Е.В. Полицинский

Электричество и электромагнетизм.

Краткий курс лекций

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ЮРГИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Е.В. Полицинский

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Рекомендовано в качестве курса лекций Научно-методическим советом

Юргинского технологического института (филиала) Томского политехнического университета

Издательство

Томского политехнического университета 2009

2

УДК 537 (075) ББК 22.33 я73

П 50 Полицинский Е.В.

П 50 Электричество и электромагнетизм: курс лекций / Е.В. Полицинский. – Томск: Изд-во Томского политехничес- кого университета, 2009. – 134 с.

Данный курс посвящен одному из основных разделов общей физи-

ки – «Электричество и электромагнетизм». Представленные в конспек-тивной форме материалы, включают все основные вопросы по данному разделу в соответствии с программой курса физики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Краткое, сжа-тое изложение материала с большим количеством иллюстраций, без по-тери глубины содержания основных законов и понятий позволяет ис-пользовать это пособие как непосредственно на лекциях, так и в процес-се самостоятельной подготовки студентов к сдаче зачётов и экзаменов, повторения, обобщения и систематизации пройденного материала.

Пособие адресовано студентам всех специальностей технического вуза.

УДК 537 (075) ББК 22.33 я73

Рецензенты

Кандидат физико-математических наук, доцент ЮТИ ТПУ Е.П. Теслева

Кандидат педагогических наук, доцент ЮТИ ТПУ

В.Ф. Торосян

© Полицинский Е.В., 2009 © Юргинский технологический институт (филиал) Томского политехнического университета, 2009 © Оформление. Издательство Томского

политехнического университета, 2009

3

Оглавление

Введение

1. Электростатика

2. Постоянный электрический ток

3. Электрический ток в различных средах

4. Магнитное поле

5. Явление электромагнитной индукции

6. Магнитные свойства вещества

7. Элементы теории Максвелла для электромагнитного поля

Приложение

Список литературы

4

5

39

49

56

76

90

108

116

133

4

Введение

Физика имеет фундаментальное значение для теории познания, формирования научного мировоззрения, понимания строения и свойств окружающего нас мира. Она оказывает существенное влияние на другие науки и различные области техники. Поэтому её изучение формирует основу профессиональной подготовки будущих инженеров.

Данное пособие посвящено одному из основных разделов курса общей физики – «Электричество и электромагнетизм», включает все ос-новные вопросы по данному разделу, соответствует программе курса физики инженерно-технических специальностей высших учебных заве-дений и предназначено для студентов вузов как дневной, вечерней, так и заочной формы обучения.

Предлагаемый курс лекций представлен в конспективном виде с применением аппарата высшей математики, не выходящим за пределы табличных формул производных и интегралов. Выводы некоторых фи-зических закономерностей даются в упрощённом виде или носят каче-ственный характер. В данном пособии материал представлен в сжатом, компактном виде с использованием пояснительных рисунков, схем, таблиц (что способствует обобщению и систематизации учебного мате-риала), без потери глубины содержания основных законов и понятий, сохранением логической связи между рассматриваемыми физическими явлениями и понятиями. Поэтому его можно использовать не только на лекциях (что существенно экономит время, позволяет при необходимо-сти обратиться к уже изученному ранее) и практических занятиях по решению физических задач, но и в процессе самостоятельной работы при подготовке к экзаменам и зачётам.

5

1. Электростатика

Электростатика – раздел электродинамики, посвящённый изуче-нию покоящихся электрических зарядов.

Самое простое явление, в котором обнаруживается факт сущест-вования и взаимодействия электрических зарядов, – это электризация тел при соприкосновении. Возьмем две полоски бумаги и проведем по ним несколько раз пластмассовой ручкой. Если взять ручку и полоску бумаги и начать их сближать, то бумажная полоска начнет изгибаться в сторону ручки, т. е. между ними возникают силы притяжения. Если взять две полоски и начать их сближать, то полоски начнут изгибаться в разные стороны, т. е. между ними возникают силы отталкивания. Если потереть друг о друга пласт-массовую палочку и шерстянуюткань или стеклянную палочку ишёлковую ткань, то они начинаютпритягивать к себе мелкие кусочкибумаги или другие легкие предметы.

Наэлектризованное тело способ-но притягивать к себе даже тон-кие струйки жидкости (рис. 2)!

Электрический заряд и его свойства Электрический заряд – физическая величина, характеризующая способность тел или частиц к электромагнитным взаимодействиям.

1 Кл = 1А·с. 1 кулон – электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А за время 1 с.

В природе существуют частицы с электрическими зарядами про-тивоположных знаков. Элементарный электрический заряд (впервые измерен в 1909 г. Милликеном): е = 1,6·10-19 Кл. Носителями элементар-ного электрического заряда являются электрон (носитель элементарного отрицательного заряда (mе = 9,11·10-31 кг) и протон (носитель элемен-тарного положительного заряда mр = 1,67·10-27 кг).

Рис. 2. Наэлектризованное тело притягивает к себе тонкую струйку жидкости

Рис. 1. Притяжение к наэлек-тризованным палочкам мелких

кусочков бумаги

6

Фундаментальные свойства электрических зарядов

1. Существуют в двух видах: положительный и отрицательный. Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые – притяги-ваются.

2. Электрический заряд инвариантен (его величина не зависит от системы отсчёта, т.е. не зависит от того, движется он или поко-ится).

3. Электрический заряд дискретен, т.е. заряд любого тела состав-ляет целое кратное элементарного электрического заряда е: q=N·e.

4. Электрический заряд аддитивен (заряд любой системы тел (час-тиц) равен сумме зарядов тел (частиц), входящих в систему).

5. Электрический заряд подчиняется закону сохранения заряда. Заряд не является самостоятельной сущностью, не зависимой от мате-рии, он – одно из свойств материи.

Закон сохранения электрического заряда (1843 г., М. Фарадей)

В изолированной (замкнутой) системе алгебраическая сумма зарядов всех частиц остаётся постоянной: q1+q2+q3+q4+…..qn = const. Замкнутая (изолированная) система – система, не обменивающаяся зарядами с внешними телами.

Электрические частицы могут рождаться и исчезать, давая жизнь новым частицам. Однако во всех случаях заряженные частицы рожда-ются только парами с одинаковыми по величине и противоположными по знаку зарядами. Исчезают заряженные частицы, превращаясь в ней-тральные, тоже только парами. Во всех случаях сумма зарядов изолиро-ванной системы остаётся одной и той же.

Закон Кулона

Основной закон электростатики – закон взаимодействия двух не-подвижных точечных зарядов, экспериментально установленный фран-цузским физиком Ш. Кулоном в 1785 г.

Точечный заряд (физическая абстракция так же, как и матери-альная точка) – заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры ко-торого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других за-ряженных тел, с которыми он взаимодействует.

Для определения силы взаимодействия двух зарядов Кулон ис-пользовал крутильные весы – установку, состоящую из стеклянной па-

7

лочки, подвешенной на тонкой упругой проволоке и помещённой в стеклянный цилиндрический сосуд (рис. 3).

Опытным путём Кулоном было установлено, что если заряд вно-симого шарика увеличивать в n раз, оставляя заряд шарика, закреплён-ного на стеклянной палочке, постоянным, то сила их взаимодействия увеличивается в n раз. Если расстояние между шариками увеличивать в n раз, то сила их взаимодействия уменьшится в n2 раз. Таким образом, сила взаимодействия между двумя неподвижными точечными за-рядами, пропорциональна произведению зарядов и обратно про-порциональна квадрату расстояния между ними.

1 2 1 22 2

04Q Q Q Q

F kr rε π ε ε⋅ ⋅

= ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

. (1)

Здесь 2

92

0

1 9 104

н мkКлπ ε⋅

= = ⋅⋅ ⋅

, ε0=8,85·10-12Ф/м – электрическая постоян-

ная; ε – диэлектрическая проницаемость среды (табличная величина); 0F

Fε = – физическая величина, характеризующая электрические свойства

вещества и показывающая, во сколько раз сила взаимодействия зарядов в данной среде меньше силы их взаимодействия в вакууме. В вектор-

ном виде 1.2 2.11 2 1 21.2 2.12 2

0 0

1 1;4 4

r rQ Q Q QF Fr r r rπ ε π ε⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

uur uuruuur uuur

. (2)

1.2Fuuur

– сила, действующая на заряд Q1 со стороны заряда Q2; 1.2ruur

– радиус-вектор, соединяющий заряд Q2 с зарядом Q1; r = 1.2r

uur; 2.1Fuuur

– сила, дейст-

вующая на заряд Q2 со стороны заряда Q1; 2.1ruur

– радиус-вектор, соеди-няющий заряд Q1 с зарядом Q2 2.1 1.2r r= −

uur uur.

На одном конце палочки находится маленький металлический шарик, а на дру-гом – противовес. Верхний конец нити при-креплён к шкале с делениями. С помощью этой шкалы определяют угол закручивания нити. Через отверстие в крышке сосуда вво-дят другой такой же шарик. Если шарикам сообщён заряд, то они взаимодействуют ме-жду собой. О силе взаимодействия судят по углу закручивания нити.

Рис. 3. Устройство крутильных весов

8

Кулоновские силы действуют вдоль прямой, соединяющей эти те-ла (подобные силы называют центральными) в соответствии с третьим законом Ньютона: 1.2 2.1F F=

uuur uuur. В случае одноимённых зарядов (F>0) – от-

талкивание; в случае разноимённых зарядов (F<0) – притяжение. Если заряд равномерно распределён на нити, поверхности тела

или объёме тела, то удобно ввести характеристику, которая называется плотностью заряда.

Линейная плотность заряда (τ) – физическая величина численно равная заряду, находящемуся на единице длины нити:

ql

τ = (3); [ ] 1Клм

τ .

Поверхностная плотность заряда (σ ) – физическая величина численно равная заряду, распределённому на единице площади поверх-ности:

qS

σ = (4); [ ] 21Клм

σ .

Объёмная плотность заряда ( ρ ) – физическая величина числен-но равная заряду, заключённому в единице объёма тела:

qV

ρ = (5); [ ] 21Клм

ρ .

Очевидно, что если известна плотность заряда, то можно найти величину заряда, находящегося на нити, поверхности тела или в его объёме.

Силовое поле, посредством которого взаимодействуют электриче-ские заряды, называется электрическим полем.

Неподвижный электрический заряд создаёт в окружающем про-странстве электростатическое поле. Электростатическое поле описыва-ется двумя основными характеристиками: напряжённость и потенциал поля.

Напряжённость электростатического поля – физическая вели-чина, численно равная силе, действующей на единичный, положитель-ный, пробный заряд, помещённый в данную точку поля.

0

FЕq

=ur

ur (6); [ ] 1 1н ВE

Кл м= .

Напряжённость – это силовая, векторная характеристика поля. Направление E

ur (как следует из (6)) совпадает с направлением силы,

действующей на положительный заряд, помещённый в ту же точку по-ля, направление вектора E

ur в которой нужно определить (рис. 4).

9

Поле точечного заряда

Величину напряжённости поля точечного заряда можно получить, использую закон Кулона:

02 2

0 0

k q qF qЕ kq r q r

⋅ ⋅= = = ⋅

⋅, (7)

где 0q – величина пробного электрического заряда. Из (7) ⇒ , что на-пряжённость поля, создаваемого точечным электрическим зарядом в ва-кууме, не зависит от величины пробного заряда.

Поле протяжённого заряженного тела

При расчете электрического поля, создаваемого протяженным за-

ряженным телом, необходимо записать формулу (7) в дифференциаль-ной форме

dE =r

п

14 р е⋅ ⋅

2 rdQ er

⋅r

, (8)

где заряд dQ можно выразить через объемную ρ, поверхностную σ или линейную τ плотности зарядов: dQ = ρ·dV, dQ = σ·dS, dQ = τ·dl. Тогда определение результирующего поля сводится к интегрированию:

• по объему V для объемно заряженных тел:

п

14 р е

E =⋅ ⋅

r2с

rV

e dVr

⋅ ⋅∫r ; (9)

• по поверхности S для поверхностно заряженных тел:

п

14 р е

E =⋅ ⋅

r2у

rS

e dSr

⋅ ⋅∫r ; (10)

• по линии L для линейно заряженных тел:

1

2

3

1Euur

2Euur

3Euur

1

2

3

1Euur

2Euur

3Euur

Рис. 4. Напряжённость в точках (1,2,3), созданая полем положи-

тельного (слева) и отрицательного (справа) зарядов

10

п

14 р е

E =⋅ ⋅

r2ф

rL

e dlr

⋅ ⋅∫r . (11)

Электрические поля графически изображаются с помощью сило-вых линий и эквипотенциальных поверхностей.

Силовая линия – это линия, касательная к которой в каждой точке поля совпадает с вектором напряжённости поля в этой точке. Примеры показаны на рис. 5 и 6.

Свойства силовых линий

1. Силовые линии начинаются на положительных зарядах и закан-чиваются на отрицательных или в бесконечности.

2. Силовые линии не пересекаются. 3. Густота силовых линий связана с величиной напряжённости по-

ля, а именно: чем больше модуль Eur

, тем гуще силовые линии. Однородное электрическое поле – это поле, напряжённость кото-

рого во всех точках одинакова (рис. 7). Поле, которое не удовлетворяет этому условию, является неоднородным. В частности на рис. 8 показано поле, убывающее в плоскости «снизу–вверх».

Для кулоновской силы справедлив принцип суперпозиции, со-гласно которому результирующая сила, действующая на точечный за-ряд, равна векторной сумме сил, действующих на этот заряд со стороны других зарядов:

1 2 31

...N

N ii

F F F F F F=

= + + + + =∑r r r r r r

. (12)

Рис. 5. Силовые линии поля положительного (слева) и отрицательного (справа) зарядов

Рис. 6. Картины линий напряженности от систем из двух зарядов: а) + Q и + Q; б) – Q и + Q (диполь); в) +2Q и – Q

11

Соответственно принцип суперпозиции для напряженности в неко-

торой точке можно сформулировать так: Если электростатическое поле создано несколькими (N) точеч-

ными зарядами, то его напряжённость в любой точке поля равна геометрической сумме напряжённостей полей, созданных каждым из зарядов в отдельности.

1 2 31

...N

N ii

E E E E E E=

= + + + + =∑r r r r r r

, (13)

где iEr

– напряженность поля, создаваемая зарядом с номером i. Пример (рис. 9).

Возможные варианты применения принципа – расчёт электриче-

ского поля любой системы неподвижных зарядов.

Электрический диполь

Электрический диполь – это система двух равных по модулю раз-ноименных точечных зарядов (+Q, -Q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Плечо

Eur

Рис. 7. Условное изображение однородного поля

Eur

Рис. 8. Изображение поля, убываю-щего в плоскости «снизу–вверх»

q2

q3

q1

А

1Euur

2Euur

3Euur

23Euuur

AEuur

Рис. 9. К принципу суперпозиции полей

Из принципа суперпози-ции полей вытекает, что электростатические поля не взаимодействуют друг с другом. Есть взаимодействие: ПОЛЕ – ЗАРЯД, но нет взаимодействия ПОЛЕ – ПОЛЕ.

12

диполя – вектор lr

, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный по модулю расстоянию между ними.

p Q l= ⋅ur r

. (14) Расчёт поля диполя в произвольной точке производится согласно

принципу суперпозиции E E E+ −= +ur ur ur

, где E+

ur и E−

ur – напряжённости по-

лей, создаваемых, соответственно, положительным и отрицательным зарядами.

Напряжённость поля на продолжении оси диполя в точке А

Напряжённость поля диполя в точке А направлена вдоль оси ди-поля и, согласно принципу суперпозиции, по модулю равна: E E E+ −= − :

(рис. 11); 2 2

2 2 2 20 0

1 ( / 2) ( / 2)4 ( / 2) ( / 2) 4 ( / 2) ( / 2)A

Q Q Q r l r lEr l r l r l r lπ ε π ε

⎡ ⎤ + + −= ⋅ − = ⋅⎢ ⎥⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ +⎣ ⎦

.

Согласно определению диполя l/2 r (на рисунке 11 для наглядности масштаб не выдержан), поэтому 3 3

0 0

1 2 1 24 4A

Q l pEr rπ ε π ε⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

.

Напряжённость поля на перпендикуляре, восстановленном к оси

диполя из его середины (рис.12).

2 2 2 2 20 0

1 1 , , ,4 / 4 4 ( / 2)

BB

E EQ Q l lE E Er l r E r rr lπ ε π ε

++ −

+

= = ⋅ ≈ ⋅ = ≈ =⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

3 30 0

1 14 4B

Q l pEr rπ ε π ε⋅

= ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

.

Q Q lr

pur

Рис. 10. Электрический диполь

Электрический момент диполя – вектор p

ur, совпадающий по направлению

с плечом диполя и равный произведению модуля заряда на плечо (рис. 10).

13

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса

Потоком вектора напряженности электрического поля через

элементарную площадку dS называется произведение модуля вектора напряженности E

ur на площадь элементарной поверхности и на косинус

угла между нормалью к поверхности nr

и направлением вектораEur

(рис. 13):

cos (15)dФ E dS α= ⋅ .

Для замкнутых поверхностей за положительное направление нор-

мали принимается внешняя нормаль, т.е. нормаль, направленная наружу области, охватываемой поверхностью. Поток вектора E

ur – величина ска-

лярная. Единица потока вектора напряжённости 1В·м.

О l

r

A E−

ur

AE

E+

ur

ur

Оl r

B

E−

ur

E+

ur

BEur

Рис. 11. К определению напряжённости на оси диполя

Рис. 12. К определению напряжённости поля на перпендикуляре, восстановленном к оси ди-

поля из его середины

Eur

nr

/ 2α π<

0Ф >

S

Рис. 13. Линии напряженности нормаль к площадке dS и угол α

Для произвольной замкну-той поверхности S поток вектора E

ur через эту поверх-

ность равен: (16)n

S

Ф E dS= ∫ ,

где интеграл берется по замкнутой поверхности S; En – проекция вектораE

ur на

нормаль к площадке dS, cosnE E α= ⋅ .

14

1 вольт-метр равен потоку напряжённости сквозь поверхность площадью 1м2, перпендикулярно линиям напряжённости электростати-ческого поля напряжённостью 1 В/м.

Теорема Гаусса

Теорема Гаусса формулируется следующим образом. Поток вектора напряженности электрического поля через

замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме за-рядов, заключенных внутри поверхности, деленной на электриче-

скую постоянную: 1

0

(17)

n

ii

nS

QФ E dS

ε== =∑

∫ .

Для доказательства рассмотрим замкнутую поверхность в виде сферы радиуса r, в центр которой помещен точечный заряд q (рис. 14).

Рис. 14. Замкнутая поверхность, в центр которой помещён точечный заряд

Напряженность электрического поля, созданного точечным заря-

дом в вакууме, вычисляется по формуле при ε = 1: 204

qErπ ε

=⋅ ⋅ ⋅

.

Для сферы r = const, следовательно E=const, а также En= E, так как α = 0. Поток вектораE

ur в этом случае равен:

2 20 04 4n

S S S

q qФ E dS dS dSr rπ ε π ε

= = ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ .

15

ИнтегралS

dS∫ равен площади сферы: 24S

dS S rπ= = ⋅ ⋅∫ .

Тогда поток вектора Eur

равен: 22

0 0

44

q qФ rr

ππ ε ε

= ⋅ ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅

.

Таким образом, теорема доказана. Напомним, что поток пропорционален числу силовых линий, про-

низывающих замкнутую поверхность. Если замкнутая поверхность от-личается от сферы (см. рис. 14, пунктирная линия), то поток вектора Eurне изменится, так как не изменяется число силовых линий, пронизы-

вающих эту поверхность. Если внутри замкнутой поверхности находится не один заряд, а

несколько, то результирующая напряженность электрического поля на-ходится по принципу суперпозиции. Тогда потоки и заряды складыва-ются алгебраически, т. е. с учетом знаков и теорема Гаусса и формула (17) оказывается справедливой.

В случае непрерывного распределения зарядов теорему Гаусса

можно записать так: 1

0 0

1

n

ii

nS S V

QEd S E dS dVρ

ε ε== = = ⋅∑

∫ ∫ ∫ur ur

, (18)

где ρ – объёмная плотность заряда. Основные затруднения при использовании теоремы Гаусса связаны

с выбором замкнутой поверхности S. Чтобы их избежать, необходимо придерживаться следующих рекомендаций:

1. Из соображений симметрии определяется направление вектора Er

в пространстве, окружающем заряженное тело.

2. Точка, в которой определяется вектор напряженности, должна принадлежать замкнутой поверхности интегрирования S.

3. Поверхность S выбирают симметричной расположению зарядов, а ее составные части (Si) должны быть либо перпендикулярные, либо ка-сательные к вектору напряженности (Sj).

В этом случае поток вектора напряженности через замкнутую по-верхность можно представить как сумму поверхностных интегралов

cosб cosб

i j

i i j ji jS S S

E dS E dS E dS⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∑ ∑∫ ∫ ∫rr

,

здесь вторая сумма равна нулю (б р 2j = , cosб 0j = ), а первая – преоб-

разуется к виду cosбi i ii

E S⋅∑ , где б 0 или рi = .

16

Применение теоремы Гаусса к расчёту полей в вакууме

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной

плотностью σ. Линии напряжённости перпендикулярны рассматривае-мой плоскости и направлены от неё в обе стороны. В качестве замкну-той поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого па-раллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей (рис. 15).

Полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его ос-

нования (площади оснований равны, и для основания Еn = Е), т. е. равен 2·E·S. Согласно теореме Гаусса

0

2 SE S σε⋅

⋅ ⋅ = , откуда02

E σε

=⋅

(19).

2. Поле двух бесконечных параллельных разноимённо заряженных плоскостей.

Плоскости заряжены с поверхностной плотностью +σ и –σ. Поле этих плоскостей находится как суперпозиция полей, создаваемых каж-

дой плоскостью 0

E σε

= . На рис. 16 верхние стрелки соответствуют по-

лю положительно заряженной плоскости, нижние – отрицательно заря-женной. Слева и справа от плоскости Е = 0 (поля вычитаются, линии вектора E

ur направлены навстречу друг другу). В области между плоско-

стями Е = Е++Е-, т. е. 0

E σε

= . (20)

σ

SEur

Eur

Рис. 15. Плоскость с поверхностной плотностью заряда σ

17

3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности Сферическая поверхность радиусом R с общим зарядом Q заря-

жена равномерно с поверхностной плотностью σ.

20

|

1 ( ),4

0 ( ).

QE r Rr

E r R

π ε= ⋅ ≥

⋅ ⋅

= <

(21)

Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому ли-нии напряжённости направлены радиально (рис. 17, а).

Построим мысленно сферу радиусом r, имеющую общий центр с

заряженной сферой. Если r > R, то внутрь поверхности попадает весь

+σ -σ

E+

ur

E−

ur

E+

ur

E−

ur

02E σ

ε+ = ⋅

02E σ

ε− = ⋅

Рис. 16. Две разноимённо заряженные плоскости

Рис. 17,а. Линии напряжённости сферической поверхности

0

E

r = R r

2

1r

R r|

r

r|

σ

Рис. 17,б. График зависимости E(r) для сферической заряженной поверхности

18

заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и по теореме Гаусса 2

0

4 Qr Eπε

⋅ ⋅ ⋅ = , откуда: 20

1 ( ).4

QE r Rrπ ε

= ⋅ ≥⋅ ⋅

При r > R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как и у точечного заряда. График зависимости E от r приведён на рис. 17, б.

Если r| < R, то замкнутая поверхность не содержит внутри равно-мерно заряженной сферической поверхности Е = 0.

4. Поле объёмно заряженного шара. Шар радиусом R с общим зарядом Q (рис. 18, а) заряжен равно-

мерно с объёмной плотностью ρ.

2

0

| |2

0

1 ( ), (22)4

1 ( ).4

QE r RrQE r r RR

π ε

π ε

= ⋅ ≥⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ≤⋅ ⋅

Из соображений симметрии следует, что для напряжённости поля вне шара получится тот же результат, что и в случае сферической по-верхности:

20

1 ( )4

QE r Rrπ ε

= ⋅ ≥⋅ ⋅

.

Внутри шара напряжённость другая. Сфера радиусом r| < R охва-тывает заряд: | |34

3Q rπ ρ= ⋅ ⋅ ⋅ . Поэтому, согласно теореме Гаусса,

R r|

r

r|

E

0 r = R r

2

1r

Рис. 18, б. График зависимости E (r)

ρ>0

r

Рис. 18, а. Шар радиусом R с общим зарядом Q, заряженный равномерно с

объёмной плотностью ρ

19

||2 |3

0 0

443

Qr E r ρπ πε ε

⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ . Учитывая, что 34

3

Q

Rρ

π=

⋅ ⋅, получаем

| |2

0

1 ( )4

QE r r RRπ ε

= ⋅ ⋅ ≤⋅ ⋅

.

График зависимости Е(r) приведён на рисунке 18, б.

5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра. Бесконечный цилиндр радиусом R заряжен равномерно с линей-

ной плотностью τ. Из соображений симметрии следует, что линии на-пряжённости будут направлены по радиусам круговых сечений цилинд-ра с одинаковой густотой во все стороны относительно цилиндра (рис. 19).

Если r < R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0.

Работа по перемещению заряда в электрическом поле

Покажем, что электростатическое поле является потенциальным, а

кулоновские силы – консервативными. Для этого рассчитаем работу, совершаемую электростатическим

полем положительного точечного заряда q, по перемещению другого

l R

Eur

Рис. 19. Бесконечный цилиндр радиусом R, заряженный равномерно с линейной

плотностью τ

В качестве замкнутой поверхности мысленно по-строим коаксиальный заря-женный цилиндр радиусом r и высотой l. Поток вектора Eur

сквозь торцы цилиндра равен нулю (торцы парал-лельны линиям напряжён-ности), а сквозь боковую поверхность – 2·π·l·E. По теореме Гаусса при r > R имеем:

0

2 lr l E τπε⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ,

откуда 0

12

Erτ

π ε= ⋅

⋅ ⋅ (23).

r

20

положительного точечного заряда q0 из точки 1 в точку 2 (рис. 20). В процессе перемещения заряда q0 сила взаимодействия между зарядами будет изменяться, так как она зависит от расстояния между зарядами:

02

04q qF

rπ ε ε⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

.

