이산수학 (Discrete Mathematics) 1.5 증명방법 (Methods of Proof)ysmoon/courses/2006_1/dm/15... · 2016-06-02 · 1 이산수학(Discrete Mathematics) 1.5 증명방법(Methods

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이산수학 (Discrete Mathematics)

1.5 증명 방법 (Methods of Proof)

20062006년년 봄학기봄학기

문양세문양세

강원대학교강원대학교 컴퓨터과학과컴퓨터과학과

Page 2Discrete Mathematicsby Yang-Sae Moon

증명의증명의 중요성중요성

수학에서 증명이란

• 수학적 문장의 진실성을 정 하고 부정할 수 없도록 설명하는 정확(correct)하고 완전

(complete)한 기술이다.

• A correct (well-reasoned, logically valid) and complete (clear, detailed) argument

that rigorously and undeniably establishes the truth of a mathematical statement

증명에서의 기본적 사항

• 정확성: Correctness prevents us from fooling ourselves.

• 완전성: Completeness allows anyone to verify the result.

1.5 Methods of Proof

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증명의증명의 응용응용 분야분야

학문의 많은 분야에서, 논리적이고 정확한 의사 교환(clear communication)을 위

해 사용한다.

수학 분야의 기본적인 행동(연구)은 흥미롭고 밝혀지지 않은 많은 정리(theorem)

를 증명을 통해 발견하는 것이다.

정리의 증명은 프로그램 검증(program verification), 컴퓨터 보안, 자동화된 추론

시스템(automated reasoning system) 등에서 사용된다.

. . .



용어용어(Terminology) (1/3)(Terminology) (1/3)

정리(theorem)• 정리란 참(true)으로 밝혀진 명제이다.

• A statement that has been proven to be true.

공리(axiom, postulates)• 증명된 정리 혹은 증명하고자 하는 정리의 가정이다.

• Assumptions (often unproven) defining the structures about which we are reasoning.

추론 규칙(rules of inference)• 논리적으로 유효한 주장(logically valid deductions)을 사용하여, 가정을 결론

으로 이끌어가는 증명의 과정이다.

• Patterns of logically valid deductions from hypotheses to conclusions.


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보조정리(lemma)• 다른 정리를 증명하는데 사용하는 간단한 정리이다.

• A minor theorem used as a stepping-stone to proving a major theorem.

“복잡한 내용이 정리이고, 간단한 내용이 보조정리”를 의미하는 것은 아님에

유의!

따름정리(corollary)• 어떤 정리가 증명되면, 이에 의하여 자연스럽게 증명되는 정리이다.

• A minor theorem proved as an easy consequence of a major theorem.




가설(conjecture)• 증명되지는 않았지만 참으로 믿어지는 명제이다.

• A statement whose truth values has not been proven. (A conjecture may be

widely believed to be true, regardless.)

이론(theory)• 주어진 공리(axiom)으로부터 증명이 가능한 모든 정리(theorem)의 집합이다.

• The set of all theorems that can be proven from a given set of axioms.


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추론추론 규칙규칙 (Inference Rules) (1/2)(Inference Rules) (1/2)

추론 규칙의 의미• 주어진 가정(antecedent)이 참(true)일 때, 결론(consequent)가 참이라는 패턴

• “x = 3”(= p)이면, “x + 1 = 4”(= q)이다.

- 상기 예에서 p(가정)가 참이면, q(결론)은 참이 된다.

추론 규칙의 표기


antecedent 1antecedent 2 …

∴∴ consequent

가정

결론

“∴”은 “therefore”를 의미한다.


추론추론 규칙규칙 (Inference Rules) (2/2)(Inference Rules) (2/2)1.5 Methods of Proof

각 추론 규칙은 “항진 명제인 함축(implication)”에 해당한다.

ant.1ant.2 …∴∴ con.

에 해당하는 tautology는 “((ant.1 ∧ ant.2 ∧ … ) → con.”이다.

