ВЕРОЈАТНОСТ 1.Случајни настани и веројатност Основен поим во теоријата на веројатносра е поимот експеримент. Експеримент е секоја целосно одредена постапка која може да се повторува произволен број пати во непроменети услови и чија реализација не може да се предвиди со сигурност. Пример 1: Да фрламе правилна и хомогена коцка за играње, така што да паѓа на тврда, мазна и хоризонтална површина. Кои се можните резултати од овој експеримент? Решение: Знаеме дека секоја страна на коцката е означена со точки од 1 до 6. Со Ei , i=1,2,3,4,5,6 ќе го означиме резултатот: на горната страна на коцката за играње се појавиле i точки. Множеството на сите возможни резултати, вкупно 6, на овој експеримент е:

Настан е секој резултат на даден експеримент, кој може но не мора да се појави во даден момент. Настан е нешто што не е неопходност и истовремено не неможност, но тоа е нешто што реално постои и што треба да се очекува. Елементарен настан е секој одделен резултат на експериментот кој го обележуваме со буквата Е придружена со индекс. Множество на елементарни настани е вкупност од сите возможни резултати на даден експеримент и ќе го обележуваме со грчката буква . Дефинициија 1: Секое подмножество А на множеството нс елементарни настани се нарекува случаен настан или само настан. Дефинициија 2: Статистичка веројатност на еден настан е бројот околу кој осцилира релативната честота за настапување на настанот А при голем број експерименти, т.е.

Пример 2: Направен е експеримент во кој е извлекувано едно топче од непроѕирна кутија во која има едно бело и девет црвени топчиња. Добиените резултати за настанот А-извлечено е бело топче, се прикажани во следната табела:

n m

100 11 0,11 0,1

200 19 0,095 0,1

1000 107 0,107 0,1

Дефинициија 3: Елементарните настани кои се случуваат при појавата на настанот што интересира, ги нарекуваме поволни настани за тој експеримент.

Дефинициија 4: За даден експеримент,теориска веројатност за настапување на случајниот настан A , се нарекува бројот , кој што претставува однос на бројот m од поволните елементарни настани за дадениот експеримент A и бројот n на сите елементарни настани од множеството елементарни настани, т.е.

Пример 3: Од група од 9 ученици, од кои 5 се машки и 4 се девојчиња, треба да се изберат 3 ученици. Колкава е веројатноста избраните да бидат машки (настан) А. Решение: Бидејќи овде не е важен редоследот на избраните ученици, бројот на сите можни настани се комбинации без повторување од девет елементи од трета класа , додека бројот на поволните настани се комбинации без повторување од пет елементи од трета класа . Затоа веројатноста на случајниот настан А ќе биде:

Сигурен настан е настанот кој се случува при секое изведување на некој експеримент. Сигурниот настан е составен од сите елементарни настани на множеството на елементарни настани . Затоа и го изедначуваме со множеството . Невозможен настан е настанот кој не се случува при ниедно изведување на некој експеримент. Невозможниот настан не содржи ниту еден елементарен настан, бидејќи не е ниеден од можните резултати на даден експеримент Затоа го означуваме со . Пример 4: Во една непроѕирна кутија има 20 топчиња, од кои 15 се црвени, а 5 се сини топчиња. Да ја одредиме веројатноста: а) извлеченото топче е во боја(црвено или сино) б) извлеченото топче е бело Решение: а)Овде бројот на сите можни настани е еднаков на бројот на поволните настани

(сите топчиња се обоени). Затоа ветојатноста на случајниот настан извлеченото топче е во боја(црвено или сино) ќе биде 1 и тоа е веројатноста на сигурниот настан. б) Овде бројот на поволните настани е (во кутијата нема бело топче). Затоа, веројатноста на случајниот настан извлеченото топче е бело, ќе биде 0 и тоа е веројатноста на невозможниот настан. 2.Релации и операции во множеството на елементарни настани Дефинициија 5: Ако при секое настапување на настанот А, настапува и настанот B, тогаш велиме дека настанот А го повлекува настанот B, или B го содржи А и означуваме . Пример 5: Во експериментот, фрлање коцка за играње,нека А биде настанот: појавување на бројот 3, а B-настанот: појавување на непарен број. Каква релација важи за настаните А и B ? Решение: Множеството елементарни настани за овој експеримент е: . Случајниот настан А содржи еден елементарен настан , т.е. , а настанот B се состои од елементарните настани , т.е. . Јасно е дека важи релацијата .

