閉弦の場の理論による閉弦の場の理論による動的動的 D-braneD-brane 系の記述系の記述

東京大学ビッグバン宇宙国際研究センター東京大学ビッグバン宇宙国際研究センター

小林　晋平小林　晋平

早稲田大セミナー2004 年 6 月 14 日

目次目次1.1. 導入と動機導入と動機2.2. 弦理論とは弦理論とは3.3. （（ HIKKOHIKKO 型）閉弦の場の理論型）閉弦の場の理論4.4. マターカレントが入った閉弦の場の理論マターカレントが入った閉弦の場の理論5.5. 結果とまとめ結果とまとめ6.6. 今後の展望今後の展望

１．導入と動機１．導入と動機量子重力・量子宇宙論における問題の解決量子重力・量子宇宙論における問題の解決

宇宙の初期特異点宇宙の初期特異点プレビッグバン模型、プレビッグバン模型、 ekpyroticekpyrotic 宇宙、・・・宇宙、・・・

ブラックホール蒸発の最終段階ブラックホール蒸発の最終段階バックリアクション入りのホーキング輻射バックリアクション入りのホーキング輻射

（統一理論の完成）（統一理論の完成）

超弦理論を用いてこれらの問題に取り組む超弦理論を用いてこれらの問題に取り組む 動的・不安定な動的・不安定な D-braneD-brane 系の解析が鍵系の解析が鍵

（超）弦理論とは？（超）弦理論とは？弦というひも状の弦というひも状の 11 次元物体が基本構成要次元物体が基本構成要素素

　　 cf.) cf.) 量子力学量子力学 // 場の理論の点粒子的描像場の理論の点粒子的描像

開弦開弦 (open string)(open string) と閉弦と閉弦 (closed string)(closed string) のの22 種種

弦の振動状態で各種粒子を表現弦の振動状態で各種粒子を表現

弦の長さのスケール(string scale

　 = Planck scale(?) )

点粒子 閉弦 開弦

遠方（低エネルギー）から観測すれば、弦も点粒子に見える

超弦理論の面白さ超弦理論の面白さ重力まで含めた統一理論の最有力候補重力まで含めた統一理論の最有力候補

44 次元以上の高次元時空の存在を示唆次元以上の高次元時空の存在を示唆 ボゾン的弦理論ではボゾン的弦理論では 2626 次元次元

超弦理論では超弦理論では 1010 次元次元 D-braneD-brane のような高次元オブジェクトを内包のような高次元オブジェクトを内包

時空の非可換性を示唆時空の非可換性を示唆 相対論的にも興味深い相対論的にも興味深い

超弦理論の問題点超弦理論の問題点摂動論しかわかっていない摂動論しかわかっていない 摂動的には無数の弦理論を定式化可能摂動的には無数の弦理論を定式化可能どれが「真の」理論なのかわからないどれが「真の」理論なのかわからない

弦同士の相互作用の仕方がわからない弦同士の相互作用の仕方がわからない不安定な系・時間依存する系が扱えない不安定な系・時間依存する系が扱えない

低エネルギー有効理論（ＳＵＧＲＡ）で低エネルギー有効理論（ＳＵＧＲＡ）で近似近似非線形シグマ模型で近似非線形シグマ模型で近似

I 型超弦理論

SO(32) ヘテロ型 超弦理論

E8×E8ヘテロ型超弦理論

IIA 型超弦理論

IIB 型超弦理論

M 理論？

重力理論と弦理論重力理論と弦理論重力子（点粒子）重力子（点粒子）

アインシュタインアインシュタイン --ヒルベルト作用ヒルベルト作用

アインシュタイン方アインシュタイン方程式程式

一般座標変換不変性一般座標変換不変性等価原理等価原理

弦弦

（非摂動的弦理論の（非摂動的弦理論の作用）作用）

（非摂動的弦理論の（非摂動的弦理論の運動方程式）運動方程式）

？？？？

D-braneD-brane の性質の性質 (Polchinski, ’94)(Polchinski, ’94)

弦理論の非摂動的効果を表す物体弦理論の非摂動的効果を表す物体

弦理論のソリトン（古典解）、弦理論のソリトン（古典解）、 (mass)(mass) ～～ 1/g1/g

ＲＲチャージを持つＲＲチャージを持つ開弦の端点がくっつく　「領域」開弦の端点がくっつく　「領域」空間空間 pp 次元に広がっているとき、次元に広がっているとき、 Dp-braneDp-brane　 　 IIAIIA 型超弦理論・・・型超弦理論・・・ D(2p)-braneD(2p)-brane が安定に存在が安定に存在

