روش عناصر محدود

Finite Element Procedures

روش عناصر محدود

Finite Element Procedures

کریم عابدیکریم عابدی

::((structurestructure))الف( تعریف سازه الف( تعریف سازه

منظ�ور تحم�ل ای از اعض�اء ک�ه ب�ه ی�ا مجموع�ه و از ی�ک عض�و عب�ارت اس�ت - س�ازهرود. و انتقال نیرو بکار می

- ی�ک س�ازه مهندس�ی ب�ه ه�ر مجموع�ه ای از اعض�اء اطالق می ش�ود ک�ه ب�رای تحمل و انتقال مطمئن نیروهای وارده به کار گرفته می شود.

بن�ابراین ب�ه س�ازه ه�ای مهندس�ی نیروه�ای گون�اگونی وارد می گ�ردد و این -دستگاه ها باید بتوانند آن نیروها را تحمل و منتقل نمایند.

گ�اهی ب�ه نق�اط تکی�ه آن ب�ه ب�ر س�ازه، انتق�ال نیروه�ای م�ؤثر - بن�ابراین ک�ار اص�لی

باشد. و اقتصادی می نحوی امن

::((structurestructure))الف( تعریف سازه الف( تعریف سازه

چیست؟چیست؟ ((Structural AnalysisStructural Analysis))ب( تحلیل سازه ب( تحلیل سازه اس�ت ک�ه عم�ل نیروه�ا را ب�ر روی از عل�وم ف�یزیکی ای - تحلی�ل س�ازه ه�ا ش�اخه

ده�د. بن�ابراین ت�أثیر و نح�وه انتق�ال نیروه�ای ه�ا م�ورد بررس�ی ق�رار می س�ازهم�ؤثر ب�ر س�ازه ه�ا ک�ه توس�ط اج�زاء س�ازه از نق�اط ت�أثیر ب�ه تکی�ه گ�اه ه�ا ه�دایت می گردن�د، توس�ط علم تحلی�ل س�ازه ه�ا م�ورد بررس�ی و مطالع�ه ق�رار می

گیرد.- از ی�ک دی�دگاه دیگ�ر می ت�وان گفت ک�ه تحلی�ل س�ازه ه�ا ش�اخه ای از عل�وم م�ورد نظ�ر م�ورد ش�رایط تحت س�ازه رفت�ار آن توس�ط ک�ه اس�ت ف�یزیکی

بررسی و مطالعه قرار می گیرد.

::((structurestructure))الف( تعریف سازه الف( تعریف سازه

چیست؟چیست؟ ((Structural AnalysisStructural Analysis))ب( تحلیل سازه ب( تحلیل سازه

پ( سه جنبه اساسی رفتار سازه ای:پ( سه جنبه اساسی رفتار سازه ای:

نیم�ه ی�ا اس�تاتیکی تغییرش�کل ناش�ی از بارگ�ذاری ک�رنش و تنش، - مشخص�ات1تغییر شکل یا شرایط استاتیکی

)Stress, strain and deflection characteristics under static or quasi-static loading or deformation conditions(

- مشخصات پاسخ ارتعاشی حاصل از شرایط بارگذاری دینامیکی2)Vibrational response characteristics under dynamic loading conditions(

- مشخصات کمانشی ناشی از شرایط بارگذاری استاتیکی یا دینامیکی3)Buckling characteristics under static or dynamic loading conditions(

جنبه اول: حوزه عمل تحلیل سازه ها(Dynamics of structures)جنبه دوم: حوزه عمل دینامیک سازه ها (Stability of structures)جنبه سوم: حوزه عمل پایداری سازه ها

::((structurestructure))الف( تعریف سازه الف( تعریف سازه

چیست؟چیست؟ ((Structural AnalysisStructural Analysis))ب( تحلیل سازه ب( تحلیل سازه

پ( سه جنبه اساسی رفتار سازه ای:پ( سه جنبه اساسی رفتار سازه ای:

::((Structural DesignStructural Design))ت( تحلیل سازه ها و طراحی سازه ها ت( تحلیل سازه ها و طراحی سازه ها - تحلیل سازه ها مقدمه ای است برطراحی سازه ها

- تحلی�ل س�ازه ه�ا وس�یله ای اس�ت ب�رای نی�ل ب�ه ه�دف نه�ایی ک�ه عب�ارت اس�ت از طرح یک سازه

مق�اوم ((stablestable))پای�دار پای�دار مق�اوم و ک�ارا ((resistant-with strengthresistant-with strength))و ک�ارا و و و ((efficientefficient))و ..((safesafe))و ایمن و ایمن ( ( aestheticalaesthetical))و زیباو زیبا ((EconomicalEconomical))اقتصادی اقتصادی

- فلوچارت تحلیل و طراحی سازه ای.

::((structurestructure))الف( تعریف سازه الف( تعریف سازه

چیست؟چیست؟ ((Structural AnalysisStructural Analysis))ب( تحلیل سازه ب( تحلیل سازه

پ( سه جنبه اساسی رفتار سازه ای:پ( سه جنبه اساسی رفتار سازه ای:

::((Structural DesignStructural Design))ت(تحلیل سازه ها و طراحی سازه ها ت(تحلیل سازه ها و طراحی سازه ها

در تحلیل سازه ها از مدل ریاضی یک سازه ایده آل سازی شده استفاده می شود.

- فلوچارت ایده آل سازی سازه ای و مدل سازی ریاضی .

سازی ریاضی سازی ریاضی و مدلو مدل ((Structural IdealizationStructural Idealization))ای ای سازی سازهسازی سازه الال ث( ایدهث( ایده((Mathematical ModelingMathematical Modeling))

می توان�د س�ازه موج�ود ی�ا س�ازه ای باش�د ک�ه (Real structure)- س�ازه واقعی باید طراحی شود.

بای�د در م�ورد ای�ده ال س�ازی ش�ده اطالع�ات ک�افی ایج�اد ی�ک س�ازه ب�رای -سازه واقعی در دست باشد.

- ای�ده ال س�ازی س�ازه ای مبت�نی ب�ر ف�رض ه�ایی در ارتب�اط ب�ا نم�ایش اعض�اء، تکیه گاه ها، گره ها و بارها و رفتار مصالح است.

ب�ر ش�ناخت ک�افی از خصوص�یات و وی�ژگی ه�ای بای�د مبت�نی ف�رض ه�ا اصلی سازه واقعی باشند.

ف�رض ه�ا بس�تگی ب�ه اه�داف م�ورد نظ�ر تحلی�ل س�ازه واقعی م�ورد نظ�ر دارد.

