = 0, = const.

е въведено през 1976 г. от японските физици Курамото и Цузуки [24] като модел

на еволюцията на дълги вълни по повърхността на вертикален вискозен филм

( = 0) или по повърхността на наклонен вискозен филм ( ≠ 0). Някои автори

[11] наричат това уравнение в случая ( ≠ 0) – обобщено уравнение на вълновата

динамика, тъй като то може да бъде изведено от уравнението за съхранение на

импулса на движението и уравнението за непрекъснатост, в условието на

хипотезата на Капица [25] за параболичния скоростен профил на напречното

сечение.

Уравнение (69) е от четвърти ред с трета степен на сингулярност. Това

уравнение е анализирано от десетки автори, както аналитично, така и числено.

Основните резултати на тези изследвания са посочени в историческия обзор (т.

4.2, Гл. II) на дисертационния труд. Решенията, изложени чрез пространствената

модификация на билинейно – трансформационния метод, не са получени от други

автори с други подходи и методи.

41

Билинейната форма на уравнение (69) отново получаваме, както и при

предишните три еволюционни уравнения - посредством трансформацията на

Хирота – Сатсума [3] , = ℂ + -ln 0 ,- ≠ 0,

където ℂ, - са неизвестни на този етап параметри, а 0 = 0, е неизвестна

функция от класа ,

(Ω). Използвайки билинейните представяния на

логаритмичните производни (Вж. Приложение А, B) ще получим билинейната

редукция на уравнение (69) във формата

* + 2ℂ + − 8Β+0. 0 + - − 6 . +

+ 6

. +

. − 6

. −

ℂ

!7 = 0,

При избора - = 6, уравнението се представя като конюнкция на две остатъчни

уравнения

(70) + 2ℂ + − 8Β0. 0 = 0;

(71) ℂ0 = 00. 0 + 00. 0 − 30. 0.

Остатъчното уравнение (70) има полиномно-билинейна структура, което

позволява да приложим принципа на индексния паритет (Вж. т.4), при което

получаваме дисперсионното съотношение и стойността на интеграционната

константа както следва

(72) ;, 9 = −2ℂ + 8*1 + 9W9+; (73) Β,9 = 89W9,

където W9, W9 са дефинирани в равенство (62). Нека уточним, че

решенията (72), (73) са получени в условието на хипотезата, че функцията 0, , която удовлетворява (70) има вида 0, = $8,9,

където фазовата променлива е дефинирана с равенството 8 = + ; + <, а

фазовите параметри , ;, < (които биха могли да са и комплексни)

предполагаме, че са ненулеви, за да избегнем тривиалните варианти. Що се отнася

до второто остатъчно уравнение (71), неговото решение можем да получим

единствено с пространствената модификация на билинейно –

трансформационния метод, тъй като това уравнение не притежава полиномно-

билинейна структура. Така получаваме, че (71) се удовлетворява тъждествено,

ако дефинираме пространствените отклонения ℂ както следва

(74) ℂ,9 = 16 ∑ 345 ∞∞

∑ 5 ∞∞

42

−4 ∑ 5 ∞∞

∑ 5 ∞∞

където ℂ,9, = 0, ±1, ±2, … са членовете на формалния ред

ℂ = ∑ ℂ∞∞ (,9.

В т. 5.3 (Гл.II) на дисертацията е доказано, че безкрайният ред с членове

ℂ, 9, дефинирани с равенство (74), е абсолютно сходящ. Това позволява да

получим реалните рестрикции на решението на разглежданото уравнение в

хоризонталната ивица ? = HI, I > 0

−I> < I8 < I>,

а именно

(75) , = ∑ *ℂ, I + 12 cosechI>. cos28+.∞∞

Решението (75) обхваща зоната на „малка амплитуда“, т.е. I → 0(или9 → 1),

която е характерна със слабото въздействие на нелинейните ефекти върху

динамиката на дългите вълни. В зоната на „голямата амплитуда“ т.е. при I →

∞(9 → 0), съответстваща на вълнов режим, при който нелинейните ефекти са

осезателни, дефинираме нов пертурбационен параметър 9 = #'( , където ? =

−1/? = H/I. Във втората логаритмична производна на $8, 9 извършваме

квазипериодичната модулация $8,9 = −H?/#($/'$?8,9,

която съвместно с тъждеството за втората логаритмична производна

9 *ln$D, 9+ = −∑ sech*iD − >?+∞∞ ,

при D = ?8 = H8/I, получаваме следното периодично солитарно-вълново

решение

(76) , = −6' + ∑ 4ℂ, I + 12 sech $'6 5 .∞∞

Получихме една двупараметрична фамилия (фазовото отклонение < считаме

за фиксирано) от подобни солитарно-вълнови профили, които съгласно

дисперсионното съотношение (72) са еднопосочни. Върховете на тези профили

са в точките 0, ±>, ±2>, … , ±>, … ∈ ℤ а дължините им са Λ = 2>/I.

Динамичната еквивалентност на периодичните решения (75) и (76) се

основава на два фактора: общо дисперсионно съотношение (72) и фазови

скорости, които са различни от скоростта V=ω/k на солитарния импулс. Тук

V е вълновата скорост на солитарното решение на уравнение (69), намерено от

Н. Кудряшов [11] през 1988 с метода на сингулярните деформации т.е.

V = 4 +

! 16 − −

< 7 −

! 5,

където k е произволен положителен корен на биквадратното уравнение

43

− 16 − −

!!! 1 +! = 0.

Може да се покаже, че съществуват положителни стойности на вълновото число , при които двете фазови скорости съвпадат, т.е.