Дефинициија 6: Настаните А и B се еквивалентни ако и . Пример 6: Во експериментот, фрлање коцка за играње нека А биде настанот: појавување на бројот 5, а B настанот: појавување на број делив со 5. Да се провери дали се еквивалентни овие настани. Решение: Множеството елементарни настани за овој експеримент е: . Настанот , а меѓу природните броеви од 1 до 6 единствен број делив со 5 е бројот 5, па настанот . Значи, настаните А и B се состојат од исти елементарни настани (еден единствен), затоа тие се еквивалентни настани. Дефинициија 7: Збир на настаните А и B е оној настан кој се појавува кога ќе се реализира барем еден од настаните А или B и го обележуваме со А +B (ако ) или . Дефинициија 8: Производ на настаните А и B е оној настан кој се појавува истовремено ќе се реализира секој од настаните А и B и го обележуваме со А B или . Пример 7: Да го определиме производот на настаните А и B во експериментот фрлање коцка за играње, ако А е настанот: појавување на парен број, а B настанот: појавување на број помал од 4. Решение: Настанот А= ,а настанот . Тогаш производот на настаните А и B е настанот . Дефинициија 9: Настаните А и B заемно се исклучуваат (дисјунктни настани) , ако појавата на едниот ја исклучува можноста за појава на другиот настан. Со други зборови, настаните А и B се дисјунктни настани, ако не можат да се реализираат во исто време и затоа . Пример 8: Во експериментот фрлање паричка нека А биде настанот: појавување грб, а настанот B: појавување писмо. Јасно е дека настанот А го исклучува настанот B. Дефинициија 10: Разлика на настаните А и B е оној настан кој се појавува кога истовремено ќе се реализира настанот А , а не се реализира настанот B. Го обележуваме со А B. Пример 9: Да ја определиме разликата на настаните А и B во експерименот фрлање коцка за играње, ако А биде настанот: појавување парен број, а настанот B: појавување прост број. Решение: Настанот А , а настанот . Тогаш, разликата на настаните А и B е настанот Дефинициија 11: Спротивен настан на настанот А во даден експеимент е разликата ,

кој го обележуваме . Пример 10: Да го определиме спротивниот настан на настанот А во експерименот фрлање коцка за играње, ако А биде настанот: појавување број делив со 3. Решение: Настанот А , Тогаш, спротивен настан на настанот А е

.

3.Основни и други својства на веројатноста Својство 1: Веројатноста на секој случаен настан А е ненегативен број, помал или еднаков на 1, т.е. . Пример 11: Од шпил од 52 карти за играње извлекуваме 5 карти, една по друга и без враќање. Да се одреди веројатноста сите извлечени карти да бидат срце.

Решение: Во шпил од 52 карти 13 се срце и затоа: .

Својство 2: Ако настанот А е го повлекува настанот B , т.е ако , тогаш: . Пример 12: Фрламе коцка за играње. Да се одреди веројатноста на настанот А: на горната страна на коцката се појавил непарен број точки и веројатноста на настанот B: на горната страна на коцката се појавиле помалку од 6 точки. Решение: Бројот на сите елементарни настани е . Јасно е дека , при што бројот на поволни настани за случајниот настан А е , а за случајниот настан е . Затоа,

. Значи, важи: .

Својство 3: Веројатноста на спротивниот настан за случајниот настан А е: . Пример 13: Во една кутија се наоѓаат 5 бели, 7 црвени и 8 црни топчиња. Случајно, во едно извлекување се земаат 4 топчиња. Да се одреди веројатноста на настаните: A:сите 4 топчиња се црвени , B:сите 4 топчиња се црни , C:барем едно топче е бело.

Решение: За настанот A имаме: .

За настанот B имаме: .

За настанот C, спротивен настан е настанот :ниедно топче не е бело. За настанот C, бројот на сите можни настани е , додека бројот на поволните настани е .

Тогаш: , па затоа: .

Својство 4: Ако настаните А и B заемно се исклучуваат, веројатноста да се случи барем еден од нив е еднаква на збирот од нивните веројатности, т.е. . Пример 14: Во една кутија со 50 топчиња, од кои 25 се црвени, 15 жолти и 10 бели е извлечено едно топче. црни топчиња. Да се одреди веројатноста на настанот:извлечено е обоено топче(црвено или жолто).

Решение: Нека извлекувањето на црвено топче биде настан A, на жолто-настан B и на бело настан C . Тогаш бројот на поволни настани за извлекување на црвено, жолто, односно бело топче ќе биде соодветно. Бидејќи бројот на сите елементарни настани е 50, за веројатноста на настаните A, B и C имаме:

, , .

Бројот на поволни настани за случајниот настан: извлечено е обоено топче е .

Тогаш, за веројатноста на овој настан имаме: .

Својство 5: Ако настаните А и B се произволни случајни настани, кои не мора да се исклучуваат, веројатноста на нивниот збир е: . Пример 15: Фрламе коцка за играње. Да ја одредиме веројатноста на горната страна на коцката да се појави број делив со 2 или прост број. Решение: Нека настанот A е појавување на број делив со 2, т.е. , a настанот B е појавување на прост број од горната страна на коцката за играње , т.е. . Бидејќи бројот на сите елементарни настани за експериментот фрлање на коцка за играње е 6, а бројот на поволните настани за случајниот настан A е , за B е и за е

. За веројатноста на случајниот настан имаме:

.

Пример16: Дадено е множеството од елементарни настани и настаните

А-извлечен е парен број , В-извлечен е број делив со 3.

Да се одреди веројатноста дека:

а) Извлечениот број е парен и делив со три

б) Извлечениот е број парен или делив со три

в) Извлечениот е број или парен или делив со три

г) Извлечениот број е парен и не е делив со три

д) Извлечениот број е делив со три и е непарен

ѓ) Ако извлечениот број е парен, тогаш е делив со три

е) Ако извлечениот број е делив со три, тогаш е парен

Решение: А В

3 ,

8 12 5

2 4 6

10 14

16 20 18 11

а)

б)

в)

г)

д)

ѓ) -број на парни од број на

деливи со 3 ,

е) -број на деливи 3 од број

на парни ,