Embed Size (px)
Citation preview
構造工学入門
変形の力学
長崎大学 工学部 構造工学科
構造工学入門 《変形の力学》 2
1章 力学の基礎
材料力学，構造力学，弾性力学，固体力学，連続体力学
• 力学の基本要素
力 : 力を加えると，物体が変形したり，静止している物体が動き出す．
質点 : 物体を質量をもつ 1点とみなしたもの
剛体 : 質量と大きさをもち，作用力による変形を無視できる物体
図 1-1 力のベクトル
構造工学入門 《変形の力学》 3
• 力学と変形の力学の違い力学: 変形しない物体すなわち剛体を取扱う．
変形の力学 : 物体が力を受けたときの変形を求める．
• 剛体に作用する力のつりあい静止物体に加わっている力はつりあっている．
• 剛体に作用する力ののモーメントのつりあい
図 1-2 モーメントによる回転 図 1-3 モーメントのつりあい
構造工学入門 《変形の力学》 4
力のモーメントの求め方
1. まずモーメントを考える図心を決める．
2. 中心点から作用線までの垂線の長さを求める．
3. 力のモーメント = 力の大きさ × 垂線の長さ
C点に関する力のモーメント
FA × a+ FC × 0− FB × b = 0
∴ FAa = FBb
A点に関する力のモーメント
FC × a− FB × (a+ b) = 0
FC = FA + FB を代入すると
(FA + FB)× a− FB × (a+ b) = FAa− FBb = 0
構造工学入門 《変形の力学》 5
フックの法則
F = kx
長さ lの棒の引張試験をしたところ，ばね定数 k = 3
kgf/mm であった．半分の長さの棒の引張試験を行うときの
ばね定数はいくらになるか？
(A) 同じ材料だから，そのまま k = 3 kgf/mm
(B) 長さが半分だから，半分 k = 1.5 kgf/mm
(C) 長さが半分だから， 2倍 k = 6 kgf/mm
ばね定数 =加えた荷重伸び
長さが2倍 −→ 伸びも2倍 −→ばね定数は12倍
長さが1/2倍 −→ 伸びも1/2倍 −→ばね定数は2倍
構造工学入門 《変形の力学》 6
[問題 1-1] 図 1-3 で FC の矢印の向きを逆向きにとったとき， FC を FA, FBを用いて表せ．
[問題 1-2] 図 1-3 で， B点から左に x進み，下に y下った位置を中心にして力のモーメントのつり合いを
考えよ．
[問題 1-3] 重さ W の一様な棒 ABを軽い糸で天井に吊るし， B端に水平右向きに大きさ F の力を加えた
ところ，糸と棒は水平と α, βの角をなして静止した．糸の張力 T と tanα, tan βの値をそれぞれ求めよ．
[問題 1-4] 図のように，軽い一様な太さの棒 ABの中点を支点 Oで支え，Oから 15cmの距離の所に，重
さ 300gf のおもりを吊るした．このとき以下の問いに答えよ．
(1) Oから 25cmの所に何 gfのおもりをつるすと，棒は水平を保つことができるか？
(2) (1)のとき，支点 Oが棒の中点に加えている力の大きさはいくらか？
α
β
A
BF
図 天井に吊るされた棒
15cm 25cmA B
O
300 gf
図 両側におもりを吊るした棒
構造工学入門 《変形の力学》 7
2章 力から応力へ，変位からひずみへ
水銀で気圧を測る方法
図 2-1 トリチェリーの実験 図 2-2 大気圧と水銀柱の圧力の関係
大気圧 = 76.0cmHg = 760mmHg
= 水銀密度×水銀柱= 13.6× 76.0 = 1033.6gf/cm2 = 1.0336× 10−2gf/cm2
= 1.0336× 10−2 × 9.8 = 0.1013MPa = 0.1013× 106Pa = 1013× 102Pa = 1013hPa
構造工学入門 《変形の力学》 8
パスカルの原理
(1) 閉じこめられた液体の一部に加えられた圧力は，液体の各部に同時に伝わる．
