Το ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθε ράς k είναι ακλόνητο, ενώ στο άλλο του άκρο έχει στερεωθεί µικρό σώµα Σ1 µάζας m, το οποίο βρίσκεται σε επαφή µε λείο οριζόντιο έδαφος. Μετατοπίζουµε το σώµα Σ1 ώστε το ελατήριο να συµπιεσθεί κατά x0 και στην συνέχεια το αφήνουµε ελεύθερο. Στην θέση όπου το ελατήριο είναι τεντωµένο κατά x0/2 το σώµα Σ1 συγκρούεται µε µικρό σώµα Σ2 µάζας m, που είναι ακίνητο στο έδαφος. i) Εάν η κρούση των δύο σωµάτων είναι µετωπική και ελαστική να βρείτε την εξίσωση κίνησης του Σ1, θεωρώντας ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή της κρούσεως και θετική φορά την φορά κίνησης του Σ1 την στιγµή που αφήνεται ελεύθερο. ii) Να βρεθεί η απόσταση των δύο σωµάτων την χρονική στιγµή t=Τ/2, όπoυ Τ η περίοδος ταλάντωσης του Σ1. iii) Πόσος είναι ο ρυθµός µεταβολής της δυναµικής ενέργειας ταλάν τωσης του σώµατος Σ1 την στιγµή t=T/2 ; ΛΥΣΗ: i) Τα σώµατα Σ1, Σ2 κατά την µετωπική και ελαστική τους κρούση ανταλλάσουν τις ταχύτητές τους, που σηµαίνει ότι αµέσως µετά την κρούση το Σ1 ακινητοποιείται και το Σ2 αποκτά την ταχύτητα

�

! v

* που είχε το Σ1, λiγο πριν

την κρούση. Για το µέτρο της ταχύτητας

�

! v

* ισχύει η σχέση:

�

! v * |= ! x0

2- (x0 /2)2 = k/m 3x0

2 /4

�

!

�

|! v * | = 3x

0k/m /2 (1)

Σχήµα 1

To σώµα Σ1 µετά την κρούση θα εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση µε κέντρο ταλάντωσης την θέση Ο όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος και γωνιακή συχνότητα ω=(k/m)1/2. Eπειδή κατά την έναρξη της ταλάντωσης αυτής η ταχύτητα του σώµατος είναι µηδενική και η αποµάκρυνσή του ως προς το Ο είναι

�

! x

0/2, η εξίσωση κινήσεώς του έχει την µορφή:

�

x =x

0

2!µ "t +

#2

$

% &

'

( ) =

x0

2*+,"t

�

!

�

x =x

0

2!"#

k

mt

$

% &

'

( ) (2)

ii) H σχέση (2) για t=T/2 δίνει την αλγεβρική τιµή x1 της αποµάκρυνσης του σώµατος Σ1, δηλαδή θα έχουµε:

�

x1

=x

0

2!"# $

T

2

%

& '

(

) * =

x0

2!"#

2+2

%

& '

(

) * = -

x0

2 (3)

Tην ίδια στιγµή η απόσταση x2 του σώµατος Σ2 από το Ο είναι:

�

x2

=x

0

2+

|! v * |T

2

�

!

(1)

�

x2

=x

0

21+ ! 3( ) (4)

H ζητούµενη απόσταση x* των σωµάτων Σ1, Σ2 την χρονική στιγµή t=Τ/2 είναι:

�

x*=|x

1| +x

2

�

!

(3),(4)

�

x*=

x0

2+

x0

21+ ! 3( )

�

!

�

x*=x

0

22 + ! 3( ) (5)

iii) Εάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt η αλγεβρική τιµή της απο µάκρυνσης του σώµατος Σ1 µεταβάλλεται κατά dx (dx→0), τότε η αντίστοιχη µεταβολή dU της δυναµικής ενέργειας ταλάντωσης του σώµατος είναι:

�

dU =k

2(x + dx)

2-k

2x

2=

m

2(x

2+ 2xdx + dx

2- x

2)

�

!

�

dU =k

2(2x + dx)dx ! mxdx

�

!

�

dU

dt= mx

dx

dt (6)

όπου η απειροστή ποσότητα dx θεωρήθηκε αµελητέα ως προς την 2x. Στην σχέ ση (6) το πηλίκο dU/dt αναφέρεται στην χρονική στιγµή t και εκφράζει τον ρυθ µό µεταβολής της δυναµικής ενέργειας ταλάντωσης του σώµατος Σ1 την στιγµή αυτή, ενώ το πηλίκο dx/dt εκφράζει την αντίστοιχη αλγεβρική τιµή της ταχύτητας

�

! v του σώµατος. Έτσι η σχέση (6) γράφεται:

�

dU

dt= kxv = k[(x0/2)!"#$t][-(x0/2)$%µ$t]

�

!

�

dU

dt= -

kx0

2!

8(2"#$!t%µ!t) = -

kx0

2!

8%µ2!t

�

!

t= T/2

�

dU

dt

!

" #

$

% &

t=T/2

= -kx

0

2'8

(µ 2'T

2

!