IIBIIB 型超弦理論・・・型超弦理論・・・ D(2p+1)-braneD(2p+1)-brane が安定に存在が安定に存在

開弦が励起端点がくっつく

閉弦を放出閉弦のソース

D-brane

D-braneD-brane からわかったことからわかったこと各種摂動的超弦理論の間に双対性各種摂動的超弦理論の間に双対性

AdS/CFTAdS/CFT 対応対応 D-braneD-brane 上のゲージ場と上のゲージ場と D-braneD-brane 周りの時空に対周りの時空に対

応関係がある応関係がある

ただし、今までによくわかっているのは全てただし、今までによくわかっているのは全て　　　　　　 BPSBPS 状態の（安定で静的な）状態の（安定で静的な） D-braneD-brane　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　に　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　に限られている限られている

I 型超弦理論

SO(32) ヘテロ型 超弦理論

E8×E8ヘテロ型超弦理論

IIA 型超弦理論

IIB 型超弦理論

M 理論？

コンパクト化

Ｔ双対性

Ｓ双対性

T 双対性

コンパクト化

D-braneD-brane と重力系と重力系D-braneD-brane 系は重力系への応用として面白い系は重力系への応用として面白い

DD ３３ -brane-brane はは 44 次元時空　（空間次元時空　（空間 33 次次元）元）我々の宇宙？我々の宇宙？

　　 cf.) RS modelcf.) RS model

D-braneD-brane とと black p-braneblack p-brane D-braneD-brane を低エネルギー近似（ＳＵＧＲＡ）を低エネルギー近似（ＳＵＧＲＡ）→→ブラックホールによく似た古典解ブラックホールによく似た古典解→→D-braneD-brane でブラックホールが記述出来る？でブラックホールが記述出来る？

動的な動的な D-braneD-brane 系系

重力系はほとんどが動的重力系はほとんどが動的

これまで理解されているのは安定で静的これまで理解されているのは安定で静的ななD-braneD-brane 系のみ系のみ

しかし、動的なしかし、動的な D-braneD-brane 系や不安定な系や不安定なD-braneD-brane 系も存在系も存在　　　　　　→重力系へ応用出来る　　　　　　→重力系へ応用出来る

動的な動的な D-braneD-brane 系系動的な動的な D-braneD-brane 系その１系その１ 非非 BPSBPS 状態状態 D-braneD-brane 　（チャージのない　（チャージのない D-D-

branebrane ））

閉弦を放出 D-brane が崩壊真空に遷移（？）

動的な動的な D-braneD-brane 系系動的な動的な D-braneD-brane 系その２系その２ D/D/D-braneD-brane 系系

互いに逆符号のチャージをもつ互いに逆符号のチャージをもつ 22枚の枚の D-D-branebrane

¯

互いに引き合う消滅（？）

低次元 D-braneへ（？）

ここまでのまとめここまでのまとめ重力系で、高エネルギー領域を解析するには弦理論重力系で、高エネルギー領域を解析するには弦理論が必要が必要弦理論は未完成　弦理論は未完成　（摂動論のみ完成、定式化の仕方は無数）（摂動論のみ完成、定式化の仕方は無数）D-braneD-brane は弦理論の重要な構成要素は弦理論の重要な構成要素動的動的 D-braneD-brane 系の研究は弦理論の非摂動的効果や相系の研究は弦理論の非摂動的効果や相互作用の性質を明らかにすることにつながる互作用の性質を明らかにすることにつながる動的な動的な D-braneD-brane は重力系に応用がききそうは重力系に応用がききそう

　動的な　動的な D-braneD-brane 系の記述・解析が重要系の記述・解析が重要

D-braneD-brane の崩壊過程や生成などの崩壊過程や生成などのダイナミクスを記述することのダイナミクスを記述すること

ででこれらの問題を解明するこれらの問題を解明する

閉弦の場の理論閉弦の場の理論（（ Closed String Field TheoryClosed String Field Theory ））

を用いるを用いる

従来の（超）弦理論での解析を超える目的のために・・・

なぜならば・・・なぜならば・・・相互作用相互作用が本質的な役割を果たすので、が本質的な役割を果たすので、弦弦の場の理論が必要の場の理論が必要になるになる（弦理論は弦の一体系、（弦理論は弦の一体系、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 on-shellon-shell しかしか扱えない）扱えない）宇宙論、宇宙論、 BHBH などとの関連を見越し、などとの関連を見越し、重力重力子を含む閉弦子を含む閉弦を考えるを考える超重力理論に含まれていない、弦の超重力理論に含まれていない、弦のmassive modemassive mode の効果も取り入れたいの効果も取り入れたい（低エネルギーに限らない解析を試みる）（低エネルギーに限らない解析を試みる）

戦術戦術閉弦の場の理論閉弦の場の理論 HIKKOHIKKO 型　型　

(Hata,Itoh,Kugo,Kunitomo & Ogawa, ’86)(Hata,Itoh,Kugo,Kunitomo & Ogawa, ’86)WittenWitten 型　など型　など相互作用が単純なことから相互作用が単純なことから HIKKOHIKKO 型を選型を選ぶぶ議論は型に依らないようにする議論は型に依らないようにするD-braneD-brane を一般化して、マターカレントのを一般化して、マターカレントの形で閉弦の場の理論に付け加える形で閉弦の場の理論に付け加える