(2) 加えられた圧力は，液体のどの部分にも同じ強さで伝わる．
Pの重量 : w gf
ピストンAの断面積 : scm2
ピストンBの断面積 : Scm2
おもりPによる圧力 =w
sgf/cm2
ピストンBを上に押す力 :
W =w
s× S = w × S
sgf
図 2-3 圧力の伝わり方
構造工学入門 《変形の力学》 9
力から応力へ
圧力 =力面 積
−→ 応力 =力面 積
(1) 引張試験
(2) 破壊時の応力
(3) 断面積を計測 (同じ材料)
(4) 破壊加重 = (破壊時応力) × (断面積)変位からひずみへ
ひずみ =伸び量元の長さ
フックの法則
『ばねに加えられた力はばねの伸びに比例』
F = kx
『応力はひずみに比例する』
σ = Eε
応力 : σ(シグマ)
ひずみ : ε(イプシロン)
弾性係数 : E
例 題
ある材料の弾性係数を Eとする．断面積 A，長
さ lの棒を荷重 P で引張ったときの伸び λを求め
よ．
《解》 応力 σ =P
A，ひずみ ε =
λ
lをフックの
法則 σ = Eε に代入して，
λ =Pl
EA
構造工学入門 《変形の力学》 10
• 応力の種類と単位応力 : 単位面積当りに作用する力
応力 =力面積
= [N/m2]
垂直応力 σ 面に垂直な成分
せん断応力 τ (タウ) 面に水平な成分
• ひずみの種類と単位
垂直ひずみ ε 伸び変形の関係する量
せん断ひずみ γ (ガンマ) ずれる変形に関係する量
γ =λs
l
τ = Gγ
G : 横弾性係数，せん断弾性係数，剛性率
まとめ
• 垂直応力と垂直ひずみの関係
σ = Eε
• 垂直応力と垂直ひずみの関係
τ = Gγ
構造工学入門 《変形の力学》 11
[問題 2-1] 図 2-4のせん断応力を受ける図は，力
の作用線が一致していない．物体に作用する力は
抜けている．抜けている力を図示せよ．
図 2-4 せん断応力を受ける物体
[問題 2-2] 物体から微小な四角形を切り出す．
各々の面に加わるせん断応力は図 2-5に示すよう
に， τxy, τyxと表わせる．そのとき， τxy = τyx
が成り立つことを示せ．
図 2-5 切り出された四角に働くせん断応力
[問題 2-3] 長さ 10cm，直径 1.6mm のスパゲッ
ティに鉛直方向に質量 500gのおもりをぶら下げ
たとき，スパゲッティに加わっている応力，ひず
み，およびスパゲッティ全体の伸びを求めよ．ス
パゲッティの縦弾性係数を 2GPaとする．G(ギ
ガ)は 109である．
[問題 2-4] 直径 1.2mmのスパゲッティはどの程
度の荷重で引張ると破断するか．スパゲッティの
引張強さを 20MPaとする．M(メガ)は 106であ
る．
構造工学入門 《変形の力学》 12
3章 棒を引張ったり圧縮したりするとどうなる？
3.1 引張試験
弾性係数，引張り強さ
JIS (日本工業規格) ， BS, DIN
図 3-1 JIS 4号試験片
図 3-2 軟鋼の応力 –ひずみ線図
構造工学入門 《変形の力学》 13
図 3-3 各種鋼材の応力 –ひずみ曲線 図 3-4 種々の材料の応力 –ひずみ曲線
構造工学入門 《変形の力学》 14
3.2 棒を引張ると伸びるだけではない！
• 引張る −→ 伸びる (伸び:+，縮み -)
縦ひずみ : 引張る方向のひずみ
• 太さ −→ 縮む (伸び:+，縮み:-)
横ひずみ : 引張る方向に垂直なひずみ
図 3-5 輪ゴムの引張り変形
• 縦ひずみε
ε =伸び量元の長さ
=(l + λ)− l
l=λ
l
• 横ひずみε′
横方向の伸び量δ(縮み : −)ε′=幅の増加量元の幅
=(d+ δ)− d
d=δ
d
• 横ひずみと縦ひずみの比
ν = −ε′
εν(ニュー) : ポアソン比
構造工学入門 《変形の力学》 15
ポアソン比の値
• 伸ばしても縮まない材料 ε′= 0 −→ ν = 0
• 引張っても体積変化しない材料
元の体積 V = A× l =πd2
