第１章 開水路の等流(Uniform flow of open channel)

1-1 開水路の流れの分類

急変流

Rapidly Varied Flowなし

非定常等流

Unsteady Uniform Flow

漸変流

Gradually Varied Flowあり

(定常)不等流Non-Uniform Flow

あり

非定常不等流

Unsteady Non-uniform Flow

あり

非定常流

Unsteady Flow

なし

（定常)等流Uniform Flow

なし

定常流Steady Flow

空間的変化時間的変化

1-2 等流流れの水理【1】 用語の定義

h: 水深 Depth

B: (水面)幅 Width

A: 断面積 Area

S: 潤辺Wetted Perimeter

径深 R = A/S Hydraulic Radius

水面(Water Surface)

底面(Bottom)河床(River Bed)水路床(Bed)

流速(Velocity)

流量(Discharge)

河床勾配(Bed Slope)

水面勾配(Water Surface Slope)

底面勾配(Bed Slope) :

idxdz

bb =−=≈ θθ tansin

水面勾配(Water Surface Slope):

Idxdhi

dxhzd

ww =−=+

−=≈)(tansin θθ

【2】 定常等流(通常、等流といえば定常等流をさす）とは

1.水深、流速（したがって流量）が時間的にも場所的にも一様な流れ

2. したがって、dh/dx=0, dB/dx=0, dV/dx=0, dQ/dx=0 などが成立する。これより、 河床勾配と水面勾配が平行であることを意味する。

3. 重力による流下力と底面（壁面）からの摩擦力がつり合い、加速度＝０。すなわち等速運動する流れである

【3】 等流における連続条件

流量の定義式: const.== AVQ

【4】 等流における力のつり合いと平均流速公式

xδ

x

A

SxgA

xAδρ

δ重量：　

体積：　 ⋅

x

zxδ

θδρ sinxAgx方向成分：重力の

水深が等しいので圧力は同じ。したがって考えている水塊に対する圧力差はゼロ

gRISAg

xSxgAxS

ρθρτ

δτθδρτδτ

==∴

=

sin

sin:

0

0

00

:

等流状態では

力単位面積あたりの摩擦　　　摩擦力

一方、底面摩擦力 流速 の関係は？

γβα IRV =一般的には：　

係数　　　　　　　

年の公式

Chezy)(1775Chezy

:cRICV =

の粗度係数

年の公式

Manning

)(1889Manning

:1 21

32

nIRn

V =

より理論的な式として対数流速公式がある。

詳しくは流体力学で！*

16

*

16

12 123 2

16

2 13 2

(6.0 5.75log )

7.66

7.66

7.66

1

s

s

s

s

s

RV uk

R uk

k

RV gRIk

g R Ik

R In

= +

⎛ ⎞≈ ⎜ ⎟

⎝ ⎠=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

=

　・・・　Manning-Strickler式

　　　 粗度高

とおいてみると

16

12

16

17.66

0.0417 (m-s )

s

s

kng

k

=

= 単位

すなわち、ｎはｋsのみによって変化する。

まとめ

１． の関係にある。6/11 R

nC =

２． nは粗度状態により変化する（Text 下.p9)

３．Manning式は粗面水路の乱流について成立する。

４． n は で表す約束になっている。][ sm-1/3 ⋅

５．n は有効数字二桁で表す。

水理学演習（下巻）p.9森北出版

水理公式集P13土木学会編

【問題】 豊平川は i =1/200, h = 3m, B = 200m, n=0.03である。等流状態だとすると平均流速を求めよ。

(m/sec)

(m)

)(m(m)

80.4)200/1(91.203.011

91.2206600

6002003206200322

2/13/22/13/2

2

=××==

===

=×=

=+×=+=

iRn

V

SAR

ABhS

または、

(m/sec)

90.4)200/1(303.011 2/13/22/13/2 =××==

≈

>>

ihn

V

hR

hBよって、

と見なせる。より、広い長方形断面ほぼ同じ！

１－３ エネルギー概念（損出水頭）との関連(Text 4.1 下p128～141)

[1] 損出水頭と摩擦力

断面積 A

1

LA・1の水柱がLの距離を動く間に失った位置エネルギー

h

hgA ⋅⋅= )1(ρ流れの底面せん断力が底面に対してなす仕事

SL0τ=両者等しいとすると。。。

gRigRIgRILh

SAg

SLgAh

f ρρρρτ

τρ

====

=

0

0

両者等しいとおいて、

摩擦勾配、損失勾配

gRu

gRI

ugRI

f

f

2*0

2*

0

==

==

ρτ

ρτ

u*:摩擦速度

（せん断力を速度の次元で表したもの）

等流なので

【2】平均流速公式と損失勾配

Chezy, Manning, 対数公式を与えて を表す。fI

2

2Chezy fVIC R

=公式では

2 2

43

Manning fn VIR

=公式では

2

2(6.0 5.75log )f

s

VI R gRk

=+

対数公式では　　

1-4 流量を与えて等流水深を求める

Text 7.2.2 (下) p12～19

[1] 広長方形断面水路における等流水深

① Manning 式を使うと

2/3 1/ 2 5/3 1/ 2

3/5

1 1Q Bh h I B h In nnQh

B I

= =

⎛ ⎞∴ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

h

B

R h≈

②対数式を使うと

3/ 2

3/ 2

(6.0 5.75log )

