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素粒子物理学2素粒子物理学序論B

2010年度講義第6回

今回の目次

素粒子物理学と対称性ゲージ対称性QEDSU(2)変換

別の対称性

2

対称性とは

ある操作の前後で状態の区別ができない

3

BはAに対して回転してあるか？→ 分からない

＝回転対称性がある

nπ/2（n整数）回転対称

A B

A B C

もうちょっと物理屋っぽく言うと…

対称とは、ある操作を行っても物理法則がかわらない（運動方程式が変わらない）こと対称性がそんざいするとそれに対応した保存量が存在（ネーターの定理）例：座標の平行移動

並進対称性が存在するなら運動量は保存

4

∂L

∂q= 0

d

dt(∂L

∂q)− ∂L

∂q= 0

d

dt(∂L

∂q) =

dp

dt= 0

量子力学における対称性（１）

対称操作と保存量

5

i∂ψ

∂t= Hψ i

∂ψ�

∂t= Hψ

�

i∂ψ

∂t= U

−1HUψ

ψ → ψ� = Uψにより

∴ U−1

HU = H

Uは時間に陽によらないユニタリー変換

U � 1− iδαQ微小変換　　　　　　　　を考える。Qはエルミート

U−1

HU = (1 + iδαQ)H(1− iδαQ) = H − i[Q, H ]δα = H

d

dt�Q� =

d

dt

�ψ∗QψdV = i

�ψ∗[H, Q]ψdV = 0

∴ [Q, H ] = 0

対称性があれば、Qは観測量であり保存量

量子力学における対称性（２）

平行移動　x → x + a

6

ψ�(x) = Uψ(x) = ψ(U−1x) = ψ(x− a)

ψ(x − a) = ψ(x)− a∂ψ(x)

∂x+ · · · +

(−a)n

n!∂nψ(x)

∂xn+ · · ·

= exp[−ia(1i

∂

∂x)]ψ(x)

≡ exp[−iap]ψ(x)

運動量pが前のページのQになっている（観測量であり保存量）

cf. 一般に、ユニタリー演算子はエルミート演算子Qを使って　　　　　　　　と書けるU = e−iαQ

相互作用のルール

対称性があると保存量がある（角）運動量エネルギー電荷その他

自由場での運動のルールを対称性の考察から理解できる

相互作用のルールは？

7

⇒ ゲージ対称性で決まる

ゲージ対称性

ゲージ対称性

ゲージ変換（時空における変換ではない）例：U(1)変換大局的ゲージ変換対称性があって当然（位相の自由度みたいなもの）を見ても明らか

局所ゲージ変換局所ゲージ対称性の要求⇒ 相互作用の決定（ゲージ原理）

9

ψ(x)→ eiαψ(x)

L = ψ(i �∂ −m)ψ

ψ → eiθ(x)ψ

QED：U(1)変換　ゲージ対称性の例として

QEDラグランジアン

局所U(1)変換　　　　　　を考える ---(1)

明らかに変換　　　　　　　　　　　を考える ---(2)

10

L = ψ(i �∂ −m)ψ − 14FµνFµν − eAµ(ψγµψ)

≡ Le + Lγ + Lint Fµν ≡ ∂νAµ − ∂µAν

ψ → eiθ(x)ψ

Le → i(e−iθψ)γµ∂µ(eiθψ)−mψψ

= iψ∂µψ − (ψγµψ)∂µθ −mψψ

= Le + δLe , δLe ≡ (ψγµψ)∂µθ

δLγ = 0 δLint = 0

Aµ(x)→ Aµ(x) + ∂µΛ(x)δLe = 0 , δL = 0

δLint = −e(∂µΛ)ψγµψ



局所U(1)変換　　　　　　を考える ---(1)

明らかに変換　　　　　　　　　　　を考える ---(2)

10



ψ → eiθ(x)ψ





Aµ(x)→ Aµ(x) + ∂µΛ(x)δLe = 0 , δL = 0




局所U(1)変換　　　　　　を考える ---(1)

