1  

ISSN 2413-452Х

ДОНИШГОЊИ МИЛЛИИ ТОЉИКИСТОН ТАДЖИКСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

П А Ё М И ДОНИШГОЊИ МИЛЛИИ ТОЉИКИСТОН

(маљаллаи илмї)

БАХШИ ИЛМЊОИ ТАБИЇ

В Е С Т Н И К ТАДЖИКСКОГО НАЦИОНАЛЬНОГО

УНИВЕРСИТЕТА (научный журнал)

СЕРИЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

ДУШАНБЕ: «СИНО» 2015

1/3 (164)

2

ДОНИШГОЊИ МИЛЛИИ ТОЉИКИСТОН

ТАДЖИКСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МАЉАЛЛАИ ИЛМЇ СОЛИ 1990 ТАЪСИС ЁФТААСТ.

НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ ОСНОВАН В 1990 ГОДУ.

Њайати тањририя:

Редакционная коллегия:

Имомов М.С. - гл. редактор, доктор филологических наук, профессор

Сафаров Б.А. – зам. гл. редактора, кандидат юридических наук, доцент

Абдулазизов В. – зам.гл.редактора, кандидат филологических наук, доцент

Аъзои њайати тањририя:

Члены редколлегии:

Ашуров Г.Г. – доктор медицинских наук, профессор

Бобоев Т.Б. - доктор физико-математических наук, профессор

Георгиянц В.А. - доктор фармацевтических наук, профессор

Котвицкая А.А. - доктор фармацевтических наук, профессор

Раджабов Н.Р. - доктор физико-математических наук, профессор

Саидов Н.Б. - кандидат фармацевтических наук, профессор

Суяров К.Дж. - кандидат химических наук, доцент

Таджибеков М. - доктор геолого-минералогических наук, профессор

Тихонов А.И. – доктор фармацевтических наук, профессор

Устоев М.Б. - доктор биологических наук, профессор

Шерматов Н. – доктор технических наук, профессор

Маљалла бо забонњои тољикї, русї ва англисї нашр мешавад. Журнал печатается на таджикском, русском и английском языках.

Паёми Донишгоњи миллии Тољикистон, 2015

Вестник Таджикского национального университета, 2015

3

М А Т Е М А Т И К А - И Н Ф О Р М А Т И К А

НОМОГРАММЫ ДЛЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ГИДРАВЛИКИ

Н. Шерматов, Х.Н. Курбонов Таджикский национальный университет

В гидравлике для определения длины добегания воды используется приближѐнная

формула вида

,)]exp(exp[ btanK

q

уст

(1)

где q - расход воды, подаваемой в борозду, л/с; - активный смоченный периметр; n -

поправочный коэффициент; устK - установившаяся скорость впитывания, м; t -

продолжительность добегания, мин; - длина добегания, м.

В зависимости от типа почв в Согдийской области Республики Таджикистан на основе опытных данных определены параметры a и b, входящие в формулу (1):

228,2;086,3 ba - для легких почв, 273,0;331,2 ba - для средних почв,

25,0;647,2 ba - для тяжѐлых почв.

В [1] была анонсирована номографируемость формулы (1). Ниже рассмотрим полную версию этого вопроса.

Логарифмируем зависимость (1):

,)]exp(lnlnlnlnln btaKnq уст (1 )

которая приводится к одному из канонических форм [2]

,)()()()()()( 665544332211 ffffff (2)

,)()()()(),( 665544332112 fffff (3)

,)(),()(),( 665445332112 ffff (4)

допускающие построения приспособляемой циркульной номограммы вида рис.1. Для

канонической формы (2) qf ln1 ; ln2 f ; устKf ln3 ; nf ln4 ; )exp(5 btaf ;

ln6 f .

Рис.1. Схема циркульной номограммы для формулы (1).

Способ пользования. Прикладываем одну ножку циркуля к точке А в пересечения

заданных линий 1 и 2 , а вторую ножку циркуля к точке В в пересечения заданных

линий 1 и 3 . Не изменяя полученный раствор циркуля, перенесѐм первую ножку к

точке С в пересечения заданных линий 4 и 5 . Вторая ножка циркуля попадает в

бинарное поле ),( 64 на уровне заданной линии 4 . Пометка линии ,6 проходящей

через эту точку даст ответ 6 .

Формулу (1) можно привести к канонической форме

D C 4

5

6

B A

1

2 3

4

,),(),(),(),( 6446544531132112 ffff (5)

для которого можно построить номограмму с ориентированным транспарантом (рис.2). Рис.2. Схема номограммы с ориентированным транспарантом для формулы (5): а - неподвижная плоскость; б - транспарант.

Транспарант вычерчивается на прозрачной бумаге, например, на кальке [3].

Налагаем ориентированно транспарант на неподвижную плоскость, соблюдая при этом

параллельность семейств линий 1 и 4 . Совмещаем точки А и С, образованных

заданными значениями 1 и 2 , и 4 и 5 . Пометка линии 6 с заданной пометкой,

проходящей через точку В, находящуюся в пересечении заданных линий 1 и 3 на

уровне заданной линии 4 , является ответом.

Рассматриваемую формулу (1) также можно представить номограммой с одним поступательным перемещением транспаранта вида рис.3.

Номограмма рис.3 удобно тем, что любая из шести переменных, входящих в

формулу (1), может быть искомой. Пусть требуется найти 6 по заданным значениям

521 ,..., . Перемещая транспарант по неподвижной плоскости так, чтобы прямая I

совпадала с прямой I, находим такое ее положение, при котором заданная линия 3

пройдѐт через заданную точку в бинарном поле ),( 21 . Линии 6 с определѐнной

пометкой, проходящей через точку пересечения заданной точки в бинарном поле ),,( 54

является ответом 6 .

Ключ пользования номограммы в форме контактов записывается в виде

.,),(,),( 654321 II

Рис.3. Схема номограммы с одним поступательным перемещением транспаранта для зависимости (1): а - неподвижная плоскость; б - транспарант.

Отметим, что для анализа взаимовлияния переменных на искомый показатель,

удобным является номограмма с ориентированным транспарантом вида линейки, схема которого приведена на рис.4.

B A 1

2 3

1

D C 4

5

6

4

а) б)

1

2

а)

4

5

I I

б)

6

3

I

I

5

Предположим по заданным значениям 521 ,..., требуется найти 6 . На

неподвижной плоскости и транспаранте определим точки по заданным значениям

521 ,..., . Ориентированно налагая транспарант на неподвижной плоскости совмещаем

точку 4 и 1 , 5 и 2 . Напротив заданной точки 3 на шкале 6 читаем ответ.

Рис.4. Схема номограммы с ориентированным транспарантом вида линейки: а - неподвижная плоскость; б - транспарант.

