Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
α
63°
45°
l1
l2
α 3x
x
3x
KERTAUSHARJOITUKSIA
KULMA
316. a) Samankohtaisista kulmista180 180 45 63 108( )
b) Kolmion kulmien summa on x x2 180 3 180( )
5 180
36
x 5
x
:( )
Kysytty kulma 180 3 180 3 36 72x
Vastaus: a) 108o b) 72o
317. Kulmien summa on x x x x( ) ( ) ( )2 12 140 3 15 360
5x
x
193 5:
38 6,
Kulmat ;x 38 6, 2 12 89 2x , ; 140 101 4x , ; 3 15 130 8,x
Suurin kulma on 130,8o.
Vastaus: Suurin kulma on 130,8o.
318. Kolmas kulma 180 48 67 65
Suurin kulma on 67o
Suurimman kulman komplementtikulma on 90 67 23
Suurimman kulman suplementtikulma 180 67 113 .
Vastaus: Komplementtikulma on 23o ja suplementtikulma 113o.
319. Kulma x: 80 92 180 54 360x ( )
x
80°
°
y54°
70°
92
x 62Kulma y: 54 180 62 70 360( ) y
y 118
Vastaus: x 8
180
62 y 11 ja .
320. Suurin kulma on x, jolloin kulmien x, y ja z summa on
.x y z
Yksi kulma on yhtä suuri kuin kaksi muuta yhteensä, joten x y z .
Tällöin x x 180
x 90Vastaus: Suurin kulma on 90o.
108
YHDENMUOTOISUUS
35 1538
x
321. a) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan
x 38
50
38
35
3,
35 1 330 1 900x
x 16
b) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaanx
40
110
65
110
x
40
25
α
α65 4 400x
x 67 7,
Vastaus: a) b)x 16, 7,3 x 67
322.
Mittakaava Etäisyys (cm)
1:200 000 25
1:75 000 x
Etäisyys luonnossa on suoraan verrannollinen mittakaavaan.
1
00
75 000
2 000
1
25
x
1
200 000
25
75 000200000x
x 66,7
Vastaus: Matka on 66,7 cm.
323. Puun pituus x m.
10 cm
125 m
60 cmx
Yhdenmuotoisista kolmioista
x
125
10
60
1 25060x
x 21Vastaus: Puun korkeus oli 21 m.
109
324. Poikien välinen etäisyys x (cm)
70 cm
5 cm 170 mx
Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan
x
170
70
5900
400
5 11x
x 2
Vastaus: Poikien välinen etäisyys oli 24 m.
325. A5 -arkin lyhyempi sivu on A4 -arkin pidemmän sivun puolikas mm 149 mm.297
2
Arkin mitat ovat 149 mm x 210 mm.
A3 -arkin lyhyempi sivu on A4 -arkin pidempi sivu eli 297 mm.
A3-arkinn pidempi sivu saadaan kertomalla A4-arkin lyhyempi sivu kahdella
210 mm 2 = 420 mm
Vastaus: A5: 149 mm x 210 mm ja A3: 297 mm x 420 mm.
KOLMIOT
328. Kolmiosta ACD saadaan
A
B
C
D
xh
25,68°
46,76°
12,64
ysin ,,
,25 6812 64
12h
64
h 12 64 25 68 5 477, sin , , ...
Sivun AB osa x:
cos ,,
25 6812 64
12x
,64
...x 12 64 25 68 11 391, cos , ,
Osa y: tan , , ...46 76 5 477h
yh
y5 477
46 765150
, ...
tan ,, ...
Kolmion ala on Ax y h( ) ( , ... , ...) , ...
,2
11 391 5 150 5 477
245 31
Vastaus: Kolmion ala on 45,31.
110
A B
C
y xD
α
h45° 30°(1)
(1) (1)(2)2
3( )
( )
329. Kolmion kolmas kulma 180 30 45 105
Kolmio ei ole suorakulma en.in
Muistikolmioista ja kolmiosta BCD
h 1
4 2
h 2x:Sivu
4
x 3
2
x 2 3
Kolm ADiosta saadaan y h 2
AB h 2( )
C
Kolmion ala A2
2 3 2
22 3 2 5 5,
Vastaus: Ei. Ala on 5,5.
30. Pythagoraan lauseella 2
111
x
3,0 cm
5,0 cm
3 3 52 2x
x2 16
x 4
K 6 colmion ala A3 4
2
cm cmm2
2Vastaus: Kolmion ala 6 cm .
31.3
A D
C
α18 cm
130°
x B
Huippukulman puolikas130
265
Kolmiosta saadaan sin 6518
18x
ADC
x 18 65 16 313sin , ...
Kolmion kanta AB x2 2 16 3, 15 33... cm cm
Vastaus: Kanta on 33 cm.
332.
a
α
Kolmion kanta on a, jolloin kylki on 0,75a
Suorakulmaisesta kolmiosta cos,
,
0 5
0 75
2
3
a
a
48
Vastaus: Kantakulma on 48o.
333. Kulmien summa x x x2 3 180
x 30Kulmat ovat 30 , 60 ja 90 , joten kolmio on suorakulmainen ja
voidaan käyttää trigonometrisia funktioita.
b
a
4,0 cm
30°
Sivu a (cm) tan30,4 0
a
a4 0
30
4 0
1
3
4 0 3 6 9,
tan
,, ,
Sivu b (cm) sin30,4 0
b
b4 0
30
4 0
1
2
8 0,
sin
,,
60°
Vastaus: Muut sivut ovat 6,9 cm ja 8,0 cm.
5 m
4 m
x
334. Pythagoraan lauseella x2 24 52
x 3
Kolmion ala A4 3
26
m m m2
Vastaus: Kolmas sivu on 3 m ja ala 6 m2.
335.
1,68 m
4,2 m 17,5 m
x
Puun korkeus x (m)
Yhdenmuotoisista kolmioistax
17 5
1 68
4 2,
,
,
112
4 2 17 5 1 68 4 2, , , : ,x
x = 7,0
Vastaus: Puun korkeus oli 7,0 m.
336. Kolmion piiri x x x 9 0,
x 3 0,
°
h
x
(1)
(2)3)(
Muistikolmion avullah
3 0
3
2,
h3 0
2
, 3
Kolmion pinta-ala 60
A
3 03 0 3
2
2
9 0 3
43 9
,,
,,
dm dm
dm dm2 2
Vastaus: Kolmion pinta-ala on 3,9 dm2.