ش�ده س�ازی ال ای�ده ه�ای س�ازه در م�راتب سلس�له (concept of Hierarchy)

- ب�ا در دس�ت داش�تن س�ازه ای�ده ال س�ازی ش�ده، ی�ک م�دل ریاض�ی ایج�اد می ش�ود ک�ه ش�امل مع�ادالت ریاض�ی می باش�د ک�ه س�ازه و باره�ای ای�ده ال س�ازی

شده را توصیف می نماید.:در مدل ریاضی سه نکته حائز اهمیت است

نوع معادالت - - نحوه ایجاد معادالت - نحوه حل معادالت

:وجوه تمایز روش های مختلف تحلیل سازه ها نحوه ایده ال سازی سازه ای -

- نحوه مدل سازی ریاضی )نوع معادالت و شیوه ایجاد و روش حل آنها(

ی�افتن روش ه�ای ک�امپیوتری تحلی�ل س�ازه ه�ا م�دیون دو عام�ل - موج�ودیت به وقوع پیوستند:1945-1955مهمی می باشد که در طی دهه های

الف( نیاز روزافزون به روش های بهتر و مطلوب تر تحلیل سازه هاط�راحی ه�ای س�ازه ای در بس�یاری از زمین�ه ه�ای مهندس�ی ب�ه ح�دی

موج�ود ناک�ارایی خ�ود را ب�رای تحلی�ل آن پیچی�ده ش�دند ک�ه روش ه�ایسیستم های پیچیده به اثبات رساندند.

(1940ب(پیدایش کامپیوترهای دیجیتالی )در اواخر دهه

ج�بر و سیس�تم عالئم مف�اهیم ک�ه ب�ود مدی�دی ه�ای م�دت دیگ�ر از ط�رف - Applied)ماتریس�ی ب�ه عن�وان ابزاره�ای اس�تاندارد تحلیلی در ریاض�یات ک�اربردی

Mathematics) 1940م�ورد اس�تفاده ق�رار می گرفتن�د. در س�ال ه�ای قب�ل از مق�االتی چن�د منتش�ر ش�دند ک�ه در آنه�ا از مف�اهیم مزب�ور در ح�ل مس�ائل مرب�وط ب�ه س�ازه ه�ا اس�تفاده ش�ده ب�ود، ولی ب�ه علت ع�دم وج�ود ک�امپیوتر در آن زم�ان،

Moment)این عم�ل از ط�رف مهندس�ین ک�ه در اث�ر پی�دایش روش توزی�ع لنگ�ر

Distribution) ب�ه ت�ازگی از گرفت�اری ه�ای محاس�بات دس�تی کس�ل کنن�ده ره�اییعملی�ات ب�ه احتی�اج زی�را گ�رفت، ق�رار اس�تقبال م�ورد کم�تر بودن�د، یافت�ه

ماتریسی زیاد و ماهرانه داشت.

« ب�ودن ی�ک روش ب�د« ی�ا »خ�وبپی�دایش ک�امپیوتر، معیاره�ای قض�اوت درب�اره » -تحلیلی را تغی�یر داد. در مواجه�ه ب�ا ی�ک روش تحلیلی، دیگ�ر س�ئوال این نب�ود ک�ه بلک�ه ن�ه؟«، ی�ا ب�ه ح�داقل می رس�اند را این روش حجم عملی�ات ع�ددی »آی�ا

آی�ا این روش�ی اس�ت ک�ه مس�أله ب�ه این ص�ورت در ذهن ه�ا ش�کل گ�رفت ک�ه » «بتوان آن را به سادگی به صورت یک برنامه کامپیوتری تنظیم کرد یا نه؟

از (Matrix Algebra)ه�ای مبت�نی ب�ر ج�بر ماتریس�ی - حقیقت این اس�ت ک�ه روشاین نظر در حد ایده ال هستند.

ان�د ک�ه س�ازه بن�ا ش�ده - روش ه�ای تحلی�ل ماتریس�ی س�ازه ه�ا ب�راین مفه�وم واقعی را ب�ا م�دلی ریاض�ی، ش�امل اج�زایی ب�ا خ�واص مش�خص، ک�ه بت�وان آنه�ا را

به فرم ماتریسی درآورد، جایگزین می نماییم.

ب�ه عب�ارت دیگ�ر وج�ه تم�ایز »روش تحلی�ل ماتریس�ی س�ازه ه�ا« و - روش های کالسیک تحلیل سازه ها در دو عامل است:

)نحوه مدل سازی ریاضی )با استفاده از ماتریس ها )نحوه حل مدل ریاضی )با استفاده از کامپیوتر

- الزم ب�ه ذک�ر اس�ت ک�ه نی�از ب�ه اس�تفاده از روش ه�ای ماتریس�ی ب�ه منظ�وره ط�رح (optimization)تحلی�ل س�اده س�ازه ه�ا نب�وده و مس�ائلی نظ�یر بهین�ه س�ازی

ه�ا از س�ازه، از نظ�ر وزن، ف�رم، هندس�ه و در نظ�ر گ�رفتن رفت�ار غ�یرخطی س�ازه و بررس�ی (Material and Geometic Nonlinearity)نظ�ر مص�الح و ش�کل هندس�ی

پای�داری و ب�االخره تحلی�ل دین�امیکی س�ازه ه�ا، ل�زوم اب�داع و اس�تفاده و گس�ترش آنها را روشن می سازد.

سازه ها معموال به چهار گروه تقسیم می گردند: - ((Framed structuresFramed structures))سازه های قاب بندی شده سازه های قاب بندی شده الف( الف(

¡ مجموع�ه ای از میل�ه ه�ا و ی�ا اعض�ای س�بک هس�تند ک�ه ب�ه این ن�وع س�ازه ه�ا غالب�اوس�یله اتص�االت مناس�بی ب�ه یک�دیگر متص�ل ش�ده ان�د. پای�داری این قبی�ل س�ازه ¡ وزن مجموع�ه در ه�ا بس�تگی ب�ه ت�رکیب هندس�ی اج�زاء آنه�ا داش�ته و معم�والمقایس�ه ب�ا باره�ای اعم�ال ش�ده کوچ�ک می باش�د )نظ�یر ق�اب ه�ای چ�وبی، فل�زی و بتنی ساختمان ها، ساختمان جرثقیل، قاب بندی بدنه کشتی ها، هواپیماها(.

سازه ها معموال به چهار گروه تقسیم می گردند: -((Framed structuresFramed structures))سازه های قاب بندی شده سازه های قاب بندی شده الف( الف(

((Mass structuresMass structures))سازه های وزنی سازه های وزنی ب( ب(

پایداری و مقاومت این نوع سازه ها در مقابل بارهای وارده بستگی به وزن آنها دارد )نظیر دیوارهای حائل، سدهای وزنی و ...(.