−2ℂ + 8*1 + 9W9+ = V или =Vℂ

!35W54 .

При такива стойности на вълновото число , периодичната солитарна вълна (76)

се интерпретира като една действителна линейна суперпозиция на солитарни

вълнови профили, обвивката на които се явява самата солитарна вълна.

Както бе формулирано твърдението, че ако едно нелинейно частно –

диференциално уравнение притежава решение, изобразяващо се чрез

трансформацията на Хирота – Сатсума [3] в някоя от тета – функциите $8, 9, ' = 1,2,3,4 , то това уравнение допуска кноидално решение. Това

твърдение директно следва от Теорема 1 (за кноидалната логаритмична

производна). За конкретното уравнение можем директно да приложим

цитираната теорема (Вж. т. 8), при което получаваме за кноидалното решение на

уравнение (69) следната функция

(77) , = 4ℂ, I + 6 ′′,5,55 + 6$0,9. cn*8$0,9,+,

където ℂ, I = ∑ ℂI∞∞ ,9 = 6' , I > 0; =,5,5

, са дефинирани с

равенство (74).

Фиг. 8 Кноидална вълна при = 2

В кноидалното решение, илюстрирано на Фиг. 8, ясно проличава груповото

въздействие на пространствените отклонения върху кноидалната вълна. Всички

пространствени отклонения ℂ, I чрез своята суперпозиция формират част от

глобалното пространствено отклонение.

13. Еволюционно уравнение на Николаевски

През 1989 г. Николаевски [26] въвежда еволюционното нелинейно уравнение + + 3 − 2 − = 0,3 = 1 − g, 0 < g ≪ 1,

като модел, описващ скоростта на отместване за надлъжни сеизмични вълни в

дисперсна среда. Сеизмичните вълни са еластични вълни, които в реална

44

дисперсна среда се разпространяват във формата на затихващи трептения.

Обикновено те възникват в резултат на сблъсък или приплъзване на тектонични

плочи, или при взрив.

Английските физици Симбава, Матеус и Кокс [27] през 2010 г. показват, че

въпреки наличието на два дисперсни члена в модела на Николаевски,

уравнението, което представя е опростена версия на описваните вълни. Ето защо

те предлагат нова версия на модела, съдържаща четири дисперсни члена

(78) + − 3 − − 2 − − = 0,

където коефициентите и са обвързани с параметрите на дисперсната среда, а 3 = 1 − g, 0 < g ≪ 1 се нарича контролен параметър.

Ще опишем накратко основните резултати от приложението на

пространствената версия на билинейно – трансформационния метод за

еволюционното нелинейно уравнение (78). Това уравнение има висок ред

(шести), което в съчетание с високата степен на сингулярност (пета), е силно

комплицираща ситуация, въпреки наличието на само един нелинеен член с

квадратична нелинейност. Ще търсим локализирано решение уравнение (78),

което се изобразява в четвъртата тета – функция на Якоби $8,9, посредством

трансформацията на Хирота – Сатсума [3] , = ℂ + -ln 0, ,- ≠ 0,

където ℂ, - са параметри, които са неизвестни на този етап, а 0, е неизвестна

функция от класа ,!(Ω). Билинейната форма на уравнение (78) добива

сложния вид

## + 16ℂ#

− # − $#

− 8Β %. % +

+ 6 .

+30 .

&$ .

− 4$ .

−ℂ

' −

(

) − 3Ε#

+ 2# + #

− 8Α %. % −

−12 .

&.

+

.

− 10 .

−Ε

'* = 0,

където Β е интеграционна константа, Ε е изкуствено внесен параметър в

уравнението на паритетен принцип, а е параметър, подложен на

диференциалния оператор . Ако изберем параметъра - така, че - = −12, то

билинейното уравнение може да се представи като конюнкция от следните четири

остатъчни уравнения:

(79) * + 16ℂ − − − 8Β+0. 0 = 0;

(80) ℂ0 = 00. 0 − 20. 0;

(81) *3 − 3Ε + 2 + − 8Α+0. 0 = 0;

(82) Ε0 = 500. 0 + 200. 0 − 100. 0.

45

Първото и третото уравнение са с полиномно-билинейна структура по отношение

на оператора 0. 0,/ = 1,2, …, и позовавайки се на принципа на индексния

паритет (Вж. т. ), тези две уравнения определят еднозначно както фазовия

параметър ; при хипотезата 0, = $8, 9, където 8 е дефинирана с

равенството 8 = + ; + <, така и параметрите Β,h,

(83) ;,9 = 416 − 2 − ℂ + 8924 − W9

+89*W9 − W9+ (84) Β, 9 = 89P24W9 + qW9 − W9Q, (85)Ε, =

!) − 88 − 1 − 824 − 1W − 64W −

W "

(86) Α, 9 = −89(8*3W9 + qW9+ − W9). където WX9, ' = 0,1,2,3 са дефинирани както в (62). Добре е да уточним, че

дисперсионното съотношение (83) не е все още детерминирано по отношение на

независимите параметри , 9, тъй като параметърът ℂ засега не е известен.

Второто и четвъртото уравнение от системата от остатъчни уравнения (79) – (82)

не притежават полиномно – билинейна структура, което означава, че за да

удовлетворим тези уравнения ((80) и (82)), трябва да приложим

пространствената вариация на билинейно-трансформационния метод, като

представим ℂиЕ във формалните редове

(87) ℂ = 16∑ ℂ9∞∞ и Ε,9 = ∑ , 9∞∞ .