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추론추론 규칙규칙 예제예제 (1/2)(1/2)

예제 3• “It is below freezing now. Therefore, it is either below freezing or raining

now.”가 참인 것은 어떤 추론 규칙에 근거하는가?

• 풀이

− p = “It is below freezing now.”, q = “It is raining now.”

− 주어진 문장은 다음과 같은 추론 규칙에 근거하며, 이를 addition rule이라 한다.


p∴∴ p ∨ q


추론추론 규칙규칙 예제예제 (2/2)(2/2)

예제 5• “If it rains today, then we will not have a barbecue today.

If we do not have a barbecue today, then we will have a barbecue tomorrow.

Therefore, if it rains today, then we will have a barbecue tomorrow.”의

추론 근거는?

• 풀이

− p = “It is raining today.”

− q = “We will have a barbecue today”

− r = “We will have a barbecue tomorrow.”


p → qq → r

∴∴ p → r

Hypothetical syllogism(삼단논법)

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추론추론 규칙규칙 종류종류 (1/2)(1/2)1.5 Methods of Proof

Modus tollens(the mode of denying)

(¬q ∧ (p → q)) → ¬p¬qp → q

∴ ¬p

Modus ponens(the mode of affirming)

(p ∧ (p → q)) → qpp → q

∴ q

Conjunction((p) ∧ (q)) → (p ∧ q)pq

∴ p ∧ q

(p ∧ q) → p

p → (p ∨ q)

Tautology

Simplification

Addition

Name

p ∧ q∴ p

p∴ p ∨ q

Rule of inference

p ∧ q가 true이면, 당연히 p와 q 모두 true이다.

p가 true인 상태에서 p → q가 true이면, 당연히 q는 true이다.


추론추론 규칙규칙 종류종류 (2/2)(2/2)1.5 Methods of Proof

Resolution((p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)) → (q ∨ r)p ∨ q¬p ∨ r

∴ q ∨ r

Disjunctive syllogism((p ∨ q) ∧ ¬p) → qp ∨ q¬p

∴ q

Hypothetical syllogism((p → q) ∧ (p → r)) → (p → r)p → qq → r

∴ p → r

Tautology NameRule of inference

p가 false이고 p ∨ q이 true이면, 당연히 q는 true이다.

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Formal Proofs (1/2)Formal Proofs (1/2)1.5 Methods of Proof

Format Proof의 정의

• Formal proof란 주어진 가정(antecedent)에 기반하여 추론 규칙을 적용한 일

련의 단계(step)를 거쳐서 결론(consequent)을 도출하는 과정이다.

− A formal proof of a conclusion C, given antecedents p1, p2, …, pn consists

of a sequence of steps, each of which applies some inference rule to

antecedents or to previously proven statements to yield a new true

statement (the consequent).

• 증명(proof)은 주어진 모든 가정이 true일 때 결론이 true임을 보이는 과정이다.

− A proof demonstrates that if the antecedents are true, then the

conclusion is true.


Formal Proofs (2/2)Formal Proofs (2/2)1.5 Methods of Proof

예제 6• 다음 가정이 “We will be home by sunset.”이라는 결론을 도출함을 보여라.

− “It is not sunny this afternoon and it is colder than yesterday.”

− “We will go swimming only if it is sunny.”

− “If we do not go swimming, then we will take a canoe trip.”

− “If we take a canoe trip, then we will be home by sunset.”

• 풀이

− p = “It is sunny this afternoon.”

− q = “It is colder than yesterday.”

− r = “We will go swimming.”

− s = “We will take a canoe trip.”

− t = “We will be home by sunset.”

단계 6, 7 기반의 Modus ponenst8가정s → t7단계 4, 5 기반의 Modus ponenss6가정¬r → s5

¬rr → p¬p¬p ∧ q

과정

단계 2, 3 기반의 Modus tollens

가정

단계 1의 simplification가정

이유

4321

단계

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Inference Rules for Quantifiers (1/3)Inference Rules for Quantifiers (1/3)1.5 Methods of Proof

Quantifier를 포함하는 추론 규칙

• Universal instantiation

− ∀xP(x)가 주어졌을 때, ∀xP(x)이 true라면, domain에 속하는 임의의 값(요소) c에 대

해서 P(c)가 true임을 보이는데 사용되는 추론 규칙이다.