337. a) Jyrkkyys 6 %
Vaakasuora etäisyys a
0,06 a
a
α
Pystysuora korkeusero on 0,06a
Tällöin tan,
,0 06a
a0 06
3 4,
b) Jyrkkyys 13 %
tan,0 13a
a,0 13
7 4,
Vastaus: a) 3,4o b) 7,4o
B
C
D
x
x +10
a
65°
62°
10 m
338. Kolmiosta ACD : tan62x
a
ax
tan62
Kolmiosta : tan6520x
a
AABC
ax 20
65tan
Merkitsemällä a:t yhtäsuuriksi saadaan
x x
tan tan62
20
65
x xtan tan65 20 62b g
113
x tan tan tan : tan tan65 62 20 62 65 62b g b gx 142 597, ...
Pilven korkeus järven pinnasta 142 597 10 150, ... m m m
Vastaus: Pilven korkeus järven pinnasta on 150 m
339. Pythagoraan lauseella 13 72 2x x( )2
x +7
x169 14 492 2x x x
2 14 1202 0x x
x14 14 4 2 120
2 2
2 ( )
x1
14 34
412 (ei käy)
x2
14 34
45
Kateettien pituudet ovat 5 cm ja 12 cm
Kolmion piiri p 5 12 13 30 cm cm cm cm
Pinta-ala A5 12
230
cm cm cm2
Vastaus: Kolmion piiri on 30 cm ja pinta-ala 30 cm2.
40°
x
600 m
340. Suorakulmaisesta kolmiosta
tan40600
x600
x 600 40tan 500Vastaus: Kraatterin syvyys on 500 m.
2
9,0 cm
x
341. Pythagoraan lauseella x2 29 0 41,
x2 1 600
x 40Vastaus: Pitempi kateetti on 40 cm.
114
344. a) b) c)
6
7
59,0
5,965437 sin 23 2,33sin
tan 67 sin 23 0,921
345. a) b) c)
tan107
1,2342,7 cos111 sin 79 0,4
sin
cos
120,2
13
346. Tasasivuisen kolmion sivun pituus x (dm)
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan xx2
22
22 5
FHGIKJ ,
2,5 dm
x2
3
42 5
3
4
2 2x , : x
x x224 2 5
30
,,
x5
3
Kolmion pinta-ala on A
5
32 5
23 6
dm dm
dm2
,
,
Vastaus: Kolmion pinta-ala on 3,6 dm2.
347. Harpin suurin aukeama on suurimman mahdollisien ympyrän säde.
Aukeamiskulman puolikas135
267 5,
x x
135°αSuorakulmaisesta kolmiosta saadaan
sin ,,
67 5115
x,115
...x 11 5 67 5 10 624, sin , ,
Ympyrän säde 2 2 10 624 21 2x , ... , cm cm
Vastaus: Suurimman ympyrän säde on 21,2 cm.
348.Kaltevuus 1:2,5
(1)
(2,5)
α
Suorakulmaisesta kolmiosta tan,
1
2 5
218,
Vastaus: Katon kaltevuuskulma on 21,8o.
115
349. Neljännestunnissa kuljettu matka
s vt 121
43
km
hh km
Bx
°
°
A
C
D
s
y
38
25
Kolmiosta ABC : tan ( )253
3x
yy
x y( ) tan3 25
Kolmiosta DBC : tan38x
yy
x y tan38
Merkitsemällä x:t yhtäsuuriksi saadaany ytan ( ) tan38 3 25
y(tan tan ) tan :(tan tan )38 25 3 25 38 25
y3 25
38 254 441
tan
tan tan, ...
Lyhin etäisyys x y tan ,38 3 5
Loppumatkaan kuluu ty
v
4 441
12
0 370 22, ...
, ...km
km
h
h min .
Vastaus: Saari näkyy 22 minuutin kuluttua 90o kulmassa. Etäisyys on silloin 3,5 km.
350. Pythagoraan lauseella x x2 2 23 10( )
3
10 –x
x x x2 29 100 20
20 91 20x :
x91
204 55, x
Toinen osa 10 1091
20
109
205 45x ,
Vastaus: Osat 4,55 niveltä ja 5,45 niveltä.
351.
x 1,0 m(2)
(1)60°
3( )
1sin 60
sin 60 1 : sin
1
sin 60
1,15
xx
x
x
x
60
Vastaus: Mittarin metrin tulee olla 1,15 m pitkä.
116
352. Pythagoraan lauseella x2 224 7 0, 2
x7,0 cm
24 cm
x x2 625 0,
x 25Vastaus: Hypotenuusa on 25 cm pitkä.
353. Suorakulmaisessa kolmiossa yksi kulma on 90o
Kysytty kulma x
Kolmas kulma x 30
Kolmion kulmien summa 90 30 180x x( )
x 60Kolmion kulmat ovat 90o, 60o ja 30o.
Vastaus: Kulmat ovat 30o, 60o ja 90o.
354. Pythagoraan lauseella
x
B C
D
450 m
200 m
x2 2200 4502
x .
Matkojen suhde
242 500 492 442, ...
492 442
450 2000 757
, ..., ...
Ero prosentteina 1 0 757 0 242 24%, ... , ...
Vastaus: Matka on 24% lyhyempi.
MONIKULMIOT
355.
B
C
D
P
x
x
x
A
E
F
x
x
Koska säännöllinen kuusikulmio muodostuu kuudesta tasasivuisesta
kolmiosta, niin 5 10x ja kuusikulmion sivu on x 2 0, . Kuusikulmion
piiri on p x 2 0 12, , m 6 6 0 m .
Vastaus: Kuusikulmion piiri on 12,0 m.
h2
356.
h
2,5 dm
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan h , josta
ja kuusikulmioon sisään piirretyn yhden kolmion korkeus on
2 2 22 5 5 0, , 18 75,
117
118
A B
C
hEα α
D
4,0 cm
D
x
h 18 75 4 3, , 30... Kuusikulmion ala on A 65 0 18 75
265
, , dm dm dm2 .
z2 2 24 6 z 52 7 2,
2 2 2h
Vastaus: Kuusikulmion ala on 65 dm2.
357.
