第三章空间力系 Chapter 3 Forces in Space 2007 年 8 月

第三章空间力系第三章空间力系 Chapter 3 Forces in SpaceChapter 3 Forces in Space

20072007 年年 88 月月

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第三章空间力系第三章空间力系

本章我们将要学习的内容本章我们将要学习的内容• 空间力系的基本概念空间力系的基本概念• 空间力系的简化空间力系的简化• 空间力系平衡问题空间力系平衡问题• 重心重心


PART A PART A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念

Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念 1.1. 空间力的投影与分解空间力的投影与分解

力的分解

O

x

z

y

F

Fx

Fz

Fy

zyx FFFF 单位矢量 i , j , k

ij

k

kjiF zyx FFF

O

x

z

y

Fz

gFyb

Fx

a


直接投影法

Fg

ba

cos

cos

cos

FF

FF

FF

z

y

x

O

x

z

y

Fz

Fy

Fxy


间接投影法（二次投影法）

F

Fx

g

j

gsinFFxy

gcosFFz

jg cossinFFx

jg sinsinFFy


间接投影法（二次投影法）

O

x

z

y

Fz

Fy

Fxy

F

Fx

g

j

若已知空间力的各投影量的大小222

zyx FFFF

F

FF

FF

F

z

y

x

g

b

a

cos

cos

cos

Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念例题例题 11

O

x

y

F

a

a

a

z 力 F 作用在正六面的对角线上，如图所示，若正六面体的边长为 a. 计算力 F 在 x, y, z 轴上的投影 .

Fy

Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念 [[ 解解 -- 方法方法 1]1]

O

x

y

F

a

a

a

z

a2

a3

aFx

3

3

3cos

a

aa

FFFx 3

3cos a

b 3

3

3cos

a

ab

FFFy 3

3cos b

g

Fz

3

3

3cos

a

ag

FFFz 3

3cos g

Fy

Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念 [[ 解解 -- 方法方法 2]2]

O

x

y

F

a

a

a

z

g

Fz

a3

3

3

3cos

a

ag FFFz 3

3cos g

Fxy

FFFFxy 3

6

3

2sin g

jFx

2

2cos j

2

2sin j

FFFF xyx 3

3

2

2

3

6sin j

FFFF xyy 3

3

2

2

3

6cos

j

Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念 2 2 力对点的矩力对点的矩

O

x

y

z

A

B

F

矩心

在三维坐标系中，将力对点的矩用矢量来表示 :

FMO

r

若矢径为 r

FrFM O

FMO

q

qsin)( FrFM O

d

OABO AFd 2)(FM

力对点的矩 - 固定矢量

z

Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念 2 2 力对轴的矩力对轴的矩

FFz

Fxy

分力 Fxy 使门绕 z 轴旋转

使用 FzM

表示力 F 对 z 轴的矩

代数量

d dFM xyz F


FzM

z

0FzM

z

0FzM


z

F1

zaxis //1F 01 FzM

F2

F2 与 z 轴相交 :

02 FzM


z

O

A

FFz

Fxyd

Fxy

A

O

d

dFM xyz F dFM xyxyO F

Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念合力矩定理合力矩定理

任意一个力系的合力对于任意一点（任意的轴）的矩等于力系中各力对同一点（或轴）的力矩的矢量和 ( 或代数和 ).

)(......)()()( 21R nzzzz MMMM FFFF


O

x

z

y

F

Fx

Fz

Fy

z

x

y

)(FzM

)()()( zzyzxz MMM FFF

0 yx xFyF

yzx zFyFM F

zxy xFzFM F

Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念 3 3 力对点的矩和力对轴的矩的关系力对点的矩和力对轴的矩的关系

kjirkjiFFFF zyxFFF zyxzyx

kji

kji

FrFM

)()()(

)(

xyzxyz

zyx

O

yFxFxFzFzFyF

FFF

zyx

yxz xFyFM F

yzx zFyFM F

zxy xFzFM F

)()(

)()(

)()(

FFM

FFM

FFM

zzO

yyO

xxO

M

M

M

Part A 空间力系的基本概念 3 3 力对点的矩和力对轴的矩的关系力对点的矩和力对轴的矩的关系

)()(

)()(

)()(

FFM

FFM

FFM

zzO

yyO

xxO

M

M

M

O

x

y

z

F

r

FMO

q

d

)()( FFM zzO M

力对某点的力矩矢在通过该点的任意轴上的投影，等于此力对该轴之矩。

Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念例题例题 22

y

x

z

O

A

FFx

Fy

Fz

yA

xA

d

j

qc

a

bB

C

D

AB = a BC = b CD = c DO=d

计算力 F 对轴 x, y, z 的矩

6030 qj

Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念 [[ 解解 ]]

y

x

z

O

A

FFx

Fy

Fz

yA

xA

d

j

qc

a

bB

C

D

6030 qj

qj sincosFFx 60sin30cosF F

4

3

qjcoscosFFy

60sin30cosF F4

3

jsinz FF F2

1

zxyxxxx MMMM FFFF

FxM 0 dFy caFz

dcaF

324

FyM dbF

bFdF zx 324

FzM bFacF yx bcaF

334

Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念 4.4. 力偶矩矢力偶矩矢

F

F'

M

对于空间力偶，除了考虑其大小和转向，还必须考虑其作用平面，因此，通过矢量的方式来表示空间力偶

可以通过右手定则来决定力偶矩矢的矢量方向 . 力偶矩矢是一个自由矢量 .