Ниже приводится три циркульные номограммы рис.5-7, соответственно, для легких,

средних и тяжѐлых почв и уравнения элементов номограммы для случая легких почв.

Пределы изменения переменных: 055,0015,0 q ; 5,0005,0 устK ; 5,225,1 ;

20t0 ; 11,0 n ; 2,850 .

Уравнения элементов циркульной номограммы, после нахождения параметров преобразования и произвольных функций записываются в виде:

поле ( устKq, ):

);015,0ln(ln3870

),lnln5,0(1127,15 уст

qy

Kqx

поле ( ,q ):

);015,0ln(ln3870

),ln5,0(ln1183,131

qy

qx

поле (n, t):

);1,0ln(ln22

),086,3ln5,0(1115,12 228,0

ny

enx t

поле ( ,n ):

).1,0ln(ln22

),ln5,0ln(1171,128

ny

nx

а)

1

2 3

4 5

б)

6

6

Рис.5. Циркульная номограмма для легких почв.

Рис.6. Циркульная номограмма для средних почв.

7

Рис.7. Циркульная номограмма для тяжѐлых почв.

Особенность построенных номограмм заключается в том, что они состоят из

семейств параллельных прямых. Тангенсы углов наклона устK и к q равны и

противоположны по знаку. Также тангенсы углов наклона t и к n равны и

противоположны по знаку.

ЛИТЕРАТУРА 1. Шерматов Н. Номографирование одной задачи из области гидравлики / Н. Шерматов // Тез. докл.

Всесоюзн. конф. по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений. - Часть II. - Душанбе, 1987. - С.157-158.

2. Хованский Г.С. Номограммы с ориентированным транспарантом / Г.С. Хованский. - М.: Гостехиздат, 1957. -204 с.

3. Хованский Г.С. Основы номографии / Г.С. Хованский. - М.: Наука, 1976. - 352 с.

НОМОГРАММЫ ДЛЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ГИДРАВЛИКИ Длина добегания воды, подаваемой в борозду, определяется по формуле (1), которая зависит от ряда

факторов. В статье рассмотрены вопросы представимости этой зависимости различными типами номограмм. Построены три рабочих номограмм для определения длины добегания в зависимости от типа почв.

Ключевые слова: почва, расход воды, продолжительность, номограмма, транспарант, параметры преобразования.

NOMOGRAM FOR ONE HYDRAULIC PROBLEMS The length of the water supplied to the lag groove is defined by the formula (1), which depends on several

factors. The article discusses the representability of different types depending nomograms. Built three working nomogram for determining the length of the lag depending on the type of soil.

Key words: soil, water flow, duration, nomogramm, transparency, transformation parameters.

Сведения об авторах: Н. Шерматов – доктор технических наук, профессор кафедры вычислительной математики и механики Таджикского национального университета. E-mail: n.shermatov@mail.ru Х.Н. Курбонов – начальник Информационно-аналитического центра Таджикского национального университета. E-mail: khurshed_k@mail.ru

mailto:khurshed_k@mail.ru

8

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТИПА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА

А.С. Сатторов, Б. Рушанов Таджикский национальный университет

Вырождающиеся дифференциальные уравнения свое развитие получили в середине

двадцатого века, они являются одним из новых разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных. Первые фундаментальные исследования проводились в работе Ф.Трикоми [1]. М.В. Келдыш в [2] выяснил, что постанова задач для общего вырождающегося уравнения существенно зависит от значения коэффициентов при младших производных. В работах [3] и [4] исследовались дифференциальные уравнения смешанного типа и сингулярные уравнения.

В работах [5] и [6] получены интегральные представления решений квазилинейных дифференциальных уравнений, и в явном виде решены задачи типа Коши.

В данной статье рассмотрены интегральные представления решений для одного квазилинейного вырождающегося дифференциального уравнения первого рода, и решается задача типа Коши.

Рассмотрим уравнения:

02

162

2

2

2

y

V

yy

V

x

Vy

(1)

01

2

16 22

yxyyyxx UU

UU

yU

yUyU

(2)

где постоянное число. Введем следующий интегральный оператор

2,11

211

0

32 2

3

i

dyxT ii

Через D обозначим область, ограниченную отрезком AB оси ox и

характеристиками, ,03

2: 2

3

yxAC ,13

2: 2

3

yxBC выходящим из точек ),0,0(A

),0,1(B и пересекающимся в точке ., 324321 C Через 2,1 iDWi обозначим класс решений уравнения (2) представимых в виде,

,,exp, yxVyxU где yxV , решение уравнения (1), содержащее соответственно одно и два произвольных функции одного аргумента.

Используя связь, между решением уравнения (2) и решением уравнения (1) и принцип соответствия, убедимся в справедливости следующих утверждений.

Теорема 1. Если yxV , является решением уравнения, (1) то функция ,,exp, yxVyxU будет решение уравнения (2).

Теорема 1 доказывается непосредственно, т. е берем частные производные первого и

второго порядков по ,x и y от функция yxU , и подставляя в уравнения (2), убедимся в справедливости теоремы.

Теорема 2. Пусть 12 .Тогда любое регулярное решение уравнения (2) из класса

DW1 представимо в виде: ,exp),( 11 TAyxU (3)

9

где x1 произвольная функция переменного ,x ),(

1

BA постоянное число,

),( B функция Эйлера второго рода

Теорема 3. Пусть 120 .Тогда любое регулярное решение уравнения (2) из класса DW2 представимо в виде:

,exp),( 221111 23

TyATAyxU

(4)

где ,1 x и x2 произвольные функции одного аргумента

)1,1(

11

BA

постоянное число. Теорема 4. Пусть 021 . Тогда любое регулярное решение уравнения (2) из

класса DW2 представимо в виде: ,2121exp),( 221111321 2

323

TyATAyTAyxU

(5)

где ,1 x и x2 произвольные функции одного аргумента ,x

)1,1(

11

BA

постоянное число. Теоремы 2-4 доказываются, непосредственно приводим доказательство одного из

этих теорем, например, теорема 3. Доказательство теоремы3.

221111221111 23

2

3

exp

TyATATyATAU x

2

21

111

2

2

21

111

2

21

111

23

23

23

exp

TyATATyATA

TyATAU xx

21

121

2

21

111

2

21

111

23

23

23

212

32121

exp

TAyTyyATyA

TyATAU y

2

21

121

2

21

1112

21

111

2

21

111

23

23

23

23

213

2

2121exp

exp

TAy

TyyATyATyATA

TyATAU yy

21'213

21'2

21exp

2

121

1

11

2

112

21

111

23

23

TyyA

Ty

ATAyTyATA

10

.212

1

2

6121

2

3exp

21exp

2

21

1

2

221

12

21

111

2

2

21

12

21

111

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

TyyAy

TyATyATA

TyAyTyATA

Подставляя, найденные частные производные в (2) после некоторых упрощений имеем:

21exp

exp1

2

16

112

21

111

2

2111

2

2111

2

21

111

22

23

23

TyATyATA

TATAyTATAy

TyATAUU

UU

yU

yUUy yxyyyxx

2

2

121

2

32

123

213

221

TAyTyA

061214

3

61214

3exp

exp

213

221

21exp

213

221

21

221

21

221

2

21

111

21

21

21

21

11112

21

111

2

2

121

2

32

1

112

21

111

2

2

121

2

32

1

23

23

23

23

23

23

23

23

23

TAy

TAyTyATA

TAyy

TAyyTAyTAyTyATA

TAyTyA

TyATyATA

TAyTyA

Теперь некоторые из этих интегральных представлении применим для решения задач типа

Коши в области D .