" #

$

% & = 0

P.M. fysikos

Το σώµα Σ του σχήµατος (2) έχει µάζα m και κρα τείται ακίνητο, ώστε το οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k να είναι συµπι εσµένο κατά x0. Κάποια στιγµή το σώµα αφήνεται ελευθερο, ενώ ταυ τόχρονα εκτοξεύεται επί του λείου οριζοντίου εδάφους ένα σφαιρίδιο σ µάζας m, µε κατεύθυνση προς το σώµα µε το οποίο και συγκρούε ται. Η κρούση, που θεωρείται ελαστική και µετωπική, συµβαίνει όταν το ελατήριο είναι τεντωµένο, αµέσως δε µετά την κρούση το σφαιρί διο ακινητοποιείται, ενώ το σώµα Σ κινείται και προκαλεί µέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου από την φυσική του κατάσταση κατά 2x0. i) Nα βρείτε την ταχύτητα του σφαιριδίου. ii) Εάν µετά την κρούση το σφαιρίδιο αποµακρύνεται, να βρείτε την εξίσωση κινήσεως του σώµατος, θεωρώντας ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή της κρούσεως και ως θετική φορά την φορά κινή σεώς του την στιγµή που αυτό αφήνεται ελευθερο. iii) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο τον ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώµατος Σ. ΛΥΣΗ: i) Επειδή το σώµα και το σφαιρίδιο έχουν την ίδια µάζα και η κρούση τους είναι µετωπική και ελαστική, συµβαίνει ανταλλαγή των ταχυτήτων τους. Όµως αµέσως µετά την κρούση το σφαιρίδιο ακινητοποιείται που σηµαίνει ότι η ταχύτητα του σώµατος Σ λίγο πριν την κρούση είναι µηδενική, δηλαδή στην θέση κρούσεως η αποµάκρυνση

�

! x

K του σώµατος ως προς την θέση Ο ισορροπίας

του έχει αλγεβρική τιµή ίση µε x0. Εξάλλου µετά την κρούση το σώµα Σ εκτε λεί γραµµική αρµονική ταλάντωση µε κέντρο ταλάντωσης το Ο, µε πλάτος 2x0

Σχήµα 2

και γωνιακή συχνότητα ω=(k/m)1/2, η δε ταχύτητά του κατα την έναρξη της

κίνησης είναι ίση µε την ταχύτητα

�

! v

* του σφαιριδίου, το δε µέτρο της ικανο

ποιεί την σχέση:

�

|! v * |= ! (2x0)

2- x0

2 = k/m 3x0

2

�

!

�

|! v * | = x

03k/m (1)

ii) Tην στιγµή t=0 αµέσως µετά την κρούση η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας του σώµατος είναι ίση µε –v*, oπότε η αποµάκρυνσή του θα έχει αρχική φάση διάφορη του µηδενός, δηλαδη η η εξίσωση της κινήσεώς του θα έχει την µορφή:

�

x = 2x0!µ ("t +#) (2) όπου φ η αρχική φάση της αποµάκρυνσης. Όµως για t=0 είναι x=x0, οπότε από την (2) προκύπτει:

�

x0= 2x

0!µ"

�

!

�

!µ" = 1/2 (3) Εξάλλου η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας του σώµατος ικανοποιεί την σχέση:

�

v = 2x0!"#$(!t +%) η οποία για t=0 γράφεται:

�

-v*= 2x

0!"#$%

�

!

(1)

�

-x0

3k/m = 2x0

k/m!"#$

�

!

�

!"#$ = - 3 /2 (4) Οι (3) και (4) συναληθεύουν για φ=5π/6, οπότε η ζητούµενη εξίσωση κινήσεως του σώµατος έχει την µορφή:

�

x = 2x0!µ ("t + 5# /6) = 2x0!µ k/m t + 5# /6( ) (5)

iii) Εάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος Σ1 µεταβάλλεται κατά dv1 (dv1→0), τότε η αντίστοιχη µεταβολή dK1 της κινητικής ενέργειας του σώµατος είναι:

�

dK =m

2(v + dv)

2-m

2v

2=

m

2(v

2+ 2vdv + dv

2- v

2)

�

!

�

dK =m

2(2v + dv)dv ! mvdv

�

!

�

dK

dt= mv

dv

dt (6)

όπου η απειροστή ποσότητα dv θεωρήθηκε αµελητέα ως προς την 2v. Στην σχέ ση (6) το πηλίκο dK/dt αναφέρεται στην χρονική στιγµή t και εκφράζει τον ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώµατος την στιγµή αυτή, ενώ το πηλίκο dv/dt εκφράζει την αντίστοιχη αλγεβρική τιµή της επιτάχυνσης

�

! a

του σώµατος. Έτσι η σχέση (6) γράφεται:

�

dK

dt= mva = m[2x0!"#$(!t + 5% /6)][-2x0!

2&µ (!t + 5% /6)]

�

!

�

dK

dt= -2m!

2x0 [2"#$(!t + 5% /6)&µ (!t + 5% /6)]

�

!