转向转向

力偶矩矢力偶矩矢

Part A 空间力系的基本概念 4.4. 力偶矩矢力偶矩矢

空间等效力偶作用在同一刚体的两个平行平面内的两个力偶，若它们的力偶矩的大小相等且力偶的转向相同，则两力偶等效。

0.5m

0.2m

400N 400N

x

y

z

0.2m

0.5m

400N 400N

0.5m

0.2m

1000N

1000N

Part A 空间力系的基本概念空间力系的基本概念 4.4. 力偶矩矢力偶矩矢

空间力偶对刚体的作用效果取决于三个要素 ① 力偶矩的大小； ② 力偶的转向； ③ 力偶作用面的方位。


PART B PART B 空间力系的简化空间力系的简化

Part B 空间力系的简化空间力系的简化 1.1. 空间力的平移空间力的平移

O

x

z

y

F

O

x

z

y

FF'

F''

O

x

z

y

F'

F

F''

MO(F)

FMO 附加力偶矩矢

d

FdO FM

Part B 空间力系的简化空间力系的简化 2.2. 空间力系的简化空间力系的简化

O

x

z

y

F1 F2

Fi

Fn

点 O ：空间中任意选择的简化中心将 F1 平移到点 O,

F'1 11 FMM OM1

将空间中的其他力平移到点 O:

F'2

M2

22 FMM O

iOi FMM

nOn FMM

F'n

Mn

F'i

Mi


O

x

z

y

F'1

F'n

F'2

F'i

M1

M2

Mi

Mn

主矢 F’R

iniR FFFFFF ......21F'R

主矩 MO

iniO MMMMMM ......21

MO

iOO FMM

主矢与简化中心的选择无关 , 主矩与简化中心有关。简化中心选择不同，各力对简化中心的力矩也不相同。


O

x

z

y

F'1

F'n

F'2

F'i

M1

M2

Mi

Mn

F'RMO

222 )()()(' iziyixR FFFF

R

ix

F

F

acos

R

iy

F

F

bcos

R

iz

F

F

gcos


O

x

z

y

F'1

F'n

F'2

F'i

M1

M2

Mi

Mn

F'RMO

)(

)(

)(

izOz

iyOy

ixOx

MM

MM

MM

F

F

F

222 iziyixO MMMM FFF

O

ix

M

MF

acos

O

iy

M

MF

bcos

O

iz

M

MF

gcos

Part B 空间力系的简化空间力系的简化 3.3. 简化结果分析简化结果分析

平衡 0,0'.1 OR MF

主矩 0,0'.2 OR MF

合力 0,0'.3 OR MF

OROR MFMF '0,0'.4

M

O F'RO

F'R

FRO'

F''R OFR

O'


OROR MFMF //'0,0'.5

力螺旋

O

MF'R

O

F'R


OROROR notnot MFMFMF '//'0,0'.6

F'R

MO aF'R

M'OO d

R

O

R

O

F

M

F

Md

asin

F'R

M''O

M'O

力螺旋

Part B 空间力系的简化空间力系的简化例题例题 33如图所示，正六面体的边长等于 100mm, F1=F2=F3=F4=F5=F=100N,将该力系向 A 点简化，并分析简化结果。

F5

A

x

z

y

F3

F1

F2 F4

B

CD

E H

LM

Part B 空间力系的简化空间力系的简化 [[ 解解 ]]F1=F2=F3=F4=F5=F=100N

F5

A

x

z

y

F3

F1

F2 F4

B

CD

E H

LM

ixRx FF

a

a

a

aFFFF

23

2

2

2

2

25432

3N.16163.0 F

iyRy FF

a

a

a

aFFF

23

2

2

2

2

2532

199.2N992.1 F

izRz FFa

aFF

351 157.7N577.1 F

Part B 空间力系的简化空间力系的简化 [[ 解解 ]]

