МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования "Тульский государственный университет"

В.А. Семин, С.М. Семина

Основы получения и обработки экспериментальных данных

Учебно-методическое пособие

Тула Изд-во ТулГУ

2013

УДК 53.08 Семин В.А., Семина С.М. Основы получения и обработки экспериментальных данных: учебно-методическое пособие. -Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. – 68 с. ISBN 978-5-7679-2561-2 В учебно-методическом пособии приводится информа-ция об основных приборах, используемых в лабораторном практикуме, способах измерения величин, а также обсуждены основы обработки данных, расчета погрешностей и построе-ния графиков. В последней главе приведены примеры расче-тов, а также варианты заданий для самостоятельного выпол-нения студентами. Учебно-методическое пособие может быть использовано студентами в качестве справочника на занятиях по общему физическому практикуму, а также для выполнения домашне-го задания по курсу "Введение в физику". Табл. 13. Ил.: 33. Библиогр.: 3 назв. Печатается по решению библиотечно-издательского совета Тульского государственного университета Рецензент: Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого, канд.техн.наук, доц. И.А. Клепинина,

? Семин В.А., Семина С.М., 2013 ISBN 978-5-7679-2561-2 ? Изд-во ТулГу, 2013

3

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................4 1. ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ .......................................................... 5

1.1. ИЗМЕРЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ....................................................... 7 1.1.1. Измерения с помощью линейки ................................................... 7 1.1.2. Измерения с помощью штангенциркуля ................................... 10 1.1.3.Измерения с помощью микрометра........................................... 14 1.1.4. Абсолютная и относительная погрешности ........................... 18

1.2. ИЗМЕРЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ИНТЕРВАЛОВ .............................................. 20 1.2.1. Измерения с помощью секундомера.......................................... 22

1.3. ПРИБОРЫ, ИЗМЕРЯЮЩИЕ МАССУ И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ МАССЫ ....... 23 1.4. ПРИБОРЫ, ИЗМЕРЯЮЩИЕ НАПРЯЖЕНИЕ И СИЛУ ТОКА ........................ 25 1.5. КАК УВЕЛИЧИТЬ ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ ............................................. 28

2. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА.......................... 30 2.1. ПРЯМЫЕ И КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ................................................... 30 2.2. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ И СЛУЧАЙНЫЕ ОШИБКИ...................................... 33 2.3. ГАЙАВАТА СТАВИТ ЭКСПЕРИМЕНТ ..................................................... 37 2.4. ДЕСЯТИЧНЫЕ ПРИСТАВКИ. ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ. СТАНДАРТНЫЙ ВИД ЧИСЛА ...................................................................................................... 38 2.5. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ...... 40 2.6. К ВОПРОСУ О ВЫБОРЕ МАСШТАБА...................................................... 45 2.7. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИКА ДЛЯ РАССЧЕТА ПАРАМЕТРА. МЕТОД СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ........................................................................ 47 2.8. МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ................... 52

3. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ...................................................... 57 3.1. СТАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ........................................................................ 57

Задание 1 ........................................................................................... 58 3.2. ДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОД .................................................................... 60

Задание 2............................................................................................. 61 3.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ........................................ 62

Задание 3............................................................................................. 63 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ....................................................................... 64

Приложение ........................................................................................ 65

4

Обработка экспериментальных данных "Неверные весы - мерзость

пред господом, но правильный вес угоден Ему"

Притчи Соломона 20:23

Введение Изучать природные явления можно двумя способами: качественно и количественно. В первом случае можно сде-лать выводы только о связи одних природных явлений с дру-гими. Во втором случае необходимо получить аналитическую зависимость нескольких физических величин, т.е. поставить в соответствие численные значения этих величин. Например, изучая падение тел с высоты, можно сделать простой вывод о том, что любые тела, отпущенные без на-чальной скорости, упадут на землю, причем их движение бу-дет происходить по вертикали, а если тело бросить под углом к поверхности земли, то оно тоже упадет, но будет двигаться по более сложной траектории. Это качественный вывод, по-тому что мы не оцениваем, например, время падения, не ис-следуем зависимость этого времени от массы тела или темпе-ратуры воздуха, не задаемся целью найти форму трактории (оказывается, в вакууме при небольщих высотах подъема это будет парабола!). Другим примером качественного вывода служит утвер-ждение, что при приближении постоянного магнита к замк-нутому проводящему контуру в нем начинает течь ток. Это – явление электромагнитной индукции. Углубляясь в подроб-ности, можно заметить связь между направлением тока в кон-туре и тем, какой полюс магнита приближается к контуру. Такую зависимость можно объяснить правилом Ленца. Опять же это всего лишь качественные выводы без дополнительной информации о зависимости силы тока в контуре, например, от скорости приближения магнита.

5

Для количественного изучения явлений нам необходимо получить численную взаимосвязь между физическими вели-чинами. Рассмотрим первый пример, где тело падает по вер-тикали без начальной скорости. Чтобы не обсуждать воздей-ствие воздуха, придется проводить опыты в вакууме. Найдем времена падения тела t при разных высотах h и убедимся в в том, что существует зависимость между этими двумя физи-чискими величинами: 2h kt , причем самый интересный чис-ленный вывод заключается в том, что

2 consthkt

,

т.е. этот коэффициент не зависит от размеров или массы тела. Но такая простота исчезает, когда мы проделаем те же опыты в воздухе. Сказывается сопротивление воздуха, которое явно зависит от размеров и формы тела (явно для тех, кто догада-ется для опытов подобрать тела разных размеров, но обяза-тельно одинаковых масс). Таким образом, количественное изучение сопротивления воздуха дает конструкторам направ-ление поисков, например, для разработки формы крыла само-лета, испытывающего наименьшее сопротивление.

1. Измерительные приборы Выполняя лабораторные работы в курсах разных дисци-плин, и конечно же при изучении курса общей физики, в большинстве случаев необходимо получить количественный вывод о явлениях, т.е. найти численное значение, например, силы трения, коэффициента упругости пружины, динамиче-ского коэффициента вязкости, ускорения свободного падения и т.д. Немного реже требуется подтвердить теоретическую зависимость одной величины от другой, например, линейную зависимость сопротивления металла от температуры или ли-нейную зависимость углового ускорения вращающегося тела от приложенного к нему момента силы, нелинейную зависи-мость тока в туннельном диоде от напряжение на нем и.т.д.

6

В любом случае, Экспериментатору (назовем этим звуч-ным словом студента при выполнении лабораторной работы) требуются приборы, которые помогут ему измерить различ-ные физические величины. Обычно набор приборов невелик: для механических опытов это - линейка для измерения размеров тел и расстояний меж-ду точками (а еще с помощью этой же линейки можно прово-дить карандашом линии на графике!); - штангенциркуль и микрометр для измерения размеров тел любой формы, например, диаметр шара или цилиндра, а также для более точного измерения малых размеров; - секундомер для измерения временной длительности процессов (время падения, время колебаний, время вытекания воды из сосуда); - весы для измерения массы тел (не мешало бы иметь в лаборатории). Как показывает практика, все используемые в лабораторных работах тела взвешены лаборантом и Экспери-ментатор уже имеет численные значения масс, нанесенные обычно прямо на поверхность этих тел разными способами – или краской или механическим продавливанием. Для лабораторных работ по электричеству и магнетизму нужны - амперметр, измеряющий ток; - вольтметр, измеряющий напряжение. - осциллограф, который помогает изучать электрические процессы во времени.

7

1.1. Измерение линейных размеров

Рис.1. Приборы, измеряющие линейные размеры: а,в - штангенциркули; б - стальная линейка; г - микрометр

Как видно из рис.1, на каждом из приборов есть набор тонких линий, повторяющихся через одинаковый интервал, а также целые числа. На основной шкале штангенциркулей и линейке (см. рис.1, а, б, в) числа выражают сантиметры. Меж-ду двумя числами ровно 10 интервалов по одному миллимет-ру. Такая линейка называется миллиметровой. Говорят, что цена деления линейки равна 1 мм (насчет штангенциркулей разговор особый). Для удобства отсчетов каждая пятая линия рисуется длиннее других, а каждая десятая еще длиннее.

1.1.1. Измерения с помощью линейки Чтобы измерить ширину b деревянного бруска линей-кой, нам необходимо приложить ее нулевую линию с левым краем бруска. В нашем примере на рис.2 нулевая линия сов-падает с левым краем самой линейки, что очень удобно, по-тому что можно совместить края бруска и линейки наощупь

а)

б)

в)

г)

8

(такое расположение нулевой линии достаточно редко, и обычно она рисуется на удалении в несколько миллиметров от левого края линейки). Правый край бруска располагается между двумя линиями на линейке, что соответствует значе-нию 31b мм.

Рис.2. Измерение ширины деревянного бруска.

У левого края линейки двумя буквами "мм" отмечено то, что линейка миллиметровая

Можно гордо заявить, что ширина бруска 31,4b мм, но это будет все равно не точный ответ. Чтобы не спорить о том, кто точнее может измерять размеры тел с помощью линейки и у кого глаз-алмаз, принято формально приписывать каждо-му прибору погрешность измерения. Не вдаваясь в точную теорию погрешностей, для просто-ты расчетов примем погрешность прибора при однократном измерении как половину цены его деления и обозначим так:

2b

. Для миллиметровой линейки погрешность составит

полмиллиметра, т.е 0,5b мм. Как же тогда записать в тол-стую лабораторную тетрадь результат этого важного экспе-римента по измерению ширины бруска? Очень просто: 31,0 0,5b мм.

9

Для более щепетильных в вопросе точности можно предло-жить такую запись: 31,5 0,5b мм. Две приведенные записи ответа означают следующее: точное значение ширины бруска не известно, но с уверенно-стью можно сказать (вот только на сколько процентов эта уверенность?), что оно лежит в диапазоне между 30,5 мм и 31,5 мм для первой записи или в диапазоне от 31,0 мм до 32,0 мм для второй. И какая запись более правильная? Вторая бо-лее наглядна, а посему примем ее за эталон. И вообще, оста-вим право округлять ответ до ближайшего деления на линей-ке или не округлять Экспериментатору, ведь глаз человека очень точный прибор. Он различает размеры меньше толщи-ны волоса, которая составляет всего несколько микрометров (см. рис.10, Б), а уж размер в полмиллиметра и подавно. Если точность измерения ширины брусков 0,5b мм при изготовлении стропил для строительства новой крыши превышает все запросы дачника, то изготовление цилиндри-ческой втулки требует для измерения ее диаметра d большей точности, например, 0,1d мм или даже 0,05d мм. Если диаметр втулки сделать на 0,1 мм больше, то она может не зайти в нужное отверстие, если на 0,1 мм меньше, то она бу-дет в отверстии немного болтаться, что в конечном итоге вы-зовет поломку механизма. Измерять с такой точностью при-зван штангенциркуль (рис.3).