本研究のまとめと結果本研究のまとめと結果動的な動的な D-braneD-brane のような一般的なマターのような一般的なマターカレントを、閉弦の場の理論で扱うためカレントを、閉弦の場の理論で扱うための形式を構築の形式を構築

理論の対称性から、理論の対称性から、カレントが従うべきカレントが従うべき拘束条件を導いた拘束条件を導いた

その拘束条件が低エネルギー理論におけその拘束条件が低エネルギー理論におけるる「エネルギー・運動量テンソルの共変「エネルギー・運動量テンソルの共変保存則」に対応保存則」に対応することを発見することを発見

２．弦理論とは２．弦理論とは1.1. 作用・対称性・臨界次元・場作用・対称性・臨界次元・場 PolyakovPolyakov 作用・共形対称性・作用・共形対称性・ 2626 次元・次元・ X,X,

b,cb,c

2.2. BRSTBRST 量子化量子化 BRSTBRST 不変性から物理的状態が決まる不変性から物理的状態が決まる

3.3. D-braneD-brane 弦以外にも特徴的な配位がある弦以外にも特徴的な配位がある

２．弦理論とは　２．弦理論とは　 (1)(1)~ ~ 作用・対称性・場 作用・対称性・場 ~~

11 次元に広がった「ひも」状物体の古典的・量子次元に広がった「ひも」状物体の古典的・量子論的運動を考えたい論的運動を考えたい　　　　　　　　（背景時空は平坦）　　　　　　　　（背景時空は平坦）

cf.) cf.) 自由な相対論的点粒子の作用自由な相対論的点粒子の作用

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ds:ds: 微小微小な世界線な世界線

　→粒子の世界線の長さが極値をとるように　→粒子の世界線の長さが極値をとるように　　　　　　　　　　　　　　　運動が決まる　　　　　　　　　　　　　　　運動が決まる

,dsmS

X0

Xi

X0

Xi

τ = -1τ = -1

τ = 0

τ = 2

τ = 1

τ = 0

τ = 1

τ = 2

σ = 0 σ = π

点粒子の世界線

開いた弦の世界面

自由な相対論的「ひも」（弦）の作用自由な相対論的「ひも」（弦）の作用

DD 次元の平坦な時空中を運動する弦次元の平坦な時空中を運動する弦

点粒子との類推点粒子との類推→弦の世界「面」が作用になる→弦の世界「面」が作用になる→→南部・後藤作用南部・後藤作用

　→これが極小をとるように運動が決まる　→これが極小をとるように運動が決まる

,,,

,det'2

12

1

baXXh

hddS

baab

abNG

),( X

iX

jX

kX

0

PolyakovPolyakov 作用（ゲージ固定後）作用（ゲージ固定後）

ゲージ固定することで、ゲージ固定することで、 (b,c)-ghost (b,c)-ghost が入るが入る

これは共形対称性を持つこれは共形対称性を持つ運動方程式を解き、解をモード展開運動方程式を解き、解をモード展開→質量などの各スペクトルを調べる→質量などの各スペクトルを調べる

cbcbXXzdS

'

1

2

1 2

Polyakov Polyakov 作用の特徴作用の特徴一般座標変換不変性一般座標変換不変性時空の各点で座標変換可能時空の各点で座標変換可能

WeylWeyl 変換不変性変換不変性時空の各点でスケール変換可能時空の各点でスケール変換可能

　　　　上記２つを使ってゲージ固定した後　　　　上記２つを使ってゲージ固定した後もも　　　　　　共形不変性共形不変性があるがある　　　→　　　→ ββ 関数が０、超重力理論へ関数が０、超重力理論へ

