1

Л.О.Д.У. с постоянными коэффициентами

Лекция 3

2

Линейные однородные дифференциальные

уравнения с постоянными коэффициентами

второго порядка

• Рассмотрим линейные однородные

дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами второго порядка

где p, q – действительные числа.

• Будем искать решения уравнения в виде

0, (4)y py qy

.xy e

3

Характеристическое уравнение

• Подставляя в уравнение, получаем

• Следовательно , параметр удовлетворяет

квадратному уравнению

которое называется характеристическим

уравнением для уравнения (4).

Квадратный трёхчлен называется

характеристическим многочленом уравнения (4).

2 2( ) 0.x x x xe e e ep q p q

2 0, (5)p q

22( )R p q

4

Случай действительных различных

корней.

• Если характеристическое уравнение имеет два

действительных различных корня

то получаем два решения уравнения (4)

• Решения (6) линейно независимы для

Действительно, определитель Вронского для решений

(6)

•

1 21 2

, . (6)y e y ex x

.x

1 2

1 22 1

1 21 2

(( )

)( ) 0.

x x

x xW x e

e e x

e e

1 2,

5

Фундаментальная система решений в

случае действительных различных

корней

• По теореме 3 функции

линейно независимы, следовательно, образуют

фундаментальную систему решений уравнения (4).

• По теореме 4 общее решение имеет вид

1 21 2

,y e y ex x

1 21 2

. (7)y C e ex x

C

6

Пример 1

Найти общее решение уравнения

2 0y y

7

Случай действительных кратных

корней

• Если характеристическое уравнение имеет один корень

то получаем одно решение

уравнения (4)

• В качестве второго решения рассмотрим функцию

01 2,

.01

xy e

.02

xy xe

8

• Покажем, что

• Где , т.к. квадратный

трёхчлен имеет равные корни

,

2( ) ( )2 0

2( ) 2 ( ) 00 0

0

x x xL xe L e L e

x xe R e

x xxe e

если

2 22 0( ) ( )R p q

01 2.

] 0.0[x

L xe

9

Фундаментальная система решений в

случае действительных кратных корней

• Функции

• линейно независимы, т.к. равенство

• возможно только при нулевых . Таким образом,

функции (8) образуют фундаментальную систему решений. По

теореме 4 общее решение имеет вид

0 01 2

, . (8)x x

y e xey

0 0 01 1 2 2 1 2 1 2

)( 0.x x x

C y C y C e C xe C C x e

1 2,C C

0( )1 2

xy C C x e

10

Пример 2

• Найти общее решение уравнения

4 4 0y y y

11

Случай комплексных корней

• Если характеристическое уравнение имеет

комплексные корни

то получаем два комплексных решения уравнения (4)

2, 1,1,2

i i

( ) ( ), .1 2

i x i xy e y e

12

Действительные решения

• Используя формулу Эйлера

• получим действительные решения

,cos sinie i

1( )

1 1 221

( (cos sin ) (cos sin ))2

cos

1( ) sin

2 1 22

y y y

x xe x i x e x i x

xe x

xy y y e xi

13

Фундаментальная система решений в случае

комплексных корней

• Решения

• являются фундаментальными. Это следует из

линейной независимости функций ,

• для которых определитель Вронского отличен от нуля

1 2cos , sin (9)x xy ye x e x

cos , sinx x

2 2coscos sin

( ) ( sin ) 0sin cos

xx x

W x xx x

14

Общее решение Л.О.Д.У. второго

порядка в случае комплексных корней

• Общее решение по теореме 4 имеет вид

• Пример 3. Найти общее решение уравнения

( cos sin ).1 1 2 2 1 2

xy C y C y e C x C x

4 5 0y y y

15

Линейные однородные дифференциальные уравнения

с постоянными коэффициентами порядка

• Рассмотрим фундаментальные решения линейных

однородных дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами порядка

• где коэффициенты - заданные

действительные числа.