Элементарную работу найдем по формуле: cosdA F dl α= ⋅ ⋅ . Уч-тем, что cosdl drα⋅ = (рис. 20).

Найдём работу переменной силы:

2

1

0 0 01 2 2

0 0 1 0 24 4 4

r

r

q q q q q qA drr r rπ ε ε π ε ε π ε ε→

⋅ ⋅ ⋅= = −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ . (24)

В этой формуле приняли, что при r →∞ потенциальная энергия U = 0. Из формулы (24) видно, что работа не зависит от формы траектории и определяется только начальным и конечным положением пробного заряда. Следовательно, электростатическое поле является потенциаль-ным, и в нем действуют консервативные силы, работа которых равна убыли потенциальной энергии. Тогда

1 21 2 p pA W W→ = − (25).

Элементарная работа сил поля по перенесению единичного заряда на пути dl: lEdl E dl=

ur r.

Циркуляция вектора Eur

: lL L

Edl E dl=∫ ∫ur r

.

1 2

Fur

dr α

dluur

+q0

r1

r

r2

+q

Рис. 20. К расчёту работы перемещения заряда в электрическом поле

21

Интегрирование производится по любому замкнутому пути L.

Теорема о циркуляции вектораEur

0lL L

Edl E dl= =∫ ∫ur r

. (26)

Равенство нулю означает, что электрическое поле потенциально. Фор-мула (26) справедлива только для электростатического поля.

Потенциальная энергия заряда q0 в поле заряда q на расстоянии r от него:

0

0

14

q qUrπ ε⋅

= ⋅⋅ ⋅

. (27)

Потенциальная энергия заряда q0 в поле, создаваемом системой n точечных зарядов равна сумме потенциальных энергий, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

01 1 04

n ni

ii i i

qU U qrπ ε= =

= = ⋅⋅ ⋅ ⋅∑ ∑ . (28)

Потенциал электростатического поля

Потенциал электростатического поля – это энергетическая, ска-

лярная характеристика поля. Потенциалом называется физическая величина, равная отноше-

нию потенциальной энергии, которой обладает единичный, положи-тельный пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда:

0

пUq

ϕ = . (29)

Единица потенциала 1 В = 1 Дж/Кл. 1 вольт – потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж. Потенциал поля точечного заряда q выражается формулой:

04q qkr r

ϕπ ε

= ⋅ =⋅ ⋅ ⋅

, при ε = 1. (30)

Здесь r – расстояние от данной точки до заряда q, создающего поля;

22

ε0= 8,85·10-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Из (2) ⇒ 1 ; 0rr

ϕ ϕ→∞ = .

Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей

Если поле создано несколькими зарядами, то потенциал поля сис-темы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

1 2 301 1

1ц ц ц ц ц ц4 р е

N Ni

N iii i

qr= =

= + + + + = = ⋅⋅ ⋅∑ ∑K . (31)

Принцип суперпозиции для электрического поля позволяет сумми-ровать потенциалы φi, создаваемые i-ми зарядами или интегрировать потенциалы элементарных зарядов dQ от элементов объема dV, площа-ди dS или длины dl:

– для тела, заряженного по объему V п

1 сц4ре V

dVr

= ⋅ ⋅∫ ; (32)

– для тела, заряженного по поверхности S п

1 уц4ре S

dSr

= ⋅ ⋅∫ ; (33)

– для тела заряженного по линии L п

1 фц4ре L

dlr

= ⋅ ⋅∫ . (34)

Работа сил электростатического поля при перемещении заря-да q0 из точки 1 в точку 2 равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках: 12 1 2 0 1 2 0( ) ( )п пA U U q qϕ ϕ ϕ= − = ⋅ − = ⋅ −Δ . (35)

Если 1 2ϕ ϕ> и перемещаемый заряд положителен, то работа со-вершается силами поля. Перемещение заряда в обратном направлении возможно только под действием сил неэлектрического происхождения. Если заряд в электростатическом поле перемещается по замкнутому контуру, то работа, совершаемая полем по перемещению заряда, равна нулю. Такое поле называют потенциальным, а силы, в нём действую-щие, консервативными силами.

Разность потенциалов (φ1 – φ2) равна напряжению U: 1 2U ϕ ϕ ϕ= − = −Δ .

Тогда работа по перемещению заряда в электрическом поле равна: A q U= ⋅ . (36)

Разность потенциалов определяется работой, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

23

2 2

1 21 1

lEdl E dlϕ ϕ− = =∫ ∫ur r

.

Работа сил поля при перемещении заряда q0 из точки 1 в точку 2

может быть записана в виде 2

12 01

A q Edl= ⋅∫ur r

, где интегрирование можно

проводить вдоль любой линии, соединяющей точки 1 и 2, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения (электростатическое поле потенциально).

Можно дать ещё одну формулировку потенциала электростатиче-ского поля.

Потенциал электростатического поля – физическая величина, оп-ределяемая работой сил поля по перемещению единичного, положи-тельного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность:

0

Aq

ϕ ∞= . (37)

Существует связь между двумя характеристиками электрического поля: потенциалом и напряженностью. Для того чтобы эту связь уста-новить, надо вычислить работу по перемещению заряда q на расстояние d. Получим ее для однородного электрического поля, т. е. при E const= . Учитывая, что

F q E= ⋅ : 0cos0 (*)A F d q E d= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ и 1 2( )A q ϕ ϕ= ⋅ − (2*),

приравняв (*) и (2*), получим 1 2 UEd d

ϕ ϕ−= = . (38)

Здесь d – расстояние вдоль линии напряженности между двумя точ-ками с потенциалами φ1 и φ2.

Согласно формуле (38), напряженность электрического поля вы-

ражается в вольтах на метр, причем 1 1В Нм Кл= .

В общем случае: E gradϕ= −ur

. (39) Знак «минус» показывает, что вектор E

ur направлен в сторону убы-

вания потенциала. Работа по перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси x при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и x2 – x1 = dx, равна xE dx . Та же работа

равна 1 2 dϕ ϕ ϕ− = − . Приравняв оба выражения, получим: xExϕ∂

= −∂

, где

символ частной производной подчёркивает, что дифференцирование

24

производится только по x. Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z, имеем:

( )E i j kx y zϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂

= − ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂

ur r r r или E gradϕ= −

ur,

где , ,i j kr ur r

– единичные векторы координатных осей x, y, z. Эквипотенциальные поверхности – это поверхности, во всех

точках которых потенциал φ электростатического поля имеет одно и то же значение.

Первой эквипотенциальной поверхностью любого тела является его поверхность. Внутри заряженного проводника электростатическое поле отсутствует. Отсюда ясно, что форма эквипотенциальных поверх-ностей зависит от формы заряженного тела (рис. 21).

На рис. 21 линии напряжённости (слева) – штриховые линии; се-

чения эквипотенциальных поверхностей – сплошные линии. Линии на-пряжённости всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхно-стям. Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каж-дой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинако-вы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характе-ризует напряжённость поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряжённость поля больше.

Можно сопоставить характеристики гравитационного и электри-ческого полей (табл. 1).

1ϕ

φ2

q

φ3

φ1

φ2

φ3

Рис. 21. Эквипотенциальные поверхности

25

Таблица 1 Сопоставление характеристик гравитационного и электростатиче-

ских полей

Вид поля Сравниваемые характери-стики гравитационное электростатическое Сила 1 2

2

m mF Gr⋅

= ⋅ 1 22

q qF kr⋅

= ⋅

Напряжённость /g F m=ur ur

0/E F q=ur ur

Работа по перемещению

тела или заряда 12 1 2( )A m ϕ ϕ= ⋅ − 12 0 1 2( )A q ϕ ϕ= ⋅ −

Работа по замкнутому контуру

0L

dA =∫ 0L

dA =∫

Потенциал /П mϕ = 0/пU qϕ = Связь между напряжённостью

и потенциалом g gradϕ= −ur

E gradϕ= −ur

Вычисление разности потенциалов по напряжённости поля

1. Поле бесконечно заряженной плоскости:

0

,2

d Edx E σϕε

= − =⋅

,

2 2

1 1

1 2 2 10 0

( )2 2

x x

x x

Edx dx x xσ σϕ ϕε ε

− = = = ⋅ −⋅ ⋅∫ ∫ .

Таким образом, разность потенциалов между точками на расстоя-

нии x1 и x2 от плоскости: 1 2 2 10

( ).2

x xσϕ ϕε

− = ⋅ −⋅

(40)

2. Поле двух бесконечных параллельных разноимённо заряженных плоскостей:

0

,2

d Edx E σϕε

= − =⋅

,

1 20 00 0

d d

Edx dx dσ σϕ ϕε ε

− = = = ⋅∫ ∫ .

Таким образом, разность потенциалов между плоскостями с рас-стоянием d:

1 20

dσϕ ϕε

− = ⋅ . (41)

3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности с заря-дом q:

26

2

1

20

1 2 20 0 1 2

1, ( ); 0 ( )4

1 1 1( )4 4

r

r

Qd Edr E r R E r Rr

Q Qdrr r r

ϕπ ε

ϕ ϕπ ε π ε

= − = ⋅ ≥ = <⋅ ⋅

− = ⋅ = −⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫

Таким образом, 1 2 1 2 2 10 1 2

1 1( ) ( , )4

Q r R r R r rr r

ϕ ϕπ ε

− = ⋅ − > > >⋅ ⋅

.(42)

Потенциал поля вне сферической поверхности: 0

14

Qr

ϕπ ε

= ⋅⋅ ⋅

.(43)

Здесь в формуле (42) приняли 1 2r r и r= = ∞ . Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен потенциалу поверхно-

сти (рис. 22):04

QR

ϕπ ε

=⋅ ⋅ ⋅

. (44)

4. Поле объёмно заряженного шара радиусом R и зарядом Q.

Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от центра шара:

1 2 1 2 2 10 1 2

1 1( ) ( , )4

Q r R r R r rr r

ϕ ϕπ ε

− = ⋅ − > > >⋅ ⋅

. (45)

Разность потенциалов между точками, лежащими внутри шара на рас-стояниях r1 и r2 от центра шара:

2 21 2 2 1 1 2 2 13

0

( ) ( , )8

Q r r r R r R r rR

ϕ ϕπ ε

− = ⋅ − < < >⋅ ⋅

. (46)

5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиу-сом R:

0

φ

r = R r

2

1r

Рис. 22. Зависимость ϕ (r)для сферической поверхности с зарядом q

27

2 2

1 1

0

21 2

0 0 1

1, ( );2

ln .2 2

r r

r r

d Edr E r Rr

dr rEdrr r

τϕπ ε

τ τϕ ϕπ ε π ε

= − = ⋅ ≥⋅ ⋅

− = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

Таким образом, разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от оси заряженного цилиндра:

21 2 1 2 2 1

0 1

ln ( , )2

r r R r R r rr

τϕ ϕπ ε

− = > > >⋅ ⋅

, (47)

где τ – линейная плотность заряда.

Электростатическое поле в диэлектрической среде

Диэлектрики – вещества, не проводящие электрического тока. Диэлектрик, как и всякое другое вещество, состоит из атомов и моле-кул, каждая из которых в целом электрически нейтральна. Если заме-нить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядом +q, на-ходящихся в, так сказать, «центре тяжести» положительных зарядов, а заряд всех электронов – суммарным отрицательным зарядом -q, нахо-дящимся в «центре тяжести» отрицательных зарядов, то молекулы можно рассматривать как электрические диполи с электрическим мо-ментом.

Различают три типа диэлектриков: 1. Диэлектрики с неполярными молекулами, симметричные моле-

кулы которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой ди-польный момент (например 2 2 2 2, , ,N H O CO ).

2. Диэлектрики с полярными молекулами, молекулы которых вследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например 2 2, ,H O SO CO ).

3. Ионные диэлектрики (например ,NaCl KCl ). Ионные кристаллы представляют собой пространственные решётки с правильным чередованием ионов разных знаков. Внесение диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит

к возникновению отличного от нуля результирующего электрического момента диэлектрика.

Поляризация – процесс ориентации диполей или появления под воздействием внешнего электрического поля ориентированных по полю диполей.

Существует три типа поляризации:

28

1. Электронная (деформированная). Поляризация диэлектрика с неполярными молекулами, заклю-

чающаяся в возникновении у атомов индуцированного дипольного мо-мента за счёт деформации электронных орбит (рис. 23).

2. Ориентационная (дипольная). Поляризация диэлектрика с полярными молекулами, заключаю-

щаяся в ориентации имеющихся дипольных моментов молекул по полю. Тепловое движение препятствует полной ориентации молекул, но в ре-зультате совместного действия обоих факторов (электрическое поле и тепловое движение) возникает преимущественная ориентация диполь-ных моментов молекул по полю. Эта ориентация тем сильнее, чем больше напряжённость электрического поля и ниже температура (рис. 24).

3. Ионная. Поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решёт-

ками, заключающаяся в смещении подрешётки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных – против поля, приводящем к возникнове-нию дипольных моментов.

E|

E0

Рис. 23. Поляризация диэлектрика с неполярными молекулами

E0

Рис. 24. Поляризация диэлектрика с полярными молекулами

29

Поляризованность

Поместим пластинку из однородного диэлектрика во внешнее электрическое поле, созданное двумя бесконечными параллельными разноимённо заряженными плоскостями.

Во внешнем электрическом поле диэлектрик объёмом V поляризу-ется, т.е. приобретает дипольный момент: V i

i

p p=∑ur ur

, где ipur

– диполь-

ный момент одной молекулы. Для количественного описания поляризации диэлектрика исполь-

зуется векторная величина – поляризованность – которая определяется

как дипольный момент одной молекулы: i

V i

ppPV V

= =∑ur

urur

, (48)

где V – объём диэлектрика; ipur

– дипольный момент молекулы. В случае изотропного диэлектрика, при не слишком больших E

ur(за

исключением сегнетоэлектриков) поляризованность линейно зависит от напряжённости внешнего поля:

0P Eχ ε= ⋅ ⋅ur ur

, (49) где χ – диэлектрическая восприимчивость вещества, характеризующая свойства диэлектрика (безразмерная величина, как правило, составляет несколько единиц).

Диэлектрическая проницаемость среды

Вследствие поляризации на поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные заряды, которые называются связанными (в от-

личие от свободных зарядов, которые создают внешнее поле). Поле |

Eur

внутри диэлектрика, создаваемое связанными зарядами, направлено против внешнего поля 0E

ur, создаваемого свободными зарядами

(рис. 25). Результирующее поле внутри диэлектрика: E = E0 – E|. В на-шем примере поле, создаваемое двумя бесконечно заряженными плос-

костями с поверхностной плотностью σ/: ||

0E σ

ε=.

Поэтому |0 0E E σ ε= − . Полный дипольный момент диэлектрической

пластинки с толщиной d и площадью грани S: Vp P V P S d= ⋅ = ⋅ ⋅ , с другой

стороны |Vp q d S dσ= ⋅ = ⋅ ⋅ . Отсюда | Pσ = .

|0

0 0 00 0 0

;EPE E E E

χ εσε ε ε

⋅ ⋅= − = − = −

0E E Eχ= − ⋅ .

30

Электрическое смещение

Напряжённость электростатического поля зависит от свойств сре-ды (от ε). Кроме того, вектор напряжённости E

ur, переходя через границу

диэлектриков, претерпевает скачкообразное изменение, поэтому для описания (непрерывного) электрического поля системы зарядов с учё-том поляризационных свойств диэлектриков вводится вектор электри-ческого смещения (электрической индукции), который для изотроп-ной среды записывается как:

0 0 0(1 )D E E E Pε ε ε χ ε= ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ +ur ur ur ur ur

. (52) Единица электрического смещения – Кл/м2.

Вектор Durописывает электростатическое поле, создаваемое сво-

бодными зарядами (т.е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Аналогично линиям напряжённости можно ввести линии электри-ческого смещения. Через область поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D

urпроходят не прерываясь.

+σ -σ -σ/ +σ/

0

σε

0

σε

0

σε

|

0

σε

S S

d

Рис. 25. Поляризация диэлектрика

Откуда напряжённость результи-рующего поля внутри диэлектрика равна:

0 0

1E E

Eχ ε

= =+

(50).

Безразмерная величина 01

EE

ε χ= + = (51) называется диэлектрической прони-цаемостью среды.

Она характеризует способность диэлектриков поляризовываться в электрическом поле и показывает, во сколько раз поле ослабляется диэлек-триком.

31

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Durсквозь эту поверхность D n

S S

Ф D d S D dS= ⋅ =∫ ∫ur ur

, (53)

где Dn – проекция вектора Durна нормаль n

r к площадке dS.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:

поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраиче-ской сумме заключённых внутри этой поверхности свободных элек-трических зарядов.

1

n

n iiS S

D d S D dS q=

⋅ = =∑∫ ∫ur ur

. (54)

Для непрерывного распределения заряда в пространстве с объём-ной плотностью /dq dVρ = :

S V

D d S dVρ⋅ = ⋅∫ ∫ur ur

или (55)

divD ρ=ur

.

Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

При отсутствии на границе двух диэлектриков свободных зарядов, циркуляция вектора E

ur по контуру:

1 2 1 20, 0;ABCDA

Edl E E E Eτ τ τ τ= ⇒ − = =∫ur r

(рис. 26).

Учитывая, что 1 10

2 2

, DD ED

τ

τ

εε εε

= ⋅ ⋅ = . (56)

Рассмотрим границу раздела двух однородных изотропных ди-

электриков при отсутствии на ней свободных зарядов (рис. 27). По теореме Гаусса поток вектора D

urчерез цилиндр ничтожно ма-

лой высоты равен нулю (нет свободных зарядов).

ε1 A ε2 D

B 1 C 2

l

Рис. 26. Контур на границе раздела двух диэлектриков

32

Сегнетоэлектрики – диэлектрики, обладающие в определённом

интервале температур спонтанной (самопроизвольной) поляризованно-стью, т.е. поляризованностью в отсутствие внешнего электрического поля. Примеры: Сегнетова соль 4 4 6 24NaKC H O H O⋅ ; титан бария

3BaTiO . В отсутствие внешнего электрического поля сенетоэлектрик – как

бы мозаика из доменов – областей с различными направлениями поля-ризованности P

ur(направление P

ur на примере титана бария показано на

рисунке (рис. 28) стрелами и знаками , ⊗ ). В смежных доменах эти направления различные, и дипольный

момент диэлектрика равен нулю. Во внешнем поле происходит пере-ориентация дипольных моментов сегнетоэлектрика по полю, а возник-шее при этом суммарное поле доменов будет поддерживать их некото-рую ориентацию и после прекращения действия внешнего поля. Поэто-му сигнетоэлектрики имеют аномально большие значения диэлектриче-ской проницаемости (для сегнетовой соли, например εmax≈104).

Точка Кюри – определённая температура для каждого сегнето-электрика, выше которой он становится обычным диэлектриком. Сегнетоэлектрики имеют одну точку Кюри (исключение – сегне-това соль (-18 и +24 оС)). Вблизи точки Кюри наблюдается резкий рост

ε1 ε2

1 2

nr

|nr

Рис. 27. Граница раздела диэлектриков

Dn1·∆S – Dn2·∆S = 0 ⇒ Dn1= Dn2. 1 2

2 1

n

n

EE

εε

= . (57)

Учли, что 1 0 1 1 2 0 2 2;n n n nD E D Eε ε ε ε= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ .

Рис. 28. Направления Pur

в диэлектрике

33

теплоёмкости вещества. Превращение сегнетоэлектрика в обычный ди-электрик сопровождается фазовым переходом II рода.

Петля гистерезиса

Для сегнетоэлектриков связь между поляризованностью P и на-пряжённостью E нелинейная и зависит от значений E в предыдущие моменты времени. С увеличением E внешнего поля P растёт, достигая насыщения (кривая 1, рис. 29). Уменьшение P с уменьшением E проис-ходит по кривой 2, и при E = 0 сегнетоэлектрик сохраняет остаточную поляризованность Pос.

Проводники в электростатическом поле

Если поместить проводник во внешнее электрическое поле и его зарядить, то на заряды проводника будет действовать электростатиче-ское поле, в результате чего они начнут перемещаться до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором элек-тростатическое поле внутри проводника обращается в ноль 0E =

ur.

Иначе, если бы поле не было равно нулю, то в проводнике воз-никло бы упорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источника, что противоречит закону сохранения энергии.

Следствия этого ( 0 )E grad constϕ ϕ= − = ⇒ =ur

: - потенциал во всех точках проводника одинаков; - поверхность проводника является эквипотенциальной; - вектор E

urнаправлен по нормали к каждой точке поверхности;

- при помещении нейтрального проводника во внешнее поле сво-бодные заряды (электроны и ионы) начнут перемещаться: поло-

P

Pос

0

-Eс

Eс

-Pос

1

2

3

E

Рис. 29. Зависимость Р(Е) для сегнетоэлектриков

Чтобы её уничтожить, надо приложить электрическое поле обратного направления (-Eс). Eс – коэрцитивная сила. Если E изменять далее, то P из-меняется по кривой 3 петли гистерезиса.

34

жительные по полю, а отрицательные против поля (рис. 30). На одном конце проводника будет избыток положительных зарядов, на другом – отрицательных.

Процесс будет продолжаться до тех пор, пока напряжённость поля

внутри проводника не станет равна нулю, а линии напряжённости вне проводника – перпендикулярными его поверхности (рис. 31).

- Если проводнику сообщить некоторый заряд q, то некомпенсиро-ванные заряды располагаются только на поверхности проводника, при-

чём D=σ и 0

E σε ε

=⋅

, где σ – поверхностная плотность зарядов и ε – ди-

электрическая проницаемость среды, окружающей проводник. Нейтральный проводник, внесённый в электростатическое поле,

разрывает часть линий напряжённости; они заканчиваются на отрица-тельных зарядах и вновь начинаются на положительных.

Индуцированные заряды располагаются на внешней поверхности проводника. Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называется электро-статической индукцией.

Электроёмкость. Конденсаторы

Рассмотрим уединённый проводник – проводник, удалённый от

других тел и зарядов. Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, имеют разные потенциалы.

Физическая величина C, равная отношению заряда проводника q к его потенциалу φ, называется электрической ёмкостью проводника:

qCϕ

= . (58)

E=0

Рис. 30. Проводник во внешнем поле

Рис. 31. Проводник во внешнем поле

35

Электроёмкость уединённого проводника численно равна заряду, который нужно сообщить этому проводнику для того, чтобы изменить его потенциал на единицу. Она зависит от формы и размеров проводни-ка и диэлектрических свойств окружающей среды. Ёмкости геометри-чески подобных проводников пропорциональны их линейным размерам.

Если проводник имеет форму шара: 04qC Rπ ε εϕ

= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , (59)

где R – радиус шара. Единица электроёмкости – фарад (Ф): 1Ф – ёмкость такого уеди-

нённого проводника, потенциал которого изменяется на 1В при сооб-щении ему заряда 1Кл. Ёмкостью 1Ф обладает шар с радиусом R= 9·106 км. Ёмкость Земли 0,7 мФ.

Если к проводнику с зарядом q приблизить другие тела, то на их поверхности возникнут индуцированные (на проводнике) или связан-ные (на диэлектрике) заряды. Эти заряды ослабляют поле, созданное за-рядом q, тем самым, понижая потенциал проводника и повышая его электроёмкость.

Конденсатор – это система из двух проводников (обкладок) с оди-наковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами, форма и расположение которых таковы, что поле сосредоточено в узком зазоре между обкладками. Условное обозначение показано на рисунке (рис. 32).

Ёмкость конденсатора – физическая величина, равная отношению заряда q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов 1 2ϕ ϕ−

между его обкладками: qСϕ

=Δ

.

1. Ёмкость плоского конденсатора (две параллельные металлические пластины площадью S каждая, расположенные на расстоянии d друг от

друга ( qS

σ = )): 0

0

q q SC d dε ε

σϕε ε

⋅ ⋅= = =

⋅Δ⋅

. (60)

Электрическое поле в таком конденсаторе является однородным. В таком поле напряжённость и разность потенциалов на обкладках кон-

Конденсатор постоянной ёмкости Конденсатор переменной ёмкости Рис. 32. Условные обозначения конденсаторов

36

денсатора связаны следующим соотношением: UEd

= или EdϕΔ

= , где

ϕΔ или U – разность потенциалов между обкладками конденсатора; d – расстояние между ними.

2. Ёмкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных ци-линдра длиной l с радиусами r1 и r2):

0

2 2

0 1 1

2

ln ln2

q lC q r rl r r

π ε ε

π ε ε

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

. (61)

3. Ёмкость сферического конденсатора (две концентрических сферы с радиусами r1 и r2):

1 20

2 1

0 1 2

41 1( )4

q r rC q r rr r

π ε ε

π ε ε

⋅= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−⋅ −⋅ ⋅ ⋅

. (62)

Соединение конденсаторов

1. Параллельное соединение (рис. 33).

1 2q q qC

ϕ ϕ+

= =Δ Δ

. Учитывая, что q1 = C1·∆φ; q2 = C2·∆φ, получаем:

С = С1+ С2.

Для n конденсаторов: 1 1

; ;n n

i ii i

q q U const C C= =

= = =∑ ∑ . (63)

2. Последовательное соединение (рис. 34).

При последовательном соединении конденсаторов их заряды одинако-вы, т.к. на соединённых пластинах суммарный заряд равен нулю. Раз-ность потенциалов на батарее конденсаторов равна сумме разностей по-тенциалов на каждом конденсаторе: ∆φ = ∆φ1+∆φ2, но

q1 C1

q2 C2

∆φ

При параллельном соеди-нении конденсаторов разность потенциалов одинакова для обоих конденсаторов: ∆φ=const, а заряд батареи кон-денсаторов равен q=q1+ q2. Электроёмкость двух парал-лельно соединённых конденса-торов равна:

Рис. 33. Два параллельно соединённых конденсатора

37

Для n конденсаторов:

1 1

1 1; ;n n

ii i i

q const U UC C= =

= = =∑ ∑ . (64)

Энергия системы неподвижных точечных зарядов

Для системы двух зарядов q1 и q2, находящихся на расстоянии r

друг от друга, каждый из них в поле другого обладает потенциальной энергией:

2 11 1 12 1 2 2 21 2

0 0

1 14 4

q qW q q q q Wr r

ϕ ϕπ ε π ε

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

.