モード展開モード展開

ここで、ここで、

nnn

zzn

nn

zz

nnn

nnn

nnn

nnn

nnn

nnn

z

LzTzT

z

LzTzT

z

czc

z

czc

z

bzb

z

bzb

zizX

zizX

,~

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,)()(

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)(,)(

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)(,)(

,~

2

')(,

2

')(

22

11

22

11

21expexp iiwz

弦理論に現れる状態弦理論に現れる状態

第第 11 量子化量子化

0,],[,]ˆ,ˆ[

)'()]'(ˆ),(ˆ[

nmnmipx

iPX

重心の量子化 振動モードの量子化

0)(;, ˆ xeknnstate xiklili

弦の運動を表すのは弦の運動を表すのは PolyakovPolyakov 作用作用

共形対称性をもつ共形対称性をもつ→→ ββ 関数が０関数が０ これを再現するのが超重力理論 これを再現するのが超重力理論

運動方程式を解く運動方程式を解く

→解をモード展開して量子化→解をモード展開して量子化

→弦の状態を決めていく→弦の状態を決めていく

２．弦理論とは２．弦理論とは (2) (2) ～～ BRSTBRST 量子量子化～化～

ゲージ固定した後の作用には、ゲージ不変ゲージ固定した後の作用には、ゲージ不変性の名残りの性の名残りの BRSTBRST 不変性がある不変性がある

　　 BRSTBRST 変換変換

　　のもとで作用が不変　　のもとで作用が不変.~)~(~,)~(

),~~

(~

),(

,)~(

ccciccccic

TTibTTib

XcciX

BB

gXB

gXB

B

BRSTBRST カレントとチャージカレントとチャージBRSTBRST カレントカレント

BRSTBRST チャージチャージ

ccbccTj XB

2

2

3::

nnmnm

nmnn

BBB

bccnm

Lc

jzdjdzi

Q

::2

~2

1

,

BRSTBRST チャージの性質チャージの性質冪零性冪零性BRSTBRST チャージチャージ QQBB は を満たすは を満たすただし、ただし、 2626 次元のときのみ次元のときのみ（超弦理論では（超弦理論では 1010 次元）次元）

物理的状態条件物理的状態条件物理的状態は物理的状態は BRSTBRST 不変不変

02 BQ

0BQ

物理的状態（閉弦の場合）物理的状態（閉弦の場合）BRSTBRST 不変性を満たす閉弦の物理的状態の不変性を満たす閉弦の物理的状態の例例基底状態 基底状態 (tachyon state)(tachyon state)

第第 11 励起状態 励起状態 (massless state)(massless state)

'

4

'

4

;0

22

mk

k

00,0

;0~;22

11

mkekek

keke

閉弦と重力子閉弦と重力子閉弦の閉弦の massless modemassless mode

→→ 時空中では時空中では 22 階のテンソル階のテンソル→重力子・→重力子・ BB 場・ディラトンに分解でき場・ディラトンに分解できるる

kccbcbckS

bcbckD

kB

khke

111111

1111

1111

1111

~]~~)(

2

1

~~)(ˆ

2

1

~~)(22

1

~~)(ˆ22

1[;

重力子

B 場

ディラトン

BRSTBRST 不変であることから、弦の物理的状不変であることから、弦の物理的状態が決まる態が決まる

閉弦の閉弦の massless modemassless mode には、重力を媒介には、重力を媒介する粒子（重力子：する粒子（重力子： gravitongraviton ）が含まれ）が含まれているている

開弦の開弦の massless modemassless mode はゲージ場はゲージ場

２．弦理論とは（３）　～２．弦理論とは（３）　～ D-braneD-brane～～

開弦 開弦 (open string) (open string) の端点がくっつく領域の端点がくっつく領域 閉弦 閉弦 (closed string) (closed string) のソースのソース

←これら２つの読み替えは共形対称性が←これら２つの読み替えは共形対称性が　 保証　 保証弦理論のソリトン（古典解）、弦理論のソリトン（古典解）、 (mass)(mass) ～～ 11/g/g

空間空間 pp 次元に広がっているとき、次元に広がっているとき、 Dp-braneDp-brane

開弦・閉弦と並ぶ、弦理論の代表的配位開弦・閉弦と並ぶ、弦理論の代表的配位

開弦での見方開弦での見方～～ D-braneD-brane～～

iii xXpiX

XpX

0

0

|:25,,1

0|:,,1,0

X0

Xα Xi開弦

D-brane

σ

τ

閉弦

D-brane

σ

τ

開弦

境界状態

閉弦の tree グラフ 開弦の 1-loop グラフ

閉弦での見方　～境界状態～閉弦での見方　～境界状態～

BxBXpiX

BXpXiii

0

0

|:25,,1

0|:,,1,0

σ

τ

閉弦

境界状態

（境界状態の具体的な形）（境界状態の具体的な形）

0~~~~1exp

)(2

1101

25

cccbcbcSn

xT

B

nnnnnnn

ippp

Tp : D-brane （境界状態）の張力

Ghost number 　は　３),( ijS

22章のまとめ章のまとめ平坦な平坦な DD 次元時空中を運動する自由な弦次元時空中を運動する自由な弦南部・後藤作用 南部・後藤作用 or Polyakovor Polyakov 作用作用

弦が掃く世界面上の理論は、共形対称性弦が掃く世界面上の理論は、共形対称性を持つを持つ DD 個のスカラー場の理論個のスカラー場の理論

2626 次元（超弦理論なら次元（超弦理論なら 1010 次元）のときの次元）のときのみ量子異常がないみ量子異常がない このときこのとき BRSTBRSTチャージチャージ QQ が冪零が冪零