�

dK

dt= -2k k/mx0

2!µ (2 k/m t + 5" /3) (7)

P.M. fysikos

Ένας νεαρός τραβάει προς τα κάτω το σχοινί της διάταξης του σχήµατος (3) και µε τον τρόπο αυτό προκαλεί ανύψωση του σώµατος Σ µε σταθερή επιτάχυνση µέτρου g, όπου

�

! g η επιτάχυν

ση της βαρύτητας. Η µάζα του σώµατος είναι m και οι µάζες των τρο χαλιών Μ και συγκεντρωµένες στην περιφέρειά τους. Να βρείτε: i) την δύναµη που εξασκεί ο νεαρός στο σχοινί, ii) τον ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας της τροχαλίας τ1 και iii) τον ρυθµό µεταβολής της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας του συ στήµατος τροχαλία τ2-σώµα Σ. Tο σχοινί που περιβάλλει τα αυλάκια των δύο τροχαλιών να θεωρηθεί αβαρές και ότι δεν ολιθαίνει σ΄ αυτά. ΛΥΣΗ: i) Στο σύστηµα κινητή τροχαλία τ2-σώµα Σ ενεργούν τα βάρη

�

M! g ,

�

m! g της τροχαλίας και του σώµατος αντιστοίχως και οι τάσεις

�

! T

1,

�

! T

2 στους δύο

κλάδους του σχοινιού που περιβάλλει το αυλάκι της τροχαλίας. Οι ροπές των τάσεων περί τον άξονα της τροχαλίας προκαλούν την περιστροφή της περί τον άξονα αυτόν και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει η σχέση:

�

T2r - T

1r = Mr

2!'

2

�

!

�

T2- T

1= Mr! '

2 (1)

Σχήµα 3 όπου

�

! ! '

2 η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας και r η ακτίνα της. Εξάλλου η

επιτάχυνση της µεταφορικής κίνησης της τροχαλίας και η επιτάχυνση του

σώµατος είναι ίδιες µε µέτρο g και σύµφωνα τον δεύτερο νόµο κινήσεως του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση:

�

T1 + T2 - (M + m)g = (M + m)g

�

!

�

T1 + T2 = 2(M + m)g (2) Eπειδή το σηµείο επαφής γ της τροχαλίας µε τον ακίνητο κλάδο του σχοινιού έχει κάθε στιγµή µηδενική εφαπτοµενική επιτάχυνση µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

0 = g -!'2 r

�

!

�

!'2 r = g (3) Συνδυάζοντας την (3) µε την (1) παίρνουµε την σχέση:

�

T2 - T1 = Mg (4) Προσθέτοντας κατά µέλη τις (2) και (4) έχουµε:

�

2T2 = (2M + m)g

�

!

�

T2 = (2M + m)g/2 (5) H (2) µε βάση την (5) δίνει:

�

T1 + (2M + m)g/2 = 2(M + m)g

�

!

�

T1 = (2M + 3m)g /2 (6) Eξετάζοντας την ακίνητη τροχαλία τ1, παρατηρούµε ότι αυτή περιστρέφεται περί τον άξονά της, υπό την επίδραση της αντίστοιχης ροπής της δύναµης

�

! F

που ασκεί στο σχοινί ο νεαρός και της αντίστοιχης ροπής της τάσεως

�

-! T

2 του

δεξιού κλάδου του σχοινιού που περιβάλλει το αυλάκι της. Εφαρµόζοντας για την τροχαλία τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση:

�

FR - T2R = MR

2!'

1

�

!

�

F - T2

= MR! '1 (7)

όπου

�

! ! '

1 η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας και R η ακτίνα της. Όµως τα

σηµεία α και β των τροχαλιών τ1 και τ2 έχουν ίσες εφαπτοµενικές επιταχύνσεις, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

!'i R = g +! '2 r

�

!

(3)

�

!'i R = g + g = 2g οπότε η σχέση (7) παίρνει την µορφή:

�

F - T2 = 2Mg

�

!

(5)

�

F - (2M + m)g/2 = 2Mg

�

!

�

F = (6M + m)g/2 (8) ii) Έστω ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας της σταθερής τροχαλίας τ1 µεταβάλλεται κατά dω1 (dω1→0). Τότε η αντίστοιχη µεταβολή dK1 της κινητικής της ενέργειας είναι:

�

dK1 =MR

2

2(!1 + d!1)

2-MR

2

2!1

2=

MR2

2(!1

2+ 2!1d!1 + d!1

2-!1

2)

�

!

�

dK1 =MR

2

2(2!1 + d!1)d!1 " MR

2!1d!1

�

!

�

dK1

dt= MR

2!

1

d!1

dt= MR

2!

1! '

1 (9)

όπου η απειροστή ποσότητα dω1 θεωρήθηκε αµελητέα ως προς την 2ω1. Στην σχέση (9) το πηλίκο dK1/dt αναφέρεται στην χρονική στιγµή t και εκφράζει τον ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας της τροχαλίας τ1 την στιγµή αυτή, ενώ το πηλίκο dω1/dt εκφράζει το µέτρο της αντίστοιχης γωνιακής της επιτά χυνσης

�

! ! '

1. Όµως η στροφική κίνηση της τροχαλίας είναι οµαλά επιταχυνόµε

νη, οπότε θα ισχύει ω1=ω1’t και η (9) γράφεται:

�

dK1

dt= MR

2!'

