光学 第３章幾何光学

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レンズ

この章で学ぶこと

結像関係式・倍率1a+ 1b= 1f

複合レンズのsystematicな取り扱い

レンズの焦点・主点・焦点距離

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結像

O I

L

波面光線

発散球面波 収束球面波発散光束 収束光束

物体物点

像像点

共役点

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レンズの種類

• 屈折レンズ• フレネルレンズ• 屈折率分布型レンズ• 反射鏡• 回折レンズ• フレネルゾーンプレート• ホログラフィック結像素子

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焦点距離

F

f > 0

!

F

f < 0

!

凸レンズ 凹レンズ

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薄肉単レンズ

d

R1

R2

n

1

f= n !1( )

1

R1

!1

R2

"

#$%

&'

lens maker's formulaレンズ職人の公式

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ベンディング

焦点距離は同じでも，形状の異なるレンズが存在する

メニスカス，平凸，両凸レンズ

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複合レンズの焦点距離

焦点

焦点距離はどこから測る?

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複合レンズの焦点距離

H

F

f

焦点主点

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F値，口径と焦点距離

!D

f

H H'

主点 焦点D 口径

F値，F number F = f/D

開口数，numerical aperture, NA = sin! = 1/2F

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絞り，入射瞳，射出瞳

PP' S

S: 絞り，stopP, P': 瞳，pupil

絞りは，物理的に光束を制限する物体，

瞳は，絞りを外から見たときの像

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顕微鏡対物レンズ

倍率

NA

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光学系の設計と評価

• レンズ要素の決定• 面の曲率，厚さ，直径，ガラスの種類• 近軸光線追跡• 焦点距離，焦点や主点の位置，結像関係式，倍率• 光線追跡• 結像特性評価• 収差• スポットダイヤグラム

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光学系例：3枚レンズ, triplet

要素レンズのパワー(焦点距離の逆数)

レンズ間隔

ガラス材質

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光線追跡

光学系

スポットダイアグラム

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近軸光線追跡

要素レンズの，焦点距離，材質，間隔

凸 凸凹

P1=1/f1 P2 P3

d1 d2

パワー

間隔

光線光軸

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光線

光軸角度 u

高さ xxu

光線 (x, u)

近軸光線： x, u が十分小さいsin u ~ utan u ~ u などと近似できる

すなわち，線形近似が成り立つ線形代数＝行列を使って表現できる

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移行

z

u x2x1

x2= x

1+ z tanu ! x

1+ zu

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屈折

F

f

uu'

xfu

u

平行光線は焦点で一点に集まる角度uの平行光線が集まる点の高さ：fu

レンズに高さxで入射した光線：x + fu' = fu

!u = u "x

f= u " Px, P =

1

f

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行列による表現：移行

x1

u2 = u1

u1

z x2 = x1 + zu1

x2

u2

!

"##

$

%&&=

1 z

0 1

!

"#$

%&x1

u1

!

"##

$

%&&

T(z) =1 z

0 1

!

"#$

%&

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行列による表現：屈折

xu’ = u – Pxu

x' = x

x'

P = 1/f

!x!u

"

#$%

&'=

1 0

(P 1

"

#$%

&'x

u

"

#$%

&'

R(P) =1 0

(P 1

"

#$%

&'

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2枚組レンズ (doublet)

d1

f1 f2

x1

u1

!

"##

$

%&&

'x1'u1

!

"##

$

%&&= R(P

1)

x1

u1

!

"##

$

%&&

x2

u2

!

"##

$

%&&= T(d

1)

'x1'u1

!

"##

$

%&&= T(d

1)R(P

1)

x1

u1

!

"##

$

%&&

'x2'u2

!

"##

$

%&&= R(P

2)

x2

u2

!

"##

$

%&&= R(P

2)T(d

1)R(P

1)

x1

u1

!

"##

$

%&&(M

x1

u1

!

"##

$

%&&

M = R(P2)T(d

1)R(P

1) =

A B

C D

!

"#$

%& 光線行列ABCD行列

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複合レンズ

d1 d2

光軸

P1 P2 P3 PK

1 2 3 K

並びが逆順

M =A B

C D

!