4l
変形後の体積 V ′ = A′ × l′ =π(d+ δ)2
4(l + λ) =
π(d+ dε′)2
4(l + lε)
V ′とVの比V ′
V= (1 + ε′)2(1 + ε) = (1− εν)2(1 + ε)
体積変化なし −→ V ′/V = 1
(1− 2ν) + εν(ν − 2 + εν) = 0
ひずみが小さいとき −→第2項は小さく無視できる
1− 2ν = 0 −→ ν = 0.5
構造工学入門 《変形の力学》 16
表 3-1 工業材料の機械的性質
降伏点
材料 縦弾性係数 横弾性係数 ポアソン比 σy[MPa] 引張り強さ 密度 ρ
E[GPa] G[GPa] ν (耐力 σ0.2[MPa]) σB[MPa] [kg/m3]
×103軟鋼 206 80 0.28～ 0.3 200～ 300 350～ 450 7.86
(0.1～ 0.3％ C)
硬鋼 206 80 0.28～ 0.3 300～ 450 500～ 700 7.86
(0.4～ 0.6％ C)
ばね鋼 206 80 0.28～ 0.3 1000～ 1300 1300～ 1500 7.86
ピアノ線 206 80 0.28～ 0.3 2290～ 2470 7.86
(直径 1.00mm)
Ni–Cr鋼 206 80 0.28～ 0.3 500～ 900 650～ 1300 7.86
(熱処理)
Ni–Cr–Mo鋼 206 80 0.28～ 0.3 7.86
(熱処理)
鋳鋼 206 80 0.3 (300～ 400) 500～ 700 7.96
ねずみ鋳鋼 60～ 150 34 0.3 (100～ 200) 100～ 350 6.8～ 7.45
銅 (軟質) 110 46 0.33 (70) 225 8.65
銅 (硬質) 110 46 0.33 (320) 314 8.65
七三黄銅 98 39 0.33 451 8.65
アルミニウム (軟質) 70 26 0.33 67 2.7
アルミニウム (硬質) 70 26 0.33 137 2.7
ジュラルミン 70 26 0.33 343 2.8
コンクリート 20 0.2 2 2
合成樹脂 4 0.3 67 1.3
塩化ビニール (硬質) 4 0.2 49
塩化ビニール (木目方向) 10 118
スパゲッティー 2～ 4 19～ 24 1.5
構造工学入門 《変形の力学》 17
3.3 壊れない物を作るためには！
• 材料の機械的性質 −→ばらつき
• 実際の構造物 (3次元) −→ モデル化 (3次元→2次元→1次元) −→ 構造解析
⇓
• 材料の引張り強さに比べて，かなり小さな応力しか加わらないように設計する許容応力 =
基準応力安全率
基準応力 : 引張り強さ，降伏点，疲労限度
• 安全率 1で設計ちょっとした設計ミス
製作誤差
過積載荷重
−→ 破壊
• 安全率 10， 100で設計
できあがった構造物は巨大 =⇒
飛ばない飛行機
20km/hしか出せない自動車
柱だらけのビル
美観が悪い橋
−→ 安全性，経済性，高性能，美観
構造工学入門 《変形の力学》 18
3.4 材料も疲労がたまると壊れる 疲労破壊
• 材料にたまる疲労とは？ 材料表面のき裂 −→ 繰返し応力 −→ き裂の進展 −→ 材料の破壊
• S-N曲線 応力振幅と繰返し回数の関係
• 疲労限度 何回繰返しても破壊しない応力値
• 航空機 −→ 規定回数で部品交換，機体の修理 −→ 疲労からの回復
図 3-6 S-N曲線
構造工学入門 《変形の力学》 19
3.5 応力を測るのにひずみを使う
• 応力測定法 −→ ひずみゲージ
伸び縮み −→ 電気抵抗値 : 変化 −→ ひずみ
−→ 応力の算定 σ = Eε
図 3-7 ひずみゲージ
• 光弾性法，モアレ画像法ひずみゲージのように簡便に精度良く応力を測定する方法は開発されていない！
構造工学入門 《変形の力学》 20
3.6 材質や形状が異なる棒の問題
例題 3.1