سازه ها معموال به چهار گروه تقسیم می گردند: -((Framed structuresFramed structures))سازه های قاب بندی شده سازه های قاب بندی شده الف( الف(

((Mass structuresMass structures))سازه های وزنی سازه های وزنی ب( ب(

Membrane Membrane))و غشایی و غشایی ((Shell structuresShell structures))سازه های پوسته ای سازه های پوسته ای پ( پ( structuresstructures))

این ن�وع س�ازه ه�ا از ص�فحات فل�زی ی�ا دال ه�ای بت�نی ه�ا و ی�ا غش�اهای پلیم�ری تش�کیل یافت�ه ان�د )نظ�یر من�ابع ذخ�یره مایع�ات، مخ�ازن تحت فش�ار، س�یلوها،

سدهای پوسته ای، سازه های پیله ای و ..(.

سازه ها معموال به چهار گروه تقسیم می گردند: -((Framed structuresFramed structures))سازه های قاب بندی شده سازه های قاب بندی شده الف( الف(

((Mass structuresMass structures))سازه های وزنی سازه های وزنی ب( ب(

Membrane Membrane))و غشایی و غشایی ((shell structuresshell structures))سازه های پیوسته ای سازه های پیوسته ای پ( پ( structuresstructures))

سازه های مرکب )ترکیبی از سازه های قاب بندی شده و سازه های مرکب )ترکیبی از سازه های قاب بندی شده و ت( ت( پوسته ای(پوسته ای(

درا ین درس درا ین درس ه�ا )ک�هه�ا )ک�ه ه�ای تحلی�ل ماتریس�ی س�ازهه�ای تحلی�ل ماتریس�ی س�ازه روشروش و ک�اربردو ک�اربرد عم�لعم�ل - ح�وزه- ح�وزهش�د(، س�ازه ه�ای ق�اب بن�دی ش�ده می باش�د. ک�ه خ�ود ب�ه پنج دس�ته ش�د(، س�ازه ه�ای ق�اب بن�دی ش�ده می باش�د. ک�ه خ�ود ب�ه پنج دس�ته ارائ�ه خواه�دارائ�ه خواه�د

)خرپ�ای مس�طح، ق�اب مس�طح، ش�بکه، خرپ�ای فض�ایی، ق�اب )خرپ�ای مس�طح، ق�اب مس�طح، ش�بکه، خرپ�ای فض�ایی، ق�اب تقس�یم می ش�وند تقس�یم می ش�وند فضایی(فضایی(

- روش عناصر محدود از بسط روش های ماتریسی تحلیل سازه های قاب - روش عناصر محدود از بسط روش های ماتریسی تحلیل سازه های قاب به تحلیل سازه های پیوسته به تحلیل سازه های پیوسته ((skeletal structuresskeletal structures))بندی شده یا اسکلتی بندی شده یا اسکلتی

((continuum structurescontinuum structures)) .نتیجه می شود.نتیجه می شود-در روش عناصر محدود، محیط پیوسته به صورت مجموعه ای از عناصر -در روش عناصر محدود، محیط پیوسته به صورت مجموعه ای از عناصر جداگانه که در نقاط گرهی به همدیگر متصل هستند مدل سازی می شود.جداگانه که در نقاط گرهی به همدیگر متصل هستند مدل سازی می شود.

((Small Displacement TheorySmall Displacement Theory))الف(تئوری تغییر شکل های کوچک الف(تئوری تغییر شکل های کوچک

- فرض می شود که تحت اثر بارهای وارده هندسه یک سازه به مقدار قابل مالحظه

ای تغییر نمی کند.

بزرگ های شکل تغییر فرض

کوچک های شکل تغییر فرض

بزرگ های شکل تغییر فرض

کوچک های شکل تغییر فرض

ستون پای در لنگر

ستون پای در لنگر

ستون پای در لنگر

ستون پای در لنگر

((Linear Behavior of MaterialLinear Behavior of Material))ب( رفتار خطی مصالح ب( رفتار خطی مصالح

- فرض می شود که رابطه بار - تغییر مکان، خطی است.

ضرب خواهد شد.αضرب شود، تغییر مکان نیز در α- اگر بار در

ف�رض م�ذکور بی�انگر این واقعیت اس�ت ک�ه در هیچ ک�دام از مق�اطع س�ازه، ف�رض م�ذکور بی�انگر این واقعیت اس�ت ک�ه در هیچ ک�دام از مق�اطع س�ازه، --نبای�د از مق�ادیر مرب�وط ب�ه نقط�ه تس�لیم ی�ا ک�رنش نبای�د از مق�ادیر مرب�وط ب�ه نقط�ه تس�لیم تنش و ی�ا ک�رنش این این ((yield pointyield point))تنش و

مصالح فزونی یابد.مصالح فزونی یابد.

..Material NonlinearityMaterial Nonlinearityو و Geometric NonlinearityGeometric Nonlinearity بحثی در مورد بحثی در مورد •

ب�ر مبن�ای دو ف�رض “تغی�یر ش�کل ه�ای کوچ�ک و رفت�ار خطی مص�الح“ اص�لی ب�ر مبن�ای دو ف�رض “تغی�یر ش�کل ه�ای کوچ�ک و رفت�ار خطی مص�الح“ اص�لی **اطالق اطالق ((principle of superpositionprinciple of superposition))اص�ل جم�ع آث�ار ق�وا اص�ل جم�ع آث�ار ق�وا پدی�د می آی�د ک�ه ب�ه آن پدی�د می آی�د ک�ه ب�ه آن

می ش�ود. اص�ل م�ذکور بی�انگر آن اس�ت ک�ه پاس�خ ی�ک س�ازه ب�ه مجموع�ه ای از می ش�ود. اص�ل م�ذکور بی�انگر آن اس�ت ک�ه پاس�خ ی�ک س�ازه ب�ه مجموع�ه ای از باره�ای وارده، مس�تقل از ت�رتیب اعم�ال آن باره�ا اس�ت، ب�ه عب�ارت دیگ�ر ت�رتیب باره�ای وارده، مس�تقل از ت�رتیب اعم�ال آن باره�ا اس�ت، ب�ه عب�ارت دیگ�ر ت�رتیب

اثر بارها، نتایج نهایی را تغییر نمی دهد.اثر بارها، نتایج نهایی را تغییر نمی دهد.