Задача 1K . Требуется найти регулярное решение уравнения (2) из класса )(2

DW

при ,120 удовлетворяющей начальным условиям:

xfyxUy

,lnlim0

, ,,ln 13

0

21

lim kxgyxUy

yy

где xgxf , заданные функции на отрезке .10;0 xx Решение задачи

1K . Используя интегральное представленное (4) с учетом начальных

условий, ,1K получим

xfx 1 .

123

2,12

2

322 xgxxgx

Подставляя значения x1 и x2 в равенстве (4) находим

11

xgTxfTyxU

123

2exp, 1 . (6)

Теорема 5. Пусть 02 Cxf и 0

1 Cxg . Тогда решение задачи 1K в области D при 120 , дается формулой (6), где xf и xg заданные непрерывные

функции на интервале .10;0 xx Задача

2K .Требуется найти регулярное решение уравнения (2) из класса )(2DW

при ,021 удовлетворяющей начальным условиям:

xfyxUy

10

,lnlim

, ,,,ln 213

0

21

lim kxgyxUyy

y

где xgxf 11 , заданные функции на интервале .10;0 xx Задача

2K решается аналогично задаче 1K , но в этом случае используется

интегральное представление (5).

Теорема 6. Пусть 03

1 Cxf и 01

1 Cxg . Тогда регулярное решение задачи

2K в области D при 021 , дается формулой

gTfTyfTyxU

123

221

3

221exp, 11

23

(7)

где xf1 и xg1 заданные функции на интервале .10;0 xx

ЛИТЕРАТУРА 1. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных / Ф. Трикоми. –М., 1957. - 443 с. 2. Келдыш М.Б. О некоторых случаях вырождения уравнения эллиптического типа на границе области /

М.Б. Келдыш // ДАН СССР. – 1951. -т.77. -№2. -С. 181-183. 3. Смирнов М.М. Уравнения смешенного типа / М.М. Смирнов. –М. Высшая школа, 1985. - 340 с. 4. Раджабов Н.Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных

уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. ч. 1 / Н. Раджабов. –Душанбе, 1980, 1981, 1982, 1985.

5. Сатторов А.С. Интегральные представления и задача типа Коши для одного квазилинейного вырождающегося дифференциального уравнения второго порядка с одной сингулярной линией / А.С. Сатторов // ДАН РТ. – 2009. -том. 52. -№12. -С. 907-912.

6. Сатторов А.С. Интегральные представления и задача типа Коши для одного квазилинейного дифференциального уравнения с двумя сингулярными линиями вырождения / А.С. Сатторов // ДАН РТ. – 2010. -том. 53. -№8. -С. 601-605.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТИПА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО

КВАЗИЛИНЕЙНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА

В данной работе в зависимости от принимаемых значений, коэффициента вырождающегося дифференциального уравнения первого рода, находятся интегральные представления и решения. Затем, полученные интегральные представления применяются для решения задачи типа Коши. Решения задач типа Коши даѐтся в явном виде.

Ключевые слова: вырождающиеся, интегральные представления, первого рода, регулярные.

INTEGRAL REPRESENTATIONS AND PROBLEM SOLVING TYPE PROBLEM FOR A QUASILINEAR DEGENERATE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE FIRST KIND

In this paper, according to the accepted meaning of the coefficient of degenerate differential equations of the first kind are integral representations and solutions. Then the obtained integral representations are used to solve the problem of Cauchy type. Problem solving Cauchy type is given explicitly.

Key words: degenerate, integral representations of the first kind, regular.

Сведения об авторах: А.С. Сатторов – д.ф.м.н., профессор Научно-исследовательского института ТНУ. Телефон: (+992) 951-41-49-22 Б. Рушанов - научный сотрудник Научно-исследовательского института ТНУ. Телефон: 901-04-03-70

12

О НЕКОТОРЫХ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ

СИНГУЛЯРНОЙ ЛИНИЕЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

Б.М. Шоймкулов Таджикский национальный университет

Получению многообразия решений и исследованию краевых задач для линейных

дифференциальных уравнений гиперболического типа второго порядка, некоторых линейных переопределенных систем первого и второго порядка с одной и с двумя сверх - сингулярными линиями и сверх - сингулярными точками посвящена монография академика АН РТ Раджабова Н. - 1992г « Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверх - сингулярными коэффициентами».

В настоящей работе, используя полученные результаты монографии Раджабова Н., найдено многообразие решений переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с одной сингулярной линией в общем случае в явном виде, через три произвольных постоянных, который сингулярная линия находится в границы области.

В дальнейшем обозначим через D треугольную область, ограниченную отрезками

0030201 0,},,0,0,0 ayaxГxyaxГyaxГ В области D рассмотрим систему

,)(

),(

)(

),(),(),(

,)(

),(

)(

),(),(),(

,)(

),(

)(

),(),(),(

2

3

2

333

2

2

2

2

2

222

2

2

1

2

111

2

2

yx

yxfv

yx

yxc

y

v

yx

yxb

x

v

yx

yxa

y

v

yx

yxfv

yx

yxc

y

v

yx

yxb

x

v

yx

yxa

yx

v

yx

yxfv

yx

yxc

y

v

yx

yxb

x

v

yx

yxa

x

v

(1)

где )31)(,(),,(),,(),,( jyxfyxcyxbyxa jjjj - заданные функции класса

),()(1 DCDC )(),(2 DCyxv - искомая функция.