Suunnikkaan ala on12 , josta 72h h 6 .
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
sin6
10, josta suunnikkaan pienempi
kulma 37 ja suurempi kulma on
180 143 .
Suorakulmaisesta kolmiosta AED saadaan
10 62 2 2x , josta x 8
BDE
. Tällöin
. Kolmiosta saadaan y 12 , mistä .
A B
D C
α
β
x y
h
E12 cm
z
x 4
Vastaus: Suunnikkaan kulmat ovat 37o ja 143o. Lyhyempi lävistäjä on 7,2 cm.
358.
Suorakulmaisesta kolmiosta ABC saadaan 4 6 , josta
h 20 4,
A kh 4 0
472... . Suorakulmion ala on
. Suorakulmaisesta kolmiosta4 472, , cm 18 cm2... cm E
saadaan sin2
3, josta 0...4181, ja 2 2 41810 84, ... .
AD
Vastaus: Suorakulmion ala on 18 cm2 ja lävistäjien välinen kulma 84o.
359.
Suorakulmion ala . Suorakulmaisesta kolmiosta
saadaan
As 6 8 48
x2 2 26 8 , josta x 10 . Neliön ala .
Alojen suhde on
An 10 1002
A
A
n
s
100
48,
1 083 108%, ...
2 083... Neliön ala on
suurempi kuin suorakulmion ala.2 083 1, ...
x
x6
8
Vastaus: Neliön ala on 108% suurempi kuin suorakulmion ala.
360. Levyjen pinta-ala .
Levyjen hinta on
A 5 0 225 0 31 0 348, , , ... m m m2
h 0 348 30 10 46, ... , euroa euroa .
Vastaus: Levyjen hinta on 10,46 euroa.
B
C
D
y
y
4
α β
A
Pythagoraan lauseella x2 22 24 , josta x 12 2 3 3 5, .
Suorakulmaisesta kolmiosta ABD saadaan sin , josta 2
430 ,
361.
2
jolloin 75 30 45 . Kolmiossa BCD kantakulmat ovat yhtä suuret, joten
cos454
y, josta y 4 45 4 2 8cos ,
1
22 2 .
Nelikulmion ala on A2 2 3
2
2 2 2 2
22 3 4 7 5, .
Vastaus: Sivut ovat 2, 2 2 , 2 2 2,8 ja 2 3 3 5, . Ala on 2 3 .4 7 5,
362.
6 m
3 m
5 m
3 m
Päätyseinän ala on A A Ak s
5 3
25 3 23
m m m m m2 .
Vastaus: Päätyseinän ala on 23m2.
363. Yhden setelin ala on .
Peittyvä pinta-ala on
A 0 12 0 062 0 00744, , , m m m2
Akok
2 3 10
50 00744 3 420 000
9, m 2 2 3 42, ,m km2 .
Vastaus: Setelit peittäisivät 3,42 km2.
364. Olympialippu painoi800
75 1050 101
kg
m m
kg
m2, ...
1 200 kg
. Suurimman lipun massa oli
.80 152 0 101, ... kg
Vastaus: Suurin lippu painoi 1 200 kg.
YMPYRÄ
119
365.
Kaaren pituus on1
22 r 110 , josta
r110
35,
A 90 2 3
014... Kentän pinta-ala on
.5 014 35 014 10 000 1 02 m m m m ha2 2, ... , ... ,
90 m
110 m
r
r
Vastaus: Kentän pinta-ala on 1,0 ha.
r366. Ensimmäisen radan säde r metriä. Toisen radan säde 1 23,
2 2s r
metriä. Koska suorat s
ovat molemmilla radoilla yhtä pitkät, niin ratojen pituuksien välinen ero on
2 2 1 23 2 2 2 2 2 1 23 2 1 23 7 73s r s r s r( , ) ( ) , , , .
Vastaus: Lähtöpaikkojen välinen etäisyys tulee olla 7,73 metriä.
A B
C
21
21
14
14 7
F
E
D
X
367.
Tutkitaan kolmiota ABD .
Sivu AB DF FC 14 7 21.
Hypotenuusa BD BE DE AB DE 21 14 35 .
Pythagoraan lauseella x2 2 221 35 , josta x2 784 ja
28 B. Tällöin C x 28 .x
Vastaus: BC 28
368. Käytetään pituusyksikkönä neliön sivua s.
Pystysakaran ala ilman kaarevia osia on 8 neliön ala eli 8s2.
Vaakasakaran ala ilman kaarevia osia on 2 neliön ala eli 2s2.
Kaarevan osan ala saadaan vähentämällä neliön alasta neljäsosaympyrän
alan .s s2 21
4Kaarevien yhteisala on
51
45
5
45
5
4112 2 2 2 2 2F
HGIKJ
FHG
IKJs s s s s s,
6,0 cm
Kirjaimen kokonaisala 8s2 + 2s2 + 1,1s2 = 11,1s2
Vastaus: Ala on 11,1
369. Ala on
A A A A Aisopy pienipy pienipy isopy
1
26 0 572( , ) cm cm2 .
Vastaus: Ala on 57 cm2.
370. Oven ala
Aovi 2 10 3101
21 05 8 2412, , ( , ) , ...m m m m2 .
2,10 m
40 cm
40 cm
Lasin ala Alasi 6 0 401
21 05 2 6912 2( , ) ( , ) , ...m m 2 m .
1,05 m
3,10 mAlojen suhde
A
A
lasi
ovi
2 691
8 2410 33 33%
, ...
, ...,
m
m
2
2.
Vastaus: Ovesta on 33 % lasia.
120
371.
Ikkunoiden pinta-ala on . Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
, josta 0 ja r
A A Asuorakulmio segmentti
2 2 2)r r 36 0 63 0, ,r r0 60 0 315, ( , 0992252 2, r 0 728, ... .
Tällöin sin , josta ,
,
0 6
0 7 ...
0
2855 398, ... ja 2 110 797, ... .
1,20 m
1,30 m
0,60 m
r= 0,315 m
0,315 m
r
α
Segmentin ala on
2
2
segmentti sektori kolmio
110, 797... 1, 20 m (0, 728... m 0, 315 m)(0, 728... m)
360 2
0, 265... m
A A A
Koko ala on .A 1 20 1 30 0 265 182, , , ... , m m m m2 2
Vastaus: Ikkunoiden ala on 1,82 m2.