図に示すように，直径が同じで長さと異なる 2つ
の棒を接着してできた棒の両端を引張ったときの
棒の伸びを求めよ．ただし，棒の断面積を A，材
料 1と材料 2の縦弾性係数を E1, E2とする．
図 3-8 組合せ棒
• 縦弾性係数Eは平均をとる −→ E1 + E2
2
λ =2P (l1 + l2)
A(E1 + E2)
E1 = E2 = Eとおくと，λ =Pl
AE
材料1剛体 −→ E1 → ∞ −→ λ → 0
• 材料1，材料2の棒に作用する引張力P
荷重Pによる材料1，材料2の伸び
λ =Pl1AE1
+Pl2AE2
=P
A
(l1E1+
l2E2
)
E1 = E2 = Eとおくと，λ =Pl
AE
材料1剛体 −→ E1 → ∞ −→ λ =Pl2AE2
構造工学入門 《変形の力学》 21
例題 3.2
図に示すように，長さ lの棒を天井に取り付け
た．材料の自重を考慮した場合の棒の伸びを求め
よ．ただし，棒の断面積を A，密度を ρ，縦弾性
係数を Eとする．
図 3-9 自重を考慮した棒
• 棒の自重により天井が受ける力
F = Alρg
• 天井からxの位置に作用する荷重
xより下部分の自重+外力P
F (x) = P + ρgA(l − x)
微小長さdxの伸びdλ
dλ =F (x)dx
AE=P + ρgA(l − x)
AEdx
λ =∫ l
0
F (x)dx
AE
=1
AE
∫ l
0{P + ρgA(l − x)}dx
=P
AE
∫ l
0dx+
ρg
E
∫ l
0(l − x)dx
• x = 0からx = lまで積分
=P
AE[x]l0 +
ρg
E
lx− x2
2
l
0
=Pl
AE+ρgl2
2E
構造工学入門 《変形の力学》 22
3.7 トラスとは？
例題 3.3
天井にピン留めされた長さ lの棒を，図に示すよ
うに A点でピン留めしてトラス構造を作る． A
点に下方向に荷重 P を加えたとき，
(1) 各棒に作用する応力
(2) A点の変位
を求めよ．ただし，棒の断面積を A，縦弾性係数
を Eとする．
図 3-10 トラス構造
(1) Q cos 45◦ +Q cos 45◦ − p = 0 Q =P√2
∴ σ =Q
A=
P√2A
(2) 棒の伸び λ = εl =σ
El =
Pl√2EA
破線の交点 −→ 変位後のピンの位置
近似計算
棒の長さ l に比べて λが小さいとき
−→ 棒の垂線の交点 A’
δ =√2λ =
Pl
EA
図 3-11
構造工学入門 《変形の力学》 23
別解 1 円弧を直線に近似しない方法
三角形A′BC (l + λ)2 =
(l√2
)2
+
(l√2+ δ
)2
δ =
√√√√√(l + λ)2 −(l√2
)2
− l√2
=l√2
√√√√1 + 4λ
l+2λ2
l2− 1
=l√2
4λ
l+2λ2
l2√√√√1 + 4λl+2λ2
l2+ 1
λ << lとき δ ≈ l√2
4λ
l2=
√2λ
図 3 12
別解 2 棒と天井のなす角度を θとして解く方法
• 垂直方向の力のつりあい P = 2Q sin θ
• 応力 σ =Q
A=
P
2A sin θ
• sin θ =λ
δ1©
• 棒の伸び λ = εl =σ
El =
Pl
2AE sin θ
• 2©, 1©, 2©より， δ =λ
sin θ=
Pl
2AE sin2 θ
図 3-13
構造工学入門 《変形の力学》 24
3.8 異種棒の引張り！
例題 3.4 図に示すように，長さ lで材質の異な
る 2つの棒を壁に取り付け，もう一方の端に剛体
を取り付け，荷重 P で引張るとき，次の問いに答
えよ．ただし，材料 1と 2の棒の縦弾性係数をそ
れぞれ E1, E2，棒のそれぞれの断面積は等しく
Aとする．また剛体の回転は無視でき，棒は軸方
向にしか変位しないものとする．
(1) 各棒に作用する応力
(2) 剛体の移動する距離 λ
図 3-14 異種材料の棒の引張り
• 材料1と材料2の荷重分担率は異なる