"#$

%&= R(P

K)T(d

K '1)R(PK '1)!R(P2 )T(d1)R(P1)

行列式det M = AD – BC = 1

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ダブレット

複合レンズのパワー

P = P1 + P2 – d1P1P2

d1

f1 f2

M =1 0

!P21

"

#$

%

&'

1 d1

0 1

"

#$

%

&'

1 0

!P11

"

#$

%

&'

=1! d

1P1

d1

!P1! P

2+ d

1P1P21! d

1P2

"

#$$

%

&''

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結像関係式

x u

z z’

u’

x’

M

T(–z) T(z')M

M =A B

C D

!

"#

$

%& =

1 'z0 1

!

"#$

%&A B

C D

!

"#$

%&1 (z0 1

!

"#$

%&

=A + C 'z (Az + B ( Cz 'z + D 'zC (Cz + D

!

"#$

%&

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結像関係式２

共役関係があれば，x'はuに依存しない

x'

x

!x = Ax + Bu

!u = Cx + Du

B = "Az + B " Cz !z + D !z = 0 # !z = "Az " B

Cz " D

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倍率

h u

z z' h'

u'

横倍率：β = h'/h角倍率：γ = u'/u at x = 0

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光線行列と倍率

光線行列の行列式が１である

βγ = 1 横倍率と角倍率は反比例する

!x = Ax + Bu

!u = Cx + Du

"#$

%$&

!x = 'x

!u = Cx + ( u)*+

' =!xx= A = A + C !z

1

'= ( =

!uu

x=0

= D = D , Cz

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ヘルムホルツ・ラグランジェの不変式

h u

z z' h'

u'

横倍率：β = h'/h = z'/z

角倍率：γ = u'/u = = z/z'x/z' x/z

x

βγ = 1 ⇒ hu = h'u' 光線についての保存量

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輝度不変則

dS !

d"d#

輝度：単位面積あたり，単位立体角あたりの光量

光学系を通しても，輝度は不変である

dSdΩ

dΦ = BcosθdSdΩ

dS'dΩ' = β γ = 12 2

ヘルムホルツ・ラグランジェの不変式より

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主要点

!

""#

!#

$#

%#%

& ' ( ()') &)

$

焦点 F, F'：平行光線束の収束点主点 H, H'：横倍率が1の共役点節点 N, N'：角倍率が1の共役点

β = 0,　β = ∞β = 1γ = 1

像側　　　物体側

焦点距離 f = HF,　f' = H'F'

物体空間と像空間の屈折率が等しいとき，主点と接点は一致する

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光線行列と主要点

物体 像 倍率β

物体側焦点 D/C ∞ ∞

像側焦点 ∞ –A/C 0

主点 (D–1)/C –(A-1)/C 1

焦点距離 1/C –1/C

焦点距離：f' = –f = –1/Cパワー：P = 1/f '= –C

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ニュートンの式

!

""#

!#

$#

%#%

& ' ( ()') &)

$

焦点から測る

結像関係とは反比例である

! ="h

h= #

f

t= #

"t

"f

t "t = f "f = # "f 2

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結像関係式の標準形

!

""#

!#

$#

%#%

& ' ( ()') &)

$

主点から測る ! ="h

h= #

f

s # f= #

"s # "f

"f

1

!= 1#

s

f= 1+ sP, ! = 1#

"s

"f= 1+ "s P

1

"s#1

s= P =

1

"f

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縦倍率

"z "z'

ニュートンの式

縦倍率

縦，横，角倍率は互いに従属である。立体を忠実に結像するのは，# = ±1の場合に限る。

!t = "!f 2

t

# =d !t

dt=

!f 2

t2= $ 2

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Nodal slide

uu' u' = u

u' ≠ u

節点 = 主点の位置を決定

レンズを回転回転中心が節点のとき，ビームは回転しない

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アフォーカル系

x1

x2f1 f2

f' = ∞

主要点は存在しない

倍率：β = 1/γ = –f2/f1

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球面による屈折

n n'

u R

Cu'!

P O

Q

P'z z'

x" "'

!n !u = nu " Px

P =!n " n

R

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球面による反射

x

z

n

!n !u = nu " Px

!n = "n, P = "2n

R

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