이산수학 (Discrete Mathematics) 1.5 증명 방법 (Methods of Proof) 2006 년 봄학기 문양세 강원대학교 컴퓨터과학과

이산수학 (Discrete Mathematics)1.5 증명 방법 (Methods of Proof)

20062006 년 봄학기년 봄학기

문양세문양세강원대학교 컴퓨터과학과강원대학교 컴퓨터과학과

Page 2 Discrete Mathematicsby Yang-Sae Moon

증명의 중요성증명의 중요성수학에서 증명이란• 수학적 문장의 진실성을 정밀하고 부정할 수 없도록 설명하는 정확 (correct) 하고 완전

(complete) 한 기술이다 .• A correct (well-reasoned, logically valid) and complete (clear, detailed)

argument that rigorously and undeniably establishes the truth of a mathematical statement

증명에서의 기본적 사항• 정확성 : Correctness prevents us from fooling ourselves.• 완전성 : Completeness allows anyone to verify the result.

1.5 Methods of Proof


증명의 응용 분야증명의 응용 분야학문의 많은 분야에서 , 논리적이고 정확한 의사 교환 (clear communication) 을 위해 사용한다 .

수학 분야의 기본적인 행동 ( 연구 ) 은 흥미롭고 밝혀지지 않은 많은 정리 (theorem) 를 증명을 통해 발견하는 것이다 .

정리의 증명은 프로그램 검증 (program verification), 컴퓨터 보안 , 자동화된 추론 시스템 (automated reasoning system) 등에서 사용된다 .

. . .



용어용어 (Terminology) (1/3)(Terminology) (1/3)

정리 (theorem)• 정리란 참 (true) 으로 밝혀진 명제이다 .• A statement that has been proven to be true.

공리 (axiom, postulates)• 증명된 정리 혹은 증명하고자 하는 정리의 가정이다 .• Assumptions (often unproven) defining the structures about which

we are reasoning.

추론 규칙 (rules of inference)• 논리적으로 유효한 주장 (logically valid deductions) 을 사용하여 , 가정을

결론으로 이끌어가는 증명의 과정이다 .• Patterns of logically valid deductions from hypotheses to

conclusions.




보조정리 (lemma)• 다른 정리를 증명하는데 사용하는 간단한 정리이다 .

• A minor theorem used as a stepping-stone to proving a major theorem.

“ 복잡한 내용이 정리이고 , 간단한 내용이 보조정리”를 의미하는 것은 아님에

유의 !

따름정리 (corollary)• 어떤 정리가 증명되면 , 이에 의하여 자연스럽게 증명되는 정리이다 .

• A minor theorem proved as an easy consequence of a major theorem.




가설 (conjecture)• 증명되지는 않았지만 참으로 믿어지는 명제이다 .• A statement whose truth values has not been proven. (A conjecture

may be widely believed to be true, regardless.)

이론 (theory)• 주어진 공리 (axiom) 으로부터 증명이 가능한 모든 정리 (theorem) 의 집합이다 .• The set of all theorems that can be proven from a given set of

axioms.



추론 규칙 추론 규칙 (Inference Rules) (1/2)(Inference Rules) (1/2)

추론 규칙의 의미• 주어진 가정 (antecedent) 이 참 (true) 일 때 , 결론 (consequent) 가 참이라는 패턴• “x = 3”(= p) 이면 , “x + 1 = 4”(= q) 이다 .

- 상기 예에서 p( 가정 ) 가 참이면 , q( 결론 ) 은 참이 된다 .

추론 규칙의 표기


antecedent 1antecedent 2 … consequent

가정결론

“” 은 “ therefore” 를 의미한다 .


추론 규칙 추론 규칙 (Inference Rules) (2/2)(Inference Rules) (2/2)1.5 Methods of Proof

각 추론 규칙은 “항진 명제인 함축 (implication)” 에 해당한다 .

ant.1ant.2 … con.

에 해당하는 tautology 는 “ ((ant.1 ant.2 … ) con.” 이다 .