材料1にかかる荷重P1，材料2にかかる荷重P2
• 力のつりあい P = P1 + P2 1©不静定問題
• 棒に作用する応力
σ1 =P1
Aσ1 =
P2
A
• 棒の伸び
λ1 = ε1l =σ1
E1l =
P1l
AE1
λ2 = ε2l =σ2
E2l =
P2l
AE2
• 剛体は軸方向にしか移動しない −→ λ = λ1 = λ2
変形の適合条件P1
E1=
P2
E22©
1©， 2©より，P1 =
E1
E1 +E2P, P2 =
E2
E1 + E2P
構造工学入門 《変形の力学》 25
[問題 3-1] 例題 3-4の問題で，棒 1と棒 2の断面
積がそれぞれ A1, A2のとき，各棒に作用する応
力と， A点の伸びを求めよ．
図 3-14 異種材料の棒の引張り
[問題 3-2] 下図のトラスの先端 A点に，鉛直下
向きに荷重 P が作用しているとき，以下の問いに
答えよ．ただし，棒の断面積を A，縦弾性係数を
Eとする．
(1) 各部材の応力
(2) A点の水平方向変位 δh
(3) A点の垂直方向変位 δv
図 3-15
構造工学入門 《変形の力学》 26
4章 応力を組み合わせるとどんなことに？
4.1 いろいろな応力が働くということは？
• 真っ直な棒に引張荷重 −→ 単純な応力状態は稀
• 複雑な形状のものに複雑な応力
• 応力やひずみは，線形弾性範囲内では 重ね合せが成り立つ．
図 4.1 平面応力 (正の応力成分) 図 4.2 3次元応力 (正の応力成分)
構造工学入門 《変形の力学》 27
4.2 考える面を変えると応力も変わる
AB断面の面積 : AAB =A
cos θ
ABに作用する垂直応力σ，せん断応力τ
ABに垂直な力Tn = σAAB =σA
cos θ
ABに水平な力Tt = τAAB =τA
cos θ
Tn, Ttの，x, y方向成分をそれぞれ加えるとTx = Tn cos θ − Tt sin θ =
(σ cos θ − τ sin θ)A
cos θ
Ty = Tn sin θ + Tt cos θ =(σ sin θ + τ cos θ)A
cos θx軸方向のつり合い式 Tx − P = 0
y軸方向のつり合い式 Ty = 0
σ cos θ − τ sin θ = cos θ
P
Aσ sin θ + τ cos θ = 0
σ = cos2 θP
A, τ = − sin θ cos θP
A
図 4.3 単純引張りによる斜面の応力
x軸に垂直な応力 : θ = 0 −→ σx =P
A
θだけ傾むいた面における応力 :
σ = cos2 θσx, τ = − sin θ cos θσx
θ σ τ
0◦ PA
0
90◦ 0 0
45◦ 0 −12
PA
構造工学入門 《変形の力学》 28
4.3 傾斜した面に現われる応力 (平面応力状態)
AB
C
D
x
ydx
dydsσx
σy
σθ
τxy
τyx
τθθ
図 4.4 σx, σy, τxyが作用する微小要素
三角形の力のつり合い
ΣFx = σθds cos θ − τθds sin θ − σxdy − τyxdx = 0
ΣFY = σθds sin θ + τθds cos θ − τyxdy − σxdx = 0
dx = ds sin θ, dy = ds cos θ
σθ cos θ − τθ sin θ = σx cos θ + τyx sin θ
σθ sin θ + τθ cos θ = τxy cos θ + σy sin θ
応力の共役性(τxy = τyx)を用いて，σθ，τθについて解くと，
σθ = σxcos2θ + σysin
2θ + 2τxy sin θ cos θ
=σx + σy
2+σx − σy
2cos 2θ + τxy sin 2θ
τθ = −(σx − σy) cos θ sin θ + τxy(cos2 θ − sin2 θ)
= −σx − σy