1t! '

1= MR

2! '

1

2t

�

!

�

dK1

dt= M(2g)2t = 4Mg2t (10)

iii) Aς δεχθούµε ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt ο άξονας της κι νητής τροχαλίας τ2 και το σώµα Σ µετατοπίζονται προς τα πάνω κατά dh (dh→ 0). Τότε η αντίστοιχη µεταβολή dU της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας του συστήµατος είναι:

�

dU = (M + m)gdh

�

!

�

dU

dt= (M + m)g

dh

dt (11)

Όµως πηλίκο dU/dt αναφέρεται στην χρονική στιγµή t και εκφράζει τον ρυθµό µεταβολής της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας του συστήµατος τροχαλία τ1–σώµα Σ την στιγµή αυτή, ενώ το πηλίκο dh/dt εκφράζει το µέτρο της αντίστοι χης ταχύτητας του σώµατος, που είναι ίσο µε gt λόγω της οµάλά επιτάχυνό µενης κινήσεώς του. Έτσι η σχέση (11) γράφεται:

�

dU

dt= (M + m)ggt = (M + m)g2t (12)

P.M. fysikos

Στον άξονα της ελεύθερης τροχαλίας του σχήµατος (4) εξασκείται κατακόρυφη δύναµη µε φορά προς τα πάνω, η οποία αναγκάζει την τροχαλία να ανέρχεται µε επιτάχυνση µέτρου g/2, ως προς το ακίνητο έδαφος, όπου

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Eάν οι

µάζες των σωµάτων Σ1 και Σ2 είναι 2m και m αντιστοίχως, να βρε θούν οι επιταχύνσεις τoυς στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. H τροχαλία έχει µάζα Μ που θεωρείται συγκεντρωµένη στην περιφέρειά της, το δε νήµα που περιβάλλει το αυλάκι της είναι αβαρές και µη εκτατό και επί πλέον δεν ολισθαίνει σ’ αυτό.

ΛYΣH: Υποθέτουµε ότι τα σώµατα Σ1 και Σ2 να ανέρχονται ως προς το ακίνη το έδαφος, µε επιταχύνσεις

�

! a

1 και

�

! a

2 αντιστοίχως. Tο σώµα Σ1 δέχεται το

βάρος του

�

2m! g και την τάση

�

!

T 1 του νήµατος που το συγκρατεί, οπότε σύµφω

να µε το δεύτερο νόµο κινήσεως του Nεύτωνα, για το σώµα αυτό θα ισχύει:

�

T1 - 2mg = 2ma1 !

�

T1 = 2mg + 2ma1 (1) Tο σώµα Σ2 δέχεται το βάρος του

�

m! g και την τάση

�

!

T 2 του νήµατος που το συγ

κρατεί, οπότε για το σώµα ο δεύτερος νόµος κινήσεως του Nεύτωνα δίνει:

�

T2 - mg = ma2

�

!

�

T2 = mg + ma2 (2)

Σχήµα 4 Εξετάζοντας την τροχαλία παρατηρούµε ότι αυτή εκτός από την άγνωστη κατα κόρυφη δύναµη

�

!

F δέχεται τις τάσεις

�

!

T '1,

�

!

T '2 του νήµατος που περιβάλλει το

αυλάκι της και το βάρος της

�

M! g . Οι ροπές των τάσεων του νήµατος περί τον

άξονα της τροχαλίας προσδίδουν σ’ αυτή περιστροφική κίνηση µε γωνιακή επιτάχυνση

�

! ! ' και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της περιστροφικής κινήσε

ως θα ισχύει:

�

T'1R -T'

2R = MR

2!'

�

!

�

T1-T

2= MR! ' (3)

Με βάση την φορά που δεχθήκαµε για την γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας, η εφαπτοµενική επιτάχυνση του σηµείου Α της τροχαλίας (σχήµα 4) έχει µέτρο aC+Rω’, όπου

�

! a

C η επιτάχυνση του κέντρου C της τροχαλίας. Όµως η εφαπτο

µενική επιτάχυνση του Α είναι ίση µε

�

! a

2 οπότε µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

a2= aC + R! '= g/2 + R! ' (4) Επίσης η εφαπτοµενική επιτάχυνση του σηµείου Β της τροχαλίας είναι ίση µε την επιτάχυνση

�

! a

1, οπότε θα ισχύει:

�

a1= aC - R! '= g/2 - R! ' (5)

Συνδυάζοντας την (1) µε την (4) και την (2) µε την (5) παίρνουµε τις σχέσεις:

�

T1 = 2mg + 2m(g/2 - R! ') = 3mg - 2mR!'

T2 = mg + m(g/2 + R! ') = 3mg/2 + mR! '

"

#

$

(6)

Συνδυάζοντας την (3) µε τις (6) παίρνουµε:

�

3mg - 2mR! '-(3mg/2 + mR! ') = MR! '

�

!

�

3mg/2 = (M + 3m)R! '

�

!

�

R! '= 3mg/2(M + 3m) (7) H (5) λόγω της (7) γράφεται:

�

a1=g

2-

3mg

2(M + 3m)=

M

M + 3m

!

