- J:!:i:' F + p~r

> -A>- . Uf; r _

.. ­

( 1. t;},J

I' I~j~J F0/ifU,J! )/ r ~In eJ f~VlP~ ;

.,. I c"..., T;J1""" s) .

........

.-'- -.v

En rojo el sistema de coordenadas “de laboratorio” (X,Y,Z), y en rosa el plano

“ecuatorial” XY. En azul la terna natural de la órbita (x,y,z), y en celeste el plano orbital

xy. La línea de los nodos, en verde, es la intersección de ambos planos. Se muestra en

verde una órbita elíptica, el momento angular J, normal a su plano, y el vector de Lenz

A, que apunta en la dirección de su periapsis, que se halla a una distancia ρmin del

origen. El ángulo θ es la inclinación de la órbita, el ángulo φ es la longitud del nodo

ascendente, y el ángulo ψ es el argumento del periapsis.

X Y

Z

x

y

z

J

A

φ ψ

θ

Línea de los nodos

Plano ecuatorial

Plano orbital

Periapsis

ρmin

Scattering

Partícula incidente desde z = −∞ con velocidad v∞ y parámetro de impacto b. Siguiendo aLandau Sec. 18 (p. 57),

χ = ∫ρmin

∞ Jdρ

ρ2 2μE − Uρ − J2/ρ2,

donde

2μE − Uρmin − J2

ρmin2

= 0.

Pero asumiendo U∞ = 0,

E = 12μv∞2 , J = μbv∞,

luego

χ = ∫ρmin

∞ bdρ

ρ2 1 − b2/ρ2 − 2Uρ/μv∞2 ,

que determina χ a partir de b y v∞; notar que ρmin puede determinarse de

1 − b2

ρmin2

− 2Uρminμv∞2

= 0

también en términos de b y v∞. El ángulo de dispersión θ es claramente

θ = |π − 2χ|.

Ahora consideremos un haz uniforme de partículas incidente desde z = −∞, todas con v∞, y con npartículas por unidad de tiempo atravesando la unidad de área normal al haz. Sea dN el númerode partículas por unidad de tiempo dispersadas a ángulos entre θ y θ + dθ. Definimos la seccióneficaz (diferencial) de dispersión

dσ := dNn .

Si las partículas con parámetro de impacto entre b y b + db se dispersan entre θ y θ + dθ,

dN = n2πbdb

y

dσ = 2πbdb = 2πbθdbθ = 2πbθdbθdθ

dθ.

Si la queremos por unidad de ángulo sólido dΩ = 2π senθdθ,

dσ =bθsenθ

dbθdθ

dΩ.

La sección eficaz total se define como

σT = ∫Ωdσ = ∫

0

π2πbθ

dbθdθ

dθ = ∫ bθsenθ

dbθdθ

dΩ.

Ejemplo: esfera dura

En este caso ρmin es el radio a de la esfera dispersora, y ambas ramas de la trayectoria son rectas.Por geometría tenemos

b = a senχ

para b < a; para b > a no hay dispersión. Luego

bθ = a sen π − θ2

= acos θ2

y

dbθdθ

= − a2

sen θ2

.

Entonces

dσ = 2πbθdbθdθ

dθ = πa2 cos θ2

sen θ2dθ = πa2

2senθdθ

y

σT = ∫0

π πa2

2sinθdθ = πa2,

que no es otra cosa que el área de sección transversal de la esfera dura. Notemos también que enfunción del ángulo sólido

dσ =bθsenθ

dbθdθ

dΩ = 1senθ

a2

2sen θ

2cos θ

2= a2

4,

es decir, la dispersión es uniforme.

Ejemplo: Rutherford

Partículas de cargas q1 y q2 y masa reducida μ, desde el CM. El potencial es

Uρ = 14π 0

q1q2

ρ = αρ .

Del apunte manuscrito tenemos trayectorias hiperbólicas dadas por

ρ =p

ecosθ − 1,

con

p = J2

μα =μb2v∞

2

α , e = 1 + 2EJ2

μα2= 1 +

μ2b2v∞4

α2.

El ángulo rotado entre el periapsis y la asíntota es

χ = cos−1 1e .

Luego

sen θ2

= 1e

y

cot θ2

= e2 − 1 =μbv∞2α ,

de donde

bθ = αμv∞2

cot θ2

.

Luego

dbθdθ

= − αμv∞2

12sen2 θ

2

y

dσ = αμv∞2

2

14sen4 θ

2

dΩ.