Поэтому 1 12 2 21 1 12 2 211 ( )2

W q q q qϕ ϕ ϕ ϕ= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ . Добавляя после-

довательно по одному заряду, получим, что энергия взаимодействия системы n неподвижных точечных зарядов равна:

1

12

n

i ii

W q ϕ=

= ⋅ ⋅∑ , (65)

где iϕ – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд iq , всеми зарядами кроме i-ого.

Энергия заряженного уединённого проводника

Рассмотрим уединённый проводник, заряд, ёмкость и потенциал которого равны: , ,q C ϕ . Элементарная работа dA , совершаемая внеш-ними силами по преодолению кулоновских сил отталкивания при пере-несении заряда dq из бесконечности на проводник, равна

∆φ1

∆φ2

-q

+q

C1

C2

Рис. 34. Два последовательно соединённых конденсатора

1 21 2

; ;q q qC C C

ϕ ϕ ϕΔ = Δ = Δ = .

Поэтому получим: 1 2

1 1 1C C C= + .

38

dA dq C dϕ ϕ ϕ= ⋅ = ⋅ . Чтобы зарядить проводник от нулевого потенциала

до φ, необходимо совершить работу 2

0 2CA C d

ϕ ϕϕ ϕ ⋅= ⋅ =∫ .

Энергия заряженного уединённого проводника (используя qCϕ

= ):

2 2

2 2 2C q qW

Cϕ ϕ⋅ ⋅

= = =⋅

(66),

или 2

2C UW ⋅

= .

Энергия заряженного конденсатора

Элементарная работа внешних сил по перенесению малого заряда

dq с обкладки 2 конденсатора на обкладку 1: q dqdA dqC

ϕ ⋅= Δ ⋅ = .

Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от 0 до q: 2

0 2

q q dq qAC C⋅

= =⋅∫ .

Энергия заряженного конденсатора (используя qCϕ

=Δ

):

21 2( )

2 2 2q C qW

Cϕ ϕ ϕ⋅ − ⋅Δ

= = =⋅

. (67)

Энергия электростатического поля

В общем случае электрическую энергию любой системы заряжен-ных неподвижных тел – проводников и непроводников – можно найти по формуле:

1 12 2S V

W dS dVϕ σ ϕ ρ= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∫ ∫ (68),

где σ и ρ – поверхностная и объёмная плотности зарядов; φ – потенциал результирующего поля всех свободных и связанных зарядов в точках малых элементов dS и dV заряженных поверхностей и объёмов. Ин-тегрирование проводится по всем заряженным поверхностям S и по всему заряженному объёму V тел системы.

39

На примере поля плоского конденсатора выразим энергию поля че-рез его напряжённость. Для конденсатора 0 /C S dε ε= ⋅ ⋅ и E dϕΔ = ⋅ .

Отсюда 2 20 0

1 12 2

W E S d E Vε ε ε ε= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . (69)

В однородном поле конденсатора его энергия распределена рав-номерно по всему объёму поля V S d= ⋅ .

Объёмная плотность энергии электростатического поля плоско-

го конденсатора ω : 20

1 12 2

W E E DV

ω ε ε= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (70),

где 0D Eε ε= ⋅ ⋅ – электрическое смещение. Эта формула является от-ражением того факта, что электрическая энергия сосредоточена в элек-тростатическом поле.

Пондеомоторные силы – механические силы, действующие на заряженные тела, помещённые в электромагнитное поле.

Например, в плоском конденсаторе сила, с которой пластины кон-денсатора притягивают друг друга, совершает работу за счёт уменьше-

ния потенциальной энергии системы. С учётом qS

σ = и 0

E σε ε

=⋅

, по-

лучаем: 2

20

0 0

12 2 2

dW q SF E Sdx S

σ ε εε ε ε ε

⋅= − = − = − = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅, (71)

где знак минус указывает на то, что эта сила является силой притяже-ния. Под действием этой силы обкладки конденсатора сжимают пласти-ну диэлектрика, помещённого между ними, и в диэлектрике возникает давление: 2 2

0 0/ / 2 0,5p F S Eσ ε ε ε ε= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ . (72)

2. Постоянный электрический ток

Постоянный электрический ток, сила и плотность тока

Электродинамика – раздел учения об электричестве, в котором рассматриваются явления и процессы, обусловленные движением элек-трических зарядов.

Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов.

За направление тока принимают направления движения положи-тельных зарядов.

40

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I – скалярная физическая величина, равная отношению заряда dq , пере-носимого сквозь рассматриваемую поверхность за малый промежуток времени, к величине dt этого промежутка:

dqIdt

= . (73)

Электрический ток называется постоянным, если сила тока и его направление не изменяются с течением времени.

Для постоянного тока qIt

= , (74)

где q – электрический заряд, проходящий за время t через поперечное сечение проводника.

Единица силы тока – ампер. Для характеристики направления электрического тока в разных

точках рассматриваемой поверхности и распределения силы тока по этой поверхности служит вектор плотности тока j

r. Сила тока сквозь

произвольную поверхность S определяется как поток вектора плотности тока:

S

I j dS= ⋅∫r uur

, где dS ndS=uur r

( nr

– единичный вектор нормали (орт) к

площади dS ). Плотностью электрического тока называется вектор j

r, совпа-

дающий с направлением электрического тока в рассматриваемой точке и численно равный отношению силы тока dI сквозь малый элемент по-верхности, ортогональный направлению тока, к площади dS⊥ этого эле-мента:

dIjdS⊥

= . (75)

Для постоянного тока I текущего перпендикулярно сечению S проводника:

IjS

= . (76)

Если за время dt через поперечное сечение S проводника перено-сится заряд dq n e Sdtυ= ⋅ ⋅ ⋅ (где , ,n e и υ – концентрация, заряд и средняя скорость упорядоченного движения зарядов), то сила тока

dqI n e Sdt

υ= = ⋅ ⋅ ⋅ , а плотность тока: j n e υ= ⋅ ⋅uuurr

.

Единица плотности тока – А/м2.

41

Сторонние силы

Для возникновения и существования электрического тока необхо-димо:

1) наличие свободных носителей тока – заряженных частиц, способ-ных перемещаться упорядоченно;

2) наличие электрического поля, энергия которого должна каким-то образом восполняться. Если в цепи действуют только силы электростатического поля, то

происходит перемещение носителей таким образом, что потенциалы всех точек выравниваются и электростатическое поле исчезает.

Для существования электрического тока необходимо наличие в цепи устройства, способного создавать и поддерживать разность потен-циалов за счёт сил не электростатического происхождения.

Такие устройства называются источниками тока. Силы не электростатического происхождения, действующие на

заряды со стороны источников тока, называются сторонними. Количественная характеристика сторонних сил – поле сторонних

сил и его напряжённость сторEur

, определяемая сторонней силой, дейст-вующей на единичный положительный заряд.

Природа сторонних сил может быть различной. Например, в галь-ванических элементах они возникают за счёт энергии химических реак-ций между электродами и электролитами; в генераторе – за счёт меха-нической энергии вращения ротора генератора; в солнечных батареях – за счёт энергии фотонов и т.п. Роль источника тока в электрической це-пи такая же, как и роль насоса в гидравлической системе.

Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические заряды движутся внутри источника тока против сил электростатическо-го поля, благодаря чему на концах цепи поддерживается разность по-тенциалов и в цепи течёт постоянный электрический ток.

Электродвижущая сила и напряжение

Физическая величина определяемая работой, которую совершают

сторонние силы при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС) действующей в цепи:

0

Aq

ε = . (77)

Эта работа совершается за счёт энергии, затрачиваемой в источ-нике тока, поэтому величину ε , можно назвать электродвижущей силой

42

источника тока, включённого в цепь. ЭДС, как и потенциал, выражается в вольтах.

Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, называ-ется однородным. Участок, на котором на носители тока действуют сто-ронние силы, называется неоднородным.

Работа сторонних сил по перемещению заряда q0 на замкнутом участке цепи: 0стор стор

A F dl q E dl= ⋅ = ⋅∫ ∫ur uur ur uur

.

Отсюда, ЭДС, действующая в замкнутой цепи, – это циркуляция вектора напряжённости поля сторонних сил:

сторE dlε = ∫ur uur

.

Следовательно, для поля сторонних сил циркуляция вектора на-пряжённости по замкнутому контуру не равна нулю. Поэтому поле сто-ронних сил – непотенциально.

ЭДС, действующая на участке 1–2 цепи, равна: 2

121

сторE dlε = ∫ur uur

.

Если на заряд q0 действуют как сторонние силы, так и силы элек-тростатического поля, то результирующая сила

0 ( )cтор e сторF F F q E E= + = ⋅ +ur ur ur ur ur

. Работа сторонней силы по перемещению заряда q0 на участке 1–2:

2 2

12 0 0 0 12 0 1 21 1

( )сторA q E dl q Edl q qε ϕ ϕ= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ −∫ ∫ur uur uruur

.

Для замкнутой цепи работа электростатических сил равна нулю, поэтому 0A q ε= ⋅ . Напряжением U на участке 1–2 называется физическая величина, численно равная суммарной работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами по перемещению единичного положительного за-ряда на данном участке цепи:

121 2 12

0

AUq

ϕ ϕ ε= = − + . (78)

Понятие «напряжение» является обобщением понятия разности потенциалов: напряжение на концах участка цепи равно разности по-тенциалов, если участок не содержит источника тока (т.е. на участке от-сутствует ЭДС; сторонние силы отсутствуют).

43

Закон Ома. Электрическое сопротивление

Закон Ома для однородного участка цепи (не содержащего источ-ника тока): сила тока, текущего по однородному металлическому проводнику, пропорционально напряжению на конце проводника (интегральная форма закона Ома).

UIR

= . (79)

Коэффициент пропорциональности R называется электрическим сопротивлением проводника. Единица электрического сопротивления – Ом. Величина

1GR

= (80)

называется электрической проводимостью проводника. Единица элек-трической проводимости – сименс (См). 1См – проводимость участка электрической цепи сопротивлением 1Ом. Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого проводник изготовлен.

Для однородного линейного проводника длиной l и площадью поперечного сечения S сопротивление рассчитывается по формуле:

lRS

ρ= ⋅ , (81)

где ρ – коэффициент пропорциональности (табл.), характеризующий материал проводника, который называется – удельное электрическое сопротивление. Единица удельного электрического сопротивления – 1 Ом·м. Физический смысл электрического сопротивления заключается в том, что упорядоченному движению электронов в металлическом про-воднике препятствуют их столкновения с колеблющимися ионами кри-сталлической решётки.

Величина обратная удельному сопротивлению называется удель-ной электрической проводимостью вещества проводника:

1γρ

= . (82)

Единица удельного электрического сопротивления – сименс на

метр: 1 См/м. В проводнике U El= – напряжённость электрического

поля, lRS

ρ= ⋅ , IjS

= .

44

Из закона Ома получим соотношение: 1I US lρ= ⋅ , откуда j Eγ= ⋅ .

В векторной форме соотношение j Eγ= ⋅r ur

(83) называется зако-ном Ома в дифференциальной форме. Этот закон связывает плот-ность тока в любой точке внутри проводника с напряжённостью элек-трического поля в этой точке.

Сопротивление соединения проводников

Параллельное соединение n проводников (рис. 36)

1 2

1 1

1

..... ,1 ,

1 1 .

n

n n

ii i i

n

i i

U U U UU I I UR R

R R

= =

=

= = = =

= = = ⋅

=

∑ ∑

∑

(85)

R1 R2 R3

1 1I U⋅ 2 2I U⋅ 3 3I U⋅

R, I, U

Последовательное соединение n проводников (рис. 35)

1 2

1 1

1

..... ,

,

.

nn n

i ii i

n

ii

I I I I

I R U U I R

R R

= =

=

= = = =

⋅ = = = ⋅

=

∑ ∑

∑

(84)

Рис. 35. Последовательное соеди-нение проводников

R1, I1, U1

R2, I2, U2

R3, I3, U3

R, I, U

Рис. 36. Параллельное соединение проводников

45

Температурная зависимость сопротивления

Опытным путём было установлено, что для большинства случаев изменение удельного сопротивления (а значит и сопротивления) с тем-пературой описывается линейным законом:

0 (1 )tρ ρ α= ⋅ + ⋅ или 0 (1 )R R tα= ⋅ + ⋅ , (86) где ρ и ρ0, R и R0 – соответственно удельные сопротивления и сопротив-ления при температурах t и 00 С, α – температурный коэффициент со-противления. Сопротивление металлов при очень низких температурах

kT (0,14 – 20 К), называемых критическими, характерных для каждого вещества, скачкообразно уменьшается до нуля, и металл становится аб-солютным проводником. Это явление называется сверхпроводимо-стью.

Работа и мощность тока

Кулоновские и сторонние силы при перемещении заряда q вдоль электрической цепи совершают работу А. Рассмотрим однородный проводник с сопротивлением R к концам которого приложено напряжение U. За время dt через сечение провод-ника переносится заряд dq I dt= ⋅ . Работа по перемещению заряда q0 между двумя точками поля равна: 12 0A q ϕ= ⋅Δ , откуда

22 UdA Udq U Idt I R dt dt

R= = ⋅ = ⋅ ⋅ = . (87)

Мощность тока dAPdt

=2

2 UU I I RR

= ⋅ = ⋅ = . (88)

Единица мощности – ватт (1 Вт). Внесистемные единицы работы тока: ватт-час (Вт·ч) и киловатт-

час (кВт·ч). 1 Вт·ч – работа тока мощностью 1 Вт в течение 1 ч: 1Вт·ч = 3600 Вт·с = 3,6·103 Дж. Аналогично 1 кВт·ч = 1000 Вт·ч = 3,6·106 Дж.

Закон Джоуля–Ленца

При прохождении тока по проводнику происходит рассеяние энергии вследствие столкновений носителей тока между собой и с лю-быми другими частицами среды. Если ток проходит по неподвижному проводнику, то вся работа тока dA идёт на нагревание проводника (вы-деление теплоты dQ ).

46

По закону сохранения энергии dA dQ= . 2

2 UdQ I Udt I Rdt dtR

= ⋅ = ⋅ = . (89)

Количество теплоты Q, выделяющееся за конечный промежуток времени от 0 до t постоянным током I во всём объёме проводника, элек-трическое сопротивление которого R, получаем, интегрируя предыду-щее выражение:

2 2

0

t

Q I Rdt I R t= ⋅ = ⋅ ⋅∫ . (90)

Закон Джоуля–Ленца (в интегральной форме): количество теп-лоты, выделяемое постоянным электрическим током на участке цепи, равно произведению квадрату силы тока на время его прохождения и электрическое сопротивление этого участка цепи. Выделим в проводнике цилиндрический объём dV dSdL= (ось цилиндра совпадает с направлением тока). Сопротивление этого объёма

dlRdS

ρ= ⋅ .

По закону Джоуля–Ленца, за время dt в этом объёме выделится теплота:

2 2 2( )dldQ I Rdt jdS dt j dVdtdSρ ρ= ⋅ = ⋅ = ⋅ . (91)

Удельной тепловой мощностью тока ω называется количество теплоты, выделяющееся в единицу времени в единице объёма:

2dQ jdVdt

ω ρ= = ⋅ . (92)

Используя дифференциальную форму закона Ома j Eγ= ⋅ и оп-

ределение 1ργ

= , получим закон Джоуля–Ленца в дифференциальной

форме: 2j E Eω γ= ⋅ = ⋅ . (93) Тепловое действие электрического тока используется в освети-тельных и электронагревательных приборах, электросварке.

Закон Ома для неоднородного участка цепи

Рассмотрим неоднородный участок цепи 1–2 на котором присут-ствуют силы неэлектрического происхождения (сторонние силы). Обозначим через 12ε – ЭДС на участке 1–2; 1 2ϕ ϕ ϕΔ = − – прило-женную на концах участка разность потенциалов.

47

Если участок 1–2 неподвижен, то (по закону сохранения энергии) общая работа 12A сторонних и электростатических сил, совершаемая над носителями тока, равна теплоте Q, выделяющейся на участке.

Работа сил по перемещению заряда 0q : 12 0 12 0A q qε ϕ= ⋅ + ⋅Δ .

ЭДС 12ε , как и сила тока I, – величина скалярная. Если ЭДС спо-собствует движению положительных зарядов в выбранном направле-нии, то 12ε > 0, если препятствует, то 12ε < 0.

За время t в проводнике выделится теплота: 2

0( )Q I R t I R I t I R q= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . Отсюда следует закон Ома для неоднородного участка цепи в

интегральной форме, который является обобщённым законом Ома:

1 2 12I R ϕ ϕ ε⋅ = − + или 1 2 12IR

ϕ ϕ ε− += . (94)

Частные случаи: 1. Если на данном участке цепи источник тока отсутствует, то мы

получаем закон Ома для однородного участка цепи: UIR

= .

2. Если цепь замкнута ( 0ϕΔ = ), то получаем закон Ома для замкну-

той цепи: внеш внут

IR R rε ε

= =+

, где ε – ЭДС, действующая в цепи,

R – суммарное сопротивление всей цепи, Rвнеш – сопротивление внешней цепи, rвнут – внутреннее сопротивление источника тока.

3. Если цепь разомкнута, то 0I = и 12 2 1ε ϕ ϕ= − , т.е. ЭДС, дейст-вующая в разомкнутой цепи равна разности потенциалов на её концах.

4. В случае короткого замыкания сопротивление внешней цепи

Rвнеш = 0 и сила тока внут

Irε

= в этом случае ограничивается толь-

ко величиной внутреннего сопротивления источника тока.

Правила Кирхгофа для разветвлённых цепей

Узлом электрической цепи называется любая точка разветвления цепи, в которой сходится не менее трёх проводников с током. Ток, вхо-дящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла - от-рицательным.

48

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходя-щихся в узле, равна нулю.

Например, для узла А (рис. 37) первое правило Кирхгофа:

1 2 3 4 5 6 0I I I I I I− − + + − = .

Второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произ-вольно выбранном в разветвлённой электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов iI на сопротивление iR соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС kε , встре-чающихся в этом контуре:

i i ki k

I R ε⋅ =∑ ∑ . (95)

Например, для обхода по часовой стрелке замкнутого контура (рис. 38) АВСDА второе правило Кирхгофа имеет вид:

1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3I R I R I R I R ε ε ε⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + . При расчёте сложных цепей с применением правил Кирхгофа не-

обходимо: 1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках це-

пи; действительное направление токов определяется при решении зада-чи: если искомый ток получается положительным, то его направление было выбрано правильно, а если отрицательным – его истинное направ-ление противоположно выбранному.

А

I1

I2

I3 I4

I5

I6

Рис.37. К первому правилу Кирхгофа

49

2. Выбрать направление обхода контура и строго его придержи-

ваться; произведение I R⋅ положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода. ЭДС, действующие по выбранному направлению обхода, считаются положительными, против – отрица-тельными.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно чис-лу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопро-тивления и ЭДС рассматриваемой цепи), каждый рассматриваемый кон-тур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в пре-дыдущих контурах, чтобы не получались уравнения, которые являются простой комбинацией уже составленных уравнений.

3. Электрический ток в различных средах

Электрический ток в металлах

Носителями электрического тока в металле являются свободные электроны. При образовании кристаллической решётки электроны внешних оболочек атомов (валентные электроны) обобществляются, и кристалл представляет собой решётку неподвижных ионов металла, между кото-рыми хаотически движутся свободные электроны, образуя электронный газ, обладающий свойствами идеального газа. Согласно теории Друде – Лоренца, электроны обладают той же энергией теплового движения, что и молекулы одноатомного газа. Средняя скорость теплового движения электронов:

8

e

k Tumπ

⋅ ⋅=

⋅, (96)

А В

D С

R1

R2

R3

R4

1ε

3ε

2ε

1I

2I

3I

Рис. 38. Ко второму правилу Кирхгофа

50

где 231,38 10k −= ⋅ Дж/К – постоянная Больцмана; 319,11 10em −= ⋅ кг – мас-са электрона; Т – абсолютная (или термодинамическая) температура. При комнатной температуре (Т = 300 К) средняя скорость тепло-вого движения электронов равна: u =1,1·105 м/с. Хаотическое тепловое движение электронов не может привести к возникновению тока. При наложении внешнего электрического поля на металлический проводник в дополнение к хаотическому тепловому движению возника-ет упорядоченное движение электронов (электрический ток). Даже при предельно допустимых значениях плотности тока, сред-няя скорость υ упорядоченного движения электронов обуславливаю-щего электрический ток, значительно меньше их скорости теплового движения u : uυ << .

Основные законы электрического тока в классической теории электропроводности металлов

Пусть в металлическом проводнике действует поле E const= . Под действием силы F e E= ⋅ заряд е движется равноускоренно с ускорени-

ем e Eam⋅

= и к концу свободного пробега приобретает скорость

max

e E tm

υ⋅ ⋅

= .

Среднее время свободного пробега электронов l

tu

= определя-

ется средней длиной свободного пробега l и средней скоростью дви-жения электронов относительно кристаллической решётки u uυ+ ≅ .

Средняя скорость направленного движения электронов:

max 02 2 2

e E t e E lm m u

υυ

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅. (97)

Плотность тока 2

2n e l

j n e E Em u

υ γ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅⋅ ⋅

, (98)

где 2

2n e l

m uγ

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ – удельная проводимость металла.

51

Закон Джоуля–Ленца

К концу свободного пробега электрон под действием поля приоб-ретает дополнительную кинетическую энергию:

222

2max22 2K

e lmE Em u

υ ⋅⋅= = ⋅

⋅ ⋅, (99)

которая при соударении электрона с ионом полностью передаётся ре-шётке. Если n – концентрация электронов, то в единицу времени в еди-

нице объёма происходит u

nl

⋅ столкновений и решётке передаётся

энергия: 2

2 222K

u n e ln E E E

l m uω γ

⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

⋅ ⋅. (100)

Закон Видемана–Франца

Отношение теплопроводности λ к удельной проводимость γ для всех металлов при одной и той же температуре одинаково и увеличива-ется пропорционально температуре

Tλ βγ= ⋅ , (101)

где 23 ( )ke

β = ⋅ .

Трудности классической теории

1. Температурная зависимость сопротивления: ,u T

1/ ,R R Tγ ⇒ , что противоречит опытным данным, соглас-но которым R T .

2. Оценка среднего пробега электронов. Чтобы получить величины удельной проводимости γ , совпадающие с опытными данными, следует принимать l в сотни раз больше межатомных расстоя-ний в кристалле.

3. Теплоёмкость металла складывается из теплоёмкости кристалли-ческой решётки и теплоёмкости электронного газа. Поэтому удельная (расчётная на один моль) теплоёмкость металла должна

52

быть существенно выше теплоёмкости диэлектриков, у которых нет свободных электронов, что противоречит эксперименту.

Все эти трудности снимаются квантовой теорией.

Эмиссионные явления

Работа выхода электронов из металла – работа, которую нужно затратить для удаления электрона из металла в вакуум. Работа выхода зависит от химической природы металлов и от чистоты их поверхности. Подобрав определённым образом покрытие поверхно-сти, можно значительно изменить работу выхода.

Работа выхода выражается в электрон-вольтах (эВ): 1эВ равен ра-боте, которую совершают силы поля при перемещении элементарного электрического заряда между точками разность потенциалов, между которыми равна 1 В. Так как 19 191,6 10 1 1,6 10 .e Кл эВ Дж− −= ⋅ ⇒ = ⋅

Электронная эмиссия – явление испускания электронов из ме-таллов при сообщении электронам энергии, равной или большей рабо-те выхода.

1. Термоэлектронная эмиссия – испускание электронов нагретыми металлами. Пример использования – электронные лампы.

2. Фотоэлектронная эмиссия – эмиссия электронов из металла под действием электромагнитного излучения. Пример использова-ния – фотодатчики.

3. Вторичная электронная эмиссия – испускание электронов по-верхностью металлов, полупроводников или диэлектриков при бомбардировке их пучком электронов. Отношение числа вто-ричных электронов n2 к числу первичных n1, вызвавших эмис-сию, называется коэффициентом вторичной эмиссии: 2 1/n nδ = . Пример использования – фотоэлектронные умножители.

4. Автоэлектронная эмиссия – эмиссия электронов с поверхности металлов под действием сильного внешнего электрического поля.

Электролиз

Вещества, растворы которых проводят электрический ток, назы-ваются электролитами. Как правило, это растворы солей. При растворении солей в жидкости взаимодействие молекул жид-кости с молекулами соли ослабляет связь между частями молекул и не-которые из них разделяются на положительные и отрицательные ионы. В электрическом поле ионы электролита приходят в движение. Поло-

53

жительные ионы движутся к катоду, отрицательные – к аноду. Так воз-никает электрический ток в электролите (рис. 39).

1 Mke N n

= ⋅⋅

, (103)

где e =1,6·10-19 Кл – величина элементарного заряда; NA = 6,02·1023 моль -1 – число Авогадро; М – молярная масса; n – ва-лентность иона.

(103)→ (102): 1 Mm I te N n

= ⋅ ⋅ ⋅ Δ⋅

. (104)

Электрохимический эквивалент k численно равен массе выделив-шегося на электродах вещества при переносе ионами заряда в 1 Кл.

Произведение величины элементарного заряда на число Авогадро

называется числом Фарадея: AF e N= ⋅ ; 96500 ( )КлFмоль

≈ . Число Фара-

дея – это электрический заряд, переносимый веществом в количестве 1 моль при электролизе. Явление электролиза широко применяется в современном про-мышленном производстве. С помощью электролиза из солей и оксидов получают многие металлы, например, медь, никель, алюминий. Путём электролиза можно наносить тонкие слои металлов на поверхность из-делий из других металлов, для защиты от коррозии.