84 cm
56 cm
1,20 m
372. Lasimaalauksen pinta-ala
A 9 0 56 1 201
20 84 7 22, , ( , ) , m m m m2 .
Vastaus: Ala on 7,2 m2.
373. Pienen ympyrän ala on , josta r 2 6 0, r6 0,
. Suuren
ympyrän säde on R r5 56 0,
. Ison ympyrän ala on
A RFHG
IKJ
2
2
56 0
256 0
150, ,
cm cm cm2 2 .
Vastaus: Ison ympyrän ala on 150 cm2.
374.
r
r–5
20 cm
5,0 cm
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan , josta 20 52 2( )r r2
400 10 252 2r r r ja r 43 .
Vastaus: Alkuperäisen ruukun säde on 43 cm.
121
375. Leikkausalue koostuu kahdesta segmentistä.
Segmentin ala on A A Asegmentti sektori kolmio .
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan
cos
1
2 1
2
r
r, josta 60
2 120
ja sektorin
keskuskulma . Pythagoraan lauseella
x r
221
2r2 F
HGIKJ , josta x r
3
4
2 2 ja x3
2r . Tällöin segmentin ala on
A r
23
2r r
rFHG
IKJ
120
360
1
2
2 3
3
4
2 2segmentti ja kysytyn alueen ala on
A Asegm rentti rFHG
IKJ
2
3
3
21 232 2,2 .
rx
α
α 12
r
Vastaus: Leikkausalueen ala on 2
3
3
21 232 2
FHG
IKJ
r r, .
376.
1
1
x
Kolmion ala Ak
1 1
2
1
2. Pythagoraan lauseella 1 12 2 2x , josta
kolmion hypotenuusan pituus on x 2 . Kuun sirpin ala saadaan
vähentämällä puoliympyrän alasta segmentin ala. Puoliympyrän ala
Apy
FHGIKJ
1
2
22
2 4. Segmentin ala on
A A Asegmentti sektori kolmio
90
3601
1
2 4
2 1
2. Kuun sirpin ala
on A A Asirppi py segmentti
FHGIKJ4 4
1
2
1
2.
Vastaus: Kuun sirpin ala on ja kolmion ala on1
2.
1
2
PALLO
377. Puolipallon säde rd
27 0, m . Puolipallon pinta-ala on
A r1
24
1
24 7 0 98 3082 2( , )m m m2 2 . Koska grammasta kultaa voidaan
takoa neliömetrin suuruinen levy, niin kultaa tarvitaan 308 g.
Vastaus: Kultaa tarvitaan 308 g.
122
378. Veden määrä V A .h r h2
34
2
34 6 370 0 00018 61 0002 2
km km km3b g ,
Vastaus: 61 000 km3
379.
R
R x
100 m
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan , josta
ja .
x2 2 26 370 6 370 1,
x2 1 274 35 7,01, x
Vastaus: Saaren etäisyys on 35,7 km.
380.
Suorakulmaisesta kolmiosta
cos ,6 370
6 370 20 2000 239... , josta 76 128, ... .
Säteen pituus
R r360
276 128
3602
,6 370 8 500 km km .
R
6370 km
6370 km
20 200 km
αVastaus. Alueen säde maan pinnalla on 8 500 km.
381. a) Lennetään nopeammin kuin maapallo pyörii.
b) Koska paikkakuntien aikaero on 5 h ja saapumisaika
on tuntia ennen lähtöaikaa, on lentoaika 5 h 1 h = 4 h.
c) Keskinopeus on vs
t
5 900
41500
km
h
km
h.
Vastaus: Keskinopeus on 1 500 km/h.
Rx
5 000 km
h382.
Pythagoraan lauseella , josta
Etäisyys maan pinnasta on
x2 25 000 6 3702
956, ...x 8 097
h x R 8 0 00 km.97 956 6 370 1 7, ... km km
Vastaus: Etäisyys maan pinnasta on 1 700 km.
123
383.
r–4,2
r
4,2 cm
7,5 cm
Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan , josta
ja
7 5 4 22 2, ( , )r r 2
2 2,56 25 8 4 17 64, ,r r r r73 89
8 48 8
,
,, .
Vastaus: Pallon säde oli 8,8 cm.
384. Hillan massa1 096 €
0, 00652 kg 6, 52 g€
168 000kg
m . Koska 1 dm3 hilloja
painaa 1 kg = 1000 g, niin hillan tilavuus on . Hillan säde on0 00652 6 52, , dm cm3 3
4
3
3r 6 52, , josta r ja3 6 52
4
, 3r .3
6 52 3
41 2
,,
Vastaus: Hillan massa on 6,5 g, tilavuus 6,5 cm3 ja säde 1,2 cm.
385. Koska tiheys m
V, niin tilavuus V . Rakeen säde
on
m 1
0 917
1 090 kg
kg
dm
dm
3
3
,
, ...
4
3
3r 1 090, ... ja r1 090 3
40 643
, ..., (dm) .
Vastaus: Rakeen tilavuus oli 1,1 dm3 ja säde 6,4 cm.
124
LIERIÖ
125
0
400
00
000
000
0 200, ,
386. R03: V = (mm3)5 25 43 3702,
R6: V = (mm3)7 0 48 72,
R14: V = (mm3)12 5 48 24 02,
R20: V = (mm3)16 5 57 492,
6LR61: V = 25 (mm3)15 44 17
387. Yksikkömuunnos 200 l = 0,200 m3
r = pohjaympyrän säde
r 2 1 20
r0 200
1 200 2
,
,, 30...
Pohjaympyrän halkaisija on 2r 0,46 (m).
Vastaus: 0,46 m
388.