明らかに変換　　　　　　　　　　　を考える ---(2)

10



ψ → eiθ(x)ψ





Aµ(x)→ Aµ(x) + ∂µΛ(x)δLe = 0 , δL = 0


ゲージ原理

　　　　　とおいて変換(1),(2)を同時に行うと…

QEDラグランジアンがU(1)変換に対して不変になった

逆の論理も真　からスタートしてU(1)変換に対して不変となるようなラグランジアンを探すと、ゲージ場を導入して、が必要になる。すなわち、相互作用の形が決まる。

11

δLe = −δLint ∴ δL = 0

Le

Aµ(x)Lint

ゲージ原理：局所ゲージ対称性により相互作用の形が規定される

θ(x) = −eΛ(x)

結合定数

結合定数と保存量

U(1)変換における保存量

Qを一般に電荷、あるいはHyper chargeと呼ぶ一般的な形：gが結合定数、Tが変換のgenerator

各群に共通の結合定数U(1) ：QEDSU(2)：弱い相互作用（と言うと正確ではないが）SU(3)：強い相互作用

12

jµ = −eψγµψQ = e

�j0d3x

ψ → e−igθ(x)T ψ

Uem(1)での保存量

大域的ゲージ変換から導ける無限小U(1)変換　　　　　　に対して

13

L = ψ(i �∂ −m)ψ

δL = 0ψ → (1 + iα)ψ

δL =∂L∂ψ

δψ +∂L

∂(∂µψ)δ(∂µψ) +

∂L∂ψ

δψ +∂L

∂(∂µψ)δ(∂µψ)

=∂L∂ψ

(iαψ) +∂L

∂(γµψ)(iα∂µψ) + ...

= iα[∂L∂ψ

− ∂µ(∂L

∂(∂µψ))]ψ + iα∂µ(

∂L∂(∂µψ)

)ψ + ...

Q = e

�d3xj0

とすれば

が保存量

∵ dQ

dt= e

�dj0

dtd3x = −e

�∇ · jd3x = 0

jµ =ie

2(

∂L∂(∂µψ)

ψ − ψ∂L

∂(∂µψ)) = −eψγµψ ∂µjµ = 0

コメント

　　　　　と位相変換するとの項から　　が生成されてしまうゲージ場　　はこれをキャンセルする元の位相変換によりゲージ場の性質が決まる

Covariant Derivative　　　　　　　を導入すると

なので　　が　　と同じ変換をする

14

ψ → eiθ(x)ψ ∂µψ ∂µθ

Aµ(x)

Dµ = ∂µ + ieAµ

ψ� = e−ieΛ(x)ψ, Aµ(x)→ Aµ(x) + ∂µΛ(x)

(Dµψ)� = e−ieΛ(x)(Dµψ)

Dµψ ψ

ゲージボソンの質量項

ゲージボソンの質量項を手で入れると

となりゲージ対称性を保てないゲージボソンの質量はゼロでないとならない実際に光子とグルーオンの質量はゼロしかし mW≠0, mZ≠0 ⇐ ゲージ対称性が破れている（かのように見える）なんらかのカラクリが必要＝ヒッグス機構