Газовые разряды

Под действием ионизатора (сильный нагрев, жёсткое излучение, потоки частиц) нейтральные молекулы (атомы) газа расщепляются на ионы и свободные электроны – происходит ионизация газа.

Рис. 39. Электрический ток в электролите

Майкл Фарадей установил, что при прохождении электрического тока через электролит масса вещества выделившегося на электроде, пропорциональна заряду, прошедшему через электролит:

m k q= ⋅Δ или m k I t= ⋅ ⋅ Δ , (102) где I – сила тока; ∆t – время пропускания тока через электролит; k – электрохимиче-ский эквивалент. Он равен:

54

Энергия ионизации – энергия, которую надо затратить, чтобы из молекулы (атома) выбить один электрон. Рекомбинацией называется процесс обратный ионизации: поло-жительные и отрицательные ионы, положительные ионы и электроны, встречаясь, воссоединяются между собой с образованием нейтральных атомов и молекул. Прохождение электрического тока через ионизированный газ на-зывается газовым разрядом. Разряд, существующий только под действием внешних ионизато-ров, называется несамостоятельным газовым разрядом. Разряд в газе, сохраняющийся после прекращения действия иони-затора, называется самостоятельным газовым разрядом. Рассмотрим цепь, содержащую газовый промежуток (рис. 40), подвергающийся непрерывному, постоянному по интенсивности воз-действию ионизатора. В результате действия ионизатора газ приобрета-ет некоторую электропроводность и в цепи потечёт ток, зависимость которого от приложенного напряжения (вольт-амперная характеристи-ка) представлена на рисунке (рис. 41). На участке ОА выполняется закон Ома. Затем (участок АВ) рост силы тока замедляется, а затем (участок ВС) прекращается совсем. В этом случае число ионов и электронов, создаваемых внешним иониза-тором, равно числу ионов и электронов достигающих электродов (и нейтрализующихся на электродах). Ток насI , соответствующий участку ВС, называется током насыщения, и его величина определяется мощ-ностью ионизатора. При увеличении напряжения, первичные электроны (созданные ионизатором), ускоренные электрическим полем, в свою очередь начи-нают ударно ионизировать молекулы газа, образуя вторичные электро-ны и ионы.

Общее количество ионов и электронов будет возрастать по мере приближения электронов к аноду лавинообразно. Это является причи-ной увеличения тока на участке СD. Описанный процесс называется ударной ионизацией.

Наконец, при значительных напряжениях между электродами га-зового промежутка положительные ионы, ускоренные электрическим полем, также приобретают энергию, достаточную для ионизации моле-кул газа, что порождает ионные лавины. Когда возникают кроме элек-тронных лавин ещё и ионные, сила тока растёт уже практически без увеличения напряжения (участок DE).

55

Лавинообразное размножение электронов и ионов приводит к то-му, что разряд становится самостоятельным, то есть сохраняется после прекращения действия внешнего ионизатора. Напряжение, при котором возникает самостоятельный газовый разряд, называется напряжением пробоя. В зависимости от давления газа, конфигурации электродов, пара-метров внешней цепи можно говорить о четырёх типах самостоятельно-го разряда:

1. Тлеющий разряд – возникает при низком давлении. 2. Искровой разряд – возникает при большой напряжённости элек-

трического поля в газе, находящимся под давлением порядка ат-мосферного.

3. Дуговой разряд – возникает: а) если после зажигания искрового разряда от мощного источника постепенно уменьшать расстояние между электродами; б) минуя стадию искры, если электроды (на-пример, угольные) сблизить до соприкосновения, а потом развес-ти.

4. Коронный разряд – возникает при высоком давлении в резко не-однородном поле вблизи электродов с большой кривизной по-верхности. Для возникновения самостоятельного разряда необходимо, чтобы

концентрация и энергия вторичных ионов и электронов, образовавших-ся под действием ионизатора, были достаточны для лавинного размно-жения носителей (число вторичных носителей должно превышать число носителей, покидающих газовый разряд вследствие рекомбинации или нейтрализации на поверхностях, окружающих газовый разряд).

V

mA

R

Рис. 40. Электрическая цепь, содержащая газовый промежуток

0 U Несамостоятельный Самостоятельный разряд разряд

I

Iнас

1 2

3

A

B C D

E

Рис. 41. Вольт-амперная характеристика

56

4. Магнитное поле

Основные особенности магнитного поля

Магнетизм – раздел физики, изучающий магнитные явления. В XIX веке были экспериментально исследованы законы взаимо-

действия постоянных магнитов и проводников, по которым пропускался электрический ток. Опыты показали, что подобно тому, как в простран-стве, окружающем электрические заряды, возникает электростатическое поле, в пространстве окружающем, токи и постоянные магниты, возни-кает силовое поле, которое называют магнитным. Были установлены два экспериментальных факта:

1) магнитное поле действует на движущиеся электрические заря-ды;

2) движущиеся заряды создают магнитное поле. Этим магнитное поле существенно отличается от электростатиче-ского, которое действует как на движущиеся, так и на неподвижные за-ряды. Магнитное поле не оказывает силового действия на неподвижные заряды.

Опыт показывает, что характер воздействия магнитного поля на ток зависит:

1) от формы проводника, по которому течёт ток; 2) расположения проводника; 3) направления тока.

Рамка с током. Направление магнитного поля

Аналогично тому, как при исследовании электростатического по-ля использовался точечный пробный заряд, при исследовании магнит-ного поля используется замкнутый плоский контур с током (рамка с то-ком), линейные размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле. Ориентация контура в пространстве характеризуется направлени-ем нормали n

r к контуру. В качестве положительного направления нор-

мали принимается направление, связанное с током правилом правого винта (правилом буравчика). За положительное направление нормали принимается направле-ние поступательного движения правого винта, головка которого враща-ется в направлении тока, текущего в рамке (рис. 42).

57

Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее дей-ствие, поворачивая её определённым образом. Это свойство использует-ся для выбора направления магнитного поля. За направление магнитного поля в данной точке принимается на-правление, вдоль которого располагается положительная нормаль к свободно повещенной рамке с током, или направление, совпадающее с направлением силы, действующей на северный полюс (N) магнитной стрелки, помещённой в данную точку поля.

Количественные характеристики магнитного поля

Магнитное поле описывается двумя количественными характери-стиками: B

ur – вектором магнитной индукции и H

uur – напряжённостью

магнитного поля. Согласно гипотезе Ампера в любом теле существуют микроско-пические токи, обусловленные движением электронов в атомах и моле-кулах. Эти микроскопические токи создают своё магнитное поле и мо-гут поворачиваться в магнитных полях макротоков. Например, если вблизи какого-то тела поместить проводник с током (макроток), то под действием его магнитного поля микротоки во всех атомах определён-ным образом ориентируются, создавая в теле дополнительное магнит-ное поле. Вектор магнитной индукции B

ur характеризует результирую-

щее магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками, т.е. при одном и том же токе и прочих равных условиях вектор B

ur в разных сре-

дах будет иметь разные значения. Вектор Huur

– описывает магнитное по-ле макротоков. Связь между векторами B

ur и Huur

0B Hμ μ= ⋅ ⋅ur uur

. (105) Эта связь справедлива для однородной изотропной среды.

0μ – магнитная постоянная ( 0μ7 74 10 12,56 10Гн Гнм м

π − −= ⋅ ⋅ = ⋅ ); μ – маг-

нитная проницаемость среды (безразмерная, табличная величина), пока-

nr

I

S N nr

I

Рис. 42. Направление нормали

58

зывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков H усиливается за счёт поля микротоков среды.

Единица магнитной индукции – 1 тесла. 1 Тл = 1 Н / (А·м). 1 тесла – магнитная индукции такого однородного магнитного поля, ко-торое действует с силой 1 Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению индукции Bur

поля, если по этому проводнику течёт ток 1 А. Единица напряжённо-сти магнитного поля – 1 ампер на метр. 1А/м – напряжённость такого

поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 74 10 Гнм

π −⋅ ⋅ (как

следует из (105)).

Вращающий момент сил на рамку с током в магнитном поле

Рамка с током испытывает ориентирующие действие поля, поэто-му на неё в магнитном поле действует пара сил. Вращающий момент сил зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств рамки с током и определяется векторным произведением:

,mM p B⎡ ⎤= ⎣ ⎦uur ur ur

, (106)

где mpur

– вектор магнитного момента рамки, Bur

– вектор магнитной ин-дукции.

По определению векторного произведения скалярная величина момента:

sinmM p B α= ⋅ ⋅ , (107) где α – угол между нормалью к плоскости контура и вектором B

ur.

Для плоского контура с током I магнитный момент определяется: mp I S n= ⋅ ⋅

ur r, (108)

где S – площадь поверхности контура (рамки), nr

– единичный вектор нормали к поверхности рамки. Модуль вектора магнитного момента: mp I S= ⋅ . (109) Если в данную точку магнитного поля помещать рамки с различ-ными магнитными моментами, то на них действуют различные вра-

щающие моменты, однако отношение max

m

MBp

= ( maxM – максимальный

вращающий момент) для всех контуров одно и то же и поэтому может служить характеристикой магнитного поля. Следует отметить, что век-тор B

urможет быть определён их закона Ампера и из выражения для си-

лы Лоренца.

59

Магнитная индукция определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению тока.

М = maxM при

2πα = радиан (рис. 43). В этом положении рамка с током

будет находится в неустойчивом положении. Устойчивое – когда плос-кость рамки ⊥линиям индукции.

Графическое изображение магнитного поля

Магнитное поле графически изображается с помощью силовых линий или линий магнитной индукции. Силовая линия магнитного поля – это линия, касательная к которой в каждой точке поля совпадает с на-правлением вектора магнитной индукции B

ur.

и наоборот (рис. 44). Силовые линии магнитного поля всегда замкнуты. Такое поле на-зывается вихревым (рис. 45, 46). Вспомним, что силовые линии элек-тростатического поля разомкнуты: они начинаются на положительных зарядах, а заканчиваются на отрицательных зарядах (или в бесконечно-сти). Такое поле называется потенциальным. Из сопоставления картины силовых линий магнитного и электростатических полей можно сделать вывод, что магнитных зарядов не существует.

N Sα B

pm

Рис. 43. Рамка с током в магнитном поле

Bur I

I Bur

Рис. 44. К определению направле-ния силовых линий магнитного поля

Направление силовых линий определяется по правилу правого винта (буравчика): если поступа-тельное движение правого винта совпадает с направлением тока в проводнике, то направление его вращательного движения укажет направление силовых линий

60

Магнитное поле Земли подобно полю магнита (рис. 47). Под действием этого поля заряженные частицы в радиационных поясах движутся по спиралям. Поскольку северный полюс магнитной стрелки указывает на север, соответствующий магнитный полюс Земли оказывается южным магнитным полюсом (так как северный полюс од-ного магнита притягивается к юному полюсу другого). Магнитные по-люса Земли не совпадают с положением географических полюсов, на-ходящихся на оси вращения Земли.

Солнечный ветер – постоянный радиальный поток плазмы сол-нечной короны в межпланетное пространство, содержащий главным об-разом протоны, немного ядер гелия, ионов кислорода, кремния, серы,

Рис. 45. Демонстрация линии магнитной индукции полосовых магнитов с помощью металличе-

ских опилок

Рис. 46. Линии магнитной индукции катушки с током (слева) и полосового магнита (справа)

Рис. 47. Магнитное поле Земли Рис. 48. Северное сияние

61

железа. Эти частицы достигают орбиты Земли, имея большую скорость, например скорость протонов, составляет 300–750 км/с. В окрестностях Земли столкновение частиц солнечного ветра с геомагнитным полем порождает стационарную ударную волну перед магнитосферой. Сол-нечный ветер как бы обтекает магнитосферу, ограничивая её протяжён-ность в пространстве. Границу магнитосферы при грубом рассмотрении можно считать непрозрачной для солнечного ветра. На дневной стороне границы маг-нитосферы – магнитопауза – происходит на расстоянии порядка десяти земных радиусов. Прорвавшиеся в магнитосферу частицы вызывают полярные сияния (рис. 48). Во внутренних областях магнитосферы маг-нитное поле удерживает, как в ловушке, потоки быстрых частиц. Эти частицы образуют радиационные пояса Земли. Изменение интенсивности солнечного ветра, связанные со вспышками на Солнце, приводят к магнитным бурям. При этом проис-ходит усиление полярных сияний, возрастает поток частиц в радиаци-онных поясах, искажается магнитное поле Земли. Исследование при помощи космических аппаратов показали, что магнитосфера существует и у некоторых других планет: Меркурия, Юпитера, Сатурна, Венеры.

Подобие векторных характеристик магнитного и электростатических полей

Вектор магнитной индукции B

ur – аналог вектора напряжённости

электростатического поля Eur

. Эти величины определяют силовое дейст-вие этих полей и зависят от свойств среды. Аналогом вектора электри-ческого смещения D

ur является вектор напряжённости H

uurмагнитного по-

ля. Для магнитного поля, как и для электрического справедлив прин-цип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, созда-ваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна век-торной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом.

1

n

ii

B B=

=∑ur uur

. (110)

Пример На рис. 49 в точке А определена индукция B

ur магнитного поля,

создаваемого проводниками с токами I1 (направлен перпендикулярно чертежу от нас) и I2 (направлен перпендикулярно чертежу к нам)

62

Закон Био–Савара–Лапласа и его применение к расчёту полей

Определяет в произвольной точке А индукцию поля dBuur

, созда-ваемую элементом проводника dl

uur с током I на расстоянии r от него.

03

,

4

I dl rdB

rμ μ

π

⎡ ⎤⋅⋅ ⎣ ⎦= ⋅⋅

uur ruur

, (111)

02

sin4

I dldBr

μ μ απ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅⋅

, (112)

где dluur

– вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и сов-падающий по направлению с током; r

r – радиус-вектор, проведённый из

элемента dl проводника в точку А поля; r – модуль радиус-вектора rr

; 0μ – магнитная постоянная; μ - магнитная проницаемость среды

(рис. 50). Вектор dB

uur перпендикулярен dl

uur и r

r и направлен по касательной к

линии магнитной индукции (определяется по правилу векторного про-изведения двух векторовdl

uur и r

r т. е. dB

uur перпендикулярен плоскости, в

которой лежат перемножаемые вектора). Направление dB

uur определяется по правилу правого винта: направ-

ление головки винта даёт направление dBuur

, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Для напряженности магнитного поля можно записать аналогич-ные формулы:

A

2Buur

1Buur

Bur

I1 I2

Рис. 49. К принципу суперпозиции магнитных полей

1 2B B B= +ur ur ur

(их направления указаны на рис. 49).

63

Поэтому далее надо применять принцип суперпозиции и векторно

суммировать (интегрировать) dBuur

или dHuuur

, созданные всеми элементами тока I dl⋅

uur,

B dB= ∫ur uur

или H dH= ∫uur uuur

. (115) Рассмотрим магнитное поле прямого тока.

Ток течёт по тонкому прямому проводнику бесконечной длины (рис. 51).

Для магнитного поля кругового тока, как следует из рис. 52, сложение векторов dB

uur можно заменить сложением их модулей:

024

IdBR

μ μπ⋅

= ⋅⋅

(учли, что r = R, sinα = 1),

0 002 2 2

4 4 2I I IB dB dl R

R R Rμ μ μ μ π μ μ

π π⋅ ⋅ ⋅

= = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ .

dBuur

А

rr

α dluur

I

Рис.50. К закону Био–Савара–Лапласа

3

,14

I dl rdH

rπ

⎡ ⎤⋅ ⎣ ⎦= ⋅⋅

uur ruuur

, (113)

2

1 sin4

I dldHr

απ

⋅ ⋅= ⋅

⋅. (114)

Изолированный элемент с током соз-дать невозможно. Ток, который создает маг-нитное поле, всегда течет по проводникам.

dl

I

α r·dα

r·dα α

R

,d B Buur ur

A

Рис. 51. Тонкий, прямой проводник с током

В качестве постоянной интегриро-вания выберем угол α. Из рис. 51 имеем

;sin sin

R r dr dl αα α

⋅= = .

Подставив эти значения в формулу (112), получим

0 0

0

2sin4 4

IB dB dR

πμ μ μ μα απ π⋅ ⋅ ⋅

= = = ⋅⋅ ⋅∫ ∫ .

Таким образом, для бесконечно длинного прямолинейного проводника с током:

0

2IBR

μ μπ⋅

= ⋅⋅

. (116)

64

Можно показать, что на расстоянии r от центра витка вдоль оси

витка магнитное поле будет: 2

02 2 32 ( )

I RBR r

μ μ⋅ ⋅= ⋅

+. (118)

Напряжённость магнитного поля, создаваемая круговым током, на большом расстоянии от витка с током (r >> R):

2 2 2

3 3 3 3 30

2 2 2 22 2 2 4 4 4

mB I R I R I R I S pHr r r r r

π πμ μ π π π π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅, (119)

где mp I S= ⋅ – магнитный момент витка с током.

Для поля соленоида можно показать, что 0B I nμ μ= ⋅ ⋅ ⋅ , (120)

где /n N l= – число витков на единицу длины соленоида. Соленоид устроен следующим образом (рис. 53): на керамиче-скую трубку наматывается проводящий провод в один или несколько слоёв. Если диаметр соленоида много меньше, чем его длина, то внутри такого соленоида при пропускании тока по проводу возникает однород-ное магнитное поле, индукция которого может быть найдена по форму-ле (120).

Для магнитного поля тороида (кольцевой катушки с витками,

намотанными на сердечник, имеющей форму тора, по которой течёт ток).

dl

I ,dB Buur urR

Рис. 52. Круговой виток с током

Таким образом:

0 2IBR

μ μ= ⋅ ⋅⋅

. (117)

Рис. 53. Соленоид

65

Закон Ампера

Ампер установил, что сила dF

uuur, с которой магнитное поле дейст-

вует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнитном поле, равна:

,dF I dl B⎡ ⎤= ⋅ ⎣ ⎦uuur uur ur

, где dluur

– вектор по модулю равный dl и совпадающий по

направлению с током, Bur

– вектор магнитной индукции. Модуль силы Ампера: sindF I B dl α= ⋅ ⋅ ⋅ (122) В случае однородного магнитного поля, сила действующая на

участок проводника находящегося в нём, со стороны поля: sinF I B l α= ⋅ ⋅ ⋅ (123)

Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки (рис. 55):

Рис. 55. Правило левой руки

Если ладонь левой руки расположить так, чтобы в неё входил вектор B

ur, а четыре вытя-

нутых пальца расположить по на-правлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец пока-жет направление силы Ампера.

I

r

Рис.54. Тороид

Магнитное поле отсутствует вне тороида, а внутри его оно является одно-родным (рис. 54).

Линии магнитной индукции, как следует из соображений симметрии, есть окружности, центры которых располо-жены на оси тороида.

Используя теорему о циркуляции вектора B

ur(будет рассмотрена позже)

можно показать, что 0

2N IB

rμ

π⋅ ⋅

=⋅ ⋅

, (121)

где N – число витков тороида.

66

Взаимодействие параллельных токов

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Два параллельных проводника с токами I1 и I2.

Находятся на расстоянии R друг от друга. Направление сил 1Fuur

и

2Fuur

, с которыми поля 1Buur

и 2Buur

действуют на проводники с токами I1 и I2, определяется по правилу левой руки (рис. 55).

0 11 1 2 1

24

IB dF I B dlR

μ μπ⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅⋅

(поле 1Buurдействует на элемент dl второго

тока, угол α между dlrи Bur

). Подставив в эту формулу В1, получим: 0 1 2

12

4I IdF dlR

μ μπ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅⋅

.

Рассуждая аналогично, имеем 2 1 2dF I B dl= ⋅ ⋅ = 0 1 224

I I dlR

μ μπ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅

;

0 1 21 2

24

I IdF dF dF dlR

μ μπ⋅ ⋅ ⋅

= = = ⋅⋅

. (124)

Проводники с токами одинакового направления притягиваются, с токами разного направления – отталкиваются (рис. 56, 57).

Магнитная постоянная

В системе СИ единица измерения силы тока – ампер. По опреде-лению – ампер есть сила не изменяющегося тока, который, проходя по

Рис. 56. Взаимодействие проводников с током

Рис. 57. Проводники с токами

67

двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 метра один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводни-ками силу, равную 2·10-7 Н на каждый метр длины. В вакууме ( 1μ = ) сила взаимодействия на единицу длины провод-ника:

0 1 224

dF I Idl R

μ μπ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅⋅

при I1= I2= 1А и R = 1м: 72 10dFdl

−= ⋅ Н/м ⇒

7 70 24 10 4 10Н Гн

А мμ π π− −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ , где генри (Гн) – единица индуктивно-

сти.

Единица магнитной индукции и напряжённости магнитного поля

Пусть элемент проводника dl с током I перпендикулярен направ-

лению магнитного поля. Закон Ампера 1 dFdF I B dl BI dl

= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ .

Единица магнитной индукции – тесла (Тл) – магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой 1 Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, расположенного пер-пендикулярно направлению поля, если по этому проводнику проходит ток 1 А: 1Тл = 1 Н / А·м.

Из формулы 0B Hμ μ= ⋅ ⋅ в вакууме ( 1μ = ) получим BHμ

= .

Единица напряжённости магнитного поля H – ампер на метр (А/м) – напряжённость такого поля, индукция которого в вакууме равна

74 10 Тлπ −⋅ ⋅ .

Магнитное поле свободно движущегося заряда

Проводник с током создаёт вокруг себя магнитное поле. Электри-ческий ток – это упорядоченное движение заряженных зарядов. Маг-нитное поле B

ur точечного заряда q, свободно движущегося с постоянной

нерелятивистской скоростью υr

( cυ << ): 03

,

4

q rB

r

υμ μπ

⎡ ⎤⋅⋅ ⎣ ⎦= ⋅⋅

r rur

,

02 sin

4qBr

μ μ υ απ⋅ ⋅

= ⋅⋅

. (125)

68

Сила Лоренца

Так же как и на проводник с током, магнитное поле действует и на отдельный заряд, движущийся в магнитном поле. Сила, действующая на электрический заряд q, движущийся в маг-нитном поле B

ur со скоростью υ

r, называется силой Лоренца:

,F q Bυ⎡ ⎤= ⋅ ⎣ ⎦ur r ur

или sinF q Bυ α= ⋅ ⋅ , (126) где α – угол между υ

r и Bur

. Направление силы Лоренца также определяется правилом левой

руки: Если силовые линии магнитного поля входят в ладонь, четыре вы-тянутых пальца совпадают с направлением движения положитель-но заряженной частицы, то отогнутый большой палец указывает направление силы Лоренца (рис. 58).

Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле

1. Частица влетает в магнитное поле параллельно его силовым ли-ниям ( Bυ ↑↑

r ur или Bυ ↑↓

r ur, рис. 59).

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действу-ет сила Лоренца: sinF q Bυ α= ⋅ ⋅ (взаимодействием частицы с гравита-ционным полем можно пренебречь из-за малой массы частицы).

Рис. 58. Правило левой руки для определения направления силы Лоренца

69

2. Частица влетает в магнитное поле перпендикулярно его силовым

линиям (рис. 60). В этом случае частица будет двигаться по окружности с ускоре-

нием: 2

aRυ

= .

Запишем систему уравнений, описывающих движение частицы

при условии, что известны: масса частицы m, скорость частицы υ , маг-нитная индукция поля В.

2

(1 )

(2 )

(3 )

лn

л

n

Fam

F q B

aR

υ

υ

= ∗

= ⋅ ⋅ ∗

= ∗

(2 ),(3 ) (1 )∗ ∗ → ∗ , получим 2 q B mR

R m q Bυ υ υ⋅ ⋅ ⋅

= ⇒ =⋅

(4*).

q2

q1 υr

Bur

Рис. 59. Частица влетает в магнитное поле парал-лельно его силовым линиям

В этом случае угол α – угол междуυr

и Bur

равен нулю или 180 о для частиц с заряда-ми q1 и q2 соответственно. Синус этих углов равен нулю, 0лF⇒ = и частица будет двигаться, в соответствии с первым законом Ньютона, равномерно и прямолинейно.

Bur

υr

лFuur

Рис. 60. Траектория положитель-но заряженной частицы, влетев-шей перпендикулярно силовым линиям магнитного поля

Действительно, т. к. α = 900, sinα=1⇒ лF q Bυ= ⋅ ⋅ . При этом сила Лоренца перпендикулярна υ

r

( nF υ⊥ ). Из механики известно, что если на тело действует сила, на-правленная перпендикулярно век-тору скорости, то тело будет дви-гаться по окружности с постоянной по величине скоростью.

70

Из (4*), ⇒ ,что чем массивнее частица и чем с большей скоростью движется, тем труднее полю отклонить её от первоначального направ-ления движения (радиус окружности больше). Период вращения найдём из кинематики. Поскольку частица вра-

щается равномерно, то можно записать: ;St

υ =

2 2R RTTπ πυ

υ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⇒ = .

Учитывая (4*), можно записать 2 2 (5 )m mTq B q Bπ υ π

υ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ = ∗⋅ ⋅

.

Из (5 ),∗ ⇒период вращения заряженной частицы в однородном магнитном поле не зависит от скорости движения.

3. Частица влетает в однородное магнитное поле под углом α к си-ловым линиям. В этом случае частица будет двигаться по спирали (рис. 61).

и заставляет частицу вращаться в плоскости, перпендикулярной вектору В. Одновременное участие в описанных двух движениях и обеспечивает спиралевидную форму траектории движения частицы. Так же, как и в предыдущем случае, можно найти радиус вращения и период, зная m, υ , α, q и В.

