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数値解析学 資料 (有限要素法の基礎)
有限要素法は、微分方程式で記述できるような物理現象を計算機を用いて解析す
る手法の一つである。他の手法として、差分法、境界要素法がある。表 1はそれぞ
れの手法を比較したものである。
[有限要素法の考え方]:有限要素法の定式化の方法には、変分原
理に基づく方法や、微分方程式の古典的な
近似解法に基づいて弱形式を誘導する方法
がある。ここでは後者の方法を説明する。
図 1に この方法の流れを示す。微分方程式、
境界 (初期)条件式を、直接コンピュータ
で扱える形、すなわち連立 1次方程式の形
に変換する。また、図 2は有限要素法の考
え方を説明したものである。このような考 :
え方を用いることによつて、複雑な形をし
た領域を簡単に扱うことができる。 ・
表 1 手法の比較
差分法 有限要素法 境界要素法
原理 差分近似弱形式
変分原理積分方程式
入カデー 多 い 多い 少ない
解法 領域型 領域型 境界型
離散化(分割) 鶴 瘍
・Q
特 徴
・ 離散化が容易
。適用性が広い
。任意形状の扱いが容易
。適用性が広い
。問題の次元を1次元低 くで
きる。基本解の存在する場合のみ
適用できる
�要素分割する
図 1有限要素法の流れ
各要素ごとに近似方程式をたてる
図2有限要素法の考え方
重ね合せの形に組
連立1次方程式
[IIII]=こ 111
[IIIIII=[ll]
[IIIII=こ ll]
[IIIIII]=lll]
をしてもとみ立てる。
離散化 (領域内 )
連続体
▽>N
>
△く
【解析例】
①容器内の液体振動
宰+宰+多 =0
②流体―弾性体連成振動
島〃νれク十ズ=24,ら一J:″
=0
鯰T:‖ E" 3.000 19,
黎T口 lE・ 0。 100 iS:
T:HE・ 3.:60 1S,=:HC・
0。 320 13'
T:‖ [・ 0。 640 :S, T:HE・
9.200 1S'Tl‖ E● 0。 960 :S' I:‖ E・ 9.120 1S'
『 :‖ E・ 9.140 101 T:‖ [・ 9。 000 13' I:HE・ 9。 760 1S,
③アルミホイールの応力分布σ税ブ十為=0
④3次元振動解析
鳥〃νた,ク十ズ=24
F
I滸
顆アル ミホイール解析条件
要 素 分 割 図
アル ミホイール応 力分布
/
可/
ア
イ
f 省/
一 一ノ
/ 一//
/
|
/ /
嬌濁
猟f才レ
//
イル /
[簡単な 1次元問題]
○境界値問題
グ2ν
ιιじ2
"(0)=0,
(0<χ <1)
≦12L(1)==1
=1
○数学的 (厳密)に解く
○有限要素法で解く・弱形式の誘導
図3 1次元の要素分割例
・離散化 (要素分割)
有限要素法では、まず区間(0,1)を 図 3の ように3個の副区間に分割する。 1?1つの副区間を有限要素 (inite element)と 呼び、分割の分点を節点oode)と 呼ぶ。この場合は 3個の有限要素と4個の節点である。図 3の中の i番 目の要素に注目
する。要素[]に おける関数クの近似関数分を次のようにχの 1次式と仮定する。
αl,α2は定数である。
I`争 ;:滅κ11ツ教すν(1) 。reak fOrⅡ⇒
XF Ю1234
(2)
(1)
次にαl,α2を決定する。
(近似関数 ) (3)
これを式(3)に代入して、整理すると、
(4)
ここで、 ,
ヽ (5)
とおくと、式(oは
` (6)
となる。このム,tを形状関数ohtte ttnこ�o⇒ と呼ぶ。重み関数ッの近似関数つも'と同様な関数で近似する。すなわち、
:連立 1次方程式の誘導
式(6),(7)を式2)に代入して、連立 1次方程式を誘導する。
(7)
したがって、最終的に以下のような連立 1次方程式が得られる。これを解くと、|
となる。 /
○結果のまとめ
厳密解 有限要素解
"1=2(0.0)0。0(境界条件) 0.0(境界条件)
ν2 ~~2ガ (1/3)
23~″(2/3)
″4=2(1・ 0)
[2次元応力解析の流れ](戸り|1隼人著「有限要素法へのガイ ド」サイエンス社より引用 )
