ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ ТА ЇХ ХАРАКТЕРИСТИКИdkrkm.org.ua/NMK/Buryak/e_konspekt_05.pdfВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ ТА ЇХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

КОЛЕДЖ РАКЕТНО-КОСМІЧНОГО МАШИНОБУДУВАННЯ

ДНІПРОВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ імені ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

Буряк Г.І. викладач математичних дисциплін

І кваліфікаційної категорії

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ



ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ ТА ЇХ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

Дніпро

2017 рік





Розробник: Буряк Геннадій Іванович,

викладач математичних дисциплін


Розглянуто і ухвалено на засіданні

предметної (циклової) комісії

математики та інформатики

Протокол № 7 від 10.02.2017 року

Голова ПЦК О.М. Малик

підпис ініціали та прізвище





5 ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

Випадкові величини доцільно позначати великими літерами латинського

алфавіту, а їх можливі значення — відповідними малими літерами з індексами:

X: x1, x2, x3, … xn

Y: y1, y2, y3, … yn

Z: z1, z2, z3, … zn

Через pi позначають ймовірність події — випадкова величина X набула

значення xi. Це можна записати так: Р(X = xi) = pi (де і = 1, 2, ..., 11).

5.1 Дискретні випадкові величини

Між двома сусідніми можливими значеннями дискретної випадкової

величини немає можливих значень.

Іншими словами, можливі значення дискретної випадкової величини

можна перенумерувати. Число можливих значень дискретної випадкової

величини може бути скінченим або нескінченним (в останньому випадку

множину всіх можливих значень називають зліченою).

називають таку величину,

яка може приймати відокремлені ізольовані одне від одного числові

значення (їх можна пронумерувати) з відповідними ймовірностями.

називають таку величину, яка в наслідок

випробування може прийняти лише одне числове значення, заздалегідь

невідоме і обумовлене випадковими причинами

Дискретною випадковою величиною (ДВВ)

Випадковою величиною





5.2 Законом розподілу дискретної випадкової величини

Рисунок 4.2.1

При табличному заданні закону розподілу

дискретної випадкової величини перший

рядок таблиці містить можливі значення, а

друга — їх ймовірності.

X x1 x2 x3 … xn

p p1 p2 p3 … pn

Отже, ймовірність події випадкової величини:

;36

1(1;1))2( XP

;18

1

36

21) (2; (1;2);)3( XP

;12

1

36

31) (3; 2); (2; (1;3);)4( XP

;9

1

36

4

2) (3; (4;1);

3); (2; (1;4);)5(

XP

ППррииккллаадд 55..11 При киданні двох гральних кубиків сума очок що

з’являється — випадкова величина. Позначимо її через X.

Тоді значення цієї випадкової величини:

x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4,…, x11 = 12

називають таке

співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями

випадкової величини і відповідними їм ймовірностями.

Законом розподілу дискретної випадкової величини

повна група

pk = 1





;36

5

2) (4; (5;1);

3)(3; );4 (2; );5(1;)6(

XP

;6

1

36

6

3)(4; 2); (5; (6;1);

4)(3; );5 (2; );6 (1;)7(

XP

;36

5

3) (5; (6;2);

4)(4; );5 ;3( );6 ;2()8(

XP

;9

1

36

4

4) (5; (6;3);

;)5 ;4( );6 ;3()9(

XP

;12

1

36

34) (6; ;)5 ;5( );6 ;4()10( XP

;18

1

36

2)5 ;6( );6 ;5()11( XP

.XP36

1)6 ;6()12(

Закон розподілу

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P 36

1

18

1

12

1

9

1

36

5

6

1

36

5

9

1

12

1

18

1

36

1

5.3 Аналітичні закони розподілу дискретної випадкової величини

5.3.1 Біноміальний закон розподілу

Нехай проводиться n незалежних випробувань, у кожному з яких подія A

може з'явитися або не з'явитися. Ймовірність настання події в усіх випробуваннях

постійна і дорівнює p. Отже випробування вписуються в схему Бернуллі.

називають закон розподілу дискретної випадкової

величини X — числа появ події в n незалежних випробуваннях, у кожному з

яких імовірність появи події дорівнює p; ймовірність можливого значення

Х = m; (числа m появ події) обчислюють за формулою Бернуллі:

Біноміальним

mnmm

nn qpCmP )(





5.3.2 Закон розподілу Пуассона

Якщо у схемі незалежних повторних випробувань n досить велике, а р або

q прямує до нуля, то біноміальний розподіл апроксимує розподіл Пуассона,

параметр якого = np, причому при p 0,1 або p 0,9 ця апроксимація дає гарні

результати незалежно від величини n.