• Universal generalization

− ∀xP(x)가 주어졌을 때, domain에 속하는 모든 값(요소) c에 대해서 P(c)가 true이면,

∀xP(x)가 true임을 보일 때 사용되는 추론 규칙이다.

• Existential instantiation

− ∃xP(x)가 주어졌을 때, ∃xP(x)가 true라면, domain안에 P(c)를 true로 하는 값(요소)

c가 적어도 하나 이상 있다는 것을 나타내는 추론 규칙이다.

• Existential generalization

− ∃xP(x)가 주어졌을 때, 특정 값(요소) c에 대해서 P(c)가 true이면, ∃xP(x)이 true라는

추론 규칙이다.



Quantifier 사용 명제의 추론 규칙 정리

Existential generalizationP(c) for an some c → ∃xP(x)

P(c) for an some c

∴ ∃xP(x)

Existential instantiation∃xP(x) → P(c) for some c

∃xP(x)

∴ P(c) for some c

Universal generalizationP(c) for an arbitrary c → ∀xP(x)

P(c) for an arbitrary c

∴ ∀xP(x)

Universal instantiation∀xP(x) → P(c)

∀xP(x)

∴ P(c)

Tautology NameRule of inference

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예제 12• 다음 가정이 “Maria has taken a course in computer science.”이라는 결론을 도출함을

보여라.− “Everyone in this discrete mathematics class has take a course in computer science.”

− “Maria is a student in this class.”

• 풀이

− D(x) = “x is in this discrete mathematics class.”

− C(x) = “x has taken a course in computer science.”

− 가정: ∀x(D(x) → C(x)), D(Maria)

− 결론: C(Maria)− 추론 과정

C(Maria)D(Maria)D(Maria) → C(Maria)∀x(D(x) → C(x))

과정

단계 2, 3 기반의 Modus ponens가정

단계 1의 universal instantiation가정

이유

4321

단계


Summary of Proof MethodsSummary of Proof Methods1.5 Methods of Proof

함축(implication) p → q의 증명을 위하여, 다음 방법들을 사용한다.

• Direct proof: Assume p is true, and prove q.

• Indirect proof: Assume ¬q, and prove ¬p. (대우의 증명에 해당)

• Vacuous proof: Prove ¬p by itself. (가정이 false임을 증명)

• Trivial proof: Prove q by itself. (결론이 항시 true임을 증명)

• Proof by cases:

To prove (p1 ∨ p2 ∨ .... ∨ pn) → q,

prove ((p1 → q) ∧ (p2 → q) ∧ .... ∧ (pn → q))

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Direct Proof (Direct Proof (직접직접 증명증명))1.5 Methods of Proof

Implication p → q의 증명을 위하여, p가 true라 가정하고 여러 규칙과 기

존에 true로 증명된 정리를 사용하여 q가 true임을 증명한다.

예제 14

• Definition: An integer n is called odd iff n=2k+1 for some integer k; n is even iff n=2kfor some k.

• Axiom: Every integer is either odd or even.

• Theorem: (For all numbers n) If n is an odd integer, then n2 is an odd integer.

• Proof:

− If n is odd, then n = 2k+1 for some integer k.

− Thus, n2 = (2k+1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1.

− Therefore, n2 is of the form 2j + 1 (with j the integer 2k2 + 2k), thus n2 is odd. □


Indirect Proof (Indirect Proof (간접간접 증명증명))1.5 Methods of Proof

Implication p → q 대신 이의 대우인 ¬q → ¬p를 증명한다.

예제 15

• Theorem: (For all integers n) If 3n+2 is odd, then n is odd.

• Proof:

− Suppose that the conclusion is false, i.e., that n is even.

− Then n=2k for some integer k.

− Then 3n+2 = 3(2k)+2 = 6k+2 = 2(3k+1).