2sin 2θ + τxy cos 2θ
構造工学入門 《変形の力学》 29
4.5 主応力と主軸
• 最大応力，あるいは最小応力が作用する面 −→ 主応力面
• 最大，最小応力 −→ 主応力
例 1 σx = σ0, σy = 0.5σ0, τxy = 0.5σ0 のとき
の θ と σ τ の関係を図示せよ．
図 5.3 θ傾いた面に作用する応力
例 2 σx = σ0, σy = σ0, τxy = 0のときの θ と
σ τ の関係を図示せよ．
図 5.4 静水圧状態
構造工学入門 《変形の力学》 30
[問題 4-1] σx = σ0, σy = 0, τxy = 0 のときの θ と σ τ の関係を図示せよ．
[問題 4-2] 主応力を求める式を誘導せよ． (ヒント：微分の利用)
[問題 4-3] σ と τ の関係はなぜ常に円となるのか？
[問題 4-4] 静水圧状態における垂直応力と垂直ひずみの関係を求めよ． (ヒント：横ひずみも考慮する)
[問題 4-5] せん断力が与えられた場合の応力状態は純粋せん断応力状態なる． 45◦傾むいた面に生じる垂直応
力とせん断応力を求めよ．
構造工学入門 《変形の力学》 31
5章 はり (棒)の曲げにまつわる様々な話
5.1 スパゲティは 5kgの重さには耐えること
ができるが，簡単に折れる．何故か？
図 5-1
応力σは長さlに比例 σ ∝ l
応力σは荷重Pに比例 σ ∝ Pl
応力σは断面積Aに反比例 σ ∝ Pl
A
細長い棒を曲げたときの応力 σ =M
Izy
y : 中立軸を含む面からの距離
M : 曲げモーメント
Iz :断面2次モーメント
円形Iz =πd4
64, 長方形Iz =
bh3
12
固定端に作用する曲げモーメント :M = Pl
y = ±d
2とき応力の絶対値は最大
σ =M
Izy =
Pl
(πd4/64)
(d
2
)32Pl
πd3 =
(8
πd
)Pl
A
図 5-2
構造工学入門 《変形の力学》 32
工学の分野
最初は「こんな関係が成り立ちそうだ」
=⇒ 多くの実験 数学的な式の取り扱い
長さ10cm，直径1.6mmのスパゲティが折れる力は？
P =Wg(N), 引張り強さσB = 24(MPa)
W =πd3
32l
σB
g≈ 0.01(kg) = 10(g)
直径1.6mmのスパゲティが耐えうる引張力は？
P = σB × πD2
4= 24× π1.62
4= 48.3(N)
P =Wg より，W =P
g=48.3
9.8= 4.9(kg)
引張りには5kgをつるすことができるが，わずか10(g)で折れてしまう
構造工学入門 《変形の力学》 33
5.2 はりの支え方の種類
(a) 回転支持 上下方向の変位を拘束し，回転が自由
(b) 移動支持 上下方向の変位を拘束し，かつ回転および軸方向の移動が自由
(c) 固定支持 上下方向の変位および回転を拘束
図 5-3 はりの支持方法
構造工学入門 《変形の力学》 34
5.3 はりに作用する荷重
(a) 集中荷重
(b) 分布荷重
(c) モーメント荷重
図 5-4 外荷重の種類 図 5-5 橋に作用する荷重
構造工学入門 《変形の力学》 35
5.4 実際のはりの問題
(a) 単純支持はり
(b) 片持ちはり
図 5-6 代表的なはり
構造工学入門 《変形の力学》 36
5.5 はりの内部に生じる力と曲げモーメント
断面力
• 軸力N
• せん断力 F or Q (構造力学)
• 曲げモーメント M
図 5-7 片持はりを切断したときの応力
図 5-8 せん断力と曲げモーメントの正負の規約
構造工学入門 《変形の力学》 37
5.6 はりの断面に作用する応力
(a) 一様なせん断応力分布と仮定
h
b
y1
y
y
dy
z
τ
τmax
(a) (b)(b) 実際のせん断応力分布
図 5-9 せん断力とせん断応力
せん断応力とせん断力の関係
せん断力 = 断面全体のせん断応力の和
F =∑
τdA
せん断応力τが断面内で一定ならば，