5.3.3 Геометричний розподіл

Геометричний розподіл застосовують у різноманітних задачах теорії

надійності та у страхових розрахунках. Ряд ймовірностей цього розподілу буде

нескінченно спадною геометричною прогресією із знаменником q, сума якої

дорівнює одиниці.

5.3.4 Гіпергеометричний розподіл

Геометричний розподіл використовують у багатьох задачах статистичного

контролю якості.

Якщо об’єм вибірки n малий у порівнянні з об’ємом N сукупності, тобто

вказує імовірність появи m елементів з

певною властивістю серед n елементів, взятих із сукупності N елементів, яка

містить k елементів саме такої властивості.

вказує імовірність появи m елементів з певною

властивістю серед n елементів, взятих із сукупності N елементів, яка містить m

елементів саме такої властивості.

Геометричний розподіл

1)(X m

n pqmP

Гіпергеометричний розподіл

n

N

mn

kN

m

kn

C

CCmP

)(X





10 ;10 ,k

n,

N

n , то імовірності у гіпергеометричному розподілі будуть

близькими до відповідних ймовірностей біноміального розподілу з N

kp .

У статистиці це означає, що розрахунки ймовірностей для без повторної

вибірки будуть мало відрізнятись від розрахунків ймовірностей для повторної

вибірки.

5.4 Числові характеристики випадкових величин

В практичній діяльності не завжди вдається одержати закон розподілу, або

закон надто складний для практичних розрахунків. Тому з’явилася потреба

характеризувати дискретні випадкові величини за допомогою числових

характеристик, які характеризують особливості випадкових величин достатньо.

5.4.1 Математичне сподівання

називають

число, яке дорівнює сумі добутків усіх її можливих значень на відповідні їм

ймовірності.

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини

n

k

kk pxXM1

)(





Основні властивості математичного сподівання

Розв’язання

Позначимо кількість очок, які

можуть з’явитись на першому кубику X, а на другому — Y.

Можливі значення цих величин 1, 2, 3, 4, 5, 6 однакові, імовірність

кожного з цих значень дорівнює p = 1/6. Тому

pxpxpxpxpxpxXM 654321)(

2

7

6

16

6

15

6

14

6

13

6

12

6

11

Тоді 2

7)()( YMXM

Згідно властивості 4 математичного сподівання, одержимо

.YMXMYXM 72

7

2

7)()()(

Відповідь. M (X + Y) = 7.

ППррииккллаадд 55..22 Знайти математичне сподівання суми числа очок, які

можуть з’явитися при киданні двох гральних кубиків.

Математичне сподівання суми випадкових величин

дорівнює сумі їх математичних сподівань, тобто

Математичне сподівання добутку декількох взаємно

незалежних дискретних випадкових величин дорівнює добутку їх

математичних сподівань, тобто

Постійний множник можна виносити за знак математичного

сподівання

Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій

постійній

M (C) = C

M (CX) = CM (X)

M (X1X2…Xn) = M (X1)M (X2)…M (Xn)

M (X1 + X2 +…+ Xn) = M (X1) + M (X2) +…+ M (Xn)

1

2

3

4





5.5 Математичне сподівання та його основні властивості

5.5.1 Основні властивості дисперсії

Дисперсія алгебраїчної суми дискретних випадкових

величин X та Y дорівнює сумі їх дисперсій

Дисперсія дискретної випадкової величини дорівнює різниці

між математичним сподіванням квадрата випадкової величини X

та квадрата її математичного сподівання

Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, при

цьому постійний множник треба піднести у квадрат

Дисперсія будь-якої дискретної випадкової величини —

невід’ємна

Дисперсія сталої дорівнює нулю

називають число, яке

дорівнює математичному сподіванню квадрата відхилення дискретної

випадкової величини від її математичного сподівання.

Дисперсією дискретної випадкової величини

2)()( XMXMXD

D (X) 0

D (CX) = C2D (X)

D (X) = M(X 2) – (M (X))2

D (X Y) = D (X) + D (Y)

2

3

4

5

D (C) = 0

1





Доведення

Знайдемо математичне сподівання X, враховуючи, що імовірності

можливих значень x1 та х2 рівні між собою і, отже, кожна з них дорівнює 1/2:

.xx

xxXM22

1

2

1)( 21

21

Тоді математичне сподівання X 2: .

xxxxXM

22

1

2

1)(

2

2

2

12

2

2

1

2

Отже, дисперсія X: 2

12

2

21

2

2

2

122

222)()()(

xxxxxxXMXMXD

5.6 Середнє квадратичне відхилення

випадкової величини X називають

математичне сподівання величини [Х – M (X)]k

випадкової величини X називають

математичне сподівання величини Х k

дорівнює квадратному кореню з

дисперсії

ППррииккллаадд 55..33 Під час підкидання монети дискретна випадкова величина Х

приймає лише два можливі значення x1 та x2.