9,
Yksikkömuunnos 25 cm = 2,5 dm
A A AP V2 2 1 0 2 1 0 2 5 21 99 222, , , , (dm2)
V A hP 1 0 2 5 7 85 72, , , (dm3)
Vastaus: 7,9 dm3, 2 200 cm2
389. Yksikkömuunnokset 0,001 mm = 0,000001 m ja 2 km2 = 2 000 000 m2
2 32000000 m 0,000001 m 2,0 mV A h = 2 000 l
Vastaus: 2 000 l
390. a) kehän pituus p 2 6 0 37 699 37 7, , ,
b) Levyn ala- ja yläpuoli saadaan kahden ympyrän alojen erotuksena. Lisäksi lasketaan
levyn ulko- ja sisäreunan ala, jotka ovat lieriöiden vaippoja. Lieriön korkeus on levyn
paksuus 1 mm = 0,1 cm
A 2 6 0 0 75 2 6 0 0 1 2 0 75 0 1 2302 2( , , ) , , , ,
c) tilavuus V 2 26,0 0,10 0,75 0,10 11,133...
tiheys15 0
1 3,
, g
11,133...cm g / cm
3
3
Vastaus: a) 37,7 cm b) 230 cm2 c) 1,3 g/cm3
391.63 948 10
5,640 100,700
m 9V ( dm3)
2 2 )r: (V r h
9 3 6 3
2
6 3
2
20,0 m5,640 10 dm 5,640 10 m , 10,0 m
2
5,640 10 m18000 m = 18 km
(10,0 m)
Vh V r
r
h
Vastaus: 18 km
392.12
12
3
2 10 kg2,857... 10
0,700 kg/dm
mV dm3 = 2,857… 109 m3
2 2 )r: (V r h
9 3
2 2
2,857... 10 m9 100 000 m = 9100 km
(10,0 m)
Vh
r
Vastaus: 9 100 km
393. Kiven tilavuus on yhtä suuri kuin lieriön, jolla on sama pohja kuin vesiastialla ja
korkeutena 2,0 cm.
V A hp 5 0 2 02, , 160 (cm3)
Vastaus: 160 cm3
394. Yksikkömuunnos 0,5 l = 500 cm3
2 3
2
2
500 cm , 15 mm = 1,5 cm
500 1,5 : 1,5
500
1,5
V r h V h
r
r
500
1,
10,300...
r
r
5
cm
2r 21 cm
Vastaus: 21 cm
395. 2,4 kg:n nestemäärän tilavuus on 1 dm3
2,0 kg:n nestemäärän tilavuus on2,0
2, 4 dm3 = 0,8333… dm3 = 833,3… cm3
Lasketaan lieriön korkeus h
126
3 2833,3 cm , 90 cm
833,3... 90 :90
833,3...9,3
90
V Ah V A
h
h
Vastaus: 9,3 cm
396. Poistettavan maan tilavuus V 10000 0 5m m = 5000 m2 3
,
Vlöyhtynyt 1 6 5000 8000, m m3 3
Kuormia8000
15530
Vastaus: 530 kuormaa
397. Kokonaisala on seinien ala vähennettynä ovien ja ikkunoiden alalla.A 2 4 5 2 8 2 3 8 2 8 5 0 41 48, , , , , ,
Maalataan kahteen kertaan
4,5
3,8
2A = 82,96
Maalia82 96
8 0
,
,10 litraa
Vastaus: 10 l2,8
398. Kuution särmä a
Maapallon tilavuus 34(6380 km)
3
a4
3
3 36380
a4
36380 1033 300 km
Vastaus: 10 300 km
399. V3
37 km 295 km 0, 040 km 436, 6 kmnäkyvä
Näkyvä osuus on kymmenesosa koko vuoresta, joten
Vkok 10 436 6 4366 44, 00 ( km3)
V Vvesi kok 0 92 4366 0 92 4016 72 4 000, , , (km3)
V
V
vesi
kulutus
4016 72
3 24 10
4016 72
32401 24
12
,
,
,,
km
m
km
km
3
3
3
3
1,24 vuotta 1 v 3 kk
Vastaus: Tilavuus 4 400 km3, veden tilavuus 4 000 km3 ja se vastaa 1 v 3 kk:n kulutusta.
127
128
m400. h 1200 0 1, mm = 120 m
3 30, 210 m 0, 207 m 0, 0001 m 1000000 = 6, 237 m 6,3mV
20, 210 m 0, 297 m 1000000 62370 mA
m A 80 62 370 80 g / m g 5000 kg2
Vastaus: 12 cm, 6,3 m3, 5 000 kg
401. 19,3 103 kg:n kultamäärän tilavuus on 1 m3
25 kg:n kultamäärän tilavuus on 3
3
25m 0,001295... m
19,3 10
3 = 1 295,0…cm3
Kultaharkon pituus eli lieriön korkeus h
5,0 9,01 295,0..., 5,4
2
5,0 9,01295,0... 5, 4
2
1 295,0... 37,8 : 37,8
1 295,034
37,8
V A h V A
h
h
h
Vastaus: 34 cm
402. a) Vsuklaa
4
35 0
500
3523 53, , ...
b) Palloja on rasiassa 8 kpl ja jokaisella sivulla on 2 palloa rinnakkain jolloin niiden säde
on10,0 cm
2,54
cm
Vsuklaa 84
32 5
500
3523 53, , ...
c) Palloja on rasiassa 27 kpl ja jokaisella sivulla on 3 palloa rinnakkain jolloin niiden säde
on10,0 cm
63
4 10,0 50027 523,5...
3 6 3suklaaV
Vastaus: a) 524 cm3 b) 524 cm3 c) 524 cm3
403. 10 cm palloja mahtuu 3 rinnakkain, joten niitä mahtuu yhteensä 3 3 3 27
Vtyhjä1 = Vkuutio – Vpallot = 30 274
35 0 12862 833 3, , ... cm3 12,9 dm3
5,0 cm palloja mahtuu 6 rinnakkain, joten niitä mahtuu yhteensä 6 6 6 216
Vtyhjä2 = Vkuutio – Vpallot = 30 2164
32 5 12862 833 3, , ... cm3 12,9 dm3
Vastaus: Molemmissa 12,9 dm3
404. Lieriön tilavuus V r 2 25,0 32 800h
Lasketaan lieriöiden pohjien säteet.2
2
:V r h
Vr
h
Vr
h
h
2
800
16r 50
3
800100
8r 10
4
800
4r 200
5
800400
2r 20
Peräkkäisten lieriöiden säteiden suhteet
2
1
501,
5
r
r414...
3
2
101,
50
r
r414...
4
3
2001,
10
r
r414...
5
4
201,
200
r
r414...
Vastaus: Peräkkäisten lieriöiden säteiden suhde on vakio 1,414…
405. Koska korkeuden ja pohjan halkaisijan suhde on 1:2, ovat korkeus ja pohjan säde yhtä
suuret.
h
h
V Ah h h h2 3
6 28,h3
h6 28
3,
A hpohja
FHGIKJ
2 3
2
6 284 985
,, ...