フェルミオンの質量も手で入れるとSU(2)対称性を保ちつつ観測値を再現できないフェルミオンの質量もヒッグス機構で生成される

15

m2AµAµ → m2(Aµ + ∂µΛ)(Aµ + ∂µΛ) �= m2AµAµ

SU(2)変換

アイソスピン対称性（1）

17

ψ ≡�

pn

�ψ ≡

�pn

�L = ψ(i �∂ −m)ψ

ψ� = Uψ, U =�

U11 U12

U21 U22

�U †U = 1

u� = U11u + U12d

d� = U21u + U22d

u� = U∗11u + U∗

12d

d� = U∗21u + U∗

22d

(u�, d�) = (u, d)�

U∗11 U∗

21

U∗12 U∗

22

�ψ� = ψU †

2つの粒子の質量が等しければラグランジアンはU変換に　対して不変

L� ≡ ψ�(i �∂ −m)ψ� = ψU †(i �∂ −m)Uψ = L

ユニタリティーから

SU(2)群：行列式＝1 の 2 x 2 ユニタリー行列

実空間での回転に対応アイソスピン空間でのSU(2)変換はアイソスピン空間内での回転 ⇒ 内部対称性cf. 実空間での並進や回転は外部対称性

アイソスピン対称性（2）

18

U = eih, h† = h

detU = 1 or TrU = 0

σ1 =�

0 11 0

�, σ2 =

�0 −ii 0

�, σ3 =

�1 00 −1

�

h = θiσi

2[σi

2,σj

2] = i�ijk

σk

2 U = eiθiσi2

U(θ) = e−iθJz R(−→n , θ) = e−−→J ·−→n θ

U = eiφ

�α β−β∗ α∗

�, |α|2 + |β|2 = 1

⇒ U =�

α β−β∗ α∗

�

反粒子のアイソスピン

に荷電共役変換を施す

並び替えると

一般に

19

�pn

�=


� �pn

�

p� = α∗p + β∗n

n� = −βp + αn

(−n�) = α(−n) + βp

p� = −β∗(−n) + α∗p�−n�

p�

�=


� �−np

�= U

�−np

�

a =�

a1

a2

�ac =

�a∗2−a∗1

�

SU(2)対称性

陽子と中性子からなるアイソスピン二重項を真似る

　　　をgeneratorとするSU(2)変換を考える

QEDと同様に、ゲージ変換でラグランジアンが不変になることを要求すると、ゲージ場　　が必要QED（U(1)変換）と違いゲージ場は3つ

　　　　　　　　を満たすcovariant derivativeを探すと…

20

ψ ≡�

ud

�L = ψi �∂ψ （今はmassless）

Ti ≡σi

2ψ → ψ� = U(x)ψ U(x) = e−igλi(x)Ti

−−−→Aµ(x) = (A1

µ, A2µ, A3

µ)

(Dµψ)� = U(x)Dµψ

L� = ψ�i(�Dψ)� = ψU†(x)iU(x) �Dψ = ψi �Dψ = L

結合定数

Aµ(x)

SU(2)変換の特徴

がゲージ対称性を満たす

　　　　　　　を入れてを実際に計算すると

⇐ 非可換な（non-abelian）SU(2)変換の特徴ゲージ場のkinematic termについても同様に　　　　　　　　　　　　　を定義すれば　　　　　　　　　　がゲージ対称性を満たす　　

21

Dµ ≡ ∂µ + ig−→Aµ ·−→T ≡ ∂µ + ig �Aµ

9.2. NON-ABELIAN GAUGE SYMMETRY 485

To make sure that we know what we are dealing with, let us write down Dµ! explicitly:

Dµ! = ("µ + igAµ)!

ud

"=

!"µu"µd

"+ i

g

2

#A3

µu +!

2A+µ d!

2A!µ u " A3

µd

$

. (9.85)

It is straightforward to find the transformation of #Aµ that realizes (Dµ!)" =U(x)Dµ!. Substituting Dµ = "µ " igAµ in this,

(Dµ!)" = U(x)Dµ!

# ("µ + igA"µ)(U!) = U("µ + igAµ)!

#%("µU)! + !

!!"""U("µ!)

&+ igA"

µU! = !!!"""U("µ!) + igUAµ!

# ("µU + igA"µU)! = igUAµ! , (9.86)

which should hold for any !. Thus,

"µU + igA"µU = igUAµ , (9.87)

or right-multiplying by U †

A"µ = UAµU

† +i

g("µU)U † . (9.88)

At this point, the transformation is quite obscure. To see it more clearly, let usexamine a small transformation. Noting that U and U † can be written as

U(x) = e!ig! ($ $ $iTi) # U †(x) = eig!†= eig! , (9.89)

and using eBAe!B = A + [B, A] + · · ·, the transformation (9.88) becomes

A"µ = e!ig!Aµe

ig!

