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회로이론회로이론회로이론회로이론
Ch9 Ch9 Ch9 Ch9 교류교류교류교류 회로회로회로회로 전력전력전력전력 계산계산계산계산
김김김김 영영영영 석석석석
Ch9-1전자정보대학 김영석
충북대학교충북대학교충북대학교충북대학교 전자정보대학전자정보대학전자정보대학전자정보대학
2020202015.3.115.3.115.3.115.3.1
Email: [email protected]: [email protected]: [email protected]: [email protected]
Ch9 교류 회로 전력 계산: 학습 목표
순시전력(Instantaneous Power) = 순간전압과 순간전류의 곱으로 정의
평균전력( Average Power) = 한 주기 동안의 공급전력 또는 소비전력
최대 평균 전력 전달(Maximum Average Power Transfer)
실효치(Effective or RMS Values)
Ch9-2전자정보대학 김영석
역률 (Power Factor): 전압 페이저와 전류 페이저의 위상 차를 나타내는 척도
역률보상 (Power Factor Correction): 페이저도를 이용한 역률보상 방법
단상 3선 회로 (Single Phase Three-Wire Circuits): 일반 가정과 소규모
부하를 위한 일반적인 배전방식
9.1 순시 전력
임피던스에 공급한 순시 전력
[ ]
[ ]))cos()cos(2
1coscos(
)2cos()cos(2
)cos()cos()()()(
)cos()(
)cos()(
212121 φφφφφφ
θθθθ
θθ
θ
θ
++−=
+++−=
++==
+=
+=
공식공식공식공식
ivivMM
ivMM
iM
vM
wtIV
wtwtIVtitvtp
wtIti
wtVtv
Ch9-3전자정보대학 김영석
예제 9.1
Wwt
wttp
Awtti
tptiwttv
)902cos(446.3
)]902cos()30[cos(4)(
)30cos(2)(
302302
604
:
?)(),(,302),60cos(4)(
°++=
°++°=
°+=∴
°∠=°∠°∠
=
°∠=°+=
Ans
I
Z
9.2 평균 전력
평균 전력
예제 9.2, P=?
[ ]
)90( 0 : if
2
1
2
1
2
1: if
)cos(2
)2cos()cos(2
1 )(
1
22
0
0
0
0
°±=−=
===
−=+++−== ∫∫++
iv
MM
MM
ivMM
Tt
tiviv
MMTt
t
P
RIR
VIVP
IVdtwt
IV
Tdttp
TP
θθ
θθθθθθ
회로순수리액턴스
회로저항
:Ans
Ch9-4전자정보대학 김영석
WIV
P
j
or
WIV
P
j
MM
ivMM
5.122
)53.3)(07.7(
2
1507.722
26010
5.12)4560cos(2
)53.3)(10()cos(
2
1553.34583.2
6010
22
6010
:Ans
===
°∠=+
°∠=
=°−°=−=
°∠=°∠°∠
=+
°∠==
RV
ZV
I
θθ−
+
RV
예제 9.3
소비되는 총 평균 전력
WRIIVPPP
j
MMMA 7.46)2)(36.5(2
1)3)(12(
2
1
2
1
2
1
10.6215.857.7136.5453
57.7136.557.2624.2
4512
12
4512
4534
4512
22
24 =+=+=+=
°∠=°∠+°∠=+=
°∠=°−∠
°∠=
−°∠
=
°∠=°∠
=
ΩΩ
21
2
1
III
I
I
Ch9-5전자정보대학 김영석
공급되는 총 평균 전력
WIV
P ivMM
S 7.46)1.6245cos(2
)15.8)(12()cos(
2=°−°=−= θθ
예제 9.4
각 소자에 의해 소비 혹은 공급되는 총 평균 전력
3021 )3
18)]21.36(0cos[)44.7)(6(2
1)cos(
2
1 : 06 )2
36)6)(12(2
1
2
1 : 2 )1
21.3644.71
639.4
1
063012
3062
3012
06
2
°∠
Ω
°∠
=°−−°=−=°∠
===Ω
°−∠=+
=°∠−°∠
=
°∠=°∠
=
WIVP
WIVP
j
j
j
ivMM
MM
3
2
I
I
전력공급되는의해에
전력소비되는의해에
전력소비되는의해에
θθ
Ch9-6전자정보대학 김영석
전류가 전원의 양의단자로 들어가고 결과가 +이면 소비, -이면 공급
일반적으로 전력 문제는 중첩의 원리 적용 불가
)(54)]10.7(30cos[)29.11)(12(2
1
10.729.1121.3644.7306
3021 )3
30120623012 °∠°∠Ω°∠ =+=°−−°=
°−∠=°−∠+°∠=+=
°∠
PPPWP
321 III
전력공급되는의해에
9.3 최대 평균 전력 전달
부하에서 소비되는 평균 전력
[ ]
[ ]