10

1.1.2. Измерения с помощью штангенциркуля

Рис.3. Штангенциркуль ШЦ-1 с двусторонним расположением губок для измерения наружных и внутренних размеров

и с линейкой для измерения глубин: 1-штанга, 2-подвижная рамка, 3-шкала штанги, 4-губки для внутренних измерений,

5-губки для наружных измерений, 6-линейка глубиномера, 7-нониус, 8-винт для зажима рамки

Как же достигается такая точность измерений, ведь на рис.3 видно, что шкала штанги 3 штангенциркуля состоит из миллимитровых делений? Увеличим рис.3, чтобы подробнее рассмотреть дополнительную шкалу 7, которая располагается на подвижной рамке 2 под шкалой штанги и называется нониус. Нониус – это 11 линий (что соответствует 10 интервалам между ними), расположенных через одинаковые промежутки в диапазоне от 0 до 19 мм по шкале. Самую левую линию на-зовем нулевой, а все остальные будут иметь нумерацию от 1 до 10. Также поступим с нумерацией линий на шкале штанги: Там, где стоит цифра 0, будет нулевая линия, остальные бу-дут нумероваться по порядку, начиная с 1. Без особого труда можно разделить 19 мм на 10 и узнать ширину одного интер-вала на нониусе, который будет равен 1,9 мм. Что же скрыва-ется за таким странным числом? Все очень просто! Это озна-

11

чает, что первая линия на нониусе чуть-чуть не дотягивает до второй линии на штанге, которая соответствует 2 мм. И это "чуть-чуть" есть 0,1 мм. Вторая линия нониуса чуть-чуть (уже на 0,2 мм) не дотягивает до четвертой линии штанги, третья линия нониуса отстает уже на 0,3 мм от шестой линии штанги и т.д. Как же этим можно воспользоваться?

Рис. 4. Нониус штангенциркуля, благодаря которому

его цена деления становится равной = 0,1 мм

Сдвинем подвижную рамку так, чтобы первая линия но-ниуса совпала со второй на штанге штангенциркуля. Это бу-дет означать, что зазор между губками для наружных измере-ний 5 (см. рис.3) будет равен 0,1 мм! Что же может протис-нуться в такой зазор? Например, лист бумаги или волос, вы-дернутый из бороды Хаттабыча (см. рис.10, А, Б). А если сдвинуть рамку на 0,3 мм? Тогда третья линия на нониусе совпадет с шестым делением штанги. Таким обра-зом, совпадение n-й линии нониуса с какой-нибудь линией на штанге будет означать маленький сдвиг на 0,1x n мм, где n –номер деления нониуса. Таким образом цена деления штангенциркуля равна = 0,1 мм.

12

Рассмотрим пример измерения диаметра шарика (см. рис.5). Для измерения необходимо развести губки 5 (см. рис.3) настолько, чтобы между ними смог поместиться ша-рик. Затем губки сдвинуть, чтобы шарик оказался плотно за-жатым между ними. Далее отсчитать по штанге количество линий, умещающихся между нулевой линией штанги и нуле-вой линией нониуса. Из рис.5 видно, что таких линий 16 (или 16 целых миллиметров). Затем найдем такую линию на но-ниусе, которая наилучшим способом совпадает с какой-нибудь линией на штанге. Надеюсь, никто не будет спорить, что это третья линия нониуса, которая совпадает с 22 линией на штанге. Это дает нам информацию о дополнительном сдвиге 0,3 мм. Таким образом результатом измерения диа-метра шарика можно считать значение 16,3d мм.

Рис. 5. Измерение диаметра шарика штангенциркулем ШЦ-1 с ценой деления 0,1 мм

Но этот результат не может быть точным, ведь совпаде-ние третьей линии хоть и наилучшее, но не полное. Но во-прос о погрешностях уже обсуждался выше и поэтому мы знаем что делать:

16,3 0,05d мм. Для тех, кто забыл, напомню, что погрешностью одно-кратно измеренной величины мы решили считать половину цены деления, что в данном случае составляет

0,1 0,052 2

d мм.

16 мм + 0,3 мм =16,3 мм

13

Есть штангенциркуль более точный (см рис.1, а). Его цена де-ления написана у правого конца штанги и равна 0,05 мм. Рас-смотрим, как отразится использование другого прибора на точно-сти измерения того же шарика на рис.6.

Рис.6. Измерение диаметра шарика штангенциркулем ШЦ-1

с ценой деления 0,05 мм

Теперь погрешность измерения составляет 0,052 2

d

= 0,025 мм и ответ будет выглядеть так: 16,35 0,025d мм. Может быть кому-то не дает покоя вопрос, что это за глуби-номер такой, который обозначен цифрой 6 на рис.3, и что он уме-ет? Тогда советую рассмотреть рис. 7.

Рис.7. Измерение глубины отверстия в упоре для ручной дрели

16 мм +0,35 мм =16,35 мм

а) б) в) г)

14

Линейка глубиномера это всего лишь тонкий стальной стержень, жестко скрепленный с подвижной рамкой. Если рамку переместить по штанге на x , то из штангенциркуля выдвинется кусочек этого стержня ровно на такую же вели-чину x . Чтобы измерить глубину, надо выдвинуть стержень с большим запасом (см. рис.7, а), затем упереться в дно отвер-стия (см. рис.7, б). Далее легким усилием надо сдвинуть штангу вниз до соприкосновения с поверхностью, в которой сделано это отверстие (см. рис.7, в), и затем осторожно выта-щить (см. рис.7, г). Теперь просто снимаем данные по шкале и нониусу, что соответствует зазору между губками 5 (см. рис.3) и одновременно равно длине видимой части глубино-мера.

1.1.3.Измерения с помощью микрометра Есть приборы с еще большей точностью – это микромет-ры, название которых говорит само за себя. Цена деления та-ких приборов может быть 0,01 мм (или 10 мкм) (см. рис.1, г) и даже еще меньше – 0,001 мм (1 мкм!).

Действие микрометра основано на перемещении винта вдоль оси при вращении его в неподвижной гайке. Переме-щение пропорционально углу поворота винта вокруг оси . Полные обороты отсчитывают по шкале, нанесённой на стеб-

Рис.8. Устройство микро-метра: 1 - пятка, 2 - установочная мера, 3 - микрометрический винт, 4 -стебель, 5 - барабан, 6 - трещотка, 7 - стопор, 8 – скоба

15

ле микрометра 4 (см. рис.8), а доли оборота — по круговой шкале, нанесённой на барабане 5 (см. рис.8, рис.9, Б). Посто-янное осевое усилие при контакте винта с деталью обеспечи-вается фрикционным устройством – трещоткой 6. При плот-ном соприкосновении измерительных поверхностей микро-метра 1 и 3 (см. рис.8) с поверхностью измеряемой детали трещотка начинает проворачиваться с лёгким треском, при этом вращение микровинта следует прекратить после трёх щелчков. На стебле микрометра параллельно оси нанесена линия, снизу которой расположена знакомая нам миллиметровая шкала с цифрами (см. рис.9). Вращаясь, барабан перемещает-ся вдоль оси и приоткрывает деления на шкале стебля. На рис.9 видно, что открыто 16 целых делений. В дополнение к целым миллиметрам нужно прибавить показания, отсчитан-ные по шкале барабана, цена деления которого составляет 0,01 мм. На рис.9, Б видно, что горизонтальная линия на стебле упирается в барабан на отметке 29, что означает 29 0,01 0,29 мм (или чуть больше).

Рис.9. Измерение диаметра шарика микрометром с ценой деления 0,01 мм

Таким образом, измерение диаметра знакомого нам шарика дает результат 16,29 0,005d мм,

А Б

16 +0,29 =16,29 мм

16

где погрешность вычисляется, конечно же, по известному нам принципу

0,01 0,0052 2

d мм.

Рис.10. Измерение малых размеров микрометром:

а - лист бумаги, б - волос, в- штекер наушников с входом 3,5 мм

А теперь ради интереса измерим что-нибудь маленькое (см. рис.10). Например толщину листа бумаги, толщину воло-са из бороды Хаттабыча, а заодно проверим, вправду ли мне продали в магазине наушники с входом 3,5 мм для новой электронной книги. Запишем в свою толстую лабораторную тетрадь резуль-тат нового измерения: Толщина листа бумаги 0,1 0,005d мм. Толщина волоса 0,06 0,005d мм.

а б в

17

Диаметр входа наушников 3,45 0,005d мм (не обма-нули!) А если записать толщину бумаги и волоса в микронах? Попробуем. Толщина листа бумаги 100 5d мкм. Толщина волоса 60 5d мкм. Согласитесь, ответ теперь более изящный, и он нам на-мекает, что мы уже прикоснулись к микромиру! Что же мы упустили? Какой вопрос вертелся на языке, но нас отвлекли красивые картинки? Подсказка: на рис.3 упоми-нались губки для внутренних измерений, а на рис.9, А есть еще какие-то линии над горизонтальной полосой. Побробуем убить двух зайцев одним примером.

Рис.11. Измерение внутренних размеров и использование двух шкал на стебле микрометра

а

б

в

г

18

Раздвинем на некоторое расстояние измерительные по-верхности микрометра и вставим между ними губки штан-генциркуля для измерения внутренних размеров. Раздвинем губки до плотного контакта с микрометром (см. рис.11, а). Теперь можно снять результаты сразу с двух приборов и сравнить их. Судя по результатам измерения штангенцирку-лем (см. рис.11, б) расстояние, на которое мы раздвинули губки, равно

12,7 0,05x мм.

На шкале стебля микрометра тоже открыты 12 целых миллиметров (см. рис.11, г), но вот по шкале барабана мы от-считываем 21 деление (или чуть меньше). Неужели, вспоми-ная правило сложения, микрометр показывает

12 0,21 12,21x мм?

Где же потерялись почти полмиллиметра? И тут в игру всту-пает верхняя шкала на стебле. Оказывается ее деления сдви-нуты относительно делений на нижней шкале ровно на пол-миллиметра! После каждого оборота барабана из-под него по очереди показываются деления то на нижней шкале (что со-ответствует целым миллиметрам), то на верхней шкале (что соответствует прибавлению половины миллиметра). Как хорошо видно из рис.11, г, из-под барабана показа-лось не только 12 делений нижней шкалы, но и следующее за ними деление верхней. Таким образом можно рассчитать рас-стояние так:

12 0,5 0,21 12,71 0,005x мм. Что полностью согласуется с показаниями штангенциркуля.

1.1.4. Абсолютная и относительная погрешности Вернемся к рассмотренным выше примерам измерения ширины бруска и толщины листа бумаги. Погрешность 0,5b мм измеряется в тех же единицах, что и сама величина, т.е. ширина бруска, равная 31,5b мм.

19

Такая погрешность называется абсолютной и дает количест-венную оценку. Чтобы получить качественную оценку нашему измерению, вводится понятие относительной погрешности

0,5 0,015931,5

bb

.

Это безразмерная величина, но можно ее выразить и в про-центах, умножив предварительно на 100 %,

100 % 1,59 %bb

.

Относительная погрешность говорит о качестве экспери-мента, т.е правильно ли выбраны приборы (в смысле цены деления) для измерения. Очень точным (или прецезионным) результатом можно считать тот, относительная погрешность которого меньше 1–2 %. Таким образом, ширина бруска бы-ла измерена очень точно с помощью миллиметровой линейки. В большинстве случаев при выполнении лабораторных работ по физике относительная погрешность экспериментов обыч-но не превышает 30 %. Рассмотрим пример правильного выбора прибора для измерения d толщины листа бумаги (см. рис.10, А). Если пы-таться измерить d с помощью миллиметровой линейки и угадать, что 0,1d мм, то при абсолютной погрешности ли-нейки 0,5d мм относительная погрешность будет равна

0,5100 % 100 % 500 %0,1

dd

.

Это очень некачественный результат! Тогда попробуем измерить штангенциркулем с ценой деления 0,1 мм. Тогда

0,05d мм и = 50 %. Тоже плохо. Остается выбрать мик-рометр с ценой деления 0,01 мм, тогда 0,005d мм и = 5 %. Вот это то, что нам нужно! Но не следует увлекаться в погоне за точностью. Ведь более точные приборы стоят дороже линейки в десятки, а иногда и в сотни раз. Сначала решите вопрос о допустимой

20

погрешности, которая от вас требуется в конкретном случае, а потом уже идите в магазин и покупайте тот прибор, кото-рый сможет обеспечить нужную точность. Надеюсь, примеров, приведенных выше, уже достаточно, чтобы новорожденный Экспериментатор сам смог разобрать-ся в выборе нужного прибора для измерения размеров разных тел и потом смог бы записать результаты своих измерений в лабораторный журнал.