' () *Aµ " ig[$, Aµ]

+i

g("µe

!ig!)' () *

("ig"µ$)e!ig!

eig! = Aµ " ig[$, Aµ] + "µ$

# %Aµ = "µ$ " ig[$, Aµ] . (9.90)

Or, writing out the T -matrices and using [Ti, Tj] = i&ijkTk,

%AkµTk = ("µ$k)Tk " ig [$iTi, A

jµTj]

' () *$iA

jµ [Ti, Tj]' () *i&ijkTk

= ("µ$k + g&ijk$iAjµ)Tk . (9.91)



Dµ! = ("µ + igAµ)!

ud

"=

!"µu"µd

"+ i

g

2

#A3

µu +!

2A+µ d!

2A!µ u " A3

µd

$

. (9.85)


(Dµ!)" = U(x)Dµ!

# ("µ + igA"µ)(U!) = U("µ + igAµ)!

#%("µU)! + !

!!"""U("µ!)

&+ igA"

µU! = !!!"""U("µ!) + igUAµ!

# ("µU + igA"µU)! = igUAµ! , (9.86)




A"µ = UAµU

† +i

g("µU)U † . (9.88)




A"µ = e!ig!Aµe

ig!

' () *Aµ " ig[$, Aµ]

+i

g("µe

!ig!)' () *

("ig"µ$)e!ig!

eig! = Aµ " ig[$, Aµ] + "µ$

# %Aµ = "µ$ " ig[$, Aµ] . (9.90)



jµTj]

' () *$iA


= ("µ$k + g&ijk$iAjµ)Tk . (9.91)

U(x) = e−igλiTi A�µ

δAkµ = ∂µλk + g�ijkλiA

jµ

F kµν ≡ ∂νAk

µ − ∂µAkν + g�ijkAi

µAjν

L = ψi �Dψ − 14F i

µνF iµν

計算（おまけ）

22



Dµ! = ("µ + igAµ)!

ud

"=

!"µu"µd

"+ i

g

2

#A3

µu +!

2A+µ d!

2A!µ u " A3

µd

$

. (9.85)


(Dµ!)" = U(x)Dµ!

# ("µ + igA"µ)(U!) = U("µ + igAµ)!

#%("µU)! + !

!!"""U("µ!)

&+ igA"

µU! = !!!"""U("µ!) + igUAµ!

# ("µU + igA"µU)! = igUAµ! , (9.86)




A"µ = UAµU

† +i

g("µU)U † . (9.88)




A"µ = e!ig!Aµe

ig!

' () *Aµ " ig[$, Aµ]

+i

g("µe

!ig!)' () *

("ig"µ$)e!ig!

eig! = Aµ " ig[$, Aµ] + "µ$

# %Aµ = "µ$ " ig[$, Aµ] . (9.90)



jµTj]

' () *$iA


= ("µ$k + g&ijk$iAjµ)Tk . (9.91)



Dµ! = ("µ + igAµ)!

ud

"=

!"µu"µd

"+ i

g

2

#A3

µu +!

2A+µ d!

2A!µ u " A3

µd

$

. (9.85)


(Dµ!)" = U(x)Dµ!

# ("µ + igA"µ)(U!) = U("µ + igAµ)!

#%("µU)! + !

!!"""U("µ!)

&+ igA"

µU! = !!!"""U("µ!) + igUAµ!

# ("µU + igA"µU)! = igUAµ! , (9.86)




A"µ = UAµU

† +i

g("µU)U † . (9.88)




A"µ = e!ig!Aµe

ig!

' () *Aµ " ig[$, Aµ]

+i

g("µe

!ig!)' () *

("ig"µ$)e!ig!

eig! = Aµ " ig[$, Aµ] + "µ$

# %Aµ = "µ$ " ig[$, Aµ] . (9.90)



jµTj]

' () *$iA


= ("µ$k + g&ijk$iAjµ)Tk . (9.91)



Dµ! = ("µ + igAµ)!

ud

"=

!"µu"µd

"+ i

g

2

#A3

µu +!