2

(1 )

(2 )

(3 )

sin (4 )

лn

л

n

Fam

F q B

aR

υ

υ

υ υ α

⊥

⊥

⊥

= ∗

= ⋅ ⋅ ∗

= ∗

= ⋅ ∗

Bur

h

υ⊥

r υ

r

υr

Рис. 61. Траектория частицы

Действительно, магнитное поле не действует на параллельную полю состав-ляющую скорости υ

rи вдоль поля части-

ца должна двигаться равномерно и пря-молинейно согласно 1-ому закону Нью-тона. На перпендикулярную полю со-ставляющую скорости υ⊥

r действует сила

Лоренца, равная лF q Bυ⊥= ⋅ ⋅ . Она на-правлена перпендикулярно υ⊥

r

71

(2 ),(3 ) (1 )∗ ∗ → ∗ : 2 q B mR

R m q Bυ υ υ⊥ ⊥ ⊥⋅ ⋅ ⋅

= ⇒ =⋅

(5*), с учётом (4 )∗ :

sinmRq Bυ α⋅ ⋅

=⋅

(6*).

Период вращения равен: 2 RT πυ⊥

⋅ ⋅= (7*); (5 ) (7 ) :∗ → ∗

2 (8 )mTq Bπ⋅ ⋅

= ∗⋅

.

Шаг спирали h найдём из кинематики: ( ), cos ( );h Tυ υ υ α= ⋅ ∗ = ⋅ ∗∗ ( ) ( ) : cosh Tυ α∗∗ → ∗ = ⋅ . Если магнитное поле неоднородно и заряженная частица движется под углом к линиям магнитного поля в направлении возрастания поля, то величины R и h уменьшаются с ростом B

ur. На этом основана фокуси-

ровка заряженных частиц магнитным полем.

Эффект Холла

Эффект Холла – это возникновение электрического поля в про-воднике или в полупроводнике с током при помещении его в магнитное поле.

Эффект Холла – следствие влияния силы Лоренца на движение носителей тока. В магнитном поле B

urпри протекании через проводник

тока с плотностью jrустанавливается электрическое поле с напряжённо-

стью ,E R B j⎡ ⎤= ⋅ ⎣ ⎦

ur ur r, (127)

где R – постоянная Холла. Пусть, например, металлическая пластинка с током расположена в

магнитном поле, перпендикулярном току (рис. 62). Сила Лоренца при-водит к повышению концентрации носителей тока – электронов – у верхнего края пластинки. При этом верхний край зарядится отрицатель-но, а нижний, соответственно, – положительно. Стационарное распре-деление зарядов будет достигнуто, когда действие созданного таким об-разом электрического поля уравновесит силу Лоренца:

e E e e Baϕ υΔ

⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ , или B aϕ υΔ = ⋅ ⋅ ,

где а – ширина пластинки; е – заряд электрона, ϕΔ – поперечная (холловская) разность потенциалов.

72

1I I B I BB a R

n e a d e n d dϕ ⋅ ⋅

Δ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

. (128)

Знак постоянной Холла 1Re n

=⋅

совпадает со знаком носителей

тока, поэтому эффект Холла используют для определения природы но-сителей тока в веществах и определения их концентрации.

Теорема о циркуляции вектора Bur

Циркуляцией вектора Bur

по заданному замкнутому контуру L называ-ется следующий интеграл по этому контуру: l

L L

Bdl B dl=∫ ∫uruur

, (129)

где dluur

– элемент длины контура, направленный вдоль обхода контура; coslB B α= ⋅ – составляющая вектора B

ur в направлении касательной к

контуру с учётом выбранного направления обхода; α – угол между век-торами и dl

uur (рис. 63).

Bur

dluur

α

L

Рис. 63. Контур в маг-нитном поле

υr

Fur

d

a j

Рис. 62. Металлическая пластинка с током в магнитном поле

Поскольку сила тока I j S n e Sυ= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ( S a d= ⋅ – площадь поперечного сечения пластинки толщиной d и ши-риной а, n – концентрация электронов, υ – средняя ско-рость упорядоченного движе-ния электронов), то

Теорема о циркуляции вектора Bur

(закон полного магнитного поля в вакууме):

Циркуляция вектора B

urпо произволь-

ному замкнутому контуру равна произведе-нию магнитной постоянной 0μ на алгебраи-ческую сумму токов, охватываемых этим контуром:

73

01

n

L kkL L

Bdl B dl Iμ=

= = ⋅∑∫ ∫uruur

, (130)

где n – число проводников с токами, охватываемых контуром L произ-вольной формы. Эта теорема справедлива только для поля в вакууме, поскольку для поля в веществе надо учитывать молекулярные токи. Каждый ток учитывается столько раз, сколько он охватывается контуром. Положи-тельным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Пример: магнитное поле прямого тока.

01

0,n

kkL L

Edl Bdl Iμ=

= = ⋅∑∫ ∫uruur uruur

.

Принципиальное различие между этими формулами в том, что циркуляция вектора E

urэлектростатического поля всегда равна нулю. Та-

кое поле является потенциальным. Циркуляция вектора Burмагнитного

поля не равна нулю. Такое поле является вихревым.

Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток)

Магнитный поток Ф через замкнутый контур (рис. 65) площадью S называется скалярная физическая величина, численно равная произве-дению магнитной индукции В на площадь контура S, который пронизы-вается магнитным полем и на косинус угла между вектором B

ur и норма-

лью к контуру nr

Ф cosB S α= ⋅ . (132)

r

I

Bur

Рис. 64. Замкнутый контур

Замкнутый контур представим в виде ок-ружности радиуса r (рис. 64). В каждой точке этой окружности вектор B

urодинаков

по модулю и направлен по касательной к окружности:

02lL L L

B dl Bdl B dl B r Iπ μ= = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ ,

отсюда 0

2IBr

μπ⋅

=⋅ ⋅

. (131)

Сравним выражения для циркуляции век-торов E

ur и Bur

.

74

Теорема Гаусса для магнитного поля в вакууме

Поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую по-верхность равен нулю: 0

S

BdS =∫uruur

. (133)

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вслед-ствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

Потокосцепление

Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым

контуром, называется потокосцеплением ψ этого контура. Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока

в самом этом контуре, называется потокосцеплением самоиндукции. Например, найдём потокосцепление самоиндукции соленоида с

сердечником с магнитной индукцией μ. Магнитный поток сквозь один виток соленоида площадью S равен 1Ф B S= ⋅ .

Полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соле-ноида, равен:

20

1 0N I N IФ N B S N S N S

l lμ μ μ μ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Ψ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ . (134)

Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока, идущего в другом контуре, называется потокосцеплением взаимной ин-дукции этих двух контуров.

Bur

nr

α

S

Рис. 65. Замкнутый контур в магнитном поле

Поток вектора Bur

может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cosα .

Единица магнитного потока – ве-бер (Вб). 1 Вб – магнитный поток, про-ходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1 м2, расположенную перпен-дикулярно однородному магнитному по-лю, индукция которого равна 1 Тл (1Вб = 1 Тл·м2).

75

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

Проводник длиной l (он может свободно перемещаться) с током I находится в однородном магнитном поле (рис. 66).

Поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка – из-за чер-

тежа. Сила Ампера F I B l= ⋅ ⋅ . Под её действием проводник перемес-тился из положения 1 в положение 2.

Работа, совершенная магнитным полем: ,dA Fd x I dx l B I B l dx I BdS IdФ⎡ ⎤= = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =⎣ ⎦

ur r uur r ur.

Использованы соотношения dS ldx= – площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле; BdS dФ= – поток вектора магнитной индукции, пронизывающей эту площадь. Та-ким образом, dA IdФ= . (135) Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересечённый движущимся проводником.

Работа по перемещению контура с током в магнитном поле

Магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка – за чертёж (рис. 67). Работа dA сил Ампера при перемещении контура ABCDA равна сумме работ по перемещению проводников ABC (dA1) и CDA (dA2), т.е. dA= dA1+ dA2.

При перемещении участка CDA силы Ампера направлены в сто-рону перемещения (образуют с направлением перемещения острые уг-лы), поэтому dA2>0, dA2 = I·( dФ0 + dФ2).

I dx

Bur

l

1 2 Рис. 66. Проводник длиной l

Fur

76

произведению силы тока в контуре, на изменение магнитного потока сцепленного с контуром (или на его потокосцепление).

5. Явление электромагнитной индукции. Основной закон электромагнитной индукции

Явление электромагнитной индукции заключается в возникнове-нии электрического тока в замкнутом проводнике, если он пронизыва-ется переменным магнитным потоком. Появление в проводнике электрического тока свидетельствует о том, что в нём возникает электродвижущая сила индукции (ЭДС). Это явление было открыто опытным путём М. Фарадеем в 1831 году. Опыт 1. Соленоид подключён к гальванометру (рис. 68). Если в соленоид вдвигать (или выдвигать) постоянный магнит, то в моменты вдвигания (или выдвигания) наблюдается отклонение стрелки гальва-нометра, т.е. в соленоиде индуцируется ЭДС. Направление отклонения стрелки при вдвигании и выдвигании противоположны. Если постоянный магнит развернуть так, чтобы по-люса поменялись местами, то и направление отклонения стрелки изме-нится на противоположное. Отклонение стрелки тем больше, чем боль-ше скорость движения магнита относительно соленоида. Такой же эф-фект будет, если постоянный магнит оставить неподвижным, а относи-тельно него перемещать соленоид.

Опыт 2. Один соленоид (К1) подключён к источнику тока. Другой соленоид (К2) подключён к гальванометру (рис. 69).

dФ0

Bur

dФ1 dФ2

А А/

С С/

М/М

В D

I

Рис.67. Перемещение контура с током в магнитном поле

Силы, действующие на участок ABC контура, на-правлены против перемеще-ния (образуют с направлени-ем перемещения тупые углы), поэтому dA1<0;

dA1 = - I·( dФ0 + dФ1). В сумме

dA = I·( dФ2 – dФ1), или A I Ф= ⋅Δ , или

2 1( )A I= ⋅ Ψ −Ψ . (136) Работа по перемещению

замкнутого контура с током в магнитном поле равна

77

Основные свойства индукционного тока:

1. Индукционный ток возникает всегда, когда происходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции.

Закон Фарадея

Обобщая результаты опытов, Фарадей показал, что всякий раз, ко-гда происходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции, в контуре возникает индукционный ток. Возникновение в цепи индукционного тока указывает на наличие в цепи электродвижущей силы. Эта ЭДС называется электродвижущей силой электромагнитной индукции.

G

S

N

Рис. 68. Опыт 1

Отклонение стрелки гальванометра на-блюдается в моменты включения или вы-ключения тока, в моменты его увеличения или уменьшения или при перемещении ка-тушек друг относительно друга. При вклю-чении и выключении стрелка отклоняется в разные стороны, т.е. знак индуцированной ЭДС в этих случаях различен.

Такой же эффект – наведение в катуш-ке К2 ЭДС различного знака – наблюдается при увеличении или уменьшении тока в катушке К1 при сближении или удалении ка-тушек.

Б

I1

К1

I2

К2

G

Рис. 69. Опыт 2

2. Сила индукционного тока не за-висит от способа изменения по-тока магнитной индукции, а оп-ределяется лишь скоростью его изменения.

Открытие явления электромагнитной индукции:

1) показало взаимосвязь между электрическим и магнитным по-лем;

2) предложило способ получения электрического тока с помощью магнитного поля.

78

Закон Фарадея: ЭДС электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим конту-ром:

idФdt

ε = − . (137)

При равномерном изменении магнитного потока через контур i

Фt

ε Δ= −

Δ, (138)

где Фt

ΔΔ

– скорость изменения магнитного потока.

Формула (138) – справедлива только для одного витка. Если имеется N витков, то: i

ФNt

ε Δ= − ⋅

Δ (139).

Для замкнутого контура магнитный поток Ф есть не что иное, как пото-косцепление ψ этого конура. Поэтому в электротехнике закон Фарадея

часто записывают в форме: iddtψε = − . (140)

Знак минус в формулах 137–140 означает, что ЭДС индукции вы-зывает такой ток, магнитное поле которого противодействует измене-нию магнитного потока его вызвавшего, то есть при 0dФ

dt> , 0iε < и на-

оборот. Таким образом, необходимым и достаточным условием возникно-

вения индукционного тока является следующее: Проводящий контур должен быть замкнутым, а магнитный поток через площадь, ограничен-ную этим контуром должен изменяться.

Проанализируем закон Фарадея. С учётом того, что 1 cosФ B S α= ⋅ ⋅

запишем: ( cos )i

B St

αε Δ ⋅ ⋅= −

Δ.

Из этой формулы следует, что в замкнутом контуре, находящемся в магнитном поле, ЭДС индукции будет возникать в трёх случаях:

1. Если меняется величина вектора магнитной индукции; 2. Если изменяется площадь контура; 3. Если контур вращается в магнитном поле. Направление индукционного тока определяется по правилу Лен-

ца: при всяком изменении магнитного потока сквозь поверхность, натя-нутую на замкнутый проводящий контур, в последнем возникает ин-

79

конец буквы N (начало буквы S) указывает направление индук-ционного тока в замкнутом контуре.

дукционный ток такого направления, что его магнитное поле противо-действует изменению магнитного потока.

Рассмотрим примеры. Пусть магнитное поле направлено, как пока-

зано на рисунке (рис. 70), и величина поля нарастает ( ) 0Bt

Δ>

Δ. Опреде-

лим направление индукционного тока.

В данном случае индукционный ток направлен против часовой

стрелки, так как в этом случае его магнитное поле iBuur

(обозначено точ-ками) будет препятствовать нарастанию индуцирующего поля B

ur.

На рис. 71 стрелки вверх и вниз – соответственно введение магнита в катушку, и его извлечение из неё.

Из приведённых на рис. 71 примеров можно сформулировать сле-

дующее правило:

ЭДС электромагнитной индукции выражается в вольтах:

2 2dФ Вб Тл м Н м Дж А В с Вdt с с А м с А с А с

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤ = = = = = =⎢ ⎥ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦.

N N S S 1). 2). 3). 4).

Рис. 71. К определению направления индукционного тока

Ii

Ii Ii Ii

iBuur

Bur

( ) 0Bt

Δ>

Δ

Ii

Рис. 70. Контур в магнитном поле

80

ЭДС индукции в неподвижных проводниках

Согласно закону Фарадея, возникновение ЭДС электромагнитной индукции возможно в случае неподвижного контура, находящегося в переменном магнитном поле. Однако сила Лоренца на неподвижные за-ряды не действует, поэтому в данном случае ею нельзя объяснить воз-никновение ЭДС индукции. Кроме того, опыт показывает, что ЭДС индукции не зависит от рода вещества проводника, от состояния проводника, в частности, от его температуры, которая может быть неодинаковой вдоль проводника. Следовательно, сторонние силы, индуцируемые магнитным полем, не связаны с изменением свойств проводника в магнитном поле, а обу-словлены самим магнитным полем. Максвелл для объяснения ЭДС индукции в неподвижных провод-никах предположил, что переменное магнитное поле возбуждает в ок-ружающем пространстве вихревое электрическое поле, которое и явля-ется причиной возникновения индукционного тока в проводнике. На рис. 72 приведён пример вихревого электрического поля, воз-никающего при возрастании магнитного поля.

Электрическое поле, возбуждаемое изменениями магнитного по-ля, имеет непрерывные силовые линии, т.е. представляет собой вихре-вое поле. Такое поле вызывает в проводнике электронов по замкнутым траекториям и приводит к возникновению ЭДС. При этом сторонними силами являются силы вихревого электрического поля. Циркуляция BE

ur этого поля по любому контуру L проводника

представляет собой ЭДС электромагнитной индукции: Bi

L

dФE dldt

ε = = −∫ur uur

. (141)

Eur

Bur

Рис. 72. Вихревое электрическое поле

Вихревое электрическое поле не являет-ся электростатическим. Силовые линии элек-тростатического поля всегда разомкнуты – они начинаются и заканчиваются на электрических зарядах. Именно поэтому напряжение по замк-нутому контуру в электростатическом поле всегда равно нулю, это поле не может поддер-живать замкнутое движение зарядов и, следо-вательно, не может привести к возникновению электродвижущей силы.

81

Вращение рамки в магнитном поле

Явление электромагнитной индукции применяется для преобразо-вания механической энергии в энергию электрического тока. Для этой цели используются генераторы, принцип действия которых рассмотрим на примере плоской рамки, вращающейся в однородном (B = const) маг-нитном поле (рис. 73). Пусть рамка вращается равномерно с угловой скоростью ω = const. Магнитный момент, сцепленный с рамкой площадью S, в любой момент времени t равен: cos cosnФ B S B S B S tα ω= ⋅ = ⋅ = ⋅ , где tα ω= – угол поворота рамки в момент времени t.

При вращении рамки в ней возникает переменная ЭДС индукции: sini

dФ B S tdt

ε ω= − = ⋅ ⋅ . (142)

Максимальное значение ЭДС индукции max B Sε ω= ⋅ ⋅ . Тогда max sini tε ε ω= .

На этом принципе основан принцип действия электродвигателей.

Вихревые токи (токи Фуко)

Индукционный ток возникает не только в линейных проводниках, но и в сплошных, массивных проводниках, помещенных в переменное магнитное поле. Эти токи замкнуты в толще проводника и называются вихревыми или токами Фуко. Токи Фуко также подчиняются правилу Ленца: их магнитное поле направлено так, чтобы противодействовать изменению магнитного по-тока, индуцирующему вихревые токи. Поэтому вихревые токи тормо-

N S

nr

~

α

Рис. 73. Вращающаяся в маг-нитном поле плоская рамка

При равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле в ней возникает переменная ЭДС, изме-няющееся по гармоническому закону.

Процесс превращения механи-ческой энергии в электрическую обра-тим. Если по рамке, помещённой в магнитное поле, пропускать электри-ческий ток, то на неё будет действо-вать вращающий момент

,M I S n B⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⎣ ⎦uur r ur

(143) и рамка начнёт вращаться.

82

зятся в магнитном поле. Кроме того, вихревые токи вызывают сильное нагревание проводников. В электрических машинах, для того чтобы минимизировать влияние токов Фуко, сердечники трансформаторов и магнитные цепи электрических машин собирают из тонких пластин, изолированных друг от друга специальным лаком или скалиной. Тепло, выделяемое токами Фуко, используется в металлургиче-ских индукционных печах. Взаимодействие индукционных токов с высокочастотным маг-нитным полем приводит к неравномерному распределению магнитного потока по сечению магнитопроводов – вытеснение магнитного потока из объёма в приповерхностные области проводника. Это явление назы-вается магнитным скин-эффектом. Вихревые тои возникают и в самом проводнике, по которому те-чёт переменный ток, что приводит к неравномерному распределению тока по сечению проводника – вытеснение токов высокой частоты в приповерхностные области проводника. Это явление называется элек-трическим скин-эффектом. Возникновение индукционного тока в проводнике, движущемся

в однородном магнитном поле

ЭДС индукции может возникать не только в замкнутом проводни-ке, но так же и в незамкнутом, если он движется в магнитном поле. Пусть прямолинейный проводник движется перпендикулярно силовым линиям магнитного поля, то ЭДС индукции определяется следующим соотношением:

B lε υ= ⋅ ⋅ . (144) Если движение проводника происходит под углом α к линиям магнитной индукции, то:

sini B lε υ α= ⋅ ⋅ ⋅ , (145) где B – магнитная индукция, l – длина проводника, υ – скорость его движения, α – угол между υ

r и Bur

. Направление индукционного тока определяется в этом случае правилом правой руки.

Правило правой руки

Если правую руку расположить так, чтобы силовые линии маг-нитного поля входили в ладонь, а отогнутый на 90о большой палец по движению замкнутого контура, то четыре вытянутых пальца укажут на-правление индукционного тока (рис. 74).

83

Явление самоиндукции

Явление возникновения в цепи индукционного электрического тока при изменении в ней силы тока называют явлением самоиндукции. Это явление возникает либо при размыкании, либо при замыкании цепи. Если имеется проводник и по нему протекает переменный электриче-ский ток, в этом проводнике появляется второй электрический ток, на-зываемый током самоиндукции.

; ;Ф L IФ I Ф L I

t tε εΔ ⋅Δ= − Δ Δ Δ = ⋅Δ ⇒ = −

Δ Δ. (146)

ЭДС самоиндукции прямопропорциональна скорости изменения

силы тока в цепи ( It

ΔΔ

).

Знак минус также задаётся правилом Ленца, а именно: если ос-новной ток увеличивается, ток самоиндукции направлен навстречу ему, если основной ток уменьшается, то ток самоиндукции направлен в ту же сторону, что и основной.

Bur

Направление

индукционного

тока

Рис. 74. К правилу правой руки

I Ii

Ii I

При замыкании электрической цепи

При размыкании электрической цепи

84

Формула (146) справедлива в случае равномерного изменения то-ка в контуре. В общем случае

dILdt

ε = − ⋅ . (147)

Коэффициент пропорциональности L называют индуктивностью (коэффициентом самоиндукции)

ФLI

= . (148)

Индуктивность проводника равна 1 Гн, если в нём при изменении силы тока на 1 А за 1 с возникает ЭДС самоиндукции 1 В.

Индуктивность проводника зависит от его геометрии (т.е. от его формы и размеров), а также от магнитной проницаемости окружающей среды.

Например, индуктивность соленоида определяется выражением:

2 20 0L n V n S lμ μ μ μ= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , (149)

где Nnl

= – число витков на единицу длины катушки; V – объём соле-

ноида, 70 12,56 10 Гн

мμ −≈ ⋅ – магнитная постоянная; μ – магнитная про-

ницаемость среды (табличная величина). 0B Bμ = – показывает во сколько раз B

ur в веществе полностью заполняющем поле, отличается по

модулю от 0Bur

магнитного поля в вакууме.

Токи при размыкании и замыкании цепи

При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возника-ет ЭДС самоиндукции, в результате чего в контуре появляются допол-нительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Пусть в цепи сопротивлением R и индуктивностью L под действи-ем внешней ЭДС течёт постоянный ток 0I Rε= . В момент времени t = 0 выключим источник тока. Возникает ЭДС самоиндукции

sdILdt

ε = − ⋅ , препятствующая уменьшению тока. Ток в цепи определяет-

ся законом Ома: s I Rε = ⋅ или dII R Ldt

⋅ = − ⋅ . Разделяем переменные:

dI R dtI L= − ⋅ и интегрируем по I (от I0 до I) и по t (от 0 до t):

85

0

ln I R tI L

⋅= − , или 0

t

I I e τ−

= ⋅ (150), где LR

τ = – постоянная, называемая

временем релаксации. Время релаксации – время, в течение которого сила тока умень-шается в e раз. Таким образом, при выключении источника тока сила тока убыва-ет по экспоненциальному закону, а не мгновенно (рис. 75, кривая 1).

0 0

exp , expsR t dI R R tI L

R L dt R Lε ε ε⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − ⇒ = − ⋅ = ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠. (151)

Т.е. при резком размыкании контура (R>>R0) ЭДС самоиндукции sε может во много раз превысить ε , что может привести к пробою изо-

ляции и выводу из строя измерительных приборов. При замыкании цепи помимо внешней ЭДС ε возникает ЭДС са-

моиндукции: sdILdt

ε = − ⋅ , препятствующая возрастанию тока. По закону

Ома sI R ε ε⋅ = + , или dII R Ldt

ε⋅ = − ⋅ . Можно показать, что решение

этого уравнения имеет вид:

( )

0 1t

I I e τ−⎛ ⎞

= ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

, (152)

где 0IRε

= – установившейся ток при t →∞ .

Таким образом, при включении источника тока сила тока возрас-тает по экспоненциальному закону, а не мгновенно (рис. 75, кривая 2).

Взаимная индукция

Взаимной индукцией называется явление возбуждения ЭДС элек-тромагнитной индукции в одной электрической цепи при изменении

I

I0

t

1

2

Рис. 75. Зависимость I(t)

Оценим значение ЭДС са-

моиндукции при мгновенном увеличении сопротивления от R0 до R:

86

электрического тока в другой цепи или при изменении взаимного рас-положения этих двух цепей.

Коэффициенты пропорциональности L21 и L12 равны друг другу:

L12= L21=L и называются взаимной индуктивностью контура. При изменении силы тока в одном из контуров, в другом индуци-

руется ЭДС: 21 1 12 22 1,i i

dФ dI dФ dIL Ldt dt dt dt

ε ε= − = − ⋅ = − = − ⋅ . (153)

Взаимная индуктивность контуров зависит от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости окружающей среды.

Пример. Рассчитаем взаимную индуктивность двух катушек, на-мотанных на тороидальный сердечник (рис. 77).

1 2

2 2 0 1N NФ N S I

lμ μ ⋅

Ψ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Поскольку поток Ψ создаётся током I1,

то 1 20

1

N NL SI l

μ μΨ ⋅= = ⋅ ⋅ ⋅ . (154)

Данное устройство является примером трансформатора.

I1

I2

1 2

Рис. 76. Два контура с токами I1 и I2

Рассмотрим два неподвижных контура 1 и 2 с токами I1 и I2, распо-ложенных довольно близко друг к другу (рис. 76). При протекании в контуре 1 тока I1 магнитный поток пронизывает второй контур:

21 21 1Ф L I= ⋅ , аналогично 12 12 2Ф L I= ⋅ .

N1

N2

S

I1

I2

Рис.77. Две катушки, намотанные на тороидальный сердечник

Первая катушка с числом витков N1 и током I1 создаёт поле

1 10

N IBl

μ μ ⋅= ⋅ ⋅ . Магнитный поток

сквозь один виток второй катушки: 1 1

2 0N IФ B S S

lμ μ ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ,

где l – длина сердечника по сред-ней линии. Тогда полный магнит-ный поток (потокосцепление) сквозь вторичную обмотку, содер-жащую N2 витков:

87

Трансформаторы

Принцип действия трансформаторов, применяемых для повыше-ния или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении взаимной индукции. Переменный ток I1 создаёт в первичной обмотке переменное магнитное поле. Это вызывает во вторичной обмотке появ-ление ЭДС взаимной индукции. При этом:

22 1

1

NN

ε ε= − ⋅ , (155)

где N1 и N2 – число витков в первичной и вторичной обмотках. Отношение 2 1k N N= , показывающее, во сколько раз ЭДС во вторичной обмотке трансформатора больше или меньше, чем в первич-ной, называется коэффициентом трансформации. Если k > 1, то трансформатор – повышающий, если k < 1 – пони-жающий.