Пусть в системе (1) коэффициенты ),(),,(),,( yxcyxbyxa jjj и правые части

)31)(,( jyxf j удовлетворяют условиям совместности:

),(),(),,(),,(),,(

),(),(),,(),,(),,(

),(),(),,(),,(),,(

1

1111

1

2222

1

3333

DCyxfyxcyxbyxa

DCyxfyxcyxbyxa

DCyxfyxcyxbyxa

y

x

(2)

),,(),(]),(

[)(

),(),(),(]),(

[)(

1312

22222

yxbyxayx

yxa

yyx

yxcyxbyxayx

yxa

xyx

(3)

13

),,(),(),(),(),(]),(

[)(

),(),(),(),(]),(

[)(

1312112

221222

yxcyxbyxbyxbyxayx

yxb

yyx

yxbyxbyxbyxayx

yxb

xyx

(4)

),,(),(),(),(])(

),([)(

),(),(),(),(])(

),([)(

31212

13

22122

23

yxcyxbyxcyxayx

yxc

yyx

yxcyxbyxcyxayx

yxc

xyx

(5)

),,(),(),(),(])(

),([)(

),(),(),(),(])(

),([)(

31212

13

22122

23

yxfyxbyxfyxayx

yxf

yyx

yxfyxbyxfyxayx

yxf

xyx

(6)

),,(),(),(),(]),(

[)(

),(),(),(),(),(]),(

[)(

232222

3323132

yxbyxayxayxayx

yxa

yyx

yxcyxbyxayxayxayx

yxa

xyx

(7)

),,(),(),(]),(

[)(

),(),(]),(

[)(

22222

1332

yxcyxbyxayx

yxb

yyx

yxbyxayx

yxb

xyx

(8)

),,(),(),(),(])(

),([)(

),(),(),(),(])(

),([)(

32222

23

23132

33

yxcyxbyxcyxayx

yxc

yyx

yxcyxbyxcyxayx

yxc

xyx

(9)

).,(),(),(),(])(

),([)(

),(),(),(),(])(

),([)(

32222

13

23132

33

yxfyxbyxfyxayx

yxf

yyx

yxfyxbyxfyxayx

yxf

xyx

(10)

Тогда вводя новую функцию uyxyxv1)(),( и считая

),,(),(),,(),(),,(),(

,2),(),(,1),(),(),,(),(

,0),(,1),(,2),(

332211

332211

321

yxgyxcyxgyxcyxgyxc

yxgyxbyxgyxbyxgyxb

yxayxayxa

из системы (1) получим систему вида

14

.),(),(

,),(),(

,),(),(

33

2

2

22

2

11

2

2

yx

yxf

y

u

yx

yxg

y

u

yx

yxf

y

u

yx

yxg

yx

u

yx

yxf

y

u

yx

yxg

x

u

(11)

Для системы (11) условии совместности являются

),,(),(]),(

[)(

),(),(]),(

[)(

1312

2222

yxgyxgyx

yxg

yyx

yxgyxgyx

yxg

xyx

(12)

),,(),(]),(

[)(

),(),(]),(

[)(

3112

2222

yxfyxgyx

yxf

yyx

yxfyxgyx

yxf

xyx

(13)

],),(

[]),(

[ 23

yx

yxg

yyx

yxg

x

(14)

).,(),(]),(

[)(

),(),(]),(

[)(

3222

2332

yxfyxgyx

yxf

yyx

yxfyxgyx

yxf

xyx

(15)

Вводя новую функцию Wy

u

из двух последних уравнений системы (11)

получим переопределенную систему в частных производных первого порядка с одной сингулярной линией

.),(),(

,),(),(

33

22

yx

yxfW

yx

yxg

y

W

yx

yxfW

yx

yxg

x

W

(16)

Сначала находим решение второго уравнения системы (16). В этом случае однородное уравнение имеет вид:

.),(3 W

yx

yxg

y

W

Эту уравнение запишем в виде

.),(ln 3

yx

yxg

y

W

Интегрируя от 0 до y будем иметь

),()],(exp[)(),( 13)0,0(3 xyxyxyxW

g (17)

15

где ,)0,0(),(

),(0

333

y

dx

gxgyx

)(1 x произвольная непрерывно-

дифференцируемая функция переменной .x

Подставляя значение ),( yxW во второе уравнение и считая, что функция )(1 x

зависит от переменной ,y для нахождение )(1 x будем иметь

.)(

)],(exp[),()()0,0(1

331

3gyx

yxyxf

dy

xd

Интегрируя, находим

).()(

)],(exp[),()( 2

0

)0,0(1

331

3xd

x

xxfx

y

g

(18)

После подставляя значение )(1 x из (18) в (17) находим общее решение второе уравнение системы (16) в виде

].)(

)],(exp[),()([

)(

)],(exp[),(

0

)0,0(1

332)0,0(

3

33

d

x

xxfx

yx

yxyxW

y

gg

(19)

Пусть 0)0,0(3 g и функция ),(3 yxg удовлетворяет условию типа Гельдера

)20(,0,0,)()0,0(),( 111331 constHyxHgyxg

и функция ),(3 yxf обращается в нуль с асимптотической формулой

(21)).0,0(],)[(),( 3232 gyxoyxf

Теперь от функции ),( yxW потребуем, чтобы она удовлетворяла первой уравнении

системы (16), отсюда находим условие совместности вида

}.)(

)),(exp(),()

)(

)),(exp(),(

)()()0,0(),(),(

{(])(

)),(exp(),([

)0,0(1

32

0

)0,0(1

33

2332

)0,0(1

33

33

3

g

y

g

g

yx

yxyxfd

x

xxf

xyx

g

x

yx

yx

yxg

yyx

yxyxf

x

(22)

Используя условие (22) из первого уравнения системы (16), получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с одной сингулярной линией вида

)23()0,(

)()0,0()0,()(

)0,0(1

22

322

3gx

xfx

x

gxg

dx

xd

Общее решение уравнения (23) имеет вид

],))0,(exp()0,(

)[0,(exp()(0

)0,0(1

2212

)0,0()0,0(

22

22 dtt

ttfcxxx

x

g

gg

(24)

где ,)0,0()0,(

)0,(0

222

x

dtt

gtgx

1c - произвольная постоянная.

Пусть функция )0,(2 xg удовлетворяет условию

16

,0,0),()0,0()0,( 322223 constHxHgxg

(25)

и функция )0,(2 xf в окрестности точек 0x обращаются в нуль, и еѐ поведение определяется следующей асимптотической формулой

).0,0(],[)0,( 2424 gxoxf

(26)

и .0)0,0()0,0( 32 gg

Тогда подставляя (24) в (19) и учитывая

)27(,)(),(),(0

3 y

xdxWyxu

из первой уравнений системы (11) получим условие

].),(

),(),(

[)],([ 112

2

yx

yxfyxW

yx

yxg

yyxW

x

(28)

Используя условию (28) для нахождение произвольную функцию )(3 x получим уравнение вида

.),(

]))0,(exp()0,(

[)0,(exp(),()( 1

0

)0,0(1

221)0,0(1

21

2

3

2

22 x

oxfdt

t

ttfc

x

xoxg

dx

xdx

gg

(29)

Дважды интегрируя (29) попеременной x , произвольной функции )(3 x находим в виде