" #

$

% &

g

2

H (4) λόγω της (7) δίνει:

�

a2=g

2+

3mg

2(M + 3m)=

M + 6m

M + 3m

!

" #

$

% &

g

2

P.M. fysikos

Στην διάταξη του σχήµατος (5) οι τροχαλίες τ1, τ2 έχουν την ίδια µάζα Μ, το δε νήµα που περιβάλλει τα αυλάκια τους είναι αβαρές, µη εκτατό και δεν ολισθαίνει σ’ αυτά. Τα σώµατα Σ1, Σ2 έχουν την ίδια µάζα m, ενώ µεταξύ του Σ2 και του οριζόντιου δαπέ δου δεν υπάρχει τριβή. Την στιγµή t=0 το σώµα Σ2 αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Να βρεθούν: i) η επιτάχυνση του σώµατος Σ1 και η τάση του νήµατος που έχει στε ρεωθεί στο σηµείο Α και ii) ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας της κινητής τροχαλί ας τ1, ύστερα από χρονο t* αφ’ ότου το σώµα Σ2 αφέθηκε ελεύθερο. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας και ότι η µάζα κάθε τροχαλίας

θεωρείται συγκεντωµένη στην περιφέρειά της. ΛΥΣΗ: i) Το σώµα Σ2 δέχεται το βάρος του

�

m! g την τάση

�

! T ' του οριζόντιου

νήµατος και την κατακόρυφη δύναµη επαφής από το λείο δάπεδο. Εάν

�

! a

2 εί

ναι η επιτάχυνση του Σ2, τότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύ τωνα θα ισχύει η σχέση:

�

T'= ma2 (1)

Το σύστηµα τροχαλία τ1-σωµα Σ1 δέχεται τα βάρη

�

M! g και

�

m! g της τροχαλίας

και του σώµατος αντιστοίχως και τις τάσεις

�

! T

1,

�

! T

2 των δύο κλάδων του νήµα

τος που περιβάλλει το αυλάκι της τροχαλίας. Υπό την επίδραση των ροπών των δύο αυτών τάσεων, περί τον άξονα της τροχαλίας, αυτή αποκτά περιστροφική κίνηση περί τον άξονα αυτόν και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφι κής κίνησης θα ισχύει η σχέση:

�

T1R - T

2R = MR

2!'

2

�

!

�

T1- T

2= MR! '

1 (2)

Σχήµα 5

όπου R η ακτίνα της τροχαλίας και

�

! ! '

1 η γωνιακή της επιτάχυνση. Eπειδή το

σηµείο Α είναι ακίνητο η εφαπτοµενική επιτάχυνση του σηµείου α της τροχα λίας τ1 είναι µηδενική και αυτό µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση:

�

0 = a1-!'

1R

�

!

�

a1

= !'1R (3)

όπου

�

! a

1 η επιτάχυνση του σώµατος Σ1 που αποτελεί και την µεταφορική επιτά

χυνση της τροχαλίας τ1. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε:

�

T1- T

2= Ma

1 (4)

Εξάλλου η τροχαλία τ2 υπό την επίδραση των ροπών των τάσεων του νήµατος που περιβάλλει το αυλάκι της αποκτά γωνιακή επιτάχυνση

�

! ! '

2 και σύµφωνα

µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει:

�

T2R - T'R = MR

2! '

2

�

!

�

T2- T'= MR! '

2 (5)

Όµως οι εφαπτοµενικές επιταχύνσεις των σηµείων β και γ των τροχαλιών τ1 και τ2 είναι ίσες, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

R! '2= a

1+ R! '

1

�

!

(3)

�

R! '2= a

1+ a

1= 2a

1 (6)

H σχέση (5) λόγω των (1) και (6) δίνει:

�

T2- ma

2= 2Ma

1

�

!

�

T2- 2ma

1= 2Ma

1

�

!

�

T2 = 2(M + m)a1 (7) διότι a2=2a1. Συνδυάζοντας ακόµη τις σχέσεις (4) και (6) παίρνουµε:

�

T1 - 2(M + m)a1 = Ma1

�

!

�

T1 = (3M + 2m)a1 (8) Tέλος εφαρµόζοντας για το σύστηµα σώµα Σ1-τροχαλία τ1 τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, παίρνουµε την σχέση:

�

(M + m)g - T1 - T2 = (M + m)a1

�

!

(7),(8)

�

(M + m)g - (3M + 2m)a1 - 2(M + m)a1 = (M + m)a1

�

!

�

(M + m)g = (6M + 5m)a1

�

!

�

a1 =(M + m)g

6M + 5m (9)

H σχέση (8) λόγω της (9) γράφεται:

�

T1 =(M + m)(3M + 2m)g

6M + 5m (10)

ii) Εάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος Σ1 µεταβάλλεται κατά dv1 (dv1→0), τότε η αντίστοιχη µεταβολή dK1 της κινητικής του ενέργειας είναι:

�

dK1 =m

2(v1 + dv1)

2-m

2v1

2=

m

2(v1

2+ 2v1dv1 + dv1

2- v1

2)

�

!