F = τ∑
dA = τ × A
材料力学では，連続関数として取り扱う
F =∫AτdA
せん断応力τが断面内で一定ならば，
F = τ∫AdA = τ ×A
τ =F
A
構造工学入門 《変形の力学》 38
曲げモーメントと曲げ応力の関係
図 5-10 ボールペンの芯の曲げ
図 5-11 はりの曲げ変形
重要な専門用語
曲げモーメントM
曲げ応力σb
中立面
中立軸
ベルヌイ=オイラーの仮定
「変形前に軸線に垂直であった平面
は，変形後も曲がった軸線に垂直な平
面である．」
⇓
AD, BCはそれぞれ変形しても直線
で，かつ軸線 mn に垂直である
構造工学入門 《変形の力学》 39
線分 pq
中立軸より上 : 縮む
中立軸より下 : 伸びる
中立軸 : 変化なし
ひずみ = 伸び量/元の長さ
中立軸から垂直方向の距離 y
ε = Cy, σ = CEy 1©y軸の −側 : 負の応力(圧縮応力)y軸の +側 : 正の応力(引張応力)
x
y
y
z
y + dy
dA
図 5.12
z軸回りのモーメント
y ∼ y + dyの面積 : dA
中立軸(z軸)回りのモーメント : σydA
これを断面全体で積分
M =∫AσydA = CE
∫Ay2dA
CEを 1©に代入σ = CEy =
M∫A y2dA
y =M
Izy
Iz =∫Ay2dA 断面2次モーメント
構造工学入門 《変形の力学》 40
5.7 はりの変形
曲げ応力 σ =M0
Iy 1©
ひずみ ε =σ
E=
M0
EIzy 2©
中立軸までの半径 ρ 曲率半径
曲率1
ρ
M0M0 ρ θ
図 5-13 曲げのみを受けるはり
中立軸におけるはりの長さ l0 = ρθ
(∵ l : 2πρ = θ : 2π)
中立軸からyの位置での半径 ρ+ y
変形後の長さl = (ρ+ y)θ
ひずみ =変形後の長さ −変形前の長さ
変形前の長さ
ε =l − l0l0
=(ρ+ y)θ − ρθ
ρθ=y
ρ3©
2© = 3© −→ 1
ρ=
M0
EIz
(1)E :大 ならば 1/ρ : 小 −→あまり曲がらない(2)Iz : 大 ならば 1/ρ : 小 −→あまり曲がらない(3)M0 : 大 ならば 1/ρ : 大 −→たくさん曲がる
構造工学入門 《変形の力学》 41
5.8 はりのたわみの基礎式
曲率半径とたわみの関係式の誘導
x
y
dx
dyds
ρ
θ
dθ
図 5-14
ds = ρdθ, ds =√dx2 + dy2
1
ρ=dθ
ds=
dθ√dx2 + dy2
=
dθ
dx√√√√1 +(dy
dx
)21©
tan θ =dy
dx2©
両辺をxで微分1
cos2 θ
dθ
dx=
d2y
dx2 3©(dy
dx
)2
= tan2 θ =1− cos2 θcos2 θ
=1
cos2 θ− 1 4©
3©と 4©を 1©に代入
1
ρ=
d2y
dx2
1
cos2 θ
√√√√√1 +(dy
dx
)2=
d2y
dx21 +
(dy
dx
)2
32
変形が小さいとき(dy/dx � 1)
高次微小量無視(dy/dx)2 → 0
1
ρ=
d2y
dx2
d2y
dx2 = − M
EIz(−が付くことに注意)
構造工学入門 《変形の力学》 42
5.9 自由端に集中荷重を受けるはり
図 5-15 片持ちはりのモデル図
モーメントのつり合い M + P (l − x) = 0
曲げモーメント M = −P (l − x) (0 ≤ x ≤ l)
曲げ応力 σ =M
Izy = −P (l − x)
Izy
最大応力x = 0での上下縁
d2y
dx2 =P (l − x)
EIz
dy
dx=
P
EIz
lx− x2
2+ c1
y =P
EIz
lx2
2− x3
6+ c1x+ c2
境界条件 x = 0でy = 0,dy
dx= 0
c1 = 0, c2 = 0
y =P
6EIzx2(3l − x)
最大たわみ(自由端x = l) y =Pl3
