회로이론회로이론Ch10 유도 결합 회로

김 영 석

충북대학교 전자정보대학

2015.9.1

E il ki @ b kEmail: kimys@cbu.ac.kr

Ch10-1전자정보대학 김영석

Ch10 유도 결합 회로: 학습 목표

상호 인덕턴스 결합 계수와 권선비의 개념 이해상호 인덕턴스, 결합 계수와 권선비의 개념 이해

상호 인덕턴스 포함하는 회로에서 전압과 전류 구하기

이상 변압기 포함하는 회로에서 전압과 전류 구하기이상 변압기 포함하는 회로에서 전압과 전류 구하기

Ch10-2전자정보대학 김영석

10.1 상호 인덕턴스

M ll 방정식: )(=∇ 법칙GaussD ρMaxwell 방정식:

KCL )( /) ( 0

)(

=>∂∂+=×∇

=⋅∇

=⋅∇

법칙

법칙대한자기장에

법칙

AmperetDJHGaussB

GaussD ρ

암페어 법칙: 전류가 흐르면 자계 형성

KVL )( / =>∂−∂=×∇ 법칙FadadaytBD

파라데이 법칙: 자계가 코일을 교차(쇄교)하면서 시간에 따라 변하면 전압이 유도됨

iN = 자속발생때흐를전류코일에인권선수 φ

CvqRivcfLLiNN

==

=

==

)()( :

)(

인덕턴스임상수로비례이

암페어법칙관계전류자속과쇄교선형시스템에서의

자속쇄교교차때문에이기권선수가

λφλ

didLdid

iNL

CvqRivcfL

=

==

),.(

자속

인덕턴스임상수로비례이

λ

φ

dtdiLv

LdtdiL

dtdLi

dtdiL

dtdv

=∴

=+== )( 일정법칙파라데이λ

Ch10-3전자정보대학 김영석

dt

코일을 자기적으로 결합권선수 N1코일에 권선수 N2 코일 결합. 전류 i1 인가권선수 코일에 권선수 코일 결합 전류 인가

))inductance(self:(1

1

11

1111

−==

==

자기인덕턴스전압코일에서의차

자속쇄교코일에서의차

LdiLdv

iLNλ

φλ

)()(2

2

))inductance(self:( 1

112122

22

111

=

==

전압코일에서의차

자속쇄교코일에서의차

자기인덕턴스전압코일에서의차

diLdiLNiLNdNddN

Ldt

Ldt

v

φλφλ

))inductance(mutual:(

)()( 2

21

121

11

1

21

1

12

222

−

≡====

상호인덕턴스

전압코일에서의차

Ldt

Ldt

LN

iN

Ndtdtdt

v φ

Ch10-4전자정보대학 김영석

코일을 자기적으로 결합권선수 N1코일에 권선수 N2 코일 결합. 전류 i1, i2 인가권선수 코일에 권선수 코일 결합 전류 , 인가

21 iLiLi 자속쇄교코일에서의차자속쇄교코일에서의차전류 λλ

=+=+=

==

==

)( 1: 2 , 1 :

2, 1 :

1112121112111

22222212122

12121111111

LLiLiLiLiLi

iLiLi

자속쇄교총코일에서의차중첩원리적용

자속쇄교코일에서의차자속쇄교코일에서의차전류

자속쇄교코일에서의차자속쇄교코일에서의차전류

λλλλλλλ

+==+==

=+=+=

,:

)( 2

22

121

22

212

11

11

2222212122212

dtdiL

dtdiL

dtdv

dtdiL

dtdiL

dtdv

LLiLiL

파라데이법칙적용

자속쇄교총코일에서의차

λλλλλ

⎪⎧ +=⎪

⎧ +=

==

2111

2111

2112

dtdiM

dtdiLv

dtdiM

dtdiLv

MLLdtdtdtdtdtdt

선형시스템에서는

⎪⎩

⎪⎨

+=⎪⎩

⎪⎨

+=∴

1222

11

22

12

11

dtdiM

dtdiLv

dtdtor

dtdiL

dtdiMv

dtdt

Ch10-5전자정보대학 김영석

권선 방향을 고려하면같은 방향같은 방향

다른 방향

Ch10-6전자정보대학 김영석

예제

예제 10 1예제 10.1

diMdiLvidLidMv

dtdiM

dtdiLv

dtidM

dtidLv

1221

2111

2111

)()(

)()(

+=∴−

+−

=

−−=∴−

+−

=

dtM

dtLv

dtL

dtMv 2222 +=∴+=−

Ch10-7전자정보대학 김영석

예제 10.2Loop analysis 식 (KVL)

0])([])([ 112121 =+−−

++=++diMiidLiidMdiLiRvviRv

0])([

0][][

22112

2222

211121111

=++−

=+

=+−++=−++−

iRdtdiM

dtiidLiRv

dtM

dtL

dtM

dtLiRvviRv

L

LL

Ch10-8전자정보대학 김영석

교류 정현파

1222

2111

diMdiLv

dtdiM

dtdiLv

+=

+=

2111

22

jwMIIjwLV

dtM

dtLv

+=

+

1222 jwMIIjwLV +=

Ch10-9전자정보대학 김영석

예제 10.3 등가 인덕턴스IjwLjwMIIjwLjwMIIjwLVVVb eq][][ )( 213412 =+++=+=

IjwLjwMIIjwLIjwMIjwLVVVc

MLLL

jwjwjwjwjwVVVb

eq

eq

eq

])([)]([ )(

2

][][)(

213412

21

213412

=+−−−+=−=

++=∴

jwMIIjwLVed

MLLLeq

)()(

2

211

21

+==>

−+=∴

MLLjMLVI

MLLjMLVI

IjwLjwMIVjwMIIjwLV

)()(,

)()(, 2

122

21

221

211

−=

−=

+=+

풀면

MLLMLLL

jwLMLLjwMLLVIIIKCL

MLLjwMLLjw

eqeq 2

V )()2(

)()(

21

221

221

2121

221

221

−+−

=∴=−−+

=+=

−−

Ch10-10전자정보대학 김영석

예제 10.4 Vo?

IjIjIjIjIVIIKVL

°∠=−+∴=−+++°∠−=++°∠−

)1( 30242)42(0)](24[2302423024:@

21

211111

AIIjIj

IIjIjIjIIjVIKVLjj

°∠==>+=++−∴

=+−+−−=+−−

433682)2()1()2( 0)42(2

022]2)(6[22:@)()(

21

22122222

21

VIVAI

o °∠==∠==>+

43.336.5243.368.2)2()1(

2

2

Ch10-11전자정보대학 김영석

예제 10.5 Loop Ana.

1

0)(1)]()([:@ 211

32211111 =−+−+−++− IIjwC

IIjwMIIjwLIRVIKVL

0)()]()([

)]()([)(1:@

32321322

2232211121

2

=−+−+−+

+−+−−−

IIRIIjwMIIjwL

IRIIjwMIIjwLIIjwC

IKVL

01)]()([)(:@ 3432

213222333 =++−+−−− IRIjwC

IIjwMIIjwLIIRIKVL

Ch10-12전자정보대학 김영석

예제 10.6

: VsQ 임피던스본바라다에서

=====+= 11,1,2,2,13 :

21 jZjjwMjjwLjjwLjZVsQ

LS

임피던스본바라다에서

++

=−+++−

0])([@

0)]([:@:

11

21111

jwMIjwMIIIZj MIIj LIKVL

IjwMIjwLIZVIKVLA

SS

+=+=∴

=+

==++−−

where

,0])([:@

1111

22

111

22

1

2

1221222

jwLZZIZMwIZV

Zj

ZjwLjIIZjwMIIjwLIKVL

SS

LL

Ω+=+== 5.25.3 22

22

111

1

22

jZMwZ

IVZVs

Z

S임피던스본바라다에서

Ch10-13전자정보대학 김영석

10.2 에너지 해석상호 결합된 인덕터의 에너지 구하기상호 결합된 인덕터의 에너지 구하기

11

1111

2111

)()()()()(

0)(),()( ,0

titdiLtitvtp

tituItitt

==

==≤≤

전력순시유입되는왼쪽단자로

21110 110 11

11111

21)()()(

)()()()(

11 ILtditiLdttpw

tidt

Ltitvtp

It=== ∫∫에너지유입되는단자로왼쪽

전력순시유입되는왼쪽단자로

1221121

2

)()(,)(,

0 ,

ttuItiItittt

w

−==≤≤

=에너지순시전력유입되는단자로오른쪽

22111

1221121

)()(

)()()()(

)()(,)(,

2 2 IIMdiMIdi

dttdiM

dttdiM

dttdiLtv

t I

=+=

∫ ∫에너지유입되는단자로왼쪽

22220 22222

2120 1111

21)()()(

)()(

2

1

2

1

ILditiLdttitvw

IIMdiMIdttitvw

t

t

I

t

===

===

∫ ∫

∫ ∫에너지유입되는단자로오른쪽

에너지유입되는단자로왼쪽

21222

2112 2

121 0 IMIILILwtt ++=≤≤ 총에너지저장된동안

Ch10-14전자정보대학 김영석

22

결합 계수 k

0)(21)(

21

21

21 2

12

2221

2

2

121222

211 >++−=++= i

LMiLi

LMLIMIiLiLw

정의결합계수 10 ,: 21

21

≤≤=

≤

kLL

Mk

LLM

나타냄정도를쇄교하는코일과다른자속이한코일의 21

Ch10-15전자정보대학 김영석

예제 10.7 저장된 에너지?

mH LmHLmstk 61.10,653.2,5,1 21 ====

AnalysisLoop

jXjXjmHjjwLX

mHmHmHLLkM

MLL 2,4,1)653.2)(377(

31.561.10*653.21

1

21

21=====

===

임피던스각

인덕턴스상호

IIjIjIKVLIjIjIIKVL

AnalysisLoop

04]2)(4[:@0)](21[2024:@

2122

2111

=++−−=−+++°∠−

AiAimstAttiAtti

II

61.2,10.1,5@)69.33377cos(33.3)(,)31.11377cos(41.9)(,

69.3333.3,31.1141.9,

21

21

21

−=−==°+=°−=

°∠=°−∠=

즉

풀면

mJmmHmHmstw

AiAimst

5.22)61.2)(10.1)(31.5()61.2)(61.10(21)10.1)(653.2(

21)5(

61.2,10.1,5@

22

21

=−++−==에너지저장

Ch10-16전자정보대학 김영석

10.3 이상 변압기:)1( dNdvFaraday ==법칙전압관계변압기의

φλ

2

1

2

12211 ,,

)(

NN

vv

dtdNv

dtdNv

dtdty

=∴==

법칙전압관계변압기의

φφ

2211or / : )2(

Ni

iNiNidlHtDJHAmpere enclosed +==•∂∂+=×∇ ∫법칙전류관계변압기의

1

2

2

12211 ,0), (0

NN

iiiNiNH −=∴+=∞= 투자율만약

221

22111

12211

:)4(

))((0:)3(

VZINIVNV

ivivNviNiN +=+=

임피던스입력

전력

2

111

2

22

1

212

2

11 ,,:)4(

ZNN

IVZ

IZI

NIV

NV

L

L

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

===임피던스입력

22

21

ZZnIIVVNn

NI

L====

⎟⎠

⎜⎝

정의권선비

Ch10-17전자정보대학 김영석

212111

,,,n

ZnIIn

VN

n ====정의권선비

예제 10.8

nIIn

VVNNn −=−=== ,,

41 21

21

1

2

jjZnZZ

nN

LL

°∠

Ω+=+===

0120

1632)2(164

4

221

1

VjIZV

Ajj

I

°∠°∠=°−∠+==

°−∠=++−

∠=

07.1349.83)5.1333.2)(1632(

5.1333.2)1632(418

0120

111

1

VnII

VnVV

°∠=−=

°∠=−=

50.16633.9

07.19387.20

12

12

Ch10-18전자정보대학 김영석

변압기 등가회로Thevenin or Norton 정리 이용하여 등가회로 구성 정리 이용하여 등가회로 구성

211112

12

21212

,0,0/ 2,/, :