Энергия магнитного поля

Проводник, по которому протекает электрический ток, всегда ок-ружён магнитным полем. Магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электри-ческому полю, является носителем энергии. Энергия магнитного поля равна работе, которую совершает электрический ток на создание этого поля. Рассмотрим контур индуктивностью L по которому течёт ток I. С данным контуром сцеплен магнитный поток Ф = L·I. При изменении тока на dI магнитный поток изменяется на dФ = L·dI. Для такого изме-нения магнитного потока необходимо совершить работу dA I dФ L I dI= ⋅ = ⋅ ⋅ . Тогда работа по созданию магнитного потока Ф

будет равна: 2

0 2

I L IA L IdI ⋅= ⋅ =∫ .

Энергия магнитного поля, связанного с контуром:

2

2L IW ⋅

= . (156)

На примере однородного магнитного поля внутри длинного соле-ноида выразим энергию магнитного поля через величины, характери-зующие это поле в окружающем пространстве. Индуктивность соленои-да

88

2

0N SL

lμ μ ⋅

= ⋅ ⋅ ; (157)

0

0

N I B lB Il N

μ μμ μ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ =

⋅ ⋅; учитывая, что 0B Hμ μ= ⋅ ⋅ , получаем:

2

02 2B B HW V Vμ μ

⋅= ⋅ = ⋅

⋅ ⋅, (158)

где S l V⋅ = – объём соленоида. Магнитное поле длинного соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия заключена в объёме соленоида и распре-делена в нём с объёмной плотностью:

2 20

02 2 2W B H B HV

μ μωμ μ

⋅ ⋅ ⋅= = = =

⋅ ⋅. (159)

Эти соотношения носят общий характер и справедливы и для не-однородных полей, но только для сред, для которых связь между B

ur и

Huur

линейная (т.е. для пара – и диамагнетиков). Выражения для объём-ной плотности энергии магнитного поля аналогично соответствующему выражению для объёмной плотности энергии электростатического поля:

20

2 2W E E DV

ε εω ⋅ ⋅ ⋅= = = , с той разницей, что электрические величины

заменены в нём магнитными. Таблица 2

Электромеханическая аналогия Поступательное

движение Вращательное движение

Электромагнитные величины

Смещение x Угловое смещение ϕ Заряд Q

Скорость dxdt

υ = Угловая скорость ddtϕω = Сила тока dQI

dt=

Ускорение 2

2

d xadt

= Угловое ускорение

2

2

ddtϕε =

Скорость изменения тока 2

2

dI d Qdt dt

=

Масса m Момент инерции J Индуктивность L Сила F Момент силы M Напряжение U Импульс m υ⋅ Момент импульса J ω⋅ Поток магнитной индук-

ции L I⋅ Работа Fdx Работа M dϕ⋅ Работа UdQ Мощность F υ⋅ Мощность M ω⋅ Мощность U I⋅ Кинетическая энергия 2 / 2m υ⋅

Кинетическая энергия 2 / 2J ω⋅

Энергия магнитного поля 2 / 2L I⋅

89

Таблица 3 Аналогия при сопоставлении электрического и магнитного полей

Электрическое поле

Формула Магнитное поле

Формула

Точечный заряд

Q Элемент про-водника с током

Idt

Взаимодействие точечных заря-

дов

1 22

04Q Q

Frπ ε

⋅=

⋅ ⋅ ⋅

Взаимодействие токов

0 1 224

I IdF dlR

μ μπ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅⋅

Электрическая постоянная

0ε Магнитная по-стоянная

0μ

Силовая харак-теристика элек-трического поля

0/E F Q= Силовая харак-теристика маг-нитного поля

max / mB M p=

Однородное электрическое

поле

E const=ur

Однородное магнитное поле

B const=ur

Принцип супер-позиции

1

n

ii

E E=

=∑ur uur

Принцип супер-

позиции 1

n

ii

B B=

= ∑ur uur

Поляризован-ность /V

ii

pP P VV

= =∑uur

ur Намагничен-ность /m

ai

pJ P VV

= =∑uur

ur ur

Электроёмкость уединённого проводника

/C Q ϕ= Индуктивность катушки

/L Ф I=

Энергия заря-женного кон-денсатора

2( )2

CW ϕ⋅ Δ=

Энергия катуш-ки с током

2

2L IW ⋅

=

Диэлектриче-ская проницае-

мость

ε Магнитная про-ницаемость

μ

Объёмная плот-ность энергии

20

2

2

EWV

E D

ε εω ⋅ ⋅= =

⋅=

Объёмная плот-ность энергии

20

2

2

HWV

B H

μ μω ⋅ ⋅= =

⋅=

Поток вектора Eur

сквозь по-верхность S

E nS S

Ф Ed S E d= =∫ ∫ur ur

Поток вектора Bur

сквозь по-верхность S

B nS S

Ф Bd S B dS= =∫ ∫ur ur

90

6. Магнитные свойства вещества

Магнитные моменты электронов и атомов Если проводники с током находятся не в вакууме, а в какой-либо

среде, то магнитное поле изменяется. Это показывает, что различные вещества в магнитном поле намагничиваются, т.е. сами становятся ис-точниками магнитного поля. Результирующее магнитное поле в среде является суммой полей, создаваемых проводниками с током и намагни-ченной средой, и поэтому не равно полю в вакууме. Вещества, способ-ные намагничиваться, называются магнетиками. Поскольку все вещест-ва намагничиваются и изменяют магнитное поле в среде, то любое ве-щество в природе является магнетиком.

Рассмотрим причину этого явления с точки зрения строения ато-мов и молекул, положив в основу гипотезу Ампера, согласно которой в любом веществе существуют микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Эти микроскопические молекулярные токи создают свое магнитное поле и могут изменять свою ориентацию в магнитных полях макротоков. Например, если вбли-зи какого-то тела поместить проводник с током (макроток), то под дей-ствием его магнитного поля микротоки во всех атомах определенным образом ориентируются, создавая в теле (веществе) дополнительное магнитное поле. Вектор магнитной индукции В

r характеризует резуль-

тирующее магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками, т.е. при одном и том же макротоке и прочих равных условиях вектор В

r

в различных средах будет иметь разные значения. Магнитное поле макротоков описывается вектором напряженно-

сти Нr

. Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции связан с вектором напряженности соотношением:

Вr

= μμ0Нr

, (160) где μ0 – магнитная постоянная, μ − магнитная проницаемость среды, показывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков Н

r усилива-

ется за счет поля микротоков среды. Сравнивая векторные характеристики электростатического (Е

r и

Dr

) и магнитного (Вr

и Нr

) полей, необходимо отметить, что аналогом вектора напряженности электростатического поля Е

r является вектор

магнитной индукции Вr

, так как векторы Еr

и Вr

определяют силовые действия этих полей и зависят от свойств среды. Аналогом вектора

91

электрического смещения Dr

является вектор напряженности магнитно-го поля Н

r.

Электроны в атоме находятся в состоянии непрерывного движения. Для многих целей, в том числе и для объяснения магнитных явлений с достаточным приближением можно считать, что электроны движутся в атоме по круговым орбитам. Каждый из атомных электронов движется по своей собственной орбите, а разные электронные орбиты лежат в разных плоскостях. Такие электроны, обращающиеся по орбитам, пред-ставляют собой замкнутые электрические токи (молекулярные токи) яв-ляющиеся ответственными за намагничивание вещества. Электрон, движущийся по одной из таких орбит, эквивалентен круговому току, поэтому он обладает орбитальным магнитным моментом: mpr = IS nr , мо-дуль которого

pm= IS = eνS, (161) где I = eν − сила тока, ν − частота вращения электрона по орбите, S− площадь орбиты, е − элементарный заряд. Если электрон движется по часовой стрелке (рис. 78), то ток направлен против часовой стрелки и вектор mpr в соответствии с правилом правого винта направлен перпендикулярно плоскости орбиты электрона.

Вектор eL

r (его направление также подчиняется правилу правого

винта), называется орбитальным механическим моментом электрона. Из рисунка 78 следует, что направления векторов mpr и eL

r проти-

воположны, поэтому, учитывая выражения (161) и (162), получим:

mpr = −m2e

eLr

= g eLr

, (163)

где величина g = −m2e (164)

называется гиромагнитным отношением орбитальных моментов (обще-принято писать со знаком «−», указывающим на то, что направления моментов противоположны).

Рис. 78. Движение электрона v

pm Le

I

R

Движущийся по орбите электрон обладает также механическим моментом импульса eL

r,

модуль которого равен: Le = mυ R = 2mυ S, (162), где υ − скорость орбитального движения элек-трона (v = 2πνR), πR2 = S − площадь орбиты.

92

Это отношение, определяемое универсальными постоянными, оди-наково для любой орбиты, хотя для разных орбит значения v и R раз-личны. Формула (163) выведена для круговой орбиты, но она оказыва-ется справедливой и для эллиптических орбит.

Из соотношения (162) следует возможность наблюдения так назы-ваемого магнитомеханического явления: намагничивание вещества должно сопровождаться определенными механическими явлениями – появлением у намагничиваемого тела момента импульса. Магнитомеха-ническое явление впервые наблюдали Эйнштейн и де Гааз в 1915 г. В их опытах небольшой железный цилиндр был подвешен на тончайшей ни-ти и помещен внутри соленоида. При намагничивании цилиндр начинал поворачиваться, причем направление вращения изменялось при измене-нии направления магнитного поля. Поворот цилиндра отмечался при помощи небольшого зеркальца, скрепленного с цилиндром. Эйнштейн и де Гааз наблюдали вынужденные крутильные колебания железного стержня во внешнем переменном магнитном поле, образованном при пропускании переменного тока по обмотке соленоида. Для усиления наблюдаемого эффекта они использовали явление механического резо-нанса: частоту крутильных колебаний цилиндрического стержня делали равной частоте переменного тока. При исследовании вынужденных крутильных колебаний стержня определялось гиромагнитное отноше-ние, которое оказалось равным − (е/m). Таким образом, знак носителей, обусловливающих молекулярные токи, совпадал со знаком заряда элек-трона, а гиромагнитное отношение оказалось в два раза большим, чем введенная ранее величина g. Для объяснения этого результата, имевше-го большое значение для дальнейшего развития физики, было сделано предположение, а впоследствии доказано, что кроме орбитальных мо-ментов электрон обладает собственным механическим моментом им-пульса esL

r, который называют спином. В настоящее время установлено,

что спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его за-ряду и массе, и со спином уже не связывают представление о механиче-ском вращении электрона. Спину электрона esL

r соответствует собст-

венный (спиновый) магнитный момент smpr пропорциональный esLr

и направленный в противоположную сторону:

smpr = gs esLr

, (165) где величина gs = −(е/m) называется гиромагнитным отношением спи-новых моментов.

Проекция собственного магнитного момента электрона на направ-ление вектора В

r может принимать только одно из двух значений:

93

pmsB = ± e2 m⋅⋅h = ± μB, (166)

где ħ = h/2π (h − постоянная Планка), μB − магнетон Бора, являющийся единицей магнитного момента электрона (μB = 9,283⋅10−24 А⋅м2).

В общем случае магнитный момент электрона складывается из ор-битального и спинового магнитных моментов. Магнитный момент ато-ма, следовательно, складывается из магнитных моментов входящих в его состав электронов и магнитного момента ядра (последний обуслов-лен магнитными моментами входящих в ядро протонов и нейтронов). Однако магнитные моменты ядер в тысячи раз меньше магнитных мо-ментов электронов, поэтому ими пренебрегают.

Таким образом, общий магнитный момент атома (молекулы) аpr равен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых) входящих в атом (молекулу) электронов:

аpr =∑ mpr +∑ smpr . (167)

Диа- и парамагнетизм Для понимания механизма намагничивания веществ рассмотрим

действие магнитного поля на движущиеся в атоме электроны. Такое движение в механике называется прецессией. Таким обра-

зом, электронные орбиты атома под действием внешнего магнитного поля совершают прецессионное движение, которое эквивалентно неко-торому круговому току. Поскольку этот микроток индуцирован внеш-ним магнитным полем, то, согласно правилу Ленца, у атома появляется составляющая магнитного поля, направленная противоположно внеш-нему полю. Наведенные составляющие магнитных полей атомов (моле-кул) складываются и образуют собственное магнитное поле вещества,

pm

α

В

Рис. 79. Круговая орбита движения электрона

Предположим, что электрон в атоме движется по круговой орбите. Если орбита электрона ориентирована относительно век-тора В

r произвольным образом, составляя с

ним угол α (рис. 79), то можно доказать, что она приходит в такое движение вокруг В

r, при

котором вектор магнитного момента mрr , со-

храняя постоянным угол α, вращается вокруг направления В

r с некоторой угловой скоро-

стью.

94

ослабляющее внешнее магнитное поле. Этот эффект получил название диамагнитного эффекта, а вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле против направления поля, называются диамагнетиками.

В отсутствие внешнего магнитного поля диамагнетик немагнитен, поскольку в данном случае магнитные моменты электронов взаимно компенсируются, и суммарный магнитный момент атома, равный век-торной сумме орбитальных и спиновых магнитных моментов электро-нов, равен нулю. К диамагнетикам относятся многие металлы (напри-мер, Bi, Ag, Аu, Сu), большинство органических соединений, смолы, уг-лерод и т. д.

Так как диамагнитный эффект обусловлен действием внешнего магнитного поля на орбитальное движение электронов в атомах вещест-ва, то диамагнетизм присущ всем веществам. Однако наряду с диамаг-нитными веществами существуют и парамагнитные − вещества, намаг-ничивающиеся во внешнем магнитном поле по направлению поля.

У парамагнитных веществ при отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты электронов не компенсируют друг друга, и атомы (молекулы) парамагнетиков всегда обладают магнитным момен-том. Однако вследствие теплового движения молекул их магнитные моменты ориентированы беспорядочно, поэтому намагниченность па-рамагнитных веществ при отсутствии внешнего магнитного поля равна нулю. При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле уста-навливается преимущественная ориентация магнитных моментов ато-мов по полю (полной ориентации препятствует тепловое движение ато-мов). Таким образом, парамагнетик намагничивается, создавая собст-венное магнитное поле, совпадающее по направлению с внешним полем и усиливающее его. Этот эффект называется парамагнитным. При ос-лаблении внешнего магнитного поля до нуля ориентация магнитных моментов вследствие теплового движения нарушается и парамагнетик размагничивается. К парамагнетикам относятся редкоземельные эле-менты, Pt, A1 и т. д. Диамагнитный эффект наблюдается и в парамагне-тиках, но он значительно слабее парамагнитного и поэтому остается не-заметным.

Парамагнетизм можно объяснить по аналогии с поляризацией ди-электриков с полярными молекулами, только электрический момент атомов в случае поляризации надо заменить магнитным моментом ато-мов в случае намагничивания.

Таким образом, если магнитные моменты атомов не равны нулю, то парамагнитные свойства преобладают над диамагнитными и вещест-во является парамагнетиком. Если магнитные моменты атомов равны

95

нулю, то наблюдаются диамагнитные свойства и вещество является диамагнетиком.

Намагничивание магнетика Если проводники с током находятся в какой-либо среде, то магнит-

ное поле изменяется. Это означает, что вещество в магнитном поле на-магничивается, т.е. само становится источником магнитного поля. Ре-зультирующее магнитное поле В

r в среде равно сумме полей, создавае-

мых проводниками с током 0Вr

и намагниченной средой Вr′ :

Вr

= 0Вr

+ Вr′ . (168)

Здесь под Вr′ и 0В

r имеются в виду поля, усредненные по бесконеч-

но малому объему, поэтому Вr

также усредненное (макроскопическое) поле, причем 0В

r = μ0Н

r.

Молекулы вещества обладают собственным магнитным момен-том, обусловленным внутренним движением зарядов. Каждому магнит-ному моменту соответствует элементарный круговой ток, создающий в окружающем пространстве магнитное поле. При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты молекул ориентированы беспоря-дочно, поэтому обусловленное ими результирующее магнитное поле равно нулю. Равен нулю и результирующий магнитный момент вещест-ва.

Если вещество поместить во внешнее магнитное поле, то под дей-ствием этого поля магнитные моменты молекул приобретают преиму-щественную ориентацию в одном направлении, и вещество намагничи-вается – его суммарный магнитный момент становится отличным от ну-ля. При этом магнитные поля отдельных молекул не компенсируют друг друга, в результате возникает поле В

r′ .

Иначе происходит намагничивание веществ, молекулы которых при отсутствии внешнего поля не имеют магнитного момента. Внесение таких веществ во внешнее поле индуцирует элементарные круговые то-ки в молекулах, и молекулы, а вместе с ними и все вещество приобре-тают магнитный момент, что также приводит к возникновению поля В

r′ .

Большинство веществ при внесении в магнитное поле намагничивается слабо.

Для количественного описания намагничивания магнетиков вводят векторную величину − намагниченность, равную магнитному моменту молекул единицы объема магнетика:

96

Jr

= V1Δ ∑ apr , (169)

где ΔV – элементарный объем в окрестности данной точки, аpr − маг-нитный момент отдельной молекулы.

Суммирование проводится по всем молекулам в объеме ΔV. Если во всех точках вещества вектор J

r одинаков, говорят, что вещество на-

магничено однородно.

Для описания поля, создаваемого молекулярными токами, рас-смотрим магнетик в виде кругового цилиндра сечения S и длины l, вне-сенного в однородное внешнее магнитное поле с индукцией 0В

r. Возни-

кающее в магнетике магнитное поле молекулярных токов будет направ-лено противоположно внешнему полю для диамагнетиков и совпадать с ним по направлению для парамагнетиков. Плоскости всех молекуляр-ных токов расположатся перпендикулярно вектору 0В

r, так как векторы

их магнитных моментов mpr антипараллельны вектору 0Вr

(для диамаг-нетиков) и параллельны 0В

r (для парамагнетиков). Если рассмотреть

любое сечение цилиндра, перпендикулярное его оси, то во внутренних участках сечения магнетика молекулярные токи соседних атомов на-правлены навстречу друг другу и взаимно компенсируются (рис. 80). Некомпенсированными будут лишь молекулярные токи, выходящие на боковую поверхность цилиндра.

Ток, текущий по боковой поверхности цилиндра, подобен току в соленоиде и создает внутри него поле, магнитную индукцию В′ которо-го можно вычислить для N = 1 (соленоид из одного витка):

В′ = μ0 lI′ , (170)

где I′ − сила молекулярного тока, l − длина рассматриваемого цилиндра, а магнитная проницаемость μ принята равной единице.

С другой стороны, I′/l − ток, приходящийся на единицу длины ци-линдра, или его линейная плотность, поэтому магнитный момент этого

Рис. 80.

Вектор намагниченности Jr

является основной величиной, характеризующей магнитное состояние вещества. Зная его в каждой точке какого-либо тела, можно оп-ределить и магнитное поле, создаваемое рассматриваемым намагниченным телом.

Рис. 80. Сечение магнетика

97

тока p = I′lS/l = = I′V/l, где V – объем магнетика. Если Р – магнитный момент магнетика объемом V, то намагниченность магнетика

J = VP

= lI′ . (171)

Сопоставляя (170) и (171), получим, что: В′ = μ0J, или в векторной форме: В′

r = μ0 J

r. (172)

Подставив выражения для 0Вr

и В′r

в (168), получим: Вr

= μ0Нr

+ μ0 Jr

= μ0(Нr

+ Jr

), (173)

или 0

Вμ

r

= Нr

+ Jr

. (174)

Намагниченность Jr

зависит от магнитной индукции Вr

в данной точке вещества. Однако, J

r принято связывать не с В

r, а с вектором на-

пряженности магнитного поля Нr

. Для многих веществ направления Н

r и J

r всегда совпадают. На-

магниченность Jr

таких веществ зависит только от величины намагни-чивающего поля и не зависит от его направления. Такие вещества полу-чили название изотропных магнетиков. В них направления В

r и Н

r так-

же всегда совпадают. Как показывает опыт, в изотропных магнетиках намагниченность

прямо пропорциональна напряженности поля, вызывающего намагни-чивание, т.е.

Jr

= χНr

, (175) где χ − безразмерная скалярная величина, называемая магнитной вос-приимчевостью вещества. Она зависит от рода магнетика и его состоя-ния (температуры и т.д.). Для диамагнетиков χ < 0 (поле молекулярных токов противоположно внешнему полю), для парамагнетиков χ > 0 (собственный нескомпенсированный магнитный момент молекулярных токов совпадает с внешним полем).

Таким образом, можно записать: Вr

= μ0 (1 + χ) Нr

= μμ0Нr

, (176) где безразмерная величина μ = 1 + χ (177) представляет собой магнитную проницаемость вещества.

Так как абсолютное значение магнитной восприимчивости для диа- и парамагнетиков очень мало (порядка 10−4−10−6), то для них μ незначи-тельно отличается от единицы. Таким образом, для диамагнетиков χ < 0 и μ < 1, для парамагнетиков χ > 0 и μ > 1.

Кроме этих магнетиков существуют ферромагнетики, у которых зависимость J

r(Нr

) имеет весьма сложный характер: она не линейная и,

98

помимо того, наблюдается гистерезис, т.е. зависимость Jr

от предысто-рии магнетика.

Направления напряженности поля Нr

и намагниченности Jr

могут не совпадать друг с другом. Это наблюдается для ряда магнитных кри-сталлов. В таких кристаллах величина намагниченности зависит еще и от направления поля относительно осей кристалла. Подобные вещества называют анизотропными магнетиками. Для них направления индукции Вr

и напряженности Нr

, могут быть различными.

Циркуляция вектора магнитной индукции Циркуляцией вектора В

r в вакууме по заданному замкнутому кон-

туру называется интеграл:

∫L

ldlB = ∫L

ldBrr

, (178)

где ldr

− вектор элементарной длины контура, направленной вдоль на-правления обхода контура, Bl = B·cosα − проекция вектора на направле-ние контура (с учетом выбранного направления обхода), α − угол между векторами В

r и ld

r.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема

о циркуляции вектора Вr

)

Циркуляция вектора Вr

по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ0

на алгебраическую сум-му токов, охватываемых этим контуром:

∫L

ldlB = ∫L

ldBrr

= ∑=

μn

1kk0 I , (179)

где n − число проводников с токами, охватываемых контуром L произ-вольной формы.

Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого обра-зует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным.

Из того, что циркуляция вектора Вr

отлична от нуля, следует, что магнитное поле является вихревым, т.е. силовые линии вектора В

r име-

ют вид замкнутых кривых.

99

Выражение (179) справедливо только для поля в вакууме, так как для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Теорема о циркуляции вектора Вr

имеет в учении о магнитном по-ле такое же значение, как и теорема Остроградского-Гаусса в электро-статике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био–Савара–Лапласа.

Рассчитаем, применяя теорему о циркуляции, индукцию магнит-ного поля внутри соленоида, находящегося в вакууме. Рассмотрим со-леноид длиной l, имеющий N витков, по которому течет ток I (рис. 81). Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т.е. рассматриваемый соленоид можно считать бесконечно длинным. Экспериментальное изучение магнитного поля длинного соленоида по-казывает, что внутри соленоида поле является однородным, вне соле-ноида − неоднородным и очень слабым.

На рис. 81 представлены линии магнитной индукции внутри и вне

соленоида. Чем соленоид длиннее, тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длин-ного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соле-ноида можно пренебречь.

Для нахождения магнитной индукции выберем замкнутый прямо-угольный контур 12341, как показано на рисунке 81. Циркуляция векто-ра В

r по замкнутому контуру 12341, охватывающему все N витков, со-

гласно (179), равна: ∫

12341ldlB = μ0NI. (180)

Рис. 81. Соленоид длиной l

I I

1

23

4

100

Интеграл (180) по прямоугольному контуру 12341 можно предста-вить в виде четырех слагаемых по отрезкам 12, 23, 34 и 41. На участках 12 и 34 контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и Bl = 0. На участке 23 вне соленоида В = 0. На участке 41 циркуляция вектора В

r

равна Bl (контур совпадает с линией магнитной индукции). Следова-тельно,

∫12341

ldlB = ∫1

4ldlВ = Bl = μ0NI. (181)

Из (181) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида в вакууме:

В = μ0lN

I. (182)

Отметим, что вывод этой формулы не совсем корректен (линии магнитной индукции замкнуты, и интеграл по внешнему участку маг-нитного поля строго нулю не равен). Корректно рассчитать поле внутри соленоида можно, применяя закон Био-Савара-Лапласа; в результате получается та же формула (182).

Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора В

r):

∫L

ldlB = ∫L

ldBrr

= μ0(I+I′), (183)

где I и I′ − соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых произвольным замкнутым контуром L.

Таким образом, циркуляция вектора магнитной индукции Вr

по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молекулярных токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную.

Вектор Вr

характеризует результирующее поле, созданное как макроскопическими токами в проводниках (токами проводимости), так и микроскопическими токами в магнетиках, поэтому линии вектора магнитной индукции В

r не имеют источников и являются замкнутыми.

Можно доказать, что циркуляция намагниченности Jr

по произ-вольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме молеку-лярных токов, охватываемых этим контуром:

∫L

ldJrr

= I′. (184)

101

Тогда закон полного тока для магнитного поля в веществе можно записать также в виде:

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

μL 0ldJВ rr

r

= I, (185)

где I есть алгебраическая сумма токов проводимости. Выражение, стоящее в скобках в (185), есть не что иное, как вве-

денный ранее вектор Нr

напряженности магнитного поля:

Нr

= 0

Вμ

r

− Jr

. (186)

Итак, циркуляция вектора Нr

по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов проводимости, охва-тываемых этим контуром:

∫L

ldНrr

= I. (187)

Выражение (186) представляет собой теорему о циркуляции векто-ра Н

r. Как видно из (186) вектор Н

r представляет собой комбинацию двух

различных величин Вr

/μ0 и Jr

. Поэтому вектор Нr

− вспомогательный вектор, не имеющий физического смысла. Однако во многих случаях его использование значительно упрощает изучение поля в магнетиках.

