【明解　水理学】chap.6

開水路急変部の流れ開水路急変部の流れ

’06.6.5　ゼミＭ１　岩倉進悟

要点（目次）要点（目次）

• 開水路流れについて• 比エネルギーの概念• 限界水深ーBossの最小比エネルギーの定理ーBelangerの最大流量の定理ーBressの水面勾配無限の定理

• フルード数• 常流と射流• 河床・水路幅の変化と水深変化

§§11--11..開水路流れの分類開水路流れの分類

開水路流とは・・・

水路を流れる水が自由水面をもつ流れ

・定常流 ・等流流れの各点で流速や水深が時間的に変化しない

開水路流

洪水や段波など流速や水深が時間的に変化する

・非定常流・不等流

水路断面が流れ方向に一様な一定勾配の直線水路で、かつ流れの状態も流れ方向によらず一様な定常流

・急変流

・漸変流

§§11--2.2.開水路における基礎方程式開水路における基礎方程式

H vg

h z= + +α θ

2

2cos

１．連続式

２．エネルギー式（ベルヌーイ式）

３．運動量保存則

Q A v const= ⋅ =

M M P P FQ v v gh A A F

out in

out in G

− = − +∑

− = − +∑

+ −

+ −ρ ρ θ( ) ( ) cos

§§22--1.1.比エネルギーの定義比エネルギーの定義

短い区間で、エネルギー損失が無視できるような開水路流の変化を考える

定義：河床を基準にしたエネルギー水頭ＥＥを比エネルギー(specific energy)という

“基底エネルギー”“床上水頭”

§§22--2.2.比エネルギーの定義比エネルギーの定義

基準高さ基準の全水頭α：Coriolisのエネルギー補正係数

zθ

hhcosθ

αv2/2g

E（比エネルギー）

H（全水頭）u

基準高さ

河床

z

x

H vg

h z= + +α θ

2

2cos

E

比エネルギー（河床基準の全水頭）

H z= −

E vg

h= +α θ

2

2cos

α =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =∫ ∫

1 13

Auu

dA uA

udAm

m A

( )cos ,θ α≅ ≅1 1um:断面平均流速

§§22--3.3.比エネルギー図比エネルギー図

Q一定の元、広幅長方形断面水路について考える

E QgB h

h

E E

= +

= +

α θ2

2 2

1 2

2cos

Ｅ

h

E 2=hc

osθ

E1=α/h2

E QgB h

h= +α θ

2

2 22cos

( )( )E

E hE h

→→→∞

⎧⎨⎩

1

2

0

限界水深　hc

E最小

1.h>hc ：常流

2.h=hc ：限界流

3.h<hc ：射流

h1

h2

開水路流れでは一つの流量に対して上流、射流の二つの状態がある

比エネルギー図

§§33--1.1.限界水深の定義①限界水深の定義①

Q一定のもとで、比エネルギー最小にする水深hcを限界水深という（Bossの最小比エネルギー定理）

∂∂

∂∂

α θ

αθ

Eh

Eh

QgB h

h Q QgB

h h

c

c=

=

= − ⋅ + =

⇔ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

1 02

2 3

2

2

13

cos

( )cos

§§33--2.2.限界水深と比エネルギー限界水深と比エネルギー

h Q QgB

E QgB h

h

hh

h

h Q h Q E Q

c

cc

c

c

cc

c c c

( )cos

cos

cos cos

( ) (cos ) ( ) ( )

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⋅ +

= +

= ≅ ⇔ =

αθ

α θ

θ θ

θ

2

2

13

2

2 2

3

2

21

232

1 23

Ｅ

h

E 2=hc

osθ

E1=α/h2

hc

Ec

2

3

水深

速度水頭

交代水深

より

§§33--3.3.任意断面の限界水深任意断面の限界水深

E QgA

h

Eh

Qg A

Ah

QgA

Ah

= +

=−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟+ =

⇔ = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

α θ

∂∂

α ∂∂

θ

θ α ∂∂

2

2

2

3

2

3

2

22 0

cos

cos

cosBs

を満たす水深　=hc

§§44--1.1.フルード数①フルード数①

cosθ α ∂∂

α

∂ ∂

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

QgA

Ah

v

g AA h

2

3

2

水理水深　D

ここで、フルード数は上式両辺の比で表されるので

F vg Dr = cosθ α

( )