추론 규칙 예제 추론 규칙 예제 (1/2)(1/2)

예제 3• “It is below freezing now. Therefore, it is either below freezing or

raining now.” 가 참인 것은 어떤 추론 규칙에 근거하는가 ?• 풀이

− p = “It is below freezing now.”, q = “It is raining now.”− 주어진 문장은 다음과 같은 추론 규칙에 근거하며 , 이를 addition rule 이라 한다 .


p p q


추론 규칙 예제 추론 규칙 예제 (2/2)(2/2)

예제 5• “If it rains today, then we will not have a barbecue today.

If we do not have a barbecue today, then we will have a barbecue tomorrow. Therefore, if it rains today, then we will have a barbecue tomorrow.” 의추론 근거는 ?

• 풀이− p = “It is raining today.”− q = “We will have a barbecue today”− r = “We will have a barbecue tomorrow.”


p qq r

p rHypothetical syllogism

( 삼단논법 )


추론 규칙 종류 추론 규칙 종류 (1/2)(1/2)1.5 Methods of Proof

Rule of inference

Tautology Name

p p q p (p q) Addition

p q p

(p q) p Simplification

pq

p q((p) (q)) (p q) Conjunction

pp q

q(p (p q)) q Modus ponens

(the mode of affirming)

¬qp q

¬p(¬q (p q)) ¬p

Modus tollens(the mode of denying)

p q 가 true 이면 , 당연히 p 와 q 모두 true 이다 .p 가 true 인 상태에서 p q 가 true 이면 , 당연히 q 는 true이다 .


추론 규칙 종류 추론 규칙 종류 (2/2)(2/2)1.5 Methods of Proof

Rule of inference

Tautology Name

p qq r

p r((p q) (p r)) (p r) Hypothetical syllogism

p q¬p

q((p q) ¬p) q Disjunctive syllogism

p q¬p r

q r((p q) (¬p r)) (q r) Resolution

p 가 false 이고 p q 이 true 이면 , 당연히 q 는 true 이다 .


Formal Proofs (1/2)Formal Proofs (1/2)1.5 Methods of Proof

Format Proof 의 정의

• Formal proof 란 주어진 가정 (antecedent) 에 기반하여 추론 규칙을 적용한 일련의 단계 (step) 를 거쳐서 결론 (consequent) 을 도출하는 과정이다 .

− A formal proof of a conclusion C, given antecedents p1, p2, …, pn consists of

a sequence of steps, each of which applies some inference rule to antecedents or to previously proven statements to yield a new true statement (the consequent).

• 증명 (proof) 은 주어진 모든 가정이 true 일 때 결론이 true 임을 보이는 과정이다 .

− A proof demonstrates that if the antecedents are true, then the conclusion is true.


Formal Proofs (2/2)Formal Proofs (2/2)1.5 Methods of Proof

예제 6• 다음 가정이 “ We will be home by sunset.” 이라는 결론을 도출함을 보여라 .

− “It is not sunny this afternoon and it is colder than yesterday.”− “We will go swimming only if it is sunny.”− “If we do not go swimming, then we will take a canoe trip.”− “If we take a canoe trip, then we will be home by sunset.”

• 풀이− p = “It is sunny this afternoon.”− q = “It is colder than yesterday.”− r = “We will go swimming.”− s = “We will take a canoe trip.”− t = “We will be home by sunset.”

단계 과정 이유1 ¬p q 가정2 ¬p 단계 1 의 simplification3 r p 가정4 ¬r 단계 2, 3 기반의 Modus tollens

5 ¬r s 가정6 s 단계 4, 5 기반의 Modus ponen

s7 s t 가정8 t 단계 6, 7 기반의 Modus ponen

s


Inference Rules for Quantifiers Inference Rules for Quantifiers (1/3)(1/3) 1.5 Methods of Proof

Quantifier 를 포함하는 추론 규칙

• Universal instantiation

− xP(x) 가 주어졌을 때 , xP(x) 이 true 라면 , domain 에 속하는 임의의 값 ( 요소 ) c 에 대해서 P(c) 가 true 임을 보이는데 사용되는 추론 규칙이다 .