Условия на границе раздела двух магнетиков

Рассмотрим связь между векторами В

r и Н

r на границе раздела двух

однородных магнетиков (магнитные проницаемости которых μ1 и μ2) при отсутствии на границе тока проводимости. Искомые условия, как и в случае диэлектрика, получим с помощью теоремы о циркуляции век-тора Н

r и теоремы Остроградского-Гаусса для вектора В

r.

Рис. 82. Граница раздела двух магнетиков

μ1

μ2

h S1

S2

n1

n2

На границе раздела двух магнетиков (рис. 82) построим прямую цилиндриче-скую поверхность ничтожно малой высоты h, одно основание S1 которой находится в первом магнетике, другое основание S2 на-ходится во втором.

102

Оба основания одинаковы (S1 = S2 = S) и настолько малы, что в пределах каждого из них поле можно считать однородным. Используя к этой поверхности теорему Остроградского – Гаусса, можно записать:

∫ ⋅S

n dSВ = В1nS + В2nS + ВnSбок = 0. (188)

Если устремить высоту цилиндра h к нулю, Sбок также будет стре-миться к нулю. Поэтому в пределе соотношение (188) примет вид:

В1n = − В2n . Знаки проекций оказались разными вследствие того, что нормали

1nr и 2nr к основаниям цилиндра имеют противоположные направления. Если проецировать 1В

r и 2В

r на одну и ту же нормаль, получится усло-

вие: В1n = В2n, (189) т.е. нормальные составляющие вектора В

r оказываются одинаковыми по

разные стороны границы раздела двух магнетиков. Заменив проекции вектора В

r проекциями вектора Н

r, умножен-

ными на μ·μ0, получим соотношение: μ1·μ0·Н1n = μ2·μ0·Н2n ,

из которого следует, что: 1

2

n2

n1НН

μμ

= . (190)

Возьмем небольшой прямоугольный контур со сторонами, парал-

лельными границе раздела с пренебрежимо малой высотой b и такой длины a, чтобы в ее пределах напряженность поля Н

r в каждом магне-

тике можно было считать одинаковой. Контур частично проходит в первом магнетике, частично – во втором. Ось х проходит через середину стороны b (рис. 83).

Пусть в магнетиках создано поле, напряженность которого в пер-вом диэлектрике равна 1Н

r, а во втором − 2Н

r. Вследствие того, что цир-

куляция вектора Нr

по выбранному нами контуру должна быть равна нулю, то при указанном направлении обхода циркуляция вектора Н

r

может быть представлена в виде:

bμ1

μ2ε

a х

Рис. 83. Прямоугольный контур

103

dlНL

l ⋅∫ = Н1х⋅а − Н2х⋅а + Нb⋅2b, (191)

где Нb – среднее значение Нl на перпендикулярных к границе участках контура.

Приравняв это выражение к нулю, придем к соотношению: (Н2х − Н1х) а = Нb⋅2b.

В пределе при стремящейся к нулю высоте контура b получается

равенство: Н1х = Н2х. (192) Значения проекций векторов 1Н

r и 2Н

r на ось х берутся в непо-

средственной близости к границе магнетиков. Соотношение (192) выполняется при произвольном выборе оси х;

нужно лишь, чтобы эта ось лежала в плоскости раздела магнетиков. Из (192) следует, что при таком выборе оси х, при котором Н1х = 0, проек-ция вектора Н2х также будет равна нулю. Это означает, что векторы 1Н

r

и 2Нr

в двух близких точках, взятых по разные стороны границы, лежат в одной плоскости с нормалью к поверхности раздела. Представим каж-дый из векторов 1Н

r и 2Н

r в виде суммы нормальной и тангенциальной

составляющих: 1Н

r= n1Нr

+ τ1Нr

; 2Нr

= n2Нr

+ τ2Нr

. (193) В соответствии с (192):

Н1τ = Н2τ, (194) т.е. тангенциальные составляющие вектора Н

r оказываются одинаковой

по обе стороны границы раздела. В (194) Н1τ и Н2τ − проекции векторов 1Нr

и 2Нr

на единичный вектор τr , направленный вдоль линии пересече-ния плоскости раздела магнетиков с плоскостью, в которой лежат век-тора 1Н

r и 2Н

r.

Заменив проекции вектора Нr

проекциями вектора Вr

, деленными на μ·μ0, получим из (194) соотношение:

τ

τ

2

1ВВ =

2

1μμ . (195)

Таким образом, при переходе через границу раздела двух магне-тиков нормальная составляющая вектора В

r ( nВ ) и тангенциальная со-

ставляющая вектора Нr

( τН ) изменяются непрерывно (не претерпевают скачка), а тангенциальная составляющая вектора В

r ( τВ ) и нормальная

составляющая вектора Нr

( nН ) претерпевают скачок.

104

Из полученных условий для составляющих векторов Вr

и Нr

сле-дует, что линии этих векторов испытывают излом (преломляются). Как и в случае диэлектриков, можно найти закон преломления линий В

r, а

значит, и линий Нr

(рис. 84): 1

1 1 2 22

( / ) /( / )n ntg В В В Вtg τ ταα

= ,

откуда с учетом (189) и (195) получается закон преломления линий век-тора магнитной индукции В

r:

2

1

2

1tgtg

μμ

=αα . (196)

Из этой формулы следует, что, входя в магнетик с большей маг-нитной проницаемостью, линии В

r и Н

r удаляются от нормали. На пре-

ломлении линий вектора магнитной индукции основана магнитная за-щита. При внесении замкнутой железной оболочки (μ >> 1) во внешнее магнитное поле линии этого поля будут концентрироваться (сгущаться) преимущественно в самой оболочке. В полости, охватываемой оболоч-кой, магнитное поле оказывается сильно ослабленным по сравнению с внешним полем.

Из сказанного ясно, что если конфигурация первоначального поля и форма тела таковы, что линии индукции не пересекают поверхность тела, то не будет и преломления линий индукции, и магнитное поле вне тела не будет изменяться при внесении тела. Так, например, если на прямой длинный провод с током надеть длинную железную трубу, ко-аксиально с проводом, то линии индукции, имеющие в этом случае вид концентрических окружностей, не будут пересекать ни внутреннюю, ни внешнюю поверхность трубы. Поэтому и магнитное поле во всем про-странстве, кроме толщи самой трубы, будет таким же, как и до надева-ния трубы. В самом же теле трубы величина магнитной индукции уве-личится в μ раз (μ − магнитная проницаемость железа).

Рис. 84. Вектора Bur

и Huur

при переходе через границу раздела двух магнетиков

α1

α2

B1n B1 B2τ

B2n

μ1

μ2

B2

B1τ

105

Ферромагнетизм

Помимо рассмотренных двух классов веществ − диа- и парамагне-тиков – слабомагнитных веществ, существуют еще сильномагнитные вещества − ферромагнетики − вещества, обладающие спонтанной на-магниченностью, т. е. они намагничены даже при отсутствии внешнего магнитного поля. К ферромагнетикам кроме основного их представите-ля − железа (от него и идет название «ферромагнетизм») − относятся, например, кобальт, никель, гадолиний, их сплавы и соединения. В ре-зультате исследования магнитных сплавов и химических соединений было обнаружено, что некоторые сплавы из неферромагнитных элемен-тов при определенном соотношении между компонентами обладают сильным ферромагнетизмом. Таковы сплавы марганец-висмут, марга-нец-сурьма, хром-теллур и др. Магнитная проницаемость большинства ферромагнетиков при обычных температурах измеряется многими сот-нями и тысячами единиц, а у некоторых специально приготовленных и обработанных ферромагнетиков она достигает миллиона.

Для слабомагнитных веществ зависимость Jr

(Нr

) линейная. Фер-ромагнетики помимо высокой магнитной проницаемости обладают еще и другими свойствами, существенно отличающими их от диа- и пара-магнетиков. Характерной особенностью ферромагнетиков является сложная нелинейная зависимость J

r(Нr

) или Вr

(Нr

). На рис. 85 дана кривая намагничивания ферромагнетика (кривая

3), из исходно размагниченного состояния. По мере возрастания Н на-магниченность J сначала растет быстро, затем медленнее и, наконец, достигается так называемое магнитное насыщение Jнас уже не зависящее от напряженности поля. Кривая намагничивания впервые была установ-лена в 1878 г. русским физиком А.Г. Столетовым для железа.

Магнитная индукция В = μ0(Н + J) также растет с увеличением Н, а после достижения состояния магнитного насыщения В продолжает расти с увеличением Н по линейному закону: В = μ0Н + const, где const = μ0Jнас. На рис. 86 приведена кривая намагничивания В(Н).

Ввиду нелинейной зависимости В(Н) для ферромагнетиков нельзя ввести магнитную проницаемость μ как определенную постоянную ве-личину, характеризующую магнитные свойства данного ферромагнети-ка. Однако, по-прежнему считают, что μ = В/μ0·Н, при этом μ является функцией Н (рис. 87). Кривая зависимости μ от Н возрастает с увеличе-нием напряженности поля от начального значения до некоторой макси-мальной величины μмакс, но затем, после прохождения через максимум, μ уменьшается и асимптотически стремится к значению, очень близко-

106

му к единице. Заметим, что понятие магнитной проницаемости приме-няют только к кривой намагничивания, так как зависимость В(Н) неод-нозначна.

Указанные особенности намагничивания ферромагнетиков пока-

зывают, что использование ферромагнетиков для получения сильных магнитных полей весьма эффективно в области намагничивания, дале-ких от насыщения. В случае очень сильных полей наступает магнитное насыщение, и применение ферромагнетиков делается практически бес-полезным.

Характерная особенность ферромагнетиков состоит также в том, что для них зависимость J от Н (а, следовательно, и В от Н) определяет-ся предшествующей историей намагничивания ферромагнетика. Это яв-ление получило название магнитного гистерезиса.

Рис. 87. Зависимость ( )Hμ Н

μ

μмакс

1

0

Рис. 85. Зависимость J(H)

J

Jнас

H H 0 0

1

2

3

B

Рис. 86. Зависимость B(H) 1 – парамагнетик 2 – диамагнетик 3 − ферромагнетик

107

Если намагнитить ферромагнетик до насыщения (точка 1, рис. 88), а затем начать уменьшать напряженность Н намагничивающего поля, то, как показывает опыт, уменьшение J описывается кривой 1−2, лежа-щей выше кривой 0−1. При Н = 0 значение J отличается от нуля, т. е. в ферромагнетике наблюдается остаточная намагниченность Jост.

Наличие остаточной намагниченности позволяет изготовлять из

ферромагнетиков постоянные магниты. Намагниченность обращается в нуль под действием магнитного поля величиной Нс, имеющего направ-ление, противоположное полю, вызвавшему намагничивание. Напря-женность Нс называется коэрцитивной силой.

При дальнейшем увеличении противоположного поля ферромаг-нетик перемагничивается (кривая 3−4), и в точке 4 достигается насыще-ние. Затем ферромагнетик можно опять размагнитить (кривая 4−5−6) и вновь намагнитить до насыщения (кривая 6–1). В точках 1 и 4 векторы насJr

имеют противоположные направления. Таким образом, при действии на ферромагнетик переменного маг-

нитного поля намагниченность J изменяется в соответствии с кривой 1−2−3−4−5−6−1, которая называется петлей гистерезиса (от греч. «за-паздывание»). Гистерезис приводит к тому, что намагниченность фер-ромагнетика не является однозначной функцией Н, т. е. одному и тому же значению Н соответствует несколько значений J.

Различные ферромагнетики характеризуются разными гистере-зисными кривыми. Ферромагнетики с малой (в пределах от нескольких тысячных до 1−2 А/см) коэрцитивной силой Нс (с узкой петлей гистере-зиса) называются магнитомягкими, а с большой (от нескольких десят-ков до нескольких тысяч ампер на сантиметр) коэрцитивной силой (с

J

Н

Jост

Нс

6

Рис. 88. Петля гистерезиса

3

0

1

2

4 5

108

широкой петлей гистерезиса) − магнитожесткими. Величины Нс, Jост и μмакс определяют применимость ферромагнетиков для тех или иных практических целей. Так, магнитожесткие ферромагнетики (например, сплавы на основе соединений SmCo5, Nd2Fe14B, углеродистые и вольф-рамовые стали) применяются для изготовления постоянных магнитов, а магнитомягкие (например, аморфное железо, сплавы железа с никелем) − для изготовления сердечников трансформаторов.

Для каждого ферромагнетика имеется определенная температура, называемая температурой или точкой Кюри, при которой он теряет свои ферромагнитные свойства. При нагревании образца выше точки Кюри ферромагнетик превращается в обычный парамагнетик. Переход веще-ства из ферромагнитного состояния в парамагнитное состояние, проис-ходящий в точке Кюри, не сопровождается поглощением или выделени-ем теплоты. Температуры Кюри для некоторых веществ имеют сле-дующие значения: кобальт – 1 150 0С, железо – 770 0С, никель – 360 0С, гадолиний – 17 0С.

Процесс намагничивания ферромагнетиков сопровождается изме-нением его линейных размеров и объема, т.е. его деформацией. Возни-кающие при этом деформации весьма малы: относительные удлинения образца ферромагнетика /l lΔ в полях порядка 103 А/см обычно имеет порядок 10−5−10−6. Это явление было открыто в середине 19 века Джо-улем и получило название магнитострикции.

7. Элементы теории Максвелла для электромагнитного поля. Вихревое электрическое поле.

Идея максвелла о возбуждении электрического поля переменным магнитным полем

Из закона Фарадея i

dФdt

ε = − следует, что любое изменение сцеп-

ленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникно-вению электродвижущей силы индукции и вследствие этого появляется индукционный ток. Следовательно, возникновение ЭДС электромаг-нитной индукции возможно и в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле. Однако ЭДС в любой цепи возникает только тогда, когда в ней на носители тока действуют сторонни силы – силы неэлектростатического происхождения. Поэтому встает вопрос о природе сторонних сил в данном случае. Опыт показывает, что сторон-ние силы не связанны ни с тепловыми, ни с химическими процессами в контуре; их возникновение нельзя объяснить силами Лоренца, так как они на неподвижные заряды не действуют.

109

Гипотеза Максвелла: Всякое переменное магнитное поле возбу-ждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и явля-ется причиной индукционного поля в контуре.

Согласно представлениям Максвелла, контур, в котором появля-ется ЭДС, играет второстепенную роль, являясь своего рода лишь «при-бором», обнаруживающим это поле.

Циркуляция вектора напряженности вихревого электрического поля

Циркуляция вектора BEuur

: BL S

BE dl d St

∂= −

∂∫ ∫ur

uur r ur (197)

По Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле порож-дает поле электрическое BE

uur, циркуляция которого: B Bl

L L

dФE dl E dldt

= = −∫ ∫uur r

.

Учитывая, что S

Ф Bd S= ∫ur ur

и поверхность, и контур неподвижны,

можно записать BL S S

d BE dl Bd S d Sdt t

∂= − = −

∂∫ ∫ ∫ur

uur r ur ur ur(198). Здесь: ЕBl – проекция

вектора BEuur

на направление dlr

; символ частной производной подчерки-вает тот факт, что интеграл

S

Bd S∫ur ur

является функцией только от времени.

Сравним циркуляции векторов QEuur

и BEuur

:

0QL

E dl =∫uur r

; BL S

BE dl d St

∂= −

∂∫ ∫ur

uur r ur.

Между рассматриваемыми полями ( QEuur

и BEuur

) имеется принципи-альное различие: циркуляция вектора BE

uur в отличие от циркуляции век-

тора QEuur

не равна нулю. Таким образом, можно сделать вывод: Электрическое поле BE

uur,

возбуждаемое переменным магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым. Электростатическое поле QE

uur (его циркуляция

равна нулю – потенциальное ( QEuur

– вектор напряженности электростати-ческого поля).

110

Ток смещения Введение понятия тока. Идея о симметрии во взаимозависимости

электрического и магнитного полей

Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле воз-буждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, то должно существовать и обратное явление: всякое изменение электриче-ского поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля.

Ток смещения

смS

DI d St

∂=

∂∫ur

ur (199)

Введен Максвеллом для установления количественных соотно-шений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем. По Максвеллу, в цепи переменного тока, содержащей конденса-тор, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора существовал ток смещения, равный току в подводящих проводах. Тогда можно утверждать, что токи проводимости I и смеще-ния Iсм равны: Iсм = I. Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора:

S S S

dQ d DI dS dS dSdt dt t t

σσ ∂ ∂= = = =

∂ ∂∫ ∫ ∫ . (200)

Поверхностная плотность заряда σ на обкладках равна электриче-скому смещению D в конденсаторе. Подынтегральное выражение мож-

но рассматривать как частный случай скалярного произведения D d St

∂∂

urur

,

когда Dt

∂∂

ur

и d Sur

взаимно параллельны. Поэтому для общего случая мож-

но записать смS

DI d S It

∂= =

∂∫ur

ur.

Плотность тока смещения

смDjt

∂=∂

uruur

. (201)

Сила тока сквозь произвольную поверхность может быть опреде-лена как поток вектора плотности тока

S

I jd S= ∫r ur

. Тогда см смS

I I j dS= = ∫uur

.

111

Сравнив это выражение с смS

DI d St

∂=

∂∫ur

ur, получим см

Djt

∂=∂

uruur

.

Здесь D – вектор электрического смещения в конденсаторе.

Плотность тока смещения в диэлектрике

0смE Pjt t

ε ∂ ∂= ⋅ +

∂ ∂

ur uruur

, (202)

0D E Pε= ⋅ +ur ur ur

. Дифференцируя, получим плотность тока смещения в ди-электрике.

Плотность тока поляризации Pt

∂∂

ur

.

Обусловлена упорядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике (смещение зарядов в неполярных молекулах или поворот диполей в полярных молекулах). Возбуждение магнитного поля токами поляризации правомерно, так как токи поляризации по своей природе не отличаются от токов проводимости.

Плотность тока смещения в вакууме

ε0·Et

∂∂

ur

.

Обусловлена только изменением электрического поля во време-ни, но также побуждает магнитное поле. Это принципиально новое ут-верждение Максвелла. Даже в вакууме всякое изменение во времени электрического поля приводит к возникновению в окружающем про-странстве магнитного поля.

Замкнутость цепей переменного тока. Плотность полного тока

полнDj jt

∂= +

∂

urr r

. (203)

По Максвеллу, полный ток всегда замкнут, т. е. на концах про-водника обрывается лишь проводимость, а в диэлектрике (вакууме) ме-жду концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости ( полнj

r– плотность полного тока; j

r – плотность тока про-

водимости; формула Dt

∂∂

ur

– плотность тока смещения).

112

(208)

Полный ток полн полн

S

I j d S= ∫r ur

. (204)

Определяется как поток вектора плотности полного тока. Выводы, сделанные Максвеллом. Введя понятия тока смещения

и полного тока, Максвелл по-новому подошел к рассмотрению замкну-тости цепей переменного тока.

Полный ток в них всегда замкнут, т.е. на концах проводника об-рывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток про-водимости.

Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Мак-свелл приписал току смещения лишь одно – способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.

Обобщенная теорема о циркуляции вектора Huur

Теорема о циркуляции вектора H

uur

L

Hdl I=∫uur r

. (205)

Циркуляция вектора Huur

по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром.

Полный ток полн полн

S

I j d S= ∫r ur

. (206)

Поверхность S натянута на замкнутый контур L.

Обобщенная теорема о циркуляции вектора H

( )L S

DHdl j d St

∂= +

∂∫ ∫ur

uur r r ur. (207)

Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора H , введя в её правую часть полный ток.

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля. Уравнения Максвелла в интегральной форме

;

( ) ; 0

L S S V

L S S

BE d l d S D d S d Vt

DH d l j d S B d St

ρ∂= − =

∂

∂= + =

∂

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

urur r ur ur ur

uruur r r ur ur ur

113

(211)

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются не за-висимыми и связаны так:

0

0

;

;

.

D E

B H

j E

ε ε

μ μ

γ

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅

ur ur

ur uur

r ur (209)

где Eur

– напряженность электрического поля; D – электрическое смеще-ние; B

ur – магнитная индукция; H

uur – напряженность магнитного поля;

jr

– плотность тока проводимости; Dt

∂∂

ur

– плотность тока смещения;

ρ – объемная плотность заряда; 0ε и 0μ – соответственно электрическая и магнитная постоянные; ε и μ – соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости; γ – удельная проводимость вещества.

Физический смысл уравнений

Источником электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связанно с тем, что в природе существуют элек-трические заряды, но нет магнитных зарядов.

Уравнения Максвелла для стационарных полей

Стационарные поля ;E const B const= =

ur ur. (210)

Полная система уравнений

Максвелла для стационарных полей

Источниками электрического поля в данном случае являются

только электрические заряды, источниками магнитного – только токи проводимости.

0 ;

; 0L S

L S

E d l D d S Q

H d l I B d S

= =

= =

∫ ∫

∫ ∫

ur r ur ur

u ur r ur ur

114

(212)

В этом случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме характеризуют поле в каждой точке пространства.

Физический смысл уравнений Максвелла в дифференциальной

форме тот же, что и уравнений Максвелла в интегральной. Теоремы векторного анализа, используемые при переходе от инте-

гральной формы уравнений к дифференциальной

Теорема Стокса: зная ротор вектора A в каждой точке некоторой поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру L, ограничивающему S.

L S

Adl rot Ad S=∫ ∫ur r ur ur

. (213)

Теорема Гаусса: зная дивергенцию вектора A в каждой точке про-странства, можно вычислить поток этого вектора через произвольную замкнутую поверхность S конечных размеров.

S V

Ad S divAdV=∫ ∫ur ur ur

. (214)

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и во времени изменяются непрерывно.

Применение уравнений Максвелла и некоторые следствия из них

Выясним, какая из форм уравнений Максвелла – интегральная или

дифференциальная наиболее предпочтительна? Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то

обе формы уравнений Максвелла – интегральная или дифференциаль-ная – эквивалентны. Однако если имеются поверхности разрыва – по-

;

; 0

Br o t E d i v Dt

Dr o t H j d i v Bt

ρ∂= − =

∂∂

= + =∂

urur ur

uru ur r ur

115

верхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкооб-разно, то интегральная форма уравнений является более общей.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и во времени изменяются непрерывно. Чтобы достичь математической эквивалентности обеих форм уравнений Максвелла, дифференциальную форму дополняют граничными условия-ми, которым можно удовлетворять магнитное поле на границе раздела двух сред.

1 2 1 2

1 2 1 2

; ;;

n n

n n

D D E EB B H H

τ τ

τ τ

= == =

(215)

(первое и последнее уравнения отвечают случаям, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов проводимости).

Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т.е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом – они образуют единое электромагнитное поле.

Теория Максвелла, являясь обобщением основных законов элек-трических и магнитных явлений, не только не смогла объяснить уже из-вестные экспериментальные факты, что также является важным её след-ствием, но и предсказала новые явления. Одним из важных выводов этой теории являлось существование магнитного поля токов смещения, что позволило Максвеллу предсказать существование электромагнит-ных волн – переменного электромагнитного поля, распространяющего-ся в пространстве с конечной скоростью. В дальнейшем было доказано, что скорость распространения свободного электромагнитного поля (не связанного с зарядами и токами) в вакууме равна скорости света: с = 3·108 м/с. Эти выводы привели Максвелла к созданию электромаг-нитной теории света, согласно которой свет представляет собой также электромагнитные волны.

116

Приложение

Таблица П1 Основные физические постоянные (округленные значения)

Физическая постоянная Обозначение Значение

Нормальное ускорение свободного падения

g 2/81,9 см

Гравитационная постоянная G )/(1067,6 2311 скгм ⋅⋅ −

Постоянная Авогадро AN 1231002,6 −⋅ моль

Молярная газовая постоянная R )/(31,8 КмольДж ⋅ Молярный объём идеального газа (при нормальных условиях)

MV мольм /104,22 33−⋅

Постоянная Больцмана k КДж /1038,1 23−⋅ Элементарный заряд e Кл191060,1 −⋅ Скорость света в вакууме c см /1000,3 8⋅ Постоянная Стефана – Больцмана σ /(1067,5 428 КмВт ⋅⋅ −

Постоянная закона смещения Вина b Км ⋅⋅ −31090,2 Постоянная Планка h сДж ⋅⋅ −341063,6 Постоянная Планка h сДж ⋅⋅ −341005,1 Постоянная Ридберга R 171010,1 −⋅ м Радиус Бора a м1010529,0 −⋅ Комптоновская длина волны элек-трона

Λ м121043,2 −⋅

Магнетон Бора Bμ 22310927,0 мА ⋅⋅ − Энергия ионизации атома водорода iЕ 6,13(1018.2 18 эВДж−⋅

Электрическая постоянная 0ε мФ /1085,8 12−⋅ Магнитная постоянная 0μ мГн /104 7−⋅π

Масса покоя электрона 9,11·10–31 кг Масса покоя протона 1,67·10–27 кг Масса покоя нейтрона 1,68·10–27 кг

117

Продолжение приложения

Таблица П2 Некоторые внесистемные единицы физических величин

1год = 365,25 сут = 3,16·107с 1мм. рт. ст. = 133,3Па.

1 сут = 86400с 1атм.≈105Па 10=1,75·10–2рад. 1

0А =10–10м. (ангстрем)

1/=2,91·10–4рад. 1эВ = 1,6·10–19Дж.