F1=F2=F3=F4=F5=F=100N

F5

A

x

z

y

F3

F1

F2 F4

B

CD

E H

LM

222RzRyRxR FFFF

6N.2547.1572.1993.16 222

0640.06.254

3.16cos

R

Rx

F

Fa 33.86a

7824.06.254

2.199cos

R

Ry

F

Fb 52.38b

6194.06.254

7.157cos z

R

R

F

Fg 73.51g


F1=F2=F3=F4=F5=F=100N

F5

A

x

z

y

F3

F1

F2 F4

B

CD

E H

LM

iAxAx MM F

以点 A 为简化中心 aFaF 21 2

2

mN93.2293.0 Fa

iAyAy MM F aFaFaF 421 2

2

m07N.7707.0 Fa

iAzAz MM F aFaFaF 432 2

2

2

2

m4.14N414.0 Fa

222AzAyAxA MMMM mN70.814.407.793.2 222


F1=F2=F3=F4=F5=F=100N

F5

A

x

z

y

F3

F1

F2 F4

B

CD

E H

LM

3368.070.8

93.2cos

A

Ax

M

Ma 32.70a

8126.070.8

07.7cos

A

Ay

M

Mb 35.144b

4759.070.8

14.4cos

A

Az

M

Mg 58.61g

ARARAR notnot MFMF0M0F '//','

简化结果是一个力螺旋

Chapter 3 Chapter 3 空间力系空间力系

PART C PART C 空间力系的平衡空间力系的平衡

Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡 1.1. 空间一般力系的平衡空间一般力系的平衡

平衡的充分必要条件 :0M0F Oand'R

222 )()()(' iziyixR FFFF

222 iziyixO MMMM FFF

平衡方程 :

0)(0

0)(0

0)(0

F

F

F

zz

yy

xx

MF

MF

MF 可以使用少于三个力方程，多于三个矩方程来形成其他形式的平衡方程组。注意 : 矩方程的轴是可以任意选取的。

Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡 1.1. 空间特殊力系的平衡空间特殊力系的平衡

空间汇交力系 :

0

0

0

z

y

x

F

F

F

注意

x’ 轴不能通过简化中心

或

0

0

0

'x

y

x

M

F

F

Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡 1.1. 空间特殊力系的平衡空间特殊力系的平衡

空间平行力系

0

0

0

z

y

x

F

M

M

空间力偶系

0

0

0

z

y

x

M

M

M

Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡 2.2. 空间约束类型空间约束类型

径向轴承蝶形铰链


球形铰链推力轴承


空间固定端

Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡例题例题 44

O y

x

z

A

B

C

D

F

长 l 的三根杆铰接与 A, B , C 三点 . OA=OB=OC=a, 一个竖直力 F 作用与 D 点 , 计算杆 BD 的内力 .

a=400 mm

l=500 mm

Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡 [[ 解解 ]]

O y

x

z

A

B

C

D

F

设一个竖直平面 OBDE 与平面 oxy 相交于 OE, BD与 z 轴夹角为 q ,O y

x

z

A

B

D

F

q

E

BDF

CDF

ADF

Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡 [[ 解解 ]] 将 FBD 分解为 FBD

xy 和 FBDz ，

如图所示

O y

x

z

A

B

C

D

F

q

E

CDF

ADF

BDF

BDFxy

z

选择 AC 建立平衡矩方程

O y

x

z

A

B

C

D

F

q

E

CDF ADF

BDF

BDFxy

z

H

0)( FACM

0EHEHcosDEsin FFF BDBD qq

Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡 [Solution][Solution]

O y

x

z

A

B

C

D

F

q

E

CDF ADF

BDF

BDFxy

z

H

计算 DE, EH 以及角度 q 的值

O

C

A

H

a

2/sinsinEH

cosDE

alOHl

la

qq

q

O EH

B

Dq

a

l

a

qqq

cos)2/1(sin

2/1sin)2/(

l

FFBD


O y

x

z

A

B

C

D

F

q

E

CDF ADF

BDF

BDFxy

z

H

3/1coscoscos

1coscoscos222

222

gbagba

O EH

B

Dq

g

l

a

ggq cosOD2ODsin/sin/ODOBD 222 aall

)2)(31(3

2sin 2

a

l

l

aq FFBD 0579

O y

x

z

A

B

C

D

E

q

H

g

a

b

Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡从例题从例题 44 中我们可以了解到什么中我们可以了解到什么 ??