1.2. Измерение временных интервалов Если при измерении размеров тела мы визуально (то есть на глаз) находим число одинаковых интервалов на шкале, ко-торые умещаются на этом размере, то как быть со временем? Мы же его не видим. Рассмотрим пример падения кирпича с крыши девятиэтажного дома (юный Экспериментатор решил проверить прочность асфальтового покрытия под окнами своей квартиры). Наблюдая за кирпичем (по понятным при-чинам издалека), мы с напарником можем с уверенностью говорить о двух временных моментах – о начале и конце па-дения. Я даже могу отметить эти моменты, выкрикнув два раза слово "Оп!", чтобы мой друг смог участвовать в процес-се измерения времени падения кирпича на слух, отвернув-шись в сторону. Но с какими интервалами, аналогичными ин-тервалам на шкале линейки, можно сравнить саму длитель-ность полета? Такие интервалы придуманы очень давно. Од-ним из древних приборов, использующих временные интер-валы, являются песочные часы. Да и сейчас в парке аттрак-ционов у оператора карусели в кабинке можно их увидеть. Песок из одного сосуда через отверстие пересыпается в дру-гой сосуд за три минуты. Потом их переворачивают и трех-минутный процесс пересыпания повторяется, а катание на карусели растягивается уже на 6 минут. Такие часы не подой-дут для нашего эксперимента – слишком долго пересыпается песок. Нам нужны интервалы поменьше. И вот что удалось

21

найти: часы с секундной стрелкой, секундомеры ме-ханические и электронные (см. рис.12).

Какой же прибор нам выбрать? Сначала теоретически грубо оценим время падения, предполагая падение кирпича равноускоренным с ускорением 9,8 м/с2. А какова же высота девятиэтажного дома? Для оценки достаточно считать высоту каждого этажа приблизительно 3 м (тогда полная высота бу-дет 27 м). Используя формулу равноускоренного движения 2 2h gt , выразим время полета 2 2 27 9,8 2,35t h g с. Этот рассчет показывает, что время падения длится всего па-ру секунд и воспользовавшись часами (см. рис.12, а) с се-кундной стрелкой и, соответственно, с погрешностью 0,5 с, мы получили бы слишком грубый результат. Секундомер (см.

Рис.12. Приборы, измеряющие временные интервалы: а - наручные часы, б и в - механические секундомеры,

г и д - электронные секундомеры

а б в

г д

22

рис.12, б) имеет 5 делений на каждый секундный интервал, что соответствует цене деления 0,2 с и погрешность этого

прибора будет равна 0,12

t с. Такой секундомер нам по-

дойдет, но где его взять? Он остался в аудитории где прово-дятся лабораторные работы. А прибор (см. рис.12, в), что еще хуже, работает от электричества (хотя нам бы он подошел еще лучше, так как имеет цену деления =0,01 с). И тут за-звонил мобильный телефон в моем кармане и я вспомнил, что в нем есть электронный секундомер (см. рис.12, д). Оказа-лось, что цена его деления составляет 0,01 с (а у моего друга более дорогой телефон, а цена деления его секундомера (см. рис.12, г) всего 0,1 с ). Конечно, строго говоря, у электронно-го секундомера нет делений, но мы так будем называть еди-ницу последнего разряда числа, изображенного на экране.

1.2.1. Измерения с помощью секундомера Процесс измерения очень прост. Надо два раза нажать на кнопку секундомера – первый раз в момент начала какого-нибудь процесса (например начала рекламы по телевизору), а второй раз в конечный момент этого же процесса (когда рек-лама закончится, правда можно не дождаться и уснуть, и то-гда результаты измерения будут недостоверны). Итак, мы измерили время падения кирпича каждый с по-мощью своего секундомера и получили два результата:

1 1,95t с и 2 2,6t с. Как же так!? Расхождение результатов ( 2 1 2,6 1,95 0,65t t с) намного превышает погрешность наших секундомеров! Может сказалось то, что напарник ори-ентировался на мои звуковые сигналы? На этот вопрос ищите ответ ниже в п.3.2.

23

1.3. Приборы, измеряющие массу и методы измерения массы Приборы, измеряющие массу тел, называются весами. Мы практически каждый день сталкиваемся с различными их модифи-кациями в магазинах и на рынках. Бытовые весы ВПБ-20 можно рассмотреть на рис.13. Как видно из рисунка, цена деления весов составляет 100 г, т.е. погреность измерения массы составляет

50 г. Такими весами удобно взвешивать большую сумку с кар-тошкой на Южном рынке.

Для этого надо взять весы в пра-вую руку за ручку А (см. рис.13), при этом крючок Б должен свободно висеть внизу. Крючком зацепить ручки сумки с кар-тошкой и двумя руками осторожно, без рывков попы-таться поднять ве-

сы вверх до отрыва сумки от зем-ли. Если удастся держать все это на весу и одновременно заглянуть на шкалу В, то можно узнать мас-су груза. Если заглянуть на ци-ферблат не удастся, то можно по-просить сделать это какого-нибудь другого покупателя (кото-рый по Вашей милости сразу пре-вращается в Экспериментатора). Но если вы захотите купить 100 грамм развесной красной (а может быть даже черной) икры, вам лучше воспользоваться ана-литическими весами (см. рис.14) и набором гирь (см. рис.15).

Рис.14. Аналитические весы

Рис.13. Ручные бытовые весы ВПБ-20

А

Б В

А Б

24

Рис.15. Комплект гирь

Положите на чашку А (см. рис.14) коробочку с икрой, а на чашку Б гирьку 100 г из набора (см. рис.15). Если чашка Б с гирь-кой перевесит, то замените гирьку сразу шестью – 50, 20, 20, 5, 2 и 2 г. Всего будет 99 г. Все равно перевешивает? Замените одну гирь-ку в 2 г на другую в 1 г. Теперь на правой чашке весов 98 г.Результат не изменился? Уберите гирьку в 1 г, тогда останется 97 г. Почему же теперь чашка Б поднялась вверх? Да потому что 97 г недостаточно, чтобы перевесить икру. Значит она весит больше 97 г, но меньше 98 г. Будем уточнять дальше? Для этого существуют маленькие пластиночки (см. рис.15), на которых выбиты их массы в миллиграммах. С помощью этих пластинок можно подобрать лю-бую комбинацию масс от 10 мг, до 990 мг. Таким образом можно принять цену деления весов с таким набором разновесов равной

10 мг (а погрешность измерения будет 5 мг). Как все, наверное, догадались, мой алгоритм взвешива-ния не очень удачный, так как предлагает уменьшать массу перегрузков всего на 1 грамм. Хорошо еще, что масса икры была 97 с лишним граммов, и нам пришлось сделать всего 4 шага. А если бы мы пытались взвесить груз масой 59 грамм, сколько же шагов тогды пришлось бы сделать? Предлагаю более эффективный алгоритм:

25

1. Кладем на правую чашку весов одну гирьку 100 г. Это много. 2. Меняем эту гирьку на другую в 50 г. Это мало. 3. Добавляем гирьку 20 г (всего 70 г) – много. 4. Меняем гирьку 20 г на другую в 10 г (всего 60) – много 5. Меняем 10 г на 5 г (всего 55 г) – мало. 6. Добавляем 2 г (всего 57 г) – мало 7. Добавляем 2 г (всего 59 г) – тютелька в тютельку! Мы сделали всего 7 вместо 42 шагов, которые нам пришлось бы сделать, изменяя общую массу перегрузков на 1 грамм за один шаг.

1.4. Приборы, измеряющие напряжение и силу тока Сила тока I измеряется в амперах, поэтому прибор, ко-торый измеряет силу тока называют амперметром. Напряже-ние U (или разность потенциалов между двумя точками в электрической цепи) измеряется в вольтах, поэтому прибор, измеряющий напряжение называют вольтметром. Чтобы иметь количественное представление о величинах напряже-ний и токов, протекающих в разных приборах, приведем не-сколько примеров. 1. Лампа накаливания мощностью Р = 60 Вт, работающая от сети с напряжением U = 220 В. Силу тока через такую лам-пу можно рассчитать по формуле 60 220I P U 0,273 А. 2. Электрический чайник мощностью Р = 2200 Вт (U = 220 В). Сила тока равна 2200 220 10I А. 3. Сила тока, протекающего через резистор с сопротив-лением 5100 кОм =10 ОмR , на который подано напряжение 1,5 В (от обычной батарейки), равна по закону Ома

5 51,5 10 1,5 10I U R А. Трех примеров достаточно, чтобы убедиться в очень ши-роком диапазоне значений токов (и напряжений) и в необхо-димости иметь амперметры (и вольтметры) с разной ценой

26

деления. Для измерения малых токов созданы миллиампер-метры, обозначаемые символом mA (см. рис.16, а), и микро-амперметры (см. рис.16, б), обозначаемые A .

Приборы, изображенные на рис.16, имеют разный диапа-зон измерений. Как видно из рисунка, максимальный ток для миллиамперметра всего 5 мА, а для микроамперметра 50 мкА. Если ток будет больше этих значений, то стрелка "зашкалит", то есть уйдет максимально вправо и остановится, удерживаемая упором. Особо следует отметить то, что в от-ключенном состоянии стрелка прибора должна указывать на нулевое деление. Если прибор "сбит", то есть в отсутствие тока показывает ненулевое значение, то надо с помощью от-вертки или просто ногтем повернуть колесико настройки ну-ля (см. рис.16, в). Теперь рассмотрим приборы, диапазон измерений кото-рых можно менять. На рис.17, а изображен 2-диапазонный амперметр, для которого с помощью переключателя можно установить мак-симальный ток в 1 А или 2 А (белая точка на основании клю-ча указывает на 1 А), что будет соответствовать на шкале ам-перметра максимальному значению 100 делений. Переводя

б а

в Рис. 16. Приборы, измеряющие напряжение и силу тока: а - миллиамперметр,

б - микроамперметр, в - установка нуля

27

ключ амперметра из положение "1 А" в положение "2 А", мы изменяем цену деления с = 0,01 А до = 0,02 А.

Рис.17. Многодиапазонные приборы: а - 2-диапазонный амперметр, б - 4-диапазонный вольтметр

На рис.17, б изображен 4-диапазонный вольтметр с че-тырмя возможными пределами измерения напряжения в 7,5; 15; 30 и 60 В (белая точка на основании ключа показы-вает 15 В). Учитывая, что шкала вольтметра рассчитана на 150 делений, то переводя ключ вольтметра из одного поло-жения в другое, мы изменяем цену деления следующим об-разом:

"7,5V" (=0,05 В); "15V" (=0,1 В); "30V" (=0,2 В); "60V" (=0,4 В).

а б

ключ амперметра ключ вольтметра

28

1.5. Как увеличить точность измерения В некоторых случаях точность измерения, например, толщины листа с помощью штангенциркуля может быть су-щественно увеличена. Для этого надо измерить толщину це-лой пачки плотно упакованных листов (см. рис.18).

Из рисунка видно, что толщина пачки составляет 50,2 мм и погрешность ее измерения равна 0,05 мм. Чтобы найти толщину и погрешность измерения толщины листа, надо эти данные разделить на 500, так как в пачке 500 листов. После деления получим ответ в миллиметрах:

50,2 0,05 0,1004 0,0001500 500

d мм ;

или в микронах: 100,4 0,1 мкмd .