1//=4,85·10–6рад. 1кал.=4,19 Дж

1л.с.=736 Вт 1Р=2,58 ⋅10–4Кл/кг (Рентген)

1 а.е.м.=1,66⋅10–27 кг

Таблица П3

Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц и их наименования

Приставка Приставка Наименование Обозначение

Множи–тель Наименование Обозначение

Мно–жи– тель

Экса Э 1810 Деци д 110− Пэта П 1510 Санти с 210− Тера Т 1210 Милли м 310− Гига Г 910 Микро мк 610− Мега М 610 Нано н 910− Кило к 310 Пико п 1210− Гекто г 210 Фемто ф 1510− Дека да 110 Атто а 1810−

Таблица П4

Подвижность ионов в газах, м2 В⋅с

Газ Положительные ионы Отрицательные ионыАзот 41027,1 −⋅ 41081,1 −⋅ Водород 4104,5 −⋅ 4104,7 −⋅ Воздух 4104,1 −⋅ 4109,1 −⋅

118

Продолжение приложения

Таблица П5 Диэлектрическая проницаемость

Алмаз 16,5 Парафин 2 Масло 5 Парафинированная бумага 2 Воск 7,8 Слюда 6 Вода 81 Стекло 7

Керосин 2 Фарфор 6 Лёд (–180С) 3,2 Эбонит 2,6 Резина 3 Янтарь 2,7

Таблица П6

Удельное сопротивление проводников (10–7Ом·м)

Алюминий 0,28 Нихром 11,0 Вольфрам 0,55 Олово 1,2 Графит 0,39 Платина 1,05 Железо 1,2 Ртуть 9,4 Кобальт 0,62 Свинец 2,1 Латунь 0,71 Серебро 0,16 Медь 0,17 Сталь 0,12

Никелин 4,2 Цинк 0,59 Никель 0,73

Таблица П7

Температурный коэффициент сопротивления (10–3К–1)

Алюминий 3,6 Нихром 0,4 Вольфрам 4,2 Олово 4,2 Железо 6,0 Платина 3,8 Латунь 1,0 Свинец 3,7 Медь 4,2 Серебро 3,6

Никелин 0,1 Сталь 6,0 Никель 6,2

119

Продолжение приложения

Таблица П8 Электрохимические эквиваленты, мг/Кл (10–6 кг/Кл)

Алюминий (Al3+) 0,093 Водород (H+) 0,0104 Кислород (O2–) 0,083 Медь (Cu2+) 0,33 Олово (Sn2+) 0,62 Никель (Ni2+) 0,36 Серебро (Ag+) 1,12 Хром (Cr3+) 0,18 Цинк (Zn2+) 0,34

Таблица П9 Работа выхода электронов из металла, 10–19Дж

Вольфрам 7,2 Платина 8,5 Калий 3,2 Цезий 3,2 Литий 3,8 Цинк 6,6

Таблица П10 Энергия ионизации (эВ)

Водород 13,6 Литий 75,6 Гелий 24,6 Ртуть 10,4

120

Продолжение приложения

Основные формулы

Σq i= const закон сохранения заряда: алгебраическая сумма зарядов в замкнутой системе (т.е. в системе, не обменивающейся зарядами с внешними телами) остается неизменной при любых процессах внутри этой системы.

F =q q

r1 2

24⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅π ε ε0

F = k 221

rеqq

⋅⋅

закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами прямо про-порциональна абсолютным значениям зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, ε0 − электрическая постоянная,

k = 14

9 109

⋅ ⋅= ⋅

π ε0

H мКл⋅ 2

2 , ε – диэлектрическая

проницаемость изотропной непрерывной среды на-хождения зарядов.

rr

Е Fq

=0

rЕ – напряженность электростатического поля равна силе, дей-ствующей на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля.

Е = qr4 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅π ε ε0

Е – напряженность электростатического поля то-чечного заряда q на расстоянии r от него: ε0 – элек-трическая постоянная, ε – диэлектрическая прони-цаемость среды. r r

Е Е i= ∑

принцип суперпозиции (наложения) электростатических по-лей: напряженность

rЕ результирующего поля, создаваемого

системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в от-дельности.

р q l= ⋅rr

pr – электрический момент диполя: lr

– плечо диполя.

τ = QS

τ – линейная плотность заряда равна заряду, приходящемуся на единицу длинны нити несущей заряд.

σ = QS

σ – поверхностная плотность заряда равна заряду, приходяще-муся на единицу площади поверхности несущего заряд тела.

ρ = QV

ρ – объемная плотность заряда равна заряду, приходящемуся на единицу объема заряженного по объему тела.

121

Продолжение приложения

Е =ее2

у0 ⋅⋅

Е – напряженность поля, создаваемого равномерно заря-женной бесконечной плоскостью: σ – поверхностная плот-ность заряда, ε0 – электрическая постоянная, ε – диэлектри-ческая проницаемость среды нахождения плоскости.

Е =ее

у0 ⋅

Е – напряженность поля, создаваемого двумя бесконечны-ми параллельными разноименно заряженными плоскостя-ми, в пространстве между этими плоскостями.

WП =q q

r1 2

4⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅π ε ε0

WП – потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся на расстоянии r друг от друга.

ϕ =0

пqW ϕ – потенциал электростатического поля равен потенциаль-

ной энергии единичного положительного заряда, помещенного в данную точку.

ϕ =0q

А∞ ϕ – потенциал поля равен работе перемещения единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

ϕ = qr4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅π ε ε0

ϕ – потенциал поля точечного заряда на расстоянии r от него.

ϕ =Σϕ i принцип суперпозиции для потенциала: если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих за-рядов в данной точке.

ϕ1− ϕ2 = Аq

12

0

U = ϕ1 − ϕ2

разность потенциалов между двумя точками равна ра-боте поля по перемещению единичного положитель-ного заряда из начальной точки в конечную; U – на-пряжение.

ε =ЕЕ0 диэлектрическая проницаемость ε показывает во сколько раз

электрическое поле ослабляется диэлектриком; Е0 – напряжен-ность поля в вакууме, Е – напряженность поля в диэлектрике.

0D Еε ε= ⋅ ⋅r r

Dr

− электрическое смещение.

Е = − ϕ − ϕ1 2

d

Е =ϕ ϕ2 1−d

связь между напряженностью Е и разностью потенциа-лов ϕ1 – ϕ2 для однородного электростатического поля: d – расстояние между точками поля, отсчитанное вдоль силовой линии (знак минус «−» в первом уравнении указывает на то, что вектор напряженности поля на-правлен в сторону убывания потенциала).

122

Продолжение приложения

Е =dU Е – напряженность однородного электрического поля в

пространстве между обкладками плоского конденсато-ра; U – напряжение и d – расстояние между обкладками.

С = qϕ

С – электроемкость уединенного проводника равна заряду, со-общение которого проводнику изменяет его потенциал на еди-ницу.

С = q qUϕ ϕ1 2−

= С – электроемкость конденсатора равна отношению заряда q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (напряжению) между его обкладками.

С =ε ε0⋅ ⋅S

d

С – электроемкость плоского конденсатора: S – площадь каждой из обкладок, d – расстояние между обкладками.

С = 4 . π . ε . ε0 . R С – электроемкость шара с радиусом R. С = ΣC i С – электроемкость батареи конденсаторов при их парал-

лельном соединении, C i – электроемкость отдельного кон-денсатора.

U = Ui напряжения на конденсаторах при их параллельном соедине-нии одинаковы.

q = Σqi q – общий заряд на батарее конденсаторов при их параллель-ном соединении, qi – заряд на отдельном конденсаторе.

1С

=ΣiС

1 С – электроемкость батареи конденсаторов при их последо-вательном соединении, C i – электроемкость отдельного кон-денсатора.

U = ΣUi

U – общее напряжение на батарее конденсаторов при их по-следовательном соединении, Ui – напряжение на отдельном конденсаторе.

q = qi

заряды на конденсаторах при их последовательном соедине-нии одинаковы.

W= q U C U qC

⋅=

⋅=

⋅2 2 2

2 2

W – энергия заряженного конденсатора: q – заряд, U – напряжение (разность потен-циалов), С – электроемкость конденсатора.

ω =ε ε0⋅ ⋅E2

2

ω – объемная плотность энергии электроста-тического поля, Е – напряженность поля.

22 20

0 0

е е Eq у SF 2 е е S 2 е е 2⋅⋅

⋅ ⋅

⋅= = =⋅ ⋅ ⋅

F – сила притяжения между двумя раз-ноименно заряженными обкладками плоского конденсатора.

123

Продолжение приложения

21

1

22

2

j2

j2

m q

m q

υ

υ

⋅+ ⋅ =

⋅= + ⋅

закон сохранения энергии при движении заря-женной частицы с зарядом q и массой m: υ 1 и υ 2 – скорости частицы в точках 1 и 2, ϕ1 и ϕ2 – потенциалы в точках 1 и 2, соответственно.

I = qt

I = dqdt

q t= ′

сила тока I равна заряду, протекающему через поперечное сечение проводника в единицу времени.

j = IS

плотность тока j равна силе тока, протекающего через единицу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока.

срj e n υ= ⋅ ⋅rr

направление вектора плотности тока rj совпадает с на-

правлением упорядоченного движения положительных зарядов, n – концентрация носителей тока, срυ

r – ско-

рость упорядоченного движения зарядов в проводнике (скорость дрейфа), е – заряд носителей тока.

I = UR

закон Ома для (однородного) участка цепи: I – сила тока, U – напряжение на участке цепи равно разности потенциалов, т.е. U = ϕ1 - ϕ2, R – сопротивление участка цепи.

R =ρ ⋅ lS

R – сопротивление однородного линейного проводника дли-ной l с постоянной площадью поперечного сечения S, ρ – удельное электрическое сопротивление проводника.

σ = 1ρ

σ – удельная электрическая проводимость вещества, ρ – удель-ное электрическое сопротивление.

ρ = ρ0(1+αt)

α = 1R

Rt

⋅ΔΔ

зависимость удельного сопротивления ρ от температуры: ρ0 – удельное сопротивление при 0 °С, α – температур-ный коэффициент сопротивления равен относительному изменению сопротивления при нагреве на 1 °С (1 К).

R =ΣRi R – общее сопротивление цепи при последовательном со-единении проводников, Ri – сопротивление i-го проводника.

U =ΣUi U – общее напряжение в цепи последовательно соединен-ных проводников; Ui – напряжение на сопротивлении Ri.

I = Ii сила тока в цепи последовательно соединенных сопротив-лений одинакова на всех проводниках.

124

Продолжение приложения

1 1R R i

= ∑

R – общее сопротивление цепи при параллельном соедине-нии проводников, Ri – сопротивление i-го проводника.

U = Ui напряжение при параллельном соединении проводников одинакова на всех сопротивлениях

I = ΣIi I – общая сила тока при параллельном соединении провод-ников; Ii – сила тока на сопротивлении Ri.

U =qA напряжение U равно работе электрического поля по пере-

мещению единичного электрического заряда на данном участке цепи.

Е =Аqс то р

Е – электродвижущая сила (ЭДС), действующая в цепи, равна работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда.

I =rR +

Е закон Ома для замкнутой (полной) цепи: сила тока I в замк-нутой цепи прямо пропорциональна ЭДС источника и об-ратно пропорциональна сумме внешнего R и внутреннего r сопротивлений.

I =R

1221 Е+ϕ−ϕ

U = IR = =ϕ1−ϕ2 + Е 12

закон Ома для неоднородного участка цепи (участка цепи с источником тока): ϕ1 – ϕ2 – разность потен-циалов на концах участка цепи, Е 12 – ЭДС источника (источников) тока, входящего в участок с сопротив-лением R. U – напряжение на неоднородном участке цепи не равно разности потенциалов, т.е. U ≠ ϕ1 – ϕ2.

Eуjrr⋅= =

сЕr

закон Ома в дифференциальной форме: j – плотность то-ка, σ – удельная электропроводность, ρ – удельное сопро-тивление, Е – напряженность электростатического поля.

ΣIK = 0 первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю.

∑ ∑=⋅ iкк RI Е второе правило Кирхгофа: для любого замкнутого кон-тура разветвленной электрической цепи алгебраиче-ская сумма произведений сил токов Iк на сопротивле-ния Rк соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС Еi в этом контуре.

125

Продолжение приложения

I =Rrn

n+⋅⋅Е

закон Ома для замкнутой цепи при последовательном со-единении n одинаковых источников тока: n – число ис-точников тока, r – внутреннее сопротивление каждого из источников, Е – ЭДС отдельного источника, R – внешнее сопротивление цепи.

I =R

nr+

Е закон Ома для замкнутой цепи при параллельном соедине-нии n одинаковых источников тока.

RШ=Rn

A

−1 расчет сопротивления шунта RШ для расширения верхнего

предела измерения амперметра в n = II0

раз, RА – сопро-

тивление амперметра. Rдоб= RV . (n−1) расчет добавочного сопротивления Rдоб для расшире-

ния верхнего предела измерения вольтметра в n = UU0

раз, RV – сопротивление вольтметра.

А=I . U . t = I2 . R . t = UR

t2

⋅ А – работа постоянного тока: I – сила то-ка в цепи, U – напряжение на участке це-пи с сопротивлением R, t – время.

P = At

I U I R UR

= ⋅ = ⋅ =22

P – мощность тока.

Q =I R t UR

t I U t22

⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ закон Джоуля-Ленца: Q – количество те-плоты, выделяющейся на участке цепи с сопротивлением R за время t.

ω = j . E=σ . E2

закон Джоуля–Ленца в дифференциальной форме: ω – удельная тепловая мощность тока (количество теплоты, выделяющейся в единицу времени в едини-це объема), σ – удельная электропроводность, j – плотность тока, E – напряженность электростатиче-ского поля.

m = k . q =k . I . t первый закон Фарадея для электролиза: масса веще-ства m, выделившаяся на электроде, пропорцио-нальна заряду q, прошедшему через электролит, I – сила постоянного тока, протекавшего за время t, k – электрохимический эквивалент вещества.

126

Продолжение приложения

k = 1F

An

⋅ второй закон Фарадея: электрохимический эквивалент k

пропорционален химическому эквиваленту An

, A – атом-

ная (молярная) масса данного химического элемента, n – его валентность, F – постоянная Фарадея.

jH =N . q . d jH – плотность тока насыщения в газе: N – число пар ионов, возникающих в единице объема в единицу вре-мени, d – расстояние между электродами, q – заряд ио-нов (в частном случае q = e – элементарному заряду).

η =rR

RU+

=Е

η – коэффициент полезного действия (КПД) ис-точника тока: R – внешнее сопротивление, r – внутреннее сопротивление, Е – ЭДС источника, U – напряжение на R.

Рmax= r4

2

⋅Е

Рmax – максимальная полезная мощность источника то-ка: Е – ЭДС источника, r – внутреннее сопротивление источника. При этом внешнее сопротивление R = r.

r2 = R1 . R2 соотношение между внутренним сопротивлением r ис-точника и внешними сопротивлениями R1 и R2, когда мощности, выделяемые на R1 и R2, одинаковы (R1 и R2 подключаются поочередно).

η =1 2−⋅P R

U η – КПД линии электропередачи: P – мощность, разви-

ваемая источником при напряжении U на зажимах ис-точника, R – сопротивление линии передачи (сопро-тивление проводов).

[ ]dB

I dl r

rr

r r

=⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

μ

π0

4 3

dB I dlr

=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

μ απ

0 sin4 2

закон Био-Савара-Лапласа: dBr

– магнитная ин-дукция поля, создаваемая элементом длины dl про-водника с током I в вакууме, rr – радиус-вектор от d lr

в точку наблюдения, α – угол между d lr

и rr , μ0 – магнитная постоянная.

0

3

02

м qВ

4 р rм q sinбВ

4 р r

r

υ

υ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅=⋅ ⋅

rr

r

Вr

– индукция магнитного поля свободно движу-щегося в вакууме заряда q с нерелятивистской скоростью υ

r: rr

– радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения; α – угол между векто-рами υ

r и rr

.

B =μ0 ⋅⋅

IR2

B – индукция магнитного поля в центре кругового провод-ника, находящегося в вакууме: R – радиус витка, I – сила тока в проводнике.

127

Продолжение приложения

B =μπ0 ⋅ ⋅ ⋅I

b2

B – индукция магнитного поля, создаваемого беско-нечно длинным прямым проводником с током I в ва-кууме, b – расстояние от оси проводника до точки на-блюдения.

B =μ0 ⋅ ⋅Nl

I B – индукция магнитного поля внутри (длинного) соле-ноида, находящегося в вакууме: l – длина соленоида, N – число витков.

B =rр2INм0

⋅⋅⋅⋅ B – индукция магнитного поля внутри тороида, находя-

щегося в вакууме, N – число витков, r – расстояние от оси до средней линии тороида, I – сила тока, μ0 – маг-нитная постоянная.

∑= iВВrr

принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей: Br

– магнитная индукция результирующего поля;

iBr

– магнитные индукции складываемых полей.

[ ]r r rF I l B

F I l BA

A

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

Δ

Δ sinα

закон Ампера: FA – сила Ампера, действующая на участок проводника длины Δl с током I, помещен-ный в магнитное поле с индукцией B, α – угол меж-ду направлением отрезка Δ

rl проводника с током и r

В , направление Δrl совпадает с направлением тока.

RII2

р4мм

F 210 ⋅⋅

⋅⋅⋅

=⋅

сила взаимодействия двух прямых прямолинейных бесконечных параллельных проводников с токами I1 и I2: R – расстояние между проводниками; l – дли-на одного из проводников, на которую действует си-ла F; μ – магнитная проницаемость окружающей среды; μ0 – магнитная постоянная. r rP N I S n

P N I Sm

m

= ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

Pm – магнитный момент плоского контура с током I и площадью S: rn – единичный вектор нормали к поверх-ности рамки, N – число витков рамки.

[ ]r r rМ P B

M P Bm

m

= ⋅

= ⋅ ⋅ sinα

M – механический момент сил, действующий на пло-ский контур с током, помещенный в однородное маг-нитное поле с индукцией B: Pm – магнитный момент рамки с током, α – угол между нормалью rn к плоско-сти контура и вектором

rВ .

sinaл

л

F q B

F q B

υ

υ

⎡ ⎤= ⋅ ⋅⎣ ⎦= ⋅ ⋅ ⋅

rr r

сила Лоренца (ее магнитная составляющая): Fл – си-ла, действующая на электрический заряд q, α – угол между υ

→

и rВ .

128

Продолжение приложения

лF qE q Bυ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= + ⋅ ⋅r r rr

=

магнэл FFrr

+=

общее выражение для силы Лоренца лFr

при нали-чии в пространстве электрического (с напряжен-ностью Е

r) и магнитного (с индукцией B

r) полей.

лFr

– складывается из электрической элFr

и магнит-ной магнF

r составляющих (слагаемых).

R = mq Bυ⋅⋅

T = 2 2R mqB

π πυ

=

R – радиус окружности и Т – период обращения за-ряженной частицы с зарядом q и массой m, влетев-шей со скоростью υ в однородное магнитное поле с индукцией В нормально к линиям индукции.

R = sinбmq Bυ⋅ ⋅⋅

T = 2 2sin

R mq B

π πυ α⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=⋅ ⋅

h= 2cos б cos бmTq Bπυ υ⋅ ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅

υ =2

2

2q B hRm π⋅ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

R – радиус окружности, Т – период обраще-ния и h – шаг спирали, по которой дви-жется заряженная частица с зарядом q и массой m, влетевшая в однородное магнит-ное поле с индукцией В со скоростью υ

r, со-

ставляющей угол α с линиями индукции, т.е. с вектором В

r.

υ = υ ⋅ (R,h) – выражение скорости υ заря-женной частицы через радиус окружности R и шаг спирали h.

Ф = B . S . cosα Ф = Bn . S

Ф – магнитный поток (поток магнитной индукции) через площадку S: α – угол между вектором

rВ и

нормалью rn к площадке, Bn = В . cosα – проекция вектора

rВ на направление rn .

ДФIА ⋅=

работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

Е =− ΔΔФt

Е =− = − ′dФdt

Ф t

закон Фарадея (основной закон электромагнитной индукции): ЭДС индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изме-нения магнитного потока сквозь поверхность, ог-раниченную этим контуром.

tФNdtdФN ′−=−=Е

Е – ЭДС индукции в рамке с числом витков N.

q = ΔФR

q – величина заряда, протекающего в замкнутом контуре с сопротивлением R при изменении маг-нитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром, на ΔФ .

129

Продолжение приложения

ВE l υ= ⋅ ⋅ = ϕ1 – ϕ2 разность потенциалов (ЭДС индукции), возникаю-щая на концах прямолинейного отрезка проводника длиной l при его движении в однородном магнит-ном поле в плоскости, перпендикулярной линиям индукции В

r, со скоростью υ

r; υr

– перпендикулярна проводнику.

Ф =L . I Ф – магнитный поток, создаваемый током I в контуре с ин-дуктивностью L.

Е c = tIL

ΔΔ⋅−

Е c =− ⋅ = − ⋅ ′L dIdt

L It

Еc – ЭДС самоиндукции пропорциональна скоро-сти изменения силы тока в контуре, L – индук-тивность контура.

μ = ВВ0

μ – магнитная проницаемость вещества показывает, во сколько раз индукция результирующего поля в магнетике больше индукции внешнего поля B0 (поля, создаваемого на-магничивающим током в вакууме); μ = 1 для вакуума. r r

В H= ⋅ ⋅μ μ0

rВ – магнитная индукция в случае однородной изотроп-ной среды, Н – напряженность магнитного поля, μ0 – магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость среды.

L N Sl

= ⋅ ⋅ ⋅μ μ02 L – индуктивность соленоида, N – число витков,

l – длина соленоида, S – его площадь поперечного се-чения, V = S⋅L – объем соленоида.

W = L I⋅ 2

2

W – энергия магнитного поля, создаваемого током I в замк-нутом контуре с индуктивностью L.

ω = B H B H2 2

2 2 2⋅ ⋅=

⋅ ⋅=

⋅μ μ

μ μ

0

0 ω – объемная плотность энергии од-нородного магнитного поля (энергия магнитного поля в единице объема).

k = NN

UU

1

2

1

2= k – коэффициент трансформации трансформатора, N2 и

N1 – число витков во вторичной и первичной обмотках, U2 и U1 – напряжения на обмотках в режиме холостого хода.

130

Продолжение приложения

Некоторые сведения из математики

Правила действия со степенями и корнями

m n m na a a +⋅ = mmn na a=

( )m n m na a ⋅= n n na b a b⋅ = ⋅ ( )m m ma b a b⋅ = ⋅ n

nn

a ab b=

1nna

a−= 1/ n na bb a=

mm n

n

a aa

−=

Разность квадратов a2 – b2 = (a – b)·(a + b) Квадрат двучлена 2 2 2( ) 2± = ± +a b a ab b Формула корней квадратного уравне-ния 2 0+ + =ax bx c

2

1,24

2− ± −

=b b acx

a

Площадь сферы радиусом R 24π=S R Площадь круга радиусом R 2π=S R Длина окружности радиусом R 2π=l R Объем сферы радиусом R 34

3π=V R

Объем цилиндра высотой H с радиусом основания R 2π=V R H Объем куба со стороной а 3V a= Объем конуса высотой H с радиусом основания R 21

3π=V R H

131

Продолжение приложения

Основные производные

y u υ ω= + − υ ω′ ′ ′ ′= + −y u υ=y u υ υ′ ′ ′= +y u u

uyυ

= 2

υ υυ

′ ′⋅ − ⋅′ =u uy

y const= 0′ =y =y Ax ′ =y A , где А –const

ny x= 1−′ = ny nx siny x= cos′ =y x siny Ax= cos ,′ = −y A Ax A const cosy x= sin′ = −y x cosy Ax= sin′ = −y A Ax

xy a= ln′ = xy a a y tg x=

2

1cos

′ =yx

Некоторые интегралы 1

22

2

2

, 1 ln1

1 sin cos

cos sincos

lnsin sin 2

mm x dxx dx m const x

m xdx x dx x dx xx x

dxx dx x tgxx

dx dx xctgx tgx x

+

−

⋅ = = ≠ =+

= ⋅ = − ⋅ = −

⋅ = =

⎛ ⎞= − = ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

b

α

a c

s in ; c o s ;

;

a bc a

a btg c tgb a

α α

α α

= =

= =

Тригонометрические функции острого угла

132

Продолжение приложения

Основные тригонометрические тождества

2 2sin cos 1α α+ = 21 cos 2 2cosα α+ = sincos

tg ααα

= 21 cos 2 2sinα α− =

cossin

ctg ααα

= 22

11sin

tg αα

+ =

1tgctg

αα

= 22

11sin

ctg αα

+ =

Формулы приведения

α α + ( / 2)π α π+ (3 / 2)α π+ ( / 2)π α− π α− (3 / 2)π α−sin cosα sinα− cosα− cosα sinα cosα− cos sinα− cosα− sinα sinα cosα− sinα− tg ctgα− tgα ctgα− ctgα tgα− ctgα ctg tgα− ctgα tgα− tgα ctgα− tgα

Тригонометрические функции двойного аргумента

2 22

2sin 2 2sin cos ; cos2 cos sin ; 21

αα α α α α α αα

= = − =−

tgtgtg

Теорема Пифагора 2 2 2c a b= +

Теорема косинусов 2 2 2 2 cosα= + −a c b cb

133

Список литературы

1. Детлаф А.А. Курс физики: учебное пособие для студентов втузов [текст] / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. – М.: Академия, 2005. – 720 с.

2. Дмитриева В.Ф. Физика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования [текст] / В.Ф. Дмитриева. – М.: Академия, 2007. – 464 с.

3. Огурцов А.Н. Лекции по физике [электронный ресурс] / А.Н. Огурцов. – http://www.ilt.kharkov.ua/bvi/ogurtsov/ogurtsov.

4. Трофимова Т.И. Курс физики [текст] / Т.И. Трофимова. – М.: Высшая школа, 1999. – 542 с.

5. Трофимова Т.И. Физика в таблицах и формулах: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений и образоват. учреждений сред. проф. образования [текст] / Т.И. Трофимова. – М.: Академия, 2006. – 448 с.

6. Чакак А.А. Курс физики. Электричество и магнетизм: учебное по-собие для студентов заочного отделения высших учебных заведе-ний [текст] / А.А. Чакак. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2006. – 268 с.

134

Учебное издание

ПОЛИЦИНСКИЙ Евгений Валериевич

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Курс лекций

Научный редактор доктор педагогических наук, профессор М.П. Пальянов Редактор Т.В. Казанцева Верстка Е.В. Полицинский Дизайн обложки О.Ю. Аршинова

Подписано к печати 11.03.2009. Формат 60х84/8. Бумага

«Снегурочка». Печать XEROX. Усл.печ.л.7.79. Уч.-изд.л.7,05.

Заказ . Тираж 70 экз.

Томский политехнический университет Система менеджмента качества

Томского политехнического университета сертифи-цирована

NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2000

. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.