[ 선형대수 ] ( 보충 )Cramer’s rule 증명

최윤정

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Cramer 공식 • 행렬의 기본연산 일차 연립방정식에 응용

• 미지수와 방정식의 개수가 같은 일차연립방정식에 적용 .!

• 일차연립방정식의 계수행렬 A 에 대해 ,

• |A| 가 0 이 아니면 , 주어진 연립방정식은 유일한 해를 갖는다 .

a11 a12 a13 a14 … a1n

a21 a22 a23 a24 … a2n

a31 a32 a33 a34 … a3n

…

an1 an2 an3 an4 … ann

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + …+ a2nxn = b2

…an1x1 + an2x2 + …+ annxn = bn

계수행렬 A = 상수행렬 B = {b1 b2 b3 … bn }

계수행렬의 j 열 대신에

상수행렬 B 를 전치시켜 넣어 구한다 .

단 , j = 1 , 2, 3, …, n

xj =

a11 a12 … a1j-1 a1j a1j+1 … a1n

a21 a22 … a2j-1 a1j a2j+1 … a2n

a31 a32 … a3j-1 a1j a3j+1 … a3n

…

an1 an2 … anj-1 anj anj+1 … ann

|A|

b1 b2

b3

… bn

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Cramer 공식의 증명 • 주어진 연립방정식의 계수행렬 A 의 행렬식 |A| 가 0 이 아니라고

가정하자 . • 그리고 A 의 j 열 대신 상수행렬 B 를 전치시켜 넣은 행렬 C 를 생각하자 .

•

• 그런데 , C 의 각각의 bi 대신 ∑ ainxn ( i=1~n ) 으로 대체해도 무방하다 .

C =

a11 a12 … a1j-1 a1j a1j+1 … a1n

a21 a22 … a2j-1 a1j a2j+1 … a2n

a31 a32 … a3j-1 a1j a3j+1 … a3n

…

an1 an2 … anj-1 anj anj+1 … ann

b1 b2

b3

… bn

a11x1 + a12x2 + …+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + …+ a2nxn = b2

…an1x1 + an2x2 + …+ annxn = bn

a11 a12 … a1j-1 a1j+1 … a1n

a21 a22 … a2j-1 a2j+1 … a2n

a31 a32 … a3j-1 a3j+1 … a3n

…

an1 an2 … anj-1 anj+1 … ann

a11x1 + a12x2 + … + a1nxna21x1 + a22x2 + … + a2nxn

an1x1 + an2x2 + … + an-

nxn

a31x1 + a32x2 + … + a3nxn

C =

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• 행렬식 |C| 를 j 열에 대해 여인수 전개를 하자 !

• |C| = (a11x1 + a12x2 + … + a1nxn)A1j

+ (a21x1 + a22x2 + … + a2nxn)A2j

+ (a31x1 + a32x2 + … + a3nxn)A3j

+ ….

+ (an1x1 + an2x2 + … + annxn)Anj

a11 a12 … a1j-1 a1j +1 … a1n

a21 a22 … a2j-1 a2j+1 … a2n

a31 a32 … a3j-1 a3j+1 … a3n

…

an1 an2 … anj-1 anj+1 … ann

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn

an1x1 + an2x2 + … + annxn

a31x1 + a32x2 + … + a3nxn|C| =

J 열

이제 , 다시 xi 들에 대해 정리하면 ,

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• 다시 xi 들에 대해 정리하면 ,

• |C| = (a11 A1j+ a21A2j + … + an1Anj )x1

+ (a12A1j + a22A2j + … + an2Anj) x2

+ (a13A1j + a23A2j + … + an3Anj) x3

+ ….

+ (a1jA1j + a2jA2j + … + anjAnj) xj

+ ….

+ (a1nA1j + a2nA2j … + annAnj) xjn

= |A| xj

∑ aniAnj ( i=1~n )

i ≠ j 인 xi 의 계수들은

모두 0 !

Why ? ! (slide 7~8)

그런데

그런데 , |A| ≠ 0 이므로 모든 j ( 1≤ j ≤ n) 에 대해 xj = |C| / |A| . 증명 끝 ! 휴…

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• i ≠ j 인 xi 의 계수들은 모두 0! Why ? !

• 기본 행 연산에 대한 행렬식의 성질 중 .

– * 행렬 A 의 임의의 행 ( 열 ) 을 교환한 B 에 대해 , |A| =-|B|

– (1) 행렬 A 의 두 행 ( 열 ) 이 같으면 |A| = 0 이다 .

– (2) i ≠ j 이면 , ∑ aniAnj 는 0 이다 .

∑ aniAnj ( i=1~n )

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(1) 행렬 A 의 두 행 ( 열 ) 이 같으면 |A| = 0 이다 .

• A 와 i 번째와 j 번째 행 ( 열 ) 이 같다고 가정하고

A 에 기본행연산 Ri ↔ Rj 행 ( 열 ) 을 수행해 얻은 행렬을 B 로 가정하자 .

• 이 경우 B= A 이고

• 따라서 |B| = |A| 이다 . 그런데 , 행 ( 열 ) 교환 후의 행렬식 성질에 의해

• |B| = -|A| 이므로 .

• |A| = |B| = 0..!

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(2) i ≠ j 이면 , ∑ aniAnj 는 0 이다 .

• A 의 j 번째 행 ( 열 ) 을 A 의 i 번째 행 ( 열 ) 으로 대체시켜 얻은 행렬을 B.

• (Cramer 공식은 j 열에 대한 미지수 xj 정리되므로 ‘열’ 기준으로 )

• 임의의 열 k( 1≤ k ≤ n ) 에 대해 , bkj = akj, Bkj = Akj 가 성립한다 .

• 이미 (1) 번에 의해 |B| = 0 이므로

• ∑ bkiAkj = ∑ akiAkj = |B| = 0 ( 1≤ k ≤ n )