((Principle of EquilibriumPrinciple of Equilibrium))الف( اصل تعادل الف( اصل تعادل

عامل مهمی که در استخراج معادالت حاکم بر رفتار سازه تأثیر به سزایی عامل مهمی که در استخراج معادالت حاکم بر رفتار سازه تأثیر به سزایی -دارد، اصل تعادل است )تعادل استاتیکی(. در تحلیل ماتریسی اصل تعادل در دارد، اصل تعادل است )تعادل استاتیکی(. در تحلیل ماتریسی اصل تعادل در

سه رده )یا سطح( مطرح می شود:سه رده )یا سطح( مطرح می شود:

((Equilibrium of structureEquilibrium of structure))- تعادل سازه - تعادل سازه 11اصل تعادل تضمین می کند که سازه در حال تعادل است. به عبارت دیگر:اصل تعادل تضمین می کند که سازه در حال تعادل است. به عبارت دیگر:

((Equilibrium of NodeEquilibrium of Node))- تعادل گره - تعادل گره 22- اصل تعادل تضمین می کند که کلیه گره های سازه ها در حال تعادل - اصل تعادل تضمین می کند که کلیه گره های سازه ها در حال تعادل

هستند.هستند.PPii نیروهای تعمیم یافته : نیروهای تعمیم یافته : ((Generalized ForcesGeneralized Forces)) موثر خارجی در گره موثر خارجی در گرهii

PPijij نیروهای داخلی حاصل از بارهای خارجی در انتهای : نیروهای داخلی حاصل از بارهای خارجی در انتهای :ii از عضو از عضو ijij

((Equilibrium of MemberEquilibrium of Member))- تعادل عضو - تعادل عضو 33اصل تعادل تضمین می کند که کلیه اعضای سازه در حال تعادل هستند:اصل تعادل تضمین می کند که کلیه اعضای سازه در حال تعادل هستند:-

PPijij نیروهای داخلی حاصل از بارهای خارجی در انتهای : نیروهای داخلی حاصل از بارهای خارجی در انتهای :ii از عضو از عضو ijij

PPjiji نیروهای داخلی حاصل از بارهای خارجی در انتهای : نیروهای داخلی حاصل از بارهای خارجی در انتهای :jj از عضو از عضو ijij

ماتریس انتقال که نیروها را از یک انتهای عضو به انتهای دیگر منتقل می ماتریس انتقال که نیروها را از یک انتهای عضو به انتهای دیگر منتقل می : :hhjiji ..کندکند

0, 0

0, 0

0, 0

x x

y y

z z

P M

P M

P M

0ij ji jiP h P

((Principle of CompatibilityPrinciple of Compatibility))ب( اصل سازگاری ب( اصل سازگاری

ب�ر مع�ادالتمع�ادالت در اس�تخراجدر اس�تخراج دیگ�ری ک�هدیگ�ری ک�ه مهممهم عام�ل عام�ل- ب�رح�اکم ب�ه ح�اکم ت�أثیر ب�هرفت�ار س�ازه ت�أثیر رفت�ار س�ازه

ه�ا و در ه�ا و در س�ازگاری اس�ت. براس�اس این اص�ل، تغی�یر ش�کلس�ازگاری اس�ت. براس�اس این اص�ل، تغی�یر ش�کل س�زایی دارد، اص�لس�زایی دارد، اص�لها در هر نقطه سازه پیوسته بوده و منحصر به فرد است.ها در هر نقطه سازه پیوسته بوده و منحصر به فرد است. نتیجه تغییر مکاننتیجه تغییر مکان

اصل سازگاری ایجاب می کند که: اصل سازگاری ایجاب می کند که:-ان�د، بع�د از تغی�یر ان�د، بع�د از تغی�یر کلی�ه اعض�ائی ک�ه قب�ل از بارگ�ذاری ب�ه ی�ک گ�ره متص�ل ش�دهکلی�ه اعض�ائی ک�ه قب�ل از بارگ�ذاری ب�ه ی�ک گ�ره متص�ل ش�ده( ( 11

شکل سازه - تحت اثر بار وارده- نیز به همان گره، باید متصل باقی بمانند.شکل سازه - تحت اثر بار وارده- نیز به همان گره، باید متصل باقی بمانند.( انتهاه�ای کلی�ه اعض�ایی ک�ه ب�ه ص�ورت ص�لب ب�ه هم دیگ�ر متص�ل ش�ده ان�د، ( انتهاه�ای کلی�ه اعض�ایی ک�ه ب�ه ص�ورت ص�لب ب�ه هم دیگ�ر متص�ل ش�ده ان�د، 22

باید تغییر شکل یکسانی را دارا باشند.باید تغییر شکل یکسانی را دارا باشند.به یکدیگر به یکدیگر ((RigidRigid))به عبارت دیگر فرض کنید که چند عضو به صورت صلب به عبارت دیگر فرض کنید که چند عضو به صورت صلب -

ΔΔii به اندازه به اندازه ((ii))متصل شده باشند. پس از بارگذاری فرض شود که این گره متصل شده باشند. پس از بارگذاری فرض شود که این گره تغیر مکان یابد. تغیر مکان یابد.

شرط ارضائ سازگاری عبارت است از:شرط ارضائ سازگاری عبارت است از:ΔΔijij تغییر مکان انتهای : تغییر مکان انتهای : ii از عضو از عضو ijij

های بدون های بدون و یا مفصل و یا مفصل((Semi-RigidSemi-Rigid))گیردار گیردار بصورت نیمهبصورت نیمه اگر اعضااگر اعضا البتهالبته --است که است که طبیعیطبیعی باشند،باشند، متصل شدهمتصل شده همدیگرهمدیگر بهبه ((Frictionless pinFrictionless pin))اصطکاک اصطکاک

نخواهد بود.نخواهد بود. صادقصادق فوقفوق در رابطهدر رابطه دوران شرط سازگاریدوران شرط سازگاری مؤلفهمؤلفه

ij ia ib i

((External workExternal work))الف( مفهوم کار خارجی الف( مفهوم کار خارجی -کار یک نیرو به صورت حاصل ضرب مقدار نیرو در فاصله ای که در امتداد -کار یک نیرو به صورت حاصل ضرب مقدار نیرو در فاصله ای که در امتداد

شود، تعریف می گردد.شود، تعریف می گردد. خودش جابجا میخودش جابجا مین�یروی -- اث�ر ی�ک جس�م تحت ک�ه کنی�د ن�یرویف�رض اث�ر ی�ک جس�م تحت ک�ه کنی�د ت�دریج (( PP)) ف�رض ب�ه ک�ه دارد ق�رار ت�دریج ب�ه ک�ه دارد ق�رار

تغی�یر مک�ان نقط�ه اث�ر ن�یرو را در امت�داد ن�یرو نش�ان ده�د. تغی�یر مک�ان نقط�ه اث�ر ن�یرو را در امت�داد ن�یرو نش�ان ده�د. vvاف�زایش می یاب�د. اف�زایش می یاب�د. ب�ا این ف�رض ک�ه امت�داد ب�ار در جری�ان بارگ�ذاری تغی�یر نمی کن�د، در این ص�ورت ب�ا این ف�رض ک�ه امت�داد ب�ار در جری�ان بارگ�ذاری تغی�یر نمی کن�د، در این ص�ورت

کار انجام شده از رابطه زیر حاصل می شود:کار انجام شده از رابطه زیر حاصل می شود:

0

oV

tW P dvبرای جسم ارتجاعی خطی داریم:برای جسم ارتجاعی خطی داریم: --

2

0

, .