− Thus 3n+2 is even, because it equals 2j for integer j = 3k+1.

− So 3n+2 is not odd.

− We have shown that ¬(n is odd)→¬(3n+2 is odd), thus its contra-positive (3n+2 is odd) → (n is odd) is also true. □

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Vacuous Proof (Vacuous Proof (무의미한무의미한 증명증명))1.5 Methods of Proof

Implication p → q에서, 가정(p)이 false임을 보임으로서, 결론(q)이 true임을 증명한다.

예제

• Theorem: (For all n) If n is both odd and even, then n2 = n + n.

• Proof:

− The statement “n is both odd and even” is necessarily false, since no number can be both odd and even.

− So, the theorem is vacuously true. □


Trivial Proof (Trivial Proof (자명한자명한 증명증명))1.5 Methods of Proof

Implication p → q에서, 결론(q)가 trivial하게 true임을 증명한다.

예제

• Theorem: (For integers n) If n is the sum of two prime numbers, then either n is odd or n is even.

• Proof:

− Any integer n is either odd or even.

− So the conclusion of the implication is true regardless of the truth of the antecedent.

− Thus the implication is true trivially. □

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Proof by Contradiction (Proof by Contradiction (모순에모순에 의한의한 증명증명) (1/2)) (1/2)1.5 Methods of Proof

증명 방법

• A method for proving p.

• Assume ¬p, and prove some proposition q is contradiction (i.e., q is always false.)

• Then, ¬p→F, which is only true if ¬p=F

• Thus, p is true.

주어진 가정(p)을 부정(false)했을 때 항상 false가 되는 명제 q가 있음을 보이면, p의 가

정이 잘못되었으므로 p는 true가 된다.



예제 22

• Theorem: (For all integers n) If 3n+2 is odd, then n is odd. (indirect proof의 예제)

• Proof:

− Suppose 3n+2 is odd and n is even. [¬(p → q) ⇔ ¬(¬p ∨ q) ⇔ p ∧ ¬q ]

− And, we can prove that “If n is even, then 3n+2 is even.”. (by the same proof steps showed in the example of indirect proof.)

− Then, this conclusion is contradiction of assumption (i.e., 3n+2 is odd.)

− Therefore, the given implication is true. □

Proof by Contradiction (Proof by Contradiction (모순에모순에 의한의한 증명증명) (2/2)) (2/2)

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Proof by Cases (Proof by Cases (사례에사례에 의한의한 증명증명) (1/2)) (1/2)1.5 Methods of Proof

가정이 논리합으로 구성된 (p1 ∨ p2 ∨ .... ∨ pn) → q 형태를 증명하기 위

하여, 다음과 같은 tautology를 사용한다

(p1 ∨ p2 ∨ .... ∨ pn) → q ⇔ ((p1 → q) ∧ (p2 → q) ∧ .... ∧ (pn → q))

즉, 각각의 (pi → q)를 증명함으로써 전체를 증명하는 방법이다.


Proof by Cases (Proof by Cases (사례에사례에 의한의한 증명증명) (2/2)) (2/2)1.5 Methods of Proof

예제 23

• Theorem: |xy| = |x||y|, where x and y are real numbers.(|x| = x if x ≥ 0, |x| = -x if x < 0)

• Proof:

− p = x and y are real numbers, q = |xy| = |x||y|

− p = {x ≥ 0, y ≥ 0} ∨ {x ≥ 0, y < 0} ∨ {x < 0, y ≥ 0} ∨ {x < 0, y < 0}

▫ {x ≥ 0, y ≥ 0} → q: |xy| = xy = |x||y|▫ {x ≥ 0, y < 0} → q: |xy| = -xy = x(-y) = |x||y|▫ …

− All the possible cases are proven to true, and thus, the theorem is proven.□

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Proof of Equivalence (Proof of Equivalence (동치동치 증명증명))1.5 Methods of Proof

상호조건 p ↔ q(“p if and only if q”)을 증명하기 위해서는 다음과 같은

tautology를 사용한다.

