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1.3 正弦定理与余弦定理. 1.3.1 正弦定理. 由于. , 所以. ,于是. B. c. a. A. C. b. 导入. 1 、 我们知道,在直角三角形 ABC ( 如图 ) 中,. ,即. 你能得出什么结论? 在任意三角形中,是否也存在类似的数量关系呢?. 预读. 2 、正弦定理的推导使用的是什么数学思想? 转化思想 3 、正弦定理的内容是什么 ?. 思议. 正弦定理能解决什么样的问题 ? 请你说一说为什么?. 同理有. 导学. - PowerPoint PPT Presentation
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1.3 正弦定理与余弦定理
1.3.1 正弦定理
导入
C
B
A
c a
b
sin sina b
A Bc c
,
1、我们知道,在直角三角形 ABC(如图 )中,,即
sin sin
a bc c
A B , ,
90C sin 1C 由于 ,所以 ,于是
sin
cc
C .
你能得出什么结论?在任意三角形中,是否也存在类似的数量关系呢?
预读 2 、正弦定理的推导使用的是什么数学思想? 转化思想 3 、正弦定理的内容是什么 ?
思议 正弦定理能解决什么样的问题 ? 请你说一说为什么?
导学在锐角三角形 ABC( 图( 1 ) ) 中,作 CD⊥AB 于 D ,则 CD = bsinA ,
sin sin
a b
A B ,
CD = asinB ,
于是 bsinA = asinB ,即
sin sin
a c
A C ,同理有
导学在钝角三角形 ABC 中,不妨设 C 为钝角 ( 图( 2 ) ) ,作 BD⊥AC
sin sin sin
a b c
A B C .
于是得到正弦定理.
于 D ,
则 BD = csinA , BD = asin ( 180° - C ) = asin C .
同样可以得到
导学
在三角形中,各边与它所对的角的正弦之比相等 . 即
sin sin sin
a b c
A B C ( 1.10 )
探究 利用正弦定理可以解决什么样的的问题?
( 1 )已知三角形的两个角和任意一边,求其他两边和一角 .
( 2 )已知三角形的两边和其中一边所对角,求其他两角和一
边 .
实训
分析 这是已知三角形的两个角和一边,求其它边的问题,可以直接应用正弦定理.
16sin 6 sin 30 2 3 2
sin sin135 22
c Bb
C
.
解 由于
所以
sin sin
b c
B C ,
例 1 在△ ABC 中,已知 B = 30° , C = 135° , c = 6 ,求b.
实训
分析 :这是已知三角形的两边和一边的对角,求其它角边的问题,可以首先直接应用正弦定理求出角的正弦值,然后再求出角.
ABC 30 15 2 30A a b , ,例 2 已知在 中, ,求 B.
解 由于 sin sin
a b
A B ,
所以 1
30sin 30 sin 30 22sin215 2 15 2
b AB
a
.
b a B A 30 180B 由 ,知 ,故 ,所以 45B 135B 或 .
实训
注意 已知三角形的两边和其中一边的对角,利用正弦定理
求另一边的对角时,要讨论这个角的取值范围,避免发生错误.
ABC 45 30 15 2A a b , ,例 3 已知在 中, ,求 B.
解 sin 15 2 sin 45 1sin
30 2
b AB
a
.
b a B A 30 180B 由 ,知 ,故 ,所以 45B 135B 或 .
练习与评价
105 , 6C a .
35B .
ABC 45 30A B , 31.已知 中, , b= ,求 C 和 a.
ABC 60A 12.已知 中, , a =12 , b=8,求 B(精确到).
5 2
2.
10 3.
3 .已知△ ABC 中, c = 5 , B = 30° , C = 135° ,求 b.
4. 已知△ ABC 中, a = 10 , B = 30° , C = 120° , . 求 c .
课堂总结 本次课学了哪些内容?
重点和难点各是什么?
课外能力强化1 、书面作业: 课本习题 1.3.1 (必做题) 习题集 1.3.1 (选做题) 学习与训练 1.3 (选做题)2 、实践作业: 实践指导 1.3