Заместваме тези развития съответно в уравнения (80) и (82), в които

предварително сме заместили функцията 0, с предполагаемото решение $8, 9. След не сложни манипулации в споменатите равенства, ще получим

следните решения

(88) ℂ9 =∑ 345 ∞∞

∑ 5 ,∞∞

, = 0, ±1, ±2, … .

(89) Ε,9 = 80g − 8g,

където g и g са сумите на абсолютно сходящите редове

g(9) = ∑ ∑ 345 ∞∞

∑ 5 ∞∞

!∞∞ ;

g(9) = ∑ ∑ 5 ∞∞

∑ 5 ∞∞

!∞∞ .

Сравнявайки десните страни на (85) и (89), стигаме до извода, че за да се

съгласуват параметрите в четирите остатъчни уравнения (79) – (82) е

необходимо вълновото число да удовлетворява алгебричното биквадратно

уравнение

46

(90) 30g + 8W9 − 1 + 3g + 9W9 −Y! = 0,

където за удобство сме означили

W9 = 3qW9 + 81 + qW9 − qW9,

а WX9, ' = 0,1,2,3 са дефинирани в (62).

Вече можем да обобщим верижния характер на внесените изкуствени

параметри иC в остатъчните уравнения. Параметърът C внесен в (82)

вълновото число , а параметърът A внесен паритетно в (81) определя

структурата на E. Тази сложна зависимост между параметрите е резултат от

комплицирания характер на билинейния аналог на изходното уравнение (78).

Практиката показва, че нелинейни еволюционни уравнения, които са

неинтегруеми и притежават висока степен на сингулярност, съчетана с висок ред,

в крайна сметка се редуцират до повече на брой остатъчни уравнения (т.е. повече

от две). Такъв е случаят с еволюционните уравнения HOKDV (Вж. т.2, 3, … 9) и

обобщеното уравнение на Николаевски.

В условията на хипотезата ? = HI,къдетоI > 0, т.е. 9 = 6' ∈ 0,1 по

аналогия с предходните уравнения можем да получим точните реални

периодични решения на уравнение (78) в т.нар. зони на „малка амплитуда“ и на

„голяма амплитуда“, които са както следва

(91) , = 16∑ *ℂI − 3−1 cosechI> . cos28+∞∞ ,

в зоните със слаба нелинейност (I → 0,т.е.9 → 1) и

(92) , = −6' + 16∑ 4ℂI −

6 sech $'6 5∞∞ ,

в зоните със силно изразени нелинейни ефекти (I → ∞т.е.9 → 0). Динамичната

еквивалентност на тези структурно различни еднопараметрични фамилии от

реални периодични решения, се обуславя от пет обстоятелства:

- Решенията (91) и (92) са реални и „заобикалят“ двукратните полюси на $8, 9, които са в точките 8 = + / + I,където ,/ ∈ ℤ;

- Имат общо дисперсионно съотношение (83);

- Имат едно и също вълново число (I), което е кой да е положителен корен

на биквадратното уравнение (89);

- Решенията (91) и (92) имат една и съща област на аналитичност –

хоризонталната ивица −I> < I8 < I>, която в зоната на слаба нелинейност

(I → 0) е все по-тясна, докато в зоната на силна нелинейност (I → ∞), тя става

все по-широка;

- Двете решения имат едни и същи пространствени отклонения ℂI, = 0, ±1, ±2, … , пресметнати с (88) за -тата хармоника.

47

В заключение нека споменем и за груповата проява на пространствените

отклонения, изразена с периодичното кноидално решение

(93) , = 4ℂI + ′′′,5,55 + $0,9cn8$0,9,,

където 9 = 6' ,I > 0; =,5,5

, което периодично решение произтича от

Теоремата за кноидалната логаритмична производна (Вж. т. 8). В това решение

пространствените отклонения ℂI, = 0, ±1, ±2, … упражняват своето

въздействие върху кноидалната вълна в цялата си съвкупност, съгласно (87),

образувайки едно глобално пространствено отклонение при фиксирано I > 0.

14. Обобщено уравнение на Бусинеск от шести ред

Обобщеното нелинейно частно – диференциално уравнение на Бусинеск

(SGBE)

(94) − − 6 − − = 0.

е изведено от Мейджин [28] през 1999 г. и описва динамиката на едномерна

решетка, съставена от N на брой частици с равни маси (m) и отстоящи на равни

разстояния помежду си (I) като 0 < I ≪ 1. До 2009 г. не са известни други

решения на (94) освен числени и асимптотични (Вж.[29]). В [30] е публикувано

точно периодично решение на уравнение SGBE, получено посредством

пространствената вариация на билинейно-трансформационния метод. Това

уравнение изигра ролята на тест за приложението на посочената пространствена

вариация, тъй като то е неинтегруемо и същевременно е нееволюционно. Ще

изложим накратко основните подходи и резултати от анализа на това интересно

уравнение, подробности за което са изложени в §7, Гл. II на дисертационния труд.

Трансформацията на Хирота – Сатсума [3] , = , + -ln 0 ,- ≠ 0,

където както и в предходните нелинейни уравнения параметрите ,,- са

неизвестни на този етап, а0 = 0, е функция от класа ,!Ω, като Ω =(, ∈ ℝ, 0 < < ∞; −∞ < < ∞) и билинейните трансформации на

последователните логаритмични производни, привеждат уравнение (94) в

билинейната форма

4 − − −

− 8Β5 0. 0 − . 46- − 1

. − 12 .

