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北京理工大学机电工程学院 郝 新 红 E-mail: [email protected] Tel: 68914850. 系 统. 仿真实验. 系统建模. 仿真建模. 模 型. 计算机. 计算机仿真三要素及 三个基本活动. 第四章 连续系统模型的离散化处理方法. 本章的主要内容： 掌握 替换法，根匹配法，离散相似法。 这些方法的作用是将连续的模型进行离散化处理，得到一个“等效”的离散化模型 。. 4.1 替换法. 替换法的基本思想： - PowerPoint PPT Presentation
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系 统
模 型 计算机
系统建模 仿真实验
仿真建模
计算机仿真三要素及三个基本活动
第四章 连续系统模型的离散化处理方法
本章的主要内容：
掌握替换法，根匹配法，离散相似法。
这些方法的作用是将连续的模型进行离散化处理，得到一个“等效”的离散化模型。
4.1 替换法 替换法的基本思想： 对于给定的传递函数 ，设法找到 S域到 Z
域的某种映射关系，将 S域的变量映射到 Z平面上，得到与连续系统传递函数
相对应的离散传函 。进而求得系统的时域离散模型－－差分方程。
此方法面向传递函数
sG
sG
zG
4.1.1 派德 (Pade) 近似公式 S 域到 Z 域的最基本的映射关系是 Z 变换式
或 ( 其中 T 为采样周期）。
Pade 证明，可以用一个有理分式来逼近无理函数
TseZ
ZT
S ln1
xe
xqxpe x
4.1.2 简单替换法 替换关系式
又称 Euler 映射法。例 4.1 已知二阶系统传递函数
用简单替换法确定它的 Z 传递函数和差分方程。 解： 做变换 得：
Tzs 1Tsz 1
231 2 sssUsYsG
T
zs
1
进行ｚ反变换，得
)21)(1()23(231)23(
2)1(3)1(2)1
(3)1
(
1)(
2
2
22
2
22
2
2
TTzTz
T
TTzTz
T
TzTz
T
Tz
Tz
zG
)()()21)(1()1()32()2( 2 nuTnyTTnyTny
以上题为例说明简单替换法相当于数值积分方法中的简单欧拉法。
23
1)(
2
ssG
s
特点：实质为欧拉法，一阶精度， 可能会使离散模型不稳定。
简单替换法稳定域分析
2222)1( TTz
1z令 1)1 222 TT 则（
js 令 jTTjTz 1)(1则
图 S 域到 Z 域的映射关系
结论 Z 平面上单位圆通过简单替换对应于 S 平面上以（ - ,0 ）为圆心，以 1/T 为半径的圆 。 即 S 左半平面只有圆 中的点通过简单替换才能映射到 Z 平面上单位圆内。
T1
1C
1C
简单替换的主要缺点 :
对于稳定的系统，可能会使得离散模型不稳定，因而这一方法建立的仿真模型不一定可靠，实用性较差。
4.1.3 双线性替换（ Tustin) 法
1. 替换关系
又称 Tustin 变换。例 4.2 利用 Tustin 变换求差分模型
解：
21
21
Ts
Tsz
1
12
z
z
Ts
231 2 sssUsYsG
222
22
2 )1(21)(1(6)1(4
)1(
2)11
)(2
(3)112
(
1)(
zTzzTz
zT
zz
Tzz
T
zG）
进行 z 反变换得
)264()84()264(
)12(2222
22
TTzTzTT
zzT
)2)(1(2)2(4)2)(1(2
)12(22
22
TTzTzTT
zzT
)()2)(1(2)1()2(4[)2)(1(
1)2( 2 nyTTnyT
TTny
)]()1(2)2( 222 nuTnuTnuT
以积分环节为例说明双线性替换相当于数值积分方法中的改进欧拉法。
ssG
1)(
)1(2
)1()(
z
zTzG 进行 z 反变换
得)()1()(2)1(2 nTunTunyny
)]()1([2
)()1( nunuT
nyny 则
用改进欧拉法
)(2
)( 11 nnn uuh
nyy则
2. 高阶系统双线性替换的计算机程序的自动实现
对于一些低阶系统，可以用直接代入的方法，通过手工计算求得相应的 Z 传递函数，但对于高阶系统来说，可用程序自动实现。
例nn
nnnn
nn
bsbsbsb
asasasa
su
sysG
11
10
11
100 ...
...
)(
)()(
nnnnnn
nnnnnn
bzz
Tb
zz
Tb
zz
Tb
azz
Ta
zz
Ta
zz
Ta
zu
zyzG
112
...)11
()2
()11
()2
(
112
...)11
()2
()11
()2
(
)(
)()(
111
10
111
10
0
nn
nn
nnnn
nn
nn
nnnn
zbzzT
bzzT
bzT
b
zazzT
azzT
azT
a
zB
zA
)1()1)(1(2
...)1()1()2
()1()2
(
)1()1)(1(2
...)1()1()2
()1()2
(
)(
(
11
1110
11
1110
）
进行双线性变换
分子分母同乘以 nz )1(
n
n
n
n
n
n
nn
z
zz
zz
z
T
T
T
T
bbbbzB
)1(
)1)(1(
...
