Связь криволинейныхю поверхностных и кратных

интегралов

Company name

Двойной интеграл

- Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей , а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначим d1, d2, ..., dn. Выберем в каждой части точку Рi.

- Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P1), f(P2),…, f(Pn) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(Pi)ΔSi:

называемую интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при и , не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек Pi в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается

Company name

Вычисление двойного интеграла по области D, ограниченной линиями x = a, x = b ( a < b ), где φ1(х) и φ2(х) непрерывны на [a, b] (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:

Двойной интеграл

Company name

Тройной интеграл

Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части Δvi , считая объем каждой части равным Δvi , и составим интегральную сумму вида

Предел при интегральных сумм (11), не зависящий от способа разбиения области V и выбора точек Pi в каждой подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V:

Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по области V равен трехкратному интегралу по той же области:

Геометрический смысл двойного интеграла

* Переход из прямоугольных координат в полярные

Переход из прямоугольных координат в полярные

Двойной интеграл

* Объем в сферических координатах

Тройной интеграл

Объем в цилиндрических

координатах

Криволинейный интеграл первого рода( по длине дуги) Пусть L кусочно-гладкая кривая в пространстве, ограниченная точками А и B и в каждой точке этой кривой определена непрерывная функция

Разобьем эту кривую на n частей и обозначим длины этих частей через

Выберем на каждой части разбиения по одной точке M1, M2,…..Mn и найдем значения функции f(xyz) в этих точках.

( , , ) ( ), ( , , )f x y z f M M x y z L

1 2, ,........, nl l l

Пусть наибольшая из длинНайдем значение функции в этих точках, умножим на длину соответствующей дуги ∆li и составим сумму:

Сумма (10 называется интегральной суммой для ф. f(xyz) по длине дуги кривой ABОпр. Криволинейный интегралом первого рода ( по длине дуги) от Ф. f(xyz) называется предел интегральной суммы (1) приОбозначение: (2)

1 1 1 1 2 2 2 2( , , ) ( , , ) ........... ( , , )i i i if x y z l f x y z l f x y z l

0

(2)

или

n

ax im l

(1)

0 1

( , , ) ( , , )limn

i i i iil

n

f x y z dl f x y z l

Криволинейный интеграл 2- рода

* Иллюстрация криволинейного интеграла первого рода на скалярном

поле

* Иллюстрация криволинейного интеграла второго рода на

векторном поле

Поверхностный интеграл 1-рода

Поверхностный интеграл 1-рода

Поверхностный интеграл 2-рода

Поверхностный интеграл 2-рода

Поверхностный интеграл 2-рода

Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода

Связь криволинейных интегралов первого и второго

рода

Формула Грина

*Джордж Грин (1793- 1841) - английский математик и физик.

*Формула Грина связывает вычисление криволинейного интеграла 2-го рода по замкнутому контуру с двойным интегралом по области, ограниченной этим контуром.

Формула Грина

Формула Стокса

* Джордж Габриель Стокс (1819–1903) — английский физик и математик.

*Формула Стокса связывает кроволинейный интеграл 2-ого рода по замкнутому контуру с поверхностным интегралом по поверхности, ограниченной этим контуром.

 Формула Остроградского

*Справка: Михаил Васильевич Остроградский (1801–1862) — русский математик и механик

*Формула Остроградского связывает тройной интеграл с поверхностным интегралом 2-го рода.

Вычисление интеграла 1-го рода 2-го рода

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода и 2-го рода сводится к вычислению определенного интеграла, в зависимости от способа задании кривой L

Вычисление интеграла 1-го рода

1) Кривая l в пространстве задана уравнение:

2) Кривая l лежит на плоскости XOY (z=0)

3) L на плоскости задана уравнение

1 2( ), ( ), ( );x x t y y t z z t t t t 2

1

2 2 2( , , ) ( )t

t t t

l t

f x y z dl f t x y z dt

1 2( );y y x x x x

2

1

2 20 ( , ) ( )t

t t t

l t

z f x y dl f t x y dt

2

1

2( , ) ( ) 1x

l x

f x y dl f x y dx

Вычисление интеграла 1-го рода

4) L на плоскости задана уравнение:

5) L задана уравнение

1 2( );x x y y y y 2

1

2( , ) ( ) 1y

l y

f x y dl f y x dy

1 2( );

2

1

2 2( , ) ( os , sin )l

f x y dl f c d

Вычисление интеграла 2-го рода

1) Кривая l в пространстве задана уравнение:

2)Кривая l в пространстве задана уравнение:

1 2( ), ( ), ( );x x t y y t z z t t t t 2

1

( ( ) ( ) ( ) )t

t t t

l t

Pdx Qdy Rdz P t x Q t y R t z dt

1 2( ), ( );x x t y y t t t t

2

1

( ( ) ( ) )t

t t

l t

Pdx Qdy P t x Q t y dt

Вычисление интеграла 2-го рода

4) L на плоскости задана уравнение:

1 2( );x x y y y y 2

1

( ( ) ( ))x

y

l x

Pdx Qdy P y x Q y dy

3) L на плоскости задана уравнение: 1 2( );y y x x x x

2

1

( ( ) ( ) )x

x

l x

Pdx Qdy P x Q x y dx

Если тело V ограничено прверностями и

,

огда

можно представить в виде

Где D- проекция тела V на плоскости XOY, т.е двойной интеграл от функции

Спасибо за внимание