1/ 2

2

V

P cv c const

W cv dv cv Pv

- جمالت مرب�وط ب�ه ن�یرو و تغی�یر مک�ان در رابط�ه ف�وق، نیروه�ا و تغی�یر مک�ان - جمالت مرب�وط ب�ه ن�یرو و تغی�یر مک�ان در رابط�ه ف�وق، نیروه�ا و تغی�یر مک�ان

یافت�ه تعمیم یافت�ه ه�ای تعمیم یع�نی ((Generalized displacements and forcesGeneralized displacements and forces))ه�ای یع�نی هس�تند. هس�تند. ش�امل نیروه�ای دورانی )لنگ�ر( و تغی�یر مک�ان ه�ای زاوی�ه ای )دوران( ن�یز می ش�امل نیروه�ای دورانی )لنگ�ر( و تغی�یر مک�ان ه�ای زاوی�ه ای )دوران( ن�یز می

باشند:باشند:

- به صورت برداری داریم:- به صورت برداری داریم:

1

1

2

n

i ii

W Pv

1

2TW P v

ب(مفهوم انرژی تغییر شکل )کار داخلی توسط تنش ها(ب(مفهوم انرژی تغییر شکل )کار داخلی توسط تنش ها(وق�تی ی�ک جس�م ارتج�اعی تحت اث�ر ی�ک س�ری نیروه�ای خ�ارجی ق�رار می وق�تی ی�ک جس�م ارتج�اعی تحت اث�ر ی�ک س�ری نیروه�ای خ�ارجی ق�رار می - -

گ�یرد، در جس�م تنش ه�ایی ایج�اد می ش�وند و طی تغی�یر ش�کل، این تنش ه�ا گ�یرد، در جس�م تنش ه�ایی ایج�اد می ش�وند و طی تغی�یر ش�کل، این تنش ه�ا ¡ ب�ه ان�رژی تغی�یر ش�کل )ان�رژی داخلی( ¡ ب�ه ان�رژی تغی�یر ش�کل )ان�رژی داخلی( ک�ار انج�ام می دهن�د. این ک�ار معم�وال ک�ار انج�ام می دهن�د. این ک�ار معم�وال

جسم موسوم است. جسم موسوم است. - ی�ک عنص�ر کوچ�ک را ک�ه تنش ه�ایی ب�ر روی آن اث�ر می کنن�د مط�ابق ش�کل - ی�ک عنص�ر کوچ�ک را ک�ه تنش ه�ایی ب�ر روی آن اث�ر می کنن�د مط�ابق ش�کل زی�ر در نظ�ر بگیری�د. در خالل بارگ�ذاری اس�تاتیکی ب�ر روی جس�م، این تنش ه�ا زی�ر در نظ�ر بگیری�د. در خالل بارگ�ذاری اس�تاتیکی ب�ر روی جس�م، این تنش ه�ا از مق�دار ص�فر ش�روع و ب�ه ت�دریج ب�ه مق�دار نه�ایی خ�ود می رس�ند. در ض�من از مق�دار ص�فر ش�روع و ب�ه ت�دریج ب�ه مق�دار نه�ایی خ�ود می رس�ند. در ض�من

¡ شکل داده و به حالت نهایی در می آید. ¡ شکل داده و به حالت نهایی در می آید.عنصر تدریجا عنصر تدریجا

در خالل تغی�یر ش�کل عنص�ر، ک�ار انج�ام یافت�ه توس�ط تنش ه�ا ب�رای عنص�ر در خالل تغی�یر ش�کل عنص�ر، ک�ار انج�ام یافت�ه توس�ط تنش ه�ا ب�رای عنص�ر مذکور عبارت است از:مذکور عبارت است از:

εεii,,σσii ب�ه ت�رتیب نش�انگر مق�ادیر نه�ایی ه�ر ی�ک از ش�ش مؤلف�ه تنش و ک�رنش ب�ه ت�رتیب نش�انگر مق�ادیر نه�ایی ه�ر ی�ک از ش�ش مؤلف�ه تنش و ک�رنشاست.است.

- انرژی تغییر شکل کل جسم برابر است با:- انرژی تغییر شکل کل جسم برابر است با:

: : ,(,(σσii==EEεεii))- در حالتی که جسم ارتجاعی خطی است داریم - در حالتی که جسم ارتجاعی خطی است داریم - انرژی تغییر شکل عنصر- انرژی تغییر شکل عنصر

ک�رنش مؤلف�ه ب�ا ش�ش بع�دی ی�ک عنص�ر س�ه ب�رای تغی�یر ش�کل ان�رژی ک�رنش - مؤلف�ه ب�ا ش�ش بع�دی ی�ک عنص�ر س�ه ب�رای تغی�یر ش�کل ان�رژی -

متناظر عبارت است از:متناظر عبارت است از:

0 0( )

i

tU d dx dy dz

0( )

i

tvU d dx dy dz

0

1

2 i iU dx dy dz

با انتگ�رال گ�یری از رابط�ه ف�وق ب�ر روی حجم جس�م م�ورد مطالع�ه، ان�رژی با انتگ�رال گ�یری از رابط�ه ف�وق ب�ر روی حجم جس�م م�ورد مطالع�ه، ان�رژی تغییر شکل جسم نتیجه می شود:تغییر شکل جسم نتیجه می شود:

* انرژی تغییر شکل یک جسم در اثر * انرژی تغییر شکل یک جسم در اثر (:(:LL نیروی محوری )برای میله ای به طول نیروی محوری )برای میله ای به طول

* انرژی تغییر شکل یک جسم در اثر * انرژی تغییر شکل یک جسم در اثر (:(:LL لنگر خمشی )برای میله ای به طول لنگر خمشی )برای میله ای به طول

0

2 2

20 0

,

1 1.

2 2

1 1

2 . 2

v v

L L

F F

A EAF F

u dx dy dz dx dy dzA EA

F Fu dx dydz dx

A E EA

* انرژی تغییر شکل یک جسم در اثر برش: * انرژی تغییر شکل یک جسم در اثر برش: ((LL )برای میله ای به طول )برای میله ای به طول

* انرژی تغییر شکل یک جسم در اثر پیچش:* انرژی تغییر شکل یک جسم در اثر پیچش:((LL )برای میله ای به طول )برای میله ای به طول

2 2

20 0

,

1 1.

2 2

1 1

2 . 2

v v

L L

V V

A GAV V

u dx dy dz dx dy dzA GA

V Vu dx dydz dx

A G GA

2 22

20 0

,

1 1.