EIz
長方形断面 Iz =bh3
12
構造工学入門 《変形の力学》 43
5.10 中央に集中荷重を受ける単純支持はり
(a)
-
+
P/2
P/2
(b) SFD
+ Pl/4
(c) BMD
図 5-16 中央に集中荷重を受ける単純支持はり
左右対称より R =P
2
•せん断力FF =
P
2(x <
l
2)
F = −P
2(x >
l
2)
•曲げモーメントM
M =Px
2(x <
l
2)
M =P (l − x)
2(x >
l
2)
•曲げ応力σσ =
Px
2
y
Iz(x <
l
2)
σ =P (l − x)
2
y
Iz(x >
l
2)
構造工学入門 《変形の力学》 44
•たわみの基礎式d2y
dx2 = − Px
2EIz(x <
l
2)
d2y
dx2 = −P (l − x)
2EIz(x >
l
2)
dy
dx= − Px2
4EIz+ c1 (x <
l
2)
dy
dx= −P (2lx− x2)
4EIz+ c2 (x >
l
2)
y = − Px3
12EIz+ c1x+ c3 (x <
l
2)
y = −P (3lx2 − x3)
12EIz+ c2x+ c4 (x >
l
2)
•境界条件x = 0, lときy = 0
x = l/2ときyとdy/dxが連続
c1 =Pl2
16EIz, c2 =
3Pl2
16EIz, c3 = 0, c4 = − Pl2
48EIz
図 5-17 中央に集中荷重を受ける単純支持はり
y =P (3l2x− 4x3)
48EIz(x <
l
2)
y =P (4x3 − 12lx2 + 9l2x− l3)
48EIz(x >
l
2)
x = l/2とき最大値 y =Pl3
48EIz
構造工学入門 《変形の力学》 45
例題 5.2 図 5.18に示すように，両端に曲げモーメント M0を受ける長さ lの両端支持はりのせん断力図と曲げ
モーメント図を描け．
図 5-18 曲げモーメントを受けるはり
モーメントのつり合い
M0 + R × l −M0 = 0
R = 0
せん断力 F = R = 0
曲げモーメント M = Rx +M0 =M0
+M0
SFD
BMD
図 5-19
構造工学入門 《変形の力学》 46
[問題 5-1] 下図に示す断面形状に対する断面 2次モーメントを求めよ．
(a) 正方形(b) 長方形
(c) 円形
Iz =∫ a/2
−a/2y2ady =
a4
12
Iz =∫ h/2
−h/2y2bdy =
bh3
12dA = 2
√(d/2)2 − y2dy
Iz = 2∫ d/2
−d/2y2√(d/2)2 − y2dy =
πd4
64
構造工学入門 《変形の力学》 47
[問題 5-1] 図 5．？に示す飛び込み板の先端に 500 N の人が乗った．飛び込み板に生じる最大圧縮応力，引張
応力，およびそれらが生じる位置を求めよ．飛び込み板は，一端で回転自由なピン支持で，その位置から 2m
の所で支持されている．
図 5.20 飛び込み板
構造工学入門 《変形の力学》 48
解答
図 5.21 モデル化
∑V = −RA − RB + P = 0
∑MA = −RBa+ P (a + l) = 0
RA = − l
aP, RB =
a+ l
aP
モーメント分布
M = RAx = −Pl
ax (0 ≤ x ≤ a)
M = −P (a+ l − x) (a ≤ x ≤ a+ l)
x = 0とき最大値 Mmax = −Plσ =
M
Izy = −Pl
Izy
σ = ±Plh
2Iz(上下縁で最大)
Iz =bh3
12
=(320× 10−3m)(40× 10−3m)3
12
= 1.707× 10−6m4
最大引張応力 : σt = 29.3MPa
最大圧縮応力 : σc = −29.3MPa
500N −→ 50kg
木材の引張強さ100MPa程度
安全率を3程度とったとして安全
作用応力 ≤ 許容応力引張強さ安全率