変位
歪
材料定
ェ成分
{ε }=
とすれば,
1軍 :革l αЮtt αuみ +
これを解いて α ll,α ″,
Iε }=B“
となる。ただし
涯i lIIIttiαa,α″を求め,歪 の計算式を作ると
変位と歪の関係
∂“ε
`=∂ ″
ED=1_″ 2
力と歪の関係式
要素岡1性 マ トリックス
′成 分 I工 ,y)
励州[τ =ν 」
応力と歪の関係 {σ }=DIε } ただし
平面応カモデル (厚み方向の応力が 0)の場合
l ν 0
ν 1 0
0 0(1-ν )/2
平面歪モデル (厚み方向の歪が0)の場合
卜 阿ずν形状関数 要素内の変位を1次式で近似して
“=α :。 十 αll二 十 α12y
υ =α"+α
2:=十 α22y「
とおけば
同=[11」
三角形要素 領域を三角形の網目に分割し,
その内の一つの三角形の
頂点の番号を i ブ
頂点の座標を (rt,y:) (″ ′,ノ′)
頂点の変位を (21,υ:) (2′ ,υ′)
%=券 た′=券十+
ジ 。
0
(1-2ν )/2
trJ
y,一 yt
O
0
均~グ
た
面積 s=|`1/2
‐
一′
〓B
yた 一y, o
O ご.― ″″
″J ェt yt y,
■ 駒
0 一 一
場 彙
的 ■
一
0
一
■ 行
D
(3行 3列 )
た
(″た,yt)
(“た,つた)
間関数
向方 泡
力
π
数\\
\応
要素の形状など
\Bマ トリ
補/
/
ツクス
□ =∫ □。□。□ ご7
せ
――――ゎハ
ロね重
荷 重
このように して,
力の釣 りあい方程式
が自動的に作られる.
要素剛性マ トリックス
たは板厚 (平面歪モデルの場合は た=1と 考える)
θ=÷♂等玲 (:f∴竃颯1)
主応力 主応
σl=σ=COS2θ
+2●=γ COS θ Sin θ+σ v sin2 θ θ
●2=σ =Sin2 θ+2τ
『γ COS θ Sin θ+σ 7cos2 θ θ+
|
全体岡1性 マ トリックス 変位
6
これに固定条件を付加して解けば 変位“が求められる。
題
1
例
E
(2次元弾性問題 )
]解析モデル
E=2。 8× 109[kg/m2]
ソ=0.3
平面応力状態
10m
[3]節′点座標
[4]節点対応表と各種定数
ただし、
10t
[2]要素分割
要素数
節J点数
三角形線形要素
4
為 為 も
一一 一 一 一 一
q
%
%
乃 乃 光
一一 一 一 一 一
a
ち
仇
~ツル
ー%
―乃
―為
―為
―為
X y
1
2
3
4
5
[1] [2] [3] [4]。1
.J
f
k
bi
bibkCi
Cj
Ck
△
[5]要素マ トリックス
F(]・ 二」⊆
ソカθ″0
こ=み r2二 44=千ユ:三角形9酷
○要素 [1]
○要素 [3]
イ+たF
為島(ご2+え) εF+乃F シ″。
らbブ +ルFF C2らわノ+ルル b「 キたF
C2為θノ+んブら らcプ 十んノ為 ちCプ C2+え) イ十ル「らJら +ル ルι, C2島 bル 十ル ル為 わ
ブら +九%cプ C2Cル を十た たり ら:+た :
C2bJθル十乃 iむj らCI+λbルa C2bブ εル+ル ルεノ εノCル +2b■ bノ biCル (C2+λ )イ 十えらr
○要素 [2]
○要素 [4]
8
[6]重ね合わせ
[7]境界条件 (変位条件と荷重条件)
(解くべき連立 1次方程式)
[8]節点変位
U V1
2
3
4
5
***参 月を ***[9]ひずみ (要素内二定)
[10]応力 (要素内一定)
鴫
4
特
ち
%
為
「
―
―
―
―
―
―
I
J
O %
毎
脱了0 %
O α′仇ノ
ケ「0 %
0
ら
れ,
4
o
名
F
I
l
l
l
l
l
l
L
.‐一触
・
〓
ヽ
l
t
r
l
J
ららち
ら
ら
ん
f
l
l
プ
ー
ー
l
t
爛引
ソ
ー
0
1
7
0
r
l
l
l
l
l
L
E一げ〓
%
%
Ъ
f
l
l
プ
ー
ー
ー
t
ε Y ε v γ xv
[1][2][3][4]
σ x σ v τ
[1][2][3][4]
10
[11]変位図