Точность 0,1 мкм намного лучше, чем у микрометра 5 мкм. Даже если бы мы измерили толщину пачки простой ли-нейкой с погрешностью 0,5 мм, то погрешность толщины

одного листа была бы 0,5 0,001500

мм или 1 мкм, что в 5

раз точнее измерения одного листа микрометром! Есть одно НО. Мы должны быть уверены, что толщина каждого листа в пачке одинакова с большой точностью, иначе грош цена такому фокусу увеличения точности измерения.

Рис.18. Измерение толщины пачки из 500 листов бумаги плотностью 80 г/м2

29

Чаще всего вы будете сталкиваться с необходимостью увеличить точность измерения периода колебаний, например, физического или пружинного маятника. Просто надо изме-рять время не одного, а 10 или 20 колебаний. Чем больше, тем лучше. Например, измерив время 100 колебаний часами с секундной стрелкой, можно получить погрешность периода

0,005T с! Только не надо увлекаться, потому что время, отводимое на эксперимент ограничено.

30

2. Обработка результатов эксперимента 2.1. Прямые и косвенные измерения

Все измерения, которые были проведены в главе 2, носят название прямых, то есть все измеренные величины были по-лучены прямым измерением конкретными приборами. Но существуют такие физические величины, для измерения ко-торых не существует приборов.Самый простой и понятный тому пример – объем пластины, представляющей собой прямоугольный параллелепипед. Обозначим длину, ширину и толщину такой пластины через ,a b и c соответственно и из-мерим их с помощью штангенциркуля с ценой деления

0,1 мм. Запишем в табл. 1 в нашей лабораторной тетради (надеюсь каждый уже приобрел такую) пример измерений:

Таблица 1 Измерение объема параллелепипеда

a, мм Δa, мм b, мм Δb, мм c, мм Δс, мм V, мм3 ΔV, мм3

13,5 0,05 5,3 0,05 2,2 0,05 Как видите, кроме значений соответствующих размеров в табл. 1 указана погрешность измерения каждого размера ( 2a b c ). Две последних ячейки пока пусты. Для того, чобы найти объем пластины, надо перемножить длину, ширину и толщину

13,5 5,3 2,2 157,41V a b c мм3.

Мы нашли объем тела! Но мы его не измеряли напря-мую, поэтому такие измерения называются косвенными. Осталось разобраться, как вычислить погрешность изме-ренного объема. Подойдем к этому вопросу с математической точки зрения, ведь объем это произведение трех чисел ,a b и c , измеренных независимо друг от друга. Таким образом, объем это функция трех независимых переменных. Предпо-

31

ложим, что мы изменили только одну переменную a на a , при этом функция объема V изменилась на величину

, , , , V VV V a a b c V a b c a aa a

,

где Va

– частная производная от объема по переменной a ,

причем две другие переменные b и c считаются постоянны-ми. Рассуждая таким же образом в отношении двух других пременных, можно узнать изменение объема при изменении b и c :

VV bb

и VV c

c

.

Если теперь предположить, что все три переменных изменя-ются одновременно, то изменение объема можно выразить так:

V V VV a b ca b c

.

На самом деле такой рассчет дает завышенный результат, так как предполагает изменение трех переменных на максималь-ное значение одновременно. На самом деле погрешности из-мерений длины, ширины и толщины независимы, и могут да-же компенсировать друг друга. Тем не менее на первом этапе изучения погрешностей можно пользоваться этой грубой оценкой, не вдаваясь в тонкости теории ошибок, а для любо-знательных рекомендую прочитать книгу [1]. Более точная формула для рассчетов погрешности косвенных измерений строится не на сумме частных приращений, а на сумме их квадратов:

2 2 2V V VV a b ca b c

.

Рассчитаем частные производные и оценим погрешность объема:

V b c a a c b a b c .

32

Если это выражение поделить на объем V , то получим относительную погрешность объема:

0,0037 0,0094 0,0227 0,0358V V a b cV a b c a b c

.

Относительная погрешность измерения объема оказыва-ется равна сумме относительных погрешностей каждой пере-менной! Зная относительную погрешность, можно найти и абсолютную:

157,41 0,0358 5,635V V мм3. Создадим табл. 2, дополнив табл. 1 относительными по-грешностями всех измерений.

Таблица 2 Измерение объема параллелепипеда

и погрешности его измерения геометрические размеры

значения абсолютная погрешность

относительная погрешность

a - длина 13,5 мм 0,05 мм 0,0037 b - ширина 5,3 мм 0,05 мм 0,0094 c - толщина 2,2 мм 0,05 мм 0,0227 V - объем 157,41 5,635 мм3 0,0358 Правильно ли будет написать ответ так:

157,41 5,635V мм3 3,58 % ? Такой ответ будет выглядеть не совсем грамотно. Давай-те рассудим. Погрешность измерения равна V 5,635 мм3 и первая цифра 5 в погрешности указывает на неточность уже в разряде целых, т.е. цифра 7 в значении 157,41V мм3 рассчи-тана не точно. Тогда какой смысл писать после запятой еще несколько цифр? В таких случаях принято давать ответ в ок-ругленном виде. Для этого надо сначала округлить погреш-ность до первой ненулевой цифры, то есть до целых:

6V мм3, а потом округлить и само значение объема до 157V мм3. Таким образом, ответ должен выглядеть так

157 6V мм3 ( 3,8 % ).

33

2.2. Систематические и случайные ошибки Измеряя любую физическую величину с помощью при-бора с конкретной ценой деления , нам приходилось округ-лять результат до ближайшего целого деления или хотя бы до значения, соответствующего середине между соседними де-лениями. Погрешность, которую мы считали равной

2окрx , можно назвать по сути ошибкой округления. Эта ошибка присутствует всегда и включается в общий класс систематических ошибок. Можно ли ее уменьшить? Конеч-но, можно взять более дорогой и точный прибор. Кроме ошибки округления существует предельная ошиб-ка прибора, связанная с неточностью изготовления шкалы на заводе. Неужели кто-то поверил, что интервал на шкале ли-нейки действительно соответствует 1 мм? Конечно нет. Цена деления миллиметровой линейки приблизительно равна 1мм. И эта приблизительность выражается в предельной ошибке, прописанной в заводском паспорте прибора. Допускаемая предельная погрешность, например, для стальной линейки длиной 300 мм составляет 0,1прибx мм. И чем длиннее ли-нейка, тем больше приборная погрешность. Для упрощения обработки данных, мы будем учитывать только ошибку ок-ругления и пренебрежем приборной. При измерении интервалов времени с помощью секун-домеров вводится систематическая ошибка, которая связана с реакцией человека на нажатие кнопки. Один человек медли-телен от природы и нажимает кнопку на секундомере позже начала процесса, второй наоборот – слишком рано. Медицин-ские исследования этого вопроса дают среднее значение аб-солютной погрешности измеряемого интервала 0,3субt с при нажатии кнопки в начале и в конце процесса. Такую ошибку называют субъективной. Вот оно что! Тогда понятен большой разрыв между двумя одновременными измерениями

34

падения кирпича (см. 2.2.1). Его можно объяснить разной ре-акцией у меня и у моего напарника. А какие еще ошибки бывают, кроме систематических? Для ответа на этот вопрос проведем (мысленно) лабора-торную работу по измерению дальности полета маленького шарика, выпущенного пружинным пистолетом под углом к горизонту. Будем стрелять 8N раз, при этом шарик будет оставлять следы на бумаге (для этого нужно всего лишь по-ложить копировальную бумагу поверх простого листа).

Рис.19. Схема эксперимента по измерению дальности

полета шарика

Проведем черту А перпендикулярно оси пистолета (см. рис.19), соответствующую начальной координате шарика. Параллельно линии А проведем линию В через одну из точек-следов. Измерим расстояние хi между ними и будем называть эту величину дальностью полета. Запишем пример таких из-мерений:

Таблица 3 Измерения дальности полета шарика с помощью линейки

хi, мм 155 192 173 181 213 184 153 202 Почему же результаты отличаются, ведь используется каждый раз один и тот же пистолет и один и тот же шарик? Чтобы не было ветра, я закрыл окно, а разброс данных остал-ся. Может дело в пружине? Заряжая пистолет, каждый раз пружина сжимается немного по-разному? Может шарик каж-дый раз немного меняет свою траекторию в стволе? А вот это

35

я уже не смогу никак учесть! Сжатие пружины и траектория шарика совершенно случайные величины в этой установке. Таким образом, разброс данных можно объяснить случайно-стью, и поэтому вводится класс случайных величин, а с ними вместе и особый вид случайных ошибок. Для обработки набора данных случайной величины вво-дится среднее значение

1 2 3 ... Nx x x xxN

и среднеквадратичное отклонение от среднего

211x i

iS x x

N

.

Используя данные из табл.3, получим 155 192 173 181 213 184 153 202 181,625

8x мм.

Если кто-то думает, что списав все цифры с калькулято-ра, можно получить более точный ответ, я напомню о цене деления линейки и о систематической погрешности округле-ния. Никакого смысла нет тащить за собой цифры в разрядах дальше десятых, потому что ошибка округления 0,5окрx мм. И вообще можно ввести жесткое требование к количеству знаков в числах при рассчетах. В промежуточных рассчетах надо оставлять на одну цифру больше, чем количество цифр в исходных данных. Последняя цифра будет запасной и помо-жет в конце измерений сделать грамотное округление конеч-ного результата. Таким образом, достаточно ограничиться значением

181,6x мм. Создадим табл.4, добавив к табл.3 еще одну строку, где запишем отклонение каждого значения ix от среднего x , т.е. i ix x x .

36

Таблица 4 Измерения дальности полета шарика с помощью линейки

хi, мм 155 192 173 181 213 184 153 202 Δxi=xi – <x>, мм – 26,6 10,4 – 8,6 – 0,6 31,4 2,4 – 28,6 20,4 Отклонения от среднего могут быть как положительные, так и отрицательные. Это и понятно: среднее значение x всегда лежит где-то посередине набора значений ix , поэтому оно больше одних значений и меньше других. Для рассчета сред-неквадратичного отклонения xS надо сложить квадраты от-клонений 2

ix и разделить на 1N , не забыв потом взять квадратный корень из результата:

2 2 2 2 2 2 2 226,6 10, 4 8,6 0,6 31, 4 2, 4 28,6 20, 4 21,18 1xS

мм.

Оказывается, если проделать несколько таких серий по 8 вы-стрелов, то в каждой серии будет свое среднее значение даль-ности полета

jx , а среднеквадратичное отклонение этих

средних значений xS будет намного меньше, чем xS (для простоты будем считать, что среднеквадратичные отклонения в каждой серии равны друг другу) и равно

xx

SSN

.

В нашем примере оно равно 21,1 7,468xS мм. Эту величи-

ну грубо можно принять за доверительный интервал x , в который должно попасть точное значение дальности полета шарика, т.е. xx S N . Относительная погрешность вычис-ляется по формуле

7,46 0,041181,6

xx

или 4,1 %.

37

В лабораторном журнале надо записать ответ x x x

или (для нашего примера) 181,6 7,46x мм. Теперь надо вспомнить об округлении результата, Так как погрешность наблюдается в разряде целых, то запись ответа станет такой:

182 7x мм 3,8 % . Можно ли уменьшить случайную погрешность? Формула

xx S N говорит нам, что увеличивая число измерений в эксперименте, можно уменьшить случайную погрешность чуть ли не до 0 (если N ). И что же, тогда мы узнаем точ-ное значение? Как бы не так! Не забывайте о систематиче-ской ошибке округления, которая при уменьшении случайной ошибки сама не уменьшается и выходит на первый план. Таким образом, возникает некоторая сложность в напи-сании ответа, так как в эксперименте есть два типа ошибок – случайные и систематические. Ответ прост: выбирайте ту, которая намного больше. А если они одного порядка, т.е. сравнимы друг с другом? Тогда, складывая квадраты этих огрешностей, объединим их в одну погрешность:

2 2

окр случx x x .