�

dK1 =m

2(2v1 + dv1)dv1 ! mv1dv1

�

!

�

dK1

dt= mv

1

dv1

dt= mv

1a

1 (11)

όπου η απειροστή ποσότητα dv1 θεωρήθηκε αµελητέα ως προς την 2v1. Στην σχέ ση (11) το πηλίκο dK1/dt αναφέρεται στην χρονική στιγµή t και εκφράζει τον ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώµατος την στιγµή αυτή, ενώ το πηλίκο dv1/dt εκφράζει το µέτρο της επιτάχυνσης

�

! a

1 του σώµατος. Η σχέση

(11) εφαρµοζόµενη την χρονική στιγµή t* γράφεται:

�

dK1

dt= ma

1t*a

1= ma

1

2t*

�

!

(9)

�

dK1

dt=

m(M + m)2g2

(6M + 5m)2t* (12)

P.M. fysikos

Mεταξύ ποίων τιµων πρέπει να περιέχεται η επιτά χυνση του οχήµατος (σχήµα 6), ώστε το σώµα Σ να παραµένει κολ ληµένο στο πίσω τοίχωµά του και οι τροχοί του να κυλίωνται χωρίς να ολισθαίνουν; Να δεχθείτε ότι σε όλες τις επαφές ο συντελεστής οριακής τριβής είναι n, η µάζα του σώµατος Σ είναι m, η µάζα κάθε τροχού είναι mΤ και η συνολική µάζα του οχήµατος είναι Μ. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας ΙT=mΤR

2/2 κάθε τροχού, ως προς τον άξονα περιστροφής του, όπου R η ακτίνα του τροχού. ΛΥΣΗ: Ας δεχθούµε ότι η επιτάχυνση

�

! a του οχήµατος επιτρέπει στο σώµα Σ

να είναι κολληµένο στο πίσω τοίχωµα του οχήµατος και επί πλέον οι τροχοί του να κυλίωνται χωρίς ολίσθηση. Στο σώµα ενεργεί το βάρος του

�

m! g και η

δύναµη από το τοίχωµα, που αναλύεται στην στατική τριβή

�

! T και στην κάθετη

αντίδραση

�

! N . Στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους το σώµα κατα την κατα

κόρυφη διεύθυνση έχει µηδενική επιτάχυνση, ενώ κατά την οριζόντια διεύ θυνση έχει επιτάχυνση

�

! a και εποµένως µπορούµε να γράψουµε την σχέσεις:

�

T = mg

N = ma

!

"

#

(1)

Σχήµα 6 Επειδή η τριβή

�

! T είναι στατική ισχύει η σχέση:

�

T ! nN

�

!

(1)

�

mg ! nma

�

!

�

a! g/n (2) Eξάλλου το σύστηµα όχηµα-σώµα δέχεται το βάρος του

�

(M + m)! g , τις δυνάµεις

επαφής από το έδαφος στους πίσω τροχούς του οχήµατος, που αναλύονται στις στατικές τριβές

�

! T

1 και στις κάθετες αντιδράσεις

�

! N

1 και τέλος τις δυνάµεις

επαφής του εδάφους στους µπροστινούς τροχούς, που αναλύονται στις στατικές τριβές

�

! T

2 και στις κάθετες αντιδράσεις

�

! N

2. Εφαρµόζοντας για κάθε πίσω τροχό

και κάθε µπροστινό τροχό τον θεµελιώδη νόµο της στροφική κίνησης, παίρνου µε τις σχέσεις;

�

T1R = (mTR2/2)!'

T2R = (mTR2/2)!'

"

#

$

�

!

�

T1 = (mTR/2)!'

T2 = (mTR/2)!'

"

#

$

�

!

�

T1

= mTa/2

T2

= mTa/2

!

"

#

(3)

όπου R η ακτίνα κάθε τροχού και

�

! ! ' η κοινή γωνιακή επιτάχυνση όλων των

τροχών του περί τους άξονες περιστροφής τους, της οποίας το µέτρο λόγω της

κυλίσεως τους χωρίς ολίσθηση ικανοποιεί την σχέση a=Rω’. Επειδή οι τριβές

�

! T

1,

�

! T

2 είναι στατικές ισχύουν οι σχέσεις:

�

T1! nN

1

T2! nN

2

"

#

$

�

!

(+ )

�

T1 + T2 ! n(N1 + N2) (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2), (4) παίρνουµε:

�

mTa/2 + mTa/2 ! n(N1 + N2)

�

!

�

mTa! n(N1 + N2) (5) Όµως το σύστηµα σώµα-όχηµα στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους δεν επιτα χύνεται κατά την κατακόρυφη διεύθυνση και αυτό µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση:

�

(M + m)g - 2N1 - 2N2 = 0

�

!

�

N1 + N2 = (M + m)g/2 (6) Η (5) λόγω της (6) γράφεται:

�

mTa! n(M + m)g/2

�

!

�

a! n(M + m)g/2mT (7) Aπό τις σχέσεις (2) και (7) προκύπτει:

�

g /n ! a! n(M + m)g/2mT (8) H σχέση (8) είναι αποδεκτή εφ’ όσον ισχύει:

�

g /n < n(M + m)g/2mT

�

!