F vghr =

≅ ≅α θ1 1,cos

長方形断面では・・

§§44--2.2.フルード数②フルード数②また、フルード数はN-S方程式慣性項と重力項の比である

∂∂

∂∂

θρ

∂∂

ν ∂∂

xt

uux

g Px

ux

ii

j

j i

i

i

+ = − ⋅ +sin 1 2

2∂∂

∂∂

θρ

∂∂

ν ∂∂

xt

uux

g Px

ux

ii

j

j i

i

i

+ = − ⋅ +sin 1 2

2∂∂

∂∂

θρ

∂∂

ν ∂∂

xt

uux

g Px

ux

ii

j

j i

i

i

+ = − ⋅ +sin 1 2

2∂∂

∂∂

θρ

∂∂

ν ∂∂

xt

uux

g Px

ux

ii

j

j i

i

i

+ = − ⋅ +sin 1 2

2

UL

g F UgL

F vghr r

22

2

⇒ = ∴ =オーダー：

∂∂Eh

vgh

F F vghr r

c

= − +

= − + = ⇒ = =

2

2

1

1 0 1

ここで、限界水深で であるから∂ ∂E h = 0

限界水深となる所限界水深となる所ではＦではＦｒｒ=1=1となるとなる

§§44--3.3.フルード数と常流・射流フルード数と常流・射流

一般に、連続の関係　vh=vchc　より

F vgh

v hh gh

hh

vgh

hh

hhr

c c

c

c c

c

c c= = ⋅ ⋅ = ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13

23

2

hとhcの大小関係により、Frが1より大きいか小さいかも決まる

Fr h 流れの状態

F h hr c< >1F h hr c= =1F h hr c> <1

常流（流れの変化上下流に伝達）

限界流

射流（流れの変化下流側のみ伝達）

§§44--4.4.フルード数と常流・射流フルード数と常流・射流

F vghr = =(平均流速v)　/　(長波の波速)

(1)常流

(2)射流

(3)限界流

v gh F

v gh F

v gh F

r

r

r

< <

> >

= =

,

,

,

1

1

1

§§55--1.1.限界水深の定義②限界水深の定義②

Ｅ一定のときの流量と水深の関係について見てみる

( )

E QgB h

h

Q gB E h h

= +

⇒ = −

α θ

αθ

2

2 2

22

2

22

cos

cos h=E/cosθ

( )Q gB E h h22

22= −

αθcos

h

Q

流量図

一定比エネルギーのもとで流量を最大にする水深hcが存在する（ Belangerの最大流量の定理）

⇒ =∂∂Qh

0 によりhc求める

§§55--2. 2. Belangerの最大流量の定理( )∂

∂

∂∂ α

θ

θ

θα θ

αθ

Qh

Q Qh

gB Eh h

h E E

h E QgB h

h

QgB h

h

h h

c

cc

c

cc

c

2

22

2

2 2

2

2 2

0

2 2 2 3 0

23

23

12

323

=

=

⇒ = − =

⇒ =

= ⋅ +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= +

( cos )

( )cos

( )cos

cos

cos⇒ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

h E QgB

h Q

c

c

( )cos

( )

αθ

2

2

13

§§55--3.3.スルースゲートからの流出スルースゲートからの流出比エネルギー一定の条件のもとでQ-h図を用いるスルースゲートからの流出

h=E/cosθ

( )Q gB E h h22

22= −

αθcos

h

Q

(ｂ)部分開放ゲートを部分的に開けると

水深、流量が増加

(ｃ)全開これ以上ゲートを開けても水深、流量は増加しない

§6-1.Bressの水面勾配無限の定理

§§7(7(a)1.a)1.河床高の変化と水深変化河床高の変化と水深変化

F vg D

F vgh

r

r

=

=

cos

cos

θ α

αθ

22

全水頭

水深勾配

水位勾配( )

( ) ( )

H QgB h

h z

dHdx

QgB h

dhdx

dhdx

dzdx

dhdx

vgh

dzdx

dhdx

F dzdx

h h z

dhdx F

dzdx

dhdx

d h zdx

FF

dzdx

r

r

r

r

= + +

=

⇒−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟⋅ + ⋅ + =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

− = = +

=−

⋅ ≅ =+

=−

⋅

α θ

α θ

αθ

θ

θ

θ

2

2 2

2

2 3

2

20

20

2

2

2

0

22 0

1

1

11

11

cos

cos

coscos

cos

cos

エネルギー損失無視

§§7(7(a)2.a)2.河床高の変化と水深変化河床高の変化と水深変化

dhdx

FF

dzdx

r

r

02

2 1=

−⋅

水位勾配 dz/dx>0 dz/dx<0

z x

常流（Fr<1)