• Характеристическое уравнение имеет вид

n

( ) ( 1) ... 0,1 1

n ny a y a y a ynn

2...,

1 1, ,a a a ann

1 ... 0.1 1

n na a ann

n

16

Фундаментальная система решений в

случае различных корней (а)

• Если - различные действительные

корни характеристического уравнения, то функции

образуют фундаментальную систему решений, и

общее решение имеет вид

, , ,1 2 n

1 2, , ,x x xne e e

1 2 .1 2

x x xny C e C e C en

17

Фундаментальная система решений в случае различных

корней (б)

• Если среди различных корней имеются комплексные

корни, например, причём корней являются

действительными числами, а остальные -

комплексными:

то фундаментальная система решений имеет вид

• Общее решение уравнения записывается формулой

m

2l n m

, , , , ,2

, ,1 11

i ilm l

1 2 1 11 1

, , , , cos , sin , , cos , sin .x x xx x x xm l l

l le e e e e e ex x x x

18

• Общее решение уравнения в случае различных

корней записывается формулой

1

1

1 1cos sin1 1 2 1

cos sin .1

x xmy C e C emx x

C e x C e xm m

x xl lC e x C e xnn l l

19

Пример 4

• Найти общее решение уравнения

27 0y y

20

Фундаментальная система решений в

случае действительных кратных корней

• Если - действительные корни

характеристического уравнения, соответственно,

кратности

то уравнение имеет следующую фундаментальную

систему решений

, , ,1 2 r

, , , , ,1 2 1 2s s s s s s nr r

11 1 1 1, , , , , 1, , , .x x s xr r r re xx x s x

e x ee x e x e

21

Общее решение в случае действительных

кратных корней

Общее решение в случае действительных кратных корней

уравнения записывается в виде

1( ) .1

11 1( )

11 21 1

2

1x s xr r rC C x e C x es rr r

s xy C C x C x e

s

r

22

Пример 5

2 0y y

23

Фундаментальная система решений в

случае комплексных кратных корней

• Если - комплексные корни

характеристического уравнения кратности , то

такой паре корней соответствуют фундаментальные

решения вида

• Общее решение записывается в виде линейной

комбинации фундаментальных решений.

i s

1cos , cos , , cos ,

1sin , sin , , sin .

x x s xe x xe x x e x

x x s xe x xe x x e x

24

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

(ЛНДУ) Методы решений

25

Теорема о структуре решений линейного неоднородного дифференциального уравнения

Рассмотрим ЛНДУ, которое запишем в операторном виде

где

Теорема. Общее решение ЛНДУ (1) можно представить в виде суммы общего решения соответствующего ему однородного уравнения и какого-то частного решения неоднородного уравнения.

, (1)L y f

( ) ( 1)( ) ... ( ) ( ) (2)1 1

n nL y a x y a x y a x ynny

( ) (3)*o

y y x y

( )*

y x

( )o

y y x

26

Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка

и соответствующее ему ЛОДУ

Обозначим через фундаментальную

систему решений однородного уравнения (5). Общее

решение уравнения (5) имеет вид

( ) ( ) ( ) (4)1 2

y a x y a x y f x

( ) ( ) 0. (5)1 2

y a x y a x y

1 2( ), ( )y x y x

0( ) ( ) ( ).

1 1 2 2x x xy C y C y

27

Метод вариации (продолжение)

Метод вариации состоит в том, что частное решение ЛНДУ ищется в виде

где - дифференцируемые функции, которые надо

определить. Теорема. Если функции удовлетворяют

соотношениям

то формула (6) задаёт решение ЛНДУ.

1 2( ), ( )C Cx x

01 1 2 2

, (7)1 1 2 2

C y C y

C y C y f

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), (6)1 1 2 2*

y x C x y x C x y x

1 2( ), ( )C Cx x

28

Пример.

1.

2.

14cos2

y yx

1sin

y yx

29

Метод неопределённых коэффициентов решения ЛНДУ

постоянными коэффициентами

Правая часть уравнения- квазимногочлен.

Уравнение имеет вид

где действительные числа, а правая часть уравнения называется квазимногочленом и представляет собой произведение многочлена и экспоненты .

( ) ( 1) ... ( ) ,1 1

n n xy p y p y p y P x en mn

( )P xmxe

1, , ,

np p

30

Коэффициент называется контрольным числом.

Нерезонансный случай: Контрольное число не является корнем характеристического уравнения.

Случай резонанса. Контрольное число является корнем характеристического уравнения.

31

Вид частного решения в методе неопределённых коэффициентов

В нерезонансном случае частное решение ЛНДУ ищется в виде

где -многочлен с неопределёнными коэффициентами той же степени , что и .

В случае резонанса, когда коэффициент является корнем характеристического уравнения кратности , частное решение ЛНДУ ищется в виде

( )m

Q x

m ( )P xm

( ) ,*

xy Q x em

s

( ) ,*

xsy x Q x em

32

Пример1.

Пример 2.

