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直线的倾斜角与斜率. 3.1.1. 福 清 虞 阳 中 学 郑金木 E-mail: [email protected]. 你知道吗 ?. 问题 1: 我们学过 :x-y+2=0, 它表示什么. 二元一次方程或者一条直线. 文艺复兴使欧洲学者继承了古希腊的几何学，也接受了东方传入的代数学。科学技术的发展，使得用数学方法描述运动成为人们关心的中心问题。笛卡儿分析 了几何学. 与代数学的优缺点，表示要去 “ 寻求另外一种包含这两门科学的好处，而没 有它们的缺点的方法 ” 。. - PowerPoint PPT Presentation
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问题 1: 我们学过 :x-y+2=0, 它表示什么二元一次方程或者一条直线
文艺复兴使欧洲学者继承了古希腊的几何学，也接受了东方传入的代数学。科学技术的发展，使得用数学方法描述运动成为人们关心的中心问题。笛卡儿分析了几何学
与代数学的优缺点，表示要去“寻求另外一种包含这两门科学的好处，而没有它们的缺点的方法”。
点 A （ 0 ， 1 ）在函数 y=2
x+1 的图象上 ,
o
yB （ 1 ， 3）
A （ 0 ， 1 ）
y=2x+1
x.
点 B （ 2 ， 4 ）不在函数图象上
问题 2 ： 已知一次函数 y=2x+1 ，试判断点 A(0,1) 、点 B （ 2 ， 4 ）是否在函数图象上
问题 3 ：在直角坐标系中，过点 P 的一条直线绕 P 点旋转，不管旋转多少周，它对 x 轴的相对位置有几种情形？画图表示。
总结：有四种情况，如图。可用直线 与 x 轴所成的角来描述。也就是直线的倾斜角。
l
p
X
Y
O
. .. pp
X
Y
O
（ 2 ）
.p
（ 4 ）
X
Y
O
(1)
X
Y
O
（ 3 ）
X
Y
O
p
问题 4 ：直线的倾斜角是如何下定义的？ 当直线 与 x 轴相交时 , 如果取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角 .
注意： 1 ）当直线和 x 轴平行或重合时 , 我们规定直线的倾斜角为 0o
2 ）倾斜角的取值范围是 _____________0o≤ ＜ 180o
辨析： 下列图中， _____ 是倾斜角？
x
y
o12
34
x
y
o
56
7 8
1 5, 3 ）倾斜角直观地表示了直线对 x 轴正方向的倾斜程度。
X
p
Y
O
.(x,y)
Q
tank090
问题 5 ：直线的斜率是如何下定义的定义及表达式：
倾斜角不是 90° 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。常用 k 表示，即 k = tan
X
.p
Y
O X
.pY
O
X
.pY
OX
.pY
O
（ 1 ） （ 2 ）
（ 4 ）（ 3 ）
900
o
o
k>0 k<0
k 不存在 k=0
问题 6 ：标出下列图中直线的倾斜角，并说出各自斜率符号？
问题 7 ：如何由直线上两点的坐标计算直线的斜率？
1 1 1( , )p x y
2 2 2( , )p x y
o x
y
1 2 1 2, 1 2
2 2 11 2 1
1 2 1
,QPP x x y y
QP y yRt PPQ QPP
PQ x x
当 为锐角时, =
在 中, tan =tan
2 1( , )Q x y
2 1( , )Q x y
1 2
1 2, 1 2
2 2 1 2 11 2
1 1 2 2 1
0tan tan(180 ) t
( ) ,
a, n
QPP
x x y y
QP y y y yRt PPQ
PQ x x x x
0当 为钝角时, =180 设 =
在 中, tan
o x
y 2 2 2( , )p x y
1 1 1( , )p x y
2 1
2 1
y y
x x
tan
2
1 1 1
11
2 1
2 2 2
2
( , ), ( , ) :
( ),
P x y
y yk
x
P y
xx
x
x
经过两点 的直线的斜率公式
3) 公式表明 , 直线对于 x 轴的倾斜度 , 可以通过直线上任意两点的坐标来表示 , 而不需要求出直线的倾斜角 ;
2) 当直线 P1P2 平行于 y 轴或与 y 轴重合时 , 即 x1=x2 时 , 公式不适用 , 此时直线的倾斜角 =900
1) 斜率 k 与两点坐标的顺序有关吗 ?反思：1) 斜率 k 与两点坐标的顺序无关 .