.]ln)[0,0()1)0,0()(0,0(

)0,0(

)30())0,0()0,()((

2

))0,(exp()0,()(

))0,0())0,(exp(),()(()(

321

22

)0,0(1

11

0

11

0

)0,0(1

22

2

0

)0,0(1

12113

2

2

2

cxcxxxfgg

xgс

dtt

ftftxdt

t

ttftx

dtt

gtotgtxcx

g

xx

g

x

g

Пусть функция )0,(1 xg и )0,(1 xf удовлетворяют условию типа Гельдера

)31(,0,0),()0,0())0,(exp(),( 5331215 constHxHgxyxg

,0,0),()0,0()0,( 644116 constHxHfxf

)32(

Подставляя функции )(3 x из (30) в (27) и учитывая (19) будем иметь

17

,]ln)[0,0(

)1)0,0()(0,0(

)0,0())0,0()0,()(()0,(),,(

)33(]))0,0())0,(exp()0,()((

))0,(exp(

)),(exp()([

),()(

)],(exp[),(),(

321

0 22

)0,0(1

11112

0

1

0

)0,0(1

121

0 2

)0,0()0,0(

3

)0,0(

1

1

0

11)0,0(1

1

1313

2

232

3

3

cxcxxxf

gg

xgcdt

t

ftftxdttftyxK

dtt

gttgtxd

xx

xxc

dxWx

xxfyxu

x gx

x

g

y

gg

g

y

g

где ,)(),(

1

33 ),()0,0(

11 dsesxxW

y

sxg

)),0,()0,(exp(]2

)0,()(

)),(exp()([),,(

221

2

0

3

)0,0(

)0,0(1

)0,0()0,0(

13

2

32

txxgtx

dxxt

xtyxK

y

g

g

gg

321 ,, ccc - произвольные постоянные.

Теорема 1. Пусть в системе (11), функции )31)(,(),,( jyxfyxg jj -

удовлетворяют условиям (12),(13),(14),(15), (20),(21),(22),(25),(26),(28),(31),(32) и

,0)0,0(3 g 0)0,0()0,0( 32 gg в области D . Тогда любое решение системы (11) из

класса )(2 DC представимо в виде (33).

Замечание 1. Решение вида (33) в окрестности сингулярной линии xy , при выполнении всех условий теоремы 1 непрерывно.

Теорема 2. Пусть в системе (1) коэффициенты ),(),,(),,( yxcyxbyxa jjj и

правые части )31)(,( jyxf j удовлетворяют условиям (2),(3),(4),(5),(6),

(7),(8),(9),(10) и выполнены все условии теоремы 1. Тогда любое решение системы (1) из

класса )(2 DC представимо в виде,

),,()(),( 1 yxuyxyxv (34)

где функция ),( yxu имеет вид (33). Замечание 2. Решение вида (34) в окрестности сингулярной линии xy , при

выполнении всех условий теоремы 2 неограниченно.

ЛИТЕРАТУРА 1. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных

уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями / Н. Раджабов. -Душанбе, изд. ТГУ, 1980. - № I. - 126 с.; 1981. - № II. -170 с.; 1982. - № III. - 170 с.

2. Раджабов Н. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами: учебное пособие по спецкурсу / Н. Раджабов. –Душанбе, 1992. - С.236.

18

О НЕКОТОРЫХ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ЛИНИЕЙ В

ОБЩЕМ СЛУЧАЕ В данной работе исследована переопределенная система дифференциальных уравнений в частных

производных второго порядка с одной сингулярной линией в общем случае. При выполнении условий совместности найдено многообразие решений в явном виде.

Ключевые слова: система дифференциальных уравнений, в частных производных, переопределенная, сингулярная линия.

OF ONE OVER DETERMINED SYSTEM DIFFERENTIAL EQUATIONS AT PRIVATE DERIVATIVE SECOND ORDER WITH ONE SINGULAR LINES IN GENERAL CASE

In this work of one over determined system differential equations at private derivative second order with one singular line in general case, is investigation.

Key word: system differential equations, at private derivative, over determined, singular lines.

Сведения об авторе: Б.М. Шоймкулов – доцент кафедры математического анализа и теории функций ТНУ. Телефон: (+992) 919-43-11-84

ОБ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ЗАЩИТЫ И УБЫТКИ УРОЖАЯ ДЛЯ ТОЧЕЧНЫХ МОДЕЛЕЙ

М. Юнуси, А.Х. Ходжаева

Таджикский национальный университет

Рассмотрим задачи оптимального управления, связанные с экологическими системами, состоящими из трех трофических уровней, с учетом поступающего внешнего ресурса. К данным задачам относятся многочисленные задачи, так называемого ―контроля над численностью вредителей‖, или борьба с вредителями, и сводятся к задачам нахождения оптимального управления в различных вариантах типа ―хищник-жертва‖ или ―паразит-хозяин‖. Типичным примером таких экосистем является поле какой-либо сельхозкультуры (рис, пшеница, хлопок и др.), у которой есть насекомые вредители, а они в свою очередь имеют вид паразит-хищник (полезные насекомые). В качестве внешнего ресурса…..можно рассматривать удобрения или воду, используемые для полива. Известно, что для подавления численности вредных насекомых используются химические и биологические способы борьбы. При этом возникает задача определения оптимальной концентрации ядовитого вещества Д, количества добавляемых в популяцию вида паразита или хищника, а также стерильных самцов вредители Р, скорость поступления внешнего ресурса Q из условия минимизации численности вредных насекомых или максимизации величины собираемого урожая.

Математически эту задачу можно сформулировать следующим образом. Требуется минимизировать функционал

k

k

t

t

uNNNdtuNNNfu ,,,,,, 321321

0

0

(1)

при условиях;

,,

,,,

,,,,

3332333

2321222

210111000

PNNDNNFNN

NDNNNFNN

NNNFNNNFQN

где

,

0

....,,,:

max

utu

фнкuQDpuuu

.,.0 f характеризуют ущерб со стороны вредителей и затраты на реализацию биологического, химического и агротехнического способов борьбы 3,2,1,0,itNN II

19

усредненные численности (или биомассы) i -го трофического уровня , .II FFсоответствующие относительные с роста биомассы i го уровня D функция ―доза-эффекта‖ от применения дозы ,tDD

kttdD

d

dD

d 0,0,0

2

2 (2)

Предположим, что функции, входящие в постановку задачи удовлетворяют обычным условиям.

Теорема. 1 Пусть имеет место условия (2) и

QDcPNcPNccNQDcPNccNf DppDP 332320 .,.

Тогда оптимальное управление задачи (1)-(2) характеризуется соотношениями:

D

DD

NNNNC

DDNNC

NNCD

D

c

cpP

QQ

D

D

D

p

p

0

1

3322332210

0

3322

3322max

3

3max

0

0max

,0,

,0,0

0,

,,0

,,

1,0

1,

(3)

где DpU

cccpQC ,,,,,, maxmax10 заданные положительные числа решения сопряженной к

(2) задачи ,I=0,1,2,3 Доказательство. Составим функцию Гамильтон -Понтрягина для задачи (1)-(2):

PDINNFNDNNNFN

NNNFNNNFQQDCPNCCNH DP

32333321222

210111100032

,,,

,,,

отсюда

3

1

2

3322330

.