2.3. Гайавата ставит эксперимент Если стрелять из лука в сторону мишени, то координаты Х и Y места, куда попадет стрела будут случайными числами. Если выстрелить огромное число раз, то стрелы усеют стену, на которой закреплена мишень, неравномерно. Около центра мишени плотность стрел будет больше, и чем дальше от цен-тра, тем меньше стрел будет приходиться на один квадратный метр. Если посчитать средние значение координат <Х> и <Y>, то, вероятнее всего, они совпадут с координатами цен-тра мишени. Но если во время стрельбы будет дуть сильный

38

ветер все время в одном направлении, то и средние значения координат сместятся в этом направлении. Это можно назвать систематической ошибкой. Чтобы теперь попадать в мишень, надо сделать поправку на ветер. Что же в стрельбе главное – средние значения координат или среднеквадратичное откло-нение? Оказывается, можно провести такие стрельбы, где ни одного точного попадания не будет, а средния значения <X> и <Y> указывает ровно в центр мишени. В этом случае важна другая характеристика – кучность, которая непосредственно связана со среднеквадратичным отклонением. Чем меньше

xS , тем меньше разброс вокруг среднего, тем больше куч-ность. Таким образом, если мишень мала, то и разброс жела-тельно иметь малым. Но если мишень достаточно большая, то от большого разброса не будет зависеть удачное поражение цели, например, ракета взрывается далеко от летящего само-лета противника и поражает цель осколками, разброс которых захватывает большое пространство. Достаточно попадания всего нескольких осколков и цель уничтожена. Морис Дж. Кендалл попытался, затронув поэтические струны души каждого человека, объяснить необходимость привлекать здравый смысл в планировании эксперимента и, особенно, в интерпретации его результатов. Прочитайте пес-ню "Гайавата ставит эксперимент" в приложении.

2.4. Десятичные приставки. Значащие цифры. Стандартный вид числа

Разные числа содержат разное количество цифр, а некоторые из них могут иметь десятичную запятую. Причём последователь-ность цифр до запятой (слева от неё) конечна (как минимум одна цифра), а после запятой (справа от неё) — может быть как конеч-ной, так и бесконечной. Например, когда мы делим 1 на 800, то на калькуляторе высвечивается результат 0,00125, представляющий конечную десятичную дробь с пятью цифрами после запятой. Все-го в этом числе 6 цифр (три нуля, 1, 2 и 5), но только три из них (1,2 и 5) называются значащими цифрами – это все цифры, начиная

39

с первой слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться (правильность цифр определяется по-грешностью измерений). Часто для компактной записи используют стандартный вид числа:

10nx a , где 0 10a – мантисса (хранитель значащих разрядов в числе), n – целое число – называется порядком числа. Например, число х = 0,00125 в стандартном виде будет выглядеть так:

31,25 10x , а стандартный вид числа 125000x выглядит так: 51,25 10x . Чтобы найти порядок числа, надо перенести десятич-

ную запятую на n позиций или влево, или вправо до тех пор, пока перед запятой не окажется единственная ненулевая цифра. Если запятая переносится вправо, то к порядку числа добавляется знак минус, если влево – то порядок положителен Если величина в абсолютном исчислении намного больше единицы или, наоборот, намного меньше единицы, то для умень-шения количества нулей часто используют десятичные приставки (см. табл. 5).

Таблица 5 Десятичные приставки

Наимено- вание

Обозначе- ние

Множи- тель

Наимено- вание

Обозначе- ние

Множи- тель

гига Г 109 санти с 10–2

мега М 106 милли м 10–3

кило к 103 микро мк 10–6

гекто г 102 нано н 10–9

деци д 10–1 пико п 10–12

Например, для сопротивления резистора 120 000 Ом можно применить приставку кило, то есть 120 кОм, или мега – 0,12 МОм. Для силы тока 0,00000123 А подойдет приставка микро, то есть 1,23 мкА = 61,23 10 А.

40

2.5. Графическое представление экспериментальных данных Если вам наскучило стрелять из пистолета шариком и получать, хотя и разбросанные, но в общем-то почти одинаковые результаты среднего значения дальности полета в каждой серии опытов, я могу предложить новый эксперимент. Можно менять угол наклона оси пис-толета к горизонту на 10 через каждые 8 выстрелов. Как нетрудно подсчитать, у нас есть возможность получить 90 10 9 серий и при этом дальность полета будет различна в каждой серии. Перед нами открывается целая научная проблема – как дальность полета x зависит от угла к горизонту, под которым производится выстрел. Опишем инструкцию по проведению эксперимента и обработки данных. 1. Подготовить табл. 6, в которую были бы занесены все экспе-риментальные данные по каждой серии выстрелов отдельно. 2. Составить табл. 7 обработки результатов табл. 6. Для этого рас-считать x среднее значение дальности полета в каждой серии из 8 выстрелов, а также для каждой серии рассчитать среднеквадратичное

отклонение 218 1x i

iS x x

и доверительный интервал

8xSx .

3. Построить график зависимости x f . Таблица 6

Дальность полета x при разных углах стрельбы 1 2 3 4 5 6 7 8 0 x, мм 5 2 2 1 3 1 2 3 10 x, мм 143 120 254 99 121 201 270 169 20 x, мм 235 301 194 255 270 387 320 147 30 x, мм 432 383 376 543 492 568 457 429 40 x, мм 380 500 560 611 428 523 455 487 50 x, мм 404 478 573 356 543 457 412 511 60 x, мм 455 372 350 524 568 488 467 389 70 x, мм 170 199 330 234 364 338 325 322 80 x, мм 132 231 298 320 140 193 165 102 90 x, мм 3 2 2 1 1 2 1 2

41

Таблица 7 Статистическая обработка данных из табл.6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 < x >, мм 2,4 172,1 263,6 460 493 466,7 451,6 285,2 197,6 1,75 Sx, мм 1,3 64,0 74,8 70,0 73,5 74,1 76,5 73,0 79,3 0,707 Δх, мм 0,46 22,6 26,5 24,7 26,0 26,2 27,0 25,8 28,0 0,25

Табличное представление ре-зультата не очень наглядно. Лучше представить эти данные в виде гра-фика зависимости дальности полета

x от угла или, как говорят, x f . Такая запись означает,

что дальность полета является функ-цией угла . Для построения графика надо выбрать специальную

бумагу, разлинеенную (лучше через 1 мм) горизонтальными и вертикальными линиями (миллиметровка) и нанести на нее систему координат. Начало координат можно отметить в са-мой левой нижней точке пересечения линий и провести из нее горизонтальную и вертикальную оси (см. рис.20). Так как значение функции всегда откладывается по оси Y, а значение аргумента вдоль оси Х, то в нашем случае по оси Y будем от-кладывать значения дальности полета x , а вдоль оси Х –

значение угла Следующим очень важным шагом является выбор маштаба двух осей. Для этого подсчи-таем для начала, какова длина нашей оси Х в миллиметрах (или в клетках, если бумага не

Рис.20. Подготока

к построению графика

Рис.21. Оформление оси Х

42

миллиметровая). На рис.20 ось Х содержит 45 клеток. Наша задача состоит в том, чтобы для каждого значения угла из табл.7 нашлась соответствующая координата на оси Х. Весь диапазон углов занимает 90 (от 0 до 90). Числа 45 и 90 очень хорошо делятся на 9, что дает нам масштаб по оси Х – 5 клеток на каждые 10. Снизу оси Х через каждые 5 клеток поставим риску длиной в одну клетку, а под каждой риской поставим метку – число градусов, соответствующее каждой риске. На конце оси Х (см. рис.21), обозначенном стрелкой, расположим название оси, то есть обозначение откладывае-мой величины (угла ) и через запятую размерность этой ве-личины ("град" – градусы).

Теперь перейдем к оформлению оси Y. Ее длина исчисляется 34 клетками. Величины

x из табл.7 лежат в диапазоне от 1,75 мм до 490,4 мм. Как и на любой линейке, метки на оси Y должны быть круглыми числами, по-

этому максимальную метку, превышающую значение 490,4 мм, возьмем равной 500 мм, а минимальную конечно же 0. Теперь обратим внимание, что ось Y содержит 34 клетки. Для максимальной метки в 500 мм нам надо подобрать такое чис-ло клеток (например 25), которое делилось бы, например на 5, так же хорошо, как и 500. Расставляем риски на вертикальной оси через 5 клеток и каждой риске приписываем слева соот-ветствующую метку с шагом 100 мм. Название оси Y и раз-мерность указываем в ее конце около вертикальной стрелки (см. рис.22). Теперь все готово, чтобы изобразить экспери-ментальные данные из табл.7 в виде точек на приготовленной системе координат.

Рис.22. Оформление оси Y

43

Чтобы поставить экспериментальную

точку в нужном месте системы координат, надо знать масштаб, то есть сколько, на-пример, миллиметров содержит одна клетка вдоль оси Y. Масштаб рассчитывается легко:

надо разность соседних меток разделить на количество кле-ток между соседними рисками. На рис.23 масштаб будет ра-вен 100 мм 5 = 20 мм кл. , то есть одна клетка соответствует 20 мм. Примем за правило, что точность расположения точки должна соответствовать половине клетки, что соответствует 10 мм. Если клетка крупная, тогда точность постановки экс-периментальной точки можно довести до четверти клетки. Таким образом на рис.23 точка с координатой 493 мм будет располагаться приблизительно посередине пятой клетки ме-жду метками 400 и 500. Ни в коем случае не обозначайте зна-чение координаты точки на масштабной оси. Это засоряет график и приводит к трудностям восприятия информации. Представьте, что в таблице не 8 значений, а 100 (или даже 1000). Если каждое значение отмечать на оси, то вся ось бу-дет сплошь усыпана мелкими числами, сливающимися в не-читаемый текст. С научной точки зрения результат эксперимента без рас-счета погрешности не имеет ценности. Поэтому на графике изображают доверительный интервал в виде вертикального отрезка с горизонтальными засечками. Длина этого отрезка равна удвоенному доверительному интервалу x для каждой точки, а сама точка лежит на его середине (см. рис.23).

Рис.23. Построение графика

44

Соединять точки прямыми отрезками (см. рис.24) было бы неправильно. В этом нет физического смы-сла. Если есть возмож-ность построить про-стую математическую модель эксперимента – в данном случае полета шарика в поле тяжести Земли, – то надо ре-

шить кинематическую задачу и получить аналитическую зависи-мость дальности полета от угла . Итак, строим модель. Начальные условия: шарик вылетает с поверхности земли со скоростью 0v под углом к горизонту, летит с постоянным вертикальным ускорением свободного падения 10g м/с2 в однородном поле тяжести Земли и падает на расстоянии x от места вылета. Найдем дальность полета по формуле (которую вы сами должны вывести на практических занятиях по физике):

20v sin 2

xg

.