129
A h hvaippa
FHGIKJ
2 26 28
9 9703
2
,, ...
Akok 4 985 9 970 15, ... , ... 0, (m2)
Vastaus: 15,0 m3
406.
0,9x
0,8x
x
x = särmiön pituus
A x x x x x x x2 0 8 2 0 8 0 9 2 0 9 4 84 2, , , , ,
4 84 2, x 484
x2 100
0
x = 10
V x x x0 8 0 9 8 0 10 9 72, , , (cm3)
Vastaus: 720 cm3
407. m V
mpallo
4
30 5 2 23, , 103
03
kg = 1 151,9... kg
mjalusta 0 65 115 115 2 2 1, , , , = 1 891,1... kg
Jalustan sisällä olevan pallosegmentin massa
msegm
FHG
IKJ1 00 0 67 0 5
0 33
32 2 10
2 3, , ,,
,b g =293,5... kg
mkok 18911 1151 9 293 5 2 700, ... , ... , ... kg
Vastaus: 2 700 kg
408. a) 2 2 6 25 39 26 39rulko , , ...
b) 2 2 2 15 13 50 14rsisä , , ...
Kerroksen paperimäärän keskiarvo =39 26 13 50
226 38
, ... , ..., ...
Kerroksia yhteensä62 5 215
0 15273 3
, ,
,, ...
Paperia yhteensä 273,3... 26,38 cm 7 200 cm = 72 m
Vastaus: a) 39 cm b) 14 cm c) 72 m
409.V
V
r
r
pallo
kuutio
4
3
20 5235
3
3b g, ...
joten ulkopuolelle jää 100 % 52,35…% 47,6 %
Vastaus: 47,6 %
130
KARTIO
410. Yksikkömuunnos 1,25 m = 125 cm
131
2180
Kartion korkeus h
h2 2125
2 2125180h
h = 129,5...
2 2 31 1(125 cm) 129,5... cm 2120000 cm 2,12m
3 3V r h 3
22 2(125 cm) 125 cm 180 cm 120 000 cm 12, 0 m
pohja vaippaA A A
Vastaus: 2,12 m3, 12,0 m2
411. Yksikkömuunnos 1,2 dm = 12 cm
Kartion sivujana s
s2 = 262 + 122
s 820
s = 28,63...
A rsvaippa 12 28 63 1100, ... (cm2)
tan26
1265
Vastaus: 1 100 cm2, 65
412.
2 3
2
2
2
125,0 dm , 15,0 dm
3
125,0 15,0 3
3
75,0 15,0 : (15,0 )
75,0
15,0
75,0
15,0
1,2615...
V r h V h
r
r
r
r
r
Pohjan halkaisija
2 2 5r , dm
Vastaus: 2,5 dm
413. Kyseessä on neliöpohjainen pyramidi, jonka sivutahot ovat tasasivuisia kolmioita.
Tasasivuisen kolmion korkeusjana a
a2 + 52 =102
a 75
5
a
10
a = 8,66...
A 10 10 41
210 8 66 27, ... 0
Pyramidin korkeus hh2 + 52 = a2
h 752
e j 25
h 50 7 07, ...
V A h1
3
1
3100 7 07 24, ... 0
Vastaus: Ala 270, tilavuus 240
414. Kyseessä on ympyräkartio, jonka sivujana on 2,4 m.
72°
2,4 mAvaippa
72
3602 4 3 61912, , ...
Kartion pohjaympyrän kehän pituus
272
360r 2 2 4,
...
r = 0,48
Apohja = r 2 20 48 0 7238, ,
Akok = 3,6191…+ 0,7238… 4,3 (m2)
Kartion korkeus h
h2 + 0,482 = 2,42
h 5 5296 2, ,351...
V1
30 48 2 351 02, , ... ,57 (m3)
Vastaus: 4,3 m2, 0,57 m3
415. Kartion sivujana 5,0
Pohjaympyrän kehän pituus1
210 0 5 0, ,
Pohjaympyrän säde r2 5 0r ,
r = 2,5
Kartion korkeus h
h2 + 2,52 = 5,02
h 18 75 4 3, , 30...
132
V1
32 5 4 3302, , .. 28. (cm3)
Vastaus: 28 cm3
416. Pyramidin korkeus h
h2 + 40,02 = 120,02
h 12800
h = 113,13...
V1
380 0 11313 241002, , ... 0 (cm3) = 241 (dm3)
A = Apohja + Avaippa = 80 (cm2)41
280 0 120 0 256002 , ,
Vastaus: 241 dm3, 25 600 cm2
417. Sivutahkokolmion korkeus a
a2 + 11,52 =232
a 396 75,
a = 19,91...
Pyramidin korkeus hh2 + 11,52 = a2
h 396 75 1152, ,
h 264 5 16 2, , 63...
V1
323 16 263 22 , ... 900 (cm3)
A 23 41
223 19 91 142 , ... 00 (cm2)
Vastaus: 2 900 cm3, 1 400 cm2
418. Hiekkaa tunnissa cm3 = 60 cm360 1 0,
Kartion korkeus h
1
3
2h h 60 0,
h180
3 3 9, (cm)
2,2 dm
15,2 cm
Vastaus: 60 cm3 ja 3,9 cm
419. Yksikkömuunnos 2,2 dm = 22 cm
Suppilon kartio-osaan mahtuvan öljyn tilavuus V cm3 = 1
300,69... cm3 = 1 330,69... ml
1
37 6 222,
Suppilo täyttyy nopeudella 150 ml/s – 50 ml/s = 100 ml/s
133
Täyttyminen kestää1330 69
100
, ... s 13 s
Vastaus: 13 s
2,6
1
1,6
26,7
h420. Yhdenmuotoisista kolmioista
h h1 1
1 6,
26 7
2 6
,
,
2,6 h1 = 1,6h1 + 42,72
h1 = 42,72
Alaosan katkaistun kartion tilavuus
V12 21
32 6 42 72 26 7
1
31 6 42 72 119 972, , , , , ,b g
Yläosan kartion tilavuus
V221
31 6 2 9 3 48, , , 9...