1. 在空间汇交力系中同样可以使用矩平衡方程，而且矩方程的轴是可以任意选择的。

2. 如果力系的简图绘制不清楚，很容易在解题过程中造成误解。

Part C 空间力系的平衡空间力系的平衡例题例题 55

A BC

E

Oy

x

z

500 500 20010

0

400

QDF

如图所示，水平力 Q 作用与曲轴相连的轮上的 E 点，若曲轴在 F,Q 力作用下平衡，计算 Q 的大小以及轴承A 和 B 处的约束反力。其中 F=200N

Part C 空间力系的平衡 [[ 解解 ]]

A BC

E

Oy

x

z

500 500 200

100

400

QDF

将 F 平移到平面 Oyz,

MF = F×400=80000N·mm

将 Q 平移到平面 Qxy,

MQ= Q×100=100QN·mmA B

C

E

Oy

x

z

500 500 20010

0

400

DF

Q MQMF


A BC

E

Oy

x

z

500 500 200

100

400

QDF

A BC

E

Oy

x

z

500 500 20010

0

400

DF

Q MQMF

0yM

0 FQ MM

将各个力向两个垂直平面上进行投影，如下图所示 :

N800080000100 QQ


A BC

E

Oy

x

z

500 500 200

100

400

DF

Q MQMF

将各个力 ( 约束力 ) 投影到平面 Ozy

AZF BZF

500 500 200

AB C

F

y

z

(O)

0AM

012001000 FFBZ

N240BZF

N40

0

0Z

AZ

BZAZ

F

FFF

F

N200F


A BC

E

Oy

x

z

500 500 200

100

400

DF

Q MQMF

将各个力 ( 约束力 ) 投影到平面 Oxy N200F

AxF BxF

500 500 200

AB C

y(O)

Q

x

N4002/ QFF BxAx

Chapter 3 Chapter 3 空间力系空间力系

PART D PART D 重心重心

Part D 重心重心 1. 1. 基本概念基本概念

我们一般所说的重力，是作用在物体上的重力分布的合力。而重力在刚体上的作用点即为重心。因此，重心的位置是由作用在刚体上的重力分布情况来决定的。

在动力学中，质心是一个非常重要的概念 , 在很多情况下，我们发现重心和质心是重合的。只有在重力场分布不均匀的情况下，两者的位置不相同。因此在工程中重心和质心往往指的是相同的点。 .

Part D 重心重心 2. 2. 重心重心

O y

x

zVW dd g

Vd

yx

zO y

x

z

yC xC

zC

W

C

VV

VWW dd g


O y

x

zVW dd g

Vd

yx

z

O y

x

z

yC xC

zC

W

C

C 的坐标可以通过计算分布力对坐标轴的力矩等于重力 W 对相应轴的力矩的方法来确定 .

VCy

VCx

WxWxM

WyWyM

d

d

V

V

V

VC

V

V

V

VC

V

V

V

VC

V

Vz

W

Wzz

V

Vy

W

Wyy

V

Vx

dW

xdWx

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

g

g

g

g

g

g


O y

x

zVW dd g

Vd

yx

z

O y

x

z

yC xC

zC

W

C

对于均质物体，重力密度是常数，因此

V

VC

V

VC

V

VC

V

Vzz

V

Vyy

V

Vxx

d

d

d

d

d

d

对于均质物体而言，其重心的位置与形心的位置重合。

对于一些常见几何形状的形心，教材 90页表 3-2 列出了坐标位置。


组合体若一个均质物体的形状由几个简单图形组成，我们可以通过以下公式找到该物体的形心（重心） :

i

CiiC

i

CiiC

i

CiiC W

zWz

W

yWy

W

xWx

同样，质心的位置也可以通过下面公式得到：

i

CiiC

i

CiiC

i

CiiC m

zmz

m

ymy

m

xmx

Part D 重心例题例题 66

如图所示，计算均质组合体的重心位置的坐标。

O x

y

20

100

120

20

Part D 重心重心 [[ 解解 ]] 将组合体分为两个简单图形，如

图所示

O x

y

20

100

120

20

1C

2C

C

Part I

Part II

mm70)2

2012020(mm10

mm200020)20120(

11

21

yx

A

mm10mm50

mm200020100

22

22

yx

A

Part D 重心重心 [[ 解解 ]]

O x

y

20

100

120

20

1C

2C

C

Part I

Part II

从上面得到的结果：

mm3021

2211

AA

xAxA

A

xAx CC

i

CiiC

mm4021

2211

AA

yAyA

A

yAy CC

i

CiiC

Part D 重心重心例题例题 77

如图所示，确定均质物体的重心坐标位置。

O x

y

R

1r

2rmm17

mm30

mm100

2

1

r

r

R


这个物体可以分解成为三个简单形状，其中形状 I 和 II 是正面积而 III 是负面积 , 如图所示

O x

y

R

1r

2r

I

I I

I I I


O x

y

R

1r

2r

π3

40mmπ5000

2

π11

22

1

Ryx

RA CC

π3

40mmπ450

2

π 122

22

12

ryx

rA CC

00mmπ289π 3322

23 CC yxrA

mm40289π450π5000π

0289π)π40

(450π3π400

5000π

0

i

CiiC

C

A

yAy

x

O x

y

R

1r

2r

I

I I

I I I

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第三章 空间力系 Chapter 3 Forces in Space 2007 年 8 月

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