Из формулы видно, что x пропорционален синусу удвоенного угла

sin 2x ? , что дает нам представле-ние о графике зависимо-сти x f , который изображен сплошной плавной линией на рис.25. И не надейтесь, что экс-периментальные точки

будут лежать на этой кривой. Чаще всего они будут случайно раз-бросаны вокруг нее – какие-то выше, какие-то ниже. Главное, что-

Рис.24. Неправильное соединение точек

Рис.25. Правильное проведение

теоретической линии

45

бы эта линия пересекла каждый отрезок удвоенного доверительно-го интервала (на рис.25 всего одна точка при = 20 лежит суще-ственно ниже и выходит за рамки теоретической кривой). Соответствие расположения экспериментальных точек теоре-тической кривой дает право нам утверждать, что принятая про-стая модель полета в пределах погрешности эксперимента пра-вильно описывает реальный полет шарика. Кроме качественного вывода с помощью графика можно рассчитать начальную скорость шарика 0v . Для этого надо всего лишь увидеть на рис.25 макси-мальное значение 490x мм на теоретической кривой, при этом очевидно sin 2 1 . Рассчитаем начальную скорость:

20 maxv 0,49 м 10 м/с 2,21x g м/с. Вопрос о погрешности

начальной скорости в данном примере очень сложен и не уклады-вается в принятый нами упрощенный метод рассчета ошибок.

2.6. К вопросу о выборе масштаба Приведу несколько соображений по поводу неоднозначности выбо-ра масштаба. В пункте 3.5 был приведен при-мер оформления оси Х и Y, в котором риски на обоих осях были про-ставлены через 5 кле-ток. Всегда ли такое разбиение возможно, а если возможно, то все-гда ли это удобно? Возьмем данные о дальности полета ша-рика из табл.7 и вновь предпримем попытку нарисовать график, но

нашу миллиметровую бумагу развернем на 90. Теперь на оси Y укладывается 45 клеток, а на оси Х – 34 клетки (см. рис.26).

Рис.26. График на бумаге, развернутой на 90

46

Как же разбить ось Х, чтобы уместить на ней значение угла 90? Число 34 не делится на 9. Можно взять ближайшее число, которое меньше 34 и делящееся на 9 – это 27. Итак, после деления получим 3 клетки. Это значит, что каждые три клетки будут соответствовать 10. Неплохо? Для нашего экс-перимента этот вариант приемлем, потому что координаты экспериментальных данных по углу будут совпадать с риска-ми, что очень удобно, но реализуется не всегда. В других случаях такое разбиение оси по 3 клетки не приветствуется. Перейдем к оси Y. Максимальное значение масштабной метки должно превышать максимальное значение экспери-ментальной дальности полета, т.е. максимальная метка будет 500 мм, как и раньше, но если использовать старый масштаб (5 клеток на 100 мм), то для графика будет использованы все-го 25 клеток из 45 по вертикальной оси. Можно, конечно, ос-тавить и так, но тогда почти половина площади миллиметро-вой бумаги будет попросту пустовать, что нежелательно. Итак, возьмем за правило по возможности максимально ис-пользовать площадь миллиметровой бумаги. Вы можете мне предложить расставить метки через 9 кле-ток на каждые 100 мм, тогда, мол, будут полностью использо-ваны 45 клеток, но давайте посмотрим, к чему это приведет при построении графика. Сколько миллиметров будет уклады-ваться в одной клетке? Надо 100 разделить на 9 и получится 11,1111 мм. Тогда 2 клетки будут соответствовать 22,2222 мм и т.д. Ну и что, спросите вы? А то, что для нахождения коор-динаты, например, 172,1 мм из табл.7, будет очень трудно ори-ентироваться в таком масштабе и придется пользоваться каль-кулятором при построениии. Применение калькулятора при построении графика это нонсенс! Нужен такой масштаб, ко-торый было бы удобно использовать для устных рассчетов. Если бы мы взяли 8 клеток на 100 мм, то одна клетка соответ-ствовала бы 100/8=12,5, а две клетки 25 мм. Это намного луч-ше (хотя и хуже, чем в исходном варианте, когда на одну клет-

47

ки приходилось 20 мм). А как же правило максимально ис-пользовать площадь? В этом случае нам придется от него не-много отступить в угоду удобству построения. Вывод: не расставляйте метки через такое количество клеток, которое соответствовало бы масштабу для одной клетки, выраженному бесконечной дробью. Нежелательно расставлять риски через 9, 7, 6 или 3 клетки. Наиболее удоб-ным была бы расстановка рисок через 10, 5, 2, 4 или, на худой конец, 8 клеток. И еще один совет. Если ставить метки под каждой рис-кой, то может получиться так, что между метками не будет никакого зазора и числа сольются в сплошную строку цифр. Этого можно избежать с помощью простого приема: раздели-те риски на главные и дополнительные, а метки проставьте только под главными рисками (см. рис.26). Главные риски, например, сделайте длиной в 1,5 клетки, а дополнительные всего 0,5 клетки, тогда их будет легко различить.

2.7. Использование графика для рассчета параметра. Метод совместных измерений

Рассмотрим пример выполнения лабораторной работы "Изучение враща-тельного движения" ([3, с. 30]). Экспе-римент проводится на маятнике Обер-бека, который устроен следующим об-разом (см. рис.27). На неподвижную горизонтальную ось надет шкив радиу-сом r. Со шкивом жестко скреплена крестовина. На стержнях крестовины находятся грузы массой m1. Грузы можно смещать вдоль стержней, изме-няя при этом момент инерции J маятни-ка. На шкив наматывается шнур, на ко-

тором висит груз массой m. При опускании груза маятник вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси z.

Рис.27. Маятник Обербека

48

Измерив высоту h, радиус шкива r и время t, в течение которого груз из состояния покоя опустился на h, можно из

кинематики найти ускорение груза на нити 2

2hat

и угловое

ускорение маятника 2

2ht r

.

Решив динамическую задачу движения груза, можно найти момент силы, заставляющий вращаться маятник

2

2z

hM m g rt

.

Чем больше масса груза, тем больше момент M и угло-вое ускорение . Так как эти величины были получены раз-ными косвенными способами (кинематическая и динамиче-ская задачи поступательного движения), то можно считать их получение независимым друг от друга. Но в законе дина-мики вращательного движения момент сил M связан с угло-вым ускорением следующим образом:

трM M J , где трM – момент трения в оси маятника, J – момент инер-ции маятника. трM и J – это два параметра, характеризующих маятник Обербека. Определим их с помощью метода совместных из-мерений. Этот метод основан на одновременном (косвенн-ном) измерении момента силы натяжения нити и углового ускорения для разных масс грузов, на построении и обработ-ке графика. Пропустим все этапы эксперимента и остановимся на ко-нечной табл. 8, где занесены уже рассчитанные моменты си-лы натяжения нити и угловые ускорения маятника для разных масс груза.

49

Таблица 8 Совместно измеренные M и для разных грузов

Номер груза

1 2 3 4 5

М, Нм 0,0296 0,0313 0,0365 0,0391 0,0447 , с–2 0,94 1,06 1,15 1,37 1,53

Построим график зависимости f M , то есть независимой переменной будет M , а функцией этой переменной будет яв-ляться . Максимальная метка на оси Х должна превышать 0,0447 и быть круглым числом, поэтому выбираем 0,05. Если попытаться расставить риски через 5 клеток на каждые 0,005 Нм, то последняя риска не уместится на оси в 45 клеток. По-этому выбираем шаг в 4 клетки. Главные риски расставим че-рез 8 клеток, а метки под ними выразим целыми числами. Порядок величин моментов импульсов в этом эксперименте указывает на сотые доли, что можно отразить в названии оси, приписав слева от размерности 210 (см. рис.28). Такой спо-соб позволяет уменьшить количество цифр для меток, что приводит к более аккуратному оформлению оси.

Из закона дина-мики вращательного движения

трM M J видна линейная зави-симость углового ус-корения от момента сил, поэтому теоре-тическая линия, ко-торую мы проводим по эксперименталь-ным точкам, должна быть прямой. Прово-

Рис.28. График (М)

50

дим ее на глаз таким образом, чтобы точки расположились вокруг линии равномерно и их разброс относительно линии был минимален. Точные параметры прямой можно было бы рассчитать методом наименьших квадратов, но обсуждение этого метода выходит за рамки нашего упрощенного курса. Если продлить теоретическую прямую, то она пересечет ось Х в точке А, координаты которой соответствуют нулево-му угловому ускорению 0 , что для момента силы означает

тр 7,2M M клетки или, используя масштаб,

тр7,2 клетки 0,01 Н м 0,009 Н м8 клеток

M . Значит с помощью

графика мы уже нашли один из параметров маятника Обер-бека. Остался второй параметр – момент инетрции J . Из того же закона динамики вращательного движения следует

M J , где M – приращение момента силы, – соот-ветствующее ему приращение углового ускорения. Значит

момент инерции можно рассчитать так MJ

. Для рассчета

приращений надо выбрать на теоретической прямой две точ-ки желательно подальше друг от друга, например А(0,009; 0) и В(0,045; 1,6). Тогда 0,045 0,009 0,036 Н мM , а

21,6 0 1,6 с . Момент инерции 20,036 0,0225 кг м1,6

J .

Для упрощенного рассче-та погрешностей параметров теоретической прямой вос-пользуемся методом парных точек. Выберем пары точек из табл. 8: 1-ю и 3-ю, 2-ю и 4-ю, 3-ю и 5-ю и рассчитаем, ис-пользуя их координаты, мо-мент инерции:

Рис.29. Метод парных точек

51

1,30,0365 0,0296 0,0329

1,15 0,94J

;

2,40,0391 0,0313 0,0252

1,37 1,06J

;

3,50,0447 0,0365 0,0216

1,53 1,15J

.

Далее обработаем эти данные, считая их случайными числа-ми.

20,0329 0,0252 0,0216 0,0266 кг м3

J ,

2 2 21 0,0329 0,0266 0,0252 0,0266 0,0216 0,0266 0,005773 1xS

,

20,00577 0,00333 кг м3 3xSJ , 0,00333 0,125

0,0266J

J

.

Как видно, среднее значение 20,0266 кг мJ отличается от 20,0225 кг мJ полученного выше с помощью прямой, про-

веденной на глаз. Это говорит только о том, что для рассчета методом парных точек слишком мало экспериментальных то-чек. Тем не менее ответ получен и произведена оценка по-грешности момента инерции в 12,5 %, что вполне удовлетво-рительно для лабораторного эксперимента. Для рассчета момента силы трения и его погрешности используем закон динамики вращательного движения.

тр 0,03624 0,0266 1,21 0,0041 Н мM M J , где 0,3624 Н мM , 21,21 c – координаты средней точ-ки на графике. Погрешность момента силы трения будет определяться погрешностью наклона прямой, что соответствует погрешно-сти момента инерции. Тогда

тр 0,00333 1,21 0,0040 Н мM J ,

52

а относительная погрешность тр

тр

0,0040 0,9760,0041

MM

или 97,6 %.

Очень большая погрешность момента трения говорит о том, что эта величина несущественная, то есть очень мала по сравнению со средним значением момента силы натяжения, и ей можно пренебречь. Закончим эксперимент оформлением результатов:

20,027 0,03 кг мJ ; тр 0,004 0,004 Н мM .

2.8. Метод линеаризации экспериментальных данных Рассмотрим пример другой лабораторной работы по изу-чению зависимости сопротивления полупроводника R от его температуры t . Диапазон температур полупроводника не очень большой: от комнатной температуры 26С до 200С. Предположим, что экспериментальные даненые получены и занесены в табл. 9.