−48 . + 12,7 = 0

48

където Β е интеграционната константа, която се генерира при двукратното

интегриране по . Използвайки свободата при избора на параметъра -, можем да

опростим редукцията, ако го изберем - = 1, при което окончателно получаваме

за горното уравнение следното представяне като конюнкция от двете остатъчни

уравнения

(95) 4 − − − − 8Β5 0. 0 = 0;

(96) 2,0 = 00. 0 + 20. 0,

които по същество представляват сложни нелинейни частни-диференциални

уравнения. При хипотезата 0, = $8, 9, където 8 = + ; + <, а

параметрите , ;, < са неизвестни на този етап (възможно и комплексни), като ≠ 0, ; ≠ 0 и след прилагането към уравнение (95) на принципа на индексния

паритет, това сложно нелинейно уравнение спрямо 0, се редуцира до две

линейни алгебрични уравнения спрямо параметрите , 1 9$′ ; + $Β = 9 1 + 8 −! $′ + 89 1 −

! $′′ − 1289 ′′′ ;

9$′ ; + $Β = 9 1 + 8 −! $′ + 89 1 −

! $′′ − 1289 ′′′ ,

където $ = $0,9,' = 2,3, а$′ =5 , ' = 2,3. Пертурбационният

параметър 9 = #'( , =? > 0 гарантира равномерната сходимост на всяка тета

функция. Лесно е да установим, че горната алгебрична нехомогенна система е

съвместима и определена, единственото решение на която е

(97) , = 1 + 8 −!

+ 8 1 −

!

W − 128 "W

#W#$

(98) Β, = 8 1 −!

W + 128

#

,

където W9 са дефинирани в (62).

Неавтономността на второто остатъчно уравнение (96) по отношение на 0. 0 не позволява прилагането на добре работещия принцип на индексния

паритет (Вж. т.4), затова ще приложим пространствената вариация

(99) , = 8∑ ,9∞∞ ,

където на този етап редът е формален и с неизвестни членове ,9. Заместването

на така дефинираното пространствено отклонение , във второто остатъчно

уравнение (96) , както и хипотезата, че 0, = $8,9, води до дефинирането

на

(100) ,9 =∑ 345 ∞∞

∑ 5 ∞∞

, = 0, ±1, ±2, …

В Теорема 8 (Вж. т.7.5) на дисертацията е доказана строго абсолютната

сходимост на безкрайния ред (99), с членове дефинирани с равенство (100),

49

което ни дава основание да обявим комплексната мероморфна и бипериодична

функция

(101) , = , + $ > $ ,5$ ,5

,

за точно локализирано решение в пространството със силна топология ,Ω.

Необходимостта от физическа приложимост на решението (101) налага да

преодолеем двукратните полюси в мрежата от точки 8 = + H / + =?,

както и така да подберем свободните параметри , 9, <, че това решение да е

реално. В условието на хипотезата

(102) ? = HI, I > 0, т.е. 9 = 6' ∈ (0,1)

можем да ограничим вариацията на фазовата променлива 8 в хоризонталната

ивица

(103) −I> < Im8 < I>.

което определя както областта на аналитичност, така и реалната рестрикция на

решението (101).

За да определим конкретно реалните вариации на решението в ивицата (103),

ние разглеждаме двете важни състояния на пертурбационния параметър I > 0, а

именно: режима на „малките амплитуди“ -I → 0 (т.е. 9 → 1), съответстващ на

зони със слабо изразени нелинейни ефекти и режима на „големите амплитуди“ - I → ∞ (т.е.9 → 0), характерен за зони със силно осезаеми нелинейни ефекти. В

зоната на „малките амплитуди“ можем да използваме Фуриеровото развитие на

логаритмичната производна [16], т.е.

> $ ,5$ ,5

= 2∑ cosechI> sin28∞∞ ,

при което в зоните със слабо изразени нелинейни ефекти получаваме

периодичното синусоидално решение

(104) , = 4 ∑ *4,I + −1cosechI> cos28+∞∞ .

На пръв поглед синусоидалното решение (104) има структура, подобна на

съответното решение (91) на обобщеното уравнение на Николаевски. В

решението (104) пространственият мултипликатор е 4,I, а в решението

(91) този мултипликатор е ℂI. Различието обаче е съществено, тъй като в

решението (104) иI са независими положителни параметри, докато в

решението (91), = (I), т.е. фамилията от синусоидални решения е

еднопараметрична.

В зоните на силна нелинейност - режим на „голяма амплитуда“, т.е. при I →

∞ (9 → 0), редът (104) има много бавна сходимост, което го прави практически

неизползваем. Ако в условието на хипотеза (102) въведем един нов

50

пертурбационен параметър 9 = #'( , където ? = −1/?,т.е.9 = '/6 или при I → ∞, новият пертурбационен параметър 9 → 1. Прилагайки

квазипериодичната редукция за $8, 9 (Вж. [16])

$8,9 = −H?#(

$?8,9,

можем лесно да изразим логаритмичната производна на $, а именно

> $ ,5$ ,5

= −$'6 +

#6> ($,5($,5

,

като със символа $ZN 8, 9 означаваме за удобство частната производна на $8, 9, ' = 2, 4 по отношение на фазовата променлива 8. Като използваме

тъждеството

9 > 9,59,5

= −∑ sech*HD − >?+∞∞ ,

то за точното решение на обобщеното уравнение на Бусинеск от шести ред (94),

получаваме

(105) , = −'6 + ∑ 416,I +

6 sech $'

6 5∞∞ ,

където индивидуалните пространствени отклонения ,I, = 0, ±1, ±2, … са

дефинирани с равенство (100). Както и при анализите на еволюционните

нелинейни уравнения (1), (42), (56), (69), (78), които направихме в предходните

секции, нямаме основание да кажем, че пространствената вариация на билинейно-

трансформационния метод е неприложима към нееволюционните уравнения,

каквото е уравнение (93). Редът (105) показва, че солитарната вълна

(106) , = 16,I +6 sech( 8/I),

получена от (105) при = 0 (игнорираме глобалното пространствено

отклонение с рескалацията → − 2I/> ) се мултиплицира на равни

интервали върху аксиалната ос.