1

I

II

DP

FCN

DNDNDCPNCQH

Из условия максимума функции H по получим (3).

Так как 3,2,1,0,,

i

Nt

N

Hkt

I

kI

I

I

то имеем:

3,0,,,

,

,0,,0,0,

00

JINN

aaA

bt

cbbA

I

J

ijij

k

(4)

Теорема 2. Решение сопряженной задачи (6.4) представляется в виде

k

k

t

tt

ttA

kp

P

AAAtAtAdttAeK

ttAAbAbtгде

tKIt

001

0

1

0

01

0

1

,,

,exp

,

10

20

Доказательства. Наряду с системой (4) рассмотрим систему с постоянной матрицей

0A

00

, k

tbA

(5)

Решение последней задачи представляется в следующем виде :

IeAbet ttAttAp kk 00

1

0

0

Теперь введем ,ttp

тогда почтенно из (4), вычитая (6), получим

0

,0,0

k

k

t

ttA

Отсюда

kt

t

tAdAet 0

И следовательно

k

t

t

tA

p dAett 0 (7)

Введя функцию deKkt

t

tA

0 получим (5)

Замечание 1. Решение (7) единственно к его можно получить методом последовательных

приближений. В самом деле, пусть

,....2,1,0

,

,

001

0

n

dett

tt

kt

t

tAn

p

и рассмотрим разность tt nn 1 Легко видеть, что

ttMeM

nttMtt

k

tA

t

n

k

nnn

0

01

,0

11

0

1

,max

,1/

0

Следовательно ряд

0

31

S

S сходится равномерно. Поэтому tS равномерно

по t сходится к ,t которая удовлетворяет интегральному уравнению (7). Покажем, что это решение единственно. Предположим противное.

Пусть также является решением (6.7). Тогда

1/.......1

00

00

ndeMden

ttA

t

t

tA kk .

т.е.

ktt

ttn

0

,,0

Замечание 2. Пусть 3.0, ii собственные значения матрицы

0A тогда на основе

интерполяционной формулы Лагранжа Сильвестера имеем:

kJI

ji

I

J

j

ij

tt

P

ttji

IAe

bAbAtkj

0,3,0,,

8.6,0

3

0

0

1

0

01

0

Теорема 3. Пусть 3210 ,,, NNNNN стационарное решение системы (6.2) , тогда приближенное решение задачи (6.2) можно представить в виде

21

k

J ji

I

ji

ij

t

tt

IAe

NNNtN

0

9.6,3

0

0

,10

где i

-собственные значения матрицы .0;3,0;3,0, 00 NNjiaA ij Доказательства. Пусть , t где t является решение задачи (2):

,0, 0 f f правая часть системы (6.2): решение 0f . Тогда легко видеть, что

,0 0

0

где 0

транспонированная с 0 - матрица, и следовательно te 00 . Принимая во внимание, что , t и используя интерполяционную формулу Лагранжа Сильвестера, получим (6.9).

Замечание 3. Стационарное состояние - в случае вольтеровского описания

модельной экосистемы имеет вид

,2/2

,2

,2

,2

21max1312213max1

2

003

212

max1

2

00

1

12

2

11

max1

2

00

1

1010

max1

2

00

0

PmKmQ

K

Qm

K

Q

KK

Q

где ,,,, iiii mk биологические параметры системы .3,2,1,0i

Таким образом, для поведения оптимальной политики необходимо определить

функции t и t соответственно по формулам (7), (8) числа pi по формулам (2), а затем воспользоваться формулами (3).

Замечание 4. Если ввести управления .1 DU PDU 2 , то задачу (1), (2) можно интерпретировать как задачу оптимизации процесса охраны и охоты промысловых популяций.

Построение математической модели уменьшения убытков. Основная идея метода уменьшения убытков состоит в последовательном выявлении направлений, в которых данные об убытках имеют наибольший разброс. Пусть выборка состоит из векторов, одинаково распределенных с вектором X = (x(1), x(2), … , x(m)). Рассмотрим линейные комбинации

Y(λ(1), λ(2), …, λ(m)) = λ(1)x(1) + λ(2)x(2) + … + λ(m)x(m), (*) где λ

2(1) + λ

2(2) + …+ λ

2(m) = 1. Здесь вектор λ = (λ(1), λ(2), …, λ(m)) лежит на единичной

сфере в n-мерном пространстве. В методе главных компонент прежде всего находят направление максимального разброса, т.е. такое λ, при котором достигает максимума дисперсия случайной величины Y(λ)=Y(λ(1), λ(2), …, λ(m)). Тогда вектор λ задает первую главную компоненту, а величина Y(λ) является проекцией случайного вектора Х на ось первой главной компоненты. Затем, выражаясь терминами линейной алгебры рассматривают гиперплоскость в n-мерном пространстве, перпендикулярную первой главной компоненте, и проектируют на эту гиперплоскость все элементы выборки. Размерность гиперплоскости на 1 меньше, чем размерность исходного пространства. В рассматриваемой гиперплоскости процедура повторяется. В ней находят направление наибольшего разброса, т.е. вторую главную компоненту. Затем выделяют гиперплоскость, перпендикулярную первым двум главным компонентам. Ее размерность на 2 меньше, чем размерность исходного пространства. Далее – следующая итерация. С точки зрения

22

линейной алгебры речь идет о построении нового базиса в m-мерном пространстве, ортами которого служат главные компоненты. Дисперсия, соответствующая каждой новой главной компоненте, меньше, чем для предыдущей. Обычно останавливаются, когда она меньше заданного порога. Если отобрано k главных компонент, то это означает, что от m-мерного пространства удалось перейти к k-мерному, т.е. сократить размерность с m-до k, практически не исказив структуру исходных данных. Для визуального анализа данных часто используют проекции исходных векторов на плоскость первых двух главных компонент. Обычно хорошо видна структура данных, выделяются компактные кластеры объектов и отдельно выделяющиеся вектора. Известно, что многие вопросы конструировании и исследовании некоторых модельных объектов, в которых процессы теплопроводности, диффузии, волнового процесса и другие при некоторых значениях параметров протекают в максимальных режимах. Протекающие соответствующие физические процессы сопровождаются образованием максимального количество тепла (в процессе теплопроводности), максимального количества частиц (в процесс диффузии), максимальной волновой энергии (в волновом процессе) и продуктов в экономических задачах. Рассмотренные процессы приводят к так называемому модельному уравнению с экстремальными свойствами. Рассмотрим разложение типа (*) в самом общем случае для произвольных массива данных любой природы и пусть

1

,

1

s smLu L u

j jj

( ) , , 1. **1

j

smsLu L u s o m

jj

Здесь mjj

LL ,1,, - заданные операторы, характеризирующие рассмотренные

процессы связанных массивами, М- множество, которое описывает параметров среды и рассматриваемых процессов и оно представляется в виде

mjoj

m

jsn

n

jmM ,1,,1

1

:...1

.