Таблица 9 Зависимость сопротивления полупроводника от температуры t,C 26 40 60 80 100 120 140 160 180 200 R, Ом 2039 1826 1408 1164 1086 846 742 706 579 567

Обсудим еще раз выбор масштаба для представления этих данных в графиче-ском виде (см. рис.30). Максималь-ная метка 200t С, соответствующая оси температур Х, очень неплохо укладывает-ся на 40 клетках, что соответствует очень

Рис.30. Зависимость сопротивления полупроводника от температуры R(t)

53

удобному разделению по 10 клеток на кажые 50С. А сколько надо дополнительных рисок? В этом случае предлагаю расста-вить их через 2 клетки, что придаст простоту определения ко-ординаты, так как интервал между такими рисками будет со-ответствовать 10С, что очень удобно. А вот на оси Y я расставил риски через 5 клеток на ка-жые 500 Ом сопротивления, что привело к неполному ис-пользованию площади бумаги. Но, посудите сами, если раз-делить ось по 6 или 7 клеток, было бы неудобно находить ко-ординату, а если по 8 клеток, то максимальная риска, соот-ветствующая 2000 Ом, не поместилась бы на оси. Теперь надо обсудить вид теоретической кривой. Откро-ем методические указания по выполнению лабораторных ра-бот [2] на странице 28 и найдем фомулу 3, описывающую за-висимость сопротивления полупроводника от темепературы

3exp( )2o

ER RkT

,

где ЗE – ширина запрещенной зоны, k – постоянная Больц-мана, 0R – некоторая константа, имеющая размерность со-противления, и, наконец, температура T , выраженная в Кель-винах. Начнем оформлять новую таблицу. Во-первых, темпе-ратуру переведем в Кельвины. Во-вторых, поставим себе за-дачу не только нарисовать новый график R T , но и найти с помощью графика ширину запрещенной зоны. Для этого про-логарифмируем экспоненциальную зависимость и получим

З0ln ln

2ER RkT

Обозначим lny R , З

2Eak

, 0lnb R и 1x

T . Тогда получим

линейную зависимость y ax b , которую мы и будем изображать на графике. Данные, соответ-ствующие значениям lnx R и 1y T , запишем в табл. 10.

54

Таблица 10 Пересчет данных табл. 9

Номер точки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T, K 299 313 333 353 373 393 413 433 453 473 1/T, 10–3 K–1 3,34 3,19 3,00 2,83 2,68 2,54 2,42 2,31 2,21 2,11 lnR, Ом 7,62 7,51 7,25 7,06 6,99 6,74 6,61 6,56 6,36 6,34

Если по данным табл. 10 построить график зависимости

ln 1R T на рис.31, то все эксперимен-тальные точки зай-мут совсем немного места на листе при большом пустом пространстве. Поче-му так получилось? Потому что по осям

Х и Y метки расставлены начиная от 0, хотя значения, напри-мер, ln R начинаются только со значения ln 6,34R . Обяза-тельно ли делать начальную метку равную 0? Ответ на этот вопрос зависит от поставленных задач. В примере с маятни-ком Обербека (см. рис.28) было очень важным найти пересе-чение оси Х теоретической прямой в точке с координатой Y=0, что соответствовало значению трM . А в этой задаче надо найти только ширину запрещенной зоны, которая связана с постоянной З 2a E k , соответствующая коэффициенту на-клона прямой на рис.31, поэтому совсем не обязательно рас-ставлять метки на осях, начиная с 0.

Рис.31. Зависимость ln 1R T

55

Изучая данные из табл.10 и подбирая удобный масштаб, можно с уверенностью ска-зать, что ориентацию милли-метровой бумаги нужно изме-нить, как показано на рис.32. Самостоятельно изучите вы-бранный масштаб и убедитесь в том, что он очень удобен для работы с графиком. На теоре-тической прямой (проведен-ной на глаз наилучшим спосо-бом между эксперименталь-ными точками) поставим две точки А и В с координатами

3`2,0 10 ; 6,2A Ax y и

33,45 10 ; 7,75B Bx y . Коэф-фициент наклона a выразим через координаты этих точек

по формуле

3 3

7,75 3,45 4,3 10246,2 2,0 10 4,2 10

B A

B A

y yax x

.

И, наконец, вычисляем ширину запрещенной зоны 23 20

З 2 2 1,38 10 1024 2,83 10 Дж 0,177 эВE k a . Методом парных точек рассчитаем этот же коэффициент a и его погрешность a , для этого рассмотрим пары точек из табл. 10:

1–4, 2–5, 3–6, 4–7, 5–8, 6–9 и 7–10. Рассчитаем для этих пар точек коэффициенты наклона прямых, которые проходят через них:

Рис.32. Окончательный график ln 1R T

56

4 1

1 4 34 1

7,06 7,62 10982,83 3,34 10

y yax x

;

5 2

2 5 35 2

6,99 7,51 10202,68 3,19 10

y yax x

;

6 3

3 6 36 3

6,74 7,25 11092,54 3,00 10

y yax x

;

7 4

4 7 37 4

6,61 7,06 10982,42 2,83 10

y yax x

;

8 5

5 8 38 5

6,56 6,99 11622,31 2,68 10

y yax x

;

9 6

6 9 39 6

6,36 6,74 11522,21 2,54 10

y yax x

;

10 7

7 10 310 7

6,34 6,61 8712,11 2,42 10

y yax x

.

Среднее значение 1098 1020 1109 1098 1162 1152 871 1073

7a ,

7 2

1

1 1007 1a i

iS a a

, 7 37,8aa S .

Теперь рассчитаем ширину запрещенной зоны ЗE и ее погрешность ЗE .

23 202 2 1,38 10 1073 2,96 10 Дж 0,185 эВЗE k a ; 23 21

З 2 2 1,38 10 37,8 1,04 10 Дж 0,007 эВE k a . Таким образом мы пришли к ответу

З 0,185 0,007E эВ.

57

3. Самостоятельная работа Предлагаю вам проделать самостоятельные рассчеты, построения и обработку графиков в следующей виртуальной лабораторной работе под кодовым названием "Определить жесткость пружины". Но поднимем планку Эксперимента на более высокий уровень: надо не просто получить число, но сравнить два метода измерения жесткости пружины – стати-ческий и динамический. Кратко рассмотрим эти методы.

3.1. Статический метод Если подвесить к закрепленной вертикальной пружине груз массой m , то пружина растянется на 0l l l согласно закону Гука, где l – длина растянутой пружины, а 0l – длина нерастянутой пружины (начальная длина). Примечание: закон Гука говорит о пропорциональности силы упругости пружины упрF абсолютному удлинению l , т.е. упрF k l , где k – коэффициент упругости (или жест-кость) пружины. В состоянии равновесия сила тяжести груза уравновесит-ся силой упругости и мы можем написать

упр 0F mg k l k l l . Раскроем скобки и увидим зависи-мость длины пружины от массы груза

0mg k l k l . Если сделать замену переменных

0, , ,y mg x l a k b k l , то получится уравнение прямой y ax b . Не надо делать линеаризацию! Итак, перед вами стоит задача обработать данные из табл. 11, которые были занесены туда юным Эксперимента-тором (ему надоело бросать кирпичи с крыши девятиэтажно-го дома). Для опытов он запасся набором грузов, нашел деся-ток-другой разных пружин и, подвешивая грузы разных масс, замерял длину растянутой пружины с помощью миллиметро-вой линейки.

58

Задание 1 1. Выберите номер пружины из табл. 11. 2. Составьте свою таблицу из двух столбцов. В первый стол-бец занесите силу тяжести mg , где m – масса груза (в кг), 9,8g м/с2. Во второй столбец перенесите значения длин выбранной пру-жины l (в метрах). Предусмотрите ячейки для средних значений

l и mg .

Таблица 11 Экспериментальные данные для статического груза на пружине

№ вар. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m, г l, см l, см l, см l, см l, см l, см l, см l, см l, см 50 11,8 15,4 17,6 19,4 13,2 15,4 19,6 21,4 11,2 75 12,3 16,5 18,3 21,5 14,3 16,5 21,3 22,4 11,7 100 13,6 17,6 19,3 21,6 14,8 16,5 22,1 22,6 12,7 130 14,1 18,2 21,5 22,1 15,6 17,3 21,5 23,7 13,1 210 16,6 22,3 22,5 24,9 17,6 19,9 23,9 25,5 15,4 350 21,6 25,6 27,4 29,5 21,4 23,8 27,7 29,9 18,3 380 22,5 26,4 28,8 31,4 22,6 24,2 28,8 32,1 19,6 420 23,3 27,9 29,4 31,7 23,8 25,6 29,5 31,7 22,1 490 26,2 32,1 32,0 34,3 25,5 27,9 31,9 33,6 22,2 540 27,8 31,4 33,7 35,3 27,6 29,1 33,2 35,3 23,1

№ вар. 10 11 12 13 14 15 16 17 18 m, г l, см l, см l, см l, см l, см l, см l, см l, см l, см 50 15,1 17,1 19,3 11,4 15,3 19,0 10,8 15,2 19,1 75 15,6 17,7 19,7 11,6 15,6 19,6 11,5 15,3 19,3 100 16,7 18,5 21,2 12,0 16,1 20,4 12,3 16,3 20,2 130 17,3 19,3 21,4 12,5 16,5 20,7 12,4 16,7 20,4 210 19,4 21,1 23,5 14,9 18,9 22,4 14,2 18,0 21,8 350 22,3 24,6 26,3 17,4 21,4 25,8 16,5 20,7 24,4 380 23,5 25,6 27,0 18,2 22,3 26,1 17,2 21,6 25,7 420 24,4 26,1 28,5 19,4 23,3 27,0 18,4 22,0 26,4 490 26,4 28,5 31,1 20,3 24,5 28,6 19,3 23,5 27,3 540 27,0 29,0 31,4 21,9 25,8 29,9 20,7 24,7 28,5

59

3. Возьмите лист миллиметровой бумаги, нанесите на ней оси координат. В соответствии с данными выберите оптимальный масштаб и постройте график зависимости силы тяжести от длины пружины mg f l , откладывая значения l вдоль оси Х, а вели-чины mg вдоль оси Y. 4. Составьте 7 пар точек: 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9, 7-10. Мето-дом парных точек рассчитайте 7 коэффициентов наклона a k по формуле

4 11 4

4 1

y yax x

, 5 22 5

5 2

y yax x

, ... и т.д.

где y mg , а x l .

5. Найдите среднее значение a , что соответствует среднему значению коэффициента упругости пружины 1k .

6. Найдите среднеквадратичное отклонение

1

7 2

1

17 1a k i

iS S a a

, доверительный интервал

1 7aa k S , (т.к. получено 7 значений a ). Представьте ре-зультат в виде 1 1 1k k k

7. Получите выражение для коэффициента b ax y из урав-нения равновесия и подставьте в него средние значения

b a x y

8. Рассчитайте доверительный интервал b для коэффициента b

b a x k l

9. Рассчитанные коэффициенты a и b в пунктах 5 и 7 по-могут построить теоретическую прямую. Для этого рассчитайте значения 1y и 2y для двух произвольных значений 1x и 2x по фор-мулам 1 1y a x b и 2 2y a x b .

60

10. Проведите прямую через точки с такими координатами. Убедитесь, что она проходит между экспериментальными точками, которые равномерно распределены вокруг нее.

3.2. Динамический метод Подвесим груз массы m к закрепленной вертикальной пружи-не жесткости k и толкнем его легонько вниз. Начнутся гармониче-

ские колебания, период которых равен 2 mTk

(см. [2, с. 76]).

Выразим массу груза через период колебаний 2

24km T

,

что соответствует линейной зависимости y a x , где y m ;

24ka

; 2x T .

На этот раз перед вами стоит задача обработать данные из табл. 12, любезно предоставленные Экспериментатором, которому очень понравилось работать с секундомером , научившим ценить сотые доли секунды. Но из всего набора пружин им были выбраны всего 5, потому что длительность выполнения второго эксперимента ста-ла намного больше, так как приходилось измерять время 10 коле-баний для каждого груза.