Pero la sección eficaz total diverge:

σT = ∫0

π αμv∞2

2

2π senθdθ4sen4 θ

2

= 2π αμv∞2

2

∫π

0 dcosθ1 − cosθ2

= 2π αμv∞2

2

∫−1

1du

1 − u2= ∞.

Lenz: de 3D a 2D

Aquí pretendemos mostrar cómo la partícula libre en S2 (la esfera en R3) se proyecta a unoscilador armónico en R2, y cómo el momento angular 3D genera tanto el momento angularcomo el vector de Lenz del oscilador 2D.

Partícula libre en S2:

L = 12mr2 + r2θ2 + r2 sin2θφ2

con el vínculo

r = R,

luego

L = 12mR2θ2 + sin2θφ2.

Solución formal de las ecuaciones de movimiento: invariancia ante traslaciones temporales

E = 12mR2θ2 + sin2θφ2 = cte.

φ ignorable

pφ = mR2 sin2θφ = cte.

Luego

φ =pφ

mR2 sin2θ

y

E = 12mR2θ2 +

pφ2

2mR2 sin2θ.

Simetría rotacional alrededor del origen J =cte. Luego el movimiento tiene lugar en ΠOJ, elplano ⊥ J que pasa por el origen O; y a la vez sobre la 2-esfera S2 de radio R; es decir

r ∈ S2 ∩ ΠOJ

o sea sobre un círculo máximo. Como

E = 12mv∥

2

donde v∥ es la velocidad tangencial, ésta es constante. Entonce tenemos MCU sobre un círculomáximo.

Proyección al plano xy:

x = R sinθcosφ,

y = R sinθ sinφ,

z = Rcosθ,

x = Rcosθcosφθ − R sinθ sinφφ,

y = Rcosθ sinφθ + R sinθcosφφ,

ż = −R sinθθ.

Luego

x2 + y2 + ż2 = R2cos2θθ2 + sin2θφ2 + R2 sin2θθ2.

Pero en polares planas ρ,ϕ, proyectando desde S2,

ρ = R sinθ,

ϕ = φ,

y

ρ = Rcosθθ,

ϕ = φ.

Luego

x2 + y2 + ż2 = ρ2 + ρ2ϕ2 + R2 sin2θθ2

y

12mx2 + y2 + ż2 = 1

2mρ2 + ρ2ϕ2 + 1

2mR2 sin2θθ2.

Pero de

E = 12mR2θ2 +

pφ2

2mR2 sin2θ

tenemos

12mR2 sin2θθ2 = E sin2θ −

pφ2

2mR2,

luego

12mx2 + y2 + ż2 = 1

2mρ2 + ρ2ϕ2 + E sin2θ −

pφ2

2mR2

= 12mρ2 + ρ2ϕ2 + E

R2ρ2 −

pφ2

2mR2.

Ésta es la energía del sistema 3D, y también del sistema 2D en polares planas; pero en polaresplanas

T = 12mρ2 + ρ2ϕ2,

luego debe ser

U = ER2

ρ2 −pφ

2

2mR2.

El último término es puramente una constante y podemos tirarla, y con el resto formamos

L2D = T − U = 12mρ2 + ρ2ϕ2 − E

R2ρ2.

Ésta es la Lagrangiana de un oscilador armónico isotrópico 2D con masa m y constante de resorte

k := 2ER2

=mv∥

2

R2.

Componentes de J:

En el problema 3D

Jz = pφ = mR2 sen2θφ,

y en el 2D

jz = pϕ = mρ2ϕ.

Pero en polares planas ρ,ϕ, proyectando desde S2,

ρ = R sinθ,

ϕ = φ,

luego

Jz = jz.

Supongamos ahora que elegimos los ejes x e y de modo que

J = Jxx + Jzz,

con

tanΘ =JxJz

.

Luego

A := J − Jzz =Jxx

apunta efectivamente hacia el periapsis de la órbita 2D.

Funciones de movimiento:

En 3D tenemos v∥ = 2E/m , constante. El movimiento es un MCU con rapidez v∥ a lolargo de un círculo máximo ortogonal a J. En el plano XY del círculo máximo tendremos

X = Rcosωt, Y = R senωt, Z = 0,

con

ω =v∥R

.

Las coordenadas x,y, z del movimiento 3D se obtienen rotando éstas en Θ alrededor de ŷ:

x

y

z

=

cosΘ 0 senΘ

0 1 0

− senΘ 0 cosΘ

X

Y

Z

.

Luego para el movimiento 2D en el plano xy tenemos

x = RcosΘcosωt, y = R senωt,

con

ω = km =

mv∥2 /R2

m =v∥R

como debe! El semieje menor de la elipse es RcosΘ y el mayor es R.