Используя принцип оптимальности, имеем задачу максимизации правой части

последнего разложения по коэффициентам j

и в самых общих случаях уравнение:

,

1

1

max

ssm

j

uj

LjM

Lu

которое эквивалентно уравнению

( ) , .

1

nmnLu L u n s o

jj

(***)

Рассмотрим некоторый класс возможных решений, например, класс простых решений

10,, kcuLuuj

cuj

L kk где cc j , -являются решениями так называемое уравнения

совместимости(координационный):

m

j

ncnj

c

1

, т.е. p

m

m

j

n

jm Cc 1

, а затем находим

функцию (.)u как решения переопределенной системы и исходного уравнения. Для

последнего уравнения мы получили формулу n

m

i

n

ip

imnmp

m zyxxC

2

)2(

1

ЛИТЕРАТУРА

1. Юнуси М.К. Математические модели борьбы с вредителями / М.К. Юнуси. -Душанбе: Дониш, 1991. -146.с.

2. Юнуси М.К. Математические модели защиты растений и охраны популяций животных / М.К. Юнуси. –Душанбе, 1988. -29 с.

23

3. Юнуси М.К. Решение одного класса интегро-дифференциальных задач его приложения в биологии / М.К. Юнуси. –Душанбе, 1998. -51 с.

4. Юнуси М.К. Математические модели охраняемых популяций / М.К. Юнуси. -М: ВЦ АН СССР, 1991. -31 с.

5. Юнуси М.К. О решении одного класса нелокальных задач / М.К. Юнуси. -М.: ВЦ АН СССР, 1991. -31 с. 6. Свирежев Ю.М. Устойчивость биологических сообществ / Ю.М. Свирежев, Д.О. Логофет. -М.: Наука,

1978. - 252 с. 7. Белл мен Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Белл мен, К. Кук. -М: Мир, 1967. -548 с. 8. Yunusi M. Models of Development of Losses in the Worst Condition by Kinds with Long Settlement -

Modification Method of the Nearest Neighbour / M. Yunusi // International Congress Actuaries. March 7-12, Cape- Town,SA, 2010. -P.23.

ОБ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ЗАЩИТЫ И УБЫТКИ УРОЖАЯ ДЛЯ ТОЧЕЧНЫХ МОДЕЛЕЙ

Работа посвящена вопросам оптимизации процесса защиты и убыткам урожая сельскохозяйственной культуры от вредителей, а также определению величины убытков при неправильном планировании мероприятий при их проведении.

Ключевые слова: оптимизация, защита урожая, убытки, модель, интегрированный метод, оптимальное управление, вредитель, хищник.

ON THE OPTIMIZATION OF THE PROTECTION AND CROP LOSSES FOR POINT MODELS

The article is devoted to the optimization of the protection and crop losses of agricultural crops from pests, as well as determination of the magnitude of losses at carry out some protection actions the crop.

Key words: optimization, crop protection, loss, model, integrated method, optimal control, pest, predator. Сведения об авторах: М. Юнуси - доктор физико-математических наук, профессор кафедры информатики Таджикского национального университета. Телефон: (+992) 918-21-99-90 А.Х. Ходжаева - аспирантка Таджикского национального университета. Телефон: (+992) 985-82-81-57

О ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ ЗАДАЧИ РИМАНА С ЗАДАННЫМИ ГЛАВНЫМИ ЧАСТЯМИ НА ДЕЙСТИВИТЕЛЬНОЙ ОСИ

К. Тураев

Кулябский государственный университет им. А. Рудаки

1. В 1 при помощью интегралов Фурье исследована однородная и неоднородная краевая задача Римана с заданными главными частями

,0,

,0,

...21

JmzzzS

JmzzzS

zzzzSесли

если

i

i

i

in

по краевому условию

Lx, xHxFxDxF . (1)

Доказано, что общее решение задачи (1) при 0Jndæ xD дается формулой

,210 zFzFzFzF (2) где

dtet

zzF

iz

zPzzF izt11ж

1-ж0

2,

,

dtet

tHx ixt

2

11 ,

dttziz

izzz iztzz

02

1,,

dttDit

itxdttz ixtizt

ж0

ln2

1,

2

1

24

dtex

xS

x

xSzzSzF izt

22 (3)

Входящие в zF2 слагаемые описывают вклад в решение, происходящее от заданных главных частей zS , принято называть функцией заданных главных частей 1 .

2. Рассмотрим один частный случай (3), часто встречающийся на практике. Пусть функция

x

xSxDSS

xx

xx

x

x (А)

аналитична в 0Jmz и непрерывна в L , а функция

x

xSxD

xx

xSxS

1

x

x (В)

аналитична в 0Jmz -и непрерывна в L , тогда по интегральной формуле Коши функцию

zF2 можно представить в виде ,0z,2

JmzzSzDzSzF

0z,12

JmzzSzDxSzF .

Следовательно, формула (2) представима в следующих формах

,0z,10

JmzzFzFzSzDxSzF если 0z,10

1

JmzzFzFzSzDxSzF если . (4) Очевидно, разности zSzF

будут аналитическими функциями в PJmz \0 и PJmz \0 соответственно.

Если 0æ , то в (4) следует положить 01-ж zP , и единственность решения задачи (1) обеспечивается, если выполнены условия разрешимости

xdxHxdzSxdxS

000 (5)

где zd 0 любого решения союзной задачи для дифференциалов LxxdxDxd ,00 . (6) 3. Теперь, дадим другой способ доказательства формулы (4). Пусть выполняются

условия (А) и (В). Тогда, в силу свойства канонической функции на контуре, краевое условие (1) можно записать

Lxx

xH

x

xF

x

xF

,

и преобразовать в виде

xxS

x

xS

x

xH

x

xSxF

x

xSxF

.