２章のまとめ　（つづき）２章のまとめ　（つづき）物理的状態は物理的状態は BRSTBRST 不変　不変　 Q|φQ|φ ＞＞ =0=0閉弦の閉弦の massless mode massless mode には重力子（には重力子（ gravitogravito

nn ）やディラトン）やディラトン (dilaton)(dilaton) が入るが入る

D-braneD-brane と呼ばれる物体が存在と呼ばれる物体が存在 D-braneD-brane は弦と並ぶ代表的配位は弦と並ぶ代表的配位開弦の端点がくっつく領域開弦の端点がくっつく領域

閉弦のソース（境界状態）閉弦のソース（境界状態）重力子などを放出、物理的オブジェクト重力子などを放出、物理的オブジェクト閉弦で見たとき、境界状態という閉弦で見たとき、境界状態という

３．３． HIKKOHIKKO 型　閉弦の場の理型　閉弦の場の理論論

1.1. 記法、および弦理論と弦の場の理論の違記法、および弦理論と弦の場の理論の違いい

2.2. HIKKOHIKKO 型閉弦の場の理論の作用型閉弦の場の理論の作用

3.3. HIKKOHIKKO 型閉弦の場の理論の型閉弦の場の理論の BRSTBRST 対称対称性性

３．３． HIKKOHIKKO 型閉弦の場の理論　型閉弦の場の理論　（１）（１）～記法～～記法～

モード展開モード展開

nnn

nnn

nnμμ

nnn

z

czc

z

bzb

znizpix(z)X

zizX

12

1

)(,)(

1

2

'ln

2

'

)(

交換子交換子

Ghost 0-modeGhost 0-mode

.1,

,~

2

1,

~

,~,~2

1

00

000000

000000

cb

bbbbbb

cccccc

量子力学と場の理論の関係量子力学と場の理論の関係～点粒子の場合～～点粒子の場合～

第第 11 量子化量子化

古典場の理論古典場の理論第第 11 量子化で現れる全ての状態を足し上量子化で現れる全ての状態を足し上げるげる

0]ˆ,ˆ[ ˆ xekstateipx xik

kxcdkxx

kcdk

k

k

)(

量子力学と場の理論の関係量子力学と場の理論の関係～弦理論の場合～～弦理論の場合～

第第 11 量子化量子化

0,],[,]ˆ,ˆ[

)'()]'(ˆ),(ˆ[

nmnmipx

iPX

重心の量子化 振動モードの量子化

0)(;, ˆ xeknnstate xiklili

古典的弦の場の理論古典的弦の場の理論第第 11 量子化で現れる全ての状態を足し上量子化で現れる全ての状態を足し上げるげる

)()]([

;0)(;0)(

;0;0)(

;,

211

1

,

XX

kkCkkB

kAkkTdk

knndkli nn

lik

閉弦の場閉弦の場|Φ|Φ ＞の中にタキオン＞の中にタキオン (tachyon)(tachyon) ・重力子・重力子

(graviton)(graviton) ・ディラトン・ディラトン (dilaton)(dilaton) などのいなどのいろいろな場が入っている。ろいろな場が入っている。

MassiveMassive なものも含む。具体的にはなものも含む。具体的には

と分解したとき、と分解したとき、

000 ccc

弦の場の中身弦の場の中身

}.~])~~)((

2

)~~)((

2{[

)2(

},~])~~)((

2

1

)~~)((

2

1)~~)((

22

1

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1)(

)2(

111111

111126

26

111111

11111111

111126

26

kccbbkei

bbkbikd

kccbcbckS

bcbckDkB

khkTkd

３．３． HIKKOHIKKO 型の閉弦の場の理論　型の閉弦の場の理論　（２）～作用～（２）～作用～

ここで、 ここで、 Φ Φ はは |Φ|Φ＞の汎関数表示＞の汎関数表示

XXdXX )(

,32

1

gQS

BRSTBRST チャージ　チャージ　 QQ

,)~~('

,)~~(

,~

,'

0

)()(

1

22000

000

n

mnn

mnn

nnnnn

LcLcQ

ccccnM

mLLL

QMbLcQ

Q は冪零性　　　　　　をみたすGhost 0－mode で分解すると以下のように書ける　

02 Q

作用の形について作用の形について

運動項運動項

QS2

10

0Q

Φ で変分

On-shell での、物理的状態であるための条件

低エネルギー有効作用との関連低エネルギー有効作用との関連

}||12

1||6)(

2

1

2||2

1{

'2

1

2

12

1

22)2(2

2226

0000000

0

HDRg

TTxd

QccMccLcc

QS

重力理論の運動項を再現

相互作用項相互作用項

対応するグラフ

場の理論のグラフ（ 4 点相互作用が１つ）

弦理論のグラフ（ 3 点相互作用が２つ）

相互作用 相互作用

弦の相互作用の一般論弦の相互作用の一般論(Le Clair, Peskin and Preitschopf)(Le Clair, Peskin and Preitschopf)