ZZZVVVV

VVInIIZnZnII nVV

S =====>

===

개방측차

이론변압기

12

2112 , ZnZZnVnVVV ThSOC =====∴

221221

22221

/ ,//

,0,0 1

nZZZnVnVVV

VVInII

ThSOC

S

=====∴

=====>개방측차

Ch10-19전자정보대학 김영석

예제 10.9 등가회로

,/, : 2

12

21212 ZnZnII nVV ===이론변압기

)34(4 ,024 12

12 jZnZnVVV ThSOC −==°∠===

4/)412(/ ,3024/ 2221 jnZZnVVV ThSOC +==°∠===

Ch10-20전자정보대학 김영석

예제 10.10

redThevenin :)()1( 정리

jjZ

Vjj

jVOC

=+−

=

°−∠=−=°−∠−−−

°∠=

242)4(4

69.3342.1481290444

40241

VnVVblueThevenin

jj

ZTh

°−∠==

−=+−

=

69338428:)()2(

242441

정리

jZnZ

VnVV

Th

OCOC

−==

∠==

)24(4

69.3384.28

12

2

12

Vjj

Vo °∠=+++−

°−∠= 35.16080.2232816

269.3384.28

Ch10-21전자정보대학 김영석

예제 10.11 I, V?

EqNodal :.

VVVIKCL

IVVVKCL

+−

+

=+−

+°∠−

0:2@

022

010:1@

212

1211

VVVVAIAI

IIVVj

IKCL

°∠°∠

==

=++−

6352635525

2/,2:

022

:2@

1212

2122

풀면

변압기관계식

VVVVAIAI °∠=°∠=== 6352,635,5.2,5 2121풀면

Ch10-22전자정보대학 김영석

10.5 응용 예제예제 10.13예제

전송선반지름

거리

?%,95)(240),(240,108,24),9.160(100 : 8 bkVaVVmMWPkmmileQ

=

=−Ω×=== −

ηρ

전송선반지름

100240

24,240)(:

%,

kArmsV

MWVPIVVaA ====

η

불가능:624.8,)900,1602()108(102.1

)100(2.124*05.0)1(%,95240

284

22

mrmmlR

RkArmsRIMWMWPPVV

loss

=∴×

−Ω×==Ω×=∴

====−==

−− ρ

ηη

불가능

10024240)(

,)( 2

ArmsMWPIkVVb

rA

====

πρ

가능82640)900,1602()108(120

)100(2.124*05.0)1(%,95

100240

,240)(

8

22

mlR

RArmsRIMWMWPP

ArmskVV

IkVVb

loss

∴×

Ω×Ω∴

====−==

−

ηη

가능:8264.0,),()108(120 28 cmr

rm

AR =∴−Ω×==Ω=∴

πρ

Ch10-23전자정보대학 김영석

예제 10.14IArmsVrmsQ H .)(200,24010: 공급각각가정에개의변압기가

V

nIArmsVrmsQ H

1240

? 1, , .)(200,240 10:

전류최대차측전력값정격최소변압기의권선비

공급각각가정에개의변압기가

ArmsInnIIVVnA

H 78.34)10( : 15.57

1800,13

240 :

21

1

2

===

===

전류최대차측

권선비

kVAIVS 480)78.34)(800,13(: 111 ===전력값정격최소변압기의

Ch10-24전자정보대학 김영석