�

n2> 2mT /(M + m)

P.M. fysikos

Μια λεπτή ράβδος µήκους L και µάζας m, αφήνε ται σε οριζόντια θέση και αφού µετατοπιστεί προς τα κάτω κατά H το ένα άκρο της αγγιστρώνεται σε σηµείο Ο, περί το οποίο αρχίζει να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο. i) Nα εκφράσετε το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου σε συ νάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατίζει µε την οριζόντια διεύθυνση. ii) Nα βρείτε την δύναµη που δέχεται η ράβδος από το άγγιστρο, την στιγµή που η γωνιακή της ταχύτητα παίρνει την µεγαλύτερη τιµή της. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=mL2/3

της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της και είναι κάθετος σ΄ αυτή. ΛΥΣΗ: i) Εάν

�

! v

0 είναι η µεταφορική ταχύτητα της ράβδου λίγο πριν αγγισ

τρωθεί το άκρο της στο σηµείο Ο, τότε συµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας θα ισχύει η σχέση:

�

mgH + 0 = 0 + mv0

2/2

�

!

�

v0 = 2gH (1) Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt→0) που διαρκεί η αγγίστρωση της ράβδου η ροπή της κρουστικής δύναµης που δέχεται στο άκρο της Ο, περί το σηµείο αυ τό, είναι µηδένική ενώ η αντίστοιχη ροπή του βάρους της ελάχιστα επηρεάζει την στροφορµή της περί το Ο, διότι η ποσότητα (mgL/2)Δt που εκφράζει την

Σχήµα 7 µεταβολή της στροφορµής που προκαλεί η ροπή αυτή τείνει στο µηδέν. Έτσι µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η στροφορµή της ράβδου περί το Ο, λίγο πριν την αγγίστρωσή της είναι ίση µε την αντίστοιχη στροφορµή της αµέσως µετά την αγγίστρωση, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

mL

2v

0=

mL2

3!

0

�

!

�

!0

=3v

0

2L

�

!

(1)

�

! 0 =3 2gH

2L (2)

όπου

�

! !

0 η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου κατά την έναρξη της περιστροφής

της. Εφάρµόζοντας στην συνέχεια το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέρ γειας για την ράβδο κατά τον χρόνο που αυτή µετατοπίζεται από την οριζόντια θέση OA0 στην θέση OA (σχήµα 7), όπου σχηµατίζει µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ παίρνουµε την σχέση:

�

0 +1

2

mL2

3

!

" #

$

% & ' 0

2 = -mgL(µ)

2+

1

2

mL2

3

!

" #

$

% & '

2

�

!

�

L! 0

2

3= -g"µ# +

L!2

3

�

!

�

!2 = ! 0

2 + 3g"µ#/L

�

!

(2)

�

!2 =

9gH

2L2+

3g"µ#

L

�

!

�

! =3g

L

3H

L+ "µ#

$

% &

'

( ) (3)

όπου

�

! ! η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου στην θέση ΟΑ.

ii) Aπό την σχέση (3) προκύπτει ότι η πιο µεγάλη τιµή που µπορεί να πάρει το µέτρο της

�

! ! αντιστοιχεί στην θέση φ=π/2, οπου η ράβδος είναι κατακόρυφη και

τότε θα έχουµε:

�

!max =3g

L

3H

L+1

"

# $

%

& ' (4)

Στην θέση αυτή το κέντρο µάζας C της ράβδου έχει µηδενική επιτρόχια επιτά χυνση, που σηµαίνει ότι στην θέση αυτή η ράβδος δεν δέχεται δυνάµεις κάθε τες στην ταχύτητα

�

! v

C του κέντρου µάζας, δηλαδή η δύναµή

�

! F

O από το άγγισ

τρο O έχει κατακόρυφη διεύθυνση (σχήµα 8) και µάζι µε το βάρος

�

m! g της ράβ

Σχήµα 8 δου διαµορφώνουν την απαραίτητη για το κέντρο µάζας κεντροµόλο δύναµη, δηλαδη µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

FO - mg =mvC

2

L/2

�

!

�

FO = mg +mvC

2

L/2= m g +

!max

2 L

2

"

# $

%

& '

�

!

(4)

�

FO = mg 1+3

2

3H

L+1

!

" #

$

% &

'

(

)

*

+

,

�

!

�

FO =mg

25 +

9H

L

!