iiii

d

i

iiii

SLPP

zwhzdw

dzwh

zhzhzhv

)(),(

)]([)]([)]([ 2111222333112233123

h3

h2

h1

3 disks sphere

LPP’s 3-point vertex LPP’s 3-point vertex

stringoflabelssr

bM

bNcN

ppppdpdpdv

i m r

rm

rim

sr mn sr mn

sm

rsnm

rn

sm

rsnm

rn

DDDDDLPP

:3,2,1,

,

~

2

1exp

)()2(~~~

1,0,1 1

)(

, 0, , 1,2

)()()()(

321321321

)3(

（例）　（例）　 bc-ghostbc-ghost のの 22 点相関関点相関関数数

これを満たすようにこれを満たすように NeumannNeumann 係数を決め係数を決めるる

'

1)'()(

zzzczb

CFT

.)()(

1

))((2

))((2

~

)()(

1)'(22)'(1

ss

rr

ssn

ss

rrn

rrrs

nm

whwh

whwi

dwwhw

i

dwN

HIKKOHIKKO のの 33 点相関関数点相関関数

1

3

2

w1

w3

w2

32

1

)ln()ln()ln(

,

)(||0,0,)(ln

)(||0,0,ln

||0,0,ln

332211

212133

21222

111

zzzzzz

iw

iw

w

ρ>0<0 0

z

hr fM gr

gr

fM

z1z2z3

内積内積

ReflectorReflector

＊＊ --積積

12

)2(0)2,1( bR

AAR12

)2,1(

＊＊ --積の性質積の性質

).()1()()1()()6(

,0)()1()()1()()1()5(

,)1()()4(

,)1()3(

,)1()2(

,)1()1(

|)|||(|||)|||(||

||||||||||||

||

||||

||

||||

QQQ

QQ

HIKKOHIKKO 型閉弦の場の理論は３点相互作用型閉弦の場の理論は３点相互作用を持つを持つ

グラフを書き下せば、全ての反応の様子グラフを書き下せば、全ての反応の様子がわかるがわかる

低エネルギー極限で、われわれがよく知低エネルギー極限で、われわれがよく知っている重力理論を再現っている重力理論を再現

３．３． HIKKOHIKKO 型閉弦の場の理論型閉弦の場の理論（３）（３）

～～ BRSTBRST 対称性～対称性～BRSTBRST 変換変換

BRSTBRST 変換の冪零性変換の冪零性

弦場の理論の作用の弦場の理論の作用の BRSTBRST 対称性対称性

.0

gQSb BB

02 B

002 SBB

ゲージ対称性ゲージ対称性　 　 BRSTBRST 変換の冪零変換の冪零

性性

作用のゲージ不変性 作用のゲージ不変性

ここでゲージ変換は ここでゲージ変換は

02 B

0SB

gQ 2

HIKKOHIKKO 型閉弦の場の理論は、型閉弦の場の理論は、 BRSTBRST 対称対称性を持つ性を持つ

cf.) cf.) 世界面上の理論の世界面上の理論の BRSTBRST 対称性対称性

HIKKOHIKKO 型閉弦の場の理論は、ゲージ対称型閉弦の場の理論は、ゲージ対称性も持つ性も持つこのゲージ対称性が、低エネルギーでのこのゲージ対称性が、低エネルギーでの diffediffe

oo に相当に相当

４．マターカレントが入った４．マターカレントが入った弦の場の理論弦の場の理論

HIKKOHIKKO 型の閉弦の場の理論に、カレント型の閉弦の場の理論に、カレント JJを入れるを入れる弦の場弦の場 ΦΦ が従う運動方程式を導くが従う運動方程式を導くカレントカレント JJ が従う拘束条件があることを示すが従う拘束条件があることを示すカレントとしては特に境界状態に注目カレントとしては特に境界状態に注目

　　境界状態境界状態・・・・・・ D-braneD-brane を閉弦の見方でを閉弦の見方で　　　　　　　　　　　　　　　　　　あ　　　　　　　　　　　　　　　　　　あらわしたものらわしたもの

４．ソース項を持つ閉弦の場の理４．ソース項を持つ閉弦の場の理論論

1.1. 作用・運動方程式・ソースの拘束条件作用・運動方程式・ソースの拘束条件

2.2. ソースとしての境界状態ソースとしての境界状態

3.3. 摂動展開摂動展開

4-1.4-1. ソース項を持つ閉弦の場の理ソース項を持つ閉弦の場の理論～作用・運動方程式・拘束条論～作用・運動方程式・拘束条

件～件～

　　　　　　　　

