数値解析学 資料 (有限要素法の基礎)

有限要素法は、微分方程式で記述できるような物理現象を計算機を用いて解析す

る手法の一つである。他の手法として、差分法、境界要素法がある。表 1はそれぞ

れの手法を比較したものである。

[有限要素法の考え方]:有限要素法の定式化の方法には、変分原

理に基づく方法や、微分方程式の古典的な

近似解法に基づいて弱形式を誘導する方法

がある。ここでは後者の方法を説明する。

図 1に この方法の流れを示す。微分方程式、

境界 (初期)条件式を、直接コンピュータ

で扱える形、すなわち連立 1次方程式の形

に変換する。また、図 2は有限要素法の考

え方を説明したものである。このような考 :

え方を用いることによつて、複雑な形をし

た領域を簡単に扱うことができる。 ・

表 1 手法の比較

差分法 有限要素法 境界要素法

原理 差分近似弱形式

変分原理積分方程式

入カデー 多 い 多い 少ない

解法 領域型 領域型 境界型

離散化(分割) 鶴 瘍

・Q

特 徴

・ 離散化が容易

。適用性が広い

。任意形状の扱いが容易

。適用性が広い

。問題の次元を1次元低 くで

きる。基本解の存在する場合のみ

適用できる

�要素分割する

図 1有限要素法の流れ

各要素ごとに近似方程式をたてる

図2有限要素法の考え方

重ね合せの形に組

連立1次方程式

[IIII]=こ 111

[IIIIII=[ll]

[IIIII=こ ll]

[IIIIII]=lll]

をしてもとみ立てる。

離散化 (領域内 )

連続体

▽＞Ｎ

＞

△く

【解析例】

①容器内の液体振動

宰+宰+多 =0

②流体―弾性体連成振動

島〃νれク十ズ=24,ら一J:″

=0

鯰T:‖ E" 3.000 19,

黎T口 lE・ 0。 100 iS:

T:HE・ 3.:60 1S,=:HC・

0。 320 13'

T:‖ [・ 0。 640 :S, T:HE・

9.200 1S'Tl‖ E● 0。 960 :S' I:‖ E・ 9.120 1S'

『 :‖ E・ 9.140 101 T:‖ [・ 9。 000 13' I:HE・ 9。 760 1S,

③アルミホイールの応力分布σ税ブ十為=0

④3次元振動解析

鳥〃νた,ク十ズ=24

Ｆ

　

　

Ｉ滸

顆アル ミホイール解析条件

要 素 分 割 図

アル ミホイール応 力分布

/

可／　

ア

イ

f 省／

　

一　一ノ

／　　一／/

/

|

/ /

嬌濁

猟ｆ才レ

//

イル /

[簡単な 1次元問題]

○境界値問題

グ2ν

ιιじ2

"(0)=0,

(0<χ <1)

≦12L(1)==1

=1

○数学的 (厳密)に解く

○有限要素法で解く・弱形式の誘導

図3 1次元の要素分割例

・離散化 (要素分割)

有限要素法では、まず区間(0,1)を 図 3の ように3個の副区間に分割する。 1?1つの副区間を有限要素 (inite element)と 呼び、分割の分点を節点oode)と 呼ぶ。この場合は 3個の有限要素と4個の節点である。図 3の中の i番 目の要素に注目

する。要素[]に おける関数クの近似関数分を次のようにχの 1次式と仮定する。

αl,α2は定数である。

I`争 ;:滅κ11ツ教すν(1) 。reak fOrⅡ⇒

XF Ю1234

(2)

(1)

次にαl,α2を決定する。

(近似関数 ) (3)

これを式(3)に代入して、整理すると、

(4)

ここで、 ,

ヽ (5)

とおくと、式(oは

｀ (6)

となる。このム,tを形状関数ohtte ttnこ�o⇒ と呼ぶ。重み関数ッの近似関数つも'と同様な関数で近似する。すなわち、

:連立 1次方程式の誘導

式(6),(7)を式2)に代入して、連立 1次方程式を誘導する。

(7)

したがって、最終的に以下のような連立 1次方程式が得られる。これを解くと、|

となる。 /

○結果のまとめ

厳密解 有限要素解

"1=2(0.0)0。0(境界条件) 0.0(境界条件)

ν2 ~~2ガ (1/3)

23~″(2/3)

″4=2(1・ 0)

[2次元応力解析の流れ](戸り|1隼人著「有限要素法へのガイ ド」サイエンス社より引用 )

変位

歪

材料定

ェ成分

{ε }=

とすれば,

1軍 :革l αЮtt αuみ +

これを解いて α ll,α ″,

Iε }=B“

となる。ただし

涯i lIIIttiαa,α″を求め,歪 の計算式を作ると

変位と歪の関係

∂“ε

`=∂ ″

ED=1_″ 2

力と歪の関係式

要素岡1性 マ トリックス

′成 分 I工 ,y)