Можем да посочим при това нееволюционно уравнение (94) и такова

периодично решение, при което като че ли солитарният импулс sech се

„щампова“ на равни интервали върху аксиалната ос. Това е кноидалната вълна,

която съгласно Теоремата за кноидалната форма на втората логаритмична

производна (Вж. т. 8) придобива формата

(107) , = 4,I + ′′,5,55 + $0, 9cn8$0,9,,

където = , > 0; =

,#

,#; = 16 ∑ ∞

∞ . При кноидалното

периодично решение се проявяват не индивидуалните, а груповото свойство на

пространствените отклонения.

51

15. Заключителни бележки

Според големия шведски математик Магнус Густав Митаг – Лефлер (1846 –

1927), сингулярностите на една функция се определят от сингулярностите ѝ в

комплексната равнина. Ако разгледаме обикновеното диференциално уравнение

от ред /, (/ ∈ ℕ), () + ,D + ⋯ + ,D = 0, / ≥ 1, = (D),

коефициентите ,D, ' = 1, 2, … ,/, на което са холоморфни функции в околност

на комплексната точка D ∈ ℂ, то тази точка D се нарича регулярна, ако в нейна

околност съществуват / линейно – независими аналитични решения на това

диференциално уравнение. Сингулярностите на решенията на въпросното

обикновено диференциално уравнение могат да бъдат само в точки, в които

самите коефициенти имат сингулярности. Тези особени точки се наричат

неподвижни, защото тяхното разположение в комплексната равнина не зависи от

броя на интеграционните константи, които са / на брой. Неподвижността на

особените точки в решенията на едно обикновено диференциално уравнение е

обща отличителна черта за линейните уравнения. Нелинейните диференциални

уравнения имат както подвижни, така и неподвижни особени точки.

Сингулярностите, независещи от разположението на интеграционните константи,

се наричат подвижни особени точки, а когато сингулярностите за

диференциалното уравнение не са полюси от някаква кратност (логаритмични

или алгебрични разклонения, или съществени особени точки), те се наричат

критични особени точки.

Свойството Пенлеве [10] за едно частно диференциално уравнение се състои

в отсъствието на подвижни критични точки в Лорановото развитие на неговото

решение. Когато едно обикновено диференциално уравнение, получено в

резултат на някаква редукция от нелинейно частно-диференциално уравнение,

притежава подвижни критични точки (т.е. няма свойството Пенлеве), то това

частно диференциално уравнение е неинтегруемо. В случай, че е налице

свойството Пенлеве – уравнението е или интегруемо, или частично интегруемо.

Съществуват два основни подхода за анализ на подвижните критични точки

на обикновените диференциални уравнения: – методът на Пенлеве [10], описан

подробно от Э. Айнс [31] и методът на Абловиц, Рамани и Сейгър [32], който е

модифицирана версия на анализа на С. Ковалевская (1850 – 1891).

Практически анализът на подвижните особености, въведен в настоящия

вариант от Абловиз, Рамани и Сейгър [32], е приложим към всяко нелинейно,

52

частно диференциално уравнение (еволюционно и нееволюционно). Ако

проведем такъв анализ към частните нелинейни уравнения (1), (42), (56), (69),

(78), (94), ще установим следния статус за тях, показан в следната таблица:

Уравнение Ред Степен на

сингулярност

Статус на

интегруемост

HOKdV (1) 5 2 неинтегруемо

CFE (42) 4 2 неинтегруемо

KE (56) 5 4 неинтегруемо

KSE (69) 4 3 неинтегруемо

NE (78) 6 5 неинтегруемо

SGBE (94) 6 4 неинтегруемо

Изхождайки от споменатия по-горе анализ, напр. за уравнение (1), което при

стандартната рескалация „бягаща“ вълна D = + ; се редуцира до

обикновеното диференциално уравнение

1 + + + 23 − "+( − )()" − α3 + " + () = 0,

където , = (D), появата на втората критична подвижна точка ще бъде

между членовете и в Лорановото развитие на решението в околност на

първата критична точка D, т.е.

D~J!α5/α3

$ +[

$ + + ⋯ + *8 + 1ln 88+ + ⋯,

където 8 = D − D. Не може с точност да се прецени в кой член между втория и

петнадесетия ще се появи втората критична особена точка с нейното

логаритмично разклонение. Да предположим, че това е четиринадесетият член в

Лорановия ред на решението. Като отчетем развитието на функцията ln 8 при 8 > 0

ln 8 = 2,8 +,8 +

,8 + ⋯

,8 + ⋯, където ,8 = $$,

n=1, 2,.., можем да си обясним защо появата на логаритмични разклонения в

членовете на Лорановите развития при неинтегруемите уравнения е свързано

неразривно с появата на пространствените отклонения в решението.

От математическа гледна точка вече е изяснен механизмът за появата в

решенията на неинтегруемите частни диференциални уравнения на т.н.