Заменяя xxH

разностью кусочно–аналитических функций

xx

x

x

x

xH

11 ,

где

dzez

zHtdtetz iztizt

2

1,

2

1111

25

преобразованное краевое условие запишем в виде

.,11

1 Lxx

x

x

xSxGxSxF

x

x

x

xSxDxSxF

(7)

Левая часть равенства (7) есть краевое значение функции

zz

z

zSzDzSzFz

11 ,

аналитической в области PJmz \0 а правая часть (7) –краевое значение функции

zz

z

zSzDzSzFz

1

1

2

аналитической в области PJmz \0 , и имеющие на бесконечности порядок не ниже │æ│. По принципу аналитического продолжения 21 функции zz 21 , являются аналитическим продолжением друг –друга. Следовательно, получим:

æ1-æ

21iz

zPzz

(8)

где zP 1-ж - многочлен степени не выше æ-1, если 0æ и тождественный нуль при 0æ. Из (8) следует формула (4). Итак, справедливо

Теорема. Если главные части неизвестных функции zF и zF заданы в виде пары функций zS и zS аналитических соответственно в областях PJmz \0 и PJmz \0 , то общее решение задачи Римана (1) в случае выполнения (А) и (В), при

0æ дается формулой (4). Если 0æ , то для разрешимости задачи (1) необходимо и достаточно выполнения условия (5) для любого решения союзной задачи (6). При его

выполнении общее решение задачи дается той же формулой (4), где теперь 0 1-æ zP . 4. В качестве примера рассмотрим задачу Римана с заданными главными

частями, когда xD - рациональная функция. Пусть в краевом условии (1)

xgxg

xpxp

xg

xpxD

.

Здесь zgzpzgzp ,, -многочлены, нули которых лежат соответственно в верхней (нижней) полуплоскости. Обозначим степени многочленов ggpp ,,,

соответственно nnmm ,,, . Поскольку по условию задачи D не может обращаться ни в нуль, ни в бесконечность, будет выполняться соотношение

nnmm .

Обозначим

nmnmxDJndæ . Подставляя xD в (1), умножив краевое условие на xpxg / и преобразуя

полученное краевое условие с учетом заданных главных частей будем иметь

xSxg

xpxS

xp

xgxH

xp

xg

xSxFxg

xpxSxF

xp

xg

(9)

каноническими функциями здесь являются

p

g

g

pX , .

Правую часть (9) заменим разностью краевых значений аналитических функций

26

xxxSxp

xgxS

xg

xp

xxxHxp

xg

11

(10)

где

0,2

1,0,

2

10

0

JmzzеслиdtetzJmzzеслиdtetziztizt

dttHtp

tqx ixt

2

1

0,2

1,0,

2

11

0

11

0

1

JmzzеслиdtetzJmzzеслиdtetziztizt

dttStp

tqtS

tq

tpx ixt

2

11 .

Тогда краевое условие (9) представимо в виде

xxxSxFxq

xpxxxSxF

xp

xq

11 (11)

К полученному равенству можно непосредственно применить теорему от аналитическом продолжении и обобщенную теорему Лиувилля. Единственной исключительной точкой, где единая в комплексной плоскости аналитическая функция может иметь ненулевой порядок, будет бесконечная удаленная, где порядок функции будет равен

æ 111 mnnm .

Следовательно, равенство (11) есть многочлен 1-æ xP . Тогда приравнивая левую и правую часть (11) к z1-æP , при æ 0 получим:

zzzSzFxp

xq1 z1-æP ,

zPzzq

zpz

zq

zpzSzF 1-æ1

Очевидно, разности zSzF соответственно будут аналитическими в верхней и

нижней полуплоскостях.

При 0æ нужно положить 0 1-æ zP и при 0æ выписать ещѐ условия разрешимости, получаемые приравниванием нулю │æ│ начальных членов разложения

рациональной функции z z1 в ряд по степеням z

1:

æ,...,2,1,11

kdSqP

SP

qd

P

Hq kk

.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функции с заданными главными частями и им соответствующие особые интегральные уравнения / Р. Акбаров. -Душанбе: «Дониш», 2006. - 245 с.

2. Гахов Ф.Д. Уравнения типа свертки / Ф.Д. Гахов, Ю.И. Черский. -М.: Наука, 1978. -296 с.

27

О ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ ЗАДАЧИ РИМАНА С ЗАДАННЫМИ ГЛАВНЫМИ ЧАСТЯМИ НА ДЕЙСТИВИТЕЛЬНОЙ ОСИ

При помощи интегралов Фурье исследуются частные случаи общего решения неоднородной задачи Римана с заданными главными частями на действительной оси.

Ключевые слова: краевая задача, главные части.

PARTICULAR CASES OF THE RIEMANN PROBLEM WITH PRESCRIBED PRINCIPAL PARTS ON THE REAL AXIS

With the help of Fourier integrals studied are special coses of the general solution of the heterogeneous Riemann problem with prescribed principal parts on the real axis.

Key words: boundary problems, main of parts.

Сведения об авторе: К. Тураев – соискатель Кулябского государственного университета им. А. Рудаки. Телефон: (+992) 918-50-69-89. Е-mail. akbarov 39 @mail.ru

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ МОДЕЛЬНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ В ЯДРЕ

С.К. Зарипов

Таджикский национальный университет

Пусть bxax : множества точек на вещественной оси. На рассмотрим модельное интегро-дифференциальное уравнение

x

a

xfdttyat

Bxy

ax

Axy

2, (1)

где BA, заданные постоянные, xf -заданная функция, xy -искомая функция. Используя методы, разработанные Н. Раджабовым в [1] решение уравнения (1) будем

искать в классе функций baCxy , и обращающееся в нуль в точке ax со

следующим асимптотическим поведением 1, 11 axoxy . Решение уравнения (1) будем искать в виде axxy . Тогда для определения

получим алгебраическое уравнение

012 ABA . (2) В зависимости от корней алгебраического уравнения (2) для уравнения (1)

справедливо следующие утверждение: Теорема 1. Пусть в интегро-дифференциальное уравнение (1) коэффициенты A и

B такие, что корни алгебраического уравнения (2) являются вещественными и разными и 211 . Функция baCxf , и 0af со следующим асимптотическим поведением

axaxoxf при1, 222 . (3) Тогда однородное уравнение (1) имеет два линейно-независимых решения, а

неоднородное уравнение (1) в классе функций baCxy , обращающееся в нуль в точке ax всегда разрешимо и его общее решение содержит две произвольные постоянные,

которое даѐтся при помощи формулы

xfccEdttfat

ax

at

ax

Dсaxсaxxy

x

a

,,111

2112121

21

21

(4)

где 041 2 aBAD , 2

12,1

DA и 21, cс произвольные постоянные.

28

Доказательство: Если корни алгебраического уравнения (2) являются

вещественными и разными и 211 , тогда однородное уравнение (1) имеет два

линейно независимых решения

21 21 ,

axxyaxxy .

и его общее решение даѐтся при помощи формулы

21 21 СaxСaxxy

,

где 21, СС -произвольные постоянные.

Решение неоднородного уравнения (1) будем искать в виде

xСaxxСaxxy 21 21

, (I)

где xСxС 21 , -неизвестные функции. Используя метод вариации произвольных постоянных для определения этих функций получим следующую систему уравнений с

неизвестными xСxС 21 ,

.

11

,0

21

1

11

1

21

21

21

xfxСaxB

xСaxB

xСaxxСax

Решая эту систему, после некоторых преобразований функции xСxС 21 , найдѐм в так