有限要素法 Finite Element Method (FEM) Element Method (FEM) Takuichi Hirano (RA) Ando & Hirokawa lab. June 5, 2002 Tokyo Institute of Technology FEM No. 2 History 写真提供:

June 5, 2002 Tokyo Institute of Technology

No. 1FEM

有限要素法Finite Element Method (FEM)

Takuichi Hirano (RA)Ando & Hirokawa lab.


No. 2FEM

History

写真提供: http://www.boeing.com/

1955-1956

ボーイング

1980

M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, and J. L. Topp,“Stiffness and deflection analysis of complex structures”, Journal of Aeronautical Sciences, vol. 23, pp. 805-824, 1956

M. V. K. Chari and P. P. Silvester,“Finite Elements in Electrical and Magnetic Field Problems”,John Wiley & Sons, 1980

航空

電気

土木・建築・流体


No. 3FEM

Functional and Variational Principle

020

2 =+−

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂ φφβφφ qkp

yp

yxp

x

∫∫∫ ΓΩΓ

−−

−+

∂∂

+

∂∂

=v

dwvdxdyqkpy

px

pF 2220

2222

221)( φφφφβφφφ

微分方程式(Differential Eq.)を解く

汎関数(Functional)の停留点を求める

0=Fδ

),(),(1

yxayx n

N

nnφφ ∑

=

=

F

iaja

φ→

数値計算 [2] 1. 放物型(陽解法, Crank-Nicolson法)2. 双曲型(差分法)3. 楕円型(差分近似, 反復法[Jacobi法, Gauss-Seidel法, 逐次加速緩和法, ADI法]

変分原理

),,1(0 NiaF

i

L==∂∂

φ

yx,

φ を少し変化させてとなる φ : (1)の解

(1)

(2)

Ω

Γ

固有値問題

(3)

Equivalent [1]

波源あり → 連立一次方程式波源なし → 固有値問題


No. 4FEM

Point

微分方程式を解くことと停留問題を解くことは同値有限要素法では停留問題を解く微分方程式を解くことを止めて停留問題を解く　ことにしたので数値的に安定

ただし、一般の微分方程式に対して汎関数　があるとは限らない（損失があるときなど）　→重み付け残差法（ガラーキン法）が用いられる　　ヘルムホルツの方程式を平均の意味で満たすようにする。

汎関数がある問題に対しては汎関数の変分と全く等価。


No. 5FEM

12

3

Basis Functions

12

3

12

3

12

3

全域基底関数（レイリー・リッツの方法）

局所基底関数（有限要素法）


No. 6FEM

12

3

Nodal-based and Edge-based

12

3

12

3

12

3

Nodal-based(Potential)

Edge-based [3](Field)


No. 7FEM

Matrix Form

∫∫∫ ΓΩΓ

−−

−+

∂∂

+

∂∂

=v

dwvdxdyqkpy

px

pF 2220

2222

221)( φφφφβφφφ

∑∑= =

=eN

e

N

n

en

en yxayx

1 1),(),( φφ

ただし、同じ頂点となるポテンシャルの未知数は一致する

上のFの式に展開式を代入するとaの二次式となる。Fのam*anの項はmとnが同じ要素を構成するポテンシャルのときだけ値を持つ。

なぜならば局所関数を使っていてその要素の外だと０となるからである。

∑ ∑= +=

=N

m

N

mnnmmn aaFF

1 1)(φ （ aの二次式となる）

1a11a 1

2a13a

21a

22a

23a

31a

32a

33a

132

21

13 aaaa ===


No. 8FEM

Element Matrix and System Matrix

21a 2

2a

23a

23a

5a

11a

11

5

3

222

223

221

232

233

231

212

213

211

a

a

a

SSS

SSS

SSS

3 5 11

3

11

5

3/ aF ∂∂

5/ aF ∂∂

11/ aF ∂∂

23

22

21

233

232

231

223

222

221

213

212

211

aaa

SSSSSSSSS2

1/ aF ∂∂22/ aF ∂∂23/ aF ∂∂

add


No. 9FEM

Boundary Condition

ディリクレ条件 a=φ

bn=

∂∂φ

cn

ba =∂∂

+φφ

ノイマン条件

混合境界条件

吸収境界条件エネルギーが戻ってこない

a=φφ

φb

n=

∂∂φ

周期境界条件フィールドが周期関数となる


No. 10FEM

Example: Rectangular Waveguide (TE mode)

Mode1 Mode2

Mode3 Mode4

(1,0): 2.58

(0,1): 5.15

(2,0): 5.16

(1,1): 5.76

Mode1: 2.58

Mode2: 5.13

Mode3: 5.30

Mode4: 5.92

fcu (GHz)FEMAnalytic


No. 11FEM

Eigenmode Functions

Mode1 Mode2

Mode3 Mode4


No. 12FEM

HFSS

High Frequency Structure SimulatorAnsoftEdge-based basis functions


No. 13FEM

HFSS (mesh)


No. 14FEM

HFSS (Freq. Char. Of S11)

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

3.3 3.7 4.1 4.5 4.9

Frequency [GHz]

¦S11

¦ [dB

]

MoM/FEM

HFSS

Experiment

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

3.3 3.7 4.1 4.5 4.9

Frequency [GHz]

arg

(S11)

[de

g]

MoM/FEM

HFSS

Experiment

HFSSは合うこともあるが、

市販ソフトを過信してはならない


No. 15FEM

References

[1] 小柴正則、「高周波電磁界における有限要素法の基礎と実用例」、2002年4月26日（金）、アンテナ・伝搬における設計解析手法ワークショップ（第２２回）

[2] 杉江日出澄 et al、「FORTRAN77による数値計算法」、培風館[3] J. L. Volakis, A. Chatterjee, L. C. Kempel, “Finite Element Method for Electromagnetics”,

IEEE Press, New York, 1998[4] 加川幸雄、「電気・電子のための有限要素法入門」、オーム社[5] 加川幸雄、「電気・電子のための有限要素法の実際」、オーム社


No. 16FEM

Conclusion

Fine

Documents

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