2 2

1 1

2 . 2

v v

L L

Tr Tr

J GJTr Tr

u dx dy dz dx dy dzJ GJ

T Tu dx r dydz dx

J G GJ

((Principle of Virtual workPrinciple of Virtual work))پ( اصل کار مجازی پ( اصل کار مجازی - در اس�تخراج رواب�ط م�ورد اس�تفاده در تحلی�ل م�اتریس س�ازه ه�ا از مفه�وم - در اس�تخراج رواب�ط م�ورد اس�تفاده در تحلی�ل م�اتریس س�ازه ه�ا از مفه�وم

کار مجازی به طور موثری استفاده می شود.کار مجازی به طور موثری استفاده می شود.و اجس�ام تغی�یر ش�کل پ�ذیر و اجس�ام تغی�یر ش�کل پ�ذیر ((Rigid bodyRigid body))- اص�ل م�ذکور ب�رای اجس�ام ص�لب - اص�ل م�ذکور ب�رای اجس�ام ص�لب

((Deformable bodyDeformable body)) ب�ه دو ص�ورت متف�اوت بی�ان می ش�ود )ش�رحی در م�ورد ب�ه دو ص�ورت متف�اوت بی�ان می ش�ود )ش�رحی در م�ورد جسم صلب و جسم تغییر شکل پذیر( :جسم صلب و جسم تغییر شکل پذیر( :

اگ�ر ی�ک سیس�تم ن�یرویی ب�ر ی�ک جس�م ص�لب در ح�ال اگ�ر ی�ک سیس�تم ن�یرویی ب�ر ی�ک جس�م ص�لب در ح�ال ب�رای جس�م ص�لب: ب�رای جس�م ص�لب: --11تع�ادل باش�د، در اث�ر تغی�یر مک�ان کوچ�ک مج�ازی، ک�ار خ�ارجی مج�ازی انج�ام تع�ادل باش�د، در اث�ر تغی�یر مک�ان کوچ�ک مج�ازی، ک�ار خ�ارجی مج�ازی انج�ام

یافته توسط این نیروها برابر صفرخواهد بود.یافته توسط این نیروها برابر صفرخواهد بود.- ب�رعکس اگ�ر ک�ار انج�ام ش�ده توس�ط ی�ک سیس�تم ن�یرویی م�ؤثر ب�ر ی�ک جس�م - ب�رعکس اگ�ر ک�ار انج�ام ش�ده توس�ط ی�ک سیس�تم ن�یرویی م�ؤثر ب�ر ی�ک جس�م ص�لب تحت اث�ر تغی�یر مک�ان مج�ازی کوچ�ک براب�ر ص�فر باش�د، در این ص�ورت ص�لب تحت اث�ر تغی�یر مک�ان مج�ازی کوچ�ک براب�ر ص�فر باش�د، در این ص�ورت

1این سیستم نیرویی درحال تعادل خواهد بود.این سیستم نیرویی درحال تعادل خواهد بود.

n

d i ii

W Q v

QQii یک نیرو از سیستم نیرویی : یک نیرو از سیستم نیرویی :QQ وو VViiتغییر مکان مجازی: تغییر مکان مجازی :VVii= V= V00 چون جسم صلب است لذا در همه جا برابر است مثالچون جسم صلب است لذا در همه جا برابر است مثال

01

0n

d ii

W v Q

در نیرویی سیستمتعادل حال

ک�ه ب�ر روی ی�ک ک�ه ب�ر روی ی�ک QQاگ�ر ی�ک سیس�تم ن�یرویی اگ�ر ی�ک سیس�تم ن�یرویی ب�رای جس�م تغی�یر ش�کل پ�ذیر: ب�رای جس�م تغی�یر ش�کل پ�ذیر: --22

جس�م تغی�یر ش�کل پ�ذیر اث�ر می نمای�د، در ح�ال تع�ادل باش�د و این جس�م تحت جس�م تغی�یر ش�کل پ�ذیر اث�ر می نمای�د، در ح�ال تع�ادل باش�د و این جس�م تحت

اث�ر ع�واملی تغی�یر ش�کل مج�ازی ک�وچکی ده�د، در این ص�ورت ک�ار مج�ازی اث�ر ع�واملی تغی�یر ش�کل مج�ازی ک�وچکی ده�د، در این ص�ورت ک�ار مج�ازی

ن�یروی یافت�ه توس�ط انج�ام ن�یروی خ�ارجی یافت�ه توس�ط انج�ام یافت�ه QQخ�ارجی انج�ام یافت�ه براب�ر ک�ار مج�ازی داخلی انج�ام براب�ر ک�ار مج�ازی داخلی

خواهد بود. خواهد بود.QQتوسط تنش های ناشی از توسط تنش های ناشی از

خارجی مجازی کار)External virtual

work(

داخلی مجازی کار)Internal virtual

work(

Virtual strain corresponding to virtual

displacement

Real stress in equilibrium with

Real applied load

((Theorems of CastilianoTheorems of Castiliano))ت( قضایای کاستیلیانو ت( قضایای کاستیلیانو از قض�ایای کاس�تیلیانو ب�ه ط�ور بنی�ادی در تحلی�ل ماتریس�ی س�ازه اس�تفاده می از قض�ایای کاس�تیلیانو ب�ه ط�ور بنی�ادی در تحلی�ل ماتریس�ی س�ازه اس�تفاده می

شود.شود. نس�بت تغی�یرات ان�رژی ب�ه تغی�یرات تغی�یر مک�ان تعمیم یافت�ه در نس�بت تغی�یرات ان�رژی ب�ه تغی�یرات تغی�یر مک�ان تعمیم یافت�ه در قض�یه اول:قض�یه اول:- -

ی�ک نقط�ه خ�اص )و در ی�ک امت�داد خ�اص(، براب�ر ن�یروی تعمیم یافت�ه اس�ت ک�ه ب�ه ی�ک نقط�ه خ�اص )و در ی�ک امت�داد خ�اص(، براب�ر ن�یروی تعمیم یافت�ه اس�ت ک�ه ب�ه آن نقطه خاص )و در آن امتداد خاص( وارد می شود.آن نقطه خاص )و در آن امتداد خاص( وارد می شود.

ii

UP

نس�بت تغی�یرات ان�رژی ب�ه تغی�یرات ن�یروی تعمیم یافت�ه در نقط�ه نس�بت تغی�یرات ان�رژی ب�ه تغی�یرات ن�یروی تعمیم یافت�ه در نقط�ه قض�یه دوم:قض�یه دوم:- - آن نقط�ه یافت�ه در تعمیم تغییرمک�ان براب�ر امت�داد خ�اص(، ی�ک )و در آن نقط�ه خ�اص یافت�ه در تعمیم تغییرمک�ان براب�ر امت�داد خ�اص(، ی�ک )و در خ�اص

خاص( می باشد.خاص( می باشد. امتدادامتداد در آندر آن خاص )وخاص )و

ii

U

P

ت�وان ب�ه ت�رتیب ب�ه ص�ورت لنگ�ر و دوران زاوی�ه ت�وان ب�ه ت�رتیب ب�ه ص�ورت لنگ�ر و دوران زاوی�ه را می را میΔΔii وو PPii- توج�ه ش�ود ک�ه - توج�ه ش�ود ک�ه ای و همچنین نیرو و تغییر مکان معمولی در نظر گرفت. ای و همچنین نیرو و تغییر مکان معمولی در نظر گرفت.