• Universal generalization

− xP(x) 가 주어졌을 때 , domain 에 속하는 모든 값 ( 요소 ) c 에 대해서 P(c) 가 true이면 , xP(x) 가 true 임을 보일 때 사용되는 추론 규칙이다 .

• Existential instantiation

− xP(x) 가 주어졌을 때 , xP(x) 가 true 라면 , domain 안에 P(c) 를 true 로 하는 값 (요소 ) c 가 적어도 하나 이상 있다는 것을 나타내는 추론 규칙이다 .

• Existential generalization

− xP(x) 가 주어졌을 때 , 특정 값 ( 요소 ) c 에 대해서 P(c) 가 true 이면 , xP(x) 이 true라는 추론 규칙이다 .



Quantifier 사용 명제의 추론 규칙 정리Rule of inference Tautology NamexP(x)

P(c)xP(x) P(c) Universal

instantiationP(c) for an arbitrary c

xP(x)P(c) for an arbitrary c xP(x) Universal

generalizationxP(x)

P(c) for some cxP(x) P(c) for some c Existential

instantiationP(c) for an some c

xP(x)P(c) for an some c xP(x) Existential

generalization



예제 12• 다음 가정이 “ Maria has taken a course in computer science.” 이라는 결론을 도출함을

보여라 .− “Everyone in this discrete mathematics class has take a course in computer science.”− “Maria is a student in this class.”

• 풀이− D(x) = “x is in this discrete mathematics class.”

− C(x) = “x has taken a course in computer science.”

− 가정 : x(D(x) C(x)), D(Maria)− 결론 : C(Maria)− 추론 과정

단계 과정 이유1 x(D(x) C(x)) 가정2 D(Maria) C(Maria) 단계 1 의 universal instantiation3 D(Maria) 가정4 C(Maria) 단계 2, 3 기반의 Modus ponens


Summary of Proof MethodsSummary of Proof Methods1.5 Methods of Proof

함축 (implication) p q 의 증명을 위하여 , 다음 방법들을 사용한다 .

• Direct proof: Assume p is true, and prove q.

• Indirect proof: Assume ¬q, and prove ¬p. ( 대우의 증명에 해당 )

• Vacuous proof: Prove ¬p by itself. ( 가정이 false 임을 증명 )

• Trivial proof: Prove q by itself. ( 결론이 항시 true 임을 증명 )

• Proof by cases:

To prove (p1 p2 .... pn) q,

prove ((p1 q) (p2 q) .... (pn q))


Direct Proof (Direct Proof ( 직접 증명직접 증명 ))1.5 Methods of Proof

Implication p q 의 증명을 위하여 , p 가 true 라 가정하고 여러 규칙과 기존에 true 로 증명된 정리를 사용하여 q 가 true 임을 증명한다 .

예제 14

• Definition: An integer n is called odd iff n=2k+1 for some integer k; n is even iff n=2k for some k.

• Axiom: Every integer is either odd or even.

• Theorem: (For all numbers n) If n is an odd integer, then n2 is an odd integer.

• Proof:

− If n is odd, then n = 2k+1 for some integer k.

− Thus, n2 = (2k+1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1.