2/122
2/122
2/122
2/122
)()cos()cos(,,
)()(
)(,
)()(,
,),cos(2
1
LL
Liviv
LthLth
LLOCL
LthLth
OCL
LLLThThThivLLL
XR
R
XXRR
XRVV
XXRR
VI
jXRZjXRZIVP
LLLLLL
LL
+==−=−∴=
+++
+=
+=
+++=
+=
+=+=−=
ZZL
LL
LTh
LOCL
LTh
OCL
IVZ
ZZ
ZVV
ZZ
VI
θθθθθθ
θθ
Ch9-7전자정보대학 김영석
22
2
22
2
0/,0:
)8
,2
(
,:
)()(2
1
)(
ThThLLLL
Th
OCL
Th
OCLThThLL
thLthLL
LthLth
LOCL
LL
XRRdRdPX
R
VP
R
VIjXRjXR
RRXXP
XXRR
RVP
XR
+==>==
===−=+=∴
−=−=
+++=∴
+
저항부하
조건최대
*ThL
L
ZZ
I
예제 9.5 최대 전력 전달 조건
AR
VI
j
jj
j
j
Th
OCL 46.987.1
)41.1(2
46.926.5
2
43.041.1
43.041.1)2(4
)2(4
46.926.5)4()4(2
2)04(
:
°−∠=°−∠
===
Ω−=
Ω+=+++
=
°−∠=++
°∠=
L
L
Th
OC
I
Z
Z
V
부하최대전력전달
등가테브닌
Ch9-8전자정보대학 김영석
WRIP
R
LML
Th
47.2)41.1()87.1(2
1
2
1
)41.1(22
22 ===
예제 9.6
jj
j
jj
jj
j
113
:
21
)(2,02)(24 ,04)(24
:
57.16116.3304452042,452
1
1
1
)(2 ,)24(4
:
−=−−
==
−−=∴
−−==−−+=−−++−
°−∠=−−=°∠−°−∠=°∠−=°−∠=+
=∴
−=+=+
OC
Th
SC
SC''
xSCSCSC''
x
SC
1OC1
1'x1
'x
OC
VZ
Z
I
IIVIIIIIIV
I
IVI
IVIV
V등가테브닌
Ch9-9전자정보대학 김영석
WRIP
j
j
jj
j
LML 25.1)1()58.1(2
1
2
1
57.16158.12
3
1
1121
3
22 ===
°−∠=−−
=+
=
Ω+=
−=−−−−
==
LTh
OCL
L
SC
OCTh
ZZ
VI
Z
IZ
부하최대전력전달
9.4 유효값 (실효값)
주기적인 신호의 실효값 (유효값, rms; root-mean-square)
예제 9.7
dttiT
I
RIRdttiT
P
Tt
teff
eff
Tt
t
)(1
)(1
0
0
0
0
2
22
∫
∫+
+
=∴
==평균전력
dtwtIT
IAns
wTwtIti
T
Mrms
M
2/1
2/1
0
22 )(cos1
:
/2 ? )cos()(
−=
=−=
∫
실효값의
θ
πθ
Ch9-10전자정보대학 김영석
RIR
VIV
IVPR
IVIV
P
Idt
wI
dtwtw
I
rmsrms
rmsrmsMM
ivrnsrmsivMM
Mw
M
w
M
22
2/1/2
0
2/1/2
0
2:
)cos()cos(2
22
1
2
)]22cos(2
1
2
1[
/2
1
====
−=−=
=
=
−+=
∫
∫
전력소비된에저항
θθθθ
π
θπ
π
π
예제 9.8/9.9
예제 9.8
예제 9.9
)(ti
R Ω= 2R
WRIP
AdtdtI
rms
rms
3224
4))4(4(4
1
22
2/12
0
2
2
22
=×==
=
−+= ∫ ∫
Ch9-11전자정보대학 김영석
예제 9.9
VdttdttV
stt
st
stt
tv
rms 89.1))84(0)4((3
1
32 84
21 0
10 4
)(
2/11
0
3
2
22 =
+−++=
≤<+−
≤<
≤<
=
∫ ∫
9.5 역률
위상각부하임피던스의역률각
피상전력
전력평균역률
피상전력
전력평균전달되는부하에
, :) (
)cos(
:), (
:) (
)cos()cos(2
:
LZiv
iv
rmsrms
rmsrms
ivrmsrmsivMM
anglefactorpower
IV
Ppfpffactorpower
IVpowerapparent
IVIV
P
θθθ
θθ
θθθθ
=−
−===
−=−=
e)(capacitiv
leadscurrent
°<≤°− 090 zθ
Case pf 비고비고비고비고)( °LZθ
Ch9-12전자정보대학 김영석
V
e)(capacitiv
)(inductive
lagscurrent
°≤< 900 zθ
Pure capacitive 0 -90
Capacitive 0 ~ 1 -90 ~ 0 Leading(진상)
Resistive 1 0
Inductive 0 ~ 1 0 ~ 90 Lagging(지상)
Pure inductive 0 90
전류의 위상이 전압보다 앞서면 leading(진상), 뒤지면 lagging(지상)
예제 9.10
전력회사에서 공급하여야 하는 전력(Ps)?