- ب�رای اثب�ات قض�ایای م�ذکور می ت�وان ب�ه مت�ون کالس�یک تحلی�ل ماتریس�ی - ب�رای اثب�ات قض�ایای م�ذکور می ت�وان ب�ه مت�ون کالس�یک تحلی�ل ماتریس�ی ((Stiffness CoefficientsStiffness Coefficients))- از قض�ایای کاس�تیلیانو ب�رای تع�یین ض�رایب س�ختی - از قض�ایای کاس�تیلیانو ب�رای تع�یین ض�رایب س�ختی سازه مراجعه نمود.سازه مراجعه نمود.

استفاده می شود )به عنوان مثال به دو مورد اشاره می شود(:استفاده می شود )به عنوان مثال به دو مورد اشاره می شود(:

ب�ه ط�ول ب�رای میل�ه ای ب�ه ط�ول * ب�رای میل�ه ای *LL ن�یروی مح�وری اث�ر ن�یروی مح�وری تحت اث�ر تغی�یر مک�ان FF تحت تغی�یر مک�ان )ک�ه )ک�ه 2 را ایجاد می کند(. را ایجاد می کند(.uuمحوری محوری

0

0

1

21 2

.2

L

L

FU dx

AEU F FL EA

dx u F uF AE AE L

مح��وری مح��وریسختی :Axial Stiffness: Axial Stiffness ))سختی

EA/LEA/L ) ) مح�وری ن�یروی مح�وری ب�ه ص�ورت ن�یروی ب�ه ص�ورت م�ورد نی�از ب�رای ایج�اد تغی�یر مک�ان م�ورد نی�از ب�رای ایج�اد تغی�یر مک�ان

محوری واحد تعریف می شود.محوری واحد تعریف می شود.

را را ΦΦ )ک�ه زاوی�ه پیچش )ک�ه زاوی�ه پیچش TT تحت اث�ر لنگ�ر پیچش�ی تحت اث�ر لنگ�ر پیچش�ی LL* ب�رای میل�ه ای ب�ه ط�ول * ب�رای میل�ه ای ب�ه ط�ول 2ایجاد می کند(.ایجاد می کند(.

0

0

1

21 2

.2

L

L

TU dx

GJU T TL GJ

dx TT GJ GJ L

پیچش����ی پیچش����یسختی TorsionalTorsional ))سختی

Stiffness: Stiffness: GJ/LGJ/L ) ) لنگ�ر لنگ�ر ب�ه ص�ورت ب�ه ص�ورت ایج�اد ب�رای نی�از م�ورد ایج�اد پیچش�ی ب�رای نی�از م�ورد پیچش�ی می تعری�ف واح�د پیچش می زاوی�ه تعری�ف واح�د پیچش زاوی�ه

شود.شود.

متقاب�ل وو ((Betti’s LawBetti’s Law)) ب�تیب�تی ق�انونق�انون ث(ث( متقاب�لرابط�ه Maxwell’s Maxwell’s)) ماکس�ولماکس�ول رابط�ه

Reciprocal RelationshipReciprocal Relationship))از ق�انون ب�تی و رابط�ه متقاب�ل ماکس�ول در بررس�ی خ�واص مع�ادالت ماتریس�ی از ق�انون ب�تی و رابط�ه متقاب�ل ماکس�ول در بررس�ی خ�واص مع�ادالت ماتریس�ی

ایجاد شده در تحلیل ماتریسی سازه ها استفاده می شود. ایجاد شده در تحلیل ماتریسی سازه ها استفاده می شود.

در اث�ر تغی�یر در اث�ر تغی�یر PPmm ک�ار انج�ام یافت�ه توس�ط ی�ک سیس�تم ن�یروئی ک�ار انج�ام یافت�ه توس�ط ی�ک سیس�تم ن�یروئی ق�انون ب�تی:ق�انون ب�تی:( ( 11براب�ر ک�ار انج�ام یافت�ه توس�ط براب�ر ک�ار انج�ام یافت�ه توس�ط PPnn ((ΔΔmnmn))ش�کل ناش�ی از ی�ک سیس�تم ن�یرویی دیگ�ر ش�کل ناش�ی از ی�ک سیس�تم ن�یرویی دیگ�ر

ن�یروئی ن�یروئیسیس�تم ن�یرویی PPnnسیس�تم از سیس�تم ناش�ی تغی�یر ش�کل ن�یرویی در از سیس�تم ناش�ی تغی�یر ش�کل می می PPmm ((ΔΔnmnm))در باشد.باشد.

m mn n nmP P

خاص - حالت : برای

1

1

2 m mmW P 2

1

2m mn n nnW P P

1 2

1 1(1)

2 2m mm m mn n nnW W W P P P

(1) , (2) m mn n nmW W or P P

3

1

2 n nnW P 4

1

2 m mm n nmW P P

رابط�ه متقاب�ل ماکس�ول ی�ک ح�الت خ�اص از ق�انون رابط�ه متقاب�ل ماکس�ول ی�ک ح�الت خ�اص از ق�انون رابط�ه متقاب�ل ماکس�ول:رابط�ه متقاب�ل ماکس�ول:( ( 22

بتی است.بتی است. از نظ�ر ع�ددی براب�ر از نظ�ر ع�ددی براب�ر nn م�ؤثر در نقط�ه م�ؤثر در نقط�ه PP تحت اث�ر ن�یروی تحت اث�ر ن�یروی mm- تغی�یر مک�ان نقط�ه - تغی�یر مک�ان نقط�ه می باش�د )در این ق�انون می باش�د )در این ق�انون mm م�وثر در م�وثر در PP تحت اث�ر ن�یروی تحت اث�ر ن�یروی nnتغی�یر مک�ان نقط�ه تغی�یر مک�ان نقط�ه

ف�رقی بین ن�یروی معم�ولی و لنگ�ر و ن�یز تغی�یر مک�ان و دوران گ�ذارده نمی ف�رقی بین ن�یروی معم�ولی و لنگ�ر و ن�یز تغی�یر مک�ان و دوران گ�ذارده نمی شود(.شود(.

ba ab

ca ac

cb bc

در ه�ر دو روش ش�رایط س�ازگاری و ش�رایط تع�ادل ارض�ا می ش�وند، لیکن در ه�ر دو روش ش�رایط س�ازگاری و ش�رایط تع�ادل ارض�ا می ش�وند، لیکنترتیب آنها در دو روش متفاوت است.ترتیب آنها در دو روش متفاوت است.