Vkok = 119,972 + 3,489... = 123,461...
m V 123 461 2 7 10 3300003, ... , kg kg = 330 t
Vastaus: 330 t
421. Katkaistut pyramidit
Koska katkaistut pyramidit ovat kuution sisällä symmetrisesti vastakkain, on katkaistun
pyramidin korkeus on ison kuution särmä –1
2pienen kuution särmä = 8,0 m
3,4 m = 2,3 m.
1
2
1
2
1
2
8,0
h3,44
2,28
Kokonaisen pyramidin korkeus:
2,3
3,48,0
h h
3,4 h = 8,0 h – 18,4
h = 4
2 21 18,0 4 3, 4 4,0 2,3 78,78...
3 3katkpyrV (m3)
Katkaistun pyramidin sivutahkot ovat puolisuunnikkaita,
joiden kannat ovat 8,0 m ja 3,4 m.
Koska puolisuunnikkaat ovat kuution pohjalävistäjän suuntaisesti, puolisuunnikkaan
korkeus saadaan kuutioiden pohjalävistäjien avulla:
Ison kuution pohjan lävistäjä on 8,0 m (neliön lävistäjä on2 , jossa s on neliön
sivu)
2s
Pienen kuution pohjan lävistäjä 3,4 m2
134
Kun ison kuution pohjalävistäjästä vähennetään pikkukuution pohjanlävistäjä saadaan
kahden puolisuunnikkaan korkeus ja yhden puolisuunnikkaan korkeus on
8,0 2 3,4 23,
2252...
Puolisuunnikkaan muotoisia ja 20 cm paksuisia sivutahkoja on 8 kpl.
8,0 3,48 3, 252... 0, 20 110
2kok alin pyramidiV V (m3)
m V 110 2 0 103, kg 220000 kg = 220 t
Vastaus: 220 t
422. Oktaedrit koostuvat kahdesta neliöpohjaisesta pyramidista.
Pyramidien pohjaneliöiden lävistäjät ovat 5 , 102 ja 202 2
Pyramidien korkeudet:
h12
2
5 2
2
25FHGIKJ
h1 2525
2
h1 = 3,535...
h22
2
10 2
2
210FHGIKJ
h2 100 50
h2 = 7,071...
h32
2
20 2
2
220FHGIKJ
h3 400 200
h3 = 14,142...
Vkok 101
35 3 535 2
1
310 7 071 2
1
320 14 142 45002 2 2, ... , ... , ... (cm3)
Vastaus: 4 500 cm3
135
YHDENMUOTOISTEN KUVIOIDEN JA KAPPALEIDEN PINTA-ALOJEN JA
TILAVUUKSIEN SUHDE
423. Maalin kulutus m on suoraan verrannollinen pinta-alaan A:2
1
16
38
0,15
m
20,15 16 38,4m (cl) = 3,8 dl
Vastaus: 3,8 dl
424.
31
322500 l
V
3
2500 l0,
32V 076 l = 76 ml
Vastaus: 76 ml
425.
33
4
0,2 l
V
3
3
0,2 l 4
3V 0, 47 l
Vastaus: 0,47 l
426. k 2 1 25
500000
,
000
k1 25
5 0 10
1
4 10
1
20008 8
,
, 0
Vastaus: 1 : 20 000
427. k 3 2 4
300000
1
12500
,
0
k1
1250003
1
50
Vastaus: 1 : 50
428. Massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen:
160
m
1
20
3FHGIKJ
m = 160 203 g = 1 280 000 g = 1 280 kg
Vastaus: 1 280 kg
136
GEOMETRIAA KOORDINAATISTOSSA
429. a) PFHG
IKJ
12 16
2
8 8
22 8, ,b g
d 16 12 8 82 2
( )b g b g 28
b) PFHG
IKJ
0 14
2
6 8
2, ,7 7b g
d 14 0 8 6 200 14 12 2b g b g ,
c) PFHG
IKJ
2 7
2
2 1
24 5 0 5, ,b g; ,
d 7 2 1 2 34 52 2
( ) ( ) ,b g b g 8
Vastaus: a) (2,8) , 28 b) (7,7) , 200 14 1,
c) (–4,5 ; –0,5), 34 5 8,
430. a) PFHG
IKJ
4 5 3
2
15 3
20 75 6
, ( ),
( ), ;b g
d 3 4 3 15 373 19 32 2
) ,b g b g
b) PFHG
IKJ
0 12
2
12 4 5
26 8 25
( ),
,; ,b g
d 12 0 4 5 12 200 25 14 22 2
) , , ,b g b g
c) PFHG
IKJ
0 12
2
14 3
26 5, ; 5,b g
d 12 0 3 14 433 20 82 2
) ,b g b gc hVastaus: a) (0,75; 6), 19,3 b) (–6; 8,25), 14,2
x
y
B
A
C
c) (6, –5,5), 20,8
431. A1
23 3 4 5,
1
3
18,4
tan
2
3
33,7
tan
137
138
,6
,3
90 18,4 71B
90 33,7 56C
180 (71,6 56,3 ) 52,1A
Vastaus: Ala 4,5 ja kulmat 52,1 ,56,3 ja 71,6
125°
l1
l2
9
HARJOITUSKOE 1
1. a) 55 ja 125
b) 180 , 90 = 60 , = 30 ja (30 55 )
180 (30 95 ) 55
5 30 90 60
c) d 5 2 7 12 2b g b g 45 P
FHG
IKJ
2 5
2
1 7
23 5 4, , ;b g 30°
55°2. a) 2 2
2
10 (2,0 cm) 12,6 cmA
2 2
1 (20,0 cm) (18,0 cm) 240 cmA
50°
20,2 m
b)50
2 20, 2 m 17,6 m360
b
2 250(20,2 m) 178 m
360A
Vastaus: a) 12,6 cm2, 240 cm2 b) 17,6 m, 178 m2
3. a) sin305
x
30°
5,0x
x 5 30sinx = 2,5
b) cos40,4 0
c
c4 0
40
,
cos5 2,
40°
c
4,0
c) tan,
,
8 0
5 0
58 0,
Vastaus: a) 2,5 b) 5,2 c) 58
8,0
5,0
α
4. a) tan42,218
h
42°
21,8
h 218 42, tan 19 6,h
Vastaus: 19,6 m
5. V = Ah
AV
h
1000
0 000110000000 1000
cm
cm cm m
32 2
,= 10 a
Vastaus: 10 a
6. Kartion sivujana s
s2 250 0 24 0, ,
s 2516 50 15, 9...