7.203)90.0)(480(
88,
90.0)(
38.93)08.0()3.259(000,88
3.259707.0)480(
88,
707.0)(
22
ArmskW
pfV
PIpfIVP
laggingpfb
kWRIPPPP
ArmskW
pfV
PIpfIVP
laggingpfa
LrmsrnsrmsL
linermsLlossesLS
rms
LrmsrnsrmsL
====
=
=+=+=+=
====
=
Ch9-13전자정보대학 김영석
감소손실전력선로송전높이면
32.91)08.0()7.203(000,88
7.203)90.0)(480(
,
22
pf
kWRIPPPP
ArmspfV
IpfIVP
linermsLlossesLS
rms
rmsrnsrmsL
=+=+=+=
====
9.6 복소 전력
정의
power) e(quadraturor power) (reactive: [var] )sin()Im(
power) (averageor power) (real: ][ )cos()Re(
power)(complex :[VA]
, ,
)sin()cos(
)())((
*
*
횡축전력무효전력
평균전력유효전력
복소전력
공액복소수의는여기서
ivrmsrms
ivrmsrms
Ziv
ivrmsrmsivrmsrms
ivrmsrmsirmsvrms
IVQ
WIVP
jQP
IjVIV
IVIV
θθ
θθ
θθθ
θθθθ
θθθθ
−==
−==
=−
+=
−+−=
−∠=−∠∠==
S
S
S
II
IVS
rmsrms
rmsrms
Ch9-14전자정보대학 김영석
예:
‒ 저항은 유효전력 소비, 무효전력 없음
‒ 인덕터는 유효전력 없음, 무효전력 소비 (저장 에너지와 관련)
‒ 커패시터는 유효전력 없음, 무효전력 소비 (음수, 저장 에너지와 관련)
0 ,0 ,90 :
0 ,0 ,90 :
0 ,0 ,0
<−==°−==−
>==°==−
=>===−
rmsrmsZiv
rmsrmsZiv
rmsrmsZiv
VVQPC
VVQPL
QVVPR:
θθθ
θθθ
θθθ
복소 전력
0)( ,:
)tan( :) (
)()(
)()(
2*2
*2**
2***
<−==
=−
+=+====
+=+====
rmsrms
iv
rms
rms
jwCVjwCV
P
Qanglepower
jQPjBGV
jQPjXRI
S
Z
VV
Z
VVIVS
ZIIII ZIVS
*
*rmsrmsrms
rmsrmsrms
rmsrmsrmsrmsrmsrms
커패시터예
삼각형전력 θθ
inductive
capacitive
Ch9-15전자정보대학 김영석
예제 9.11
송전선에서의 공급 전압 및 역률?
VAjjI
A
VAj
pfVApf
PPS
SIVP
rms
ivrmsrms
21.387426.1162)3.009.0()64.113( :
87.3664.113)0220
87.36000,25()(
000,15000,2087.36000,25000,25
:
87.36cos ,000,258.0
000,20
cos
cos)cos()Re(
22
**
1
+=+==
°−∠=°∠
°∠==
=+=°∠=∠=
°======
=−==
−
L
LL
*LLL
ZS
V
SI
IVS
S
손실복소전력선로에서
복소전력부하에서
θ
θθ
θθθ
Ch9-16전자정보대학 김영석
laggingpf
VI
VIV
VAj
VAjjI
rms
L
SLS
L
75.0)73.41cos()cos( :
53.24964.113
25.356,28|| ,|:|
73.4125.356,2821.874,1826.162,21 :
21.387426.1162)3.009.0()64.113( : 22
=°=∠=
====
°∠=+=+=
+=+==
S
SS
LlineS
lineline
S
SS
SSS
ZS
역률발전기
공급전압발전기
보존됨복소전력은
손실복소전력선로에서
예제 9.12
부하 및 전원 결정?