励州[τ =ν 」

応力と歪の関係 {σ }=DIε } ただし

平面応カモデル (厚み方向の応力が 0)の場合

l ν 0

ν 1 0

0 0(1-ν )/2

平面歪モデル (厚み方向の歪が0)の場合

卜 阿ずν形状関数 要素内の変位を1次式で近似して

“=α :。 十 αll二 十 α12y

υ =α"+α

2:=十 α22y「

とおけば

同=[11」

三角形要素 領域を三角形の網目に分割し,

その内の一つの三角形の

頂点の番号を i ブ

頂点の座標を (rt,y:) (″ ′,ノ′)

頂点の変位を (21,υ:) (2′ ,υ′)

%=券 た′=券十+

ジ 。

0

(1-2ν )/2

trJ

y,一 yt

O

0

均~グ

た

面積 s=|`1/2

‐

一′

〓Ｂ

yた 一y, o

O ご.― ″″

″J ェt yt y,

■　駒

０　一　一

場　彙

的　　　■

一　

０

　

一

■　　　行

D

(3行 3列 )

た

(″た,yt)

(“た,つた)

間関数

向方　　泡

力

　

　

π

数＼＼

＼応

要素の形状など

＼Bマ トリ

補／

／

ツクス

□ =∫ □。□。□ ご7

せ

――――ゎハ

ロね重

荷 重

このように して,

力の釣 りあい方程式

が自動的に作られる.

要素剛性マ トリックス

たは板厚 (平面歪モデルの場合は た=1と 考える)

θ=÷♂等玲 (:f∴竃颯1)

主応力 主応

σl=σ=COS2θ

+2●=γ COS θ Sin θ+σ v sin2 θ θ

●2=σ =Sin2 θ+2τ

『γ COS θ Sin θ+σ 7cos2 θ θ+

|

全体岡1性 マ トリックス 変位

6

これに固定条件を付加して解けば 変位“が求められる。

題

　

１

例

　

Ｅ

(2次元弾性問題 )

]解析モデル

E=2。 8× 109[kg/m2]

ソ=0.3

平面応力状態

10m

[3]節′点座標

[4]節点対応表と各種定数

ただし、

10t

[2]要素分割

要素数

節J点数

三角形線形要素

4

為　　為　　も

一一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一　一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一　一

ｑ

　

　

％

　　％

乃　　乃　　光

一一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一　一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一　一

ａ

　

ち

　

仇

~ツル

ー%

―乃

―為

―為

―為

X y

１

２

３

４

５

[1] [2] [3] [4]。１

　

．Ｊ

ｆ

ｋ

bi

bibkCi

Cj

Ck

△

[5]要素マ トリックス

F(]・ 二」⊆

ソカθ″0

こ=み r2二 44=千ユ:三角形9酷

○要素 [1]

○要素 [3]

イ+たF

為島(ご2+え) εF+乃F シ″。

らbブ +ルFF C2らわノ+ルル b「 キたF

C2為θノ+んブら らcプ 十んノ為 ちCプ C2+え) イ十ル「らJら +ル ルι, C2島 bル 十ル ル為 わ

ブら +九%cプ C2Cル を十た たり ら:+た :

C2bJθル十乃 iむj らCI+λbルa C2bブ εル+ル ルεノ εノCル +2b■ bノ biCル (C2+λ )イ 十えらr

○要素 [2]

○要素 [4]

8

[6]重ね合わせ

[7]境界条件 (変位条件と荷重条件)

(解くべき連立 1次方程式)

[8]節点変位

U V１

２

３

４

５

***参 月を ***[9]ひずみ (要素内二定)

[10]応力 (要素内一定)

鴫

４

特

ち

％

為

「

―

―

―

―

―

―

Ｉ

Ｊ

Ｏ　％

毎

脱了０　％

Ｏ　α′仇ノ

ケ「０　％

０

　

ら

れ，

４

ｏ

　

名

Ｆ

Ｉ

ｌ

ｌ

ｌ

ｌ

ｌ

ｌ

Ｌ

．‐一触

・

　

〓

ヽ

ｌ

ｔ

ｒ

ｌ

Ｊ

ららち

ら

ら

ん

ｆ

ｌ

ｌ

プ

ー

ー

ｌ

ｔ

爛引

ソ

　

ー

　

０

１

　

７

　

０

ｒ

ｌ

ｌ

ｌ

ｌ

ｌ

Ｌ

Ｅ一げ〓

％

％

Ъ

ｆ

ｌ

ｌ

プ

ー

ー

ー

ｔ

ε Y ε v γ xv

[1][2][3][4]

σ x σ v τ

[1][2][3][4]

10

[11]変位図