2) 当直线 P1P2 平行于 y 轴或与 y 轴重合时 , 上述公式还适用吗 ? 为什么 ?
例 1 如下图，已知 A(3 ， 2),B(-4 ， 1),C （ 0 ， -1 ） , 求直线 AB ， BC ， CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。
1 2 1
4 3 7BABA k
解:直线 的斜率
1 1 1
0 ( 4) 2BCBC k
直线 的斜率
1 21
0 3CACA k
直线 的斜率
0, 0,
0,BA CA
BC
k k AB CA
k BC
直线 与 的倾斜角均为锐角;
由 直线 的倾斜角为钝角.
x
y
o
变式 1 ：已知经过点 A （ -2 ， 0 ）， B （ -5 ， y ）两点的直线的斜率为 2 ，求 y.
剖析： 02
5 2
y
6y
(1, 1), ( 2, 7), (0, 3)A B C 变式2： 三点共线。
7 ( 1)2,
2 13 ( 1)
20 1AC
BA
AC k
AB
证明: A(1, -1), B(-2, -7), C(0, -3)
直线 的斜率k
直线 的斜率 AB ACk k
∴ 直线 AB 与直线 AC 倾斜角相同且过同一点 A
∴A 、 B 、 C 三点共线。
例 1 如下图，已知 A(3 ， 2),B(-4 ， 1),C （ 0 ， -1 ） , 求直线 AB ， BC ， CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。
例 2 、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1 ， -1 ， 2 和 -3 的直线 。
4321 ,, llll 及
O x
y 3l1l
2l4l
A3
A1
A2
A4
一、判断正误：
2 、因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率。（ ）
1 、直线的倾斜角为，则直线的斜率为 tan （ ）
3 、因为平行于 y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于 y 轴的直线的 倾斜角不存在 （ ）
X
X
X4 、直线的倾斜角越大，它的斜率就越大。（ ）5 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等。（ ）6 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等。（ ）
X
X
二、如图，直线 的斜率分别为 ，则：
321 ,, lll321 ,, kkk
1 3 2
1 2 3
3 1 2
3 2 1
A k k k
B k k k
C k k k
D k k k
、、、、
XO
y
l1
l3
l2
C
课本： P86 、 1 、 2 、 3
本节课你认为要掌握哪些内容？还有何问题需请教大家或提醒别人注意的。
直线的倾斜角 直线的斜率定义
取值范围
1.
2. 直线的倾斜角 与斜率 k 之间的关系：直线 平行 x
轴由左向右上升 垂直 x
轴由左向右下降
的大小K 的范围K 的增减性
=0o 0 90o o 90o 90 180o o 0k 0k k不存在 0k
[00 ， 1800 ） R
03.tan(180 ) ______
02). tan 30 ____ 03). tan 45 ___04). tan 60 ___
05). tan 90 _____
01). tan 0 ____
06). tan120 ____ 07). tan135 ____
tan3
3 1 3
0
不存在 3 1
由公式可解决下列类型的问题 ：（ 1 ）由 P1 ， P2 点的坐标 , 求 k 的值；
（ 2 ）已知 k 及 x1,x2,y1,y2 中的三个量 , 求第四个量；
（ 3 ）证明 : 三点共线。
)(
:),(),,(
2112
12
222111
xxxx
yyk
yxPyxP
的直线的斜率公式经过两点
1. 课本 P89 ，习题 3.1,1~52.预习课本 §3.1.2