Довести, що дисперсія величини X дорівнює

квадрату полурізниці можливих значень:

Середнє квадратичне відхилення

)()( XDX X

Початковим моментом порядку k

k = M (X k), k = 1, 2, …, n

Центральним моментом порядку k

k

k XMXM )]([





Розв’язання

Знайдемо математичне сподівання X:

.,,,,pxpxpxXM 465010403102)( 332211

Знайдемо математичне сподівання X 2:

.,,,pxpxpxXM 545010403102)( 222

3

2

32

2

21

2

1

2

Знайдемо дисперсію X:

.,,XMXMXD 04134654)()()( 222

Шукане середнє квадратичне відхилення X:

.,,XDX 6130413)()(

Відповідь. Середнє квадратичне відхилення — 3,61.

ППррииккллаадд 55..44 Випадкова величина X задана законом

розподілу Закон розподілу

X 2 3 10

p 0,1 0,4 0,5





Задачі для самостійного виконання

За даними спостережень двох випадкових величин X і Y потрібно знайти

статистичні оцінки математичного сподівання, дисперсії, кореляційного моменту

та коефіцієнт кореляції випадкових величин, що входять у систему.

1

X=x1 -20,2 -20,5 -21,4 -21,8 -22,0 -22,5 -22,8 -22,8

Y=y1 -10,2 -11,5 -12,4 -12,8 -13 -13,5 -14,2 -14,6

2

X=x1 30 35 31 38 41 48 50 55

Y=y1 45 25 48 52 54 51 59 60

3

X=x1 0,689 0,692 0,694 0,698 0,690 0,710 0,720 0,725

Y=y1 0,715 0,725 0,781 0,790 0,795 0,800 0,810 0,850

4

X=x1 24 26 28 30 32 34 36 38

Y=y1 30 32 34 36 38 40 42 44

5

X=x1 30 25 31 32 38 41 40 46

Y=y1 480 510 530 540 555 564 570 575

6

X=x1 170 180 200 230 240 250 280 300

Y=y1 240 200 190 180 170 160 159 140

7

X=x1 15 16 17 18 19 20 21 22

Y=y1 26,8 26,5 26,3 26,1 25,7 25,3 24,3 24,1

8

X=x1 62,1 61,1 61,0 60,5 60,0 59,0 58,5 58

Y=y1 115 116 117 118 119 120 121 122

9

X=x1 2,20 2,35 2,42 2,58 2,65 2,69 2,74 2,88

Y=y1 35,4 35,0 35,8 36,2 36,7 36,9 37,3 37,8

10

X=x1 0,531 0,524 0,541 0,550 0,559 0,620 0,632 0,672

Y=y1 0,620 0,580 0,640 0,650 0,670 0,680 0,695 0,699





Контрольні питання

1 Як визначають випадкові величини, дискретні випадкові величини?

2 Якими способами можна визначити дискретну випадкову величину?

3 Вказати основні закони розподілу дискретної випадкової величини та

умови їх використання.

4 Як визначаються і що характеризують числові характеристики

дискретних випадкових величин?

5 За якими формулами обчислюють числові характеристики дискретних

випадкових величин?

6 Як визначають функцію розподілу та щільності ймовірностей

неперервних випадкових величин? Які властивості мають ці функції?

7 Який існує зв’язок між інтегральною та диференціальною функціями

розподілу ймовірностей?

8 За якими формулами можна обчислити імовірність влучення

випадкової величини в проміжок (а, b), використовуючи інтегральну або

диференціальну функції розподілу?

9 Які числові характеристики існують для неперервних випадкових

величин та що характеризує кожна з них?

10 За якими формулами обчислюють числові характеристики

неперервних випадкових величин?

11 Вказати основні властивості математичного сподівання та дисперсії.

12 Вказати основні закони розподілу неперервних випадкових величин та

їх вигляд.

13 Чому дорівнюють числові характеристики основних законів розподілу

дискретних та неперервних випадкових величин?

14 За якими формулами треба знаходити імовірність влучення випадкової

величини X в проміжок (а, b), якщо X розподілено за рівномірним, показниковим

або нормальним законами?

15 За якими формулами обчислюють числові характеристики функції

дискретного та неперервного випадкового аргументу?

Documents

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ ТА ЇХ ХАРАКТЕРИСТИКИdkrkm.org.ua/NMK/Buryak/e_konspekt_05.pdfВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ ТА ЇХ ХАРАКТЕРИСТИКИ