　　　　　　　　 JJ が任意の物質カレントを表すが任意の物質カレントを表す

Jg

QS 32

1

HIKKO の閉弦の場の理論の作用

ソース項

閉弦の場の運動方程式閉弦の場の運動方程式

0 JgQ

ソース項入りの運動方程式

整合性条件整合性条件BRSTBRST チャージチャージ QQ の冪零性の冪零性

　　　　　　　　　　整合性条件が存在整合性条件が存在

.2

)(

)(0

JgQJ

gJQ

JgQQ

BRSTBRST 変換の冪零性と変換の冪零性と整合性条件整合性条件

ここで以下を使ったここで以下を使った

.2

2

0 2

JgQJ

gQ BB

B

JgQB

BRST 変換の定義と運動方程式

ソースが従う拘束条件ソースが従う拘束条件以下の以下の拘束条件拘束条件を得るを得る

JJ が従う運動方程式といってもよいが従う運動方程式といってもよい

02 JgQJ

拘束条件の物理的意味（１）拘束条件の物理的意味（１）～～ Chern-SimonsChern-Simons 理論との比較～理論との比較～作用作用

Jg

QS 32

1

対応

JAAAAg

dAAS 32

1

運動方程式と微分運動方程式と微分

JgQB

JAgAdADAF )(

BRST 変換　 δB=Q+gΦ ＊　が共変微分　 D=d+gA ＊ に対応

対応

BianchiBianchi恒等式と拘束条件恒等式と拘束条件

0)(02 AJJAgdJDJADDF

0202 JgQJJBBB

対応

冪零性　 δ2B=0 は

Bianchi恒等式の存在と等価

拘束条件の物理的意味（２）拘束条件の物理的意味（２）～低エネルギー理論との比較～～低エネルギー理論との比較～

0 JgQ

02 JgQJ

0)( gJQ

TG

0 T

0)]()[( tTg

閉弦の場の理論 Einstein 重力

BRST 変換の冪零性 Bianchi恒等式

対応

拘束条件の物理的意味（３）拘束条件の物理的意味（３）これより、これより、

は、は、閉弦の場の理論における閉弦の場の理論における

　　　　　　　物質のエネルギー・運動量保　　　　　　　物質のエネルギー・運動量保存則存則

だとわかるだとわかる

02 JgQJJB

古典解の導出について古典解の導出について運動方程式だけでなく、カレントに対す運動方程式だけでなく、カレントに対する拘束条件（エネルギー・運動量保存る拘束条件（エネルギー・運動量保存則）も満たさなければならない則）も満たさなければならない

任意のカレントに対して運動方程式の解任意のカレントに対して運動方程式の解が整合的であるとは限らないが整合的であるとは限らない

4-2.4-2. ソース項を持つ閉弦の場の理ソース項を持つ閉弦の場の理論～ソースとしての境界状態～論～ソースとしての境界状態～

ソースとしてソースとして境界状態境界状態を考えるを考える

D-brane を閉弦の見方で記述したもの

閉弦のソース

境界状態 境界状態 (boundary state)(boundary state)

BxBXpiX

BXpXiii

0

0

|:25,,1

0|:,,1,0

σ

τ

閉弦

境界状態

境界状態の具体的な形境界状態の具体的な形

0~~~~1exp

)(2

1101

25

cccbcbcSn

xT

B

nnnnnnn

ippp

),( ijS Tp : D-brane （境界状態）の張力

Ghost number 　は　３

ghost mode まで含めた境界条件0,0'0

ppp BMBQBQ

物理的なセクターとカップルするソースにする物理的なセクターとカップルするソースにする

するとすると

相互作用 相互作用 g g を考えたとき通常の境界状態はを考えたとき通常の境界状態は　閉弦のソースとして整合的ではない！　閉弦のソースとして整合的ではない！ 相互作用の効果で境界状態は変形される相互作用の効果で境界状態は変形される

pBcJ 00

00 JQ

02 gJQJJB を満たさない

今までの境界状態の捉え方今までの境界状態の捉え方

重力子を放出しても重力子を放出しても境界状態は不変境界状態は不変

本研究でわかった境界状態の様子本研究でわかった境界状態の様子

境界状態境界状態 (D-brane)(D-brane) が閉弦を放出が閉弦を放出閉弦との相互作用あり閉弦との相互作用あり→境界状態は変形したり、反跳して動いたりす→境界状態は変形したり、反跳して動いたりするる→崩壊して消滅したり、安定な別の境界状態へ→崩壊して消滅したり、安定な別の境界状態へ