A rsvaippa 4 0 50 159 630 32 630, , ... , ...
V1
34 0 50 02, , 840
Maalia tarvitaan630 32
5126
, ...(l).
Maalin kulutus m on suoraan verrannollinen pinta-alaan, pinta-alojen suhde on
mittakaavan neliö.2
,0
000
30
126 5
m
2
2
30,0 126 l0,0045 l =4,5 m
5000m l
Vastaus: A = 630 m2, V = 840 m3. Maalia kuluu pylvääseen 126 l ja pienoismalliin 4,5 ml.
7. a) Kuutio, jonka särmä on pallon halkaisijan 2 9,5 cm = 19 cm suuruinen.
b)V
V
pallo
kuutio
4
39 5
190 523 52 3
3
3
,
, ... , ...% . Tyhjää tilaa jää 100 % – 52,3... % 48 %.
c) d = 19 19 19 322 2 2 9,
Vastaus: a) Kuutio, jonka särmä on 19 cm. b) 48 % c) 32,9 cm
8. a) Pituuspiirin kaaren pituus b60 2 40 8
3602 6 380 2160
, ,
b) Paino on suoraan verrannollinen tilavuuteen, tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio
139
m
5 977 10
0 18
638000021,
,3F
HGt
IKJ
m5 977 10
6 380 0000 134
21
3
,,
t 0,18 t = 134 kg
3
62°
l1l2
Vastaus: a) 2 160 km b) 134 kg
6
HARJOITUSKOE 2
140
1. a) 2 , 118
b) = 180 – 56 (tangenttikulmaa vastaava
ke
= 124
skuskulma)
= 90 (tangentin ja säteen välisenä kulmana)
62 (kehäkulma on puolet vastaavasta
keskusk
90
2
ulmasta)
(tangentin ja säteen välisenä kulmana)
2. Keskusku an ja kehäkulman suhde on 2 : 1, joten keskuskulma on80
α
β
γ
δ
56°
lm2 40
Sektorin ala 28026 470
360A
astausV : 470
verrannollinen tilavuuteen ja tilavuuksien suhde on mittakaavan
kuutio.
°
26
40
3. a) Massa on suoraan
0 5,
m
1
18
3FHGIKJ
2 900 (g) = 2,9 (kg)
b) Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö
0 5 183,m
A
A
kol
str
FHGIKJ
1
18
2
Akol
astaus
A Astr kol 18 3242
V : a) 2,9 kg b) Alaltaan 324-kertainen
4. tan ,5 020
h
h 20 5 0tan , 1 7,
Vastaus: 1,7 km
5. a) A rp2 21 0 31, ,
b) h2 + 1,02 = 1,22
h 0 44 0 6, , 63...
V r h1
3
1
31 0 0 663 0 62 2, , ... , 9
3 8,c) A rsvaippa 1 0 1 2, ,
Vastaus: a) 3,1 m2 b) 0,69 m3 c) 3,8 m2
6. Lasketaan kahden pallon tilavuuksien erotuksena
VFHG
IKJ
2
3
4
36370 0 00001
4
36370 3400
3 3,b g
Vastaus: 3 400 km3
7. Kanta x
152 1 5x x,b g
x
hx +1,5 x +1,5
3x =12
x = 4
Kolmion korkeusjana h puolittaa kannan 4,0.
h2 + 22 = 5,52
h 26 25 5, ,12...
A1
24 512, . 10..
Vastaus: 10 cm2
6370α
h
6370
8. a) Pituuspiirin kaaren pituus
b
6226
6060
9
60
36040000 254
b)
62 26 60 9 2 17 217
60' ' '
cos217
60
63
6370
70
h
141
6370 217
606hb gcos 370
h
6370 6370 217
60
217
60
cos
cos
51,
Vastaus: a) 254 km b) 5,1 km
102°25°
67°α
HARJOITUSKOE 3
17 x
20
40
1. a) =180 – (180 – 102 – 25 ) = 127
b) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan verranto
40
17
60
x x
6040 17 40x x x = 34
Vastaus: a) 127 b) 34
2. Ala A1 muodostuu neliöstä ,josta on leikattu 2,5 –säteinen neljännesympyrä.
A1 2 51
4
2 22 5, ,
A1
2,5
2,5
5,0
Avarj = 5,02 – 8A1 14
Vastaus: 145,0
3. a) Alojen suhde on mittakaavan neliö
120
A
6
6 12
2FHGIKJ
A120 72
36
2
1 7, (m2)
b) Paino on suoraan verrannollinen tilavuuteen ja tilavuuksien suhde on mittakaavan
kuutio.
m
85
6
6 12
3FHGIKJ
m85 6
72
3
30 049, kg = 49 g
Vastaus: a) 1,7 m2 b) 49 g
142
4. sin ,8 3,1 0
x
x1 0
8 3
,
sin ,6 9, (m)
Vastaus: 6,9 m
5. V (m3)0 8 2 1 0 32 0 53, , , , 76
m V 0 5376 2 7 10 15003, , kg < 2 t eli voidaan nostaa
Vastaus: Kyllä.
6370α
0,0016
6370
6. Oletetaan, että silmät ovat 1,6 m korkeudella.
cos,
6 3
6 370
70
0016
60, ...0 040
b0 04060
3602 6 370
, ...5 km
Vastaus: noin 5 km
7. Sivutahkokolmion korkeus aa2 + 102 = 252
a2 = 525
Pyramidin korkeus h
h2 + 102 = a2
h 425
h = 20,615...
V1
320 20 615 2 72 , ... 00 (m3)
tan20, ...615
1064
Vastaus: 2 700 m3, 64
143
8.(3,4) (9,4)
(7,1)(1,1)
P
d1d2
h
a)
d1
2 29 1 4 1 73 8 5b g b g ,
d2
2 27 3 1 4b g b g 5
b) PFHG
1 9
2,IKJ
4 1
2= (5 ; 2,5)
c) Suunnikkaan kanta a = 7 1 = 6
Suunnikkaan korkeus h = 4 1 = 3
A a h 6 3 18
Vastaus: a) ja 5 b) (5 ; 2,5) c) 1873
144