2A+µ d!

2A!µ u " A3

µd

$

. (9.85)


(Dµ!)" = U(x)Dµ!

# ("µ + igA"µ)(U!) = U("µ + igAµ)!

#%("µU)! + !

!!"""U("µ!)

&+ igA"

µU! = !!!"""U("µ!) + igUAµ!

# ("µU + igA"µU)! = igUAµ! , (9.86)




A"µ = UAµU

† +i

g("µU)U † . (9.88)




A"µ = e!ig!Aµe

ig!

' () *Aµ " ig[$, Aµ]

+i

g("µe

!ig!)' () *

("ig"µ$)e!ig!

eig! = Aµ " ig[$, Aµ] + "µ$

# %Aµ = "µ$ " ig[$, Aµ] . (9.90)



jµTj]

' () *$iA


= ("µ$k + g&ijk$iAjµ)Tk . (9.91)



Dµ! = ("µ + igAµ)!

ud

"=

!"µu"µd

"+ i

g

2

#A3

µu +!

2A+µ d!

2A!µ u " A3

µd

$

. (9.85)


(Dµ!)" = U(x)Dµ!

# ("µ + igA"µ)(U!) = U("µ + igAµ)!

#%("µU)! + !

!!"""U("µ!)

&+ igA"

µU! = !!!"""U("µ!) + igUAµ!

# ("µU + igA"µU)! = igUAµ! , (9.86)




A"µ = UAµU

† +i

g("µU)U † . (9.88)




A"µ = e!ig!Aµe

ig!

' () *Aµ " ig[$, Aµ]

+i

g("µe

!ig!)' () *

("ig"µ$)e!ig!

eig! = Aµ " ig[$, Aµ] + "µ$

# %Aµ = "µ$ " ig[$, Aµ] . (9.90)



jµTj]

' () *$iA


= ("µ$k + g&ijk$iAjµ)Tk . (9.91)

を使った

SU(2)対称性における相互作用

　　　　　　　　　の各項を書き下す

23

488 CHAPTER 9. THE STANDARD MODEL

To summarize what we have accomplished, the Lagrangian is now

L = !iD/ ! ! 14F

iµ!F

iµ!

Dµ " "µ + igAiµTi

F kµ! " "!Ak

µ ! "µAk! + g#ijkAi

µAj!

! "!

ud

", Ti "

$i

2

, (9.103)

where Ai(x) (i = 1, 2, 3) are real vector fields. Then, this Lagrangian is invariantunder the local SU(2) transformation given by

!! = U(x)! , U(x) = e"ig"i(x)Ti

%Akµ = "µ&k + g#ijk&iAj

µ (for small &i), (9.104)

where &i(x) (i = 1, 2, 3) are arbitrary di!erentiable real functions of x = (t, 'x). This isa remarkable result: it means that we can mix up u and d fields and do so di!erentlyat di!erent space-time, yet the law of physics remains invariant as long as the vectorfields simultaneously transform in a specific way. In the process, we have also specifiedthe interactions between the vector fields and the fermions as well as those amongthe vector fields.

The interaction terms between the fermions and the vectors are found in !iD/ !.Using the explicit form (9.85), we have

!iD/ ! = (u, d)i

#!"/u"/d

"+ i

g

2

$A/3u +

#2A/+d#

2A/"u ! A/3d

%&

= i(u"/u + d"/d) ! g

2

'#2(uA/ +d + dA/ "u) + uA/ 3u ! dA/ 3d

(

) *+ ,g#2

'A+

µ (u(µd) + A"µ (d(µu)

(+

g

2

'A3

µ(u(µu) ! A3µ(d(µd)

(

. (9.105)

The first term is the free field kinetic terms for u and d fields and the rest givesthe couplings of A±,3 to the fermions. The term A"

µ (d(µu) is simply the complexconjugate of A+

µ (u(µd) and we see that the ‘charged’ spin-1 particles A± couple tou and d just as the W± bosons couple to the actual u and d quarks exept that thequark-W coupling is V ! A instead of V . There are also interactions between the‘neutral’ spin-1 particle A3 and the fermions. These may be graphically represented

L = ψi �Dψ − 14F i

µνF iµν


as

A

u

d

+ A

u,d

3

. (9.106)

On the other hand, the self-interactions of gauge bosons are embedded in !F iµ!F

iµ!/4:

!1

4F k

µ!Fkµ! = !1

4(!!A

kµ ! !µA

k! + g"ijkA

iµA

j!)(!