تع�ادل ارض�اء می ش�ود و س�پس ش�رط س�ازگاری ابت�دا تع�ادل ارض�اء می ش�ود و س�پس ش�رط س�ازگاری در روش س�ختی ابت�دا در روش س�ختی ارض�ا می گ�ردد. از این رو نت�ایج اولی�ه روش س�ختی، تغی�یر مک�ان ه�ای گ�رهی ارض�ا می گ�ردد. از این رو نت�ایج اولی�ه روش س�ختی، تغی�یر مک�ان ه�ای گ�رهی

ن�یز ن�یز ((Equilibrium MethodEquilibrium Method))اس�ت )در واق�ع گ�اهی ب�ه روش س�ختی، روش تع�ادل اس�ت )در واق�ع گ�اهی ب�ه روش س�ختی، روش تع�ادل اطالق می شود(.اطالق می شود(.

در روش ن�رمی ابت�دا س�ازگاری و س�پس تع�ادل ارض�اء می گ�ردد. از این رو در روش ن�رمی ابت�دا س�ازگاری و س�پس تع�ادل ارض�اء می گ�ردد. از این رونت�ایج اولی�ه روش ن�رمی نیروه�ای اعض�اء می باش�ند )در واق�ع گ�اهی ب�ه روش نت�ایج اولی�ه روش ن�رمی نیروه�ای اعض�اء می باش�ند )در واق�ع گ�اهی ب�ه روش

نیز اطالق می شود(.نیز اطالق می شود(. ((Compatibility MethodCompatibility Method))نرمی، روش سازگاری نرمی، روش سازگاری در نه�ایت ه�ر دو روش م�ذکور منج�ر ب�ه ح�ل مع�ادالتی می گ�ردد. در روش در نه�ایت ه�ر دو روش م�ذکور منج�ر ب�ه ح�ل مع�ادالتی می گ�ردد. در روش

س�ختی )ی�ا روش تغی�یر مک�ان ه�ا( مجه�والت ش�امل تغی�یر مک�ان ه�ای گ�ره ه�ا و س�ختی )ی�ا روش تغی�یر مک�ان ه�ا( مجه�والت ش�امل تغی�یر مک�ان ه�ای گ�ره ه�ا و در روش ن�رمی )ی�ا در روش نیروه�ا( مجه�والت ش�امل نیروه�ای عض�وی س�ازه در روش ن�رمی )ی�ا در روش نیروه�ا( مجه�والت ش�امل نیروه�ای عض�وی س�ازه

هستند.هستند. ن�امعینی س�ازه اس�ت )درج�ه براب�ر درج�ه تع�داد مع�ادالت ن�رمی ن�امعینی س�ازه اس�ت )درج�ه در روش براب�ر درج�ه تع�داد مع�ادالت ن�رمی در روش

نامعینی داخلی+ درجه نامعینی خارجی(.نامعینی داخلی+ درجه نامعینی خارجی(. ه�ایه�ای درج�ات آزادی ک�ل گ�رهدرج�ات آزادی ک�ل گ�ره براب�ر تع�داد براب�ر تع�داد مع�ادالتمع�ادالت تع�دادتع�داد س�ختیس�ختی روشروش در در

. . ((Degree of FreedomDegree of Freedom))باشد باشد سازه میسازه می

- درج�ات آزادی ی�ک س�ازه مس�اوی تع�داد تغی�یر مک�ان ه�ای مجه�ول مرب�وط ب�ه - درج�ات آزادی ی�ک س�ازه مس�اوی تع�داد تغی�یر مک�ان ه�ای مجه�ول مرب�وط ب�ه گره های سازه می باشد.گره های سازه می باشد.

( , , , , , )z y x z y x ( ( 66تعداد مجهوالت در یک گره صلب در یک قاب فضایی )تعداد مجهوالت در یک گره صلب در یک قاب فضایی )

تعداد مجهوالت در یک گره صلب در یک قاب مستوی تعداد مجهوالت در یک گره صلب در یک قاب مستوی

)x,yx,y“ )3(“ )3”صفحه ”صفحه

تعداد مجهوالت در یک گره مفصلی در یک خرپای فضایی تعداد مجهوالت در یک گره مفصلی در یک خرپای فضایی

((33))

تعداد مجهوالت در یک گره مفصلی در یک خرپای مستوی تعداد مجهوالت در یک گره مفصلی در یک خرپای مستوی

)x,yx,y“ )2(“ )2”صفحه ”صفحه

تعداد مجهوالت در یک تکیه گاه گیردار در یک قاب مستوی تعداد مجهوالت در یک تکیه گاه گیردار در یک قاب مستوی

((00یا فضایی )یا فضایی )

تعداد مجهوالت در یک تکیه گاه ساده در یک قاب فضایی تعداد مجهوالت در یک تکیه گاه ساده در یک قاب فضایی

((33))

تعداد مجهوالت در یک تکیه گاه ساده در یک قاب مستوی تعداد مجهوالت در یک تکیه گاه ساده در یک قاب مستوی

((11))

تعداد مجهوالت در یک تکیه گاه غلتکی در یک قاب مستوی تعداد مجهوالت در یک تکیه گاه غلتکی در یک قاب مستوی

((22))

تعداد مجهوالت در یک تکیه گاه ساده در یک خرپای مستوی تعداد مجهوالت در یک تکیه گاه ساده در یک خرپای مستوی

((00))

تعداد مجهوالت در یک تکیه گاه غلتکی در یک خرپای تعداد مجهوالت در یک تکیه گاه غلتکی در یک خرپای

((11مستوی )مستوی )

( , , )z y x

( , , )z y x

( , )y x

- با توجه به این که:- با توجه به این که:( در روش سختی مرزی بین سازه معین یا نامعین نیست،1( در روش سختی نظیر روش نرمی الزامی به انتخاب 2

مجهوالت اضافی نیست،( روش سختی به صورت سیستماتیک تر انجام می گیرد،3( روش سختی از نظر برنامه نویسی کامپیوتری ساده تر و 4

بهتر است،( روش سختی دید کامل تری از رفتار سازه را به معرض 5

نمایش می گذارد.

از این رو مباحث تحلیل ماتریسی سازه ها )در این درس( بر مبنای روش سختی

(Stiffness method) یا روش تعادل(Equilibrium method) یا روشمتمرکز خواهد شد. (Displacement method)تغییر مکان