" #

$

% &

P.M. fysikos

Λεπτό στεφάνι ακτίνας R, είναι κατασκευασµένο από µονωτικό υλικό και κυλίεται ισοταχώς πάνω σε οριζόντιο έδα φος. Mιά λεπτή µεταλλική ράβδος AΓ συνδέεται στέρεα µε το στεφά νι, ώστε να αποτελεί διάµετρο αυτού. Στον χώρο που κυλίεται το στε φάνι υπάρχει οµογενές µαγνητικό πεδίο, του οποίου οι δυναµικές γραµµές είναι κάθετες στο επίπεδο του στεφανιού, η δε έντασή του έχει µέτρο B. Eάν το µέτρο της ταχύτητας του κέντρου του στεφανιού είναι v, να βρεθεί η τάση από επαγωγή στις άκρες της µεταλλικής ράβδου, σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Να δεχθείτε ότι την χρονική στιγµή t=0 η ράβδος ΑΓ είναι κατακόρυφη. ΛYΣH: Στην διάρκεια της ισοταχούς κύλισης του στεφανιού, η µεταλλική ράβ δος AΓ εκτελεί επίπεδη κίνηση, η οποία αναλύεται σε µια µεταφορική κίνηση µε οριζόντια ταχύτητα

�

! v και σε µία οµαλή περιστροφική κίνηση περί οριζόντιο

άξονα, που διέρχεται από το κέντρο O του στεφανιού. Έτσι πάνω στην µεταλ λική ράβδο δηµιουργούνται δύο επαγωγικές ηλεκτρεγερτικές δυνάµεις Eµ και Eπ , από τις οποίες η Eµ οφείλεται στην µεταφορική κίνηση της ράβδου, ενώ η Eπ οφείλεται στην περιστροφική της κίνηση. Άρα η ολική επαγωγική H.E.Δ. που αναπτύσσεται πάνω στην ράβδο κάθε στιγµή είναι: Eολ = Eµ + Eπ (1)

Λόγω της περιστροφής της µεταλλικής ράβδου ΑΓ, αναπτύσσονται πάνω στα τµήµατα OA και OΓ αυτής επαγωγικές H.E.Δ. µε πολικότητα που φαίνεται στο σχήµα (9), των οποίων οι τιµές κατά µια οποιαδήποτε χρονική στιγµή t, δίνον ται από τις σχέσεις:

E

!"

OA=

d#1

dt=

BdS1

dt και

E

!"

O#=

d$2

dt=

BdS2

dt (2)

Σχήµα 9 Σχήµα 10 όπου dΦ1, dΦ2 οι στοιχειώδεις µαγνητικές ροές που διέρχονται µέσα από τα στοιχειώδη εµβαδά dS1, dS2 των κυκλικών τοµέων, που σαρώνουν τα τµήµατα OA και OΓ αντιστοίχως στον στοιχειώδη χρόνο dt, o οποίος θεωρείται µετά από την χρονική στιγµή t. Όµως για τα εµβαδά dS1 και dS2 ισχύουν οι σχέσεις:

dS1 =

1

2(AA')(OA) =

1

2(OA)d! (OA) =

1

2OA( )

2

d! (3)

dS2 =

1

2(!!')(O!) =

1

2(O!)d" (O!) =

1

2O!( )

2

d" (4)

όπου dθ η γωνία στροφής του αγωγού στον χρόνο dt, µετρούµενη σε rad και OA= OΓ=R. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2), (3) και (4), παίρνουµε:

�

E!"

OA= E

!"

OA=

BR2

2

d#

dt

!

" #

$

% & =

BR2'

2 (5)

όπου το πηλίκο dθ/dt αποτελεί το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας

�

! ! περιστρο

φής της ράβδου κατά την χρονική στιγµή t. Η πολικότητα των

�

E!"

OA και

�

E!"

O! σε συνδυασµό µε τις σχέσεις (4) µας επιτρέπει να ισχυριστούµε ότι Eπ=0, οπότε η σχέση (1) γράφεται: Eολ = Eµ (6) Eξάλλου, για να υπολογίσουµε την Eµ αναλύουµε την σταθερή ταχύτητα

�

! v της

µεταφορικής κίνησης σε δύο ορθογώνιες συνιστώσες

�

! v

1 και

�

! v

2, από τις οποίες

η

�

! v

1 έχει την διεύθυνση της ράβδου, ενώ η

�

! v

2 είναι κάθετη στην ράβδο. H συνι

στώσα

�

! v

1 δεν συµβάλλει στην δηµιουργία της Eµ, διότι εξ αιτίας αυτής τα ελεύ

θερα ηλεκτρόνια της ράβδου δέχονται δυνάµεις Laplace, που τα ωθούν στα

πλευρικά της τοιχώµατα, ενώ η συνιστώσα

�

! v

2 δηµιουργεί την Eµ και ισχύει η

σχέση: Eµ = B(AΓ)v2 ! Eµ = 2RBvσυνφ (7) όπου φ η γωνία στροφής της ράβδου AΓ σε χρόνο t, ίση µε ωt. Όµως λόγω της κύλισης του στεφανιού ισχύει η σχέση v=ωR, οπότε η (3) παίρνει την µορφή:

�

Eµ = 2RBv!"#$t = 2RBv!"#(vt/R)

�

!

(6)

�

E!"

= 2RBv#$%(vt/R) (8)

Όµως η ράβδος AΓ αποτελεί ανοικτό κύκλωµα και εποµένως η επαγωγική τάση VA,Γ στις άκρες της A και Γ είναι ίση µε την Eολ, δηλαδή ισχύει:

VA,Γ = Eολ !(4)

�

VA,!= 2RBv!"#(vt/R) (9) H (9) δηλώνει ότι κατα την ισοταχή κύλιση του στεφανιού η ηλεκτρική τάση στις άκρες της ράβδου είναι αρµονικά εναλλασσόµενη.

P.M. fysikos