пространствени отклонения, но от физическа гледна точка остават необяснени

някои техни проявления. Например да разгледаме еволюционното уравнение за

конвективния флуид (42), което ще представим във вида + < + < + < + < + (RRR

+f) = 0,

53

където f ≠ 0. Когато f → 0, но със стойности различни от нула, уравнението

запазва своя статус на неинтегруемост и генерира периодични вълнови решения,

изразени с формули (51) в зоните на слаба нелинейност, и с формули (52) в

зоните на силна нелинейност. И в двата случая пространствените отклонения

въздействат върху хармониките индивидуално. Но когато f = 0, като че ли става

мигновено прегрупиране на пространствените отклонения, при което те започват

да въздействат върху периодичната вълна с цялата си съвкупност, при което се

оформя едно глобално пространствено отклонение, а вълновите форми стават

напълно идентични, както това ясно проличава от формула (55). Тези

метаморфози безспорно са свързани със смяната на статуса на уравнението за

конвективния флуид: при f ≠ 0 то е неинтегруемо, а при f = 0, то става частично

интегруемо, но засега въпросът, кой „съобщава“ на пространствените отклонения

за тази смяна на статуса, остава открит.

16. Приложения

Приложение А: Билинейни форми на логаритмичните производни ln 0 =. ln 0 =

.

ln 0 =. − 6

.

ln 0 =

. − 6 .

.

ln 0 =. − 30

.

. + 120

.

Приложение Б: Тета-функции на Якоби (1804-1851)

$8, 9 = H ∑ −19,

-

#$∞∞$8, 9 = ∑ 9,

-

#$∞∞$8, 9 = ∑ 9#$∞∞$8, 9 = ∑ −19

#$∞∞

където 8 ∈ ℂ; 9 = #'( , =? > 0, ? = ;/;

> $ ,5$ ,5

= cotg 8 + 4∑ 5 =@S $5

∞

> $ ,5$ ,5

= −tg 8 + 4∑ 55 sin 28∞

54

> $ ,5$ ,5

= 4∑ 55 sin 28∞

> $ ,5$ ,5

= 4∑ 5 =@S $5

∞

Приложение В: Тъждества с якобиевите $-тета функции ∑ 9 =∞∞ $0,9 = $ ∑ /9=∞∞

5 $′ ∑ /9

=∞∞5 $′ + 9$′′ ∑ /9

=∞∞5! $′ + 39$′′ + 9$′′′

∑ 9∞∞ = 9

$0,9 = 9

$ ∑ 2/ − 19 = 2∞∞ 9

$′ ∑ 2/ − 19 = 49

$′ + 9$′′∞∞ ∑ 2/ − 19 = 89

$′ + 39$′′ + 9$′′′∞∞

Приложение Г: Локализирано решение на Рикатиевото уравнение ′8 = ]S + S + S + S + S, S = ST/". , S ≠ 0 8 =\

℘8,[,[ −\\

, където

[ =1

12S − SS; [ =

S48

SSS − 3S! −S

216

Литература

[1] Gardner C. S., J. M. Green, M. D. Kruskal and R. M. Miura, Method for solving the

Korteveg-de Vries equation, Phys. Rev. Lett. 19, 1095-1097, 1967.

[2] Hirota R., Exact N-soliton solutions of the wave equation of long waves in

shallow-water and in nonlinear lattices, J. Math. Phys. 14, 810–814,

1973.

[3] Hirota R. and J. Satsuma, A variety of nonlinear network equations generated from

the Bäcklund transformation for the Toda lattice, Prog. Theoret. Phys. Suppl. 59,

64 – 100, 1976.

[4] Parker A., On exact solutions of the regularized long – wave equation: A direct

approach to partially integrable equations. II. Periodic solutions, J. Math. Phys. 36,

3506 –3519, 1995.

55

[5] Kano K. and T. Nakayama, An exact solution of the wave equation: ut + uux = uxxxxx,

J. Phys. Soc. Japan 50, no. 2, 361-362, 1981.

[6] Kudryashov N. A., Nonlinear differential equations with exact solutions expressed

via the Weierstrass function, Intern. Science project no. 1379-2, 1-22, 2003.

[7] Kudryashov N. A., Simplest equation method to look for exact solutions of

nonlinear differential equations, Chaos, Solitons & Fractals, Elsevier 24, 5, 1217-

1231, 2005.

[8] Porubov A. V., Exact travelling wave solutions of nonlinear evolution equation of

surface waves in a convecting fluid, J. Phys. A: Math. Gen. 26, 797-800, 1993.

[9] Ryabov P., D. Sinelshchikov and M. Kochanov, Application of the Kudryashov

method for finding exact solutions of the high order nonlinear evolution equations,

Appl. Math. and Comp. 218 (7), 3965 – 3972, 2011.

[10] Painlevé P., "Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur

dont l'intégrale générale est uniforme", Acta Math. 25, 1–85, 1902.

[11] Кудряшов Н. А., Точные солитонные решения обобщеного эволюционного

уравнения волновой динамики, ПММ 52, вып.3, 465-470, 1988.

[12] Conte R. and M. Mussette, Painlevé analysis and Bäcklund transformation in the

Kuramoto – Sivashinsky equation, J. Phys. A: Math. Gen. 22, 169 – 177, 1989.

[13] Matsuno Y., Bilinear Transformation Method, (Academic Press Inc., N. Y.), 1984.

[14] Olver P., Lecture notes in Physics, Springer, New York, 273 – 290, 1984.

[15] Benjamin T. B., J. L. Bona and J. J. Mahony, Model equations for long waves in

nonlinear dispersive systems, Phil. Trans. Roy. Soc., A272, 47, 1972.