3xy -3y +2y=e

2xy -3y +2y=e

Гармонический осциллятор

Математическая модель колебаний

материальной точки на пружине

Вывод уравнения колебаний

• Согласно второму закону Ньютона

0 x

( )F t

Положение

равновесия

2

2( ).b

d x dxm ax F t

dtdt

Виды уравнений колебаний

• Приходим к неоднородному уравнению, которое называется

уравнением вынужденных колебаний,

• В случае отсутствия вынуждающей силы получаем уравнение

свободных колебаний

22

2

2

2 ( ), (1)

0, 0.2

d x dxh x f t

dtdtb a

hm m

22

22 0. (2)

d x dxh x

dtdt

Уравнение гармонического осциллятора

• Дифференциальное уравнение свободных колебаний в

среде без сопротивления

• Общее решение уравнения (3)

22

20. (3)

d xx

dt

( ) cos sin . (4)1 2

x t C t C t

Гармоники

• Решение (4) преобразуется к виду

• Функции (5) определяют гармонические колебания, а уравнение (3) называется уравнением гармонического осциллятора.

cos( )( ) . (5)A tx t

Пример гармоники

• Рассмотрим гармонический осциллятор

• Гармоники имеют вид

На рисунке представлены гармоники при

2

24 0.

d xx

dt

2

1

)

) 1, 01

1, 11 2

2

C

C C

C

2 21 2

x( t ) C cos t C sin t .

1) 2)

x

t

Вынужденные колебания в среде без сопротивления

• Рассмотрим случай, когда вынуждающая сила периодическая. Так что уравнение колебаний имеет вид

• Общее решение однородного уравнения даётся формулой(4).

Для нахождения частного решения рассмотрим 2 случая:

2

22 sin . (7)

d xx A t

dt

0( ) cos sin .1 2

x t C t C t

40

Нерезонансный случай

• Нерезонансный случай, когда корень

характеристического уравнения не

совпадает с контрольным числом , т.е.

• В этом случае частное решение ищется в виде

i0r i

( ) cos sin . (8)*

x t M t N t

41

Пример

• Рассмотрим уравнение

sin 2

(0) 1, (0) 0

x x t

x x

2 4 6 8 10 12 14

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

Вынужденные

колебания

Собственные

колебания

x

t

Вынужденные колебания в среде без сопротивления

• Резонанс: Контрольное число совпадает с

корнем характеристического уравнения , т.е.

• Частное решение ищется в виде

.

( ) ( cos sin ). (9)*

x t t M t N t

0r i i

43

Пример-Резонанс

• Решить уравнение sin

(0) 1, (0) 0

x x t

x x

2 4 6 8 10 12 14

-4

-2

2

4 Вынужденные

колебания

Собственные

колебания

x

t

44

Резонанс

• sin

(0) 1, (0) 0

x x t

x x

1 ;2; 1,1

10 20 30 40 50

20

10

10

20

x

t

Свободные колебания в среде с сопротивлением Характеристическое уравнение уравнения (2) имеет вид

Возможны три случая:

• 1) Дискриминант больше нуля .

Корни в этом случае действительные и различные

Из вида решений следует, что

колебаний нет, а отклонение затухает .

2 22 0. (6)h

2 2 0.h

2 2

1,20.h h

1 2( )1 2

t tx t C e C e

t

Пример

• Уравнение

• Характеристическое

• Корни

• Общее решение

2

23 2 0.

d x dxx

dtdt

2 3 2 0.

2( )1 2

t tx t C e C e

График решения при

1, 11 2

C C

1 21, 2.

x

t

Кратный корень

• 2) Дискриминант равен нулю .

• Корень является кратным корнем, поэтому

решение имеет вид

Колебаний нет, отклонение затухает при

.

2 2 0.h

( ) ( ) .1 2

htx t C C t e

t

h

Пример (кратный корень)

• Уравнение

• Характеристическое

• Корень

• Решение

2

22 0.

d x dxx

dtdt

2 2 1 0.

1

( ) ( ) .1 2

tx t C C t e

1 2

1 2

1) 1, 1

2) 1, 2

C C

C C

Графики решений при

x

t

• Дискриминант меньше нуля.

Корни являются комплексными числами. Из

вида решения

следует, что колебания происходят с затухающей при

• амплитудой и называются затухающими гармоническими

колебаниями.

2 2 2 0h

1,2h i

t

( ) ( cos sin ) ,1 2

( ) cos( )

htx t C t C t e или

htx t Ae t

Пример затухающего колебания

• Уравнение

• Характеристическое

• Корни

• Решение

2

22 5 0.

d x dxx

dtdt

2 2 5 0. 1 2 .

1,2i

( ) ( cos2 sin2 )1 2

tx t C t C t e

График затухающего

колебания при

1 21, 0C C

x

t