!Akµ ! !µAk! + g"lmkAlµAm!)

= !1

4

!(!!A

kµ ! !µA

k!)(!

!Akµ ! !µAk!)

+2g"ijkAiµA

j!(!

!Akµ ! !µAk!) + 2g2"ijk"lmkAiµA

j!A

lµAm!". (9.107)

The first terms is the standard kinetic terms of free spin-1 fields. The second and thethird terms are the self-interactions among the spin-1 fields:

. (9.108)

These self-couplings are required by the non-Abelian gauge invariance. When thegauge group is Abelian, then the structure constants i"ijk are zero and thus there isno self-interaction of gauge bosons. Thus, it is of great importance to check if suchself-couplings of gauge bosons, which hold also for the standard model, are indeedoperating in nature. One of the most direct signature is the interaction

e+e! " Z0 " W+W!

+

e!

et

Z0

W!

W+

. (9.109)

Such interaction was observed in 1997 at the e+e! collider at CERN.Well, we have jumped ahead a little too far. The gauge bosons we have introduced

are massless since there is no mass term, m2AiµA

iµ in the gauge invariant Lagrangian


as

A

u

d

+ A

u,d

3

. (9.106)


iµ!/4:

!1

4F k

µ!Fkµ! = !1

4(!!A

kµ ! !µA

k! + g"ijkA

iµA

j!)(!


= !1

4

!(!!A

kµ ! !µA

k!)(!

!Akµ ! !µAk!)

+2g"ijkAiµA

j!(!


j!A

lµAm!". (9.107)


. (9.108)


e+e! " Z0 " W+W!

+

e!

et

Z0

W!

W+

. (9.109)





as

A

u

d

+ A

u,d

3

. (9.106)


iµ!/4:

!1

4F k

µ!Fkµ! = !1

4(!!A

kµ ! !µA

k! + g"ijkA

iµA

j!)(!


= !1

4

!(!!A

kµ ! !µA

k!)(!

!Akµ ! !µAk!)

+2g"ijkAiµA

j!(!


j!A

lµAm!". (9.107)


. (9.108)


e+e! " Z0 " W+W!

+

e!

et

Z0

W!

W+

. (9.109)




484 CHAPTER 9. THE STANDARD MODEL

of a scalar field. Now we would like to make the Lagrangian invariant under thespace-time dependent isospin transformation given by

!! = U(x)! , U(x) = e"ig!i(x)Ti

!Ti !

"i

2

", (9.78)

where #i(x) (i = 1, 2, 3) are arbitrary real functions of x = (t, $x) and the real ‘couplingconstant’ g is separated out.

As in the case of QED, we will introduce vector fields and assign certain transfor-mation rule for such fields. Our goal is to define the covariant derivative Dµ and thetransformation of $Aµ such that Dµ transforms the same way as ! itself:

(Dµ!)! = U(x)Dµ! . (9.79)

Then, the Lagrangian !iD/ ! would be invariant

L! = !!i(D/ !)! = !U †(x)iU(x)D/ ! = !iD/ ! = L . (9.80)

When the derivative is taken of !! = U(x)!, there will be extra factors that containthree independent functions %µ#i(x) that somehow need to be cancelled by the changein the vector fields. Thus, to accomplish the task, we need at least three real vectorfields $Aµ(x) = (A1

µ, A2µ, A

3µ) that can be changed independently under the yet-to-be-

defined local transformation. Since index i of Aiµ is not a Lorentz index, we will not

distinguish superscript and subscript. We will try the covariant derivative of the form