[16] Lawden D. F., Elliptic Functions and Applications, Berlin: Springer, 1989.

[17] Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, Наука, ГРФМЛ,

Москва, 1970.

[18] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т.2, ГИФМИ, Москва, 1961.

[19] Toda M., Theory of Nonlinear Lattices, New York: Springer, 1979.

[20] Parker A., Periodic solutions of the intermediate long-wave equation: a nonlinear

superposition principle, J. Phys. A: Math. Gen. 25, 2003 – 2032, 1992.

[21] Aspe H. and M. C. Depassier, Evolution equation of surface waves in a convecting

fluid, Phys. Rev. A 41, 3125 – 3128, 1990.

[22] Kawahara T., Oscillatory solitary waves in dispersive media, J. Phys. Soc. Japan

33, no.1, 260-264, 1972.

[23] Yamamoto Y., Head-on collision of shallow-water solitary waves, J. Phys. Soc.

Japan 58, no. 12, 4410-4415, 1989.

56

[24] Kuramoto Y. and T. Tsuzuki, Persistent propagation of concentration waves in

dissipative media far from thermal equilibrium, Prog. Theor. Phys. 55, 356 – 369,

1976.

[25] Кутателадзе С. С., В. Е. Накоряков, Тепломассообмен и волны в

газожидкостных системах, Наука, Новосибирск, 1984.

[26] Nikolaevskii V. N., in Recent advances in engineering science, edited by S.L.

Koh and C. G. Speciale, Lecture Notes in Engineering 39, Springer, Berlin, 1989.

[27] Simbava E., P. C. Matthews and S. M. Cox, Nikolaevskii equation with dispersion,

Physical Review E 81, 036220, 2010.

[28] Maugin G. A., Nonlinear waves in elastic crystals, Oxford Mathematical

Monographs (Oxford University Press), 1999.

[29] Bao-Feng Feng., T. Kawahara, T. Mitsui and Youn-Sha Chan, Solitary-wave

propagation and interactions for a sixth – order generalized Boussinesq equation,

IJMMS 2005, 9, 1435-1448, 2005.

[30] Kamenov O. Y., Exact periodic solutions of the sixth-order generalized

Boussinesq equation, J. Phys. A: Math. Theor. 42, 375501, 1-11, 2009.

[31] Айнс Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, ДНТВУ, 1939.

[32] Ablowtz M. J. and H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform,

Cambr. Univ. Press, 2006.

Публикации на автора, свързани с дисертацията Каменов О., Нелинейна модулация и устойчивост на Стоксови вълни в

уравнението на Курамото–Сивашински, Годишник на Висшите учебни

заведения, Приложна математика, т.24/кн.3, 141-147, 1988.

Каменов О., Фуриеров анализ на нелинейни вълнови взаимодействия в

уравнението на Курамото– Сивашински, Годишник на Висшите учебни

заведения, Приложна математика, т. 24/кн. 3, 149-155, 1988.

Kamenov O., The Complex Asymptotic Solution for Nonlinear Wave Packs in

Kuramoto-Siwashinski’s Equation, Mathematica Balkanica, vol. 6/fasc. 4,

367-374, 1992.

Kamenov O., Localized Analytical Solutions of the “FKDV” Equation, Mathematica

Balkanica, vol. 7/fasc. 1, 35-44, 1993.

Kamenov O., Cnoidal Waves in the Kuramoto-Siwashinski’s Equation, Mathematica

Balkanica, vol. 7/fasc. 2, 99-106, 1993.

Kamenov O., Evolution of Periodic Waves in Dispersive Medium, Annuaire de

l’Université de Sofia “St.Kliment Ohridski”, Faculté de Mathématiques et

Informatique, Tome 88/Livre 3, 303-312, 1994.

57

Kamenov O., On One Exact, Two-Phase Biperiodic Solution of the Intermediate Long-

Wave Equation (ILW), Comptes rendus de l’Académie bulgare des Sciences,

Tome 49/6, 1996.

Kamenov O., Stability of the Solitary Waves in the Generalized Equation of KDV

(GKDV), Comptes rendus de l’Académie bulgare des Sciences, Tome 50/1,

1997.

Kamenov O., Stationary Periodic Waves in Discrete Media with Cubic Nonlinearity,

Mathematica Balkanica, vol. 11/fasc. 1-2, 115-123, 1997.

Kamenov O., Cnoidal Solution in the Equation FKDV, Mathematica Balkanica, vol.

12/fasc. 1-2, 127-135, 1998.

Kamenov O., Fractional-Differential Model of Convection Stability, Comptes rendus

de l’Académie bulgare des Sciences, Tome 57/9, 7-12, 2004.

Kamenov O., Analytical Solutions of Multidimensional Fractional-Integro-Differential

Equations of FEL (Free Electron Laser) Type, Comptes rendus de l’Académie

bulgare des Sciences, Tome 57/10, 5-8, 2004.

Boyadjiev L., O. Kamenov and S. Kalla, On the Lauwerier Formulation of the

Temperature Field Problem in Oil Strata, International Journal of

Mathematics and Mathematical Sciences 10,1577–1588, 2005

(doi: 10.1155/IJMMS.2005.1577)

Kamenov O. Y., Exact periodic solutions of the sixth-order generalized Boussinesq

equation, J. Phys. A: Math. Theor. 42, 375501, 1-11, 2009

(doi:10.1088/1751-8113/42/37/375501)

Kamenov O. Y., Periodic solutions of the non-integrable convective fluid equation, J.

Math. Phys. 53, 063705, 1-12, 2012 (doi: 10.1063/1.4727870).