(p ↔ q) ⇔ ((p→ q) ∧ (q→ p))

• 즉, (p→ q)를 증명하고 (q→ p)를 증명함으로써, (p ↔ q)를 증명한다.


Existence Proof (Existence Proof (존재존재 증명증명) (1/3)) (1/3)1.5 Methods of Proof

증명하고자 하는 문장에 ∃xP(x) 형태의 quantifier/predicate가 포함된 경

우를 존재 증명(existence proof)이라 한다.

If the proof of a statement of the form ∃xP(x) is called an existence

proof.

• Constructive proof(생산적 존재 증명):

P(a)를 true로 하는 하나 이상의 a를 찾아 증명하는 방법

• Nonconstructive proof(비생산적 존재 증명):

Constructive proof가 아닌 증명 방법

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Existence Proof (Existence Proof (존재존재 증명증명) (2/3)) (2/3)1.5 Methods of Proof

예제 26 (constructive proof)

• Theorem: There exists a positive integer n that is the sum of two perfect

cubes in two different ways.

(두 수의 세제곱의 합을 두 가지 방법으로 나타낼 수 있는 정수가 존재한다.)

(In other words, there exists a positive integer n such that n = j3 + k3 = l3 +

m3, where j, k, l, and m are positive integers, and {j, k} ≠ {l, m}.)

• Proof: Consider n = 1729, j = 9, k = 10, l = 1, m = 12. Now just check that

the equalities hold. □



예제 27 (Nonconstructive proof)• Theorem: There are infinitely many prime numbers. (소수는 무한하다.)

• Proof:

− We will show that there is no largest prime number.

− I.e., show that for any prime number, there is a larger number that is also prime.

− More generally: For any number, ∃ a larger prime.

− Formally: Show ∀n∃p(p > n, where p is prime.)

− Given n > 0, prove there is a prime p > n.

− Consider x = n! + 1. Since x > 1, we know

(x is prime) ∨ (x is composite).

− Case 1: x is prime. Obviously x > n, so let p = x and we’re done.

− Case 2: x has a prime factor p. But if p ≤ n, then p mod x = 1. So p > n, and we’re

done. □

Existence Proof (Existence Proof (존재존재 증명증명) (3/3)) (3/3)

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Uniqueness Proof (Uniqueness Proof (유일성유일성 증명증명))1.5 Methods of Proof

유일하게 하나의 값(요소)만이 주어진 특성을 만족하는 경우를 유일성이

라 하고, 이의 증명을 유일성 증명(uniqueness proof)이라 한다.

유일성의 증명 과정

• 존재 : x가 주어진 특성을 가짐을 보인다.

• 유일성 : 만일 y ≠ x이면, y는 주어진 특성을 갖지 않음을 보인다.

“P(x)를 만족하는 x가 유일하게 하나 존재함을 증명하는 과정은 다음 표

현을 증명하는 것과 동일하다.

∃x(P(x) ∧ ∀y(y ≠ x → ¬P(y)))


Mistakes in ProofsMistakes in Proofs1.5 Methods of Proof

예제 31 (mistakes in proof)

• Theorem: Prove 1 = 2.

• Proof:

− Let a and b be the same positive integers.

− a = b [주어진 정의]

− a2 = ab [양변에 a를 곱함]

− a2 - b2 = ab - b2 [양변에서 b2를 뺌]

− (a – b)(a + b) = b(a – b) [인수분해]

− a + b = b [양변을 (a-b)로 나눔]

− 2b = b [since a = b]

− 2 = 1. [양변을 b로 나눔]

What is wrong?

(a – b) is zero since a = b, and thus, we cannot use (a – b) as a divisor.

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Homework #1Homework #1

$1.1의 연습문제: 2, 6(f), 12(b)

$1.2의 연습문제: 4(b), 10(c)

$1.3의 연습문제: 4, 12(c,g), 34(b)

$1.4의 연습문제: 4(a, d), 10(b)

$1.5의 연습문제: 6, 8(b)

Due Date:


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