？

SenSen のタキオンマターについてのタキオンマターについて0g 0g

0 JQ 0 JgQ

0QJ 02 JgQJ

0 T 0

T

運動方程式

拘束条件

保存則

整合的なソースとは？整合的なソースとは？bulkbulk とと D-braneD-brane の相互作用の相互作用

開弦がブレーン上に励起開弦がブレーン上に励起

我々の予想我々の予想gg が０でないときの整合的なソースはが０でないときの整合的なソースは

0..,];[exp JtsBgXSJ Bpb

back reaction

4-3.4-3. ソース項を持つ閉弦の場の理ソース項を持つ閉弦の場の理論～摂動展開～論～摂動展開～

nn

n

nn

n JgJg

00

,

n

mmnmn

n

mmnmnn

JQJ

JQ

01

011

2

pBcJ 00

運動方程式と保存則の式に代入

ただし、

物理的なセクター物理的なセクターのみに注目のみに注目

0,0 Mc

nnnn jccJc 000 ,

Ghost 0-mode Ghost 0-mode による分解による分解（１）（１）

cc00- - ｜・・・＞｜・・・＞　　セクターセクター

　　　は　　　　　　 　　　　は　　　　　　 　 (on-shell condition) (on-shell condition) 以外以外の物理的条件を満たすの物理的条件を満たすｊｊ nn 　　はもともと　はもともと　 jj00 がもつ性質　　　　　　　をがもつ性質　　　　　　　を保持保持

.0

,0'

1

1

n

n

jM

Q

1n 010

nL

00 jM

Ghost 0-mode Ghost 0-mode による分解　による分解　（２）（２）

cc00-- c c00

+ + ｜・・・＞｜・・・＞　　セクターセクター

第１式は運動方程式。右辺が０なら第１式は運動方程式。右辺が０なら on-shellon-shell。。右辺はソースの効果と相互作用の効果による右辺はソースの効果と相互作用の効果によるon-shellon-shell からのズレを表す。からのズレを表す。conformal background conformal background からのズレを表す。からのズレを表す。

n

mmnmn

n

mmnmnn

JbbjQ

bbjL

0001

000110

,2'

,

漸化式の物理的解釈　（１）漸化式の物理的解釈　（１）

0' 0 jQ

我々がおいた仮定からすでに満たされて我々がおいた仮定からすでに満たされている。いる。背景時空が 背景時空が conformal background conformal background であるであることを表す。ことを表す。

漸化式の物理的解釈　（２）漸化式の物理的解釈　（２）

000 jL

ソースが　ソースが　 off-shell off-shell 効果を表す。効果を表す。ソースにより時空が歪むことを表す。ソースにより時空が歪むことを表す。古典解のリーディングを担う。古典解のリーディングを担う。　　　　　　 ref.) Di Vecchia et al.ref.) Di Vecchia et al.

漸化式の物理的解釈　（３）漸化式の物理的解釈　（３）

00001 2' JbbjQ

バルクの場による反作用で、ソースが変バルクの場による反作用で、ソースが変形することを表す式。形することを表す式。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 cf.) D-brane recoilcf.) D-brane recoil

漸化式の物理的解釈　（４）漸化式の物理的解釈　（４）

0000110 bbjL

変形されたソースと、バルクの場自身の相互変形されたソースと、バルクの場自身の相互作用により、バルクの場が受ける反作用を表作用により、バルクの場が受ける反作用を表す式。す式。D-braneD-brane の変化の様子の変化の様子 (D-brane recoil)(D-brane recoil) とバルとバルクの場の自己相互作用を確かに記述出来ていクの場の自己相互作用を確かに記述出来ている。る。

５．結論５．結論閉弦の場の理論に、任意の物質を入れた閉弦の場の理論に、任意の物質を入れた系を扱う方法を開発系を扱う方法を開発閉弦の場の理論の作用の閉弦の場の理論の作用の BRSTBRST 不変性か不変性から、ソースに対する拘束条件を発見ら、ソースに対する拘束条件を発見 これは低エネルギーでの物質のエネルギー・これは低エネルギーでの物質のエネルギー・

運動量保存則に対応運動量保存則に対応古典解を求めるには、運動方程式と拘束条件古典解を求めるには、運動方程式と拘束条件

を同時に解く必要ありを同時に解く必要あり

結論（つづき）結論（つづき）バルクからの反作用を受けて、境界状態バルクからの反作用を受けて、境界状態は変化していくは変化していく通常の（ボゾン的）境界状態は整合的なソー通常の（ボゾン的）境界状態は整合的なソー

スではないスではない SenSen のの rolling tachyonrolling tachyon 境界状態も変更が必要境界状態も変更が必要 閉弦の放出は我々の方法で扱うべき閉弦の放出は我々の方法で扱うべき境界状態の変化は開弦の励起によって表境界状態の変化は開弦の励起によって表されると考えられるされると考えられる

６．今後の展望６．今後の展望具体的な系に応用し、＊積を評価する具体的な系に応用し、＊積を評価する 時間依存解を具体的に求める　時間依存解を具体的に求める　

(rolling tachyon revised,…)(rolling tachyon revised,…)古典的に不安定な重力系へ応用古典的に不安定な重力系へ応用 D-brane inflationD-brane inflation を完全な形でを完全な形で 特異点回避？特異点回避？開弦開弦 // 閉弦の双対性に対する理解閉弦の双対性に対する理解超弦場の理論への拡張超弦場の理論への拡張量子場への拡張量子場への拡張