Dµdef! %µ + ig $Aµ · $T ! %µ + igAµ , (9.81)

where we have defined the ‘inner product’ of a 3-component quantity $X with $T :

Xdef! $X · $T , (9.82)

which is a 2 " 2 matrix in the isospin space. Explicitly, Aµ ! $Aµ · $T with Ti = "i/2gives

Aµ = Aiµ

"i

2

=1

2

#A1

µ

!0 11 0

"+ A2

µ

!0 #ii 0

"+ A3

µ

!1 00 #1

"$

=1

2

%A3

µ

$2A+

µ$2A"

µ #A3µ

&

(9.83)

where

A±µ

def! 1$2(A1

µ % iA2µ) . (9.84)

SU(2)の実験的検証

ゲージボソンの自己結合の存在 ⇔ U(1)対称性からはゲージボソンの自己結合は生じない

LEP実験によってZ(γ)WW結合の存在を確認gauge cancellationそれぞれのダイアグラムが相殺しあうことによって断面積が無限大にならない

24

0

10

20

30

160 180 200s (GeV)

WW

(pb)

YFSWW/RacoonWWno ZWW vertex (Gentle)only e exchange (Gentle)

LEPPRELIMINARY

17/02/2005

Theoretical Framework 1.4. W-pair production at LEP

e!

e+

!e

W!

W+

e!

e+

"

W!

W+

e!

e+

Z

W!

W+

Figure 1.1: The three Feynman diagrams, referred to as CC03, which contribute at treelevel to the process e+e!!W+W!. Two diagrams contain a triple gauge-boson vertex ofthe type VWW, indicated by the shaded circles.

contribute at tree level to the process e+e!!W+W!, are referred to as CC03 diagrams.They are shown in Fig 1.1. The matrix element for W-pair production at tree level isthe sum of the matrix elements for these three diagrams separately. Actually, a fourthdiagram exists at tree level in the SM where a Higgs boson is exchanged through the s-channel, but its amplitude is proportional to the electron mass and can thus be neglected.However, at very high energies this diagram needs to be taken into account to ensure aproper behaviour of the cross section.

1.4.1 Helicity Amplitudes

To study the e!ect of anomalous couplings on the W-pair production process, it is instruc-tive to express the matrix elements in terms of the helicity states of the two W bosons,M(#, $, $"). The helicities of the W! and W+ are given by $ and $", incoming e! and e+

helicities are #/2 and "#/2, with the assumption that the electrons are massless.It is convenient to define reduced matrix elements by extracting some common factors:

M(#, $, $"; ") =#

2e2#M!,","!(")dJ0!,!"("). (1.23)

The angle " is the production angle of the W! with respect to the incoming e!. Theleading angular dependence is given in terms of the d-functions dJ0

!,!" [79], where J0 =max(|#|, |#$|) gives the lowest angular momentum contributing to a given helicity com-bination. Two out of the nine possible helicity combinations give J0 = 2, with both W’soppositely, transversely polarised (±,$) thus |#$| = 2. The other seven possible helicityconfigurations all have J0 = 1. The explicit form of the d functions for all possible helicitycombinations is given in the last column of Table 1.2.

The reduced matrix elements are not partial wave amplitudes since they can still havea " dependence due to partial waves with J > J0. The two s-channel diagrams onlycontribute to the seven helicity contributions that have J0 = 1, since angular momentumconservation in the decay of a spin-1 particle dictates that J = 1. The t-channel diagramon the other hand, can form all nine possible helicity combinations and contributions from

15

別の対称性

バリオン数とレプトン数

バリオン（クォーク）数とレプトン数実験的には成立している。しかし…局所ゲージ対称性に基づいていない（大域的対称性）⇒ 厳密に成り立つ必要がない、たぶん成り立たない