Kamenov O. Y. and A. P. Angova, Exact Periodic Solutions of the Nonintegrable

Kawahara Equation, International Scholarly Research Network, ISRN

Mathematical Physics, Vol.2012, 185469, 1-11, 2012

(doi:10.5402/2012/185469).

Kamenov O. Y., New Periodic Exact Solutions of the Kuramoto-Sivashinsky Evolution

Equation, WSEAS Transactions on mathematics 13, 345-352, 2014.

Kamenov O. Y., Exact periodic seismic waves in the Nikolaevskii model, Journal of

Theoretical and Applied Mechanics, vol. 44, no. 3, 91–106, 2014 (doi:

10.2478/jtam-2014-0018)

Каменов О., Бягащи солитарно-вълнови решения на еволюционното уравнение

на Кортевег де Вриз от по-висок ред (HOKDV), Годишник на Технически

Университет – София, т.64/кн.2, 217-226, 2014.

58

Каменов О., Точно кноидално решение на еволюционното уравнение на Кортевег

де Вриз от по-висок ред (HOKDV); групово свойство на

пространствените отклонения, Годишник на ТУ – София, т.64/кн.2, 227-

232, 2014.

Каменов О., Абсолютна сходимост на пространствените отклонения. Солитарно-

вълново решение на еволюционното уравнение на Кортевег де Вриз от

по-висок ред (HOKDV), Годишник на ТУ – София, т.64/кн.2, 233-240,

2014.

Kamenov O., Solitary-wave and periodic solutions of the dispersive Kuramoto-Velarde

equation, Доклади на БАН, 2014 (в печат).

Каменов О., Пространствени отклонения на нелинейни периодични вълни,

Монография, Изд. ТУ-София, 2012.

Каменов О., Автореферат: Пространствени отклонения в периодичните решения

на неинтегруемите еволюционни уравнения, 2014.

59

Авторска справка

Основните научни приноси на настоящия научен труд според автора са следните:

1. Представена е т.н. пространствена версия на билинейно-трансформационния

метод, с помощта на която се генерират фамилии от точни периодични

решения на широк клас от неинтегруеми еволюционни и нееволюционни

частни диференциални нелинейни уравнения.

2. За всяко моделно неинтегруемо уравнение е доказана както

математическата, така и физическата легитимност на пространствените

отклонения, както и техния генезис.

3. Анализиран е подробно механизмът, по който неинтегруемите моделни

уравнения се отклоняват от нелинейния принцип на суперпозиция.

4. Доказано е, че всяко неинтегруемо уравнение, допускащо билинейно

мероморфно решение, изобразено чрез трансформацията на Хирота-Сатсума,

притежава кноидално периодично решение, при което пространствените

отклонения проявяват групово въздействие.

5. Въпросът за приложимостта на представената вариация е решен с

обстоятелството, че той е тестван върху шест важни за математическата

физика неинтегруеми еволюционни уравнения от различен ред, с различна

степен на сингулярност и различна степен на нелинейност.

6. Ако изходното уравнение допуска билинейно или псевдобилинейно

представяне, което поражда група от остатъчни уравнения, без значение от

тяхната структура, пространствената вариация би могла да се приложи не

само към глобалното пространствено отклонение, но и към други параметри

– фазови или „изкуствени“. Тази възможност, която предоставя

пространствената версия, е особено продуктивна при нелинейните частни

диференциални уравнения, имащи висока степен на сингулярност, съчетано

със слаба нелинейност, или с ниска степен на сингулярност, но със силна

нелинейност.

60

Анотация Настоящият Автореферат към дисертационния труд „Пространствени

отклонения в периодичните решения на еволюционните неинтегруеми

уравнения“ е посветен на едно неочаквано проявление на периодичните

нелинейни вълни, динамиката на които се описва с едномерни нелинейни частни

диференциални уравнения, а именно – пространствените отклонения. Тези

отклонения са индивидуални за всяка отделна хармоника. Наред с това, при

уравнения допускащи бипериодично мероморфно решение, те проявяват и

групови свойства, пример за които са кноидалните решения. Интерпретацията на

пространствените отклонения в контекста на нелинейния принцип на

суперпозицията, показва известни различия на този принцип по отношение на

интегруемите, частично интегруемите и неинтегруемите уравнения на

математическата физика. Установено е защо само неинтегруемите частни

диференциални уравнения притежават споменатите индивидуални

пространствени отклонения в периодичните решения.

Генезисът на пространствените отклонения е свързан с логаритмичните

допълнения към членовете в Лорановите развития на решенията за

неинтегруемите еволюционни уравнения, в околност на първата подвижна

критична точка.

Annotation The present Autoreference to the dissertation work “Spatial displacements in the

periodic solutions of the evolution nonintegrable equations” refers to an unexpected

manifestation of nonlinear periodic waves, the dynamics of which is described by one-

dimensional nonlinear partial differential equations, namely the spatial displacements.

These displacements are individual for each separate harmonic. Furthermore, in

equations allowing biperiodic meromorphic solution, they also exhibit group

properties, example of which are the cnoidal solutions. The interpretation of the spatial

displacements, in the context of the nonlinear principle of superposition, shows some

differences for this principle, regarding the integrable, partially integrable and non-

integrable equations of mathematical physics. It has been determined why only non-

integrable PDE’s possess the mentioned individual spatial displacements in the

periodic solutions.

The genesis of the spatial displacements is connected with logarithmic additions to

members in the Laurent representations of solutions for the non-integrable evolution

equations in a neighborhood around the first movable critical point.