射流（Fr>1)

dh0/dx<0 dh0/dx>0

dh0/dx<0dh0/dx>0

常流

射流

F FFr

r

r

<−

<11

02

2,

F FFr

r

r

>−

>11

02

2,

§7(b)1.水路幅の変化に対する水深変化

河床勾配一定とするとＥ一定

x

B(x)

F vghr

22

=α

θcos

( )

( )

E QgB h

h const

dE dxdEdx

QgB h

dhdx

Qgh B

dBdx

dhdx

dhdx

vgh

vgh

hB

dBdx

dhdx

F F hB

dBdx

dhdx

FF

hB

dBdx

r r

r

r

= + =

=

=−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − ⋅

= − − =

⇒ =−

⋅ ⋅

α θ

α α θ

αθ

θ αθ

θ

θ θ

2

2 2

2

2 3

2

2 3

2 2

2 2

2

2

20

22

22

1

1 0

1

cos

cos

coscos

coscos

cos cos

§7(b)2.水路幅の変化に対する水深変化水位勾配 dB/dx<0 dB/dx>0

dhdx

FF

hB

dzdx

r

r

=−

⋅2

21B(x)

xz常流

射流

x

F FFrr

r

<−

>11

02

2,

F FFrr

r

>−

<11

02

2,

常流（Fr<1) dh/dx<0 dh/dx>0

dh/dx<0dh/dx>0射流（Fr>1)

§7(c)1.河床高・水路幅の変化　　　　　　　に対する水深変化(例題)

（例題）　　幅5mの水平床水路に水深2m、流速2m/sの状態で水が流れている。いま、水路幅を5mから3.5mに、河床を0.3m高くして断面縮小を行うと水面形はどうなるであろうか。

B1=5m B2=3.5m

↑0.3m

§7(c)2.河床高・水路幅の変化　　　　　　　に対する水深変化(例題)

( )( )

( )

Q v A m s

q Q B m s m

q Q B m s m

E vg

h m

E E z m

h E m

h QgB

qg

c

c

= ⋅ = × × =

= = = ⋅

= = = ⋅

= + =×

=

= − = − =

= =

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⇒

2 5 2 20

20 5 4

20 35 5 714

22

2 9 82 204

2 204 0 3 1904

23 1269

3

1 13

2 23

112

1

2

2 1

2 2

2

2

2

13 2

13

( )

. .

.. ( )

. . . ( )

( ) . ( )

( ) max

∆

( ) ( )q g h m s m qcmax . . .= = × = ⋅ <2

3 3 329 8 1269 4 475

全断面流量

　水路幅縮小前後のq

上流側のE

断面縮小後のE

このEで流し得る最大のqは、限界水深hc2で生じる

このままでは上流からの流量Ｑを下流水路幅B2

（q2=5.714(m^3/s/m)）で流し得ない

§7(c)3.河床高・水路幅の変化　　　　　　　に対する水深変化(例題)

qmax<q2より、上流部の比エネルギー、従って水深が増加しなければならない

( ) ( )

( )

E h qg

m

E E z m

E h vg

hg

qh

h m

c22

21

3 21

3

1 2

1 11

2

11

1

2

1

32

32

32

5 7149 8

2 25

2 55

21

22 41

min

'min

' ''

''

'

..

. ( )

. ( )

. ( )

= =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

= + =

= + = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⇒ =

∆

q2を流すのに必要な最小比エネルギー

断面縮小部で堰上げを生じ、比エネルギーがこの値に達するまで水深が増加しなければならない。

水深が増加したとき、常流の幅の広い区間の比エネルギーは以下のようになる。

水深増加後の比エネルギーは、増加した水深、速度水頭により以下のように表せる。

常流では、水路断面縮小により上流部の水深は⊿h=h1’ -h1 =0.41(m)上昇する

fin.fin.

Note1　連続式とベルヌーイ式

Note2　運動量式

Note3　損失を考慮したベルヌーイ式

Note5　開水路の基礎方程式

Note6　限界水深定義①

Note7　限界水深定義②

Note8　限界水深定義③

Note9　常流と射流

Note10　川幅の変化に対する水深の応答

Note11　河床高の変化に対する水深の応答

Note12　跳水ー射流から常流への遷移

Note13　等流水深

Note14　水面形に関する注意事項

Note15　微小撹乱波の伝播とフルード数

Fig.6.4 波速gh^(1/2)で上下流に向かう波の伝播

Fig.6.7 スルースゲートからの流出

Fig.6.8,6.9河床の変化とh-E図、対応水深

Fig.6.10,6.11 支配断面、例題図