− Therefore, n2 is of the form 2j + 1 (with j the integer 2k2 + 2k), thus n2 is odd. □


Indirect Proof (Indirect Proof ( 간접 증명간접 증명 ))1.5 Methods of Proof

Implication p q 대신 이의 대우인 ¬q ¬p 를 증명한다 .예제 15• Theorem: (For all integers n) If 3n+2 is odd, then n is odd.• Proof:

− Suppose that the conclusion is false, i.e., that n is even.− Then n=2k for some integer k.− Then 3n+2 = 3(2k)+2 = 6k+2 = 2(3k+1).− Thus 3n+2 is even, because it equals 2j for integer j = 3k+1.− So 3n+2 is not odd.− We have shown that ¬(n is odd)→¬(3n+2 is odd), thus its contra-positive

(3n+2 is odd) → (n is odd) is also true. □


Vacuous Proof (Vacuous Proof ( 무의미한 증명무의미한 증명 ))1.5 Methods of Proof

Implication p q 에서 , 가정 (p) 이 false 임을 보임으로서 , 결론 (q) 이 true 임을 증명한다 .예제• Theorem: (For all n) If n is both odd and even, then n2 = n + n.• Proof:

− The statement “n is both odd and even” is necessarily false, since no number can be both odd and even.

− So, the theorem is vacuously true. □


Trivial Proof (Trivial Proof ( 자명한 증명자명한 증명 ))1.5 Methods of Proof

Implication p q 에서 , 결론 (q) 가 trivial 하게 true 임을 증명한다 .예제• Theorem: (For integers n) If n is the sum of two prime numbers, then either

n is odd or n is even.• Proof:

− Any integer n is either odd or even.− So the conclusion of the implication is true regardless of the truth of the

antecedent.− Thus the implication is true trivially. □


Proof by Contradiction (Proof by Contradiction ( 모순에 의한 증명모순에 의한 증명 ) ) (1/2)(1/2) 1.5 Methods of Proof

증명 방법

• A method for proving p.

• Assume ¬p, and prove some proposition q is contradiction (i.e., q is always false.)

• Then, ¬pF, which is only true if ¬p=F

• Thus, p is true.

주어진 가정 (p) 을 부정 (false) 했을 때 항상 false 가 되는 명제 q 가 있음을 보이면 , p 의 가정이 잘못되었으므로 p 는 true 가 된다 .



예제 22• Theorem: (For all integers n) If 3n+2 is odd, then n is odd. (indirect proof 의

예제 )• Proof:

− Suppose 3n+2 is odd and n is even. [¬(p q) ¬(¬p q) p ¬q ]

− And, we can prove that “If n is even, then 3n+2 is even.”. (by the same proof steps showed in the example of indirect proof.)

− Then, this conclusion is contradiction of assumption (i.e., 3n+2 is odd.)− Therefore, the given implication is true. □

Proof by Contradiction (Proof by Contradiction ( 모순에 의한 증명모순에 의한 증명 ) ) (2/2)(2/2)


Proof by Cases (Proof by Cases ( 사례에 의한 증명사례에 의한 증명 ) (1/2)) (1/2)1.5 Methods of Proof

가정이 논리합으로 구성된 (p1 p2 .... pn) q 형태를 증명하기

위하여 , 다음과 같은 tautology 를 사용한다

(p1 p2 .... pn) q ((p1 q) (p2 q) .... (pn q))

즉 , 각각의 (pi q) 를 증명함으로써 전체를 증명하는 방법이다 .


Proof by Cases (Proof by Cases ( 사례에 의한 증명사례에 의한 증명 ) (2/2)) (2/2)1.5 Methods of Proof

예제 23

• Theorem: |xy| = |x||y|, where x and y are real numbers. (|x| = x if x 0, |x| = -x if x < 0)

• Proof:

− p = x and y are real numbers, q = |xy| = |x||y|

− p = {x 0, y 0} {x 0, y < 0} {x < 0, y 0} {x < 0, y < 0}

▫ {x 0, y 0} q: |xy| = xy = |x||y|▫ {x 0, y < 0} q: |xy| = -xy = x(-y) = |x||y|▫ …

− All the possible cases are proven to true, and thus, the theorem is proven.□


Proof of Equivalence (Proof of Equivalence ( 동치 증명동치 증명 ))1.5 Methods of Proof

상호조건 p ↔ q(“p if and only if q”) 을 증명하기 위해서는 다음과 같은 tautology 를 사용한다 .