. :0
4.7200)1530cos()12.62)(120()cos(||||
:
1512.621
012030120
:
0120 , 30120 ,10
맞다것이공급한
전력공급한가회로망
>
=°−°=−=
°∠=°∠−°∠
=−
=
°∠=°∠=Ω+=
A
A
rms
rmsrms
P
WP
A
Aj
Ans
VVj
IVA
BA
BA
AIV
Z
VVI
VVZ
θθ
Ch9-17전자정보대학 김영석
. B , A
. :0
4.7200)150cos()12.62)(120()cos(||||
:
부하이다가회로망전원이고가회로망
맞다것이소비한
전력소비한가회로망
∴
>
=°−°=−=
A
B
A
P
WP
B
IVB BIV θθ
9.7 역률 보정
예제 9.10 => 역률 높으면 송전 선로 손실 감소 => 어떻게 역률 증가?
커패시터 추가하여 역률 증가 (QL 감소)
감소
비경제적증가전력증가
증가역률
L
L
old
Q
P
pf
)2(
, : )1(
)cos( θ=
Ch9-18전자정보대학 김영석
caprmsrmsrms jQjwCVjwC
V
Z
V=−=== 2
*
2
*
2
)/1(capS
예제 9.13
전기 요금 구성
‒ (1) 수요 전력 요금: 선로, 전신주, 변압기 등에서 소모
‒ (2) 에너지 요금: 발전소에서 전력 생산 요금
수요 전력 요금 3.50$(역률 0.9 ~ 1) or 5$(역률<0.9), 에너지 요금 2센트/kWh
277Vrms, 역률 0.75 lagging, 500kW, 요금 절약 방법?
현 상태에서의 요금?
)cos(75.0cos75.0
500
cos
1 =∠=∠= − pfP
θθθoldS
Ch9-19전자정보대학 김영석
35.533,10$35.333,3$200,7$
200,7$02.0$*30*24*500
35.333,3$5$67.666
4415004.4167.666
75.0cos
=+=
==
=×=
+=°∠=
전체요금
요금에너지
수요전력요금
dayshrkWh
kVAj
θold
예제 9.13 - continued
커패시터 추가하여 역률을 0.9로 올릴 때 요금
커패시터 설치 비용 및 회수 기간
950,8$750,1$200,7$
200,7$02.0$*30*24*500
750,1$5.3$6.555
2.24250084.256.555 9.0cos9.0
500 1
=+=
==
=×=
+=°∠=∠= −
전체요금
요금에너지
수요전력요금
dayshrkWh
kVAjnewS
Ch9-20전자정보대학 김영석
커패시터 설치 비용 및 회수 기간
month
kk
kjjj
56.12750,1$35,333,3$
880,19$
880,19$var/100$var*8.198
var8.198)441500()2.242500(
=−
=
==
−=+−+=−=
기간회수
설치비용
oldnewcap SSS
예제 9.14
역률 0.9 lagging => 0.95 lagging C?
(f=60Hz)
Q
j
PQ
pf
pfPQjQP
Q
oldoldold
oldold
oldoldoldoldoldoldold
old
θ
θ
θθ
:)(
)500,37000,50(
var500,3787.36tan000,50tan
87.368.0coscos
cos ,tan/ ,
:)(
11
+=
=°==
°===
==+=−−
old
old
S
S
무효전력새로운
무효전력이전
Ch9-21전자정보대학 김영석
FwV
QC
wCVQQQQQQ
j
PQ
pf
Q
rms
cap
rmsoldnewcapcapoldnew
newnewnew
newnew
new
µ
θ
θ
1155)220)(377(
070,21
500,37430,16 ,
)430,16000,50(
var430,1619.18tan000,50tan
19.1895.0coscos
:)(
22
2
11
=−
=−
=
−=−=−=+=
+=
=°==
°=== −−
oldS
무효전력새로운
9.8 단상 3선 회로
일반 가정용 교류 전원: V=120Vrms
‒ 전등, 소형 가전제품 Van=Vnb=120Vrms 이용
‒ 온수보일러, 에어컨 등 Vab=240Vrms 이용
회로의 선들이 이상적인 경우
‒ InN=0
Ch9-22전자정보대학 김영석
‒
회로의 선들이 임피던스를 가진 경우
‒ 중첩 원리 이용
‒ Zline, ZL같으면 InN=0
예제 9.15
전력 사용량 및 요금. 단, 전기료 $0.08/kWh
6.146.121120)48(120