三角異常項軸性ベクトルカレントと2つの極性ベクトルカレント、あるいは、2つの軸性ベクトルカレントの結合π0 → γγなど

カイラルU(1)変換でネーターカレントが保存しなくなる

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図 9: Z0, !0 ! 2"反応に寄与する３角異常項。fはフェルミオン (クォ－クとレプトン)を示す。このループの存在により軸性カレントが保存しない。

しない。軸性カレントはカイラルゲージ対称性の結果として生じるが、このゲージ対称性が大局的であれば問題はない。実際、!0 ! 2"反応にはこの異常項が寄与していることが実験と比較して確かめられている。また、陽子や中性子の質量も大部分は量子異常項の寄与であることが知られている (表 1.1のクォーク質量と陽子質量を比較せよ)。しかし、局所ゲージ対称性の場合はゲージカレントが保存しないことになり、繰り込み不可能という重大事が発生する。Z0 ! 2"はその例である。しかし、標準理論の場合は、各フェルミオンのこの図への寄与は電荷に比例するので、全てのフェルミオンについて和を採ると、

３色 " (Qu + Qd) + Q# + Qe = 3 "2

3+ 3 "

!#13

"+ 0 + (#1) = 0 (36)

となって、三角異常項の寄与の総和はゼロとなり、繰り込み可能性が保証されるのである。レプトンとクォークの寄与が相殺して量子異常が消滅することは、両者の連携が不可欠なことを意味し、同じ家族の一員と見なすのが妥当であることを示す。レプトン-クォーク対応にはこうした重大な意味が隠されていたのであり、レプトンとクォークを同じ多重項に入れる大統一理論の理論的根拠を与える。正当な理論には、量子異常が存在してはならないという要請は、新理論を構成するときの重要な条件である。現代の最先端理論である超紐の理論が、10次元時空のみで成立するという帰結も、量子異常の議論から導かれたものである。

1.13 世代の謎世代の謎はどのように理解されるのであろうか？　アイデアはいくつかあるが定説はないので、数例の文献紹介にとどめる。★歴史的に常に有効であった考え方は、クォークレプトンを素粒子ではなく、より基本的な粒子プレオンの複合粒子であると見なすことである 15) 。標準理論が実験事実と良く合うことから、クォークやレプトンが複合粒子であるにしても、その束縛エネルギースケール

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jµ5 = ψγµγ5ψ

世代と大統一理論

三角異常項が存在すると、保存カレントが成立しなくなり繰り込み不可能になる繰り込み：振幅の計算の際に現れる発散項が消えること

実世界では、各世代ごとにクォークとレプトンの寄与を足し上げるとキャンセルしている正しい理論では、クォークとレプトンは常に対になっていなければならない ⇒ クォークとレプトンを内在する家族（世代）構成は本質的な意味を持っているはずクォークとレプトンが同一粒子の違う状態とみなす大統一理論は自然な論理的帰結

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不連続対称性 - Discrete Symmetry -

今週説明したのは微小変換、つまり連続変換不連続な対称性C, P, T など物理現象を理解するために重要弱い相互作用における P や CP の考察

局所ゲージ対称性 ⇒ 物理法則不連続対称性 ⇒ 物理法則不連続対称性は結果CPT対称性は場の量子論で緩い仮定（ローレンツ不変性など）から導けてしまうので、結果とはいえ重要

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28




28

物理法則 ⇒ 不連続対称性

今回のまとめ

対称性の考察から物理法則を導き出せるゲージ原理局所ゲージ変換に対する対称性の要求から、相互作用の形を規定できる各ゲージ変換ごとにユニークな結合定数U(1)とSU(2)変換に対する対称性をチェックしたSU(2)変換の特徴がLEP実験で検証されている

色々な対称性（一見対称に見える観測事実）があるが、局所ゲージ対称性に基づいていない対称性は、破れていても不思議ではない大統一理論も理論的に自然

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É { ú g¶ É { ú g¶ æ# - Yamanaka Grouposksn2.hep.sci.osaka-u.ac.jp/~kazu/class_2010/par_phys...¹ s 8 0 QUK n!/2¢n T:£s 8 0 A B A B C もうちょっと物理屋っぽく言うと…