(6.0 5.75log )

(6.0 5.75log )

s

s

s

hQ Bh ghIkhB gI hk

h Qhk B gI

= +

= +

+ =

したがって、

となり陽な形で解けない。

hの仮定

左辺の計算

左辺=右辺？

no

yes

end

近似式(Manning Strickler式)を使うと

1362

1 56 3

31 56

7.66

7.66

7.66

s

s

s

h Qhk B gI

Qk hB gI

k QhB gI

−

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

⋅ =

⎛ ⎞⎜ ⎟∴ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

[2] 台形断面水路における等流水深

h

b

θ2

2

2 13 2

212 3

2 2

122 tan

2 2sin

/ tan2 / sin

1

1 / tan( / tan )2 / sin

hA bh

hS b b

bh hRb h

Q AV A R In

bh hbh h In b h

θ

θθθ

θθθ

= + ⋅ ⋅

= + = +

+∴ =

+

= =

⎛ ⎞+= + ⎜ ⎟+⎝ ⎠

繰り返し計算！

【問題１】勾配1/500, 幅10mの長方形断面水路に流量2m3/sの水が流れている。n=0.025のとき等流水深はいくらか？

3355 0.025 2 0.267 10

10 1/500(m) (m)nQh

B I×⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

【問題２】勾配1/900の図のような三角形断面水路の流量2m3/sの水を流したい。深さをどのくらいに設計すればよいか？ ただしn=0.025とする。

30°30°

台形断面の式で、b=0、θ=30°として、

2 12 2 3 2

2 283 3

2 3

32 83

1 / tan30 18tan30 0.015 2 / sin30 900

1 3 1 3 330.015 4 30 30 0.015 4

30 0.015 8 4 1.623 3

h hQh

h h h

h

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

×⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎧ ⎫× × ⎛ ⎞⎪ ⎪∴ = =⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

（ｍ）

１－５ 水理学的に有利な断面 Text 7.2.3, (下)p20～21

底面勾配 i、断面積 A、粗度係数 nが与えられた場合に流量 Qを最も多く流しうる断面を水理学的に有利な断面という。

この条件は、2 13 2

1132

2

1

1 0

0 )

0

0( )

(

Q R i An

Q Ri ARh n h

R Rh

R A A Sh h S S h

S Sh

−

=

∂ ∂= =

∂ ∂∂

=∂

∂ ∂ ∂⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∂

=∂

すなわち、　 が最大より、求められる。

または、　

すなわち、　　 　が最小より求められる。

S（潤辺）が最小＝抵抗が最も少ない。

この式からも明らか

①長方形断面では、

2 2

2

2

2 2 0

2

S B hA hh

S A Bhh h hB h

= +

= +

∂= − + = − + =

∂∴ = のとき有利な断面となる。

A Bh=

2B h=

h

②台形断面では、

2

2 2

2

2

2 1 2sin tan sin

1 2tan sin

1 1 2tan tan sin

2 2 0tan sin

h h hS b Ah

S Ah h

hbhh

bh

ϑ ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑ ϑ θ

θ θ

⎛ ⎞= + = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∂

= − − +∂

⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − − + =

2

2 2tan sin1 cos2

sin

2sin22 2 tan

22sin cos2 2

2 tan2

bh

b h

ϑ ϑϑ

ϑϑ

ϑϑ ϑ

ϑ

= − +

−=

= =

=よって　 において有利な断面となる。

2 2 2

2

cos cos sin 1 2sin2 2 2

1 cos 2sin2

ϑ ϑ ϑϑ

ϑϑ

= − = −

− =

１－６合成粗度係数 Text 7.2.4 (下)p21～24

潤辺が異なる粗度を持つとき、全体として粗度は、どうなるか？

豊平川

札内川

厚別川2003.8洪水

1n

2n

3n1A2A 3A

各潤辺が支配する断面に区分し、断面内の各所で流速が等しく Vであると考える。

1n2n

3n4n 5n 6n 7n

1S

2S

3S kS

NS1A

2A

3AkA

NA1 2 3

1 2 31 2 3

, , ,

, , ,k Nk N

k N

A A AR R RS S S

A AR RS S

= = =

= =

およびManning式を使って、

1 1 1 1 1 11 2 32 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3

1 1 1 1 1 1k K

k k K K

A A A A A AV I I I I I In S n S n S n S n S n S

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1,

N N

k kk k

S S A A= =

= =∑ ∑

各辺を で割って 乗すると、

12I

32

1 2 33 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3

k N

k k N N

A A A A A A

n S n S n S n S n S n S= = = = = =

合比の理より

332

1

Ns

k kk

n S n S=

=∑

23 32

1

N

k kk

n Sn

S=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟∴ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