)1()1(
)1(
ˆ
ˆ...
ˆ
ˆ
),...,()(1
1
1
1
0
011
以上两式右端最后一个向量，可表为
n
n
n
n
n
n
nn
z
zz
zz
z
T
T
T
T
aaaazA
)1(
)1)(1(
...
)1()1(
)1(
...),,....,,()(1
1
^
1^
1^
0^
011
1
...
...
...
............
............
...
............
...
...
)1(
)1)(1(...
)1()1(
...
)1()1(
)1(1
10
10
11110
00100
1
1
z
z
z
z
xxx
xxx
xxx
xxx
z
zz
zz
zz
z
in
n
n
nnnn
inii
n
n
n
n
in
n
n
其中， 矩阵 的第一列元素均为 1 ，而第一 行诸元素依次为多项式 展开式的各系数，其余的元素可按下式求得
]1][1[ nnijx
nz )1(
1,11,,1, jijijiji xxxx i,j=1,2,0,…,n
从而
)1...](][)2
(...,2
,1[),,...,,()( 1011 zzzx
TTdiagaaaazA nn
ijn
nn
)1...](][)2
(...,2
,1[),,...,,()( 1011 zzzx
TTdiagbbbbzB nn
ijn
nn
由此得到 的分子分母系数表达式)(0 zG
Hbbbbeee
Haaaaddd
nnn
nnn
)...()...(
)...()...(
01110
01110
而
]][)2
...()2
(2
1[ 2ij
n xTTT
diagH
ia i=(0,1,…,n), 并输入 n 个初始条件输入系统阶次 n, 采样间隔 T, 控制系统参数ia
开始
置 x(i,0)=1,i=0,1…n
X(0,j)= jnc ,j=0,1,…,n
x(i,j)=x(i-1,j)-x(i,j-1)-x(i-1,j-1) i,j=1,2,…,n
计算系数 ,, ii ed i=0,1,2,…,n
打印输出差分模型
按（ 4.12) 式进行递推运算
打印输出递推结果
终止递推
停止
否
是
ib
( P111 )
3. 双线性替换性能评价 (1)稳定性 双线性替换不影响稳定性。在 S 域里稳定的系统 G(S) ，通过双线性替换之后，得到的 Z 传递函数 G(Z) 也一定是稳定的。证明：
则 js
jT
jT
z
21
21
从而
结论：双线性替换将 Z 平面上的单位圆满射到 S平面的左半复平面。 这是双线性替换的主要优点， 在实践中获得广泛应用。
22
222
221
221
TT
TTz
0,1
0,1
0,1
z
z
z
j
0
[s]j
0-1 1
[z]
S 平面虚轴的映射
（ a) (b)
双线性替换的映射关系
(2) 双线性替换的精度 考察幅相特性。
进行双线性替换后的模型：
21
s
ssG 22.4
2
22
22
12
2
TT
z
zT
T
zG 23.4
将 代入 (4.22), 将 代入 (4.23), 求得幅频和相频特性。
0.1 0.3 0.6 0.8 1.0 1.2 1.5
0.09901 0.2752 0.04412 0.4878 0.50 0.4918 0.4615
0.0991 0.277 0.447 0.493 0.498 0.476 0.417
78.58 56.60 28.07 12.68 0 -10.39 -22.62
78.57 56.36 26.51 9.57 -5.06 -17.67 -33.56
js TjTeZ Tj sincos
连续系统
线性化
连续系统
线性化
幅频特性
相频特性
srad
dB
( P112 )
(3) 双线性替换保持模型的阶次不变，而且使得 G(Z) 的分子和分母具有相同的阶次。双线性替换不仅保持阶次的不变性，还自动地在G(Z) 的分子上添加 个点 (m,n 分别为传函 G(S) 的分子分母阶次）。
(4)双线性替换的频率特性：双线性替换后得到的离散模型的频率特性和原模型 G(S) 是近似的，在低频段吻合的很好，但高频段相差比较大，所以双线性替换主要用于一些有限带宽的网络系统。
(5)增益不变：双线性替换之后传递函数的稳态增益不变，这一点是显然的。
mn 1z
(6) 双线性替具有串联性 设 为两个线性系统传递函数，若
则可以证明：
其中 分别是 经替换后的 Z 传递函数双线性替换的这一性质，使得可以用简单的低阶环节串联在一起来等效一个高阶复杂系统。(7) 高阶复杂系统的双线性替换可以借助于计算机程序自动实现，这给高阶系统的离散化处理带来极大方便 .
sGsG 21 ,
sGsGsG 2112
zGzGzG 212,1
zGzGzG 212,1 ,, sGsGsG 212,1 ,,
典型环节应用
本 节 小 结
1 掌握简单替换法和双线性替换法的稳定性、 精度、运算速度及适用性。2 能够利用上述两种方法求解系统的时域差分方
程。