2.16135120)154(120
:
30240/7200/
2.0120/24/
1120/120/
,, :
=⋅=+=−=
=⋅=+==
===
===
===
−=−−=+=
∫∫
kWhIIdtIVE
kWhIIdtIVE
ArmsVPI
ArmsVPI
ArmsVPI
IIIIIIIIISol
RSbBnbnb
LRaAanan
abRR
nbSS
anLL
LSnNRSbBRLaA
전력량
Ch9-23전자정보대학 김영석
92.73$)/$08.0()30()8.30(
:
8.30
=⋅⋅=
=+=∫
KWhdayskWhCost
kWhEEE nbantotal
요금
9.9 전기와 안전
0.1A ~ 0.2A 사람에 치명적
단, 정전기 전압 ~ 40kV, ~40A 치명적이지 않다. 이유는 시간이 ~usec로 짧음
(단, 전자 부품은 치명적)
일반 가정용 콘센트
예제 9.16
‒
Ch9-24전자정보대학 김영석
예제 9.16
‒ 전선이 드릴케이스(절연불량)에 단락
‒ 사람에게 120V, 전류는 콘크리트저항에 의해 결정
‒ 차단기는 사람 보호하지 못함
‒ 치명적임
예제
예제 9.17 GFI 원리
‒ 접지 고장 차단기 GFI(ground-fault interrupter)
‒ 외부로 흐르는 전류 (수십 mA) 감지 => 인명 보호
‒ 정상적인 상황에서는 => 자속은 상쇄
‒ 만약 전류가 접지로 흐르는 경우 => 자속 발생 => 차단
21 ii =
21 ii ≠
Ch9-25전자정보대학 김영석
예제 9.18
Q: 지붕 (아침 이슬 있음)에서 맨발로 작업하는 사람이 사용하는 드릴의 케이스가 전
선과 접촉할 경우? 접지 단자는 제거 되어 있음.
mARRRR
I
R
R
RR
Ans
gndscbodysc
body
gnd
body
scsc
있음수일으킬심장마비인체에
전류흐르는인체에
저항지면까지의접지
다리저항몸통팔
저항접촉표면
171701
120120
1
400 ,,
150
:
21
21
==+++
=
Ω=
Ω=
Ω==
Ch9-26전자정보대학 김영석
있음수일으킬심장마비인체에
9.10 응용예제
예제 9.23: 회로 차단기 규격 20A, 25% 여유 마진 필요, 100W 전구 몇 개 사용?
개수전구
고려하면마진여유
전류전구
1904.1/20
04.125.1*833.0
833.0120/100/
:
==
==
===
ArmsArmsn
ArmsArmsI
ArmsVrmsWVPI
Ans
bulb
bulb
Ch9-27전자정보대학 김영석
예제 9.24
잔디 깍는 기계 120Vrms 에서 12Arms흐름. 110Vrms에서도 동작하며 전류는
13.1Arms임. 120Vrms에서 동작할 때 연결 선의 허용 최대 길이는? (선의 저항
16게이지 선 , 14게이지 선 . )ftm /4 Ω ftm /5.2 Ω
=
∴
Ω
Ω=Ω=
===
ftl
lftm
lftmR
VrmsArmsRIRV
Ans
cord
cord
cord
cord
cordcordcord
5.95
*)/5.2(
*)/4(382.0
101.13**2**2
:
16
14
16저항선의연결
강하전압선의연결
Ch9-28전자정보대학 김영석
=∴
ftlcord
cord
8.15216
16
예제 9.25
Q: 60W 전구가 에어컨이 동작 시작할 때 어두워지는 현상을 설명! 선저항
=0.5Ohm. 에어컨 10,000Btu/h.
92.19)(
50.1192
.
24060/120/: ,
10,40/000,10:
2
1
22
의한전류에에어컨
의한전압원에
사용원리중첩구하기전압때시작할에어컨
저항전구의먼저
VrmsRRRR
RIRIV
VrmsRR
RVV
V
PVR
AIAIhBtuAns
bulb
bulbLL
LABbulbANAN
Lbulb
bulbANAN
AN
pulbanbulb
statesteadystartup
−=++
−==
=+
=
Ω===
===> −
Ch9-29전자정보대학 김영석
,
52.114
98.4)(
50.1192
.
58.99
21
2
1
21
깜박임전등이감소하여급격하게전압이전등사이의때시작할에어컨즉
의한전류에에어컨
의한전압원에
사용원리중첩구하기전압때동작할정상에어컨
VrmsVVV
VrmsRRRR
RIRIV
VrmsRR
RVV
V
VrmsVVV
ANANAN
bulb
bulbLL
LABbulbANAN
Lbulb
bulbANAN
AN
ANANAN
=+=
−=++
−==
=+
=
=+=
