7 조홍윤호 (2003200449)-1 등 이건우 (2005200431)-2 등조영선 (2004200744)-3 등정진웅 (2005200444)-4 등정다운 (2007102858)-5 등

Example) 디지털 온도계

화면 출력전자 회로

온도 전압

관계식 ?

두 온도에서의 전압을 토대로 구한 함수식을 통하여 0 도와 100 도 사이의 값을 추측할 수 있을까 ?

0 100 온도 (X)

전압 (Y)

10mA

30mA

가장 정확한 방법은 모든 온도에서의 전압을 측정

Y=0.2X+10

현실적으로 불가

?

?

?

최적의 그래프 ?최적의 그래프 ?

0 도와 100 도 사이에 몇 개의 온도를 측정해그래프에 나타내었다 .

어떠한 그래프가 결과조건을 최대한으로 만족할까 ?

오차율이 제일 작은 그래프는 ?

최적의 그래프가 선형적 (linear) 이라고 가정하자 .

Data 가 i 개 있다고 가정하면 ei 값들의 표준편차를 최소로 만드는 값에 해당

되는 함수가 최적의 그래프이다 .

Y=aX+b(xi, yi)

ei

일차 함수

e

y1-(ax1+b)

y2-(ax2+b)

…

yn-(axn+b)

Y=aX+b(xi, yi)

ei

x y

x1 y1

x2 y2

… …

xn yn

Data

(x1, y1)

(x2, y2)

(xn, yn)e1 e2

en

Residual

계산 방법

=

미분을 이용해 a,b 값 구하기

두 일차 연립 방정식을 계산하면 a 와 b 의 값을 구할수 있다 .

y1=a x1 +b

y2=a x2 +b

…

yn=a xn +b

y 1=a x 1

+b

y 2=a x 2

+b

yn=a xn

+b

…

행렬을 이용한 풀이 방법

행렬식으로 위의 함수들을 나타내면

측정한 모든 점과 기준점을 연결하여 점의 개수만큼의 그래프를 그렸다고 하자 .

x₁ 1x₂ 1·· ···· ··xn 1

ab = y₁

y₂····yn

n × 2 2 × 1 n × 1

a,b 값을 구하기 위해 양 변에 A 행렬의 트랜스 포즈 AT 를 곱해준다

x₁ x₂ ·· ·· xn

1 1 ·· ·· 1x₁ x₂ ·· ·· xn

1 1 ·· ·· 1

2 x n 1 x n

「 Exponential함수」 「 고차원함수 」

Exponential 함수 또는 고차 함수에서도 최소오차법을 적용 할 수 있다 .

위와 같은 행렬식을 이용하면 비선형성을 가진 다른 함수들에도 적용하여 문제가 해결 가능하다 .

추정함수 추정함수 예

1 차식

지수식

고차 다항식

다변수 함수

타원 방정식

컴퓨터 프로그램인 MATLAB 을 이용하면 답을 보다 쉽게 계산할수 있다 .

0 20 40 60 80 1000

1000

2000

3000< y=a*t+b >기 본 그 래 프

0 20 40 60 80 100-400

-200

0

200

400< >난 수 발 생 함 수

0 20 40 60 80 1000

1000

2000

3000< + >기 본 함 수 난 수 함 수

0 20 40 60 80 1000

1000

2000

3000< >최 소 자 승 오 차 법 을 이 용 한 그 래 프

입력값 : a=20, b=200 최소자승오차법을 이용하였을때 얻은 값 : a=19.93, b=204.49

0 20 40 60 80 100-200

-100

0

100< y=a*t.기 본 2+b*t+c >그 래 프

0 20 40 60 80 100-10

-5

0

5

10< >난 수 발 생 함 수

0 20 40 60 80 100-200

-100

0

100< + >기 본 함 수 난 수 발 생 함 수

0 20 40 60 80 100-200

-100

0

100< >최 소 자 승 오 차 법 을 이 용 한 그 래 프

입력값 : a=-2, b=3, c=4 최소자승오차법을 이용하였을때 얻은 값 : a=-2.11, b=2.54, c=4.14