(p ↔ q) ((p q) (q p))

• 즉 , (p q) 를 증명하고 (q p) 를 증명함으로써 , (p ↔ q) 를 증명한다 .


Existence Proof (Existence Proof ( 존재 증명존재 증명 ) (1/3)) (1/3)1.5 Methods of Proof

증명하고자 하는 문장에 xP(x) 형태의 quantifier/predicate 가 포함된

경우를 존재 증명 (existence proof) 이라 한다 .

If the proof of a statement of the form xP(x) is called an existence proof.

• Constructive proof( 생산적 존재 증명 ):

P(a) 를 true 로 하는 하나 이상의 a 를 찾아 증명하는 방법

• Nonconstructive proof( 비생산적 존재 증명 ):

Constructive proof 가 아닌 증명 방법


Existence Proof (Existence Proof ( 존재 증명존재 증명 ) (2/3)) (2/3)1.5 Methods of Proof

예제 26 (constructive proof)• Theorem: There exists a positive integer n that is the sum of two

perfect cubes in two different ways.( 두 수의 세제곱의 합을 두 가지 방법으로 나타낼 수 있는 정수가 존재한다 .)(In other words, there exists a positive integer n such that n = j3 + k3 = l3 + m3, where j, k, l, and m are positive integers, and {j, k} {l, m}.)

• Proof: Consider n = 1729, j = 9, k = 10, l = 1, m = 12. Now just check that the equalities hold. □



예제 27 (Nonconstructive proof)• Theorem: There are infinitely many prime numbers. ( 소수는 무한하다 .)

• Proof:

− We will show that there is no largest prime number.

− I.e., show that for any prime number, there is a larger number that is also prime.

− More generally: For any number, a larger prime.

− Formally: Show np(p > n, where p is prime.)

− Given n > 0, prove there is a prime p > n.

− Consider x = n! + 1. Since x > 1, we know

(x is prime) (x is composite).

− Case 1: x is prime. Obviously x > n, so let p = x and we’re done.

− Case 2: x has a prime factor p. But if p n, then p mod x = 1. So p > n, and we’re done. □

Existence Proof (Existence Proof ( 존재 증명존재 증명 ) (3/3)) (3/3)


Uniqueness Proof (Uniqueness Proof ( 유일성 증명유일성 증명 ))1.5 Methods of Proof

유일하게 하나의 값 ( 요소 ) 만이 주어진 특성을 만족하는 경우를 유일성이라 하고 , 이의 증명을 유일성 증명 (uniqueness proof) 이라 한다 .

유일성의 증명 과정

• 존재 : x 가 주어진 특성을 가짐을 보인다 .

• 유일성 : 만일 y x 이면 , y 는 주어진 특성을 갖지 않음을 보인다 .

“P(x) 를 만족하는 x 가 유일하게 하나 존재함을 증명하는 과정은 다음 표현을 증명하는 것과 동일하다 .

x(P(x) y(y x ¬P(y)))


Mistakes in ProofsMistakes in Proofs1.5 Methods of Proof

예제 31 (mistakes in proof)

• Theorem: Prove 1 = 2.

• Proof:

− Let a and b be the same positive integers.

− a = b [ 주어진 정의 ]

− a2 = ab [ 양변에 a 를 곱함 ]

− a2 - b2 = ab - b2 [ 양변에서 b2 를 뺌 ]

− (a – b)(a + b) = b(a – b) [ 인수분해 ]

− a + b = b [ 양변을 (a-b) 로 나눔 ]

− 2b = b [since a = b]

− 2 = 1. [ 양변을 b 로 나눔 ]

What is wrong?

(a – b) is zero since a = b, and thus, we cannot use (a – b) as a divisor.


Homework #1Homework #1

$1.1 의 연습문제 : 2, 6(f), 12(b)$1.2 의 연습문제 : 4(b), 10(c)$1.3 의 연습문제 : 4, 12(c,g), 34(b)$1.4 의 연습문제 : 4(a, d), 10(b)$1.5 의 연습문제 : 6, 8(b)

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