Таблица 12 Экспериментальные данные для колеблющегося груза на пружине

Номер пружины 1,2,3,4 5,6,7,8 9,10,11,12 13,14,15 16,17,18 m, г T, с T, с T, с T, с T, с 50 0,25 0,23 0,23 0,22 0,19 75 0,31 0,27 0,26 0,26 0,25 100 0,35 0,33 0,32 0,28 0,27 130 0,41 0,38 0,36 0,34 0,32 210 0,52 0,45 0,45 0,44 0,42 350 0,67 0,62 0,56 0,53 0,51 380 0,72 0,64 0,61 0,58 0,54 420 0,74 0,66 0,63 0,62 0,57 490 0,82 0,75 0,69 0,64 0,61 540 0,84 0,77 0,75 0,69 0,66

61

Задание 2 1. Выберите свой номер пружины, для которой вы вы-полняли первое задание. 2. Составьте свою таблицу из двух столбцов. В первый столбец занесите массу m груза (в кг), во второй столбец – квадрат периода 2T (в с2). Предусмотрите ячейки для средних значений m и 2T . 3. Возьмите лист миллиметровой бумаги, нанесите на ней оси координат. В соответствии с данными выберите опти-мальный масштаб и постройте график зависимости массы груза от квадрата периода 2m f T , откладывая значения 2T вдоль оси Х, а величины m вдоль оси Y. 4. Составьте 7 пар точек: 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9, 7-10. Методом парных точек рассчитайте 7 коэффициентов накло-на 24a k по формуле

4 11 4

4 1

y yax x

, 5 22 5

5 2

y yax x

, ... и т.д.

где y m ; 2x T .

5. Найдите среднее значение a , и соответствующее значение коэффициента упругости пружины 2

2 4k a .

6. Найдите среднеквадратичное отклонение

7 2

1

17 1a i

iS a a

, доверительный интервал 7aa S ,

и 22 4k a . Представьте результат в виде 2 2 2k k k .

7. Сравните результаты рассчетов в первом и втором за-дании. Если разница между коэффициентами упругости, по-лученных разными методами, будет меньше суммарной ошибки 2 1 1 2k k k k , то можно с уверенностью утвер-ждать, что два метода эквивалентны и дают одинаковый ре-

62

зультат в пределах ошибки измерений. Но если 2 1 1 2k k k k , то это может означать, что или были взя-

ты разные пружины или методы дают существенно разный результат из-за неучтенных ошибок.

3.3. Определение силы трения скольжения Рассмотрим лабо-раторную работу по определению силы трения скольжения (см. [3, с. 61]). При выстреле из пру-жинного пистолета П пуля массой 1m попа-дает в цилиндр Ц мас-сой 2m , перемещаясь с

ним по направляющей Н (см. рис.33). По шкале линейки Л определяется величина перемещения l цилиндра с пулей при действии силы трения скольжения в месте контакта цилиндра с направляющей. Используя закон сохранения импульса и закон изменения энергии выводится формула для рассчета силы трения сколь-жения

21

тр1 2

12( )

kx mFm m l

,

где k – жесткость пружины, x – сжатие пружины (или пере-мещение затвора З), 1m – масса пули, 2m – масса цилиндра, l – перемещение цилиндра. Юный Экспериментатор измерил один раз сжатие пру-жины x с помощью миллиметровой линейки, взвесил пулю и цилиндр с помощью весов и набора гирь, в котором наи-меньший перегрузок имел массу 100 мг, и произвел 10 вы-стрелов из пистолета П, при этом каждый раз измеряя пере-

Рис.33. Установка для определения

силы трения скольжения

63

мещение цилиндра Ц с помощью миллиметровой линейки. Все данные он занес в табл. 13 в первую строку. Затем немно-го смазал направляющие Н машинным маслом и повторил серию из 10 выстрелов. Затем попытался отшлифовать на-правляющие наждачной бумагой, чтобы изменить трение, и опять проделал такой же эксперимент. В конце концов у него получился набор данных 18 серий.

Таблица 13 Экспериментальные данные из опыта по измерению силы трения: 1 11,3m г, 2 65,2m г, 23x мм, 200k Н/м 1 l, мм 70 68 69 64 62 65 61 67 63 61 2 l, мм 80 74 73 78 73 71 70 73 74 72 3 l, мм 85 83 81 78 91 83 82 84 86 87 4 l, мм 90 83 81 79 85 82 89 85 87 88 5 l, мм 92 94 89 92 91 85 93 94 92 89 6 l, мм 100 98 94 96 98 94 97 92 101 93 7 l, мм 105 102 100 104 105 109 101 107 105 103 8 l, мм 111 109 107 108 105 112 103 104 106 107 9 l, мм 119 118 120 113 115 112 114 111 116 119 10 l, мм 123 121 119 117 115 119 120 123 115 117 11 l, мм 131 124 122 124 123 125 123 120 121 122 12 l, мм 130 128 132 129 130 134 127 128 126 129 13 l, мм 134 136 135 140 134 132 136 134 136 139 14 l, мм 140 139 138 139 141 135 139 137 140 138 15 l, мм 142 144 145 142 149 145 140 143 142 143 16 l, мм 152 154 152 149 150 151 146 149 153 151 17 l, мм 153 157 156 152 153 160 155 153 161 154 18 l, мм 162 164 160 162 163 170 165 164 160 168

Задание 3 1. Выберите номер варианта из табл. 13. 2. Рассчитайте среднее значение смещения цилиндра l . 3. Рассчитайте среднеквадратичное отклонение

64

10 2

1`

110 1l i

iS l l

и доверительный интервал

10ll S . Сравните его с погрешностью округления и вы-берите большее значение. 4. Используя информацию о ценах деления приборов, используемых в опыте, найдите погрешность округления

1 2, ,m m x . Коэффициент жесткости 200k Н/м считать точным числом. 5. Рассчитайте силу трения по формуле

21

тр1 2

12( )

kx mFm m l

.

6. Найдите доверительный интервал для силы трения по формуле

тр тр тр тртр 1 2

1 2

F F F FF m m x l

m m x l

.

7. Найдите относительную погрешность измерения силы трения

тр

тр

FF

.

8. Запишите ответ в виде тр тр тр ........... %F F F

Список литературы 1. Светозаров В.В.. Элементарная обработка результатов

измерений. - М.: Изд-во. МФТИ, 2005. 2. Руководство к выполнению лабораторных работ по

дисциплине "Физика". Часть III. Оптика и квантовая физика. / под ред. В.А. Семина – Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. – 114 с.

3. Руководство к выполнению лабораторных работ по дис-циплине "Физика". Часть I. Механика и молекулярная физика. / под ред. В.А. Семина - Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. -104 с.

65

Приложение Пример научного подхода к стрельбе из лука

Гайавата ставит эксперимент

Морис Дж. Кендалл (Перевод А. Дмохомского) 1. Всюду славен Гайавата, Он стрелок непревзойденный, Легкий лук он поднимает -- Десять стрел взмывают к небу, И последняя слетает С тетивы тугой, звенящей Прежде, чем вонзится в землю Первая из десяти. Все, кто видел Гайавату, Говорили, что бесспорно Совершенства он достиг. 2. Но какой-то хитрый скептик Тем не менее заметил, Что в стрельбе не только лов-кость, Но и меткость ценят люди. И добавил: было б лучше, Если б славный Гайавата В цель попал бы хоть однажды, Пусть хоть выборка при этом Будет меньшего объема. 3. Гайавата рассердился И сказал, что он в коллéдже Посвятил себя науке, Что статистикой зовется, Он, себя считая вправе Поучать своих собратьев,

Тут же лекцию прочел им. Вспомнил он закон ошибок, Усеченные кривые, Информации потерю, Заявил, что он добился Несмещенных результатов, И сказал, что после многих Независимых попыток, Даже если в их итоге В цель ни разу не попал он, -- Все равно по средней точке Отклонений от мишени Можно сделать твердый вывод, Что стрелял он безупречно (За возможным исключеньем Пресловутой меры нуль). 4. Но упрямые индейцы Возразили Гайавате, Что они не понимают Столь туманных рассуждений. Им совсем не интересен Результат его попыток. И они предполагают, Что охотник должен метко В цель стрелять. А если будет Он впустую тратить стрелы -- Должен сам за них платить. 5. Раздраженный Гайавата Стал цитировать обильно Р.А.Фишера и Итса, Приводить работы Финни,

66

Книги Кемпторна Оскара, Главы Кокрана и Кокса, Андерсена и Банкрофта. Он взывал к авторитетам, Убеждая несогласных, Что в стрельбе всего важнее Не прямое попаданье, А научно безупречный Статистический подход. 6. Кое-кто из возражавших Согласился с Гайаватой, Что в подобной точке зренья Есть, возможно, доля смысла, Но, пожалуй, все же лучше Не пускаться в рассужденья, А без промаха стрелять. 7. Наш герой в ответ на это Предложил за луки взяться, Чтоб строптивых оппонентов В правоте своей уверить. Он сказал: "Необходимо Так построить состязанье, Как советует учебник Проводить эксперименты". (Хоть научный этот способ Применяется обычно Для проверки качеств чая, Но порою, как известно, Приложим к другим вещам.) Гайавата разработал Точный план соревнований, Чтоб случайный их порядок В соответствии пришелся С тем характером, который Носят множители в славной Той теории, что ныне

Носит имя Галуа. 8. Те, кто выразил готовность Состязаться с Гайаватой, Были круглые невежды В проведеньи испытаний, И поэтому, наверно, Все оставшееся время Проводили в тренировках, Соревнуясь меж собою Или просто в цель стреляя. 9. И во время состязанья Результаты всех стрелявших Были просто превосходны, Но, увы, за исключеньем (Как ни трудно мне признаться) Результата Гайаваты. Гайавата, как обычно, Вверх свои направил стрелы. Он так ловко это сделал, Что остался несмещенным, Но при этом, к сожаленью, В цель ни разу не попал. 10. "Что ж, – сказали тут индей-цы, – Мы иного и не ждали". 11. Гайавата, не смущаясь, Попросил перо, бумагу, Произвел расчет дисперсий И в итоге вывел цифры, Из которых стало ясно, Что стрелки смогли добиться Лишь смещенных результатов, А дисперсии при этом Одинаковыми были И совсем не отличались От дисперсии, которой

67

Гайавата сам достиг. (Правда, следует отметить, Что последний этот вывод Убедительнее был бы, Если б в данных Гайаваты, По которым вычислял он Результат эксперимента, Зафиксированы были И прямые попаданья. К сожаленью, оппоненты, В вычислениях не смысля, Не могли с героем спорить, Что бывает очень часто При анализе дисперсий.) 12. Тем не менее индейцы, Не поверившие цифрам, Отобрали у героя Легкий лук его и стрелы И сказали, что, возможно, Гайавата в самом деле Выдающийся статистик, Но при этом совершенно

Бесполезен как стрелок. Что ж касается дисперсий, То какой-то грубый неуч Произнес такое слово, Что его, сказать по чести, В статистическом изданьи Я не смею повторить. 13. И теперь в лесу дремучем Бродит грустный Гайавата. Непременно размышляя Вспоминает он нормальный Тот закон распределенья Отклонений и ошибок, Что лишил его навеки Славы лучшего стрелка. И порою он приходит К трезвой мысли, что наверно Нужно целиться точнее, Несмотря на риск смещенья, Если все же в результате Иногда ему удастся Поражать стрелою цель.